Le të ndahet rrënja e ekuacionit f(x)=0 në segmentin , dhe derivatet e parë dhe të dytë të f'(x) dhe f""(x) janë të vazhdueshme dhe me shenjë konstante për хн.

Le të merret (zgjidhet) përafrimi tjetër me rrënjën x n në një hap të përsosjes së rrënjës . Atëherë supozojmë se përafrimi vijues i fituar me ndihmën e korrigjimit h n , rezulton në vlerën e saktë të rrënjës

x \u003d x n + h n. (1.2.3-6)

Duke numëruar h n vlerë të vogël, ne përfaqësojmë f(x n + h n) si një seri Taylor, duke e kufizuar veten në terma linearë

f(x n + h n) "f(x n) + h n f'(x n). (1.2.3-7)

Duke marrë parasysh që f(x) = f(х n + h n) = 0, marrim f(х n) + h n f '(х n) » 0.

Prandaj h n "- f (x n) / f'(x n). Zëvendësoni vlerën h n në (1.2.3-6) dhe në vend të vlerës së saktë të rrënjës x marrim një përafrim tjetër

Formula (1.2.3-8) ju lejon të merrni një sekuencë të përafrimeve x 1, x 2, x 3 ..., e cila, në kushte të caktuara, konvergon në vlerën e saktë të rrënjës x, kjo eshte

Interpretimi gjeometrik i metodës së Njutonitështë si më poshtë
(Fig.1.2.3-6). Ne marrim skajin e djathtë të segmentit b si përafrim fillestar x 0 dhe në pikën përkatëse B 0 në grafikun e funksionit y \u003d f (x) ndërtojmë një tangjente. Pika e prerjes së tangjentes me boshtin x merret si një përafrim i ri, më i saktë x 1 . Përsëritja e kësaj procedure shumë herë ju lejon të merrni një sekuencë të përafrimeve x 0, x 1, x 2 , . . ., e cila tenton në vlerën e saktë të rrënjës x.

Formula e llogaritjes së metodës së Njutonit (1.2.3-8) mund të merret nga një ndërtim gjeometrik. Pra, në një trekëndësh kënddrejtë x 0 B 0 x 1 këmbë
x 0 x 1 = x 0 V 0 / tga. Duke marrë parasysh se pika B 0 është në grafikun e funksionit f (x), dhe hipotenuza formohet nga një tangjente me grafikun f (x) në pikën B 0, marrim

(1.2.3-9)

(1.2.3-10)

Kjo formulë përkon me (1.2.3-8) për përafrimin e n-të.

Nga Fig.1.2.3-6 mund të shihet se zgjedhja e pikës a si përafrim fillestar mund të çojë në faktin se përafrimi tjetër x 1 do të jetë jashtë segmentit në të cilin ndahet rrënja. x. Në këtë rast, konvergjenca e procesit nuk është e garantuar. Në rastin e përgjithshëm, zgjedhja e përafrimit fillestar bëhet në përputhje me rregullin e mëposhtëm: për përafrimin fillestar, duhet marrë një pikë e tillë x 0 н, në të cilën f (x 0) × f '' (x 0) > 0, pra përputhen shenjat e funksionit dhe derivatit të dytë të tij.

Kushtet e konvergjencës për metodën e Njutonit janë formuluar në teoremën e mëposhtme.

Nëse rrënja e ekuacionit është e ndarë në segment, dhe f'(x 0) dhe f''(x) janë të ndryshme nga zero dhe ruajnë shenjat e tyre në xo, atëherë nëse zgjedhim një pikë të tillë si përafrim fillestar x 0 О , çfarë f(x 0).f¢¢(x 0)>0 , pastaj rrënja e ekuacionit f(x)=0 mund të llogaritet me çdo shkallë saktësie.

Vlerësimi i gabimit të metodës së Njutonit përcaktohet nga shprehja e mëposhtme:

(1.2.3-11)

ku është vlera më e vogël në

Vlera më e lartë në

Procesi i llogaritjes ndërpritet nëse ,

ku është saktësia e specifikuar.

Përveç kësaj, kushti për arritjen e një saktësie të caktuar gjatë rafinimit të rrënjës me metodën e Njutonit mund të jetë shprehjet e mëposhtme:

Skema e algoritmit të metodës Njuton është paraqitur në fig. 1.2.3-7.

Ana e majtë e ekuacionit origjinal f(x) dhe derivati ​​i tij f'(x) në algoritëm janë projektuar si module të veçanta softuerike.

Oriz. 1.2.3-7. Diagrami algoritmik i metodës së Njutonit

Shembulli 1.2.3-3 Përsosni rrënjët e ekuacionit x-ln(x+2) = 0 duke përdorur metodën e Njutonit, me kusht që rrënjët e këtij ekuacioni të ndahen në segmentet x 1 н[-1.9;-1.1] dhe x 2 n [-0,9;2].

Derivati ​​i parë f'(x) = 1 - 1 / (x + 2) ruan shenjën e tij në secilin prej segmenteve:

f'(x)<0 при хÎ [-1.9; -1.1],

f’(x)>0 në xО [-0,9; 2].

Derivati ​​i dytë f "(x) \u003d 1 / (x + 2) 2\u003e 0 për çdo x.

Kështu, kushtet e konvergjencës plotësohen. Meqenëse f "" (x)> 0 në të gjithë gamën e vlerave të lejueshme, atëherë për të rafinuar rrënjën për përafrimin fillestar x 1 zgjidhni x 0 \u003d -1,9 (pasi f (-1,9) × f ”(-1,9)> 0). Ne marrim një sekuencë të përafrimeve:

Duke vazhduar llogaritjet, marrim sekuencën e mëposhtme të katër përafrimeve të para: -1.9; –1,8552, -1,8421; -1,8414 . Vlera e funksionit f(x) në pikën x=-1,8414 është e barabartë me f(-1,8414)=-0,00003 .

Për të rafinuar rrënjën x 2 н[-0.9;2], zgjedhim si përafrime fillestare 0 =2 (f(2)×f”(2)>0). Bazuar në x 0 = 2, marrim një sekuencë të përafrimeve: 2.0; 1.1817; 1,1462; 1,1461. Vlera e funksionit f(x) në pikën x=1,1461 është e barabartë me f(1,1461)= -0,00006.

Metoda e Njutonit ka një shkallë të lartë konvergjence, por në çdo hap kërkon llogaritjen jo vetëm të vlerës së funksionit, por edhe të derivatit të tij.

metoda e akordit

Interpretimi gjeometrik i metodës së kordësështë si më poshtë
(Fig.1.2.3-8).

Le të vizatojmë një segment të drejtë përmes pikave A dhe B. Përafrimi tjetër x 1 është abshisa e pikës së prerjes së kordës me boshtin 0x. Le të ndërtojmë ekuacionin e një segmenti të drejtë:

Le të vendosim y=0 dhe të gjejmë vlerën x=x 1 (një përafrim tjetër):

Ne përsërisim procesin e llogaritjes për të marrë përafrimin tjetër me rrënjën - x 2 :

Në rastin tonë (Fig.1.2.11) dhe formula e llogaritjes së metodës së kordës do të duket si

Kjo formulë është e vlefshme kur pika b merret si një pikë fikse dhe pika a vepron si një përafrim fillestar.

Konsideroni një rast tjetër (Fig. 1.2.3-9), kur .

Ekuacioni i drejtëzës për këtë rast ka formën

Përafrimi tjetër x 1 në y = 0

Pastaj formula rekursive për metodën e kordave për këtë rast ka formën

Duhet theksuar se për pikën fikse në metodën e kordave, zgjidhni fundin e segmentit për të cilin plotësohet kushti f (x)∙f¢¢ (x)>0.

Kështu, nëse pika a merret si pikë fikse , atëherë x 0 = b vepron si një përafrim fillestar dhe anasjelltas.

Kushtet e mjaftueshme që sigurojnë llogaritjen e rrënjës së ekuacionit f(x)=0 duke përdorur formulën e kordave do të jenë të njëjta si për metodën tangjente (metoda e Njutonit), por në vend të përafrimit fillestar zgjidhet një pikë fikse. Metoda e akordit është një modifikim i metodës së Njutonit. Dallimi është se përafrimi tjetër në metodën e Njutonit është pika e kryqëzimit të tangjentes me boshtin 0X, dhe në metodën e kordave - pika e kryqëzimit të kordës me boshtin 0X - përafrimet konvergojnë në rrënjë nga anët e ndryshme.

Vlerësimi i gabimit të metodës së kordës përcaktohet nga shprehja

(1.2.3-15)

Kushti i përfundimit të procesit të përsëritjes me metodën e akordit

(1.2.3-16)

Nëse M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n -x n -1 |£e.

Shembulli 1.2.3-4. Specifikoni rrënjën e ekuacionit e x - 3x = 0, të ndarë në një segment me saktësi 10 -4 .

Le të kontrollojmë gjendjen e konvergjencës:

Prandaj, a=0 duhet të zgjidhet si një pikë fikse, dhe x 0 \u003d 1 duhet të merret si përafrim fillestar, pasi f (0) \u003d 1> 0 dhe f (0) * f "(0)> 0 .

Duke torturuar në shkollë për zgjidhjen e ekuacioneve në mësimet e matematikës, shumë studentë shpesh janë të sigurt se po humbasin kohën e tyre dhe ndërkohë, një aftësi e tillë do t'u vijë në ndihmë në jetë jo vetëm atyre që vendosin të ndjekin gjurmët e Dekartit, Eulerit apo Lobachevsky.

Në praktikë, për shembull, në mjekësi ose ekonomi, shpesh ka situata kur një specialist duhet të zbulojë kur përqendrimi i substancës aktive të një ilaçi të caktuar arrin nivelin e kërkuar në gjakun e pacientit, ose është e nevojshme të llogaritet koha. kërkohet që një biznes i caktuar të bëhet fitimprurës.

Më shpesh po flasim mbi zgjidhjen e ekuacioneve jolineare të llojeve të ndryshme. Për ta bërë këtë sa më shpejt të jetë e mundur, veçanërisht me përdorimin e kompjuterëve, metodat numerike lejojnë. Ato janë studiuar mirë dhe kanë provuar prej kohësh efektivitetin e tyre. Midis tyre është metoda tangjente e Njutonit, e cila është objekt i këtij artikulli.

Formulimi i problemit

Në këtë rast, ekziston një funksion g, i cili jepet në segmentin (a, b) dhe merr vlera të caktuara mbi të, d.m.th., është e mundur të lidhet një numër specifik g (x) me çdo x që i përket ( a, b).

Kërkohet të vendosen të gjitha rrënjët e ekuacionit nga intervali midis pikave a dhe b (përfshirë skajet), për të cilat funksioni është vendosur në zero. Natyrisht, këto do të jenë pikat e kryqëzimit të y = g(x) me OX.

Në disa raste, është më e përshtatshme të zëvendësohet g(x)=0 me një të ngjashme, g 1 (x) = g 2 (x). Në këtë rast, abshisat (vlera x) e pikave të kryqëzimit të grafikëve g 1 (x) dhe g 2 (x) veprojnë si rrënjë.

Zgjidhja e një ekuacioni jolinear është gjithashtu e rëndësishme për problemet e optimizimit, për të cilat kushti i ekstremit lokal është shndërrimi i derivatit të funksionit në 0. Me fjalë të tjera, një problem i tillë mund të reduktohet në gjetjen e rrënjëve të ekuacionit p(x) = 0, ku p(x) është identik me g"(x).

Metodat e zgjidhjes

Për disa lloje ekuacionesh jolineare, të tilla si ekuacionet katrore ose të thjeshta trigonometrike, rrënjët mund të gjenden në mënyra mjaft të thjeshta. Në veçanti, çdo student i njeh formulat, duke përdorur të cilat mund të gjesh lehtësisht vlerat e argumentit të pikave ku trinomi katror është zero.

Metodat për nxjerrjen e rrënjëve të ekuacioneve jolineare zakonisht ndahen në analitike (të drejtpërdrejta) dhe përsëritëse. Në rastin e parë, zgjidhja e dëshiruar ka formën e një formule, duke përdorur të cilën, për një numër të caktuar veprimesh aritmetike, mund të gjeni vlerën e rrënjëve të dëshiruara. Metoda të ngjashme janë zhvilluar për ekuacionet algjebrike eksponenciale, trigonometrike, logaritmike dhe elementare. Për pjesën tjetër, duhet të përdoren metoda të veçanta numerike. Ato janë të lehta për t'u zbatuar me ndihmën e kompjuterëve, të cilët ju lejojnë të gjeni rrënjët me saktësinë e kërkuar.

Midis tyre është e ashtuquajtura metoda numerike e tangjenteve.Kjo e fundit u propozua nga shkencëtari i madh Isak Njuton në fund të shekullit të 17-të. Në shekujt në vijim, metoda u përmirësua vazhdimisht.

Lokalizimi

Metodat numerike për zgjidhjen e ekuacioneve komplekse që nuk kanë zgjidhje analitike zakonisht kryhen në 2 faza. Së pari ju duhet t'i lokalizoni ato. Ky operacion konsiston në gjetjen e segmenteve të tilla në OX mbi të cilat ka një rrënjë të ekuacionit që zgjidhet.

Le të shqyrtojmë një segment. Nëse g(x) në të nuk ka ndërprerje dhe merr vlera të shenjave të ndryshme në pikat fundore, atëherë midis a dhe b ose në vetvete ka të paktën 1 rrënjë të ekuacionit g(x) = 0. Që ajo të të jetë unike, kërkohet që g(x) të jetë monotonike. Siç dihet, do të ketë një veti të tillë me kushtin që g’(x) të jetë me shenjë konstante.

Me fjalë të tjera, nëse g(x) nuk ka ndërprerje dhe në mënyrë monotonike rritet ose zvogëlohet, dhe vlerat e tij në pikat fundore nuk kanë shenja identike, atëherë ekziston 1 dhe vetëm 1 rrënjë g(x).

Në këtë rast, duhet të dini se ky kriter nuk do të funksionojë për rrënjët e ekuacioneve që janë të shumëfishta.

Zgjidhja e ekuacionit duke e pjesëtuar në gjysmë

Para se të shqyrtojmë tangjentet numerike më komplekse dhe varietetet e tyre), ia vlen të njiheni me në një mënyrë të thjeshtë identifikimi i rrënjëve. Quhet dikotomi dhe i referohet gjetjes intuitive të rrënjëve bazuar në teoremën se nëse për g (x), e vazhdueshme mbi, plotësohet kushti i shenjave të ndryshme, atëherë në segmentin në shqyrtim ka të paktën 1 rrënjë g ( x) = 0.

Për ta gjetur atë, duhet ta ndani segmentin në gjysmë dhe të caktoni pikën e mesit si x 2. Atëherë janë të mundshme dy opsione: g (x 0) * g (x 2) ose g (x 2) * g (x 1) janë të barabarta ose më të vogla se 0. Ne zgjedhim atë për të cilin njëra nga këto pabarazi është e vërtetë. Ne e përsërisim procedurën e përshkruar më sipër derisa gjatësia të bëhet më e vogël se një vlerë e caktuar, e parazgjedhur që përcakton saktësinë e përcaktimit të rrënjës së ekuacionit në .

Përparësitë e metodës përfshijnë besueshmërinë dhe thjeshtësinë e saj, dhe disavantazhi është nevoja për të identifikuar fillimisht pikat në të cilat g (x) merr shenja të ndryshme, kështu që nuk mund të përdoret për rrënjë me shumëfishim të barabartë. Përveç kësaj, ai nuk përgjithësohet në rastin e një sistemi ekuacionesh ose kur bëhet fjalë për rrënjë komplekse.

Shembulli 1

Le të duam të zgjidhim ekuacionin g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0. Për të mos kërkuar një segment të përshtatshëm për një kohë të gjatë, ndërtojmë një grafik duke përdorur, për shembull, programin e mirënjohur Excel. . Shohim që është më mirë të marrim vlera nga intervali si segment për lokalizimin e rrënjës. Mund të jemi të sigurt se të paktën një rrënjë e ekuacionit të dëshiruar ekziston në të.

g "(x) \u003d 10x 4 + 1, d.m.th. ky është një funksion në rritje monotonike, prandaj ka vetëm 1 rrënjë në segmentin e zgjedhur.

Zëvendësoni pikat fundore në ekuacion. Kemi respektivisht 0 dhe 1. Në hapin e parë marrim pikën 0.5 si zgjidhje. Pastaj g(0.5) = -0.4375. Pra, segmenti tjetër për ndarjen në gjysmë do të jetë. Pika e mesme e saj është 0.75. Në të, vlera e funksionit është 0.226. Marrim në konsideratë segmentin dhe mesin e tij, i cili ndodhet në pikën 0.625. Llogaritni vlerën e g(x) në 0,625. Është e barabartë me -0.11, pra negative. Bazuar në këtë rezultat, ne zgjedhim segmentin . Marrim x = 0,6875. Atëherë g(x) = -0,00532. Nëse saktësia e zgjidhjes është 0.01, atëherë mund të supozojmë se rezultati i dëshiruar është 0.6875.

Baza teorike

Kjo metodë e gjetjes së rrënjëve duke përdorur metodën tangjente të Njutonit është e njohur për shkak të konvergjencës së saj shumë të shpejtë.

Ai bazohet në faktin e vërtetuar se nëse x n është një përafrim me një rrënjë f(x)=0 i tillë që f" C 1 , atëherë përafrimi tjetër do të jetë në pikën ku zhduket ekuacioni i tangjentes me f(x) , d.m.th.

Zëvendësoni x = x n+1 dhe vendosni y në zero.

Atëherë tangjentja duket si kjo:

Shembulli 2

Le të përpiqemi të përdorim metodën klasike tangjente të Njutonit dhe të gjejmë një zgjidhje për disa ekuacione jolineare që është e vështirë ose e pamundur të gjendet në mënyrë analitike.

Le të kërkohet që të zbulohen rrënjët për x 3 + 4x - 3 = 0 me njëfarë saktësie, për shembull 0,001. Siç e dini, grafiku i çdo funksioni në formën e një polinomi me shkallë tek duhet të kalojë boshtin OX të paktën një herë, d.m.th., nuk ka asnjë arsye për të dyshuar në ekzistencën e rrënjëve.

Para se të zgjidhim shembullin tonë duke përdorur metodën tangjente, ne grafikojmë f (x) \u003d x 3 + 4x - 3 pikë për pikë. Kjo është shumë e lehtë për t'u bërë, për shembull, duke përdorur një spreadsheet Excel. Nga grafiku që rezulton, do të shihet se ai kryqëzohet me boshtin OX dhe funksioni y \u003d x 3 + 4x - 3 rritet në mënyrë monotonike. Mund të jemi të sigurt se ekuacioni x 3 + 4x - 3 = 0 ka një zgjidhje dhe është unik.

Algoritmi

Çdo zgjidhje e ekuacioneve me metodën tangjente fillon me llogaritjen e f "(x). Kemi:

Atëherë derivati ​​i dytë do të duket si x * 6.

Duke përdorur këto shprehje, ne mund të shkruajmë një formulë për identifikimin e rrënjëve të ekuacionit duke përdorur metodën tangjente në formën:

Më pas, kërkohet të zgjidhet një përafrim fillestar, d.m.th., të përcaktohet se cila pikë të konsiderohet si pikënisje (rev. x 0) për procesin përsëritës. Ne konsiderojmë skajet e segmentit. Ai për të cilin kushti i funksionit dhe derivati ​​i tij i dytë në x 0 është i vërtetë është i përshtatshëm për ne. Siç mund ta shihni, kur zëvendësohet x 0 = 0, është shkelur, por x 0 = 1 është mjaft i përshtatshëm.

atëherë nëse na intereson zgjidhja me metodën e tangjentave me saktësi e, atëherë vlera e x n mund të konsiderohet se plotëson kërkesat e problemës, me kusht që pabarazia |f(x n) / f’(x n)|< e.

Në hapin e parë të tangjentëve kemi:

• x 1 \u003d x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) \u003d 1- 0,2857 \u003d 0,71429;
• meqë kushti nuk plotësohet, shkojmë më tej;
• marrim një vlerë të re për x 2 , e cila është e barabartë me 0,674;
• vërejmë se raporti i vlerës së funksionit me derivatin e tij në x 2 është më i vogël se 0,0063, e ndalojmë procesin.

Metoda Tangent në Excel

Ju mund ta zgjidhni shembullin e mëparshëm shumë më lehtë dhe më shpejt nëse nuk i bëni llogaritjet me dorë (në një kalkulator), por përdorni aftësitë e një procesori spreadsheet nga Microsoft.

Për ta bërë këtë, në Excel, duhet të krijoni një faqe të re dhe të mbushni qelizat e saj me formulat e mëposhtme:

• në C7 shkruajmë "= POWER (B7; 3) + 4 * B7 - 3";
• në D7 futim "= 4 + 3 * SHKALLA (B7; 2)";
• në E7 shkruajmë "= (POWER (B7; 3) - 3 + 4 * B7) / (3 * POWER (B7; 2) + 4)";
• në D7 futim shprehjen "= B7 - E7";
• në B8 futim formulën-kushtin “= IF (E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

Në një detyrë specifike, tashmë në qelizën B10, do të shfaqet mbishkrimi "Përfundimi i përsëritjeve", dhe për të zgjidhur problemin do t'ju duhet të merrni numrin e shkruar në qelizën e vendosur një rresht më lart. Për të, ju gjithashtu mund të zgjidhni një kolonë të veçantë "të shtrirë" duke futur atje një formulë të kushtëzuar, sipas së cilës rezultati do të shkruhet atje nëse përmbajtja në një ose një qelizë tjetër të kolonës B merr formën "Përfundimi i përsëritjeve".

Zbatimi në Pascal

Le të përpiqemi të marrim zgjidhjen e ekuacionit jolinear y = x 4 - 4 - 2 * x duke përdorur metodën tangjente në Pascal.

Ne përdorim një funksion ndihmës që do të ndihmojë për të kryer një llogaritje të përafërt f "(x) \u003d (f (x + delta) - f (x)) / delta. Si kusht për përfundimin e procesit përsëritës, ne do të zgjedhim përmbushja e pabarazisë | x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

Programi është i jashtëzakonshëm në atë që nuk kërkon llogaritjen manuale të derivatit.

metoda e akordit

Konsideroni një mënyrë tjetër për të identifikuar rrënjët e ekuacioneve jolineare. Procesi i përsëritjes konsiston në faktin se si përafrime të njëpasnjëshme me rrënjën e dëshiruar për f(x)=0, merren vlerat e pikave të kryqëzimit të kordës me abshisat e pikave fundore a dhe b me OX. , e shënuar si x 1 , ..., x n . Ne kemi:

Për pikën ku korda kryqëzohet me boshtin OX, shprehja do të shkruhet si:

Le të jetë derivati ​​i dytë pozitiv për x £ (rasti i kundërt reduktohet në atë në shqyrtim nëse shkruajmë f(x) = 0). Në këtë rast, grafiku y \u003d f (x) është një kurbë konveks në pjesën e poshtme dhe e vendosur nën kordën AB. Mund të ketë 2 raste: kur funksioni është pozitiv në pikën a ose është negativ në pikën b.

Në rastin e parë zgjedhim fundin a si fiks dhe marrim pikën b për x 0. Pastaj përafrimet e njëpasnjëshme sipas formulës së paraqitur më sipër formojnë një sekuencë që zvogëlohet në mënyrë monotone.

Në rastin e dytë, fundi b është fiksuar në x 0 = a. Vlerat x të marra në çdo hap përsëritjeje formojnë një sekuencë që është në rritje monotonike.

Kështu, mund të themi se:

• fiks në metodën e kordave është ai fund i segmentit ku shenjat e funksionit dhe derivati ​​i dytë i tij nuk përputhen;
• përafrimet për rrënjën x - x m - shtrihen prej saj në anën ku f (x) ka një shenjë që nuk përkon me shenjën e f "" (x).

Përsëritjet mund të vazhdohen derisa të plotësohen kushtet për afërsinë e rrënjëve në këtë dhe në hapin e mëparshëm të përsëritjes modulo abs (x m - x m - 1)< e.

Metoda e modifikuar

Metoda e kombinuar e kordave dhe tangjenteve ju lejon të vendosni rrënjët e ekuacionit, duke iu afruar atyre nga anët e ndryshme. Një vlerë e tillë, në të cilën grafiku f(x) kryqëzon OX, ju lejon të përsosni zgjidhjen shumë më shpejt sesa të përdorni secilën nga metodat veç e veç.

Supozojmë se duhet të gjejmë rrënjët f(x)=0 nëse ato ekzistojnë në . Ju mund të përdorni ndonjë nga metodat e përshkruara më sipër. Megjithatë, është më mirë të provoni një kombinim të tyre, i cili do të rrisë ndjeshëm saktësinë e rrënjës.

Ne e konsiderojmë rastin me një përafrim fillestar që korrespondon me kushtin që derivati ​​i parë dhe i dytë të kenë shenja të ndryshme në një pikë të caktuar x.

Në kushte të tilla, zgjidhja e ekuacioneve jolineare me metodën tangjente ju lejon të gjeni një rrënjë me tepricë nëse x 0 =b, dhe metoda që përdor kordat në një skaj të caktuar b çon në gjetjen e një rrënjë të përafërt me një disavantazh.

Formulat e përdorura:

Tani rrënja e dëshiruar x duhet të kërkohet në interval. Në hapin tjetër, duhet të aplikoni metodën e kombinuar tashmë në këtë segment. Duke vazhduar kështu, marrim formulat e formës:

Nëse ka një ndryshim në shenjë midis derivatit të parë dhe të dytë, atëherë, duke argumentuar në mënyrë të ngjashme, për të rafinuar rrënjën, marrim formulat e mëposhtme rekursive:

Si kusht, pabarazia e vlerësuar | b n +1 - a n +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

Nëse pabarazia e mësipërme është e vërtetë, atëherë rrënja e ekuacionit jolinear në një interval të caktuar merret si një pikë që është saktësisht në mes midis zgjidhjeve të gjetura në një hap të caktuar përsëritës.

Metoda e kombinuar zbatohet lehtësisht në mjedisin TURBO PASCAL. Me një dëshirë të fortë, mund të përpiqeni të kryeni të gjitha llogaritjet duke përdorur metodën tabelare në programin Excel.

Në rastin e fundit, zgjidhen disa kolona për zgjidhjen e problemit duke përdorur akorde dhe veçmas për metodën e propozuar nga Isaac Newton.

Në këtë rast, çdo rresht përdoret për të regjistruar llogaritjet në një hap specifik përsëritës për dy metoda. Më pas, në pjesën e majtë të zonës së zgjidhjes, në faqen aktive të punës, theksohet një kolonë në të cilën futet rezultati i llogaritjes së modulit të diferencës në vlerat e hapit tjetër të përsëritjes për secilën nga metodat. Një tjetër mund të përdoret për të futur rezultatet e llogaritjeve sipas formulës së llogaritjes së konstruksionit logjik "IF", që përdoret për të zbuluar nëse kushti plotësohet apo jo.

Tani ju e dini se si të zgjidhni ekuacionet komplekse. Metoda tangjente, siç e keni parë tashmë, zbatohet mjaft thjesht, si në Pascal ashtu edhe në Excel. Prandaj, gjithmonë mund të vendosni rrënjët e një ekuacioni që është i vështirë ose i pamundur për t'u zgjidhur duke përdorur formula.

Të gjithë njerëzit kërkojnë natyrshëm diturinë. (Aristoteli. Metafizika)

Metodat numerike: Zgjidhja e ekuacioneve jolineare

Problemet e zgjidhjes së ekuacioneve lindin vazhdimisht në praktikë, për shembull, në ekonomi, kur zhvilloni një biznes, dëshironi të dini kur fitimi arrin një vlerë të caktuar, në mjekësi, kur studioni efektin e barnave, është e rëndësishme të dini kur përqendrimi e një lënde arrin një nivel të caktuar etj.

Në problemet e optimizimit, shpesh është e nevojshme të përcaktohen pikat në të cilat derivati ​​i një funksioni bëhet 0, gjë që është një kusht i domosdoshëm. lokal ekstreme.

Në statistika, kur ndërtohen vlerësime duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël ose metodën e gjasave maksimale, duhet gjithashtu të zgjidhen ekuacionet jolineare dhe sistemet e ekuacioneve.

Pra, ekziston një klasë e tërë problemesh që lidhen me gjetjen e zgjidhjeve jolineare ekuacione, p.sh., ekuacione ose ekuacione, etj.

Në rastin më të thjeshtë, ne kemi një funksion të përcaktuar në intervalin ( a, b ) dhe duke marrë vlera të caktuara.

Çdo vlerë x nga ky segment mund të përputhemi me numrin , ky është funksionale varësia, një koncept kyç i matematikës.

Ne duhet të gjejmë një vlerë të tillë në të cilën të tilla quhen rrënjët e funksionit

Vizualisht, ne duhet të përcaktojmë pikën e kryqëzimit të grafikut të funksionitme boshtin e abshisave.

Metoda e prerjes

Metoda më e thjeshtë për gjetjen e rrënjëve të një ekuacioni është metoda e përgjysmimit, ose dikotomia.

Kjo metodë është intuitive dhe të gjithë do të vepronin në mënyrë të ngjashme kur zgjidhin një problem.

Algoritmi është si më poshtë.

Supozoni se kemi gjetur dy pika dhe të tilla që dhe kemi të ndryshme shenja, atëherë midis këtyre pikave ka të paktën një rrënjë të funksionit .

Ndani segmentin në gjysmë dhe futeni e mesme pikë .

Pastaj ose , ose .

Le të lëmë atë gjysmën e segmentit për të cilin vlerat në skajet kanë shenja të ndryshme. Tani e ndajmë përsëri këtë segment përgjysmë dhe lëmë atë pjesë të tij, në kufijtë e së cilës funksioni ka shenja të ndryshme, e kështu me radhë, për të arritur saktësinë e kërkuar.

Natyrisht, ne gradualisht do të ngushtojmë zonën ku ndodhet rrënja e funksionit, dhe, për rrjedhojë, do ta përcaktojmë atë me një shkallë të caktuar saktësie.

Vini re se algoritmi i përshkruar është i zbatueshëm për çdo funksion të vazhdueshëm.

Përparësitë e metodës së dyfishimit përfshijnë besueshmërinë dhe thjeshtësinë e saj të lartë.

Disavantazhi i metodës është fakti se para fillimit të aplikimit të saj, është e nevojshme të gjenden dy pika, vlerat e funksionit në të cilat kanë shenja të ndryshme. Është e qartë se metoda nuk është e zbatueshme për rrënjët me shumëfishim të barabartë dhe gjithashtu nuk mund të përgjithësohet në rastin e rrënjëve komplekse dhe në sistemet e ekuacioneve.

Rendi i konvergjencës së metodës është linear, në çdo hap saktësia dyfishohet, sa më shumë përsëritje të bëhen, aq më saktë përcaktohet rrënja.

Metoda e Njutonit: bazat teorike

Metoda klasike e Njutonit ose tangjentet qëndron në faktin se nëse është një përafrim me rrënjën e ekuacionit , atëherë përafrimi i radhës përcaktohet si rrënja e tangjentes me funksionin e vizatuar në pikën .

Ekuacioni i tangjentes së një funksioni në një pikë ka formën:

Në ekuacionin tangjente, le të vendosim dhe .

Pastaj algoritmi i llogaritjeve sekuenciale në metodën e Njutonit është si më poshtë:

Konvergjenca e metodës tangjente është kuadratike, rendi i konvergjencës është 2.

Kështu, konvergjenca e metodës tangjente të Njutonit është shumë e shpejtë.

Mos harroni këtë fakt të mrekullueshëm!

Pa asnjë ndryshim, metoda përgjithësohet në rastin kompleks.

Nëse rrënja është një rrënjë e shumëfishimit të dytë ose më e lartë, atëherë rendi i konvergjencës bie dhe bëhet linear.

Ushtrimi 1. Duke përdorur metodën e tangjentave, gjeni zgjidhjen e ekuacionit në segmentin (0, 2).

Ushtrimi 2. Duke përdorur metodën e tangjenteve, gjeni zgjidhjen e ekuacionit në intervalin (1, 3).

Disavantazhet e metodës së Njutonit përfshijnë lokalitetin e saj, pasi është e garantuar të konvergojë për një përafrim fillestar arbitrar vetëm nëse kushti , përndryshe ka konvergjencë vetëm në ndonjë lagje të rrënjës.

Disavantazhi i metodës së Njutonit është nevoja për të llogaritur derivatet në çdo hap.

Vizualizimi i metodës së Njutonit

Metoda e Njutonit (metoda tangjente) zbatohet nëse ekuacioni f(x) = 0 ka një rrënjë dhe plotësohen kushtet e mëposhtme:

1) funksion y= f(x) është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm për ;

2) f(a)· f(b) < 0 (funksioni merr vlerat e shenjave të ndryshme në skajet e segmentit [ a; b]);

3) derivatet f"(x) dhe f""(x) mbani shenjën në segmentin [ a; b] (d.m.th. funksion f(x) ose rritet ose zvogëlohet në intervalin [ a; b], duke ruajtur drejtimin e konveksitetit);

Ideja kryesore e metodës është si më poshtë: në intervalin [ a; b] zgjidhet një numër i tillë x 0 , nën të cilat f(x 0 ) ka të njëjtën shenjë si f"" (x 0 ), dmth gjendja f(x 0 )· f"" (x) > 0 . Kështu, zgjidhet një pikë me një abshisë x 0 , ku tangjentja me lakoren y= f(x) në segmentin [ a; b] kalon boshtin kau. Për një pikë x 0 Së pari, është e përshtatshme të zgjidhni një nga skajet e segmentit.

Konsideroni metodën e Njutonit në një shembull specifik.

Le të na jepet një funksion në rritje y \u003d f (x) \u003d x 2 -2, e vazhdueshme në intervalin (0;2), dhe që ka f"(x) = 2 x > 0 dhe f "" (x) = 2 > 0 .

Foto1 . f(x)=x 2 -2

Ekuacioni tangjent në pamje e përgjithshme ka përfaqësimin:

y-y 0 = f" (x 0) (x-x 0).

Në rastin tonë: y-y 0 \u003d 2x 0 (x-x 0). Si pikë x 0 zgjidhni një pikë B 1 (b; f(b)) = (2,2). Vizatojmë një tangjente me funksionin y = f(x) në pikën B 1 , dhe shënoni pikën e prerjes së tangjentes dhe boshtit kau pika x 1. Marrim ekuacionin e tangjentës së parë: y-2=2 2(x-2), y=4x-6.

Ka: x 1 =

Foto2. Rezultati i përsëritjes së parë

y=f(x) kau përmes një pike x 1, marrim një pikë B 2 = (1,5; 0,25). Vizatoni përsëri një tangjente me funksionin y = f(x) në pikën B 2, dhe shënoni pikën e kryqëzimit të tangjentes dhe boshtit kau pika x2.

Ekuacioni i tangjentës së dytë: y-0.25=2*1.5(x-1.5), y = 3 x - 4.25.

Pika e kryqëzimit të tangjentes dhe boshtit Ka: x 2 =.

Foto3. Përsëritja e dytë e metodës së Njutonit

Pastaj gjejmë pikën e kryqëzimit të funksionit y=f(x) dhe një pingul me boshtin kau përmes pikës x 2, marrim pikën B 3 e kështu me radhë.

Foto4. Hapi i tretë i metodës tangjente

Përafrimi i parë i rrënjës përcaktohet nga formula:

= 1.5.

Përafrimi i dytë i rrënjës përcaktohet nga formula:

=

Përafrimi i tretë i rrënjës përcaktohet nga formula:

Në këtë mënyrë , i-Përafrimi i rrënjës përcaktohet nga formula:

Llogaritjet kryhen derisa të përputhen numrat dhjetorë që nevojiten në përgjigje, ose të arrihet saktësia e specifikuar e - derisa të plotësohet pabarazia | xi- xi-1 | < e.

Në rastin tonë, le të krahasojmë përafrimin e marrë në hapin e tretë me përgjigjen reale të llogaritur në kalkulator:

Figura 5. Rrënja e 2 e llogaritur në një kalkulator

Siç mund ta shihni, tashmë në hapin e tretë morëm një gabim më pak se 0.000002.

Kështu është e mundur të llogaritet vlera e vlerës "rrënja katrore e 2" me çdo shkallë saktësie. Kjo metodë e mrekullueshme u shpik nga Njutoni dhe ju lejon të gjeni rrënjët e ekuacioneve shumë komplekse.

Metoda e Njutonit: Aplikimi në C++

Në këtë artikull, ne automatizojmë procesin e llogaritjes së rrënjëve të ekuacioneve duke shkruar një aplikacion konsol në C++. Ne do ta zhvillojmë atë në Visual C++ 2010 Express, i cili është një mjedis zhvillimi falas dhe shumë i përshtatshëm për C++.

Le të fillojmë me Visual C++ 2010 Express. Do të shfaqet dritarja e fillimit të programit. Në këndin e majtë, klikoni "Krijo projekt".

Oriz. 1. Faqja e fillimit të Visual C++ 2010 Express

Në menynë që shfaqet, zgjidhni "Win32 Console Application", shkruani emrin e aplikacionit "Newton_Method".

Oriz. 2. Krijo një projekt

Le të shohim se si funksionon. Klikoni në trekëndëshin e gjelbër në këndin e sipërm të majtë të ekranit ose shtypni F5.

Nëse ndodh një gabim përpilimi "Gabim gabim LNK1123: dështimi për t'u konvertuar në COFF: skedari është i pavlefshëm ose i korruptuar", atëherë kjo trajtohet ose duke instaluar paketën e parë të shërbimit 1, ose në cilësimet e projektit Properties -> Linker, çaktivizoni lidhjen shtesë.

Oriz. 4. Zgjidhja e gabimit të përpilimit të projektit

Do të kërkojmë rrënjët e funksionit f(x) =x2-2.

Së pari, le të testojmë aplikacionin në të dhënat hyrëse "të gabuara". Nuk ka rrënjë në segment, programi ynë duhet të japë një mesazh gabimi.

Ne kemi një dritare aplikimi:

Oriz. 5. Futja e të dhënave hyrëse

Ne prezantojmë kufijtë e segmentit 3 dhe 5, dhe saktësia është 0.05. Programi, siç duhet, dha një mesazh gabimi se nuk ka rrënjë në këtë segment.

Oriz. 6. Gabim "Nuk ka rrënjë në këtë segment!"

Ne nuk do të largohemi ende, kështu që mesazhi "Dalje?" shkruani "0".

Tani le të testojmë aplikacionin në të dhënat e sakta hyrëse. Le të prezantojmë një segment dhe një saktësi prej 0.0001.

Oriz. 7. Llogaritja e rrënjës me saktësinë e kërkuar

Siç mund ta shohim, saktësia e kërkuar tashmë ishte arritur në përsëritjen e 4-të.

Për të dalë nga aplikacioni, futni "Dalje?" => 1.

Metoda sekante

Për të shmangur llogaritjen e derivatit, metoda e Njutonit mund të thjeshtohet duke zëvendësuar derivatin me një vlerë të përafërt të llogaritur nga dy pikat e mëparshme:

Procesi përsëritës duket si ky:

Ky është një proces përsëritës me dy hapa, pasi përdor dy të mëparshmet për të gjetur përafrimin tjetër.

Rendi i konvergjencës së metodës sekante është më i ulët se ai i metodës tangjente dhe është i barabartë në rastin e një rrënjë të vetme.

Kjo vlerë e mrekullueshme quhet raporti i artë:

Ne e verifikojmë këtë duke supozuar për lehtësi që .

Kështu, deri në infinitesimale të një rendi më të lartë

Duke hequr termin e mbetur, fitojmë një relacion përsëritjeje, zgjidhja e së cilës kërkohet natyrshëm në formën .

Pas zëvendësimit, kemi: dhe

Për konvergjencë është e nevojshme që ajo të jetë pozitive, prandaj .

Meqenëse njohja e derivatit nuk kërkohet, atëherë me të njëjtën sasi llogaritjesh në metodën sekante (pavarësisht rendit më të ulët të konvergjencës), mund të arrihet saktësi më e madhe sesa në metodën tangjente.

Vini re se afër rrënjës, duhet të ndahet me një numër të vogël, dhe kjo çon në një humbje të saktësisë (veçanërisht në rastin e rrënjëve të shumëfishta), prandaj, duke zgjedhur një relativisht të vogël, kryhen llogaritjet deri në ekzekutimin dhe vazhdojmë ato derisa të ulet moduli i diferencës ndërmjet përafrimeve fqinje.

Sapo fillon rritja, llogaritjet ndërpriten dhe përsëritja e fundit nuk përdoret.

Kjo procedurë për përcaktimin e fundit të përsëritjeve quhet teknikë Harvick.

Metoda e parabolës

Konsideroni një metodë me tre hapa në të cilën përafrimi përcaktohet nga tre pikat e mëparshme dhe .

Për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë, ngjashëm me metodën sekante, funksionin me një parabolë interpolimi që kalon nëpër pikat dhe .

Në formën e Njutonit, duket kështu:

Një pikë përcaktohet si ajo e rrënjëve të këtij polinomi, e cila është më afër pikës në modul.

Rendi i konvergjencës së metodës së parabolës është më i lartë se ai i metodës sekante, por më i ulët se ai i metodës së Njutonit.

Një ndryshim i rëndësishëm nga metodat e shqyrtuara më parë është fakti se edhe nëse është reale për reale dhe përafrimet fillestare zgjidhen reale, metoda e parabolës mund të çojë në një rrënjë komplekse të problemit origjinal.

Kjo metodë është shumë e dobishme për gjetjen e rrënjëve të polinomeve të shkallës së lartë.

Metoda e thjeshtë e përsëritjes

Problemi i gjetjes së zgjidhjeve të ekuacioneve mund të formulohet si problem i gjetjes së rrënjëve: , ose si problem i gjetjes së një pike fikse.

Le dhe - ngjeshja: (në veçanti, fakti që - kompresimi, siç shihet lehtë, do të thotë se).

Nga teorema e Banach-ut, ekziston një pikë fikse unike

Mund të gjendet si kufiri i një procedure të thjeshtë përsëritëse

ku përafrimi fillestar është një pikë arbitrare në intervalin .

Nëse funksioni është i diferencueshëm, atëherë një kriter i përshtatshëm kompresimi është numri . Në të vërtetë, nga teorema e Lagranzhit

Kështu, nëse derivati ​​është më i vogël se një, atëherë ai është një tkurrje.

gjendja është thelbësore, sepse nëse, për shembull, në , atëherë nuk ka pikë fikse, megjithëse derivati ​​është i barabartë me zero. Shkalla e konvergjencës varet nga vlera e . Sa më i vogël, aq më i shpejtë është konvergjenca.

Në problemin e minimizimit të një funksioni, një zgjedhje e mirë e përafrimit fillestar është e një rëndësie të madhe.Sigurisht që është e pamundur të arrihet një rregull i përgjithshëm që do të ishte i kënaqshëm për të gjitha rastet, pra për të gjithë funksionet e mundshme jolineare. Çdo herë ju duhet të kërkoni për zgjidhjen tuaj. Më poshtë propozojmë një grup metodash për gjetjen e përafrimeve fillestare të përafërta, të cilat në praktikë mund të shërbejnë si pikënisje për kërkimin e përafrimeve të kënaqshme në një problem të caktuar.

9.6.1. Kërkimi në rrjet. Kjo metodë është veçanërisht efektive për një numër të vogël parametrash të brendshëm jolinearë. Shpesh, funksionet janë rregulluar në atë mënyrë që kur fiksohen vlerat e disa parametrave (të cilët ne i quajmë në të vërtetë jo linearë), pjesa tjetër e parametrave bëhen lineare.

Duke pasur parasysh atëherë kufijtë e poshtëm dhe të sipërm për parametrat jolinearë, me një hap të caktuar, është e mundur të numërohen opsionet në rrjetin rezultues të vlerave të këtyre parametrave të duhur jolinearë dhe të identifikohet regresioni linear që çon në shuma minimale e katrorëve.

Si shembull, merrni parasysh funksionin

Këtu, parametri aktual jolinear do të jetë . Supozoni se e dimë këtë. Le të jetë h hapi për parametrin . Llogaritni regresionet lineare

ku dhe gjeni për secilën prej tyre shumën minimale të katrorëve. Më i vogli prej tyre korrespondon me përafrimin fillestar optimal. Në parim, hapi nga i cili varet "dendësia" e rrjetit mund të ndryshojë, në mënyrë që duke ulur vlerën e h, vlerat e parametrave të mund të gjenden me çdo saktësi.

9.6.2. Transformimi i modelit.

Ndonjëherë, me ndonjë transformim, modeli mund të reduktohet në një model linear, ose numri i parametrave thelbësisht jolinearë mund të reduktohet (shih seksionin 6.2.3). Ne tregojmë se si kjo mund të arrihet duke përdorur shembullin e një kurbë logjistike

Duke kryer një transformim të anasjelltë në ekuacionet përkatëse të regresionit, marrim

Duke treguar kemi ardhur në një funksion të ri, numri i parametrave linearë të të cilit është rritur nga një në dy. Një vlerësim për një parametër në modelin e ri mund të gjendet, për shembull, duke përdorur metodën e mëparshme.

Këtu është e përshtatshme të bëjmë vërejtjen e mëposhtme për transformimet e modeleve të regresionit. Duhet të kihet parasysh se gabimi , i cili hyri në mënyrë shtesë në ekuacionin origjinal, pas transformimit, në përgjithësi, nuk do të jetë më shtues.

Duke përdorur zgjerimin në një seri Taylor dhe duke treguar transformimin përmes ne marrim, duke neglizhuar kushtet e rendit

Prandaj rrjedh se

Barazia e fundit mund të merret si bazë për të analizuar problemin me modelin e transformuar.

9.6.3. Ndarja e kampionit në nënmostra.

Për të gjetur përafrimin fillestar, mund ta ndani të gjithë kampionin në nënmostra (me vëllime afërsisht të barabarta), ku është numri i parametrave të panjohur. Për çdo nënkampion gjejmë mesataret mbi y dhe mbi X, të cilat i shënojmë përkatësisht m. Zgjidhim sistemin e ekuacioneve jolineare për

Zgjidhja e këtij sistemi do të jetë përafrimi fillestar i parametrave. Natyrisht, që kjo metodë të "funksionojë", është e nevojshme që ky sistem ekuacionesh jolineare të zgjidhet mjaft lehtë, për shembull, në mënyrë analitike.

9.6.4. Zgjerimi i serisë Taylor në variabla të pavarur.

Baza e minimizimit iterativ të shumës së katrorëve është zgjerimi i funksionit të regresionit në një seri Taylor në terma linearë për sa i përket parametrave. Për të gjetur një përafrim fillestar të përafërt, ndonjëherë është e dobishme të përafrohet regresioni duke e zgjeruar atë në një seri Taylor në variabla të pavarur. Për thjeshtësi, do të supozojmë se është njëdimensionale. Le - vlera mesatare, pastaj përafërsisht

Shënoni , kështu arrijmë në një model linear

Le të jenë vlerësimet e katrorëve më të vegjël të parametrave të këtij regresioni linear. Si përafërsi fillestare, marrim zgjidhjen e një sistemi jolinear ekuacionesh në lidhje me

Metoda e Njutonit (tangjente) për gjetjen e rrënjëve

Kjo është një metodë përsëritëse e shpikur Isak Njuton(Isaak Newton) rreth vitit 1664. Megjithatë, ndonjëherë kjo metodë quhet metoda Njuton-Raphson (Raphson), pasi Raphson shpiku të njëjtin algoritëm disa vjet më vonë se Njutoni, por punimi i tij u botua shumë më herët.

Detyra është si më poshtë. Duke pasur parasysh ekuacionin:

Kërkohet të zgjidhet ky ekuacion, më saktë, të gjendet një nga rrënjët e tij (supozohet se rrënja ekziston). Supozohet se është i vazhdueshëm dhe i diferencueshëm në segment.

Algoritmi

Parametri hyrës i algoritmit, përveç funksionit, është gjithashtu përafrimi fillestar- disa , nga e cila fillon të shkojë algoritmi.

Llogaritni tashmë, llogarisni si më poshtë. Le të vizatojmë një tangjente me grafikun e funksionit në pikën , dhe të gjejmë pikën e prerjes së kësaj tangjente me boshtin x. vendoseni të barabartë me pikën e gjetur dhe përsërisni të gjithë procesin nga fillimi.

Është e lehtë për të marrë formulën e mëposhtme:

Është intuitivisht e qartë se nëse funksioni është mjaftueshëm "i mirë" (i qetë) dhe është mjaft afër rrënjës, atëherë do të jetë edhe më afër rrënjës së dëshiruar.

Shkalla e konvergjencës është kuadratike, që, duke folur relativisht, do të thotë se numri i biteve të sakta në vlerën e përafërt dyfishohet me çdo përsëritje.

Aplikim për llogaritjen e rrënjës katrore

Konsideroni metodën e Njutonit duke përdorur shembullin e llogaritjes së rrënjës katrore.

Nëse e zëvendësojmë , atëherë pas thjeshtimit të shprehjes marrim:

Versioni i parë tipik i problemit është kur jepet një numër thyesor dhe ju duhet të llogarisni rrënjën e tij me njëfarë saktësie:

Një version tjetër i zakonshëm i problemit është kur duhet të llogaritni rrënjën e numrit të plotë (për një të dhënë, gjeni më të madhin të tillë që ). Këtu duhet të ndryshojmë pak kushtin e ndalimit të algoritmit, pasi mund të ndodhë që ai të fillojë të "kërcejë" pranë përgjigjes. Prandaj, shtojmë një kusht që nëse vlera në hapin e mëparshëm është ulur, dhe në hapin aktual përpiqet të rritet, atëherë algoritmi duhet të ndalet.

Së fundi, ne japim një opsion të tretë - për rastin e aritmetikës së gjatë. Meqenëse numri mund të jetë mjaft i madh, ka kuptim t'i kushtohet vëmendje përafrimit fillestar. Natyrisht, sa më afër rrënjës, aq më shpejt do të arrihet rezultati. Do të jetë mjaft e thjeshtë dhe efektive të merret si përafrim fillestar numri , ku është numri i biteve në numër . Këtu është kodi Java që demonstron këtë opsion:

BigIntegern; // fut te dhenat BigInteger a = BigInteger.ONE .shiftLeft (n.bitLength () / 2); boolean p_dec = false; për (;;) (Numri i madh i plotë b = n.ndaj (a) .shto (a) .shiftDjathtas (1) ; nëse (a.krahasoMe (b) == 0 || a.krahasoMe (b)< 0 && p_dec) break ; p_dec = a.compareTo (b) >0; a = b; )

Për shembull, ky variant i kodit funksionon për një numër në milisekonda, dhe nëse hiqni zgjedhjen e përmirësuar të përafrimit fillestar (thjesht filloni me ), atëherë ai do të ekzekutohet për rreth milisekonda.