Distanța de la punctul dat la plan. Determinarea distanței dintre un punct și un plan, o dreaptă și un plan, între planuri și linii oblice. Distanța de la un punct la un plan

Condiții de paralelism și perpendicularitate

1°. Condiție de complementaritate pentru două avioane

Să fie date două planuri:

A 1 X + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

A 2 X + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Când sunt ele coplanare (adică paralele sau la fel)? Evident, aceasta va fi dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt coliniari. Aplicând criteriul de complementaritate, obținem

Sugestie 1. Două plane sunt coplanare dacă și numai dacă produsul încrucișat al vectorilor lor normali este egal cu vectorul zero:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2°. Condiția coincidenței a două planuri

Sugestie 2. Planurile (1) și (2) coincid dacă și numai dacă toți cei patru coeficienți ai lor sunt proporționali, adică există un număr λ astfel încât

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)

Dovada. Fie îndeplinite condițiile (3). Atunci ecuația celui de-al doilea plan poate fi scrisă după cum urmează:

λ A 1 X + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

λ ≠ 0, altfel ar fi A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, ceea ce contrazice condiția n 2 ≠ 0 . Prin urmare, ultima ecuație este echivalentă cu ecuația (1), ceea ce înseamnă că cele două plane sunt aceleași.

Să se știe acum, dimpotrivă, că planurile date coincid. Atunci vectorii lor normali sunt coliniari, adică există un număr λ astfel încât

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .

Ecuația (2) poate fi acum rescrisă ca:

λ A 1 X + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.

Înmulțind ecuația (1) cu λ, obținem ecuație echivalentă primul plan (deoarece λ ≠ 0):

λ A 1 X + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

Luați un punct X 0 , y 0 , z 0) din primul (și, prin urmare, al doilea) plan și înlocuiți coordonatele sale în ultimele două ecuații; obținem egalitățile corecte:

λ A 1 X 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ A 1 X 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.

Scăzând din partea de sus jos, obținem D 2 − λ D 1 = 0, adică D 2 = λ D 1, QED.

3°. Condiția de perpendicularitate a două plane

Evident, pentru aceasta este necesar și suficient ca vectorii normali să fie perpendiculari.

Sugestie 3. Două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă produsul scalar al vectorilor normali este zero:

(n 1 , n 2) = 0 .

Să fie dată ecuația plană

Topor + De + cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,

și punct M 0 = (X 0 , y 0 , z 0). Obținem formula pentru distanța de la un punct la un plan:

Luați un punct arbitrar Q = (X 1 , y 1 , z 1) culcat în planul dat. Coordonatele sale satisfac ecuația plană:

Topor 1 + De 1 + cz 1 + D = 0.

Rețineți acum că distanța dorită d este egală cu valoarea absolută a proiecției vectoriale pe direcția vectorului n (aici luăm proiecția ca valoare numerică, nu ca vector). Apoi, aplicați formula pentru a calcula proiecția:

O formulă similară este valabilă pentru distanță d din punct de vedere M 0 = (X 0 , y 0) plan la dreapta dată de ecuația generală Topor + De + C = 0.

SARCINI C2 ALE EXAMENULUI DE STAT UNIFICAT LA MATEMATICĂ PENTRU GĂSIREA DISTANȚEI DE LA UN PUNCT LA UN AVION

Kulikova Anastasia Iurievna

Student în anul 5, Departamentul de Matematică. Analiză, Algebră și Geometrie EI KFU, Federația Rusă, Republica Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

conducător științific, Ph.D. ped. Științe, profesor asociat, EI KFU, Federația Rusă, Republica Tatarstan, Elabuga

LA USE sarcini la matematică la anul trecut există probleme pentru a calcula distanța de la un punct la un plan. În acest articol, folosind exemplul unei probleme, sunt luate în considerare diferite metode pentru găsirea distanței de la un punct la un plan. Pentru a rezolva diverse probleme, puteți utiliza cea mai potrivită metodă. După ce a rezolvat problema cu o metodă, o altă metodă poate verifica corectitudinea rezultatului.

Definiție. Distanța de la un punct la un plan care nu conține acest punct este lungimea segmentului de perpendiculară coborât din acest punct în planul dat.

O sarcină. Dan cuboid DARBDINDA 1 B 1 C 1 D 1 cu laterale AB=2, î.Hr=4, AA 1=6. Găsiți distanța de la un punct D până la avion ACD 1 .

1 cale. Folosind definiție. Aflați distanța r( D, ACD 1) dintr-un punct D până la avion ACD 1 (Fig. 1).

Figura 1. Prima cale

Să cheltuim D.H.⊥AC, prin urmare, prin teorema pe trei perpendiculare D 1 H⊥ACși (DD 1 H)⊥AC. Să cheltuim direct DT perpendicular D 1 H. Drept DT zace în avion DD 1 H, Prin urmare DT⊥AC. Prin urmare, DT⊥ACD 1.

DARDC afla ipotenuza AC si inaltime D.H.

Dintr-un triunghi dreptunghic D 1 D.H. afla ipotenuza D 1 H si inaltime DT

Răspuns: .

2 sensuri.Metoda volumului (utilizarea unei piramide auxiliare). O problemă de acest tip poate fi redusă la problema calculării înălțimii unei piramide, unde înălțimea piramidei este distanța dorită de la un punct la un plan. Demonstrați că această înălțime este distanța dorită; găsiți volumul acestei piramide în două moduri și exprimați această înălțime.

Rețineți că atunci când aceasta metoda nu este nevoie de a construi o perpendiculară dintr-un punct dat pe un plan dat.

Un cuboid este un cuboid ale cărui fețe sunt dreptunghiuri.

AB=CD=2, î.Hr=ANUNȚ=4, AA 1 =6.

Distanța dorită va fi înălțimea h piramide ACD 1 D, scăpat de sus D pe pământ ACD 1 (Fig. 2).

Calculați volumul piramidei ACD 1 D doua feluri.

Calculând, în primul mod, luăm ca bază ∆ ACD 1, atunci

Calculând, în al doilea mod, luăm ca bază ∆ ACD, apoi

Echivalăm părțile din dreapta ale ultimelor două egalități, obținem

Figura 2. A doua cale

Din triunghiuri dreptunghiulare ACD, ADĂUGA 1 , CDD 1 găsiți ipotenuzele folosind teorema lui Pitagora

ACD

Calculați aria unui triunghi ACD 1 folosind formula lui Heron

Răspuns: .

3 căi. metoda coordonatelor.

Să se acorde un punct M(X 0 ,y 0 ,z 0) și avion α , dat de ecuație topor+de+cz+d=0 în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare. Distanța de la punct M la planul α poate fi calculat prin formula:

Să introducem un sistem de coordonate (Fig. 3). Originea la punct LA;

Drept AB- axa X, Drept soare- axa y, Drept BB 1 - axa z.

Figura 3. A treia cale

B(0,0,0), DAR(2,0,0), DIN(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Lăsa Ax+de+ cz+ d=0 – ecuație plană ACD unu . Substituind în el coordonatele punctelor A, C, D 1 obținem:

Ecuația plană ACD 1 va lua forma

Răspuns: .

4 moduri. metoda vectoriala.

Introducem baza (Fig. 4) , .

Figura 4. A patra cale

Acest articol vorbește despre determinarea distanței de la un punct la un plan. să analizăm metoda coordonatelor, care ne va permite să aflăm distanța de la un punct dat din spațiul tridimensional. Pentru a consolida, luați în considerare exemple de mai multe sarcini.

Distanța de la un punct la un plan se găsește prin intermediul unei distanțe cunoscute de la un punct la un punct, unde unul dintre ele este dat, iar celălalt este o proiecție pe un plan dat.

Când un punct M 1 cu un plan χ este dat în spațiu, atunci prin punct poate fi trasată o dreaptă perpendiculară pe plan. H 1 este un punct comun al intersecției lor. De aici rezultă că segmentul M 1 H 1 este o perpendiculară, care a fost trasată din punctul M 1 în planul χ, unde punctul H 1 este baza perpendicularei.

Definiția 1

Ei numesc distanța de la un punct dat la baza perpendicularei, care a fost trasată de la un punct dat la un plan dat.

Definiția poate fi scrisă în diferite formulări.

Definiția 2

Distanța de la punct la plan numită lungimea perpendicularei, care a fost trasată dintr-un punct dat într-un plan dat.

Distanța de la punctul M 1 la planul χ se definește astfel: distanța de la punctul M 1 la planul χ va fi cea mai mică de la un punct dat la orice punct din plan. Dacă punctul H 2 este situat în planul χ și nu este egal cu punctul H 2, atunci obținem un triunghi dreptunghic de forma M 2 H 1 H 2 , care este dreptunghiular, unde există un picior M 2 H 1, M 2 H 2 - ipotenuza. Prin urmare, aceasta implică că M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 este considerată înclinată, care este trasă din punctul M 1 spre planul χ. Avem că perpendiculara trasată dintr-un punct dat pe un plan este mai mică decât cea înclinată trasată dintr-un punct către un plan dat. Luați în considerare acest caz în figura de mai jos.

Distanța de la un punct la un plan - teorie, exemple, soluții

Există o serie de probleme geometrice ale căror soluții trebuie să conțină distanța de la un punct la un plan. Modalitățile de a detecta acest lucru pot fi diferite. Pentru a rezolva, utilizați teorema lui Pitagora sau asemănarea triunghiurilor. Când, conform condiției, este necesar să se calculeze distanța de la un punct la un plan, dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular de spațiu tridimensional, se rezolvă folosind metoda coordonatelor. Acest paragraf tratează această metodă.

După condiția problemei, avem că este dat un punct din spațiul tridimensional cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) cu planul χ, este necesar să se determine distanța de la M 1 la planul χ. Pentru rezolvare se folosesc mai multe soluții.

Prima cale

Această metodă se bazează pe găsirea distanței de la un punct la un plan folosind coordonatele punctului H 1, care sunt baza perpendicularei de la punctul M 1 la planul χ. Apoi, trebuie să calculați distanța dintre M 1 și H 1.

Pentru a rezolva problema în al doilea mod, se folosește ecuația normală a unui plan dat.

A doua cale

Prin condiție, avem că H 1 este baza perpendicularei, care a fost coborâtă din punctul M 1 în planul χ. Apoi determinăm coordonatele (x 2, y 2, z 2) ale punctului H 1. Distanța dorită de la M 1 la planul χ se găsește prin formula M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, unde M 1 (x1, y1, z1) şi H1 (x2, y2, z2). Pentru a rezolva, trebuie să cunoașteți coordonatele punctului H 1.

Avem că H 1 este punctul de intersecție al planului χ cu dreapta a, care trece prin punctul M 1 situat perpendicular pe planul χ. Rezultă că este necesar să se formuleze ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un plan dat. Atunci putem determina coordonatele punctului H 1 . Este necesar să se calculeze coordonatele punctului de intersecție a dreptei și a planului.

Algoritm pentru găsirea distanței de la un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) la planul χ:

Definiția 3

compune ecuaţia unei drepte a care trece prin punctul M 1 şi în acelaşi timp
perpendicular pe planul χ;
găsiți și calculați coordonatele (x 2, y 2, z 2) ale punctului H 1, care sunt puncte
intersecția dreptei a cu planul χ ;
calculați distanța de la M 1 la χ folosind formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

A treia cale

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat O x y z există un plan χ, atunci obținem o ecuație normală a planului de forma cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . De aici rezultă că distanța M 1 H 1 cu punctul M 1 (x 1 , y 1 , z 1) trasat în planul χ, calculată prin formula M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z-p. Această formulă este valabilă, deoarece se stabilește datorită teoremei.

Teorema

Dacă un punct M 1 (x 1 , y 1 , z 1) este dat în spațiu tridimensional, având o ecuație normală a planului χ de forma cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, atunci calcularea distanței de la punct la planul M 1 H 1 este derivată din formula M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, deoarece x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Dovada

Demonstrarea teoremei se reduce la găsirea distanței de la un punct la o dreaptă. De aici rezultă că distanța de la M 1 la planul χ este modulul diferenței dintre proiecția numerică a vectorului rază M 1 cu distanța de la origine la planul χ. Atunci obținem expresia M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Vectorul normal al planului χ are forma n → = cos α , cos β , cos γ , iar lungimea lui este egală cu unu, n p n → O M → este proiecția numerică a vectorului O M → = (x 1 , y 1 , z 1) în direcţia determinată de vectorul n → .

Să aplicăm formula pentru calcularea vectorilor scalari. Apoi obținem o expresie pentru găsirea unui vector de forma n → , O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → , deoarece n → = cos α , cos β , cos γ z și O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Forma de coordonate a notației va lua forma n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, apoi M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorema a fost demonstrată.

De aici obținem că distanța de la punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) la planul χ se calculează prin substituirea în partea stângă a ecuației normale a planului cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 în loc de coordonatele x, y, z x 1 , y 1 și z1 raportat la punctul M 1 , luând valoarea absolută a valorii obţinute.

Luați în considerare exemple de găsire a distanței de la un punct cu coordonate la un plan dat.

Exemplul 1

Calculați distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (5 , - 3 , 10) până la planul 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Soluţie

Să rezolvăm problema în două moduri.

Prima metodă va începe prin calcularea vectorului de direcție al dreptei a . Prin condiție, avem că ecuația dată 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 este o ecuație plană generală, iar n → \u003d (2, - 1, 5) este vectorul normal al planului dat. Este folosit ca vector de direcție pentru dreapta a, care este perpendiculară pe planul dat. Ar trebui notat ecuație canonică o linie dreaptă în spațiu care trece prin M 1 (5 , - 3 , 10) cu un vector de direcție cu coordonatele 2 , - 1 , 5 .

Ecuația va arăta ca x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Punctele de intersecție ar trebui definite. Pentru a face acest lucru, combinați ușor ecuațiile într-un sistem pentru trecerea de la ecuațiile canonice la ecuațiile a două drepte care se intersectează. Să luăm acest punct ca H 1 . Înțelegem asta

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Apoi, trebuie să activați sistemul

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Să ne întoarcem la regula pentru rezolvarea sistemului după Gauss:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Obținem că H 1 (1, - 1, 0) .

Calculăm distanța de la un punct dat la un plan. Luăm punctele M 1 (5, - 3, 10) și H 1 (1, - 1, 0) și obținem

M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

A doua soluție este să aduceți mai întâi ecuația dată 2 x - y + 5 z - 3 = 0 la forma normală. Determinăm factorul de normalizare și obținem 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . De aici derivăm ecuația planului 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Partea stângă a ecuației este calculată prin înlocuirea x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10 și trebuie să luați distanța de la M 1 (5, - 3, 10) la 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Obținem expresia:

M 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

Raspuns: 2 30 .

Când planul χ este dat de una dintre metodele secțiunii metode de definire a planului, atunci trebuie mai întâi să obțineți ecuația planului χ și să calculați distanța dorită folosind orice metodă.

Exemplul 2

Punctele cu coordonatele M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) sunt stabilite în spațiul tridimensional. Calculați distanța de la M 1 la planul A B C.

Soluţie

Mai întâi trebuie să scrieți ecuația planului care trece prin cele trei puncte date cu coordonatele M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4, 0, - unu).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Rezultă că problema are o soluție similară celei precedente. Prin urmare, distanța de la punctul M 1 la planul A B C este 2 30 .

Raspuns: 2 30 .

Găsirea distanței de la un punct dat de pe un plan sau de un plan la care sunt paralele este mai convenabilă prin aplicarea formulei M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . De aici rezultă că ecuațiile normale ale planelor se obțin în mai mulți pași.

Exemplul 3

Aflați distanța de la un punct dat cu coordonatele M 1 (- 3 , 2 , - 7) până la planul de coordonate O x y z și planul, dat de ecuaţie 2y - 5 = 0 .

Soluţie

Planul de coordonate O y z corespunde unei ecuații de forma x = 0. Pentru planul O y z, este normal. Prin urmare, este necesar să înlocuiți valorile x \u003d - 3 în partea stângă a expresiei și să luați valoarea absolută a distanței de la punctul cu coordonatele M 1 (- 3, 2, - 7) la plan. . Obținem valoarea egală cu - 3 = 3 .

După transformare, ecuația normală a planului 2 y - 5 = 0 va lua forma y - 5 2 = 0 . Apoi puteți găsi distanța necesară de la punctul cu coordonatele M 1 (- 3 , 2 , - 7) până la planul 2 y - 5 = 0 . Înlocuind și calculând, obținem 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Răspuns: Distanța dorită de la M 1 (- 3 , 2 , - 7) la O y z are valoarea 3 , iar la 2 y - 5 = 0 are valoarea 5 2 - 2 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Planul în spațiu este dat de ecuația 3x-4y+2z+5=0, aflați distanța de la acesta până la punctul M(3;-2;6).
Dat:
$$ x_0 = 3, \quad y_0 = -2, \quad z_0 = 6 $$

$$ A = 3, \quad B = -4, \quad C = 2, \quad D = 5 $$
Soluţie:
Pentru a rezolva problema, folosim formula pentru găsirea distanței de la un punct la un plan, care este egală cu lungimea perpendicularei căzute din acest punct în plan:

$$ p = (| A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|) \over \sqrt((A^2 + B^2 + C^2)) $$

unde A, B, C, D sunt coeficienții ecuației plane și x0, y0, z0 sunt coordonatele punctului.

Să facem o înlocuire:

$$ \frac(|3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-2)+2 \cdot 6 + 5 |)( \sqrt((3^2 + (-4)^2 + 2^2) ) ) = \frac(|9+8+12+5|)(\sqrt((9+16+4))) =6.314$$ (unități liniare)
Răspuns:
Dat un cub ABCDA1B1C1D1 cu muchia egala cu 1 cm Calculati distanta de la punctul A1 la planul definit de punctele B, D si C1.
Soluţie:
Pentru a rezolva problema, aplicăm metoda coordonatelor. Originea sistemului de coordonate este situată în punctul A. Axa x este compatibilă cu muchia AD, axa y este compatibilă cu muchia AB, axa z este compatibilă cu muchia AA1.

Apoi coordonatele punctului A1 (0;0;1), punctelor B (0; 1; 0), D (1; 0; 0), C1(1; 1; 1). Punând coordonatele fiecăruia dintre puncte în ecuația generală pentru planul A·x+B·y+C·z+D=0, obținem un sistem de trei ecuații, rezolvând care găsim coeficienții și ecuația planul x+y-z-1=0.

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt((A^2 + B^2 + C^2)) ) $$, substituție :

$$ p = \frac( |1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 - 1| )( \sqrt((1+1+1)) ) = 1,155 cm$$
Răspuns:
$$ R = 1,155 cm $$
Aflați apoi distanța punctului M (2; 4; -7) la planul XOY.
Soluţie:
Ecuația planului XOY este caz special, ecuația sa este z=0. Să aplicăm formula:

$$ p = \frac( | A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( (A^2 + B^2 + C^2) ) $$ , unde A=0, B =0, С=1, D=0, x0=2, y0=4, z0=-7.

Să facem o înlocuire:

$$ p = \frac( |0 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot (-7)) + 0| )( \sqrt((0^2 + 0^2 + 1^2)) ) = 7$$
Răspuns:
Planul este determinat de un cadru de trei puncte cu coordonate în sistemul dreptunghiular A1 (0;2;1), B1(2;6;1), C1(4;0;-1). Determinați la ce distanță de acesta se află un punct cu coordonatele M (5; -3; 10).
Soluţie:
Pentru a determina distanța de la un punct la un plan, folosim formula

$$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$

Pentru a-l utiliza, este necesar să se obțină ecuația planului definit de punctele A1, B1 și C1. Forma generală din această ecuație A·x+B·y+C·z+D=0. Folosind una dintre metodele de derivare a ecuației planului (un sistem de ecuații cu coordonate de puncte sau un determinant), găsim ecuația planului, obținem $$2x-y+5z-3=0$$.

Înlocuim coeficienții obținuți ai ecuației și coordonatele punctului în formula:

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) = \frac( | 2 \cdot 5 - (-3) + 5 \cdot 10 - 3|)( \sqrt( (2^2 + (-1)^2 + 5^2) ) ) = 10,95 USD
Răspuns:
Aflați distanța de la planul 4x-6y-4z+7=0 până la originea sistemului de coordonate O.
Dat:
$$ x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad z_0 = 0 $$

$$ A = 4, \quad B = -6, \quad C = -4, \quad D = 7 $$
Soluţie:
Coordonatele originii sistemului de coordonate O(0;0;0). Să folosim formula:

$$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$ Pentru avion $$4 x-6y-4z+7=0$$,

$$ A=4, $$
$$ B=-6, $$
$$ C=-4, $$
$$ D=7. $$

Înlocuiți valorile:

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) = \frac( | 4 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 7|)( \sqrt( (4^2 + (-6)^2 + (-4)^2) ) ) = 0,85 $$
Răspuns:

Să fie un avion . Să desenăm un normal
prin originea O. Fie
sunt unghiurile formate de normală cu axe de coordonate.
. Lăsa este lungimea segmentului normal
înainte de a traversa avionul. Presupunând că cosinusurile de direcție ale normalei sunt cunoscute , derivăm ecuația planului .

Lăsa
) este un punct arbitrar al planului. Vectorul normal unitar are coordonate. Să găsim proiecția vectorului
la normal.

De la punctul M aparține avionului, atunci

Aceasta este ecuația pentru un plan dat, numită normal .

Distanța de la punct la plan

Să fie dat un avion ,M*
- un punct în spațiu d este distanța sa față de avion.

Definiție. deviere puncte M* din avion se numește numărul ( + d), dacă M* se află de cealaltă parte a planului unde direcția pozitivă a punctelor normale , și numărul (- d) dacă punctul este situat pe cealaltă parte a planului:

Teorema. Lasă avionul cu unitatea normală dat de ecuația normală:

Lăsa M*
– punct al spațiului Abaterea t. M* din plan este dat de expresia

Dovada. proiecție t.
* denota normalul Q. Abaterea punctului M* din avion este

Regulă. A găsi deviere t. M* din plan, trebuie să înlocuiți coordonatele t în ecuația normală a planului. M* . Distanța de la un punct la un plan este .

Reducerea ecuației generale a planului la forma normală

Fie același plan dat de două ecuații:

Ecuația generală,

ecuația normală.

Deoarece ambele ecuații definesc același plan, coeficienții lor sunt proporționali:

Punem la patrat primele trei egalitati si adaugam:

De aici găsim este factorul de normalizare:

. (10)

Înmulțind ecuația generală a planului cu factorul de normalizare, obținem ecuația normală a planului:

Exemple de sarcini pe tema „Avion”.

Exemplul 1 Compuneți ecuația planului trecând printr-un punct dat
(2,1,-1) și paralel cu planul.

Soluţie. Normal la avion :
. Deoarece planurile sunt paralele, normalul este de asemenea normala planului dorit . Folosind ecuația unui plan care trece printr-un punct dat (3), obținem pentru plan ecuația:

Răspuns:

Exemplul 2 Baza perpendicularei a coborât de la origine la plan , este un punct
. Aflați ecuația planului .

Soluţie. Vector
este normalul avionului . Punct M 0 aparține avionului. Puteți folosi ecuația unui plan care trece printr-un punct dat (3):

Răspuns:

Exemplul 3 Construiește avionul trecând prin puncte

și perpendicular pe plan :.

Prin urmare, pentru un moment dat M (X, y, z) aparținea avionului , este necesar ca trei vectori
au fost coplanari:

=0.

Rămâne să deschidem determinantul și să aducem expresia rezultată la forma ecuației generale (1).

Exemplul 4 Avion dat de ecuația generală:

Găsiți abaterea punctului
dintr-un plan dat.

Soluţie. Aducem ecuația planului la forma normală.

Înlocuiți în ecuația normală rezultată coordonatele punctului M*.

Răspuns:
.

Exemplul 5 Dacă segmentul intersectează planul.

Soluţie. A tăia AB traversat planul, abateri și din avion trebuie să aibă semne diferite:

Exemplul 6 Intersecția a trei plane într-un punct.

Sistemul are singura decizie, prin urmare, trei planuri au un punct comun.

Exemplul 7 Aflarea bisectoarelor unui unghi diedru format din două plane date.

Lăsa și - abaterea unui punct
din primul și al doilea plan.

Pe unul dintre planurile bisectoriale (corespunzător unghiului în care se află originea coordonatelor), aceste abateri sunt egale ca mărime și semn, iar pe de altă parte, sunt egale ca mărime și opuse ca semn.

Aceasta este ecuația primului plan bisectorial.

Aceasta este ecuația celui de-al doilea plan bisectorial.

Exemplul 8 Găsirea locației a două puncte de date și raportat la unghiurile diedrice formate de aceste plane.