Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcije stepena. Negativni celobrojni eksponent. Grafikon funkcije stepena"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 9. razred
Interaktivni priručnik "Pravila i vježbe iz algebre" za 9. razred
Multimedijalni udžbenik za 9. razred "Algebra za 10 minuta"

Vrsta funkcije stepena s negativnim eksponentom

Ljudi, nastavljamo proučavati numeričke funkcije. Tema današnje lekcije biće i funkcije stepena, ali ne sa prirodnim eksponentom, već sa negativnim celim brojem.
izgleda ovako: $y=x^(-n)=\frac(1)(x^n)$.
Jedna od ovih funkcija koju vrlo dobro poznajemo je hiperbola. Ljudi, sjećate li se grafa hiperbole? Izgradite ga sami.

Pogledajmo jednu od funkcija prikladnih za nas i definiramo svojstva za nju. $y=x^(-2)=\frac(1)(x^2)$.
Počnimo sa paritetom. Vrijedi napomenuti da svojstvo parnosti uvelike pojednostavljuje konstrukciju grafova funkcija, jer možemo da napravimo polovinu grafikona i onda ga samo odrazimo.
Domen naše funkcije je skup realnih brojeva, osim nule, svi dobro znamo da ne možete dijeliti sa nulom. Domen definicije je simetričan skup, prelazimo na izračunavanje vrijednosti funkcije iz negativnog argumenta.
$f(-x)=\frac(1)((-x)^2)=\frac(1)(x^2)=f(x)$.
Naša funkcija je ujednačena. Dakle, možemo napraviti graf za $x≥0$, a zatim ga odraziti duž y-ose.
Ljudi, ovaj put predlažem da zajedno napravimo graf funkcija, kao što to rade u matematici za odrasle. Prvo definišemo svojstva naše funkcije, a zatim gradimo graf na osnovu njih. Uzet ćemo u obzir da je $x>0$.
1. Domena D(y)=(0;+∞).
2. Funkcija se smanjuje. Hajde da to proverimo. Neka $x1 \frac(1)(x_(2)^2)$. Pošto dijelimo s većim brojem, ispada da je sama funkcija in više biće manje, što znači opadanje.
3. Funkcija je ograničena odozdo. Očigledno je da je $\frac(1)(x^2)>0$, što znači da je ograničeno odozdo.
Ne postoji gornja granica, jer ako vrijednost argumenta uzmemo vrlo malu, blizu nule, tada će vrijednost funkcije težiti plus beskonačnosti.
4. Ne postoji maksimalna ili minimalna vrijednost. Ne postoji maksimalna vrijednost, jer funkcija nije ograničena odozgo. Što je s najmanjom vrijednošću, jer je funkcija ograničena odozdo.

Šta znači da funkcija ima najmanju vrijednost?

Postoji tačka x0 takva da za sve x iz domene $f(x)≥f(x0)$, ali je naša funkcija opadajuća na cijeloj domeni, onda postoji takav broj $h1>x0$, ali $f (x1)

Grafičke funkcije stepena s negativnim eksponentima

Napravimo graf naše funkcije po tačkama.




Graf naše funkcije je vrlo sličan grafu hiperbole.
Koristimo svojstvo parnosti i odrazimo graf duž y-ose.

Napišimo svojstva naše funkcije za sve x vrijednosti.
1) D(y)=(-∞;0)U(0;+∞).
2) Parna funkcija.
3) Povećava se za (-∞;0], smanjuje se za .
Rješenje. Funkcija se smanjuje u cijeloj domeni definicije, zatim dostiže maksimalnu i minimalnu vrijednost na krajevima segmenta. Najveća vrijednost će biti na lijevom kraju segmenta $f(1)=1$, najmanja na desnom kraju $f(3)=\frac(1)(27)$.
Odgovor: Najveća vrijednost je 1, najmanja je 1/27.

Primjer. Iscrtajte funkciju $y=(x+2)^(-4)+1$.
Rješenje. Graf naše funkcije se dobija iz grafa funkcije $y=x^(-4)$ pomicanjem za dvije jedinice lijevo i jednu jedinicu gore.
Napravimo graf:

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije $y=\frac(1)(x^4)$ na segmentu .
2. Iscrtajte funkciju $y=(x-3)^(-5)+2$.

Funkcije y \u003d ax, y \u003d ax 2, y \u003d a / x - posebne su vrste funkcije snage n = 1, n = 2, n = -1 .

Ako n razlomak broj str/ q sa parnim imeniocem q i neparni brojnik R, zatim vrijednost može imati dva predznaka, a graf ima još jedan dio na dnu x-ose X, a simetrično je u odnosu na gornji dio.

Vidimo graf dvovrijedne funkcije y \u003d ± 2x 1/2, tj. predstavljen parabolom sa horizontalnom osom.

Grafovi funkcija y = xn at n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Ovi grafovi prolaze kroz tačku (1; 1).

Kada n = -1 dobijamo hiperbola. At n < - 1 graf funkcije stepena se prvo nalazi iznad hiperbole, tj. između x = 0 i x = 1, a zatim ispod (at x > 1). Ako a n> -1 graf radi obrnuto. Negativne vrijednosti X i frakcijske vrijednosti n slično za pozitivno n.

Svi grafovi se približavaju neograničeno kao x-osi X, kao i na y-osu at a da ne dođe u kontakt sa njima. Zbog njihove sličnosti sa hiperbolom, ovi grafovi se nazivaju hiperbole. n th red.

1. Analiza obrazovne literature na temu: “Svojstva funkcije moći”

Izučavanje funkcije stepena počinje u 7. razredu, sa posebnim slučajevima, i nastavlja se kroz cijeli kurs algebre. Do 11. razreda znanja o funkciji snage se generalizuju, proširuju i sistematiziraju.

Analiza nastavne literature mora se izvršiti za 9. razred kako bi se na osnovu ove analize nastavne literature izgradio sadržaj didaktičkog priručnika.

Udžbenik: „Algebra. Ocena 9”. Mordkovich A. G., Semenov P. V. (Mnemozina, 2009)

Udžbenik se bavi funkcijama stepena sa cjelobrojnim eksponentom. Teorijski materijal na temu "Funkcija snage" uključen je u poglavlje " Numeričke funkcije» u posebnim paragrafima, koji razmatraju i same funkcije i njihova svojstva i grafikone.

Uključeno predstavljanje materijala dostupnog školarcima veliki broj primjeri sa detaljnim i temeljnim rješenjima u 1. dijelu (u udžbeniku) i vježbe za samostalan rad nalazi se u 2. dijelu (u knjizi zadataka).

Struktura proučavanja gradiva:

POGLAVLJE 3 Numeričke funkcije

§12. Funkcije, njihova svojstva i grafovi.

§13. Funkcije, njihova svojstva i grafovi.

§četrnaest. Funkcije, njena svojstva i graf.

Zatim se funkcije stepena definiraju kao funkcije s prirodnim eksponentom (prvo su dati posebni slučajevi funkcija stepena, a zatim se otkriva opća formula). Razmatramo funkcije stepena s parnim eksponentom, njihove grafove, pomoću kojih se kasnije otkrivaju svojstva (opseg vrijednosti i domena definicije funkcije, parna i neparna, monotonost, kontinuitet, maksimalna i minimalna vrijednost funkcije, konveksnost). Zatim razmatramo funkcije stepena s neparnim eksponentom, kao i njihove grafove i svojstva.

U § 13 definisane su funkcije stepena sa negativnim eksponentima: prvo parne funkcije, zatim neparne. Slično funkcijama stepena s prirodnim eksponentom, dati su posebni slučajevi:

Nakon toga se otkriva opća formula, razmatraju se i grafovi i svojstva.

U § 14 uvodimo funkciju

njegova svojstva i grafikon kao poseban slučaj funkcija stepena sa racionalnim eksponentom n =

Transformacija grafova (simetrija) se svodi na činjenicu da je graf parne funkcije simetričan oko y-ose, a graf neparne funkcije oko ishodišta. Stoga, za stepske funkcije, razmatramo datu funkciju na određenoj zraki se gradi njen graf i simetrijom se gradi graf na cijeloj brojevnoj pravoj. Zatim se čita graf, odnosno, prema grafu, svojstva funkcije su navedena prema šemi:

1) domen definicije;

2) paran, neparan;

3) monotonija;

4) omeđenost odozdo, odozgo;

5) najmanji i najveća vrijednost funkcije;

6) kontinuitet;

7) raspon vrijednosti;

8) ispupčenje.

a) ide u pomoćni koordinatni sistem sa ishodištem u tački u kojoj se dobijaju vrednosti pri x = 0 i y = 0.

b) "vezuje" funkciju za novi sistem koordinate.

Primjer 3. Grafikon funkcije

Rješenje. Pređimo na pomoćni koordinatni sistem sa ishodištem u tački (-1; -2) (isprekidane linije na slici 117) i "prikačimo" funkciju novom koordinatnom sistemu. Dobijamo traženi raspored (Sl. 117)

U knjizi zadataka „Algebra. 9. razred.” pod uredništvom Mordkovich A. G. i Semenov P. V. predstavljen je raznovrstan sistem vježbi. Komplet vježbi podijeljen je u dva bloka: prvi sadrži zadatke dva osnovna nivoa: usmeni (polu-usmeni) i zadatke srednje težine; drugi blok sadrži zadatke nivoa iznad prosjeka ili povećane težine. Većina zadataka drugog i trećeg nivoa je odgovoreno. Knjiga zadataka sadrži veliki broj različitih zadataka za crtanje grafova. razne vrste funkcija stepena i određivanje svojstava funkcije iz njenog grafa. Na primjer:

br. 12.10. Iscrtajte funkciju:

br. 12.15. Riješite jednačinu grafički

br. 12.19. Iscrtajte i pročitajte graf funkcije

Iscrtajte i pročitajte graf funkcije

Udžbenik: „Algebra. Ocena 9”. Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. (Prosvjeta, 2006.)

Ovaj udžbenik je također namijenjen za općeobrazovnu nastavu, u kojoj se mogu izostaviti dodatni materijali i složeni zadaci. Ako ima dovoljno sati, ako razred pokaže interesovanje za matematiku, onda zbog dopuna na kraju poglavlja udžbenika, kao i bodova i pojedinačnih zadataka sa zvjezdicom, koji su fakultativni u redovnoj općeobrazovnoj nastavi, moguće je proširiti i produbiti sadržaj izučavanog gradiva do obima predviđenog programom za nastavu sa detaljnim proučavanjem matematike. Odnosno, udžbenik se može koristiti i u redovnim i u nastavi sa detaljnim proučavanjem matematike.

Struktura proučavanja gradiva:

POGLAVLJE II. Stepen of

§četiri. korijen stepena

4.1 Svojstva funkcije

4.2 Grafikon funkcije

4.3 Koncept korijena diplome

4.4 Parni i neparni korijeni

4.5 Aritmetički korijen

4.6 Svojstva korijena

4.7 *Korijen prirodnog broja

4.8 *Funkcija

Proučavanje teme počinje svojstvima funkcije (na primjer, n = 2 i n = 3) i njenim grafom. Zatim proučavamo n-ti korijen, aritmetički korijen i svojstva n-tog korijena i kako se oni primjenjuju na transformacijske izraze. U nastavi sa dubljim izučavanjem matematike dodatno se obrađuju sljedeće teme: „Funkcija“, „Snaga s racionalnim eksponentom i njena svojstva“.

Navodi se da funkcije imaju niz identičnih svojstava (domen, nule funkcije, parnost, neparnost, kontinuitet, intervali monotonosti). Stoga je preporučljivo razmotriti u općem slučaju funkciju, gdje je neki prirodni broj, . Uvođenje definicije grafa funkcije provodi se kroz definiciju parabole. To jest, prema poznata činjenica da je graf funkcije parabola, onda se ovaj graf naziva parabola drugog stepena, graf funkcije naziva se parabola th stepena ili, ukratko, parabola. Svojstva funkcije razmatraju se samo za nenegativne s nekim dokazima.

Proučavanje građenja grafa funkcije počinje prikazom grafova funkcija na jednoj koordinatnoj ravni samo za nenegativne vrijednosti.

Proučavanje funkcije zasniva se na prethodno stečenom znanju o aritmetičkom korijenu stepena. Konstrukcija grafa funkcije vrši se u Dekartovom koordinatnom sistemu. Za početak se razmatra funkcija stepena i konstrukcija njenog grafa u koordinatnom sistemu O. Time je dokazano da je graf funkcije dio parabole stepena.

1) Ako je x = 0, onda je y = 0.

2) Ako, onda.

3) Funkcija se povećava.

4) Ako, onda.

5) Funkcija je kontinuirana.

Sistem vježbi na temu "Funkcija snage" je raznolik. Sadrži usmene i pismene zadatke obuke. Na primjer:

br. 316. Zadana funkcija

Istražite ovu funkciju i nacrtajte njen graf.

#318 Grafikujte funkciju

№ 321. U jednom koordinatnom sistemu izgraditi grafove funkcija

#441 Nacrtajte graf funkcije za:

#442 Nacrtajte graf funkcije za:

Udžbenik: „Algebra. Razred 9". Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova (Prosvjeta, 2009.)

Ovaj udžbenik je namijenjen srednjim školama.

Struktura proučavanja gradiva:

POGLAVLJE IV. Stepen sa racionalnim eksponentom

§9. Funkcija napajanja

21. Parne i neparne funkcije

22. Funkcija

§deset. Root n-ti stepen

23. Određivanje korijena n-tog stepena

24. Svojstva aritmetičkog korijena n-tog stepena

§jedanaest. Stepen sa racionalnim eksponentom i njegovim svojstvima

25. Određivanje stepena s razlomkom eksponenta

26. Svojstva sa racionalnim eksponentom

27. Pretvaranje izraza koji sadrže stupnjeve sa razlomačnim eksponentima

Proučavanje funkcije stepena počinje uvođenjem pojmova parnih i neparnih funkcija koristeći primjere poređenja vrijednosti funkcije za dvije suprotne vrijednosti argumenta. Nadalje, definicija parne i neparne funkcije je data sa konstrukcijom odgovarajućih grafova.

Rečeno je da su funkcije stepena na = 1, 2 i 3 (tj. funkcije), njihova svojstva i grafovi, proučavani ranije. Zatim se pojašnjavaju svojstva funkcije stepena i karakteristike njenog grafa za bilo koji prirodni broj. Funkcije se razmatraju kada je eksponent n paran broj, tada je n neparan broj. Analizirajte svojstva na primjerima, prema šemi:

1. Domen definicije;

2. Obim vrijednosti;

3. Funkcije nule;

4. Paritet;

5. Odd;

6. Monotonost funkcije.

Sljedeći dio poglavlja posvećen je n-tom korijenu, u kojem se uvodi definicija i razmatraju svojstva.

Definicija se ponavlja: kvadratni korijen od broja a naziva se takav broj, čiji je kvadrat jednak a. Korijen bilo kojeg prirodnog stepena n definira se slično: korijen n-tog stepena iz broja a je takav broj, n-ta snagašto je jednako a. Da bismo to učinili, prvo razmatramo funkciju stepena s neparnim eksponentom n i njenim grafom, koji pokazuje da za bilo koji broj a postoji jedinstvena vrijednost x, čiji je n-ti stepen jednak a. Tada se razmatra funkcija stepena s parnim eksponentom n, štoviše, ako, tada postoje dvije suprotne vrijednosti x, jer je takav broj jedan (broj 0), jer takvih brojeva nema.

Na kraju poglavlja razmatraju se stepen sa racionalnim eksponentom i njegova svojstva.

Sistem vježbi je raznolik. Na primjer:

br. 503. Iscrtajte funkciju

br. 508. Riješite jednačinu grafički

br. 513. Koristeći graf funkcije, riješite jednačinu

br. 580. Iscrtajte funkciju

br. 644. Nacrtajte funkciju f, znajući da je neparna i da se njena vrijednost u može naći po formuli

br. 643. Iscrtajte funkciju

br. 663. Nacrtajte graf funkcije. Koristeći graf, uporedite vrijednost korijena

br. 669. Iscrtajte funkciju

Udžbenik: „Algebra. Razred 9". Sh.A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov i drugi (Prosvjeta, 2009.)

Prilikom proučavanja ove teme posebna pažnja se poklanja svojstvima funkcija i prikazu ovih svojstava na grafovima. Istovremeno se formiraju početne vještine za izvođenje najjednostavnijih transformacija grafova funkcija.

Struktura proučavanja gradiva:

POGLAVLJE III. Funkcija napajanja

§12. Opseg funkcije

§13. Funkcija rastuća i opadajuća

§četrnaest. Parne i neparne funkcije

§petnaest. Funkcija

§16. Nejednačine i jednačine koje sadrže potenciju

Osnovna svrha ovog poglavlja nije samo upoznavanje učenika sa funkcijom stepena, već i proširenje poznatih informacija o svojstvima funkcije u cjelini (domen, monotonost, parnost i neparnost funkcije), razvijanje sposobnosti da istražuje funkcije prema datom grafu,

Proučavanjem gradiva ovog poglavlja produbljuju se i značajno proširuju funkcionalne predstave učenika.

§12 formuliše definiciju funkcije, argument i opseg funkcije. Podsjeća se definicija grafa funkcije, načini njegove konstrukcije, uključujući i uz pomoć elementarnih transformacija.

Odjeljak 13 uvodi pojam funkcije snage. Na primjerima se otkriva i domen definicije; prisjećaju se definicije rastuće i opadajuće funkcije i daju se definicije funkcije povećanja i smanjenja funkcije stepena.

Ideja parne i neparne funkcije učenicima se daje na vizuelnom nivou. Vodič pokriva dva zadatka u kojima je potrebno iscrtati funkciju i. Proučavaju se svojstva ovih funkcija i na osnovu simetrije se daju pojmovi parnih ili neparnih funkcija.

U §15 učenici dobijaju predstavu o funkciji za različite vrijednosti k, uče da grade graf funkcije i čitaju ga (tj. određuju svojstva funkcije iz njenog grafa). Uz pomoć funkcije razjašnjava se pojam obrnute proporcionalnosti, koji je spomenut samo u predmetu algebre 8. razreda.

Kada se proučava funkcija za k > 0, najprije se funkcija predstavlja kao poseban slučaj stepena zakona: uzimajući u obzir promjenu parametra k.

Paragraf se bavi četiri problema u kojima je potrebno nacrtati grafove funkcija. U zadatku 1, za crtanje grafa funkcije, koriste se sva svojstva funkcije proučavane u prethodnim paragrafima. U zadatku 2, pri konstruiranju grafova funkcija i, koristi se već poznato rastezanje grafa funkcije duž ose apscise za 2 puta. I, na osnovu ova dva problema, formuliraju se svojstva funkcije za i.

U zadatku 4 potrebno je izgraditi graf funkcije (na osnovu zadataka 1-2), odnosno graf ove funkcije se može izgraditi pomicanjem grafika funkcije duž ose Ox udesno za jedan i duž Oy osovina dolje za 2 jedinice.

Sistem vježbi predstavlja različite vrste zadataka: obavezne i dodatne zadatke povećane složenosti.

Među zadacima za crtanje grafova funkcija snage mogu se izdvojiti sljedeće vježbe:

№ 164. Nacrtajte grafik i pronađite intervale rastuće i opadajuće funkcije

№ 166. Nacrtajte skicu grafika funkcije kada

№ 171. Nacrtajte grafik i pronađite intervale rastuće i opadajuće funkcije

Br. 174. Skicirajte graf funkcije

Br. 179. Pronađite svojstva funkcije i izgradite njen graf

#180 Iscrtaj funkciju

#191 Iscrtaj funkciju

#218 Saznajte je li funkcija parna ili neparna

Studenti koji proučavaju gradivo savladavaju pojmove kao što su domen definicije, parne i neparne funkcije, rastuće i opadajuće funkcije na intervalu.

Učenici su se upoznali sa pojmom rastućih i opadajućih funkcija u predmetu algebra 8. razreda, ali tek prilikom proučavanja ove teme formiraju se definicije ovih pojmova, pa je stoga moguće analitički dokazati povećanje ili smanjenje određene funkcije na intervalu (međutim, takvi dokazi nisu među potrebnim vještinama) . Učenici uče pronaći intervale povećanja funkcije koristeći graf dotične funkcije.

Prilikom proučavanja teme ne razmatraju se primjeri funkcije stepena sa razlomačnim eksponentom, jer se u ovom predmetu ne uvodi pojam stepena s racionalnim eksponentom.

Prilikom proučavanja svake određene funkcije (uključujući funkcije), studenti će moći nacrtati skicu grafa dotične funkcije i navesti njena svojstva prema grafu.

Udžbenik: „Algebra. Duboko učenje. 9. razred.” Mordkovich A. G. (Mnemozina, 2006)

Uzeli smo udžbenik za 2006. godinu, jer ovaj udžbenik, za razliku od kasnijih izdanja, sadrži tematski stepen sa racionalnim pokazateljem. Uopšteno govoreći, trenutno se ova tema izučava u srednjoj školi, ali smo je u multimedijalni priručnik uvrstili kao propedeutički materijal.

Knjiga je namenjena detaljnijem izučavanju predmeta matematike u 9. razredu srednja škola. Ovaj udžbenik je zasnovan na udžbeniku za 9. razred za obrazovne institucije(A. G. Mordkovich. Algebra-9). Implementira isti program, ali razlika je u dubljem proučavanju relevantnih pitanja predmeta: jednostavni primjeri se zamjenjuju složenijim i zanimljivijim.

Struktura proučavanja gradiva:

POGLAVLJE 4. Funkcije napajanja. Stepeni i korijeni

§17. Potencija s negativnim cijelim eksponentom

§osamnaest. Funkcije, njihova svojstva i grafovi

§19. koncept root nth stepeni od realnog broja

§dvadeset. Funkcije, njihova svojstva i grafovi

§21. Svojstva n-tog korijena

§22. Pretvaranje izraza koji sadrže radikale

§23. Generalizacija koncepta eksponenta

§24. Funkcije, njihova svojstva i grafovi

U § 18 mi pričamo o funkcijama stepena sa cjelobrojnim eksponentom, tj. o funkcijama, itd. Ovaj paragraf je podijeljen na tačke:

Autor se toga prisjeća najjednostavniji slučaj takva funkcija se razmatrala u 7. razredu - to je bila funkcija. Ovaj dio počinje raspravom o funkciji. Gradi se graf i svojstva ove funkcije se navode određenim redosledom: 1) domen definicije; 2) paran, neparan; 3) monotonija; 4) omeđenost odozdo, odozgo; 5) najmanju i najveću vrijednost funkcije; 6) kontinuitet; 7) raspon vrijednosti; 8) ispupčenje.

Svojstva su očitana sa grafa, sada se predlaže da se analitički dokaže postojanje određenog broja ovih svojstava.

Autor zaključuje da je graf bilo koje funkcije stepena sličan grafu funkcije, samo što su njegove grane usmjerene prema gore i više su pritisnute na x-osu na segmentu i napominje da kriva dodiruje x-os u tački (0; 0).

Na kraju pasusa dat je primer konstruisanja grafika funkcije Konstrukcija: 1) prelazak na pomoćni koordinatni sistem sa ishodištem u tački (1; -2); 2) konstrukcija krive.

1) Funkcija

Svojstva i graf funkcije stepena s neparnim eksponentom prvo se ispituju na primjeru funkcije čiji je graf kubna parabola.

Autor zaključuje da je graf bilo koje funkcije stepena sličan grafu funkcije, samo što je eksponent veći, to su grane grafa strmo usmjerene prema gore (i prema dolje) i primjećuje da kriva dodiruje os x u tački (0; 0).

Slijedi primjer korištenja grafa funkcije stepena za rješavanje jednačine. Rješenje se odvija u 4 faze: 1) razmatraju se dvije funkcije: i; 2) crtanje grafa funkcije; 2) crtanje linearna funkcija; 4) pronađite tačku raskrsnice i provjerite.

2) Funkcija

Govorimo o funkcijama stepena sa negativnim celobrojnim eksponentom (par). Pogledajmo prvo primjer funkcije. Izrađuje se graf i navode se svojstva ove funkcije. Posebno je dokazano svojstvo funkcije opadajuće.

funkcija multimedijalne vizualizacije školska matematika

3) Funkcija

U ovom slučaju se razmatraju funkcije stepena sa negativnim celobrojnim eksponentom (neparnim): itd. Autor podseća da je jedna takva funkcija već proučavana u 8. razredu - ova. Podsjećaju se njena svojstva i graf (hiperbola), te se zaključuje da je graf bilo koje funkcije sličan hiperboli.

U § 19 dat je koncept n-tog korijena realnog broja, a posebno se napominje da se iz bilo kojeg nenegativnog broja može izvući korijen bilo kojeg stepena (drugi, treći, četvrti, itd.), a iz negativnog broja može se izdvojiti korijen bilo kojeg neparnog stepena.

U § 20, govorimo o funkciji datoj u, i proučavamo njen graf i svojstva koristeći poseban primjer (at). Prema slici, koja prikazuje graf funkcije i graf funkcije, simetrija ovih grafova se utvrđuje i zatim analitički potvrđuje.

U istom pasusu, funkcija se razmatra u slučaju neparne za bilo koju vrijednost. Razgovaramo o svojstvima ove funkcije i gradimo graf.

Ako je paran broj, onda graf funkcije ima oblik prikazan na sl. jedan;

Ako je neparan broj, tada graf funkcije ima oblik prikazan na sl. 2.

U § 24, razmatramo funkciju oblika, - bilo koji realan broj (ograničavamo se na slučajeve racionalnog eksponenta).

1. Ako je prirodan broj, onda dobijamo funkciju (grafovi i svojstva su poznati)

2. Ako, onda dobijamo funkciju, tj. U slučaju parnog grafa ima oblik prikazan na sl. 3a, u slučaju neparnog grafa ima oblik prikazan na Sl. 3b

pirinač.

3. Ako, tj. govorimo o funkciji, onda je to funkcija, gdje

Situacija je približno ista za bilo koju funkciju snage oblika, gdje je:

1. - nepravilan razlomak (brojilac je veći od nazivnika). Njegov graf je kriva slična grani parabole. Što je indeks veći, to je kriva strmija usmjerena prema gore. Gradi se graf i daju se svojstva.

2. - pravi razlomak () (§ 20). Gradi se graf i daju se svojstva.

Gradi se graf i daju se svojstva.

U knjizi zadataka „Algebra. Dubinska studija. 9. razred.” Zavich L. I., Ryazanovsky A. R. predstavlja raznovrstan sistem vježbi. Složenost zadataka raste kako se njihov serijski broj povećava. Knjiga zadataka sadrži veliki broj različitih vježbi za crtanje grafova različitih tipova funkcija stepena, proučavanje i primjenu njegovih svojstava.

Na primjer:

br. 17.05. Izgradite grafove funkcija na jednom crtežu

Plot Functions

br. 17.35. Iscrtajte funkciju

i pomoću grafikona naznačiti intervale njegove monotonosti, tačke ekstrema, ekstreme i broj njegovih nula.

Nacrtajte grafove funkcije:

br. 19.01. Izgradite grafove funkcija na jednom crtežu

br. 19.04. Plot Functions

br. 19.22. Iscrtajte grafikone i izvršite istraživanje karakteristika

br. 21.01. Izgradite na jednom crtežu grafove funkcija, sa i, sa i navedite svojstva funkcije: a) domen definicije D (y); b) skup vrijednosti E(y); c) funkcije nule; d) intervali monotonije; e) intervali konveksnosti; f) tačke ekstrema; g) ekstremi; h) paran ili neparan; i) najveća i najmanja vrijednost.

br. 21.03. Zacrtajte i istražite sljedeće karakteristike

br. 21.11. Izgradite grafove funkcija na jednom crtežu

na segmentu

br. 21.17. Plot Functions

br. 25.01. Izgradite na istim crtežima skice grafova sljedećih parova funkcija

br. 25.05. Iscrtajte grafove funkcija i opišite njihova svojstva

br. 25.06. Izgradite grafove funkcija na susjednim crtežima

br. 25.18. Plot Functions

br. 25.30. Plot Functions

Analiza obrazovne literature nam omogućava da izvučemo neke zaključke

S obzirom na standard glavne opšte obrazovanje u matematici vidimo da učenici treba da nauče sljedeće tipove funkcija stepena:

Posebni slučajevi (direktna, inverzna proporcionalnost, kvadratna funkcija),

Sa prirodnim indikatorom

Sa cijelim brojem

Sa pozitivnim racionalnim eksponentom,

Sa racionalnim indikatorom,

Sa iracionalnim indikatorom,

sa stvarnim indikatorom.

Važnu ulogu u ovoj temi igra formiranje slike funkcijskih grafova. Takođe, studenti treba da budu sposobni da: odrede svojstva funkcije prema njenom grafu; opisuju svojstva proučavanih funkcija, grade njihove grafove. Razmatranje standarda nam omogućava da zaključimo da je tema „Funkcija snage“ uključena u obavezni minimum znanja, vještina i sposobnosti školaraca i stoga je naša pažnja prema njoj u potpunosti opravdana.

Za formiranje jakih vještina i sposobnosti o funkciji moći, potrebno je proučiti metodologiju teme “Svojstva funkcije moći” na koju se krećemo.

2. Metodološke osnove za izučavanje teme “Svojstva funkcije stepena” u školi

Funkcija snage pripada klasi elementarnih funkcija.

Svrha njegovog proučavanja nije samo upoznavanje učenika sa funkcijom stepena, već i širenje informacija koje znaju o svojstvima funkcija općenito.

Prilikom proučavanja teme "Funkcija snage" uglavnom koriste analitičke i grafička metoda istraživanje funkcije. U slučajevima kada je analitička studija teško uočljiva od strane studenata, koriste se grafičke metode, ali potonje ne mogu poslužiti kao dokaz.

Studenti izvode veliki broj grafičkih radova, obraćajući pažnju ne samo na tačnost i tačnost njihove realizacije, već i na racionalne metode konstruisanja grafova.

Moguće je formirati jake vještine u konstruisanju i čitanju grafova funkcije stepena, kako bi se osiguralo da svaki učenik može samostalno obavljati glavne vrste zadataka, samo ako učenici završe dovoljan broj vježbi.

Na primjer, u časopisu „Matematika u školi“ Lopatina, L.V. nudi sljedeći tutorijal:

Čas-radionica ima za cilj da učenici steknu znanja vlastitim radom. To je glavni lajtmotiv razvoja pedagogije. Tema “Funkcija snage” je vrlo pogodna za kreativni rad cijelog razreda, budući da je funkcija snage (, gdje je bilo koja racionalni broj) je zapravo skup funkcija koje imaju različita svojstva ovisno o eksponentu.

Raspravu o ovim nekretninama najbolje je organizirati u grupama. Da biste to učinili, preporučljivo je podijeliti razred u šest grupa.

Prije svega, nastavnik treba da zamisli redoslijed rada u "radionici":

Faza I - indukcija - pozivanje na prethodno iskustvo;

III faza – praznina – trenutak kada učenici moraju shvatiti da postoje praznine u njihovom znanju koje oni sami moraju popuniti;

IV faza – refleksija – određivanje stepena asimilacije.

Hajde da detaljnije opišemo svaku od faza lekcije.

Faza I - indukcija. Nastavnik podsjeća da je razred već proučavao funkcije, njihova svojstva i grafove. Ove funkcije se općenito mogu definirati formulom: , gdje je - neki cijeli broj. Takva funkcija se naziva funkcija snage. Razred ima sljedeći zadatak: navesti pitanja na koja moramo odgovoriti kada učimo novu funkciju.

Razred raspravlja o ovim pitanjima u grupama, a zatim se sva pitanja ostalih grupa skupljaju u jednu listu:

Koja svojstva ima ova funkcija?

· Kakav je njen raspored?

U kojim situacijama se koristi?

Počnimo s odgovorom na posljednje pitanje. Navedimo primjere nekoliko situacija u kojima se pojavljuje funkcija snage.

Tri učenika naizmjence idu do table i prave poruke pripremljene kod kuće.

Prvi učenik razmatra funkciju, gdje je površina poprečnog presjeka prečnika žice. Slušaoci primjećuju da je ova funkcija snage zapravo kvadratna funkcija, ali s ograničenjima vrijednosti argumenta.

Drugi učenik kaže da se sila privlačenja dvaju tijela sa masama izražava formulom. Ovo je funkcija udaljenosti između ovih tijela. U razredu će biti učenik koji će primijetiti da smo već ucrtali funkciju ove vrste, iako je nismo posebno proučavali.

Treći učenik analizira udaljenost horizonta od posmatrača: . Ovo je funkcija visine na koju je posmatrač uzdignut iznad nivoa mora. Ako sami momci to nisu primijetili, onda bi učitelj trebao naglasiti da se ovdje vrijednost ne može povećavati beskonačno. Zaista, bez obzira na to koliko je visoko uzdignut posmatrač, on ne može da vidi više nego što to dozvoljavaju mogućnosti njegovog vida i izbočina zemaljske kugle. Ovaj primjer je posebno indikativan, jer omogućava da se ocijeni prikladnost ograničenja na vrijednosti funkcije. Ovdje moramo nametnuti neka ograničenja na vrijednosti funkcije, iako se vrijednosti, teoretski govoreći, mogu neograničeno povećavati.

Faza II - diskusija o temi. Učenicima se daje određeno vrijeme da analiziraju svojstva jedne od izabranih funkcija moći. glavni problem ovdje u odabiru funkcije. Jedna grupa teži da pojednostavi zadatak ograničavajući se na funkciju pogleda koja je dobro poznata svim učenicima. Druga grupa previše komplikuje svoj rad preuzimajući funkciju pogleda, ili čak oboje zajedno, iako opšti pristup pitanju studentima još nije jasan.

Na kraju, postoje grupe koje su odabrale funkcije čiji su grafovi već ranije razmatrani, iako im nije dat potreban naglasak.

Prva grupa je razmatrala funkciju vrste; označio područje njegove definicije: i nultu vrijednost funkcije na. Momci su se posebno fokusirali na to da se funkcija povećava u cijelom domenu definicije. Izdvojili smo intervale na kojima je funkcija veća ili manja od nule. Govornici su naglasili da je ova funkcija neparna i da nema ni najveću ni najmanju vrijednost.

Iz ove grupe razredu se obraća jedan učenik koji govori o rezultatima istraživanja u grupi.

Druga grupa je odabrala funkciju koju treba razmotriti. Momci su primijetili da će sada morati isključiti broj 0 iz područja definicije funkcije, tj. . Za razliku od prethodne, ova funkcija nema nule. Ali, kao i ona koja je gore razmatrana, ova funkcija je pozitivna za i negativna za. Smanjuje se u cijelom domenu definicije.

Predstavnik ove grupe naglašava razlike između funkcija i.

Još dva učenika govore o funkcijama.

Tokom svojih prezentacija, svi govornici treba da pokažu grafikone razmatranih funkcija.

Tokom treće faze časa učenici treba da sumiraju svoja znanja. I to moraju učiniti sami, iznenađeni raznolikošću razmatranih funkcija. “Zašto im je dato jedno ime, ako ih ima toliko, a različiti su?” Ovo je pitanje koje bi studenti trebali sebi postaviti. Zadatak nastavnika je da neprimjetno dovede učenike do ovog pitanja. Dolazi trenutak takozvanog jaza, kada momci moraju shvatiti nedostatke svog znanja, ograničenja ili nepotpunost. Doista, jedna od razmatranih funkcija ima nule, a druga nema. Jedan se povećava u cijelom domenu definicije, drugi se ili povećava ili smanjuje. Koju karakterizaciju treba da damo celokupnoj funkciji moći da pokrije što više posebnih slučajeva?

U potrazi za odgovorom na ovo pitanje, jedan od momaka na kraju pogodi da je zgodno povezati oblik funkcije stepena s parnim ili neparnim eksponentom.

Sada je prikladno ponovo zamoliti grupe da razgovaraju o svojstvima funkcija

gdje - neparan;

gdje je par;

gdje je neparan;

gdje je čak.

Još jednom napominjemo plan za proučavanje funkcije:

Odredite domenu definicije.

Odredite da li je funkcija parna ili neparna (ili imajte na umu da nije ni parna ni neparna).

1. Pronađite nule funkcije, ako ih ima.

2. Označite intervale konstantnosti.

3. Pronađite intervale povećanja i smanjenja.

4. Odredite najveću ili najmanju vrijednost funkcije.

Na kraju se studentima prikazuju grafikoni razmatranih funkcija, = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ovi grafovi su izvode predstavnici svake od grupa.

Sada, zajedno sa klasom, gradimo grafove funkcija, gde je prirodan broj i.

primetio zajedničko vlasništvo ovih funkcija: obje imaju domenu definicije - raspon. Oni nisu ni parni ni neparni. Oba su veća od nule.

Ali ove funkcije također imaju razlike. Momci ih posebno zovu: funkcija pogleda se povećava na svojoj domeni definicije, a funkcija pogleda se smanjuje na istoj domeni. Funkcija forme ima nultu vrijednost na, a funkcija forme nema nule.

U fazi IV učenici treba da rade refleksiju, tj. određivanje stepena asimilacije materijala. Cijeli razred dobija sljedeći zadatak prema sl. 3.

Na sl. 3, a-h šematski prikazuje grafove funkcija koje su date formulama

Odredite koja formula sa date liste približno odgovara svakom od grafikoni a-h.

U časopisu "Matematika u školi" Petrov, N.P. nudi projekt "Proučavanje svojstava funkcije snage pomoću Excela":

Obrazovni projekat opisan u članku na temu „Proučavanje svojstava funkcija i korišćenje Excel tabela“ izveli su nastavnici matematike i računarstva našeg liceja u devetom razredu i predviđen je za pet časova.

Cilj projekta je bio da se učenicima omogući samostalnost i inicijativa u učenju nova tema i praktičnu primjenu prethodno naučenog materijala.

Tokom realizacije projekta, učenici devetog razreda morali su pokazati:

· sposobnost pravilnog formulisanja projektnih zadataka;

sposobnost analiziranja informacija i donošenja zaključaka;

Sposobnost pravilnog tumačenja dobijenih rezultata i primjene u praksi.

Studenti su bili suočeni sa zadatkom da istraže ponašanje grafova funkcija pomoću programa Excel, a zatim, na osnovu dobijenih podataka, opišu svojstva funkcija.

Kao rezultat projekta, učenici devetog razreda morali su da uče opšti oblik grafove funkcija i, naučite kako graditi i "čitati" ove grafove, kao i grafički rješavati jednadžbe oblika = f (x).

Napominjemo da je rad na ovom projektu imao za cilj da promoviše razvoj sposobnosti učenika da porede, ističu zajedničke karakteristike i razlike u grafovima funkcija stepena za različite vrednosti.

Ovdje je korak po korak opis projekta.

Faza I. Priprema (istraživačka faza)

U procesu razgovora dolazi do buđenja interesovanja učenika za temu projekta. Učenici su pozvani da riješe njima poznate jednačine

Ispostavilo se da momci mogu riješiti jednačinu na dva načina: analitički i grafički, jednačinu - na grafički način. Teško im je riješiti ostale jednačine, ali da su upoznati s grafovima funkcija, riješili bi problem grafički.

Rezultat razgovora je formulacija problematičnog pitanja: kako izgledaju grafovi funkcija i gdje? Nakon toga određuju se pravci daljeg rada, formuliraju se zadaci:

1. Koristite Excel da saznate kako izgleda graf funkcije za parno n i opišite svojstva ove funkcije.

2. Koristite Excel da saznate kako izgleda graf funkcije za neparno n i opišite svojstva ove funkcije.

3. Koristite Excel da saznate kako izgleda graf funkcije za parno n i opišite svojstva ove funkcije.

4. Koristite Excel da saznate kako izgleda graf funkcije za neparno n i opišite svojstva ove funkcije.

Zatim se razred dijeli u radne grupe. Nastavnik poziva učenike da se samostalno podijele u četiri grupe (fakultativno) i odaberu vođu u svakoj grupi. Kada se formiraju grupe, biraju jednu od oblasti rada u projektu (prema gore navedenim zadacima).

Faza II. Planiranje (analitička faza)

Nastavnik pomaže grupama da naprave plan rada za rješavanje odabranog problema i preporučuje izvore za dobijanje informacija. Učenici samostalno raspoređuju uloge u grupama. Približna raspodjela uloga u grupi prikazana je u sljedećoj tabeli. Broj učenika u grupi zavisi od broja učenika u odeljenju.

U istoj fazi razmatra se i oblik predstavljanja rezultata rada. U ovom slučaju je odabrana kompjuterska prezentacija koja koristi PowerPoint.

Faza III. Istraživanje (praktična faza)

Učenici izvršavaju zadatke prema planiranom planu rada. Nastavnik nadgleda njihove aktivnosti i savjetuje učenike ako je potrebno.

Kao primjer navešćemo plan rada grupe br.1.

1. Konstrukcija grafova funkcija pomoću programa Excel.

2. Poređenje grafova, formulisanje opcija za preporuke za konstruisanje grafa funkcije za prirodno parno n.

3. Određivanje svojstava funkcije prema rasporedu.

4. Analiza primjera praktične primjene grafa funkcija.

Na osnovu studije studenti zaključuju da su grafovi funkcija oblika za prirodno parno n krive slične paraboli, te daju preporuke za crtanje: treba imati na umu da je graf simetričan u odnosu na Oy os, pa je dovoljno napraviti tablicu vrijednosti funkcije za pozitivne vrijednosti argumenta X.

Osim toga, u ovoj fazi se kreira opći skript za prezentaciju, koji će biti dorađen tokom projekta. U ovom scenariju, posebno se određuje broj slajdova, svrha svakog slajda i glavni objekti koji se trebaju postaviti na slajdove.

Faze IV i V. Zaštita projekta, evaluacija rezultata (faze prezentacije i kontrole)

Zaštita projekata (u grupama) se odvija na zadnjoj od planiranih časova.

Sada dajemo raspored časova za rad na ovom projektu i sadržaj svake lekcije.

1. lekcija (matematika)

· Izjava o projektnom zadatku. Definisanje pravaca rada, formulisanje ciljeva projekta.

· Podela u radne grupe, izbor vođe u grupama.

· Izrada plana rada za rješavanje postavljenih zadataka, raspodjela uloga u grupama, izbor oblika za prezentaciju rezultata.

Lekcija 2 (informatika)

· Razgovarajte o svrsi Excel tabela.

· Ponavljanje konstrukcije grafova različitih funkcija koristeći Excel.

· Izrada grafova proučavanih funkcija pomoću programa Excel. Analiza primljenih informacija, formulisanje zaključaka.

3. lekcija (matematika)

Konstrukcija i "čitanje" grafova funkcija i

· Rješavanje jednačina oblika, gdje na grafički način.

· Kreirajte skriptu za prezentaciju.

Lekcija 4 (informatika)

Ponavljanje svrhe i principa Power Point programa.

· Kreiranje prezentacije.

Lekcija 5 (matematika)

· Zaštita projekata.

Takođe dajemo opšti plan lekcija - zaštita projekta.

1. Organizacioni momenat.

2. Motivacija za primjenu znanja kroz identifikaciju problema.

Uvodna reč nastavnika

U današnjoj lekciji, glavni predmet proučavanja su funkcije i, gdje, njihova svojstva i grafovi. Već znate kako riješiti jednadžbe prvog stepena (linearne) i drugog stepena (kvadratne) koristeći korijenske formule. Postoje i posebne formule korijena za jednačine 3. stepena, ali su vrlo glomazne i rijetko se koriste u praksi. Za jednačine čiji je stepen veći od trećeg, opšte formule nema korena. Pojavljuje se problem: kako se takve jednačine mogu riješiti? Ispada, ako ne analitički, onda grafički. A da bi se primijenila grafička metoda za rješavanje jednačina oblika i, mora se znati crtati funkcije i gdje.

Četiri grupe su bile uključene u proučavanje grafova ovih funkcija. Sada će nas svako od njih upoznati sa rezultatima obavljenog posla.

3. Grupni nastupi.

Prezentacija (odbrana) projekta od strane svake grupe, odgovori na pitanja protivnika.

4. Samoprocjena i ocjena svake izvedbe od strane ostalih grupa (na skali od pet bodova).

Navodimo glavne kriterije evaluacije:

usklađenost sadržaja sa deklarisanom temom, tačnost, potpunost izlaganja;

Odsustvo grešaka

dizajn (dizajn): kako izgled slajdova zadovoljava estetske zahtjeve;

Da li je tekst lak za čitanje? da li slika odgovara sadržaju, itd.;

uvjerljivost, argumentiranost govora; pismenost govora, poznavanje terminologije;

potpunost odgovora na pitanja.

Posebno se ocjenjuje interakcija u grupi: društvenost, poštovanje i pažnja prema drugim učesnicima, aktivnost.

Izračunava se ukupan broj osvojenih bodova i rejting (aritmetička sredina); na osnovu njih se vrši procjena za učešće u projektu.

5. Rasprava o doprinosu svakog učenika projektu i ocjenjivanje.

6. Sumiranje (refleksija).

7. Završna riječ nastavnika

Tokom projektne aktivnosti na ovu temu odgovorili ste na pitanje šta su grafovi funkcija i dali preporuke kako da ih izgradite. Sada možete riješiti neke jednadžbe oblika i grafički. Zahvaljujemo se svim studentima na kreativnom i plodnom radu, koji je doprinio ostvarenju ciljeva projekta.

S obzirom na gore navedeno, u našem priručniku pokušali smo da odrazimo sistematski pristup proučavanju funkcije snage. Kako bismo minimizirali poteškoće u radu sa računarom, pokušali smo da napravimo zgodnu i prirodnu navigaciju i uzmemo u obzir zahteve za didaktički softver.

Jeste li upoznati sa karakteristikama y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x itd. Sve ove funkcije su posebni slučajevi funkcije snage, tj. funkcije y=x str, gdje je p dati realni broj. Svojstva i graf funkcije stepena u suštini zavise od svojstava stepena sa realnim eksponentom, a posebno od vrednosti za koje x i str ima smisla x str. Nastavimo na slično razmatranje različitih slučajeva ovisno o eksponentu str.

Indeks p=2n je paran prirodan broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x 2n, gdje n je prirodan broj, ima sljedeće

svojstva:

domen definicije su svi realni brojevi, tj. skup R;

skup vrijednosti - nenegativni brojevi, tj. y je veći ili jednak 0;

funkcija y=x 2nčak, jer x 2n =(-x) 2n

funkcija se smanjuje na intervalu x<0 i povećava se u intervalu x>0.

Funkcija Graf y=x 2n ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y=x 4 .

2. Indikator p=2n-1- neparni prirodni broj U ovom slučaju, funkcija stepena y=x 2n-1, gdje je prirodan broj, ima sljedeća svojstva:

domen definicije - skup R;

skup vrijednosti - skup R;

funkcija y=x 2n-1čudno jer (- x) 2n-1 =x 2n-1 ;

funkcija raste na cijeloj realnoj osi.

Funkcija Graf y=x2n-1 ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y=x3.

3.Indikator p=-2n, gdje n- prirodni broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x -2n =1/x 2n ima sljedeća svojstva:

skup vrijednosti - pozitivni brojevi y>0;

funkcija y =1/x 2nčak, jer 1/(-x) 2n =1/x 2n ;

funkcija raste na intervalu x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Grafikon funkcije y =1/x 2n ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y =1/x 2 .

4.Indikator p=-(2n-1), gdje n- prirodni broj. U ovom slučaju, funkcija snage y=x -(2n-1) ima sljedeća svojstva:

domen definicije - skup R, osim za x=0;

skup vrijednosti - skup R, osim za y=0;

funkcija y=x -(2n-1)čudno jer (- x) -(2n-1) =-x -(2n-1) ;

funkcija se smanjuje na intervalima x<0 i x>0.

Funkcija Graf y=x -(2n-1) ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y=1/x 3 .

1. Inverzne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi.

Inverzne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi.Inverzne trigonometrijske funkcije (kružne funkcije, lučne funkcije) su matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama.

1. arcsin funkcija

Funkcija Graf .

arcsine brojevi m naziva se takav ugao x, za koji

Funkcija je kontinuirana i ograničena na cijeloj svojoj realnoj liniji. Funkcija se striktno povećava.

1. [Uredi] Svojstva funkcije arcsin

1. [Uredi] Dobivanje funkcije arcsin

Datoj funkciji domene ona je po komadima monotono, a time i inverzna korespondencija nije funkcija. Stoga uzimamo u obzir interval na kojem se striktno povećava i uzima sve vrijednosti rasponi- . Budući da za funkciju u intervalu svaka vrijednost argumenta odgovara jednoj vrijednosti funkcije, tada na ovom segmentu postoji inverzna funkcija čiji je graf simetričan grafu funkcije na segmentu u odnosu na pravu liniju

1. Funkcija snage, njena svojstva i graf;

2. Transformacije:

Paralelni prijenos;

Simetrija oko koordinatnih osa;

Simetrija oko porijekla;

Simetrija oko prave y = x;

Istezanje i skupljanje duž koordinatnih osa.

3. Eksponencijalna funkcija, njena svojstva i graf, slične transformacije;

4. Logaritamska funkcija, njena svojstva i graf;

5. Trigonometrijska funkcija, njena svojstva i graf, slične transformacije (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Funkcija: y = x\n - njena svojstva i graf.

Funkcija snage, njena svojstva i graf

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1 / x itd. Sve ove funkcije su posebni slučajevi funkcije snage, tj. funkcije y = xp, gdje je p dati realni broj.
Svojstva i graf funkcije stepena u suštini zavise od svojstava stepena sa realnim eksponentom, a posebno od vrednosti za koje x i str ima smisla xp. Nastavimo na slično razmatranje različitih slučajeva, ovisno o tome
eksponent str.

1. Indeks p = 2n je paran prirodan broj.

y=x2n, gdje n je prirodan broj i ima sljedeća svojstva:

• obim - sve realni brojevi, tj. skup R;
• skup vrijednosti - nenegativni brojevi, tj. y je veći ili jednak 0;
• funkcija y=x2nčak, jer x 2n = (-x) 2n
• funkcija se smanjuje na intervalu x< 0 i povećava se u intervalu x > 0.

Funkcija Graf y=x2n ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y=x4.

2. Indikator p = 2n - 1- neparan prirodni broj

U ovom slučaju, funkcija snage y=x2n-1, gdje je prirodan broj, ima sljedeća svojstva:

• domen definicije - skup R;
• skup vrijednosti - skup R;
• funkcija y=x2n-1čudno jer (- x) 2n-1= x 2n-1 ;
• funkcija raste na cijeloj realnoj osi.

Funkcija Graf y=x2n-1 y=x3.

3. Indikator p=-2n, gdje n- prirodni broj.

U ovom slučaju, funkcija snage y=x-2n=1/x2n ima sljedeća svojstva:

• skup vrijednosti - pozitivni brojevi y>0;
• funkcija y = 1/x2nčak, jer 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• funkcija raste na intervalu x0.

Grafikon funkcije y = 1/x2n ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y = 1/x2.

4. Indikator p = -(2n-1), gdje n- prirodni broj.
U ovom slučaju, funkcija snage y=x-(2n-1) ima sljedeća svojstva:

• domen definicije je skup R, osim za x = 0;
• skup vrijednosti - skup R, osim y = 0;
• funkcija y=x-(2n-1)čudno jer (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• funkcija se smanjuje na intervalima x< 0 i x > 0.

Funkcija Graf y=x-(2n-1) ima isti oblik kao, na primjer, graf funkcije y = 1/x3.