Teorema e përthithjes të shkruara në dy forma - veçuese dhe

lidhore, respektivisht:

A + AB \u003d A (16)

A(A + B)=A (17)

Le të vërtetojmë teoremën e parë. Le të nxjerrim shkronjën A nga kllapa:

POR + AB \u003d A (1 + B)

Sipas teoremës (3) 1 + B = 1, pra

A(1 + B) = A 1 = A

Për të vërtetuar teoremën e dytë, zgjerojmë kllapat:

A(A + B) = A A + AB = A + AB

Rezultati është një shprehje që sapo është vërtetuar.

Le të shqyrtojmë disa shembuj të zbatimit të teoremës së përthithjes për

thjeshtimi i formulave Boolean.

Teorema e ngjitjes gjithashtu ka dy forma - disjunktive dhe

konjuktival:

Le të vërtetojmë teoremën e parë:

pasi sipas teoremave (5) dhe (4)

Për të vërtetuar teoremën e dytë, hapim kllapat:

Sipas teoremës (6), pra:

Sipas teoremës së përthithjes (16) A + AB \u003d A

Teorema e përthithjes, si teorema e ngjitjes, zbatohet kur thjeshtohet

formulat boolean, për shembull:

Teorema e De Morganit lidh të tre veprimet themelore të algjebrës së Bulit

Disjunksioni, lidhja dhe përmbysja:

Teorema e parë thotë si më poshtë: përmbysja e një lidhjeje është një disjunksion

përmbysjet. Së dyti, përmbysja e një disjunksioni është lidhja e përmbysjeve. Ju mund të provoni teoremat e Morganit duke përdorur tabelat e së vërtetës për anën e majtë dhe të djathtë.

Teorema e De Morganit vlen edhe për më shumë variablat:

Leksioni 5

Përmbys shprehje komplekse

Teorema e De Morganit zbatohet jo vetëm për lidhjet e vetme

apo disjuksione, por edhe ndaj shprehjeve më komplekse.

Le të gjejmë të kundërtën e shprehjes AB + CD , paraqitet si një disjunksion lidhëzash. Përmbysja do të konsiderohet e plotë nëse shenjat negative janë vetëm mbi variablat. Le të prezantojmë shënimin: AB = X;

CD=Y pastaj

Gjeni dhe zëvendësoni në shprehjen (22):

Në këtë mënyrë:

Konsideroni një shprehje të paraqitur në formë lidhore:

(A + B) (C + D)

Le të gjejmë përmbysjen e saj në formë

Le të prezantojmë shënimin: A + B = X; C + D \u003d Y, pastaj

Gjeni dhe zëvendësoni ato në shprehje

Në këtë mënyrë:

Kur përmbysni shprehje komplekse, mund të përdorni rregullin e mëposhtëm. Për të gjetur përmbysjen, është e nevojshme të zëvendësohen shenjat lidhëse me shenjat e ndarjes, dhe shenjat e ndarjes me shenjat lidhëse dhe të vendosen përmbysjet mbi secilën ndryshore:

Koncepti i një funksioni Boolean

AT në rastin e përgjithshëm, një funksion (lat. functio - performanca, pajtueshmëria,

hartëzimi) është një rregull (ligj) i caktuar, sipas të cilit çdo element i grupit x, që është diapazoni i ndryshores së pavarur X, caktohet një element i caktuar i grupit F,

që kuptohet si diapazoni i vlerave të ndryshores së varur f . Në rastin e funksioneve boolean X=F = (0,1). Rregulli me të cilin specifikohet funksioni mund të jetë çdo formulë Boolean, për shembull:

Simboli f këtu është një funksion që është, si argumentet e A, B, C, variabël binare.

Argumentet janë variabla të pavarur, ato mund të marrin çdo vlerë - ose 0 ose 1. Funksioni f - variabli i varur. Kuptimi i tij përcaktohet plotësisht nga vlerat e variablave dhe lidhjet logjike midis tyre.

tipar kryesor funksioni: për të përcaktuar vlerën e tij, në përgjithësi, është e nevojshme të njihen vlerat e të gjitha argumenteve nga të cilat varet. Për shembull, funksioni i mësipërm varet nga tre argumente A, V, S. Nëse marrim A = 1, atëherë marrim

d.m.th., fitohet një shprehje e re, jo e barabartë me as zero ose

njësi. Lëreni tani AT= 1. Pastaj

d.m.th., në këtë rast, nuk dihet nëse funksioni është i barabartë me zero apo një.

Së fundi, le të marrim NGA= 0. Pastaj marrim: f = 0. Kështu, nëse marrim A = 1 në shprehjen origjinale, AT= 1, NGA = 0, atëherë funksioni do të marrë një vlerë zero: f= 0.

Konsideroni nocioni i një grupi vlerash të ndryshueshme .

Nëse të gjithë argumenteve nga të cilët varet funksioni u caktohen vlera të caktuara, atëherë flitet për një grup vlerash argumentesh që mund të jenë

thjesht quaj atë një grup. Grupi i vlerave të argumenteve është një sekuencë zero dhe njësh, për shembull, 110, ku shifra e parë korrespondon me argumentin e parë, e dyta me të dytin dhe e treta me të tretën. Natyrisht, është e nevojshme të bihet dakord paraprakisht se cili është argumenti i parë, i dytë ose, le të themi, i pesti. Për ta bërë këtë, është e përshtatshme të përdorni rregullimin alfabetik të shkronjave.

Për shembull, nëse

atëherë sipas alfabetit latin argumenti i parë është R, e dyta -

P, e treta - x, e katërta - U. Pastaj, sipas grupit të vlerave të argumenteve, është e lehtë

gjeni vlerën e funksionit. Le të jepet për shembull bashkësia 1001. Sipas tij

regjistrime, d.m.th., në grupin 1001, funksioni i dhënë është i barabartë me një.

Vini re përsëri se grupi i vlerave të argumenteve është grupi

zero dhe njëshe. Numrat binare janë gjithashtu grupe zerosh dhe njësh.

Kjo shtron pyetjen - a mund të konsiderohen grupet si binare

numrat? Është e mundur, dhe në shumë raste është shumë i përshtatshëm, veçanërisht nëse binar

shndërroni numrin në dhjetor. Për shembull, nëse

A = 0, B = 1, C = 1, D = 0,

0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6

d.m.th., grupi i dhënë ka numrin 6 në dhjetor.

Nëse dëshironi të gjeni vlerat e argumenteve me numër dhjetor, atëherë

ne veprojmë në rend të kundërt: së pari, përkthejmë numrin dhjetor në binar, pastaj shtojmë kaq shumë zero në të majtë në mënyrë që numri total bit ishte i barabartë me numrin e argumenteve, pas së cilës gjejmë vlerat e argumenteve.

Le të kërkohet, për shembull, të gjesh vlerat e argumenteve A, B, C, D, E, F nga bashkësia me numrin 23. Numrin 23 e shndërrojmë në sistem binar duke përdorur metodën

duke e ndarë me dy:

Si rezultat, marrim 23 10 = 10111 2 . Ky është një numër pesëshifror, dhe në total

ka gjashtë argumente, prandaj, një zero duhet të shkruhet në të majtë:

23 10 = 010111 2 . Nga këtu gjejmë:

A = 0, B = 1, C = 0, D = 1, E = 1, F = 1.

Sa grupe ka nëse dihet numri P argumente? Natyrisht, aq sa ka numra binarë n-bit, pra 2 n

Leksioni 6

Vendosja e një funksioni Boolean

Ne tashmë e dimë një mënyrë. Është analitike, domethënë në formën e një shprehje matematikore duke përdorur variabla binare dhe operacione logjike. Përveç tij, ka mënyra të tjera, më e rëndësishmja prej të cilave është tabelare. Tabela liston të gjitha grupet e mundshme të vlerave të argumenteve, dhe për secilën grup tregohet vlera e funksionit. Një tabelë e tillë quhet tabelë e korrespondencës (e së vërtetës).

Në shembullin e funksionit

Le të kuptojmë se si të ndërtojmë një tabelë kërkimi për të.

Funksioni varet nga tre argumente A, B, C. Prandaj, në tabelë

jepni tre kolona për argumentet A,B,C dhe një kolonë për vlerat e funksionit f. Në të majtë të kolonës A, është e dobishme të vendosni një kolonë tjetër. Në të do të shkruajmë numra dhjetorë, të cilët i përgjigjen bashkësive, nëse i konsiderojmë si numra binarë treshifrorë. Kjo dhjetore

kolona është futur për lehtësinë e punës me tabelën, prandaj, në parim,

mund të neglizhohet.

Plotësojmë tabelën. Rreshti me numrin e LLC lexon:

A = B = C = 0.

Le të përcaktojmë vlerën e funksionit në këtë grup:

Në kolonën f shkruajmë zero në rreshtin me bashkësinë 000.

Seti tjetër: 001, d.m.th. e. A = B = 0, C = 1. Gjeni vlerën e funksionit

në këtë grup:

Në grupin 001, funksioni është i barabartë me 1, pra, në kolonën f në vijën me

numrin 001 shkruajmë njësinë.

Në mënyrë të ngjashme, ne llogarisim vlerat e funksioneve në të gjitha grupet e tjera dhe

plotësoni të gjithë tabelën.

Asociativiteti

x 1 (x 2 x 3) \u003d (x 1 x 2) x 3;

x 1 Ú (x 2 Ú x 3) \u003d (x 1 Ú x 2) Ú x 3.

komutativiteti

x 1 x 2 = x 2 x 1

x 1 Ú x 2 = x 2 Ú x 1

Shpërndarja e lidhëzës në lidhje me disjunksionin

x 1 (x 2 Ú x 3) \u003d x 1 x 2 Ú x 1 x 3.

Shpërndarja e disjunksionit në lidhje me lidhëzën

x 1 Ú(x 2 × x 3) = (x 1 Úx 2) × (x 1 Úx 3). *

Idempotenca (tautologji)

Dy herë jo

Vetitë e vazhdueshme

x & 1 = x; (ligjet e grupit universal)

x & 0 = 0; (ligjet e vendosura zero)

Rregullat (ligjet) e Morganit

Ligji i kontradiktës (shtesë)

Ligji i përjashtimit të mesit (shtesë)

Provat e të gjitha këtyre formulave janë të parëndësishme. Një nga opsionet është të ndërtoni tabela të vërteta të pjesëve të majta dhe të djathta dhe t'i krahasoni ato.

Rregullat e ngjitjes

Rregulli i ngjitjes për lidhëzat elementare rrjedh nga ligji shpërndarës, ligji i plotësimit dhe ligji i grupit universal: disjunkcioni i dy lidhëzave të afërta mund të zëvendësohet nga një lidhëz elementare, e cila është pjesë e përbashkët e lidhëzave origjinale .

Rregulli i ngjitjes për shumat elementare rrjedh nga ligji shpërndarës i llojit të dytë, ligji i komplementaritetit dhe ligji i grupit zero: lidhja e dy ndarjeve ngjitur mund të zëvendësohet nga një ndarje elementare, e cila është pjesë e përbashkët e ndarjeve origjinale .

Rregulli i përthithjes

Rregulli i përthithjes për shumën e dy produkteve elementare rrjedh nga ligji shpërndarës i llojit të parë dhe ligjet e grupit universal: ndarje e dy lidhëzave elementare, njëra prej të cilave është pjesë integrale një tjetër, mund të zëvendësohet nga një lidhje me më pak operandë .

Rregulli i përthithjes për produktin e shumave elementare rrjedh nga ligji shpërndarës i llojit të dytë dhe ligjet e grupit zero: lidhja e dy disjunksioneve elementare, nga të cilat njëra është përbërës e tjetrës, mund të zëvendësohet nga një disjunksion elementar që ka më pak operandë.

Rregulli i vendosjes

Ky rregull përcakton veprimin e kundërt të ngjitjes.

Rregulli për zgjerimin e një produkti elementar në një shumë logjike të produkteve elementare të një rangu më të lartë (në kufirin deri në r = n, d.m.th. deri në përbërësit e unitetit, siç do të diskutohet më poshtë) rrjedh nga ligjet e grupit universal. , ligji shpërndarës i llojit të parë, dhe kryhet në tre faza:

Prodhimi elementar i rangut r që do të zhvillohet paraqitet si faktorë n-r njësi, ku n është radha e përbërësve të njësisë;

Çdo njësi zëvendësohet nga shuma logjike e disa ndryshoreve që nuk janë të pranishme në produktin elementar origjinal dhe mohimi i tij: x i v `x i = 1;

Të gjitha kllapat zgjerohen në bazë të një ligji shpërndarës të llojit të parë, i cili çon në zgjerimin e produktit elementar origjinal të rendit r në një shumë logjike prej 2 n-r përbërësish të njësisë.

Rregulli elementar i zgjerimit të produktit përdoret për të minimizuar funksionet e algjebrës logjike (FAL).

Rregulli për zgjerimin e një shume elementare të rangut r në një produkt të shumave elementare të rangut n (përbërësi zero) ndjek ligjet e tyre të grupit zero (6) dhe ligjit shpërndarës të llojit të dytë (14) dhe kryhet në tre faza:

Në shumën e zgjerueshme të rendit r ne prezantojmë si shuma n-r zero;

Çdo zero përfaqësohet si një produkt logjik i disa ndryshoreve që nuk janë të pranishme në shumën fillestare dhe mohimin e saj: x i·` x i = 0;

Shprehja që rezulton transformohet në bazë të ligjit shpërndarës të llojit të dytë (14) në atë mënyrë që shuma fillestare e rendit r shpaloset në një produkt logjik prej 2 n-r përbërës zero.

16. Koncepti i një sistemi të plotë. Shembuj të sistemeve të plota (me prova)

Përkufizimi. Bashkësia e funksioneve të algjebrës logjike A quhet sistem të plotë(në P2) nëse ndonjë funksion i algjebrës së logjikës mund të shprehet me një formulë mbi A.

Sistemi funksional A=( f 1 , f 1 ,…, f m) që është e plotë quhet bazë.

Një bazë minimale është një bazë e tillë për të cilën heqja e të paktën një funksioni f1, e cila formon këtë bazë, transformon sistemin e funksioneve (f 1 , f 1 ,…, f m) në të paplota.

Teorema. Sistemi A = (∨, &, ) është i plotë.

Dëshmi. Nëse funksioni i algjebrës logjike f nuk është identikisht zero, atëherë f shprehet si një formë normale e përsosur disjunktive, e cila përfshin vetëm disjunksionin, lidhjen dhe mohimin. Nëse f ≡ 0, atëherë f = x & x. Teorema është vërtetuar.

Lemë. Nëse sistemi A është i plotë dhe çdo funksion i sistemit A mund të shprehet me një formulë mbi një sistem tjetër B, atëherë B është gjithashtu një sistem i plotë.

Dëshmi. Konsideroni një funksion arbitrar të algjebrës logjike f (x 1 , …, x n) dhe dy sisteme funksionesh: A = (g 1 , g 2 , …) dhe B = (h 1 , h 2 , …). Për shkak të faktit se sistemi A është i plotë, funksioni f mund të shprehet si formulë mbi të:

f (x 1 , …, x n) = ℑ

ku g i = ℜ i

pra funksioni f paraqitet si

f (x 1 , …, x n)=ℑ[ℜ1,ℜ2,...]

me fjalë të tjera, ai mund të përfaqësohet me një formulë mbi B. Duke numëruar në këtë mënyrë të gjitha funksionet e algjebrës së logjikës, marrim se sistemi B është gjithashtu i plotë. Lema është e vërtetuar.

Teorema. Sistemet e mëposhtme janë të plota në P 2:

4) (&, ⊕ , 1) baza Zhegalkin.

Dëshmi.

1) Dihet (teorema 3) që sistemi A = (&, V, ) është i plotë. Le të tregojmë se sistemi B = ( V, . Në të vërtetë, nga ligji i de Morganit (x& y) = (x ∨ y) marrim se x & y = (x ∨ y) , domethënë lidhja shprehet përmes disjunksioni dhe mohimi, dhe të gjitha funksionet e sistemit A shprehen me formula mbi sistemin B. Sipas lemës, sistemi B është i plotë.

2) Ngjashëm me pikën 1: (x ∨ y) = x & y ⇔ x ∨ y =(x & y) dhe Lema 2 nënkupton të vërtetën e artikullit 2.

3) x | y=(x&y), x | x = x; x & y = (x | y) = (x | y) | (x | y) dhe nga Lema 2 sistemi është i plotë.

4) x = x ⊕1 dhe sipas Lemës 2 sistemi është i plotë.

Teorema është vërtetuar.

17. Algjebra e Zhegalkinit. Karakteristikat dhe plotësia e funksionimit

Bashkësia e funksioneve Boolean e përcaktuar në bazën Zhegalkin S4=(⊕,&,1) quhet Algjebra Zhegalkin.

Vetitë themelore.

1. komutativiteti

h1⊕h2=h2⊕h1 h1&h2=h2&h1

2. asociativiteti

h1⊕(h2⊕h3)=(h1⊕h2)⊕h3 h1&(h2&h3)=(h1&h2)&h3

3. shpërndarjes

h1&(h2⊕h3)=(h1&h2)⊕(h1&h3)

4. vetitë konstante

5. h⊕h=0 h&h=h
Deklaratë. Nëpërmjet operacioneve të algjebrës Zhegalkin, të gjitha funksionet e tjera Boolean mund të shprehen:

x→y=1⊕x⊕xy

x↓y=1⊕x⊕y⊕xy

18. Polinom Zhegalkin. Metodat e ndërtimit. Shembull.

Polinomi Zhegalkin (moduli i polinomit 2) nga n variablat x 1 ,x 2 ... x n quhet shprehje e formës:

c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n ,

ku konstantet C k mund të marrin vlerat 0 ose 1.

Nëse polinomi Zhegalkin nuk përmban produkte të ndryshoreve individuale, atëherë ai quhet linear (funksion linear).

Për shembull, f=x⊕yz⊕xyz dhe f 1 =1⊕x⊕y⊕z janë polinome, ky i fundit është një funksion linear.

Teorema. Çdo funksion Boolean përfaqësohet si një polinom Zhegalkin në një mënyrë unike.

Le të paraqesim metodat kryesore për ndërtimin e polinomeve Zhegalkin të një funksioni të caktuar.

1. Metoda e koeficientëve të pacaktuar. Le të jetë P(x 1 ,x 2 ... x n) polinomi i kërkuar Zhegalkin duke realizuar për këtë funksion f(x 1,x 2 ... x n). E shkruajmë në formë

P=c 0 ⊕c 1 x 1 ⊕c 2 x 2 ⊕ ... ⊕c n x n ⊕c 12 x 1 x 2 ⊕ ... ⊕c 12 ... n x 1 x 2 ... x n

Le të gjejmë koeficientët C k . Për ta bërë këtë, ne u japim në mënyrë sekuenciale variablat x 1 , x 2 ... x n vlera nga çdo rresht i tabelës së së vërtetës. Si rezultat, marrim një sistem prej 2 n ekuacionesh me 2 n të panjohura, i cili ka vetëm vendim. Duke e zgjidhur atë gjejmë koeficientët e polinomit P(X 1 ,X 2 ... X n).

2. Një metodë e bazuar në transformimin e formulave mbi një grup lidhjesh (,&). Ndërtoni një formulë F mbi bashkësinë e lidhjeve (,&) duke realizuar funksionin e dhënë f(X 1 ,X 2 ... X n). Më pas zëvendësojmë kudo nënformulat e formës A me A⊕1, hapim kllapat duke përdorur ligjin e shpërndarjes (shih vetinë 3) dhe më pas zbatojmë vetitë 4 dhe 5.

Shembull. Ndërtoni polinomin Zhegalkin të funksionit f(X,Y)=X→Y

Zgjidhje.
1. (metoda e koeficientëve të pasigurt). Ne shkruajmë polinomin e kërkuar në formën:

P=c 0 ⊕c 1 x⊕c 2 y⊕c 12 xy

Duke përdorur tabelën e së vërtetës së nënkuptimit, ne e marrim atë

f(0,0)=P(0,0)=C 0 =1

f(0,1)=P(0,1)=C 0 ⊕C 2 =1

f(1,0)=P(1,0)=C 0 ⊕C 1 =0

f(1,1)=P(1,1)=C 0 ⊕C 1 ⊕C 2 ⊕C 12 =1

Nga ku gjejmë me radhë, C 0 =1, C 1 =1, C 2 =0, C 12 =1

Prandaj: x→y=1⊕X⊕XY.

2. (Metoda e konvertimit të formulave.). Kemi: x→y=xvy=(xy)=(x(y⊕1)) ⊕1=1⊕x⊕xy
Vini re se avantazhi i algjebrës Zhegalkin (krahasuar me algjebrat e tjera) është aritmetizimi i logjikës, i cili bën të mundur kryerjen e transformimeve të funksioneve Boolean mjaft thjesht. Disavantazhi i saj në krahasim me algjebrën e Bulit është rëndimi i formulave.

Informacione të ngjashme.

Ligjet e De Morganit janë rregulla logjike të vendosura nga matematikani skocez Augustus de Morgan që lidhin çifte veprimesh logjike duke përdorur mohimin logjik.

Augustus de Morgan vuri re se marrëdhëniet e mëposhtme janë të vërteta në logjikën klasike:

jo (A dhe B) = (jo A) ose (jo B)

jo (A ose B) = (jo A) dhe (jo B)

Në një formë më të njohur për ne, këto raporte mund të shkruhen në formën e mëposhtme:

Ligjet e De Morgan mund të formulohen si më poshtë:

Ligji i I de Morganit: Negimi i disjuksionit të dy pohimeve të thjeshta është i barabartë me lidhëzën e mohimeve të këtyre pohimeve.

Ligji II de Morgan: Mohimi i lidhjes së dy pohimeve të thjeshta është i barabartë me disjuksionin e mohimeve të këtyre pohimeve.

Merrni parasysh zbatimin e ligjeve të de Morgan-it në shembuj të veçantë.

Shembulli 1 Transformoni formulën në mënyrë që të mos ketë mohime të pohimeve komplekse.

Le të përdorim ligjin e parë të de Morgan, marrim:

ne zbatojmë ligjin e dytë të de Morganit për mohimin e lidhjes së pohimeve të thjeshta B dhe C, marrim:

,

kështu:

.

Si rezultat, ne kemi marrë një pohim ekuivalent në të cilin nuk ka mohime të pohimeve të përbëra, dhe të gjitha mohimet i referohen vetëm pohimeve të thjeshta.

Ju mund të kontrolloni vlefshmërinë e zgjidhjes duke përdorur tabelat e së vërtetës. Për ta bërë këtë, ne përpilojmë tabela të së vërtetës për deklaratën origjinale:

dhe për deklaratën e marrë si rezultat i transformimeve të kryera duke përdorur ligjet e de Morgan:

.

Tabela 1.

Siç shohim nga tabelat, deklarata logjike origjinale dhe ajo logjike e marrë me ndihmën e ligjeve të de Morgan janë ekuivalente. Kjo dëshmohet nga fakti se në tabelat e së vërtetës kemi marrë të njëjtat grupe vlerash.

Formulat dhe ligjet e logjikës

Në një mësim hyrës mbi bazat e logjikës matematikore, u njohëm me konceptet bazë të kësaj pjese të matematikës dhe tani tema po merr një vazhdimësi të natyrshme. Përveç materialit të ri teorik, ose më saktë jo edhe teorik - por të përgjithshëm arsimor, ne presim detyra praktike, dhe për këtë arsye nëse keni ardhur në këtë faqe nga një motor kërkimi dhe / ose jeni të orientuar keq në material, atëherë ju lutemi ndiqni lidhjen e mësipërme dhe filloni nga artikulli i mëparshëm. Përveç kësaj, për praktikë na duhen 5 tabelat e së vërtetës operacionet logjike që unë rekomandoj shumë rishkruaj me dorë.

MOS mbani mend, MOS shtypni, domethënë, kuptoni dhe rishkruani edhe një herë në letër me dorën tuaj - në mënyrë që ato të jenë para syve tuaj:

– tabela JO;
- tabela I;
– OSE tavolinë;
– tabela e implikimeve;
- Tabela e ekuivalencës.

Eshte shume e rendesishme. Në parim, do të ishte e përshtatshme për t'i numëruar ato "Tabela 1", "Tabela 2", etj., por unë e kam theksuar vazhdimisht të metën në këtë qasje - siç thonë ata, në një burim tabela do të jetë e para, dhe në tjetrën - njëqind e parë. Prandaj, ne do të përdorim emra "natyrorë". Ne vazhdojmë:

Në fakt, tashmë jeni njohur me konceptin e një formule logjike. Unë do të jap një standard, por më tepër mendjemprehtë përkufizim: formulat algjebrat propozicionale quhen:

1) çdo deklaratë elementare (të thjeshtë);

2) nëse dhe janë formula, atëherë formulat janë gjithashtu shprehje të formës
.

Nuk ka formula të tjera.

Në veçanti, një formulë është çdo veprim logjik, siç është shumëzimi logjik. Kushtojini vëmendje pikës së dytë - kjo lejon rekursive mënyrë për të "krijuar" një formulë arbitrare të gjatë. Sepse janë formula, atëherë është edhe një formulë; meqenëse dhe janë formula, atëherë - gjithashtu një formulë, etj. Çdo deklaratë elementare (përsëri sipas përkufizimit) mund të futet në formulë më shumë se një herë.

Formula joështë, për shembull, një rekord - dhe këtu ka një analogji të dukshme me "plehra algjebrike", nga e cila nuk është e qartë nëse numrat duhen shtuar apo shumëzuar.

Formula logjike mund të mendohet si funksioni logjik. Le të shkruajmë të njëjtën lidhje në formë funksionale:

Deklaratat elementare në këtë rast luajnë edhe rolin e argumenteve (variablave të pavarura), të cilat në logjikën klasike mund të marrin 2 vlera: e vërtetë ose I rremë. Në vijim, për lehtësi, ndonjëherë do të quaj deklarata të thjeshta variablave.

Tabela që përshkruan formulën (funksionin) logjik quhet, siç është përmendur tashmë, tabela e së vërtetës. Ju lutem - një foto e njohur:

Parimi i formimit të tabelës së së vërtetës është si më poshtë: "në hyrje" duhet të listoni të gjitha kombinimet e mundshme të vërtetat dhe gënjeshtrat që mund të pranojnë propozimet (argumentet) elementare. Në këtë rast, formula përfshin dy deklarata, dhe është e lehtë të zbulohet se ekzistojnë katër kombinime të tilla. "Në dalje", marrim vlerat logjike përkatëse të të gjithë formulës (funksionit).

Duhet të them që "dalja" këtu doli të ishte "në një hap", por në rastin e përgjithshëm formula logjike është më komplekse. Dhe në të tilla "raste të vështira" është e nevojshme të vëzhgoni rendi i ekzekutimit të operacioneve logjike:

- së pari kryhet mohimi;
- së dyti - lidhëza;
- pastaj - ndarje;
- pastaj nënkuptimi ;
- dhe, së fundi, përparësia më e ulët ka ekuivalentin.

Kështu, për shembull, hyrja nënkupton që së pari duhet të kryeni shumëzim logjik, dhe më pas - mbledhje logjike:. Ashtu si në algjebrën "e zakonshme" - "së pari ne shumëzojmë, dhe pastaj mbledhim".

Rendi i veprimeve mund të ndryshohet në mënyrën e zakonshme - kllapa:
- këtu, para së gjithash, kryhet shkëputja dhe vetëm atëherë një operacion më "i fortë".

Ndoshta të gjithë e kuptojnë, por për çdo rast një zjarrfikës: dhe kjo dy te ndryshme formulat! (si formalisht ashtu edhe në thelb)

Le të bëjmë një tabelë të së vërtetës për formulën. Kjo formulë përfshin dy deklarata elementare dhe "në hyrje" duhet të listojmë të gjitha kombinimet e mundshme të njësheve dhe zeros. Për të shmangur konfuzionin dhe mospërputhjet, ne pranojmë të rendisim kombinimet rreptësisht në atë rend (të cilin në fakt e përdor de facto që në fillim):

Formula përfshin dy operacione logjike, dhe sipas përparësisë së tyre, para së gjithash, ju duhet të kryeni mohim deklaratat. Epo, ne mohojmë kolonën "pe" - ne i kthejmë njësitë në zero dhe zerot në njësi:

Në hapin e dytë, ne shikojmë kolonat dhe aplikojmë për to OSE operacion. Duke parë pak përpara, do të them se dijunksioni është i pandryshueshëm (dhe jane e njejta gje), dhe për këtë arsye kolonat mund të analizohen në rendin e zakonshëm - nga e majta në të djathtë. Kur kryeni shtesë logjike, është e përshtatshme të përdorni arsyetimin e mëposhtëm të aplikuar: "Nëse ka dy zero, vendosim zero, nëse të paktën një njësi, vendosim një":

Është ndërtuar tabela e së vërtetës. Dhe tani le të kujtojmë implikimin e mirë të vjetër:

…me vëmendje-vëmendje… shikoni kolonat e fundit…. Në algjebër propozicionale, formula të tilla quhen ekuivalente ose identike:

(tre vija horizontale janë ikona e identitetit)

Në pjesën e parë të mësimit, premtova se do të shprehja nënkuptimin përmes veprimeve bazë logjike dhe përmbushja e premtimit nuk vonoi! Ata që dëshirojnë mund t'i japin kuptim kuptimplotë nënkuptimit (p.sh. "Nëse bie shi, jashtë është me lagështi") dhe të analizojë në mënyrë të pavarur pohimin ekuivalent.

Le të formulojmë përkufizim i përgjithshëm: quhen dy formulat ekuivalente (identike), nëse marrin të njëjtat vlera për çdo grup vlerash të përfshira në këto formula të ndryshueshme (deklarata elementare). Ata gjithashtu thonë se "Formulat janë ekuivalente nëse tabelat e tyre të së vërtetës janë të njëjta", por nuk më pëlqen shumë kjo frazë.

Ushtrimi 1

Bëni një tabelë të së vërtetës për formulën dhe sigurohuni që identiteti që dini është i vërtetë.

Le të përsërisim procedurën për zgjidhjen e problemit:

1) Meqenëse formula përfshin dy variabla, do të ketë 4 grupe të mundshme zero dhe njësh në total. Ne i shkruajmë ato në rendin e specifikuar më sipër.

2) Implikimet janë "më të dobëta" se lidhëzat, por ato janë të vendosura në kllapa. Ne plotësojmë kolonën, ndërsa është e përshtatshme të përdorim arsyetimin e mëposhtëm të aplikuar: "Nëse zero vjen nga një, atëherë vendosim zero, në të gjitha rastet e tjera - një". Më pas, plotësoni kolonën për implikimin, dhe në të njëjtën kohë, Kujdes!– kolona dhe duhet analizuar “nga e djathta në të majtë”!

3) Dhe në fazën përfundimtare, plotësoni kolonën përfundimtare. Dhe këtu është e përshtatshme të argumentosh kështu: "Nëse ka dy në kolona, ​​atëherë vendosim një, në të gjitha rastet e tjera - zero".

Dhe së fundi, ne kontrollojmë tabelën e së vërtetës ekuivalencat .

Ekuivalencat themelore të algjebrës propozicionale

Sapo kemi takuar dy prej tyre, por çështja, natyrisht, nuk kufizohet vetëm me ta. Ka mjaft identitete dhe unë do të listoj më të rëndësishmit dhe më të famshmit prej tyre:

Komutativiteti i lidhëzës dhe komutativiteti i disjunksionit

komutativitetiështë një ndërrim:

Të njohura nga rregullat e klasës së parë: "Nga një rirregullim i faktorëve (kushteve), produkti (shuma) nuk ndryshon". Por me gjithë elementaritetin në dukje të kësaj prone, ajo nuk është gjithmonë e vërtetë, në veçanti, është jokomutative shumëzimi i matricës (në përgjithësi, ato nuk mund të riorganizohen), a prodhim i kryqëzuar i vektorëve– në mënyrë antikomutative (ndërrimi i vektorëve përfshin një ndryshim të shenjës).

Dhe përveç kësaj, këtu përsëri dua të theksoj formalizmin e logjikës matematikore. Kështu, për shembull, frazat "Studenti e kaloi provimin dhe piu" dhe "Studenti piu dhe kaloi provimin" të ndryshme nga pikëpamja përmbajtjesore, por të padallueshme nga pikëpamja e së vërtetës formale. ... Secili prej nesh njeh studentë të tillë dhe për arsye etike nuk do të përmendim emra të veçantë =)

Asociativiteti i shumëzimit dhe mbledhjes logjike

Ose, nëse "stili i shkollës" është një veti shoqëruese:

Vetitë e shpërndarjes

Ju lutemi vini re se në rastin e dytë do të jetë e pasaktë të flitet për "hapjen e kllapave", në një farë kuptimi, këtu është një "fiksion" - në fund të fundit, ato mund të hiqen fare: shumëzimi është një veprim më i fortë.

Dhe përsëri, këto veti në dukje "banale" janë larg të qenit të kënaqura në të gjitha sistemet algjebrike dhe, për më tepër, kërkojnë prova (për të cilën do të flasim shumë shpejt). Meqë ra fjala, ligji i dytë shpërndarës nuk vlen as në algjebrën tonë "të zakonshme". Dhe me të vërtetë:

Ligji i idempotencës

Çfarë duhet bërë latinisht....

Vetëm disa parime të një psikike të shëndetshme: "Unë dhe unë jam unë", "Unë ose unë jam gjithashtu unë" =)

Dhe këtu janë disa identitete të ngjashme:

... mirë, diçka madje e mbylla ... kështu që nesër mund të zgjoheni me një doktoraturë =)

Ligji i mohimit të dyfishtë

Epo, këtu shembulli me gjuhën ruse sugjeron tashmë veten - të gjithë e dinë shumë mirë që dy grimca "jo" do të thotë "po". Dhe për të rritur ngjyrosjen emocionale të mohimit, shpesh përdoren tre "jo":
- edhe me një provë të vogël funksionoi!

Ligjet e përthithjes

- Ishte djalë? =)

Në identitetin e duhur, kllapat mund të hiqen.

Ligjet e De Morganit

Supozoni një mësues të rreptë (emrin e te cilit e dini edhe ju :)) vendos një provim nëse - Nxënësi iu përgjigj pyetjes së parë dhe – Nxënësi iu përgjigj pyetjes së dytë. Pastaj deklarata ku thuhet se Studenti jo kaloi provimin, do të jetë e barabartë me deklaratën - Studenti jo iu përgjigj pyetjes së parë ose në pyetjen e 2-të.

Siç u përmend më lart, ekuivalencat i nënshtrohen provës, e cila kryhet në mënyrë standarde duke përdorur tabelat e së vërtetës. Në fakt, ne kemi vërtetuar tashmë ekuivalencat që shprehin nënkuptimin dhe ekuivalencën, dhe tani është koha për të rregulluar teknikën për zgjidhjen e këtij problemi.

Le të vërtetojmë identitetin. Meqenëse përfshin një deklaratë të vetme, atëherë vetëm dy opsione janë të mundshme "në hyrje": një ose zero. Tjetra, ne caktojmë një kolonë të vetme dhe aplikojmë për to rregull DHE:

Si rezultat, "në dalje" fitohet një formulë, e vërteta e së cilës përkon me vërtetësinë e pohimit. Ekuivalenca është vërtetuar.

Po, kjo provë është primitive (dhe dikush do të thotë se është "marrëzi"), por një mësues tipik i logjikës së matematikës do t'i shkundë shpirtin për të. Prandaj, edhe gjëra të tilla të thjeshta nuk duhen trajtuar me përbuzje.

Tani le të sigurohemi, për shembull, për vlefshmërinë e ligjit të de Morganit.

Së pari, le të krijojmë një tabelë të së vërtetës për anën e majtë. Meqenëse ndarja është në kllapa, ne para së gjithash e kryejmë atë, pas së cilës ne mohojmë kolonën:

Më pas, ne përpilojmë një tabelë të së vërtetës për anën e djathtë. Këtu, gjithashtu, gjithçka është transparente - para së gjithash, ne kryejmë më shumë negativë "të fortë", pastaj aplikojmë në kolonat rregull DHE:

Rezultatet përputheshin, kështu që identiteti vërtetohet.

Çdo ekuivalencë mund të përfaqësohet si formula identike e vërtetë. Do të thotë se PËR ÇDO grup fillestar zero dhe njësh"në dalje" fitohet rreptësisht unitet. Dhe ka një shpjegim shumë të thjeshtë për këtë: meqenëse tabelat e së vërtetës përkojnë, atëherë, sigurisht, ato janë ekuivalente. Le të kombinojmë, për shembull, pjesët e majta dhe të djathta të identitetit të sapo provuar të de Morgan sipas ekuivalencës:

Ose, më kompakt:

Detyra 2

Provoni ekuivalencat e mëposhtme:

b)

Zgjidhje e shkurtër në fund të mësimit. Le të mos jemi dembelë! Përpiquni jo vetëm të bëni tabela të së vërtetës, por edhe qartë formuloni përfundime. Siç e vura re së fundmi, neglizhimi i gjërave të thjeshta mund të jetë shumë, shumë i shtrenjtë!

Vazhdojmë të njihemi me ligjet e logjikës!

Po, absolutisht e drejtë - ne tashmë po punojmë me ta me fuqi dhe kryesore:

E vërtetë në , quhet formula identike e vërtetë ose ligji i logjikës.

Në bazë të kalimit të justifikuar më parë nga ekuivalenca në formulën identike të vërtetë, të gjitha identitetet e listuara më sipër janë ligjet e logjikës.

Formula që merr një vlerë Gënjeshtra në çdo grup vlerash të variablave të përfshirë në të, quhet formula identike e rreme ose kontradiktë.

Një shembull nënshkrimi i kontradiktës nga grekët e lashtë:
Asnjë deklaratë nuk mund të jetë e vërtetë dhe e rreme në të njëjtën kohë.

Prova është e parëndësishme:

"Outputi" mori ekskluzivisht zero, prandaj, formula është me të vërtetë identike false.

Sidoqoftë, çdo kontradiktë është gjithashtu një ligj i logjikës, në veçanti:

Është e pamundur të mbulohet një temë kaq e gjerë në një artikull të vetëm, dhe për këtë arsye unë do të kufizohem në vetëm disa ligje të tjera:

Ligji i mesit të përjashtuar

- në logjikën klasike, çdo deklaratë është e vërtetë ose e rreme, dhe nuk ka asnjë mënyrë të tretë. "Të jesh apo të mos jesh" - kjo është pyetja.

Bëni tabelën tuaj të së vërtetës dhe sigurohuni që të jetë identike e vërtetë formulë.

Ligji i kundërpozicionit

Ky ligj u ekzagjerua në mënyrë aktive kur diskutuam për thelbin kusht i nevojshëm, mbani mend: "Nëse është e lagësht jashtë gjatë shiut, atëherë rrjedh që nëse jashtë është e thatë, atëherë definitivisht nuk ka rënë shi".

Nga ky ligj del gjithashtu se nëse është e drejtë drejt teorema, pastaj deklarata, e cila nganjëherë quhet e kundërt teorema.

Nëse është e vërtetë e kundërta teorema, atëherë në bazë të ligjit të kundërthënës, teorema është gjithashtu e vlefshme, e kundërta e kundërt:

Dhe le të kthehemi te shembujt tanë kuptimplotë: për deklaratat - një numër pjesëtohet me 4, - një numër pjesëtohet me 2 i drejtë drejt dhe e kundërt teorema, por të rreme e kundërta dhe e kundërta e kundërt teorema. Për formulimin "të rritur" të teoremës së Pitagorës, të 4 "drejtimet" janë të vërteta.

Ligji i silogjizmit

Gjithashtu një klasik i zhanrit: "Të gjithë lisat janë pemë, të gjitha pemët janë bimë, prandaj të gjithë lisat janë bimë".

Epo, këtu përsëri do të doja të shënoja formalizmin e logjikës matematikore: nëse Mësuesi ynë i rreptë mendon se një nxënës i caktuar është një lis, atëherë nga pikëpamja formale, ky Student është sigurisht një bimë =) ... edhe pse, nëse ju mendoni për këtë, mund të jetë edhe nga një informal = )

Le të bëjmë një tabelë të së vërtetës për formulën. Në përputhje me përparësinë e operacioneve logjike, ne i përmbahemi algoritmit të mëposhtëm:

1) kryeni implikimet dhe . Në përgjithësi, ju mund të ekzekutoni menjëherë implikimin e tretë, por është më i përshtatshëm me të (dhe lejohet!) kuptoje pak më vonë

2) zbatohen për kolonat rregull DHE;

3) tani ne ekzekutojmë;

4) dhe në hapin e fundit aplikoni nënkuptimin në kolonat dhe .

Mos ngurroni ta kontrolloni procesin me gishtin tregues dhe të mesëm :))


Nga rubrika e fundit, mendoj se gjithçka është e qartë pa komente:
, që duhej vërtetuar.

Detyra 3

Zbuloni nëse formula e mëposhtme është një ligj i logjikës:

Zgjidhje e shkurtër në fund të mësimit. Po, dhe pothuajse harrova - le të biem dakord të rendisim grupet fillestare të zerove dhe njësheve në të njëjtin rend si në vërtetimin e ligjit të silogjizmit. Sigurisht, linjat mund të riorganizohen, por kjo do ta bëjë shumë të vështirë pajtimin me zgjidhjen time.

Konvertimi i formulave Boolean

Përveç qëllimit të tyre "logjik", ekuivalencat përdoren gjerësisht për të transformuar dhe thjeshtuar formulat. Përafërsisht, një pjesë e identitetit mund të këmbehet me një tjetër. Kështu, për shembull, nëse hasni në një fragment në një formulë logjike, atëherë, sipas ligjit të idempotencës, mund (dhe duhet) të shkruani thjesht në vend të tij. Nëse shihni , atëherë, sipas ligjit të përthithjes, thjeshtoni shënimin në . Dhe kështu me radhë.

Përveç kësaj, ka edhe një gjë e rëndësishme: identitetet vlejnë jo vetëm për propozimet elementare, por edhe për formulat arbitrare. Për shembull:

, ku ka ndonjë (aq komplekse sa të duash) formulat.

Le të transformojmë, për shembull, implikimin kompleks (Identiteti i parë):

Më tej, ne zbatojmë ligjin "kompleks" të Morganit në kllapa, ndërsa, për shkak të përparësisë së operacioneve, është ligji, ku :

Kllapat mund të hiqen, sepse brenda ka një lidhje më "të fortë":

Epo, me ndërrimin, në përgjithësi, gjithçka është e thjeshtë - as nuk keni nevojë të caktoni asgjë ... diçka e zhytur në shpirtin tim ligji i silogjizmit :))

Kështu, ligji mund të rishkruhet në një formë më të ndërlikuar:

Flisni me zë të lartë zinxhirin logjik “me një lis, një pemë, një bimë” dhe do të kuptoni se kuptimi përmbajtësor i ligjit nuk ka ndryshuar aspak nga rirregullimi i implikimeve. A është se formulimi është bërë më origjinal.

Si trajnim, ne thjeshtojmë formulën.

Ku të fillojë? Para së gjithash, për të kuptuar rendin e veprimeve: këtu mohimi zbatohet në një kllapë të tërë, e cila "fiksohet" me deklaratën nga një lidhëz "pak më i dobët". Në thelb kemi përpara produktin logjik të dy faktorëve: . Nga dy operacionet e mbetura, implikimi ka përparësinë më të ulët, dhe për këtë arsye e gjithë formula ka strukturën e mëposhtme: .

Si rregull, në hapin e parë (hapat) hiqni qafe ekuivalencën dhe nënkuptimin (nëse janë) dhe reduktoni formulën në tre operacione bazë logjike. Cfare mund te them…. Logjikisht.

(1) Ne përdorim identitetin . Dhe në rastin tonë.

Kjo zakonisht pasohet nga "çmontimi" me kllapa. Fillimisht e gjithë zgjidhja, pastaj komentet. Për të mos marrë "vaj gjalpi", do të përdor ikonat "e zakonshme" të barazisë:

(2) Ne zbatojmë ligjin e de Morganit në kllapat e jashtme, ku .

Veprimet e konsideruara në grupe u nënshtrohen ligjeve të caktuara, të cilat kujtojnë ligjet elementare të njohura të algjebrës së numrave. Kjo përcakton emrin vendos algjebër, e cila shpesh quhet algjebër e grupit Boolean, e cila lidhet me emrin e matematikanit anglez John Boole, i cili e bazoi kërkimin e tij logjik në idenë e një analogjie midis algjebrës dhe logjikës.

Për grupet arbitrare A, B dhe C, identitetet e mëposhtme janë të vërteta (Tabela 3.1):

Tabela 3.1

Ligjet e algjebrës së grupeve në lidhje me veprimet e kryqëzimit () dhe bashkimit () i nënshtrohen parimit të dualitetit: nëse në ndonjë ligj të gjitha shenjat e kryqëzimit zëvendësohen nga shenjat e bashkimit, dhe të gjitha shenjat e bashkimit janë shenja kryqëzimi. , shenja e universit (U) zëvendësohet me shenjën e një grupi bosh (Ø), dhe shenja e boshllëkut - shenja e universit, atëherë ne përsëri marrim identitetin e saktë. Për shembull (në bazë të këtij parimi), rrjedh nga, etj.

3.1. Kontrollimi i së vërtetës së identiteteve duke përdorur diagramet Euler-Venn

Të gjitha ligjet e algjebrës së grupeve mund të paraqiten dhe vërtetohen vizualisht duke përdorur diagramet Euler-Venn. Për këtë ju duhet:

Vizatoni diagramin përkatës dhe vendosni hije të gjitha grupet në anën e majtë të ekuacionit.

Vizatoni një diagram tjetër dhe bëni të njëjtën gjë për anën e djathtë të ekuacionit.

Ky identitet është i vërtetë nëse dhe vetëm nëse e njëjta zonë është e hijezuar në të dy diagramet.

Vërejtje 3.1. Dy rrathë të kryqëzuar e ndajnë të gjithë grupin universal në katër rajone (shih Fig. 3.1)

Vërejtje 3.2. Tre rrathë kryqëzues ndajnë të gjithë grupin universal në tetë rajone (shih Fig. 3.2):

Vërejtje 3.2. Kur shkruani kushtet e shembujve të ndryshëm, shpesh përdoret shënimi:

 - nga ... vijon ...;

 - nëse dhe vetëm nëse...

Detyra 3.1 . Thjeshtoni shprehjet e grupeve të algjebrës:

Zgjidhje.

Një detyrë 3 .2 . Vërtetoni identitetin:

(AB)\B = A\B;

A(BC) = A\(A\B)(A\C).

Zgjidhje.

Detyra 3.3 . Vërtetoni marrëdhëniet e mëposhtme në dy mënyra: duke përdorur diagrame dhe duke përdorur përkufizimin e barazisë së bashkësive.

Zgjidhje.

2. Vërtetimi me anë të përkufizimit të barazisë së bashkësive.

Sipas definicionit, bashkësitë X dhe Y janë të barabarta nëse relacionet e mëposhtme janë të kënaqura njëkohësisht: XY dhe YX.

Le ta tregojmë së pari këtë
. Le Xështë një element arbitrar i grupit
, kjo eshte X
. Do të thotë se XU dhe X
. Prandaj rrjedh se XA ose XB. Nese nje XAh, atëherë XĀ, që do të thotë
. Nëse XB, atëherë
, që do të thotë
. Kështu, çdo element i grupit.
. është gjithashtu një element i grupit
Kjo eshte

Tani vërtetojmë të kundërtën, pra atë
. Le
. Nese nje XĀ, atëherë XU dhe XA, që do të thotë XAB. Prandaj rrjedh se
. Nëse
, pastaj XU dhe XB. Do të thotë, XAB, pra
. Nga kjo rrjedh se çdo element i grupit
është gjithashtu një element i grupit
, kjo eshte
.

Do të thotë,
, që duhej vërtetuar.

A(BC) = (AB)(AC);

1. Vërtetim me një diagram:

Le XA(BC). Pastaj XA dhe XBC. Nese nje XB, atëherë XAB, që nuk bie ndesh me atë që është thënë, që do të thotë se X(AB)(AC). Nëse X C, atëherë XAC. Rrjedhimisht, X(AB)(AC). Pra, kemi vërtetuar se A(BC)  (AB)(AC.

Lëreni tani X (AB)(AC). Nese nje XAB, atëherë XA dhe XB. Prandaj rrjedh se XA dhe XВС, pra XA(BC). Nëse XAC, atëherë XA dhe X C. Prandaj rrjedh se XA dhe XВС, pra XA(BC). Kështu, (AB)(AC) A(BC). Prandaj, A(BC) = (AB)(AC). Q.E.D.

Me rastin e vërtetimit të mjaftueshmërisë, kemi marrë se АВ=. Është e qartë se С, pra relacioni vërtetohet. Në provë u shqyrtua rasti më i përgjithshëm. Megjithatë, ka ende disa opsione gjatë ndërtimit të diagrameve. Për shembull, rasti i barazisë AB \u003d C ose
, rasti i grupeve boshe, e kështu me radhë. Është e qartë se është e vështirë të merren parasysh të gjitha opsionet e mundshme. Prandaj, besohet se vërtetimi i marrëdhënieve duke përdorur diagrame nuk është gjithmonë i saktë.

2. Vërtetimi me anë të përkufizimit të barazisë së bashkësive.

Nevoja. Le të ABC dhe elementin XA. Le të tregojmë se në këtë rast një element i bashkësisë A do të jetë gjithashtu një element i grupit
.

Konsideroni dy raste: XNë ose
.

Nese nje XB, atëherë XABC, pra XC, dhe si rezultat,
.

Nëse
, pastaj dhe
. Nevoja është vërtetuar.

Lëreni tani
dhe XAB. Le të tregojmë se elementi X do të jetë gjithashtu një element i grupit C.

Nese nje XAB, atëherë XA dhe XB. Sepse
, do të thotë X C. Mjaftueshmëria është vërtetuar.

1. Vërtetim me diagram:

2. Vërtetimi me anë të përkufizimit të barazisë së bashkësive.

Le të AB. Merrni parasysh elementin XB (ose
). Në mënyrë të ngjashme: XA (ose XĀ). Kjo është, çdo element i grupit është gjithashtu një element i bashkësisë Ā. Dhe ky mund të jetë rasti nëse
. Q.E.D.

Detyra 3.4. Shprehni në mënyrë simbolike zonat e treguara dhe thjeshtoni shprehjet që rezultojnë.

Zgjidhje.

Zona e kontrolluar përbëhet nga dy pjesë të izoluara. Le t'i quajmë ato të sipërme dhe të poshtme. Kompleti që ata përshkruajnë mund të përshkruhet si më poshtë:

M = ( x xA dhe XNë dhe XC ose XC dhe XA dhe XB).

Nga përkufizimi i operacioneve në grupe, marrim:

M = ((AB)\C)(C\A\B).

Le ta shkruajmë këtë shprehje duke përdorur operacionet bazë - shtimi, bashkimi dhe kryqëzimi:

Është e pamundur të thjeshtohet kjo shprehje, pasi kemi një dukuri të secilit personazh. Kjo është forma më e thjeshtë e kësaj formule.

Kjo zonë mund të konsiderohet si bashkim i bashkësive A\B\C dhe ABC. Sipas përkufizimit, M = ( x xA dhe xNë dhe XC ose XA dhe XNë dhe XC). Le të thjeshtojmë:

Detyrat për zgjidhje të pavarur.

1. Thjeshtoni:

2. Provoni duke përdorur diagrame, ligjet e algjebrës së grupeve dhe përkufizimin e barazisë së bashkësive:

(AB)\B = A\B;

A(BC) = A\(A\B)(A\C);

AB \u003d AB  A \u003d B;

A \ B \u003d   AB \u003d A.

3. Zbuloni nëse ka një grup X që plotëson barazinë për çdo A:

AX \u003d A; (përgjigje );