probabilitate aleatorie. Sensul cuvântului „probabilitate. Manual de probabilitate

Probabilitate evenimentul este raportul dintre numărul de rezultate elementare care favorizează un anumit eveniment și numărul tuturor rezultatelor la fel de posibile ale experienței în care poate apărea acest eveniment. Probabilitatea unui eveniment A se notează cu P(A) (aici P este prima literă a cuvântului francez probabilite - probabilitate). Conform definiţiei
(1.2.1)
unde este numărul de rezultate elementare care favorizează evenimentul A; - numărul tuturor rezultatelor elementare la fel de posibile ale experienței, formând un grup complet de evenimente.
Această definiție a probabilității se numește clasică. A apărut în stadiul inițial al dezvoltării teoriei probabilităților.

Probabilitatea unui eveniment are următoarele proprietăți:
1. Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu. Să desemnăm un anumit eveniment prin litera . Pentru un anumit eveniment, deci
(1.2.2)
2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero. Notăm evenimentul imposibil prin litera . Pentru un eveniment imposibil, deci
(1.2.3)
3. Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este exprimată ca un număr pozitiv mai mic decât unu. Deoarece inegalitățile , sau sunt satisfăcute pentru un eveniment aleatoriu, atunci
(1.2.4)
4. Probabilitatea oricărui eveniment satisface inegalitățile
(1.2.5)
Aceasta rezultă din relațiile (1.2.2) -(1.2.4).

Exemplul 1 O urnă conține 10 bile de aceeași dimensiune și greutate, dintre care 4 roșii și 6 albastre. Din urnă se extrage o minge. Care este probabilitatea ca mingea extrasă să fie albastră?

Soluţie. Evenimentul „bila extrasă s-a dovedit a fi albastră” va fi notat cu litera A. Această încercare are 10 rezultate elementare la fel de posibile, dintre care 6 favorizează evenimentul A. În conformitate cu formula (1.2.1), obținem

Exemplul 2 Toate numerele naturale de la 1 la 30 sunt scrise pe carduri identice și plasate într-o urnă. După amestecarea temeinică a cărților, o carte este scoasă din urnă. Care este probabilitatea ca numărul de pe cardul extras să fie multiplu de 5?

Soluţie. Notați cu A evenimentul „numărul de pe cardul luat este un multiplu de 5”. În acest test, există 30 de rezultate elementare la fel de posibile, dintre care 6 rezultate favorizează evenimentul A (numerele 5, 10, 15, 20, 25, 30). Prin urmare,

Exemplul 3 Se aruncă două zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Aflați probabilitatea evenimentului B, constând în faptul că fețele superioare ale cuburilor vor avea în total 9 puncte.

Soluţie. Există 6 2 = 36 de rezultate elementare la fel de posibile în acest studiu. Evenimentul B este favorizat de 4 rezultate: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), deci

Exemplul 4. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 10. Care este probabilitatea ca acest număr să fie prim?

Soluţie. Notați cu litera C evenimentul „numărul ales este prim”. În acest caz, n = 10, m = 4 (primuri 2, 3, 5, 7). Prin urmare, probabilitatea dorită

Exemplul 5 Sunt aruncate două monede simetrice. Care este probabilitatea ca ambele monede să aibă cifre pe fețele de sus?

Soluţie. Să notăm cu litera D evenimentul „a fost un număr pe partea de sus a fiecărei monede”. Există 4 rezultate elementare la fel de posibile în acest test: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notația (G, C) înseamnă că pe prima monedă există o stemă, pe a doua - un număr). Evenimentul D este favorizat de un rezultat elementar (C, C). Deoarece m = 1, n = 4, atunci

Exemplul 6 Care este probabilitatea ca cifrele dintr-un număr de două cifre alese aleatoriu să fie aceleași?

Soluţie. Numerele din două cifre sunt numere de la 10 la 99; există în total 90 de astfel de numere.9 numere au aceleași cifre (acestea sunt numerele 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Deoarece în acest caz m = 9, n = 90, atunci
,
unde A este evenimentul „număr cu aceleași cifre”.

Exemplul 7 Din literele cuvântului diferenţial o literă este aleasă la întâmplare. Care este probabilitatea ca această literă să fie: a) o vocală b) o consoană c) o literă h?

Soluţie. Există 12 litere în cuvântul diferențial, dintre care 5 sunt vocale și 7 sunt consoane. Scrisori h acest cuvânt nu. Să notăm evenimentele: A - „vocală”, B - „consoană”, C - „litera h„. Numărul de rezultate elementare favorabile: - pentru evenimentul A, - pentru evenimentul B, - pentru evenimentul C. Deoarece n \u003d 12, atunci
, și .

Exemplul 8 Se aruncă două zaruri, se notează numărul de puncte de pe fața de sus a fiecărui zar. Aflați probabilitatea ca ambele zaruri să aibă același număr de puncte.

Soluţie. Să notăm acest eveniment cu litera A. Evenimentul A este favorizat de 6 rezultate elementare: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). În total, există rezultate elementare la fel de posibile care formează un grup complet de evenimente, în acest caz n=6 2 =36. Deci probabilitatea dorită

Exemplul 9 Cartea are 300 de pagini. Care este probabilitatea ca o pagină deschisă aleatoriu să aibă un număr de secvență care este multiplu de 5?

Soluţie. Din condițiile problemei rezultă că vor exista n = 300 dintre toate rezultatele elementare la fel de posibile care formează un grup complet de evenimente, dintre care m = 60 favorizează apariția evenimentului specificat. Într-adevăr, un număr care este un multiplu al lui 5 are forma 5k, unde k este un număr natural și , de unde . Prin urmare,
, unde A - evenimentul „pagină” are un număr de secvență care este multiplu de 5”.

Exemplul 10. Se aruncă două zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Ce este mai probabil să obțină un total de 7 sau 8?

Soluţie. Să desemnăm evenimentele: A – „7 puncte au căzut”, B – „8 puncte au căzut”. Evenimentul A este favorizat de 6 rezultate elementare: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) și evenimentul B - de 5 rezultate: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Există n = 6 2 = 36 dintre toate rezultatele elementare la fel de posibile. Prin urmare, și .

Deci, P(A)>P(B), adică obținerea unui total de 7 puncte este un eveniment mai probabil decât obținerea unui total de 8 puncte.

Sarcini

1. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 30. Care este probabilitatea ca acest număr să fie multiplu de 3?
2. În urnă A roşu şi b bile albastre de aceeași dimensiune și greutate. Care este probabilitatea ca o minge extrasă aleatoriu din această urnă să fie albastră?
3. Se alege la întâmplare un număr care nu depășește 30. Care este probabilitatea ca acest număr să fie divizor al lui zo?
4. În urnă A albastru și b bile roșii de aceeași dimensiune și greutate. Din această urnă se extrage o minge și se pune deoparte. Această minge este roșie. Apoi se extrage o altă minge din urnă. Găsiți probabilitatea ca a doua bilă să fie și roșie.
5. Se alege la întâmplare un număr natural care nu depășește 50. Care este probabilitatea ca acest număr să fie prim?
6. Se aruncă trei zaruri, se calculează suma punctelor de pe fețele superioare. Ce este mai probabil să obțineți un total de 9 sau 10 puncte?
7. Se aruncă trei zaruri, se calculează suma punctelor aruncate. Ce este mai probabil să obțină un total de 11 (evenimentul A) sau 12 puncte (evenimentul B)?

Răspunsuri

1. 1/3. 2 . b/(A+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(A+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - probabilitatea de a obține 9 puncte în total; p 2 \u003d 27/216 - probabilitatea de a obține 10 puncte în total; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Întrebări

1. Ce se numește probabilitatea unui eveniment?
2. Care este probabilitatea unui anumit eveniment?
3. Care este probabilitatea unui eveniment imposibil?
4. Care sunt limitele probabilității unui eveniment aleatoriu?
5. Care sunt limitele probabilității oricărui eveniment?
6. Ce definiție a probabilității se numește clasică?

Probabilitatea arată posibilitatea unui eveniment cu un anumit număr de repetări. Acesta este numărul de rezultate posibile cu unul sau mai multe rezultate împărțit la numărul total de evenimente posibile. Probabilitatea mai multor evenimente este calculată prin împărțirea problemei în probabilități separate și apoi înmulțirea acestor probabilități.

Pași

Probabilitatea unui singur eveniment aleatoriu

Alegeți un eveniment cu rezultate care se exclud reciproc. Probabilitatea poate fi calculată numai dacă evenimentul în cauză are loc sau nu are loc. Este imposibil să obții orice eveniment și rezultatul opus în același timp. Un exemplu de astfel de evenimente este aruncarea unui 5 pe un zar de joc sau câștigarea unui anumit cal într-o cursă. Cinci fie vor apărea, fie nu; un anumit cal fie va veni primul, fie nu.
- De exemplu, este imposibil să se calculeze probabilitatea unui astfel de eveniment: într-o singură aruncare a zarului, 5 și 6 se vor arunca în același timp.
Identificați toate evenimentele și rezultatele posibile care ar putea apărea. Să presupunem că trebuie să determinăm probabilitatea ca un trei de un fel să apară atunci când un zar cu 6 numere este aruncat. „Trei de un fel” este un eveniment și, din moment ce știm că oricare dintre cele 6 numere poate apărea, numărul de rezultate posibile este de șase. Astfel, știm că în acest caz există 6 rezultate posibile și un eveniment a cărui probabilitate dorim să o determinăm. Mai jos sunt încă două exemple.
- Exemplul 1. În acest caz, evenimentul este „selectarea unei zile care cade în weekend”, iar numărul de rezultate posibile este egal cu numărul de zile ale săptămânii, adică șapte.
- Exemplul 2. Evenimentul este „tragerea mingii roșii”, iar numărul de rezultate posibile este egal cu numărul total de bile, adică douăzeci.
Împărțiți numărul de evenimente la numărul de rezultate posibile.În acest fel determinați probabilitatea unui singur eveniment. Dacă luăm în considerare cazul unui 3 la o aruncare de zar, numărul de evenimente este 1 (trei sunt doar pe o parte a zarului), iar numărul total de rezultate este 6. Rezultatul este un raport de 1/6, 0,166 sau 16,6%. Probabilitatea unui eveniment pentru cele două exemple de mai sus se găsește după cum urmează:
- Exemplul 1. Care este probabilitatea ca la întâmplare să alegeți o zi care cade într-un weekend? Numărul de evenimente este 2, deoarece există două zile libere într-o săptămână, iar numărul total de rezultate este 7. Astfel, probabilitatea este de 2/7. Rezultatul obținut poate fi scris și ca 0,285 sau 28,5%.
- Exemplul 2. O cutie conține 4 bile albastre, 5 roșii și 11 albe. Dacă extragi o minge aleatorie din cutie, care este probabilitatea ca aceasta să fie roșie? Numărul de evenimente este 5, deoarece există 5 bile roșii în casetă, iar numărul total de rezultate este 20. Aflați probabilitatea: 5/20 = 1/4. Rezultatul obținut poate fi scris și ca 0,25 sau 25%.
Adunați probabilitățile tuturor evenimentelor posibile și vedeți dacă totalul este 1. Probabilitatea totală a tuturor evenimentelor posibile ar trebui să fie de 1 sau 100%. Dacă nu obțineți 100%, sunt șanse să fi făcut o greșeală și să fi ratat unul sau mai multe evenimente posibile. Verificați-vă calculele și asigurați-vă că luați în considerare toate rezultatele posibile.
- De exemplu, probabilitatea de a arunca un 3 la aruncarea unui zar este de 1/6. În acest caz, probabilitatea ca orice alt număr să cadă din restul de cinci este, de asemenea, egală cu 1/6. Ca rezultat, obținem 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, adică 100%.
- Dacă, de exemplu, uitați de numărul 4 de pe zar, adăugarea probabilităților vă va oferi doar 5/6, sau 83%, ceea ce nu este egal cu unul și indică o eroare.
Exprimați probabilitatea unui rezultat imposibil ca 0. Aceasta înseamnă că evenimentul dat nu se poate întâmpla și probabilitatea sa este 0. În acest fel, puteți lua în considerare evenimente imposibile.
- De exemplu, dacă ați calcula probabilitatea ca Paștele să cadă într-o zi de luni în 2020, ați obține 0, deoarece Paștele este sărbătorit întotdeauna duminica.
Probabilitatea apariției mai multor evenimente aleatoare
1. Când luați în considerare evenimente independente, calculați fiecare probabilitate separat. Odată ce ați determinat care sunt probabilitățile evenimentelor, acestea pot fi calculate separat. Să presupunem că vrem să știm probabilitatea de a arunca un zar de două ori la rând cu un 5. Știm că probabilitatea de a arunca unul cinci este 1/6, iar probabilitatea de a arunca al doilea cinci este, de asemenea, 1/6. Primul rezultat nu are legătură cu al doilea.
  - Sunt numite mai multe role de cinci nu evenimente dependente , pentru că ceea ce se întâmplă prima dată nu afectează al doilea eveniment.
2. Luați în considerare influența rezultatelor anterioare atunci când calculați probabilitatea pentru evenimente dependente. Dacă primul eveniment afectează probabilitatea celui de-al doilea rezultat, se spune că calculează probabilitatea evenimente dependente. De exemplu, dacă alegi două cărți dintr-un pachet de 52 de cărți, după ce prima carte este extrasă, compoziția pachetului se modifică, ceea ce afectează alegerea celei de-a doua cărți. Pentru a calcula probabilitatea celui de-al doilea dintre cele două evenimente dependente, scădeți 1 din numărul de rezultate posibile atunci când calculați probabilitatea celui de-al doilea eveniment.
  - Exemplul 1. Luați în considerare următorul eveniment: Două cărți sunt extrase aleatoriu din pachet, una după alta. Care este probabilitatea ca ambele cărți să aibă un costum de club? Probabilitatea ca prima carte să aibă un costum club este 13/52, sau 1/4, deoarece există 13 cărți cu același culoare în pachet.
    - După aceea, probabilitatea ca a doua carte să fie un costum de club este 12/51, deoarece nu mai există o singură carte de club. Acest lucru se datorează faptului că primul eveniment îl afectează pe al doilea. Dacă trageți 3 de trefte și nu îl puneți înapoi, va fi o carte mai puțin în pachet (51 în loc de 52).
  - Exemplul 2. Într-o cutie sunt 4 bile albastre, 5 roșii și 11 albe. Dacă trei bile sunt extrase la întâmplare, care este probabilitatea ca prima să fie roșie, a doua să fie albastră și a treia să fie albă?
    - Probabilitatea ca prima minge să fie roșie este de 5/20 sau 1/4. Probabilitatea ca a doua minge să fie albastră este de 4/19, deoarece a rămas o minge mai puțin în cutie, dar tot 4 albastru minge. În cele din urmă, probabilitatea ca a treia bilă să fie albă este de 11/18, deoarece am extras deja două bile.
3. Înmulțiți probabilitățile fiecărui eveniment individual. Indiferent dacă aveți de-a face cu evenimente independente sau dependente, precum și cu numărul de rezultate (pot fi 2, 3 sau chiar 10), puteți calcula probabilitatea globală înmulțind probabilitățile tuturor evenimentelor în cauză între ele. . Ca rezultat, veți obține probabilitatea mai multor evenimente, următoarele unul câte unul. De exemplu, sarcina este Găsiți probabilitatea de a arunca un zar de două ori la rând cu un 5.. Acestea sunt două evenimente independente, probabilitatea fiecăruia fiind de 1/6. Astfel, probabilitatea ambelor evenimente este 1/6 x 1/6 = 1/36, adică 0,027 sau 2,7%.
  - Exemplul 1. Două cărți sunt extrase la întâmplare din pachet, una după alta. Care este probabilitatea ca ambele cărți să aibă un costum de club? Probabilitatea primului eveniment este 13/52. Probabilitatea celui de-al doilea eveniment este 12/51. Găsim probabilitatea totală: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, adică 0,058, sau 5,8%.
  - Exemplul 2. O cutie conține 4 bile albastre, 5 roșii și 11 albe. Dacă trei bile sunt extrase aleatoriu din cutie, una după alta, care este probabilitatea ca prima să fie roșie, a doua să fie albastră și a treia să fie albă? Probabilitatea primului eveniment este 5/20. Probabilitatea celui de-al doilea eveniment este 4/19. Probabilitatea celui de-al treilea eveniment este 11/18. Deci probabilitatea totală este 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032, sau 3,2%.

Când evaluăm probabilitatea apariției oricărui eveniment aleatoriu, este foarte important să avem o idee bună în prealabil dacă probabilitatea (probabilitatea evenimentului) de apariție a evenimentului care ne interesează depinde de modul în care se dezvoltă alte evenimente. În cazul schemei clasice, când toate rezultatele sunt la fel de probabile, putem deja estima singuri valorile probabilității evenimentului individual care ne interesează. Putem face acest lucru chiar dacă evenimentul este o colecție complexă de mai multe rezultate elementare. Și dacă mai multe evenimente întâmplătoare apar simultan sau secvenţial? Cum afectează acest lucru probabilitatea evenimentului care ne interesează? Dacă arunc un zar de câteva ori și vreau să obțin un șase și sunt mereu ghinionist, înseamnă asta că ar trebui să-mi măresc pariul pentru că, conform teoriei probabilităților, sunt pe cale să am noroc? Din păcate, teoria probabilității nu spune nimic de acest gen. Nici zarurile, nici cărțile, nici monedele nu își pot aminti ce ne-au arătat ultima dată. Nu contează deloc pentru ei dacă pentru prima oară sau pentru a zecea oară astăzi îmi testez soarta. De fiecare dată când arunc din nou, știu un singur lucru: și de data aceasta probabilitatea de a da din nou un „șase” este de o șesime. Desigur, asta nu înseamnă că numărul de care am nevoie nu va cădea niciodată. Înseamnă doar că pierderea mea după prima rolă și după orice altă rolă - evenimente independente. Evenimentele A și B se numesc independente dacă realizarea unuia dintre ele nu afectează în niciun fel probabilitatea celuilalt eveniment. De exemplu, probabilitățile de a lovi o țintă cu prima dintre cele două tunuri nu depind de faptul dacă cealaltă armă a lovit ținta, astfel încât evenimentele „prima armă a lovit ținta” și „a doua armă a lovit ținta” sunt independente. Dacă două evenimente A și B sunt independente și probabilitatea fiecăruia dintre ele este cunoscută, atunci probabilitatea apariției simultane atât a evenimentului A, cât și a evenimentului B (notat cu AB) poate fi calculată folosind următoarea teoremă.

Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente

P(AB) = P(A)*P(B) probabilitatea apariției simultane a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente.

Exemplul 1. Probabilitățile de lovire a țintei la tragerea cu primul și respectiv al doilea tun sunt egale: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Găsiți probabilitatea de a lovi cu o salvă de ambele arme simultan.

După cum am văzut deja, evenimentele A (lovită de prima armă) și B (lovită de a doua armă) sunt independente, adică. P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56. Ce se întâmplă cu estimările noastre dacă evenimentele inițiatoare nu sunt independente? Să schimbăm puțin exemplul anterior.

Exemplul 2 Doi trăgători dintr-o competiție trag în ținte, iar dacă unul dintre ei trage cu precizie, atunci adversarul începe să devină nervos, iar rezultatele sale se înrăutățesc. Cum să transformi această situație de zi cu zi într-o problemă matematică și să schițezi modalități de a o rezolva? Este intuitiv clar că este necesar să separăm cumva cele două scenarii, să compunem, de fapt, două scenarii, două sarcini diferite. În primul caz, dacă adversarul ratează, scenariul va fi favorabil sportivului nervos și precizia acestuia va fi mai mare. În al doilea caz, dacă adversarul și-a realizat decent șansa, probabilitatea de a lovi ținta pentru al doilea sportiv este redusă. Pentru a separa posibilele scenarii (deseori sunt numite ipoteze) de desfășurare a evenimentelor, vom folosi adesea schema „arborele probabilității”. Această diagramă este similară ca semnificație cu arborele de decizie, cu care probabil ați avut deja de a face. Fiecare ramură este un scenariu separat, doar că acum are propria sa valoare a așa-numitei probabilități condiționate (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Această schemă este foarte convenabilă pentru analiza evenimentelor aleatoare succesive. Rămâne să clarificăm încă o întrebare importantă: de unde provin valorile inițiale ale probabilităților în situații reale? La urma urmei, teoria probabilității nu funcționează cu aceleași monede și zaruri, nu-i așa? De obicei, aceste estimări sunt luate din statistici, iar când statisticile nu sunt disponibile, ne desfășurăm propriile cercetări. Și adesea trebuie să începem nu cu colectarea de date, ci cu întrebarea de ce informații avem nevoie în general.

Exemplul 3Într-un oraș de 100.000 de locuitori, să presupunem că trebuie să estimăm dimensiunea pieței pentru un produs nou neesențial, cum ar fi un balsam de păr vopsit. Să luăm în considerare schema „arborele probabilităților”. În acest caz, trebuie să estimăm aproximativ valoarea probabilității pe fiecare „ramură”. Deci, estimările noastre privind capacitatea pieței:

1) 50% din toți locuitorii orașului sunt femei,

2) dintre toate femeile, doar 30% își vopsesc părul des,

3) dintre aceștia, doar 10% folosesc balsamuri pentru părul vopsit,

4) dintre aceștia, doar 10% își pot face curajul să încerce un produs nou,

5) 70% dintre ei cumpără de obicei totul nu de la noi, ci de la concurenții noștri.

Conform legii înmulțirii probabilităților, determinăm probabilitatea evenimentului care ne interesează A \u003d (un locuitor al orașului cumpără acest nou balsam de la noi) \u003d 0,00045. Înmulțiți această valoare a probabilității cu numărul de locuitori ai orașului. Ca urmare, avem doar 45 de potențiali cumpărători și, având în vedere că o fiolă din acest produs durează câteva luni, comerțul nu este foarte animat. Cu toate acestea, există beneficii din evaluările noastre. În primul rând, putem compara previziunile diferitelor idei de afaceri, acestea vor avea diferite „furci” pe diagrame și, desigur, valorile probabilității vor fi, de asemenea, diferite. În al doilea rând, așa cum am spus deja, valoare aleatorie Nu se numește aleatoriu pentru că nu depinde deloc de nimic. Doar că sensul său exact nu este cunoscut dinainte. Știm că numărul mediu de cumpărători poate fi crescut (de exemplu, prin promovarea unui produs nou). Așa că are sens să ne concentrăm asupra acelor „furci” în care distribuția probabilităților nu ni se potrivește în mod deosebit, asupra acelor factori pe care suntem capabili să-i influențăm. Luați în considerare un alt exemplu cantitativ de cercetare a comportamentului consumatorilor.

Exemplul 3În medie, 10.000 de oameni vizitează piața alimentară pe zi. Probabilitatea ca un vizitator al pieței să intre într-un pavilion de produse lactate este de 1/2. Se știe că în acest pavilion se vând în medie 500 kg de diverse produse pe zi. Se poate argumenta că achiziția medie în pavilion cântărește doar 100 g?

Discuţie.

Desigur că nu. Este clar că nu toți cei care au intrat în pavilion au ajuns să cumpere ceva de acolo.

După cum se arată în diagramă, pentru a răspunde la întrebarea despre greutatea medie de achiziție, trebuie să găsim răspunsul la întrebarea care este probabilitatea ca o persoană care intră în pavilion să cumpere ceva acolo. Dacă nu avem la dispoziție astfel de date, dar avem nevoie de ele, va trebui să le obținem singuri, după ce vom observa de ceva vreme vizitatorii pavilionului. Să presupunem că observațiile noastre arată că doar o cincime dintre vizitatorii pavilionului cumpără ceva. Imediat ce aceste estimări sunt obținute de noi, sarcina devine deja simplă. Din cei 10.000 de oameni care au venit pe piață, 5.000 vor merge la pavilionul de produse lactate, vor fi doar 1.000 de achiziții.Greutatea medie de achiziție este de 500 de grame. Este interesant de observat că, pentru a construi o imagine completă a ceea ce se întâmplă, logica „ramificării” condiționate trebuie definită în fiecare etapă a raționamentului nostru la fel de clar ca și cum am lucra cu o situație „concretă”, și nu cu probabilităţi.

Sarcini pentru autoexaminare.

1. Lasă-l să mănânce circuit electric, constând din n elemente conectate în serie, fiecare dintre ele funcționând independent de celelalte. Este cunoscută probabilitatea p de nedefecțiune a fiecărui element. Determinați probabilitatea de funcționare corectă a întregii secțiuni a circuitului (eveniment A).

2. Elevul cunoaște 20 din cele 25 de întrebări de examen. Găsiți probabilitatea ca elevul să cunoască cele trei întrebări care i-au fost adresate de examinator.

3. Producția constă din patru etape succesive, fiecare din care funcționează echipamente pentru care probabilitățile de defecțiune în cursul lunii următoare sunt, respectiv, p 1 , p 2 , p 3 și p 4 . Găsiți probabilitatea ca într-o lună să nu se întrerupă producția din cauza defecțiunii echipamentului.

În economie, precum și în alte domenii ale activității umane sau în natură, trebuie să ne confruntăm constant cu evenimente care nu pot fi prezise cu exactitate. Astfel, volumul vânzărilor de mărfuri depinde de cerere, care poate varia semnificativ, și de o serie de alți factori care sunt aproape imposibil de luat în considerare. Prin urmare, în organizarea producției și vânzărilor, trebuie să preziceți rezultatul unor astfel de activități, fie pe baza propriei experiențe anterioare, fie pe experiența similară a altor oameni, fie pe intuiție, care se bazează, de asemenea, în mare parte pe date experimentale.

Pentru a evalua cumva evenimentul luat în considerare este necesar să se țină cont sau să se organizeze special condițiile în care este înregistrat acest eveniment.

Se apelează la implementarea anumitor condiții sau acțiuni pentru identificarea evenimentului în cauză experienţă sau experiment.

Evenimentul este numit Aleatoriu dacă, ca urmare a experimentului, acesta poate să apară sau nu.

Evenimentul este numit de încredere, dacă apare neapărat ca urmare a acestei experiențe, și imposibil dacă nu poate apărea în această experienţă.

De exemplu, ninsoarea la Moscova pe 30 noiembrie este un eveniment întâmplător. Răsăritul zilnic poate fi considerat un anumit eveniment. Ninsorile de la ecuator pot fi văzute ca un eveniment imposibil.

Una dintre principalele probleme în teoria probabilității este problema determinării unei măsuri cantitative a posibilității ca un eveniment să se producă.

Algebra evenimentelor

Evenimentele sunt numite incompatibile dacă nu pot fi observate împreună în aceeași experiență. Astfel, prezența a două și trei mașini într-un magazin de vânzare în același timp sunt două evenimente incompatibile.

sumă evenimente este un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente

Un exemplu de sumă de evenimente este prezența a cel puțin unul dintre cele două produse într-un magazin.

muncă evenimente se numește eveniment constând în producerea simultană a tuturor acestor evenimente

Un eveniment constând în apariția a două mărfuri în același timp în magazin este un produs al unor evenimente: - apariția unui produs, - apariția unui alt produs.

Evenimentele formează un grup complet de evenimente dacă cel puțin unul dintre ele are loc în mod necesar în experiență.

Exemplu. Portul are două dane pentru nave. Pot fi avute în vedere trei evenimente: - absența navelor la dane, - prezența unei nave la una dintre dane, - prezența a două nave la două dane. Aceste trei evenimente formează un grup complet de evenimente.

Opus sunt numite două evenimente posibile unice care formează un grup complet.

Dacă unul dintre evenimentele opuse este notat cu , atunci evenimentul opus este de obicei notat cu .

Definiții clasice și statistice ale probabilității unui eveniment

Fiecare dintre rezultatele testelor (experimente) la fel de posibile se numește rezultat elementar. Ele sunt de obicei notate cu litere. De exemplu, se aruncă un zar. Pot exista șase rezultate elementare în funcție de numărul de puncte de pe părți.

Din rezultatele elementare, puteți compune un eveniment mai complex. Deci, evenimentul unui număr par de puncte este determinat de trei rezultate: 2, 4, 6.

O măsură cantitativă a posibilității de apariție a evenimentului luat în considerare este probabilitatea.

Cel mai utilizare largă a primit două definiții ale probabilității unui eveniment: clasicși statistic.

Definiția clasică a probabilității este legată de noțiunea de rezultat favorabil.

Exodul se numește favorabil acest eveniment, dacă producerea lui implică producerea acestui eveniment.

În exemplul dat, evenimentul luat în considerare este un număr par de puncte pe marginea căzută, are trei rezultate favorabile. În acest caz, generalul
numărul de rezultate posibile. Deci, aici puteți folosi definiția clasică a probabilității unui eveniment.

Definiție clasică este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate posibile

unde este probabilitatea evenimentului, este numărul de rezultate favorabile pentru eveniment, este numărul total rezultate posibile.

În exemplul considerat

Definiția statistică a probabilității este asociată cu conceptul de frecvență relativă de apariție a unui eveniment în experimente.

Frecvența relativă de apariție a unui eveniment este calculată prin formula

unde este numărul de apariție a unui eveniment într-o serie de experimente (teste).

Definiție statistică. Probabilitatea unui eveniment este numărul relativ la care frecvența relativă este stabilizată (stabilită) cu o creștere nelimitată a numărului de experimente.

În problemele practice, frecvența relativă este luată drept probabilitatea unui eveniment la un nivel suficient numere mari teste.

Din aceste definiții ale probabilității unui eveniment, se poate observa că inegalitatea este întotdeauna valabilă

Pentru a determina probabilitatea unui eveniment pe baza formulei (1.1), formulele combinatorice sunt adesea folosite pentru a găsi numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate posibile.

Este puțin probabil ca mulți oameni să se gândească dacă este posibil să se calculeze evenimente care sunt mai mult sau mai puțin aleatorii. Vorbitor in termeni simpli, dacă este realist să știm care parte a zarului va cădea data viitoare. Aceasta a fost întrebarea pe care și-au pus-o doi mari oameni de știință, care au pus bazele unei astfel de științe precum teoria probabilității, în care probabilitatea unui eveniment este studiată destul de amplu.

Origine

Dacă încercați să definiți un astfel de concept ca teoria probabilității, obțineți următoarele: aceasta este una dintre ramurile matematicii care studiază constanța evenimentelor aleatoare. Desigur, acest concept nu dezvăluie cu adevărat întreaga esență, așa că este necesar să îl luăm în considerare mai detaliat.

Aș vrea să încep cu creatorii teoriei. După cum am menționat mai sus, au fost doi dintre ei și ei au fost printre primii care au încercat să calculeze rezultatul unui eveniment folosind formule și calcule matematice. În general, începuturile acestei științe au apărut în Evul Mediu. La acea vreme, diverși gânditori și oameni de știință au încercat să analizeze jocurile de noroc, cum ar fi ruleta, zarurile și așa mai departe, stabilind astfel un model și un procent al unui anumit număr de cădere. Fundația a fost pusă în secolul al XVII-lea de oamenii de știință menționați mai sus.

La început, munca lor nu putea fi pusă pe seama marilor realizări în acest domeniu, deoarece tot ceea ce au făcut au fost pur și simplu fapte empirice, iar experimentele au fost făcute vizual, fără a folosi formule. De-a lungul timpului, s-a dovedit a obține rezultate grozave, care au apărut ca urmare a observării aruncării zarurilor. Acesta a fost instrumentul care a ajutat la derivarea primelor formule inteligibile.

Oameni cu aceeasi gandire

Este imposibil să nu menționăm o astfel de persoană precum Christian Huygens, în procesul de studiu a unui subiect numit „teoria probabilității” (probabilitatea unui eveniment este acoperită tocmai în această știință). Această persoană este foarte interesantă. El, la fel ca oamenii de știință prezentați mai sus, a încercat să obțină regularitatea evenimentelor aleatoare sub formă de formule matematice. Este de remarcat că nu a făcut acest lucru împreună cu Pascal și Fermat, adică toate lucrările sale nu s-au intersectat în niciun fel cu aceste minți. A scos Huygens

Un fapt interesant este că munca sa a apărut cu mult înainte de rezultatele muncii descoperitorilor, sau mai degrabă, cu douăzeci de ani mai devreme. Dintre conceptele desemnate, cele mai cunoscute sunt:

conceptul de probabilitate ca mărime a hazardului;
așteptări matematice pentru cazuri discrete;
teoreme ale înmulțirii și adunării probabilităților.

De asemenea, este imposibil să nu ne amintim cine a avut și o contribuție semnificativă la studiul problemei. Făcându-și propriile teste, independent de oricine, a reușit să prezinte o dovadă a legii numere mari. La rândul lor, oamenii de știință Poisson și Laplace, care au lucrat la începutul secolului al XIX-lea, au reușit să demonstreze teoremele originale. Din acest moment, teoria probabilității a început să fie folosită pentru a analiza erorile în cursul observațiilor. bypass lateral această știință nici oamenii de știință ruși, sau mai degrabă Markov, Cebyshev și Dyapunov. Pe baza muncii făcute de marile genii, ei au fixat acest subiect ca ramură a matematicii. Aceste figuri au funcționat deja la sfârșitul secolului al XIX-lea și, datorită contribuției lor, fenomene precum:

legea numerelor mari;
teoria lanțurilor Markov;
teorema limitei centrale.

Deci, cu istoria nașterii științei și cu principalii oameni care au influențat-o, totul este mai mult sau mai puțin clar. Acum este timpul să concretizăm toate faptele.

Noțiuni de bază

Înainte de a atinge legi și teoreme, merită să studiezi conceptele de bază ale teoriei probabilităților. Evenimentul are rolul principal în el. Acest subiect este destul de voluminos, dar fără el nu va fi posibil să înțelegeți totul.

Un eveniment în teoria probabilității este orice set de rezultate ale unui experiment. Nu există atât de multe concepte ale acestui fenomen. Deci, omul de știință Lotman, care lucrează în acest domeniu, a spus că în acest caz vorbim despre ceea ce „s-a întâmplat, deși s-ar putea să nu se fi întâmplat”.

Evenimentele aleatoare (teoria probabilității le acordă o atenție deosebită) este un concept care implică absolut orice fenomen care are capacitatea de a se produce. Sau, dimpotrivă, acest scenariu poate să nu se întâmple atunci când sunt îndeplinite multe condiții. De asemenea, merită să știți că evenimentele aleatoare sunt cele care surprind întregul volum de fenomene care au avut loc. Teoria probabilității indică faptul că toate condițiile pot fi repetate în mod constant. Conduita lor a fost numită „experiment” sau „test”.

Un anumit eveniment este unul care va avea loc 100% într-un anumit test. Prin urmare, un eveniment imposibil este unul care nu se va întâmpla.

Combinația unei perechi de acțiuni (condiționat cazul A și cazul B) este un fenomen care are loc simultan. Ele sunt desemnate ca AB.

Suma perechilor de evenimente A și B este C, cu alte cuvinte, dacă se întâmplă cel puțin unul dintre ele (A sau B), atunci se va obține C. Formula fenomenului descris este scrisă după cum urmează: C \u003d A + B.

Evenimentele disjunctive în teoria probabilității implică faptul că cele două cazuri se exclud reciproc. Ele nu se pot întâmpla niciodată în același timp. Evenimentele comune în teoria probabilității sunt antipodul lor. Aceasta înseamnă că dacă A s-a întâmplat, atunci nu îl împiedică în niciun fel pe B.

Evenimentele opuse (teoria probabilității le tratează în detaliu) sunt ușor de înțeles. Cel mai bine este să le faceți față în comparație. Sunt aproape la fel ca evenimentele incompatibile din teoria probabilității. Dar diferența lor constă în faptul că unul dintre multele fenomene, în orice caz, trebuie să se producă.

Evenimente la fel de probabile sunt acele acțiuni, a căror posibilitate de repetare este egală. Pentru a fi mai clar, ne putem imagina aruncarea unei monede: pierderea uneia dintre fețele sale este la fel de probabil să cadă din cealaltă.

Un eveniment favorabil este mai ușor de văzut cu un exemplu. Să presupunem că există episodul B și episodul A. Primul este aruncarea zarului cu apariția unui număr impar, iar al doilea este apariția numărului cinci pe zar. Apoi se dovedește că A îl favorizează pe B.

Evenimentele independente din teoria probabilității sunt proiectate doar pe două sau mai multe cazuri și implică independența oricărei acțiuni față de alta. De exemplu, A - scăpa cozi când aruncă o monedă și B - obține un jack de pe punte. Sunt evenimente independente în teoria probabilității. În acest moment, a devenit mai clar.

Evenimentele dependente în teoria probabilităților sunt, de asemenea, admisibile numai pentru mulțimea lor. Ele implică dependența unuia de celălalt, adică fenomenul B poate apărea numai dacă A s-a întâmplat deja sau, dimpotrivă, nu s-a întâmplat atunci când aceasta este condiția principală pentru B.

Rezultatul unui experiment aleatoriu constând dintr-o componentă este evenimente elementare. Teoria probabilității explică că acesta este un fenomen care s-a întâmplat o singură dată.

Formule de bază

Deci, conceptele de „eveniment”, „teoria probabilității” au fost luate în considerare mai sus, a fost dată și definiția termenilor principali ai acestei științe. Acum este timpul să faceți cunoștință directă cu formulele importante. Aceste expresii confirmă matematic toate conceptele principale dintr-un subiect atât de dificil precum teoria probabilității. Probabilitatea unui eveniment joacă și aici un rol important.

Este mai bine să începeți cu cele principale și înainte de a trece la ele, merită să luați în considerare ce este.

Combinatoria este în primul rând o ramură a matematicii, se ocupă de studiul unui număr mare de numere întregi, precum și de diverse permutări atât ale numerelor în sine, cât și ale elementelor lor, diferite date etc., ducând la apariția unui număr de combinații. Pe lângă teoria probabilității, această ramură este importantă pentru statistică, informatică și criptografie.

Deci, acum puteți trece la prezentarea formulelor în sine și definirea lor.

Prima dintre acestea va fi o expresie pentru numărul de permutări, arată astfel:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Ecuația se aplică numai dacă elementele diferă doar în ordinea lor.

Acum va fi luată în considerare formula de plasare, arată astfel:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Această expresie este aplicabilă nu numai ordinii elementului, ci și compoziției acestuia.

A treia ecuație din combinatorică, și este și ultima, se numește formula pentru numărul de combinații:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

O combinație se numește selecție care nu este ordonată, respectiv, iar această regulă se aplică acestora.

S-a dovedit a fi ușor să ne dăm seama de formulele combinatoricei, acum putem trece la definiția clasică a probabilităților. Această expresie arată astfel:

În această formulă, m este numărul de condiții favorabile evenimentului A și n este numărul absolut al tuturor rezultatelor la fel de posibile și elementare.

Există un număr mare de expresii, articolul nu le va acoperi pe toate, dar vor fi atinse cele mai importante dintre ele, cum ar fi, de exemplu, probabilitatea sumei evenimentelor:

P(A + B) = P(A) + P(B) - această teoremă este pentru a adăuga doar evenimente incompatibile;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - și acesta este pentru adăugarea doar a celor compatibile.

Probabilitatea producerii evenimentelor:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - această teoremă este pentru evenimente independente;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - iar acesta este pentru persoanele aflate în întreținere.

Formula de eveniment va încheia lista. Teoria probabilității ne spune despre teorema lui Bayes, care arată astfel:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

În această formulă, H 1 , H 2 , …, H n este grupul complet de ipoteze.

Exemple

Dacă studiezi cu atenție orice ramură a matematicii, aceasta nu este completă fără exerciții și soluții mostre. La fel este și teoria probabilității: evenimentele, exemplele de aici sunt o componentă integrală care confirmă calculele științifice.

Formula pentru numărul de permutări

Să presupunem că există treizeci de cărți într-un pachet de cărți, începând cu valoarea nominală unu. Urmatoarea intrebare. Câte moduri există de a stivui pachetul astfel încât cărțile cu valoarea nominală de unu și doi să nu fie una lângă alta?

Sarcina este stabilită, acum să trecem la rezolvarea ei. Mai întâi trebuie să determinați numărul de permutări a treizeci de elemente, pentru aceasta luăm formula de mai sus, rezultă că P_30 = 30!.

Pe baza acestei reguli, vom afla câte opțiuni există pentru a plia pachetul în moduri diferite, dar trebuie să scădem din ele pe acelea în care urmează prima și a doua carte. Pentru a face acest lucru, să începem cu opțiunea când primul este deasupra celui de-al doilea. Se pare că prima carte poate ocupa douăzeci și nouă de locuri - de la prima la a douăzeci și nouă, iar a doua carte de la a doua la a treizecea, rezultă doar douăzeci și nouă de locuri pentru o pereche de cărți. La rândul său, restul poate ocupa douăzeci și opt de locuri și în orice ordine. Adică, pentru o permutare de douăzeci și opt de cărți, există douăzeci și opt de opțiuni P_28 = 28!

Ca urmare, reiese că dacă luăm în considerare soluția când prima carte este deasupra celei de-a doua, există 29 ⋅ 28 de posibilități suplimentare! = 29!

Folosind aceeași metodă, trebuie să calculați numărul de opțiuni redundante pentru cazul în care primul card este sub al doilea. De asemenea, se dovedește 29 ⋅ 28! = 29!

Din aceasta rezultă că există 2 ⋅ 29! opțiuni suplimentare, în timp ce există 30 de moduri necesare pentru a construi pachetul! - 2 ⋅ 29!. Rămâne doar să numărăm.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Acum trebuie să înmulțiți toate numerele de la unu la douăzeci și nouă între ele, iar apoi, la sfârșit, să înmulțiți totul cu 28. Răspunsul este 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Exemplu de soluție. Formula pentru numărul de plasare

În această problemă, trebuie să aflați câte moduri există de a pune cincisprezece volume pe un raft, dar cu condiția ca în total să fie treizeci de volume.

În această problemă, soluția este puțin mai simplă decât în cea anterioară. Folosind formula deja cunoscută, este necesar să se calculeze numărul total de aranjamente din treizeci de volume de cincisprezece.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 7270 3

Răspunsul, respectiv, va fi egal cu 202.843.204.931.727.360.000.

Acum să luăm sarcina un pic mai dificilă. Trebuie să aflați câte moduri există de a aranja treizeci de cărți pe două rafturi, cu condiția ca doar cincisprezece volume să poată fi pe un raft.

Înainte de a începe soluția, aș dori să clarific că unele probleme sunt rezolvate în mai multe moduri, așa că există două moduri în aceasta, dar aceeași formulă este folosită în ambele.

În această problemă, puteți lua răspunsul din cea anterioară, pentru că acolo am calculat de câte ori puteți umple un raft cu cincisprezece cărți în moduri diferite. S-a dovedit A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Calculăm al doilea raft după formula de permutare, deoarece în el sunt plasate cincisprezece cărți, în timp ce rămân doar cincisprezece. Folosim formula P_15 = 15!.

Se pare că în total vor exista moduri A_30^15 ⋅ P_15, dar, în plus, produsul tuturor numerelor de la treizeci la șaisprezece va trebui înmulțit cu produsul numerelor de la unu la cincisprezece, ca urmare, se va obține produsul tuturor numerelor de la unu la treizeci, adică răspunsul este egal cu 30!

Dar această problemă poate fi rezolvată într-un mod diferit - mai ușor. Pentru a face acest lucru, vă puteți imagina că există un raft pentru treizeci de cărți. Toate sunt plasate pe acest plan, dar din moment ce condiția cere să existe două rafturi, tăiem unul lung în jumătate, rezultă două câte cincisprezece fiecare. Din aceasta rezultă că opțiunile de plasare pot fi P_30 = 30!.

Exemplu de soluție. Formula pentru numărul combinației

Acum vom lua în considerare o variantă a celei de-a treia probleme din combinatorică. Trebuie să aflați câte moduri există de a aranja cincisprezece cărți, cu condiția să alegeți dintre treizeci de cărți absolut identice.

Pentru soluție, desigur, se va aplica formula pentru numărul de combinații. Din condiție devine clar că ordinea celor cincisprezece cărți identice nu este importantă. Prin urmare, inițial trebuie să aflați numărul total de combinații de treizeci de cărți de cincisprezece.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : cincisprezece ! = 155 117 520

Asta e tot. Folosind această formulă, în cel mai scurt timp posibil s-a putut rezolva o astfel de problemă, respectiv răspunsul este 155 117 520.

Exemplu de soluție. Definiția clasică a probabilității

Folosind formula de mai sus, puteți găsi răspunsul într-o problemă simplă. Dar vă va ajuta să vedeți vizual și să urmăriți cursul acțiunilor.

Problema este dată de faptul că în urnă sunt zece bile absolut identice. Dintre acestea, patru sunt galbene și șase albastre. Se ia o minge din urna. Trebuie să aflați probabilitatea de a obține albastru.

Pentru a rezolva problema, este necesar să se desemneze obținerea bilei albastre ca eveniment A. Această experiență poate avea zece rezultate, care, la rândul lor, sunt elementare și la fel de probabile. În același timp, șase din zece sunt favorabile pentru evenimentul A. Rezolvăm folosind formula:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Aplicând această formulă, am aflat că probabilitatea de a obține o minge albastră este de 0,6.

Exemplu de soluție. Probabilitatea sumei evenimentelor

Acum va fi prezentată o variantă, care se rezolvă folosind formula pentru probabilitatea sumei evenimentelor. Așadar, în condițiile în care există două cutii, prima conține o bile gri și cinci albe, iar a doua conține opt bile gri și patru albe. Drept urmare, una dintre ele a fost luată din prima și a doua casetă. Este necesar să aflați care este șansa ca bilele scoase să fie gri și albe.

Pentru a rezolva această problemă, este necesar să se desemneze evenimente.

Deci, A - ia o minge gri din prima casetă: P(A) = 1/6.
A '- au luat o minge albă tot din prima casetă: P (A ") \u003d 5/6.
B - o minge gri a fost scoasă deja din a doua casetă: P(B) = 2/3.
B' - au luat o minge cenușie din a doua casetă: P(B") = 1/3.

După starea problemei, este necesar ca unul dintre fenomene să se producă: AB 'sau A'B. Folosind formula, obținem: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Acum a fost folosită formula de înmulțire a probabilității. În continuare, pentru a afla răspunsul, trebuie să aplicați ecuația pentru adăugarea lor:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Deci, folosind formula, puteți rezolva probleme similare.

Rezultat

Articolul a oferit informații despre tema „Teoria probabilității”, în care probabilitatea unui eveniment joacă un rol crucial. Desigur, nu s-a luat în considerare totul, dar, pe baza textului prezentat, teoretic se poate face cunoștință cu această secțiune a matematicii. Știința în cauză poate fi utilă nu numai în munca profesională, ci și în Viata de zi cu zi. Cu ajutorul lui, puteți calcula orice posibilitate a oricărui eveniment.

Textul a atins, de asemenea, date semnificative din istoria formării teoriei probabilității ca știință și numele oamenilor ale căror lucrări au fost investite în ea. Acesta este modul în care curiozitatea umană a dus la faptul că oamenii au învățat să calculeze chiar și evenimente aleatorii. Cândva erau doar interesați de asta, dar astăzi toată lumea știe deja despre asta. Și nimeni nu va spune ce ne așteaptă în viitor, ce alte descoperiri strălucitoare legate de teoria luată în considerare se vor face. Dar un lucru este sigur - cercetarea nu sta pe loc!