Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për t'ju dërguar njoftime dhe mesazhe të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, të tilla si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse hyni në një tërheqje çmimesh, konkurs ose nxitje të ngjashme, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi ndaj palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin gjyqësor, në procedurat juridike dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera të interesit publik.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund të transferojmë informacionin personal që mbledhim te pasardhësi i palës së tretë përkatëse.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Ruajtja e privatësisë tuaj në nivel kompanie

Për të siguruar që të dhënat tuaja personale të jenë të sigurta, ne u komunikojmë punonjësve tanë praktikat e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Direkt ( MN) që ka vetëm një pikë të përbashkët me rrethin ( A), quhet tangjente te rrethi.

Pika e përbashkët quhet në këtë rast pikë prekjeje.

Mundësia e ekzistencës tangjente, dhe, për më tepër, të tërhequr nëpër çdo pikë rrathët, si pikë kontakti, vërtetohet nga sa vijon teorema.

Le të kërkohet që rrathët të përqendruar O tangjente përmes një pike A. Për këtë, nga pika A, si nga qendra, përshkruani hark rreze AO, dhe nga pika O, si qendër, ne e kryqëzojmë këtë hark në pika B dhe NGA zgjidhje busull e barabartë me diametrin e rrethit të dhënë.

Pas shpenzimeve pastaj akorde OB dhe OS, lidhni pikën A me pika D dhe E ku këto korda e ndërpresin rrethin e dhënë. Direkt pas Krishtit dhe AE - tangjente me rrethin O. Në të vërtetë, nga ndërtimi është e qartë se trekëndëshat AOB dhe AOC izosceles(AO = AB = AC) me baza OB dhe OS, e barabartë me diametrin e rrethit O.

Sepse OD dhe OE janë rrezet, pra D - e mesme OB, a E- mes OS, do të thotë pas Krishtit dhe AE - mesataret të tërhequr në bazat e trekëndëshave dykëndësh, dhe për këtë arsye pingul me këto baza. Nëse e drejtpërdrejtë DA dhe EA pingul me rrezet OD dhe OE, atëherë ata janë tangjentet.

Pasoja.

Dy tangjente të tërhequra nga e njëjta pikë në një rreth janë të barabarta dhe formojnë kënde të barabarta me drejtëzën që e bashkon atë pikë me qendrën.

Kështu që AD=AE dhe ∠ OAD = ∠OAE sepse trekëndëshat kënddrejtë AOD dhe AOE duke pasur një të përbashkët hipotenuzë AO dhe të barabartë këmbët OD dhe OE(si rreze) janë të barabarta. Vini re se këtu fjala "tangjente" do të thotë "aktuale" segment tangjent” nga pika e dhënë në pikën e kontaktit.

Artikulli jep një shpjegim të detajuar të përkufizimeve, kuptimit gjeometrik të derivatit me shënim grafik. Ekuacioni i drejtëzës tangjente do të shqyrtohet me shembuj, do të gjenden ekuacionet e tangjentës me kurbat e rendit të 2-të.

Këndi i prirjes së drejtëzës y \u003d k x + b quhet këndi α, i cili matet nga drejtimi pozitiv i boshtit x në vijën e drejtë y \u003d k x + b në drejtim pozitiv.

Në figurë, drejtimi i kaut tregohet me një shigjetë të gjelbër dhe një hark të gjelbër, dhe këndi i prirjes me një hark të kuq. Vija blu i referohet një vijë të drejtë.

Përkufizimi 2

Pjerrësia e vijës së drejtë y \u003d k x + b quhet koeficienti numerik k.

Pjerrësia është e barabartë me pjerrësinë e drejtëzës, me fjalë të tjera k = t g α .

• Pjerrësia e drejtëzës është 0 vetëm kur o x është paralel dhe pjerrësia është e barabartë me zero, sepse tangjentja e zeros është 0. Pra, forma e ekuacionit do të jetë y = b.
• Nëse këndi i prirjes së drejtëzës y = k x + b është i mprehtë, atëherë kushtet 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение shpat k konsiderohet numër pozitiv, sepse vlera e tangjentes plotëson kushtin t g α > 0, dhe ka një rritje në grafik.
• Nëse α \u003d π 2, atëherë vendndodhja e vijës është pingul me x. Barazia përcaktohet nga barazia x = c ku vlera c është një numër real.
• Nëse këndi i prirjes së drejtëzës y = k x + b është i mpirë, atëherë ai korrespondon me kushtet π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Një sekant është një drejtëz që kalon nëpër 2 pika të funksionit f (x). Me fjalë të tjera, një sekant është një vijë e drejtë që kalon nëpër çdo dy pika në grafik. funksioni i dhënë.

Figura tregon se A B është një sekant, dhe f (x) është një kurbë e zezë, α është një hark i kuq, që tregon këndin e prirjes së sekantit.

Kur pjerrësia e një vije të drejtë është e barabartë me tangjentën e këndit të prirjes, është e qartë se tangjentja nga një trekëndësh kënddrejtë A B C mund të gjendet në lidhje me këmbën e kundërt me atë fqinj.

Përkufizimi 4

Marrim formulën për gjetjen e sekantit të formës:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, ku abshisat e pikave A dhe B janë vlerat x A, x B, dhe f (x A), f (x B) janë funksionet e vlerave në këto pika.

Natyrisht, pjerrësia e sekantit përcaktohet duke përdorur barazinë k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A ose k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, dhe ekuacioni duhet të shkruhet si y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ose
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekanti e ndan vizualisht grafikun në 3 pjesë: në të majtë të pikës A, nga A në B, në të djathtë të B. Figura më poshtë tregon se janë tre sekante që konsiderohen të njëjta, domethënë janë vendosur duke përdorur një ekuacion të ngjashëm.

Nga përkufizimi, është e qartë se linja dhe sekanti i saj përkojnë në këtë rast.

Një sekant mund të presë grafikun e një funksioni të caktuar disa herë. Nëse ekziston një ekuacion i formës y \u003d 0 për sekantin, atëherë numri i pikave të kryqëzimit me sinusoidin është i pafund.

Përkufizimi 5

Tangjente me grafikun e funksionit f (x) në pikën x 0 ; f (x 0) quhet drejtëz që kalon nëpër një pikë të caktuar x 0; f (x 0), me praninë e një segmenti që ka shumë vlera x afër x 0.

Shembulli 1

Le të hedhim një vështrim më të afërt në shembullin e mëposhtëm. Atëherë mund të shihet se drejtëza e dhënë nga funksioni y = x + 1 konsiderohet të jetë tangjente me y = 2 x në pikën me koordinata (1 ; 2) . Për qartësi, është e nevojshme të merren parasysh grafikët me vlera afër (1; 2). Funksioni y = 2 x është shënuar me të zezë, vija blu është tangjentja, pika e kuqe është pika e kryqëzimit.

Natyrisht, y \u003d 2 x bashkohet me rreshtin y \u003d x + 1.

Për të përcaktuar tangjenten, merrni parasysh sjelljen e tangjentes A B ndërsa pika B i afrohet pafundësisht pikës A. Për qartësi, paraqesim një figurë.

Sekanti A B, i treguar nga vija blu, priret në pozicionin e vetë tangjentes, dhe këndi i prirjes së sekantës α do të fillojë të priret drejt këndit të prirjes së vetë tangjentes α x.

Përkufizimi 6

Tangjenti i grafikut të funksionit y \u003d f (x) në pikën A është pozicioni kufizues i sekantit A B në B që tenton te A, domethënë B → A.

Tani i drejtohemi shqyrtimit të kuptimit gjeometrik të derivatit të një funksioni në një pikë.

Le të kalojmë në shqyrtimin e sekantit A B për funksionin f (x), ku A dhe B me koordinata x 0, f (x 0) dhe x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), dhe ∆ x shënohet si një rritje e argumentit. Tani funksioni do të marrë formën ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Për qartësi, le të marrim një foto si shembull.

Konsideroni trekëndëshin kënddrejtë që rezulton A B C. Ne përdorim përkufizimin e tangjentes për zgjidhjen, domethënë, marrim raportin ∆ y ∆ x = t g α . Nga përkufizimi i një tangjente del se lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x. Sipas rregullit të derivatit në një pikë, kemi që derivati ​​f (x) në pikën x 0 quhet kufi i raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, ku ∆ x → 0, atëherë shënohet si f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x.

Nga kjo rrjedh se f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, ku k x shënohet si pjerrësi e tangjentes.

Kjo do të thotë, marrim se f ' (x) mund të ekzistojë në pikën x 0 dhe, si dhe tangjenten me grafikun e dhënë të funksionit në pikën e kontaktit të barabartë me x 0 , f 0 (x 0) , ku vlera e pjerrësisë së tangjentes në pikë është e barabartë me derivatin në pikën x 0 . Atëherë marrim se k x = f "(x 0) .

Kuptimi gjeometrik i derivatit të një funksioni në një pikë është se është dhënë koncepti i ekzistencës së një tangjente me grafikun në të njëjtën pikë.

Për të shkruar ekuacionin e çdo drejtëze në rrafsh, është e nevojshme të kemi një pjerrësi me pikën nëpër të cilën kalon. Emërtimi i tij merret si x 0 në kryqëzim.

Ekuacioni i tangjentës me grafikun e funksionit y \u003d f (x) në pikën x 0, f 0 (x 0) merr formën y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Do të thotë se vlera përfundimtare e derivatit f "(x 0) mund të përcaktojë pozicionin e tangjentes, domethënë vertikalisht nën kushtin lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ dhe lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ ose mungesë fare nën kushtin lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Vendndodhja e tangjentës varet nga vlera e pjerrësisë së saj k x \u003d f "(x 0). Kur është paralel me boshtin x, marrim se k k \u003d 0, kur është paralel me rreth y - k x \u003d ∞, dhe forma e ekuacionit tangjent x \u003d x 0 rritet me k x > 0, zvogëlohet si k x< 0 .

Shembulli 2

Përpiloni ekuacionin e tangjentes me grafikun e funksionit y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 në një pikë me koordinata (1; 3) me përcaktimin e këndit të prirje.

Zgjidhje

Me supozim, kemi që funksioni është i përcaktuar për të gjithë numra realë. Ne marrim se pika me koordinatat e specifikuara nga kushti (1 ; 3) është pika e kontaktit, pastaj x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Është e nevojshme të gjendet derivati ​​në pikën me vlerë - 1 . Ne e kuptojmë atë

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Vlera e f' (x) në pikën e kontaktit është pjerrësia e tangjentes, e cila është e barabartë me tangjenten e pjerrësisë.

Atëherë k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Nga kjo rrjedh se α x = a r c t g 3 3 = π 6

Përgjigje: ekuacioni tangjent merr formën

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Për qartësi, ne japim një shembull në një ilustrim grafik.

Ngjyra e zezë përdoret për grafikun e funksionit origjinal, ngjyra blu është imazhi tangjent, pika e kuqe është pika e prekjes. Figura në të djathtë tregon një pamje të zmadhuar.

Shembulli 3

Gjeni ekzistencën e një tangjente në grafikun e një funksioni të caktuar
y = 3 x - 1 5 + 1 në pikën me koordinata (1 ; 1) . Shkruani një ekuacion dhe përcaktoni këndin e prirjes.

Zgjidhje

Sipas supozimit, kemi se domeni i funksionit të dhënë është bashkësia e të gjithë numrave realë.

Le të kalojmë në gjetjen e derivatit

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Nëse x 0 = 1 , atëherë f ' (x) nuk është përcaktuar, por kufijtë shkruhen si lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ dhe lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , që do të thotë ekzistencë tangjente vertikale në pika (1; 1).

Përgjigje: ekuacioni do të marrë formën x \u003d 1, ku këndi i prirjes do të jetë i barabartë me π 2.

Le ta bëjmë grafikun për qartësi.

Shembulli 4

Gjeni pikat e grafikut të funksionit y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , ku

1. Tangjentja nuk ekziston;
2. Tangjentja është paralele me x;
3. Tangjentja është paralele me drejtëzën y ​​= 8 5 x + 4 .

Zgjidhje

Është e nevojshme t'i kushtohet vëmendje fushës së përkufizimit. Sipas supozimit, kemi që funksioni është përcaktuar në bashkësinë e të gjithë numrave realë. Zgjero modulin dhe zgjidh sistemin me intervale x ∈ - ∞ ; 2 dhe [-2; +∞) . Ne e kuptojmë atë

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [-2; +∞)

Funksioni duhet të diferencohet. Ne e kemi atë

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [-2; +∞)

Kur x = - 2, atëherë derivati ​​nuk ekziston sepse kufijtë e njëanshëm nuk janë të barabartë në atë pikë:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Ne llogarisim vlerën e funksionit në pikën x \u003d - 2, ku e marrim atë

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, domethënë, tangjentja në pika (- 2; - 2) nuk do të ekzistojë.
2. Tangjentja është paralele me x kur pjerrësia është zero. Pastaj k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). Kjo do të thotë, është e nevojshme të gjesh vlerat e x të tillë kur derivati ​​i funksionit e kthen atë në zero. Kjo është, vlerat e f '(x) dhe do të jenë pikat e prekjes, ku tangjentja është paralele rreth x.

Kur x ∈ - ∞ ; - 2 , pastaj - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , dhe për x ∈ (- 2 ; + ∞) marrim 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Ne llogarisim vlerat përkatëse të funksionit

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Prandaj - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 85, 3; 4 3 konsiderohen si pikat e dëshiruara të grafikut të funksionit.

Merrni parasysh imazh grafik Zgjidhjet.

Vija e zezë është grafiku i funksionit, pikat e kuqe janë pikat e prekjes.

1. Kur vijat janë paralele, pjerrësia është e barabartë. Më pas është e nevojshme të kërkohen pikat e grafikut të funksionit, ku pjerrësia do të jetë e barabartë me vlerën 8 5 . Për ta bërë këtë, ju duhet të zgjidhni një ekuacion të formës y "(x) = 8 5. Atëherë, nëse x ∈ - ∞; - 2, marrim se - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, dhe nëse x ∈ ( - 2 ; + ∞) , atëherë 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Ekuacioni i parë nuk ka rrënjë sepse diskriminuesi është më i vogël se zero. Le ta shkruajmë atë

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Pra, një ekuacion tjetër ka dy rrënjë reale

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Le të kalojmë në gjetjen e vlerave të funksionit. Ne e kuptojmë atë

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Pikët me vlera - 1; 4 15, 5; 8 3 janë pikat ku tangjentet janë paralele me drejtëzën y ​​= 8 5 x + 4 .

Përgjigje: vija e zezë - grafiku i funksionit, vija e kuqe - grafiku y \u003d 8 5 x + 4, vija blu - tangjentet në pikat - 1; 4 15, 5; 8 3 .

Ekzistenca e një numri të pafund tangjente për funksionet e dhëna është e mundur.

Shembulli 5

Shkruani ekuacionet e të gjitha tangjentave të disponueshme të funksionit y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , të cilat janë pingul me drejtëzën y ​​= - 2 x + 1 2 .

Zgjidhje

Për të hartuar ekuacionin tangjent, është e nevojshme të gjendet koeficienti dhe koordinatat e pikës së kontaktit, bazuar në kushtin e pingulitetit të vijave. Përkufizimi tingëllon kështu: prodhimi i pjerrësisë që janë pingul me vijat e drejta është i barabartë me - 1, domethënë shkruhet si k x · k ⊥ = - 1. Nga kushti kemi që pjerrësia të jetë pingul me drejtëzën dhe të jetë e barabartë me k ⊥ = - 2, pastaj k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Tani duhet të gjejmë koordinatat e pikave të prekjes. Ju duhet të gjeni x, pas së cilës vlera e tij për një funksion të caktuar. Vini re se nga kuptimi gjeometrik i derivatit në pikë
x 0 marrim se k x \u003d y "(x 0) . Nga kjo barazi, gjejmë vlerat x për pikat e prekjes.

Ne e kuptojmë atë

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - mëkat 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 mëkat 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 mëkat 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 mëkat 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ mëkat 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Ky ekuacion trigonometrik do të përdoret për të llogaritur ordinatat e pikave të prekjes.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ose 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ose 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ose x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z është bashkësia e numrave të plotë.

U gjetën x pika kontakti. Tani duhet të shkoni te kërkimi për vlerat y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - mëkat 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ose y 0 = 3 - 1 - mëkat 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ose y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ose y 0 = - 4 5 + 1 3

Nga këtu marrim se 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 janë pika kontakti.

Përgjigje: ekuacionet e nevojshme do të shkruhen si

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Për një paraqitje vizuale, merrni parasysh funksionin dhe tangjentën në vijën e koordinatave.

Figura tregon se vendndodhja e funksionit është në intervalin [-10; 10 ] , ku vija e zezë është grafiku i funksionit, vijat blu janë tangjente që janë pingul me drejtëzën e dhënë të formës y = - 2 x + 1 2 . Pikat e kuqe janë pika kontakti.

Ekuacionet kanonike të kurbave të rendit të dytë nuk janë funksione me një vlerë të vetme. Ekuacionet tangjente për to janë përpiluar sipas skemave të njohura.

Tangjente me rrethin

Për të vendosur një rreth me qendër në një pikë x c e n t e r; y c e n t e r dhe rreze R, përdoret formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Kjo barazi mund të shkruhet si bashkim i dy funksioneve:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Funksioni i parë është në krye dhe i dyti në fund, siç tregohet në figurë.

Të hartojë një ekuacion të një rrethi në një pikë x 0 ; y 0, i cili ndodhet në gjysmërrethin e sipërm ose të poshtëm, duhet të gjeni ekuacionin e grafikut të funksionit të formës y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ose y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r në pikën e caktuar.

Kur në pikat x c e n t e r ; y c e n t e r + R dhe x c ​​e n t e r ; y c e n t e r - R tangjentet mund të jepen nga ekuacionet y = y c e n t e r + R dhe y = y c e n t e r - R , dhe në pikat x c e n t e r + R ; y c e n t e r dhe
x c e n t e r - R ; y c e n t e r do të jetë paralel rreth y, atëherë do të marrim ekuacione të formës x = x c e n t e r + R dhe x = x c e n t e r - R .

Tangjente te Elipsi

Kur elipsa është e përqendruar në x c e n t e r; y c e n t e r me gjysmëboshtet a dhe b , atëherë mund të jepet duke përdorur ekuacionin x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Një elipsë dhe një rreth mund të shënohen duke kombinuar dy funksione, domethënë gjysmë-elipsin e sipërm dhe të poshtëm. Pastaj e marrim atë

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Nëse tangjentet janë të vendosura në kulmet e elipsës, atëherë ato janë paralele rreth x ose rreth y. Për qartësi, merrni parasysh figurën më poshtë.

Shembulli 6

Shkruani ekuacionin e tangjentes me elipsin x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 në pikat me vlera x të barabarta me x = 2.

Zgjidhje

Është e nevojshme të gjenden pikat e prekjes që korrespondojnë me vlerën x = 2. Bëjmë një zëvendësim në ekuacionin ekzistues të elipsës dhe e marrim atë

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Pastaj 2; 5 3 2 + 5 dhe 2 ; - 5 3 2 + 5 janë pikat tangjente që i përkasin gjysmëelipsit të sipërm dhe të poshtëm.

Le të kalojmë në gjetjen dhe zgjidhjen e ekuacionit të një elipsi në lidhje me y. Ne e kuptojmë atë

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Është e qartë se gjysmë-elipsi i sipërm është specifikuar duke përdorur një funksion të formës y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , dhe atë të poshtme y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Zbatojmë algoritmin standard për të formuluar ekuacionin e tangjentes me grafikun e një funksioni në një pikë. Shkruajmë se ekuacioni për tangjentën e parë në pikën 2 ; 5 3 2 + 5 do të duket si

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Marrim se ekuacioni i tangjentes së dytë me vlerën në pikë
2; - 5 3 2 + 5 bëhet

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafikisht, tangjentet shënohen si më poshtë:

Tangjent ndaj hiperbolës

Kur hiperbola ka qendër në pikën x c e n t e r; y c e n t e r dhe kulmet x c e n t e r + α ; y c e n t e r dhe x c ​​e n t e r - α ; y c e n t e r , jepet pabarazia x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 nëse me kulme x c ​​e n t e r ; y c e n t e r + b dhe x c ​​e n t e r ; y c e n t e r - b jepet më pas nga pabarazia x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Një hiperbolë mund të përfaqësohet si dy funksione të kombinuara të formës

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r ose y = b a (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y e r x e - ) 2 + a 2 + y c e n t e r

Në rastin e parë, kemi që tangjentet janë paralele me y dhe në të dytën, ato janë paralele me x.

Nga kjo rrjedh se për të gjetur ekuacionin e një tangjente në një hiperbolë, është e nevojshme të zbulohet se cilit funksion i përket pika tangjente. Për të përcaktuar këtë, është e nevojshme të bëhet një zëvendësim në ekuacione dhe të kontrollohen ato për identitet.

Shembulli 7

Shkruani ekuacionin e tangjentes së hiperbolës x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 në pikën 7; - 3 3 - 3 .

Zgjidhje

Është e nevojshme të transformohet rekordi i zgjidhjes së gjetjes së hiperbolës duke përdorur 2 funksione. Ne e kuptojmë atë

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ose y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Është e nevojshme të zbulohet se cilit funksion i përket pika e dhënë me koordinatat 7; - 3 3 - 3 .

Natyrisht, për të kontrolluar funksionin e parë, ju duhet y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , atëherë pika nuk i përket grafikut, pasi barazia nuk është e kënaqur.

Për funksionin e dytë, kemi se y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , që do të thotë se pika i përket grafikut të dhënë. Nga këtu ju duhet të gjeni koeficientin e pjerrësisë.

Ne e kuptojmë atë

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Përgjigje: ekuacioni tangjent mund të paraqitet si

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Ajo vizualizohet si më poshtë:

Tangjente me parabolën

Për të hartuar ekuacionin e tangjentes me parabolën y \u003d a x 2 + b x + c në pikën x 0, y (x 0) , duhet të përdorni algoritmin standard, atëherë ekuacioni do të marrë formën y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Një tangjente e tillë në kulm është paralele me x.

Parabola x = a y 2 + b y + c duhet të përkufizohet si bashkim i dy funksioneve. Prandaj, duhet të zgjidhim ekuacionin për y. Ne e kuptojmë atë

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Le ta grafikojmë si:

Për të zbuluar nëse një pikë x 0 , y (x 0) i përket një funksioni, ndiqni butësisht algoritmin standard. Një tangjente e tillë do të jetë paralele me y në lidhje me parabolën.

Shembulli 8

Shkruani ekuacionin e tangjentes në grafikun x - 2 y 2 - 5 y + 3 kur kemi një pjerrësi tangjente 150 °.

Zgjidhje

Ne e fillojmë zgjidhjen duke paraqitur parabolën si dy funksione. Ne e kuptojmë atë

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Vlera e pjerrësisë është e barabartë me vlerën e derivatit në pikën x 0 të këtij funksioni dhe është e barabartë me tangjenten e pjerrësisë.

Ne marrim:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Prej këtu përcaktojmë vlerën e x për pikat e prekjes.

Funksioni i parë do të shkruhet si

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Natyrisht, nuk ka rrënjë të vërteta, pasi kemi marrë një vlerë negative. Përfundojmë se nuk ka tangjente me një kënd prej 150 ° për një funksion të tillë.

Funksioni i dytë do të shkruhet si

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Kemi se pikat e prekjes - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Përgjigje: ekuacioni tangjent merr formën

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Le ta grafikojmë kështu:

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Transektet, tangjentet - e gjithë kjo mund të dëgjohej qindra herë në mësimet e gjeometrisë. Por diplomimi nga shkolla ka mbaruar, vitet kalojnë dhe të gjitha këto njohuri harrohen. Çfarë duhet mbajtur mend?

Thelbi

Termi "tangjente ndaj një rrethi" është ndoshta i njohur për të gjithë. Por nuk ka gjasa që të gjithë të jenë në gjendje të formulojnë shpejt përkufizimin e tij. Ndërkohë, një tangjente është një drejtëz kaq e drejtë që shtrihet në të njëjtin rrafsh me një rreth që e pret atë vetëm në një pikë. Mund të ketë një shumëllojshmëri të madhe të tyre, por të gjithë kanë të njëjtat veti, të cilat do të diskutohen më poshtë. Siç mund ta merrni me mend, pika e kontaktit është vendi ku kryqëzohen rrethi dhe vija. Në secilin rast, është një, por nëse ka më shumë prej tyre, atëherë do të jetë një sekant.

Historia e zbulimit dhe studimit

Koncepti i tangjentës u shfaq në antikitet. Ndërtimi i këtyre vijave të drejta, së pari në një rreth, dhe më pas në elips, parabola dhe hiperbola me ndihmën e një vizore dhe një busull, u krye edhe në fazat fillestare të zhvillimit të gjeometrisë. Natyrisht, historia nuk e ka ruajtur emrin e zbuluesit, por është e qartë se edhe në atë kohë njerëzit ishin mjaft të vetëdijshëm për vetitë e një tangjente me një rreth.

Në kohët moderne, interesi për këtë fenomen u ndez përsëri - filloi një raund i ri studimi i këtij koncepti, i kombinuar me zbulimin e kthesave të reja. Pra, Galileo prezantoi konceptin e një cikloide, dhe Fermat dhe Descartes ndërtuan një tangjente me të. Për sa u përket rrathëve, duket se nuk ka mbetur asnjë sekret për të lashtët në këtë zonë.

Vetitë

Rrezja e tërhequr në pikën e kryqëzimit do të jetë

vetia kryesore, por jo e vetmja që ka një tangjente me një rreth. Një veçori tjetër e rëndësishme përfshin tashmë dy linja të drejta. Pra, përmes një pike që shtrihet jashtë rrethit, mund të vizatohen dy tangjente, ndërsa segmentet e tyre do të jenë të barabarta. Ekziston një teoremë tjetër për këtë temë, por ajo rrallë kalohet brenda kornizës së standardit kursi shkollor, megjithëse është jashtëzakonisht i përshtatshëm për zgjidhjen e disa problemeve. Kjo tingëllon si kjo. Nga një pikë e vendosur jashtë rrethit, një tangjente dhe një sekant tërhiqen në të. Formohen segmentet AB, AC dhe AD. A është kryqëzimi i vijave, B është pika e kontaktit, C dhe D janë kryqëzimet. Në këtë rast, barazia e mëposhtme do të jetë e vlefshme: gjatësia e tangjentes me rrethin, në katror, ​​do të jetë e barabartë me produktin e segmenteve AC dhe AD.

Ka një pasojë të rëndësishme nga sa më sipër. Për secilën pikë të rrethit, mund të ndërtoni një tangjente, por vetëm një. Prova e kësaj është mjaft e thjeshtë: duke hedhur teorikisht një pingul nga rrezja mbi të, zbulojmë se trekëndëshi i formuar nuk mund të ekzistojë. Dhe kjo do të thotë që tangjentja është unike.

Ndërtesa

Ndër detyrat e tjera në gjeometri, ekziston një kategori e veçantë, si rregull, jo

favorizuar nga nxënësit dhe studentët. Për të zgjidhur detyrat nga kjo kategori, ju duhet vetëm një busull dhe një vizore. Këto janë detyra ndërtimi. Ekzistojnë gjithashtu metoda për ndërtimin e një tangjente.

Pra, jepet një rreth dhe një pikë që shtrihet jashtë kufijve të tij. Dhe është e nevojshme të vizatoni një tangjente përmes tyre. Si ta bëjmë atë? Para së gjithash, ju duhet të vizatoni një segment midis qendrës së rrethit O dhe pikë e dhënë. Pastaj, duke përdorur një busull, ndajeni atë në gjysmë. Për ta bërë këtë, duhet të vendosni rrezen - pak më shumë se gjysma e distancës midis qendrës së rrethit origjinal dhe pikës së caktuar. Pas kësaj, ju duhet të ndërtoni dy harqe kryqëzuese. Për më tepër, rrezja e busullës nuk ka nevojë të ndryshohet, dhe qendra e secilës pjesë të rrethit do të jetë përkatësisht pika fillestare dhe O. Duhet të lidhen kryqëzimet e harqeve, të cilat do ta ndajnë segmentin në gjysmë. Vendosni një rreze në busull të barabartë me këtë distancë. Më pas, me qendër në pikën e kryqëzimit, vizatoni një rreth tjetër. Mbi të do të shtrihen edhe pika fillestare edhe O. Në këtë rast do të ketë edhe dy kryqëzime të tjera me rrethin e dhënë në problem. Ato do të jenë pikat e prekjes për pikën e dhënë fillimisht.

Ishte ndërtimi i tangjentave me rrethin që çoi në lindje

llogaritja diferenciale. Puna e parë mbi këtë temë u botua nga matematikani i famshëm gjerman Leibniz. Ai parashikoi mundësinë e gjetjes së maksimave, minimaleve dhe tangjenteve, pavarësisht nga vlerat thyesore dhe irracionale. Epo, tani përdoret edhe për shumë llogaritje të tjera.

Gjithashtu, tangjentja me rrethin lidhet me kuptimi gjeometrik tangjente. Nga vjen emri i saj. Përkthyer nga latinishtja, tangens do të thotë "tangjente". Kështu, ky koncept është i lidhur jo vetëm me gjeometrinë dhe llogaritjen diferenciale, por edhe me trigonometrinë.

Dy rrathë

Një tangjente nuk prek gjithmonë vetëm një figurë. Nëse një numër i madh vijash të drejta mund të vizatohen në një rreth, atëherë pse jo anasjelltas? Mund. Por detyra në këtë rast është seriozisht e ndërlikuar, sepse tangjentja e dy rrathëve nuk mund të kalojë nëpër asnjë pikë, dhe pozicioni relativ i të gjitha këtyre figurave mund të jetë shumë

të ndryshme.

Llojet dhe varietetet

Kur po flasim rreth dy rrathë dhe një ose më shumë vija të drejta, atëherë edhe nëse dihet se këto janë tangjente, nuk bëhet menjëherë e qartë se si ndodhen të gjitha këto figura në raport me njëra-tjetrën. Bazuar në këtë, ekzistojnë disa lloje. Pra, rrathët mund të kenë një ose dy pika të përbashkëta ose të mos i kenë fare. Në rastin e parë, ata do të kryqëzohen, dhe në të dytën, ata do të prekin. Dhe këtu ka dy lloje. Nëse një rreth është, si të thuash, i ngulitur në të dytin, atëherë prekja quhet e brendshme, nëse jo, atëherë e jashtme. Ju mund ta kuptoni pozicionin relativ të figurave jo vetëm duke u bazuar në vizatim, por edhe duke pasur informacion për shumën e rrezeve të tyre dhe distancën midis qendrave të tyre. Nëse këto dy sasi janë të barabarta, atëherë rrathët preken. Nëse e para është më e madhe, ato kryqëzohen, dhe nëse më pak, atëherë nuk kanë pika të përbashkëta.

E njëjta gjë me linjat e drejta. Për çdo dy rrathë që nuk kanë pika të përbashkëta, mundet

ndërtoni katër tangjente. Dy prej tyre do të kryqëzohen midis figurave, ato quhen të brendshme. Disa të tjerë janë të jashtëm.

Nëse po flasim për qarqe që kanë një pikë të përbashkët, atëherë detyra thjeshtohet shumë. Fakti është se për çdo rregullim të ndërsjellë në këtë rast, ata do të kenë vetëm një tangjente. Dhe do të kalojë nëpër pikën e kryqëzimit të tyre. Pra, ndërtimi i vështirësisë nuk do të shkaktojë.

Nëse figurat kanë dy pika kryqëzimi, atëherë për to mund të ndërtohet një vijë e drejtë, tangjente me rrethin, si njërën ashtu edhe të dytën, por vetëm atë të jashtmen. Zgjidhja e këtij problemi është e ngjashme me atë që do të diskutohet më poshtë.

Zgjidhja e problemeve

Tangjentet e brendshme dhe të jashtme me dy rrathë nuk janë aq të thjeshta në ndërtim, megjithëse ky problem mund të zgjidhet. Fakti është se një figurë ndihmëse përdoret për këtë, kështu që mendoni për këtë metodë vetë

mjaft problematike. Pra, jepen dy rrathë me rreze dhe qendra të ndryshme O1 dhe O2. Për ta, ju duhet të ndërtoni dy palë tangjente.

Para së gjithash, afër qendrës së rrethit më të madh, duhet të ndërtoni një ndihmës. Në këtë rast, ndryshimi midis rrezeve të dy figurave fillestare duhet të përcaktohet në busull. Tangjentet në rrethin ndihmës ndërtohen nga qendra e rrethit më të vogël. Pas kësaj, nga O1 dhe O2, pingulet janë tërhequr në këto vija derisa ato të kryqëzohen me figurat origjinale. Siç vijon nga vetia kryesore e tangjentes, gjenden pikat e dëshiruara në të dy rrathët. Problemi është zgjidhur, të paktën, pjesa e parë e tij.

Për të ndërtuar tangjentet e brendshme, duhet zgjidhur praktikisht

një detyrë e ngjashme. Përsëri, do t'ju duhet një formë ndihmëse, por këtë herë rrezja e saj do të jetë është e barabartë me shumën fillestare. Tangjentet i ndërtohen asaj nga qendra e njërit prej rrathëve të dhënë. Ecuria e mëtejshme e zgjidhjes mund të kuptohet nga shembulli i mëparshëm.

Tangjenti i një rrethi ose edhe dy ose më shumë nuk është një detyrë aq e vështirë. Sigurisht, matematikanët kanë pushuar prej kohësh së zgjidhuri me dorë probleme të tilla dhe i besojnë llogaritjet programeve speciale. Por mos mendoni se tani nuk është e nevojshme të jeni në gjendje ta bëni vetë, sepse për të formuluar saktë një detyrë për një kompjuter, duhet të bëni dhe të kuptoni shumë. Fatkeqësisht, ekziston frika se pas kalimit përfundimtar në formën testuese të kontrollit të njohurive, detyrat e ndërtimit do të shkaktojnë gjithnjë e më shumë vështirësi për studentët.

Sa i përket gjetjes së tangjentave të përbashkëta për më shumë rrathë, kjo nuk është gjithmonë e mundur, edhe nëse ato shtrihen në të njëjtin rrafsh. Por në disa raste është e mundur të gjesh një linjë të tillë.

Shembuj të jetës reale

Një tangjente e përbashkët me dy rrathë haset shpesh në praktikë, megjithëse kjo nuk është gjithmonë e dukshme. Transportuesit, sistemet e bllokut, rripat e transmetimit të rrotullave, tensioni i fillit në një makinë qepëse dhe madje vetëm një zinxhir biçikletash - të gjitha këto janë shembuj nga jeta. Pra, mos mendoni se problemet gjeometrike mbeten vetëm në teori: në inxhinieri, fizikë, ndërtim dhe shumë fusha të tjera, ato gjejnë zbatim praktik.

Koncepti i një tangjente në një rreth

Rrethi ka tre të mundshme marrëveshjet e ndërsjella në lidhje me një vijë të drejtë:

Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijë është më e vogël se rrezja, atëherë vija ka dy pika të kryqëzimit me rrethin.

Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijë është e barabartë me rrezen, atëherë vija ka dy pika të kryqëzimit me rrethin.

Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është më e madhe se rrezja, atëherë vija e drejtë ka dy pika kryqëzimi me rrethin.

Tani prezantojmë konceptin e një drejtëze tangjente në një rreth.

Përkufizimi 1

Një tangjente me një rreth është një vijë e drejtë që ka një pikë kryqëzimi me të.

Pika e përbashkët e rrethit dhe tangjentes quhet pika tangjente (Fig. 1).

Figura 1. Tangjente me një rreth

Teorema që lidhen me konceptin e një tangjente në një rreth

Teorema 1

Teorema e vetive tangjente: Tangjentja me rrethin është pingul me rrezen e tërhequr në pikën tangjente.

Dëshmi.

Konsideroni një rreth me qendër $O$. Le të vizatojmë tangjenten $a$ në pikën $A$. $OA=r$ (Fig. 2).

Le të vërtetojmë se $a\bot r$

Teoremën do ta vërtetojmë me metodën "me kontradiktë". Supozojmë se tangjentja $a$ nuk është pingul me rrezen e rrethit.

Figura 2. Ilustrimi i teoremës 1

Kjo do të thotë, $OA$ është i zhdrejtë ndaj një tangjente. Meqenëse pingulja me vijën $a$ është gjithmonë më e vogël se pjerrësia në të njëjtën vijë, distanca nga qendra e rrethit në vijë është më e vogël se rrezja. Siç e dimë, në këtë rast drejtëza ka dy pika kryqëzimi me rrethin. Që bie ndesh me përkufizimin e një tangjente.

Prandaj, tangjentja është pingul me rrezen e rrethit.

Teorema është vërtetuar.

Teorema 2

Bisedoni me teoremën e vetive tangjente: Nëse drejtëza që kalon nga fundi i rrezes së rrethit është pingul me rrezen, atëherë kjo drejtëz është tangjente me këtë rreth.

Dëshmi.

Sipas kushtit të problemit kemi që rrezja të jetë pingul e tërhequr nga qendra e rrethit në drejtëzën e dhënë. Prandaj, distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është e barabartë me gjatësinë e rrezes. Siç e dimë, në këtë rast rrethi ka vetëm një pikë kryqëzimi me këtë drejtëz. Nga përkufizimi 1, marrim se vija e dhënë është tangjente me rrethin.

Teorema është vërtetuar.

Teorema 3

Segmentet e tangjentëve të rrethit, të tërhequra nga një pikë, janë të barabarta dhe bëjnë kënde të barabarta me drejtëzën që kalon nga kjo pikë dhe qendra e rrethit.

Dëshmi.

Le të jepet një rreth me qendër në pikën $O$. Dy tangjente të dallueshme janë tërhequr nga pika $A$ (e cila shtrihet në të gjithë rrathët). Nga pika e prekjes $B$ dhe $C$ përkatësisht (Fig. 3).

Le të vërtetojmë se $\këndi BAO=\kënd CAO$ dhe se $AB=AC$.

Figura 3. Ilustrimi i Teoremës 3

Nga teorema 1, kemi:

Prandaj trekëndëshat $ABO$ dhe $ACO$ janë trekëndësha kënddrejtë. Meqenëse $OB=OC=r$, dhe hipotenuza $OA$ është e zakonshme, këta trekëndësha janë të barabartë në hipotenuzë dhe këmbë.

Prandaj marrim atë $\kënd BAO=\kënd CAO$ dhe $AB=AC$.

Teorema është vërtetuar.

Një shembull i një detyre mbi konceptin e një tangjente në një rreth

Shembulli 1

Jepet një rreth me qendër $O$ dhe rreze $r=3\ cm$. Tangjentja $AC$ ka një pikë tangjente $C$. $AO=4\cm$. Gjeni $AC$.

Zgjidhje.

Së pari, le të përshkruajmë gjithçka në figurë (Fig. 4).

Figura 4

Meqenëse $AC$ është një tangjente dhe $OC$ është një rreze, atëherë nga teorema 1 marrim $\kënd ACO=(90)^(()^\circ )$. Doli se trekëndëshi $ACO$ është drejtkëndor, që do të thotë, sipas teoremës së Pitagorës, kemi:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \