1. Ekuacioni parametrik i një drejtëze

Le të jepet një pikë M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) në një vijë të drejtë dhe një vektor s = (l ,m ,n ) i shtrirë në

këtë vijë (ose paralele me të). Quhet edhe vektori s vektor udhëzues drejt.

Këto kushte përcaktojnë në mënyrë unike një vijë të drejtë në hapësirë. Le ta gjejmë atë

ekuacionin. Merrni një pikë arbitrare M (x, y, z) në vijë. Është e qartë se vektorët

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) dhe s janë kolineare.

Prandaj, M 0 M = t s − është një ekuacion vektorial i një drejtëze.

Në shënimin koordinativ, ekuacioni i fundit ka paraqitjen parametrike të mëposhtme

dy kënde të formuara nga dy drejtëza, përkatësisht, paralele me atë të dhënë dhe që kalojnë nëpër një pikë (që mund të kërkojë përkthim paralel të njërës prej drejtëzave).

Nga përkufizimi del se një nga këndet është i barabartë me këndin ϕ ndërmjet

Vijat janë pingul me s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Këndi ndërmjet vijës dhe rrafshit. Kushtet « » dhe « » direkte dhe

aeroplan

Le të jepet drejtëza L me ekuacionin e saj kanonik x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

dhe rrafshi P nga ekuacioni

Ax + By + Cz + D = 0.

Përkufizimi. Këndi ndërmjet drejtëzës L

dhe rrafshi p quhet kënd i mprehtë ndërmjet vijës L dhe projeksionit të saj në rrafsh.

Nga përkufizimi (dhe figura) rrjedh se këndi i kërkuar ϕ është shtesë (deri në kënd i drejtë) në këndin ndërmjet vektorit normal n (A , B ,C ) dhe

vektori i drejtimit s (l ,m ,n ) .

(. merret për të marrë një kënd akut).

Nëse L Р, atëherë s n (s, n) = 0

Tani, nëse e zëvendësojmë "t"-në e gjetur në ekuacionet parametrike të drejtëzës, atëherë do të gjejmë pikën e dëshiruar të kryqëzimit

Një nga veprimet kryesore të analizës matematikore është operacioni i kalimit në kufi, i cili ndodh në kurs në forma të ndryshme. Fillojmë me formën më të thjeshtë të veprimit të kalimit në kufi, bazuar në konceptin e kufirit të të ashtuquajturës sekuencë numrash. Kjo do të lehtësojë futjen e një forme tjetër shumë të rëndësishme të kalimit në operacionin limit, kufirit të një funksioni. Në vijim, ndërtimet e kalimeve deri në kufi do të përdoren në ndërtimin e llogaritjes diferenciale dhe integrale.



 Sekuenca pafundësisht të vogla dhe pafundësisht të mëdha

 Marrëdhënia midis sekuencave pafundësisht të mëdha dhe pafundësisht të vogla.

 Vetitë më të thjeshta të sekuencave infiniteminale

 Kufiri i sekuencës.

 Vetitë e sekuencave konvergjente

 Veprimet aritmetike në sekuenca konvergjente

 Sekuenca monotonike

 Kriteri i konvergjencës Cauchy

 Numri e dhe ilustrimi i tij ekonomik.

 Zbatimi i limiteve në llogaritjet ekonomike

§ 1. Sekuenca numerike dhe veti të thjeshta

1. Koncepti i një sekuence numerike. Veprimet aritmetike në sekuenca

Sekuencat e numrave janë grupe të pafundme numrash. Sekuencat e shembujve njihen nga shkolla:

1) sekuenca e të gjithë anëtarëve të një progresion të pafund aritmetik dhe gjeometrik;

2) sekuenca e perimetrave të rregullt n-gons të brendashkruara në një rreth të caktuar;

do të quhet sekuencë numrash (ose thjesht një sekuencë).

Numrat e veçuar x 3 , x 5 , x n do të quhen elementë ose anëtarë të sekuencës (1). Simboli x n quhet anëtari i përbashkët ose i n-të i kësaj sekuence. Duke dhënë vlerën n = 1, 2, … në termin e përbashkët x n marrim, përkatësisht, x 1 , të dytën x 2 e kështu me radhë. anëtarët.

Një sekuencë konsiderohet e dhënë (shih përkufizimin) nëse specifikohet një metodë për marrjen e ndonjë prej elementeve të saj. Shpesh një sekuencë jepet nga një formulë për termin e përbashkët të sekuencës.

Për të shkurtuar shënimin, sekuenca (1) ndonjëherë shkruhet si

Struktura e termit të përbashkët (formula e tij) mund të jetë komplekse. Për shembull,

Ndonjëherë sekuenca jepet nga të ashtuquajturat formulat e përsëritura, d.m.th. formula që ju lejojnë të gjeni anëtarët pasues të sekuencës nga ato të mëparshme të njohura.

Shembull (numrat Fibonacci). Le të jetë x 1 = x 2 = 1 dhe është dhënë formula e përsëritur x n = x n − 1 + x n − 2 për n = 3, 4, …. Pastaj kemi sekuencën 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (numrat e Leonardos nga Piza, me nofkën Fibonacci). Gjeometrikisht, një sekuencë numerike mund të përshkruhet në një numerike

boshti në formën e një sekuence pikash, koordinatat e të cilave janë të barabarta me ato përkatëse

anëtarët përkatës të sekuencës. Për shembull, (xn) = 1 n.

Leksioni № 8-9 Bazat e analizës matematikore prof. Dymkov M.P. 66

Konsideroni së bashku me sekuencën ( x n ) një sekuencë tjetër ( y n ) : y 1 , y 2 , y , n (2).

Përkufizimi. Shuma (diferenca, prodhimi, herësi) e sekuencës

vlerat (xn) dhe (yn) quhet një sekuencë (zn) anëtarët e së cilës janë

Prodhimi i një sekuence (xn) dhe një numri c R është një sekuencë (c xn).

Përkufizimi. Sekuenca ( xn ) quhet e kufizuar

nga lart (nga poshtë), nëse ka një numër real M (m) i tillë që çdo element i kësaj sekuence xn plotëson jobarazimin

xn ≤ M (xn ≥ m) . Një sekuencë quhet e kufizuar nëse është e kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë m ≤ xn ≤ M . Sekuenca xn quhet

është i pakufizuar nëse për një numër pozitiv A (arbitrarisht i madh) ka të paktën një element i sekuencës xn , kënaq

që jep pabarazinë xn > A.

(x n) = (1n) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − është i kufizuar nga poshtë me 1, por është i pakufizuar.

( x n ) = ( − n ) − i kufizuar nga lart (–1), por edhe i pakufizuar.

Përkufizimi. Sekuenca ( x n ) quhet pafundësisht i vogël,

nëse për çdo numër real pozitiv ε (pa marrë parasysh sa i vogël është marrë) ka një numër N , në varësi, në përgjithësi, nga ε , (N = N (ε )) i tillë që për të gjithë n ≥ N pabarazia x n< ε .

Shembull. (x n) = 1 n.

Përkufizimi. Sekuenca ( xn ) quhet dhimbje pa fund -

shy nëse për një numër real pozitiv A (pavarësisht se sa i madh është) ka një numër N (N = N(A)) i tillë që për të gjithë n ≥ N

fitohet pabarazia xn > A.

Sigurohuni që ta lexoni këtë paragraf! Ekuacionet parametrike Sigurisht, jo alfa dhe omega e gjeometrisë hapësinore, por milingona punëtore e shumë detyrave. Për më tepër, ky lloj ekuacionesh shpesh aplikohet në mënyrë të papritur, dhe unë do të thosha, në mënyrë elegante.

Nëse pika që i përket drejtëzës dhe vektori i drejtimit të kësaj drejtëze janë të njohura, atëherë ekuacionet parametrike të kësaj drejtëze jepen nga sistemi:

Unë fola për vetë konceptin e ekuacioneve parametrike në mësime Ekuacioni i një vije të drejtë në një plan dhe Derivat i një funksioni të përcaktuar parametrikisht.

Gjithçka është më e thjeshtë se një rrepë e zier me avull, kështu që ju duhet ta shijoni detyrën:

Shembulli 7

Zgjidhje: Vijat jepen me ekuacione kanonike dhe në fazën e parë duhet gjetur një pikë që i përket drejtëzës dhe vektorit të drejtimit të saj.

a) Hiqni vektorin e pikës dhe të drejtimit nga ekuacionet: . Ju mund të zgjidhni një pikë tjetër (si ta bëni këtë përshkruhet më lart), por është më mirë të merrni atë më të dukshmen. Nga rruga, për të shmangur gabimet, gjithmonë zëvendësoni koordinatat e saj në ekuacione.

Le të hartojmë ekuacionet parametrike të kësaj drejtëze:

Komoditeti i ekuacioneve parametrike është se me ndihmën e tyre është shumë e lehtë të gjesh pika të tjera të vijës. Për shembull, le të gjejmë një pikë, koordinatat e së cilës, le të themi, korrespondojnë me vlerën e parametrit:

Në këtë mënyrë:

b) Merrni parasysh ekuacionet kanonike. Zgjedhja e një pike këtu është e thjeshtë, por tinëzare: (kujdes mos ngatërroni koordinatat!!!). Si të nxjerrim një vektor udhëzues? Ju mund të argumentoni se me çfarë është paralele kjo vijë e drejtë, ose mund të përdorni një truk të thjeshtë formal: proporcioni është "y" dhe "z", kështu që shkruajmë vektorin e drejtimit dhe vendosim zero në hapësirën e mbetur: .

Ne hartojmë ekuacionet parametrike të drejtëzës:

c) Le t'i rishkruajmë ekuacionet në formën , domethënë "Z" mund të jetë çdo gjë. Dhe nëse ka, atëherë le, për shembull, . Pra, pika i përket kësaj linje. Për të gjetur vektorin e drejtimit, përdorim teknikën e mëposhtme formale: në ekuacionet fillestare janë "x" dhe "y", dhe në vektorin e drejtimit në këto vende shkruajmë zero: . Në vendin e mbetur vendosim njësi: . Në vend të një, çdo numër, përveç zeros, do të bëjë.

Shkruajmë ekuacionet parametrike të drejtëzës:

Për trajnim:

Shembulli 8

Shkruani ekuacionet parametrike për rreshtat e mëposhtëm:

Zgjidhjet dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit. Përgjigjet tuaja mund të ndryshojnë pak nga përgjigjet e mia, fakti është se ekuacionet parametrike mund të shkruhen në më shumë se një mënyrë. Është e rëndësishme që vektorët e drejtimit tuaj dhe tim të jenë kolinear dhe që pika juaj të "përshtatet" me ekuacionet e mia (mirë, ose anasjelltas, pika ime me ekuacionet tuaja).

Si tjetër mund të përcaktoni një vijë të drejtë në hapësirë? Do të doja të gjeja diçka me vektorin normal. Sidoqoftë, numri nuk do të funksionojë, për një vijë hapësinore, vektorët normalë mund të shikojnë në drejtime krejtësisht të ndryshme.

Një metodë tjetër tashmë është përmendur në mësim Ekuacioni i planit dhe në fillim të këtij artikulli.

KËNDI MIDIS PLANEVE

Le të shqyrtojmë dy plane α 1 dhe α 2 të dhëna përkatësisht nga ekuacionet:

Nën këndi ndërmjet dy rrafsheve nënkuptojmë një nga këndet dihedrale të formuar nga këto rrafshe. Është e qartë se këndi midis vektorëve normalë dhe rrafsheve α 1 dhe α 2 është i barabartë me një nga këndet diedrale ngjitur të treguara ose . Kjo është arsyeja pse . Sepse dhe , pastaj

.

Shembull. Përcaktoni këndin midis planeve x+2y-3z+4=0 dhe 2 x+3y+z+8=0.

Gjendja e paralelizmit të dy rrafsheve.

Dy rrafshe α 1 dhe α 2 janë paralele nëse dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë janë paralelë, dhe kështu .

Pra, dy plane janë paralel me njëri-tjetrin nëse dhe vetëm nëse koeficientët në koordinatat përkatëse janë proporcionale:

ose

Gjendja e pingulitetit të planeve.

Është e qartë se dy plane janë pingul nëse dhe vetëm nëse vektorët e tyre normalë janë pingul, dhe për këtë arsye, ose .

Në këtë mënyrë, .

Shembuj.

DIREKT NË HAPËSIRË.

EKUACIONI VEKTORI DIREKT.

EKUACIONET PARAMETRIKE DIREKTE

Pozicioni i një vije të drejtë në hapësirë ​​përcaktohet plotësisht duke specifikuar ndonjë nga pikat e saj fikse M 1 dhe një vektor paralel me këtë vijë.

Një vektor paralel me një vijë të drejtë quhet udhëzues vektori i kësaj linje.

Pra, le të drejtë l kalon nëpër një pikë M 1 (x 1 , y 1 , z 1) shtrirë në një vijë të drejtë paralele me vektorin .

Konsideroni një pikë arbitrare M(x,y,z) në një vijë të drejtë. Nga figura shihet se .

Vektorët dhe janë kolinear, kështu që ekziston një numër i tillë t, çfarë , ku është shumëzuesi t mund të marrë çdo vlerë numerike në varësi të pozicionit të pikës M në një vijë të drejtë. Faktori t quhet parametër. Duke treguar vektorët e rrezes së pikave M 1 dhe M përkatësisht, përmes dhe , marrim . Ky ekuacion quhet vektoriale ekuacioni drejtvizor. Ai tregon se çdo vlerë parametër t korrespondon me vektorin e rrezes së një pike M shtrirë në një vijë të drejtë.

Këtë ekuacion e shkruajmë në formë koordinative. Vini re se, dhe nga këtu

Ekuacionet që rezultojnë quhen parametrike ekuacionet drejtvizore.

Kur ndryshoni parametrin t koordinatat ndryshojnë x, y dhe z dhe pika M lëviz në vijë të drejtë.

EKUACIONET KANONIKE DIREKTE

Le M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - një pikë e shtrirë në një vijë të drejtë l, dhe është vektori i drejtimit të tij. Përsëri, merrni një pikë arbitrare në një vijë të drejtë M(x,y,z) dhe merrni parasysh vektorin.

Është e qartë se vektorët dhe janë kolinearë, kështu që koordinatat e tyre përkatëse duhet të jenë proporcionale, prandaj

– kanonike ekuacionet drejtvizore.

Vërejtje 1. Vini re se ekuacionet kanonike të linjës mund të merren nga ekuacionet parametrike duke eliminuar parametrin t. Në të vërtetë, nga ekuacionet parametrike marrim ose .

Shembull. Shkruani ekuacionin e një drejtëze në mënyrë parametrike.

Shënoni , prandaj x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Vërejtje 2. Lëreni vijën të jetë pingul me një nga boshtet e koordinatave, për shembull, boshti kau. Atëherë vektori i drejtimit të drejtëzës është pingul kau Rrjedhimisht, m=0. Për rrjedhojë, ekuacionet parametrike të drejtëzës marrin formën

Eliminimi i parametrit nga ekuacionet t, marrim ekuacionet e drejtëzës në formë

Megjithatë, edhe në këtë rast, ne jemi dakord që të shkruajmë zyrtarisht ekuacionet kanonike të drejtëzës në formë . Kështu, nëse emëruesi i njërës prej thyesave është zero, atëherë kjo do të thotë se vija është pingul me boshtin koordinativ përkatës.

Në mënyrë të ngjashme, ekuacionet kanonike korrespondon me një vijë të drejtë pingul me boshtet kau dhe Oy ose boshti paralel Oz.

Shembuj.

EKUACIONET E PËRGJITHSHME NJË VIJË E DIREKT SI VINJË PËRGJIMI I DY RROFONEVE

Nëpër çdo vijë të drejtë në hapësirë ​​kalon një numër i pafund i planeve. Çdo dy prej tyre, duke u kryqëzuar, e përcaktojnë atë në hapësirë. Prandaj, ekuacionet e çdo dy rrafshe të tillë, të konsideruara së bashku, janë ekuacionet e kësaj linje.

Në përgjithësi, çdo dy plane jo paralele të dhëna nga ekuacionet e përgjithshme

përcaktoni vijën e tyre të kryqëzimit. Këto ekuacione quhen ekuacionet e përgjithshme drejt.

Shembuj.

Ndërtoni një drejtëz të dhënë nga ekuacionet

Për të ndërtuar një vijë, mjafton të gjesh çdo dy nga pikat e saj. Mënyra më e lehtë është të zgjidhni pikat e kryqëzimit të drejtëzës me planet koordinative. Për shembull, pika e kryqëzimit me rrafshin xOy marrim nga ekuacionet e një drejtëze, duke supozuar z= 0:

Duke zgjidhur këtë sistem, gjejmë pikën M 1 (1;2;0).

Në mënyrë të ngjashme, duke supozuar y= 0, marrim pikën e kryqëzimit të drejtëzës me rrafshin xOz:

Nga ekuacionet e përgjithshme të një vije të drejtë, mund të kalohet në ekuacionet e saj kanonike ose parametrike. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni një pikë M 1 në vijë dhe vektori i drejtimit të vijës.

Koordinatat e pikave M 1 marrim nga ky sistem ekuacionesh, duke i dhënë njërës prej koordinatave një vlerë arbitrare. Për të gjetur vektorin e drejtimit, vini re se ky vektor duhet të jetë pingul me të dy vektorët normalë dhe . Prandaj, për vektorin e drejtimit të drejtëzës l ju mund të merrni produkt vektorial vektorë normalë:

.

Shembull. Plumbi ekuacionet e përgjithshme drejt në formën kanonike.

Gjeni një pikë në një vijë të drejtë. Për ta bërë këtë, ne zgjedhim në mënyrë arbitrare një nga koordinatat, për shembull, y= 0 dhe zgjidhni sistemin e ekuacioneve:

Vektorët normalë të rrafsheve që përcaktojnë drejtëzën kanë koordinata Prandaj, vektori i drejtimit do të jetë i drejtë

. Rrjedhimisht, l: .

KËNDI MIDIS TË DREJTAVE

qoshe ndërmjet vijave në hapësirë ​​do të quajmë ndonjë prej qoshet ngjitur, i formuar nga dy vija të drejta të tërhequra përmes një pike arbitrare paralele me të dhënat.

Le të jepen dy vija të drejta në hapësirë:

Natyrisht, këndi φ ndërmjet vijave mund të merret si kënd midis vektorëve të drejtimit të tyre dhe . Meqenëse , atëherë sipas formulës për kosinusin e këndit ndërmjet vektorëve marrim

Vija e drejtë së bashku me pikën janë elementë të rëndësishëm të gjeometrisë, me ndihmën e të cilave ndërtohen shumë figura në hapësirë ​​dhe në rrafsh. Ky artikull diskuton në detaje parametrat dhe marrëdhëniet e tij me llojet e tjera të ekuacioneve për këtë element gjeometrik.

Vija e drejtë dhe ekuacionet për ta përshkruar atë

Një vijë e drejtë në gjeometri është një koleksion pikash që lidhin dy pika arbitrare në hapësirë ​​nga një segment me gjatësinë më të vogël. Ky segment është pjesë e një vije të drejtë. Çdo kthesë tjetër që lidh dy pika fikse në hapësirë ​​do të ketë një gjatësi të madhe, pra nuk janë vija të drejta.

Fotografia e mësipërme tregon dy pika të zeza. Vija blu që i lidh është e drejtë dhe vija e kuqe është e lakuar. Natyrisht, vija e kuqe midis pikave të zeza është më e gjatë se ajo blu.

Ekzistojnë disa lloje të ekuacioneve të vijës së drejtë që mund të përdoren për të përshkruar një vijë të drejtë në hapësirën tredimensionale ose në hapësirën dydimensionale. Më poshtë janë emrat e këtyre ekuacioneve:

• vektor;
• parametrike;
• në segmente;
• simetrike ose kanonike;
• lloji i përgjithshëm.

Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë ekuacionin parametrik të një vije të drejtë, por do ta nxjerrim atë nga ajo vektoriale. Do të tregojmë gjithashtu marrëdhënien midis ekuacioneve parametrike dhe simetrike ose kanonike.

ekuacioni vektorial

Është e qartë se të gjitha llojet e mësipërme të ekuacioneve për elementin gjeometrik të konsideruar janë të ndërlidhura. Sidoqoftë, ekuacioni vektorial është themelor për të gjithë, pasi rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i një vije të drejtë. Le të shqyrtojmë se si futet në gjeometri.

Supozoni se na është dhënë një pikë në hapësirën P(x 0 ; y 0 ; z 0). Dihet se kjo pikë i përket vijës. Sa vija mund të tërhiqen nëpër të? Set i pafund. Prandaj, për të qenë në gjendje të vizatoni një vijë të vetme të drejtë, është e nevojshme të vendosni drejtimin e kësaj të fundit. Drejtimi, siç e dini, përcaktohet nga vektori. Le ta shënojmë v¯(a; b; c), ku simbolet në kllapa janë koordinatat e tij. Për çdo pikë Q(x; y; z), e cila është në vijën në shqyrtim, mund të shkruajmë barazinë:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c)

Këtu simboli α është një parametër që merr absolutisht çdo vlerë reale (shumëzimi i një vektori me një numër mund të ndryshojë vetëm modulin ose drejtimin e tij në të kundërtën). Kjo barazi quhet ekuacioni vektorial për një vijë të drejtë në hapësirën tredimensionale. Duke ndryshuar parametrin α, marrim të gjitha pikat (x; y; z) që formojnë këtë vijë.

Vektori v¯(a; b; c) në ekuacion quhet vektor i drejtimit. Një vijë e drejtë nuk ka drejtim të veçantë dhe gjatësia e saj është e pafundme. Këto fakte nënkuptojnë se çdo vektor është marrë nga v¯ duke shumëzuar me numër real, do të jetë gjithashtu një udhëzues për vijën e drejtë.

Sa i përket pikës P(x 0; y 0; z 0), në vend të saj, një pikë arbitrare mund të zëvendësohet në ekuacion, i cili shtrihet në një vijë të drejtë, dhe kjo e fundit nuk do të ndryshojë.

Figura e mësipërme tregon një vijë të drejtë (vijë blu) që përcaktohet në hapësirë ​​përmes një vektori drejtimi (segmenti i vijës së kuqe).

Nuk është e vështirë të merret një barazi e ngjashme për rastin dydimensional. Duke përdorur arsyetime të ngjashme, arrijmë në shprehjen:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Ne shohim që është plotësisht e njëjtë me atë të mëparshme, vetëm dy koordinata përdoren në vend të tre për të specifikuar pikat dhe vektorët.

Ekuacioni parametrik

Së pari, marrim një ekuacion parametrik të një vije të drejtë në hapësirë. Më lart, kur u shkrua barazia e vektorit, u përmend tashmë për parametrin që është i pranishëm në të. Për të marrë një ekuacion parametrik, mjafton të zgjerohet ai vektorial. Ne marrim:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b;

z = z 0 + α × c

Bashkësia e këtyre tre barazive lineare, secila prej të cilave ka një koordinatë të ndryshueshme dhe parametër α, zakonisht quhet ekuacioni parametrik i një drejtëze në hapësirë. Në fakt, ne nuk kemi bërë asgjë të re, por thjesht kemi regjistruar në mënyrë eksplicite kuptimin e shprehjes vektoriale përkatëse. Vëmë re vetëm një pikë: numri α, megjithëse është arbitrar, është i njëjtë për të tre barazitë. Për shembull, nëse α \u003d -1.5 për barazinë e parë, atëherë e njëjta vlerë e saj duhet të zëvendësohet në barazitë e dyta dhe të treta kur përcaktoni koordinatat e pikës.

Ekuacioni parametrik i një drejtëze në një rrafsh është i ngjashëm me atë për rastin hapësinor. Është shkruar si:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b

Kështu, për të hartuar një ekuacion parametrik të një vije të drejtë, duhet të shkruhet ekuacioni i vektorit për të në një formë të qartë.

Marrja e ekuacionit kanonik

Siç u përmend më lart, të gjitha ekuacionet që përcaktojnë një vijë të drejtë në hapësirë ​​dhe në një plan merren njëra nga tjetra. Le të tregojmë se si të marrim një drejtëz kanonike nga një ekuacion parametrik. Për rastin hapësinor kemi:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b;

z = z 0 + α × c

Le të shprehim parametrin në çdo barazi:

α \u003d (x - x 0) / a;

α \u003d (y - y 0) / b;

α \u003d (z - z 0) / c

Meqenëse anët e majta janë të njëjta, atëherë anët e djathta të barazive janë gjithashtu të barabarta me njëra-tjetrën:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c

Ky është ekuacioni kanonik për një vijë të drejtë në hapësirë. Vlera e emëruesit në çdo shprehje është koordinata përkatëse.Vlerat në numërues që zbriten nga çdo ndryshore janë koordinatat e një pike në atë vijë.

Ekuacioni përkatës për rastin në aeroplan merr formën:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b

Ekuacioni i një drejtëze nëpër 2 pika

Dihet se dy pika fikse, si në rrafsh ashtu edhe në hapësirë, përcaktojnë në mënyrë unike një vijë të drejtë. Supozojmë se janë dhënë dy pikat e mëposhtme në aeroplan:

Si të shkruhet ekuacioni i një drejtëze nëpër to? Hapi i parë është përcaktimi i një vektori drejtimi. Koordinatat e tij janë si më poshtë:

PQ¯ (x 2 - x 1; y 2 ​​- y 1)

Tani mund ta shkruani ekuacionin në cilëndo nga tre format që u diskutuan në paragrafët e mësipërm. Për shembull, ekuacioni parametrik i një vije të drejtë merr formën:

x \u003d x 1 + α × (x 2 - x 1);

y \u003d y 1 + α × (y 2 - y 1)

Në formë kanonike, mund ta rishkruani si kjo:

(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)

Mund të shihet se ekuacioni kanonik përfshin koordinatat e të dy pikave dhe këto pika mund të ndryshohen në numërues. Pra, ekuacioni i fundit mund të rishkruhet si më poshtë:

(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)

Të gjitha shprehjet e shkruara quhen ekuacione të drejtëzës me 2 pika.

Problemi me tre pika

Janë dhënë koordinatat e tre pikave të mëposhtme:

Është e nevojshme të përcaktohet nëse këto pika shtrihen në të njëjtën linjë apo jo.

Ky problem duhet të zgjidhet si më poshtë: së pari, hartoni një ekuacion të një vije të drejtë për çdo dy pika, dhe më pas zëvendësoni koordinatat e së tretës në të dhe kontrolloni nëse ato plotësojnë barazinë që rezulton.

Ne hartojmë një ekuacion në terma të M dhe N në formë parametrike. Për këtë zbatojmë formulën e marrë në paragrafin e mësipërm, të cilën e përgjithësojmë në rastin tredimensional. Ne kemi:

x = 5 + α × (-3);

y = 3 + α × (-1);

z = -1 + α × 1

Tani le të zëvendësojmë koordinatat e pikës K në këto shprehje dhe të gjejmë vlerën e parametrit alfa që u korrespondon atyre. Ne marrim:

1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;

1 = 3 + α × (-1) => α = 4;

5 = -1 + α × 1 => α = -4

Zbuluam se të tre barazitë do të jenë të vlefshme nëse secila prej tyre merr një vlerë të ndryshme të parametrit α. Fakti i fundit bie ndesh me kushtin e ekuacionit parametrik të drejtëzës, në të cilën α duhet të jetë e barabartë për të gjitha ekuacionet. Kjo do të thotë se pika K nuk i përket drejtëzës MN, që do të thotë se të tri pikat nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz.

Problemi i drejtëzave paralele

Janë dhënë dy ekuacione drejtëzash në formë parametrike. Ato janë paraqitur më poshtë:

x = -1 + 5 × α;

x = 2 - 6 × λ;

y = 4 - 3,6 × λ

Është e nevojshme të përcaktohet nëse linjat janë paralele. Mënyra më e lehtë për të përcaktuar paralelizmin e dy vijave është përdorimi i koordinatave të vektorëve të drejtimit. Duke u kthyer në formulë e përgjithshme ekuacioni parametrik në hapësirën dydimensionale, marrim se vektorët e drejtimit të secilës drejtëz do të kenë koordinata:

Dy vektorë janë paralelë nëse njëri prej tyre mund të merret duke shumëzuar tjetrin me një numër. Ne ndajmë koordinatat e vektorëve në çifte, marrim:

Do të thotë se:

v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯

Vektorët e drejtimit v 2 ¯ dhe v 1 ¯ janë paralelë, që do të thotë se vijat në deklaratën e problemit janë gjithashtu paralele.

Le të kontrollojmë nëse nuk janë e njëjta linjë. Për ta bërë këtë, ju duhet të zëvendësoni koordinatat e çdo pike në ekuacion me një tjetër. Merrni pikën (-1; 3), zëvendësojeni atë në ekuacionin për vijën e dytë të drejtë:

1 = 2 - 6 × λ => λ = 1/2;

3 \u003d 4 - 3,6 × λ => λ ≈ 0,28

Kjo është, linjat janë të ndryshme.

Problemi i pingulitetit të drejtëzave

Janë dhënë ekuacionet e dy drejtëzave:

x = 2 + 6 × λ;

y = -2 - 4 × λ

A janë këto drejtëza pingule?

Dy drejtëza do të jenë pingul nëse prodhimi me pika i vektorëve të tyre të drejtimit është zero. Le të shkruajmë këta vektorë:

Le të gjejmë produktin e tyre skalar:

(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0

Kështu, zbuluam se linjat e konsideruara janë pingule. Ato janë paraqitur në foton e mësipërme.

Një ekuacion që përveç vlerë e panjohur gjithashtu përmban një vlerë tjetër shtesë që mund të marrë vlera të ndryshme nga një zonë, e quajtur parametrike. Kjo sasi shtesë në ekuacion quhet parametri. Në fakt, shumë ekuacione mund të shkruhen me çdo ekuacion parametrik. Do të shqyrtojmë modulin e një ekuacioni parametrik dhe zgjidhjen e ekuacioneve të thjeshta parametrike.

Detyra 1 Zgjidh ekuacionet në lidhje me $x$
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5$
E) $a – x ​​= x + b$
F) $ax = 3a$

Zgjidhje:

A) $x + a = 7 \Shigjeta djathtas x = 7 – a$, pra është gjetur zgjidhja e këtij ekuacioni.
Për vlera të ndryshme të parametrave, zgjidhjet janë $x = 7 – a$

B) $2x + 8a = 4 \Shigjeta majtas 2x = 4 - 8a \Shigjeta e majta x = 2 – 4a$

C) $x + a = 2a – x ​​\ Shigjeta e majtë x + x = 2a – a \Shigjeta e majtë 2x = a \Shigjeta e majtë x = \frac(a)(2)$

D) $ax = 5$, kur a është e ndryshme nga 0 ne mund t'i ndajmë të dyja pjesët me a dhe marrim $x = 5$
Nëse $a = 0$ marrim një ekuacion si $0.x = 5$ i cili nuk ka zgjidhje;

E) $a – x ​​= x + b \Shigjeta majtas a – b = x + x \Shigjeta djathtas 2x = a – b \Shigjeta e majta x = \frac(a-b)(2)$

F) Kur a = 0, ekuacioni ax = 3a është 0.x = 0
Prandaj, çdo x është zgjidhje. Nëse a është i ndryshëm nga 0 atëherë
$ax = 3a \Shigjeta e majtë x = \frac(3a)(a) \Shigjeta e majtë x = 3$

Detyra 2 Nëse a është një parametër, zgjidhni ekuacionin:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = sëpatë + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$

Zgjidhje:

A) Nëse $a + 1$ është e ndryshme nga 0, d.m.th $a \neq -1$,
atëherë $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
nëse $a + 1 = 0$, d.m.th. $a = - 1$
ekuacioni bëhet $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Shigjeta majtas djathtas$
$0\cdot x = 1$, që nuk ka zgjidhje;

B) $2a + x = sëpatë + 4 \Shigjeta e majtë$
$x – sëpatë = 4 - 2a \Shigjeta e majtë$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Nëse $(1 – a) \neq 0$, atëherë a $\neq 1$; vendimi do
$x = \frac(2(2 - a))(1 - a))$;
Nëse $a = 1$, ekuacioni bëhet $0\cdot x = 2(2 - 1) \Shigjeta e majtë$
$0\cdot x = 2$, që nuk ka zgjidhje

C) $a^2x – x = a \Shigjeta e djathtë$
$x(a^2 -1) = një \Shigjeta e djathtë$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Nëse $a - 1 \neq 0$ dhe $a + 1 \neq 0$ d.m.th. $a \neq 1, -1$,
zgjidhja është $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
Nëse $a = 1$ ose $a = -1$, ekuacioni bëhet $0\cdot x = \pm 1$, i cili nuk ka zgjidhje

D) $a^2x + x = a \Shigjeta e djathtë$
$(a^2 + 1)x = a$
Në këtë rast $a^2 + 1 \neq 0$ për çdo $a$ sepse është shuma e një numri pozitiv (1) dhe një numri negativ
$(a^2 \geq 0)$ pra $x = \frac(a)(a^2 + 1)$

Detyra 3 Nëse a dhe b janë parametra, zgjidhni ekuacionet:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 - a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Zgjidhje:

A) $ax + b = 0 \Shigjeta majtas sëpatë = -b$
Nëse $a \neq 0$ atëherë zgjidhja është $x = -\frac(b)(a)$.
Nëse $a = 0, b \neq 0$, ekuacioni bëhet $0\cdot x = -b$ dhe nuk ka zgjidhje.
Nëse $a = 0$ dhe $b = 0$, ekuacioni bëhet $0\cdot x = 0$ dhe çdo $x$ është zgjidhje;

B) $ax + 2b = x \Shigjeta majtas sëpatë – x = -2b \Shigjeta e majtë (a - 1)x = -2b$
Nëse $a - 1 \neq 0$, d.m.th. $a \neq 1$, zgjidhja është $x = -\frac(2b)(a-1)$
Nëse $a - 1 = 0$, d.m.th. $a = 1$, dhe $b \neq 0$, ekuacioni bëhet $0\cdot x = - 2b$ dhe nuk ka zgjidhje

C) Nëse $b - 1 \neq 0$, kjo është $b \neq 1$,
zgjidhja është $y = \frac(1-a)(b-1)$
Nëse $b - 1 = 0$, domethënë, $b = 1$, por $1 është një \neq 0$,
dmth $a \neq 1$, ekuacioni bëhet $0\cdot y = 1 – a$ dhe nuk ka zgjidhje.
Nëse $b = 1$ dhe $a = 1$, ekuacioni bëhet $0\cdot y = 0$ dhe çdo $y$ është zgjidhje

D) $b^2 + 1 \neq 0$ për çdo $b$ (pse?), pra
$y = \frac(a+2)(b^2)$ është zgjidhja e ekuacionit.

Problemi 4$ Për çfarë vlerash prej $x$ shprehjet e mëposhtme kanë kuptime të barabarta:
A) $5x + a$ dhe $3ax + 4$
B) $2x - 2$ dhe $4x + 5a$

Zgjidhje:

Për të marrë të njëjtat vlera, duhet të gjejmë zgjidhje për ekuacionet
$5x + a = 3ax + 4$ dhe $2x – 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 \Shigjeta e majtë$
$5x - 3ax = 4 – një \Shigjeta e djathtë$
$(5 - 3a)x = 4 - a$
Nëse $5 - 3a \neq 0$, d.m.th. $a \neq \frac(5)(3)$, zgjidhjet janë $x = \frac(4-a)(5-3a)$
Nëse $5 - 3a = 0$, d.m.th. $a = \frac(5)(3)$, ekuacioni bëhet $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Shigjeta e majtë$
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, e cila nuk ka zgjidhje

B) $2x - 2 = 4x + 5a \Shigjeta e djathtë$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Shigjeta majtas djathtas$
$2x = - 2 - 5a \Shigjeta e majta e djathtas$
$x = -\frac(2+5a)(2)$

Detyra 5
A) $|ax + 2| = 4 dollarë
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3 dollarë

Zgjidhje:

A) $|ax + 2| = 4 \Spatë me shigjetë majtas + 2 = 4$ ose $ax + 2 = -4 \Shigjeta e majtë$
$ax = 2$ ose $ax = - 6$
Nëse $a \neq 0$, ekuacionet bëhen $x = \frac(2)(a)$ ose $x = -\frac(6)(a)$
Nëse $a = 0$, ekuacioni nuk ka zgjidhje

B) Nëse $a Nëse $a > 0$, kjo është e barabartë me $2x + 1 = 3a$
ose $2x + 1 = -3a \Shigjeta majtas 2x = 3a - 1 \Shigjeta e majta x = \frac(3a-1)(2)$ ose
$2x = -3a - 1 \Shigjeta djathtas x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$

C) $|ax + 2a| = 3 \Shigjeta e majtë djathtas sëpatë + 2a = 3$ ose $ax + 2a = - 3$,
dhe gjejmë $ax = 3 - 2a$ ose $ax = -3 - 2a$
Nëse a = 0, atëherë nuk ka zgjidhje nëse $a \neq 0$
zgjidhjet janë: $x = \frac(3-2a)(a)$ dhe $x = -\frac(3+2a)(a)$

Detyra 6 Zgjidheni ekuacionin $2 - x = 2b - 2ax$, ku a dhe b janë parametra realë. Gjeni për cilat vlera të një ekuacioni ka një numër natyror si zgjidhje nëse $b = 7$

Zgjidhje:

Ne e përfaqësojmë këtë ekuacion në formën e mëposhtme: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Opsionet e mëposhtme janë të mundshme:
Nëse $2a - 1 \neq 0$, d.m.th. $a \neq \frac(1)(2)$, ekuacioni ka një zgjidhje unike
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
Nëse $a = \frac(1)(2)$ dhe $b = 1$, ekuacioni bëhet $0\cdot x = 0$ dhe çdo $x$ është zgjidhje
Nëse $a = \frac(1)(2)$ dhe $b \neq 1$, marrim $0\cdot x = 2(b - 1)$, ku $2(b - 1) \neq 0$
Në këtë rast, ekuacioni nuk ka zgjidhje.
Nëse $b = 7$ dhe $a \neq \frac(1)(2)$ është e vetmja zgjidhje
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
Nëse a është një numër i plotë, atëherë $2a - 1$ është gjithashtu një numër i plotë dhe zgjidhja është
$x = \frac(12)(2a-1)$ është një numër natyror kur
$2a - 1$ është një pjesëtues pozitiv për $12$.
Që a të jetë një numër i plotë, pjesëtuesi i $12$ duhet të jetë tek. Por vetëm $1$ dhe $3$ janë numra tek pozitivë të pjesëtueshëm me 12
Prandaj $2a - 1 = 3 \Shigjeta e majtas a = 2$ ose $2a - 1 = 1 \Shigjeta e majte e djathte$
$a = 1 a = 2$ ose $2a - 1 = 1 \Shigjeta majtas a = 1$

Detyra 7 Zgjidheni ekuacionin $|ax - 2 – a| = 4$, ku a është një parametër. Gjeni për cilat vlera të a-së rrënjët e ekuacionit janë numra të plotë negativ.

Zgjidhje:

Nga përkufizimi i modulit marrim
$|sëpatë - 2 – x| = 4 \Spata me shigjetë majtas - 2 - x = 4$ ose $ax - 2 - x = - 4$
Nga barazia e parë marrim $x(a - 1) - 2 = 4 \Shigjeta e majtë$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Shigjeta djathtas (a - 1)x = 6$
Nga barazia e dytë marrim $(a - 1)x = -2$
Nëse $a - 1 = 0$, d.m.th. $a = 1$, ekuacioni i fundit nuk ka zgjidhje.
Nëse $a \neq 1$ gjejmë se $x = \frac(6)(a-1)$ ose $x = -\frac(2)(a-1)$
Që këto rrënjë të jenë numra të plotë negativë, duhet të zbatohen sa vijon:
Për të parën, $a - 1$ duhet të jetë një pjesëtues negativ i 6, dhe për të dytën, një pjesëtues pozitiv i 2.
Pastaj $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ ose $a - 1 = 1; 2 dollarë
Ne marrim $a - 1 = -1 \Shigjeta majtas a = 0; a - 1 = -2 \Shigjeta majtas djathtas$
$a = -1; a - 1 = -3 \Shigjeta djathtas a = -2; a - 1 = -6 \Shigjeta majtas a = -5$
ose $a - 1 = 1 \Shigjeta majtas a = 2; a - 1 = 2 \Shigjeta djathtas a = 3$
Atëherë $a = -5; -2; -një; 0; 2; 3$ janë zgjidhjet e problemit.

Detyra 8 Zgjidhe ekuacionin:
A) $3ax - a = 1 - x$, ku a është një parametër;
B) $2ax + b = 2 + x$ ku a dhe b janë parametra

Zgjidhje:

A) $3ax + x = 1 + a \Shigjeta e djathtë (3a + 1)x = 1 + a$.
Nëse $3a + 1 \neq 0$, d.m.th. $a \neq -11 /3 /3$ , ka një zgjidhje
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
Nëse $a = -\frac(1)(3)$ ekuacioni bëhet $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$, i cili nuk ka zgjidhje.

B) $2ax – x = 2 – b \Shigjeta djathtas (2a - 1)x = 2 – b$
Nëse $2a - 1 \neq 0$, d.m.th. $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ është zgjidhja.
Nëse $a = \frac(1)(2)$ ekuacioni bëhet $0.x = 2 – b$
Atëherë nëse $b = 2$, çdo x është zgjidhje, nëse $b \neq 2$, ekuacioni nuk ka zgjidhje.

Detyra 9Është dhënë ekuacioni $6(kx - 6) + 24 = 5kx$, ku k është një numër i plotë. Gjeni për cilat vlera të k ekuacioni:
A) ka rrënjë $-\frac(4)(3)$
B) nuk ka zgjidhje;
C) ka rrënjë si numër natyror.

Zgjidhje:

Rishkruaje ekuacionin si $6kx - 36 + 24 = 5kx \Shigjeta majtas kx = 12$

A) Nëse $x = -\frac(4)(3)$, për k marrim ekuacionin $-\frac(4)(3k) = 12 \Shigjeta e majtë k = - 9$

B) Ekuacioni $kx = 12$ nuk ka zgjidhje kur $k = 0$

C) Kur $k \neq 0$ është rrënja $x = \frac(12)(k)$ dhe është një numër natyror, nëse k është një numër i plotë pozitiv i pjesëtueshëm me 12, d.m.th. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

Detyra 10 Zgjidhe ekuacionin:
A) $2ax + 1 = x + a$, ku a është një parametër;
B) $2ax + 1 = x + b$, ku a dhe b janë parametra.

Zgjidhje:

A) $2ax + 1 = x + a \Shigjeta majtas 2ax – x = a - 1 \Shigjeta e majta e djathte$
$(2a - 1)x = a - 1$
Nëse $2a - 1 \neq 0$, d.m.th. $a \neq \frac(1)(2)$, e vetmja zgjidhje e ekuacionit është
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
Nëse $2a - 1 = 0$, d.m.th. $a = \frac(1)(2)$, ekuacioni bëhet
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Shigjeta djathtas 0.x = -\frac(1)(2)$, e cila nuk ka zgjidhje

B) $2ax + 1 = x + b \Shigjeta e majta e djathta$
$2ax – x = b - 1 \Shigjeta e majtë$
$(2a - 1)x = b - 1$
Nëse $2a - 1 \neq 0$, d.m.th. $a \neq \frac(1)(2)$, zgjidhja është
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
Nëse $a = \frac(1)(2)$, ekuacioni është i barabartë me $0.x = b - 1$
Nëse b = 1 çdo x është zgjidhje, nëse $b \neq 1$ atëherë nuk ka zgjidhje.

Detyra 11Është dhënë ekuacioni $3(ax - 4) + 4 = 2ax$, ku parametri është një numër i plotë. Gjeni për cilat vlera të një ekuacioni ka rrënjë:
A) $\majtas(-\frac(2)(3)\djathtas)$
B) një numër i plotë
C) numri natyror

Zgjidhje:

A) Nëse $x = -\frac(2)(3)$ është një zgjidhje e ekuacionit, atëherë duhet të jetë e vërtetë
$3\majtas + 4 = 2a\majtas(-\frac(2)(3)\djathtas) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \Shigjeta majtas djathtas$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Shigjeta majtas \frac(4a-6a)(3) = 8 \Shigjeta majtas$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Shigjeta majtas a = -12$

B) $3 (sëpatë - 4) + 4 = 2 sëpatë \Shigjeta e majtë 3 sëpatë - 2 sëpatë = 12 - 4 \Shigjeta e majtë e djathtë = 8$
Nëse $a \neq 0$ zgjidhja është $x = \frac(8)(a)$, është një numër i plotë, nëse a është një pjesëtues i $8$.
Kjo është arsyeja pse; $±2; ±4; ±8$
Nëse $a=0$, ekuacioni nuk ka zgjidhje

C) Për të marrë një numër natyror (numër të plotë pozitiv) për këtë zgjidhje $x=\frac(8)(a)$ numri duhet të jetë: $a=1, 2, 4, 8$

Detyra 12Është dhënë ekuacioni $2 – x = 2b – 2ax$, ku $a$ dhe $b$ janë parametra. Gjeni për cilat vlera të një ekuacioni ka zgjidhje në formën e një numri natyror nëse $b = 7$

Zgjidhje:

Ne zëvendësojmë $b = 7$ në ekuacion dhe marrim $2 – x = 2.7 - 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Shigjeta djathtas (2a - 1)x = 12$
Nëse $2a -1 \neq 0$, d.m.th. $a \neq \frac(1)(2)$, ekuacioni bëhet
$x = \frac(12)(2a-1)$ dhe do të jetë një numër natyror nëse emëruesi $2a - 1$ është pozitiv i plotpjesëtueshëm $12$ dhe përveçse është një numër i plotë, është e nevojshme që $2a - 1$ ishte një numër tek.
Pra, $2a - 1$ mund të jetë $1$ ose $3$
Nga $2a - 1 = 1 \Shigjeta e majtë 2a = 2 \Shigjeta e majtë a = 1$ dhe $2a - 1 = 3$
$\Shigjeta e djathtë 2a = 4 \Shigjeta e majtë a = 2$

Detyra 13 Jepet një funksion $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, ku a është një parametër. Gjeni për cilat vlera të a grafiku i funksionit:
A) kalon boshtin x;
B) kalon boshtin x

Zgjidhje:

Në mënyrë që grafiku i funksionit të kalojë boshtin x, është e nevojshme që
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ kishte një zgjidhje dhe nuk kishte zgjidhje për moskalimin e boshtit x.
Nga ekuacioni marrim $(3a - 1)x = 2a - 1$
Nëse $3a - 1 \neq 0$, d.m.th. $a \neq \frac(1)(3)$, ekuacioni ka zgjidhje
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, pra grafiku i funksionit kalon aksin x.
Nëse $a = \frac(1)(3)$, marrim $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$, gjë që jo kanë zgjidhje.
Prandaj, nëse $a = \frac(1)(3)$, grafiku i funksionit nuk e kalon boshtin x.

Detyra 14 Zgjidh ekuacionin parametrik:
A) $|x -2| = a$
B) $|ax -1| = 3 dollarë
C) $|sëpatë - 1| = a - 2 dollarë

Zgjidhje:

A) Nëse $a 0$ marrim:
$|x - 2| = a \Shigjeta e majtë x - 2 = a$ ose $x - 2 = -a$
Nga $x - 2 = a \Djathtas x = a + 2$, dhe nga
$x - 2 = -a \Djathtas x = 2 – a$
Nëse $a = 0$ atëherë $x - 2 = 0$ ose $x = 2$

B) $|apatë - 1| = 3 \sëpatë me shigjetë majtas - 1 = 3$ ose $ax - 1 = -3$
prej nga $ax = 4$ ose $ax = - 2$
Nëse $a \neq 0$ zgjidhjet janë: $x = \frac(4)(a)$ ose $x = -\frac(2)(a)$
Nëse $a = 0$, këtu nuk ka zgjidhje

C) Nëse $a - 2 Nëse $a - 2 > 0$, d.m.th. $a > 2$ marrim
$|sëpatë - 1| = a - 2 \Spata me shigjetë majtas - 1 = a - 2$ ose $ax - 1 = 2 - a$
Pra marrim $ax = a - 1$ ose $ax = 3 – a$
Sepse $a > 2, a \neq 0$, pra
$x = \frac(a-1)(a)$ ose $x = \frac(3-a)(a)$.
Nëse $a = 2$, ekuacionet janë ekuivalente
$2x - 1 = 0 \Shigjeta majtas 2x = 1 \Shigjeta majtas x = \frac(1)(2)$

Detyra 15 Gjeni për cilat vlera të parametrit m (a), dy ekuacionet janë ekuivalente:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ dhe $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 - m$ dhe $\frac(x-m)(3) = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ dhe $ax + 2a = 1 + x$ nëse $x > 3$

Zgjidhje:

A) Të zgjidhim ekuacionin e dytë. Le ta shkruajmë në formën:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Shigjeta e majta e djathta$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Shigjeta majtas djathtas$
$x^2 ​​+ 2x + 1 - 1 = x^2 \Shigjeta e djathtë$
$2x = 0 \Shigjeta djathtas x = 0$
Për të parën marrim
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \Shigjeta majtas x + m = 2 - 2m \Shigjeta majtas x = 2 - 3m$
Këto dy ekuacione janë ekuivalente nëse kanë të njëjtat rrënjë, d.m.th.
$2 - 3 milion = 0 \Shigjeta e majta djathtas$ $m = \frac(2)(3)$

B) Për ekuacionin e parë, zgjidhja është $x = 2 - 3m$ dhe për të dytin marrim
$x – m = 3 - 6m \Shigjeta majtas djathtas$ $x = 3 – 5m$
Ata kanë të njëjtat rrënjë kur
$2 - 3m = 3 - 5m \Shigjeta majtas 5m - 3m = 3 - 2 \Shigjeta majtas 2m = 1 \Shigjeta majtas m = \frac(1)(2)$

C) Meqenëse $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 - x) = x - 3 $
Ekuacioni i parë do të duket kështu: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Shigjeta e majta e djathtas$
$x^2 ​​- 4x – 0 \Shigjeta e majtë x(x - 4) = 0 \Shigjeta e majta e djathtë$
$x = 0$ ose $x = 4$
Me kushtin që $x > 3$, pra vetëm $x = 4$ është një zgjidhje. Për ekuacionin e dytë, marrim
$ax – x = 1 - 2a \Shigjeta djathtas (a - 1)x = 1 - 2a$
Nëse $a - 1 = 0$ nuk ka zgjidhje (Pse?), nëse $a - 1 \neq 0$, d.m.th. $a \neq 1$, ka një zgjidhje
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ Këto dy ekuacione janë të barabarta nëse $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Shigjeta majtas$4(a - 1) = 1 - 2a \ Shigjeta majtas 4a + 2a = 1 + 4 \Shigjeta majtas 6a = 5 \Shigjeta majtas a = \frac(5)(6)$