Zdravo, prijatelji! Danas analiziramo temu deskriptivne geometrije - presek prave sa ravninom i određivanje vidljivosti linije.

Zadatak preuzimamo iz zbirke Bogoljubova, 1989, str.63, var. 1. Trebamo sagraditi složeni crtež trougla ABC i prave MN prema datim koordinatama. Odrediti tačku susreta (presecanja) prave sa neprozirnom ravninom ABC Odrediti vidljive preseke prave.

Presek prave sa ravninom

1. Na osnovu koordinata tačaka A, B i C gradimo složeni crtež trougla i prave NM. Počinjemo crtati s horizontalnom projekcijom. Koordinate tačaka projekcije pronalazimo pomoću pomoćnih linija.

2. Dobijamo tako složen crtež.

3. Odrediti koordinate tačke preseka prave i ravni hajde da uradimo sledeće.

a) Povucite pomoćnu ravan P kroz pravu NM, tj. na frontalnoj projekciji nacrtamo trag ravnine Pv, na horizontalnoj ravni spustimo okomicu Pn - horizontalni trag ravnine P.

b) Nalazimo frontalnu projekciju linije preseka traga ravni P sa trouglom ABC. Ovo je segment d'e'. Pronalazimo horizontalnu projekciju duž komunikacijskih linija do sjecišta sa stranicama ab (t. d) i ac (t. e) trokuta. Povezujemo tačke d i e.

c) Zajedno presek de i nm biće horizontalna projekcija željene tačke presek prave sa ravninom k.

d) Povučemo komunikacijsku liniju od k do raskrsnice sa d'e', dobijemo frontalnu projekciju tačke k'.

e) duž komunikacijskih linija nalazimo profilnu projekciju tačke k''.

Koordinate tačke preseka prave i ravni K pronađen. Ova tačka se takođe naziva tačka susreta prave i ravni.

Određivanje vidljivosti linije

Za određivanje vidljivosti linije koristite metodu konkurentske tačke.

Što se tiče našeg crteža, konkurentske bodove će biti:

- bodovi: d' koji pripadaju a'b' i e' koji pripadaju n'm' (frontalno konkurentni),

- tačke: g koje pripadaju bc i h u vlasništvu nm (horizontalno konkurentno),

- tačke: l'' koji pripadaju b''c'' i p'' koji pripadaju n''m'' (profil se takmiči).

Od dvije konkurentske točke, ona s najvećom visinom bit će vidljiva. Linija vida je ograničena tačkom K.

Za par tačaka d’ i e’, vidljivost je definirana na sljedeći način: spuštamo okomicu na sjecište sa ab i nm na horizontalnoj projekciji, nalazimo točke d i f. Vidimo da je y-koordinata za tačku f veća od one za d → tačka f je vidljiva → direktna prava nm je vidljiva na preseku f'k', a na preseku k'm' je nevidljiva.

Slično argumentiramo i za par tačaka g i h: na frontalnoj projekciji, z-koordinata tačke h' je veća od one točke g' → tačka h' je vidljiva, g' nije → prava linija nm je vidljiv na segmentu hk, ali nevidljiv na segmentu kn.

A za par tačaka l''p'': na frontalnoj projekciji, x-koordinata je veća od one tačke p', što znači da pokriva tačku l'' na profilnoj projekciji → p'' je vidljivo, l'' nije → segment linije n' 'k'' je vidljiv, k''m'' je nevidljiv.

Da bismo odredili točku presjeka prave s ravninom, koristimo sljedeći algoritam: liniju zatvaramo u pomoćnu ravan, nalazimo liniju presjeka ove dvije ravni (date i pomoćne) i liniju presjeka ravnine ravni u preseku sa datom linijom daće željenu tačku. Poslednji korak u konstrukciji je određivanje vidljivosti linije koristeći konkurentske tačke.

Primjer1. Ravan je postavljena tragovima (Sl. 70)

1. Izgraditi tačku preseka prave l kod ravni je potrebno povući pomoćnu ravan određenog položaja kroz pravu liniju, na primjer, frontalno projekciju β π 2, l"" f oβ , f oβ – prikupljanje traga, h oβ h (sl.71).

2. Gradimo liniju raskrsnice MN data i pomoćna ravan M "=h oα ∩ h oβ, N""= f oβ ∩ f oα (Sl. 72).

3. Odredite tačku presjeka To zadata linija l sa linijom raskrsnice MN. K"=M"N"∩l", K""- na raskrsnici projekcijske priključne linije povučene od K" i l"".

4. Direktna vidljivost l u slučaju specificiranja ravni tragovima, ne određujemo.

Primjer 2. Presjek prave sa projekcijom ravni (sl. 73).

Prilikom konstruisanja tačke preseka prave sa projektovanom ravni, zadatak se pojednostavljuje, jer jedna od projekcija željene tačke će ležati na sabirnom tragu. Na slici 73 prikazana je vodoravna projekcija ravnine. Tačka pretrage Toće istovremeno pripadati ravni α i pravoj a.

Primjer 3 . Ravan je data ravnom figurom (slika 74).

Kroz pravu liniju l crtamo pomoćnu ravan određenog položaja, na primjer, horizontalno projektovanu β π 1 . l" h oβ , h oβ je sabirni trag, f oβ h (Sl. 75).

2. Gradimo liniju raskrsnice MN date i pomoćne ravni. M"=A"C"∩hoβ M""A""C"" i N"=B"C"∩hoβ N""B""C""(Sl. 76).

3. Izgradnja raskrsnice To zadata linija l sa linijom raskrsnice MN. K""= M""N""∩l"". DO" nalazi se na presjeku projekcijske priključne linije povučene iz K"" i M"N".

4. Odredite vidljivost linije u odnosu na Δ ABC sa konkurentskim bodovima.

Određivanje vidljivosti u odnosu na ravan π 2.Obratite pažnju na frontalnu projekciju 1"" poklapa se sa 2"" . plan pogled 2" note on A"C", a 1" na l". Horizontalna projekcija 1" leži prije 2" 2"" relativno nevidljiv π 2. Dot 1 leži na liniji l, na njoj je vidljivo π 2, dakle frontalna projekcija l" od 1"2"" do DO"" vidljivo na tački DO"" vidljivost je obrnuta.

Odredite vidljivost linije l u odnosu na avion pi 1 . Obratite pažnju na horizontalnu projekciju 3" , što se poklapa s horizontalnom projekcijom M". M "" A "" C "" već označeno, 3""l"". Frontalna projekcija M"" leži iznad frontalne projekcije 3"" , otuda i poenta M vidljivo relativno pi 1 . Dot 3 leži na l, dakle, od M"≡3" prije DO", horizontalna projekcija l" nevidljiv. u planu DO" vidljivost je obrnuta. Beyond Δ ABC ravno l vidljiv svuda.

Linija preseka dve ravni je prava linija. Razmotrimo prvo poseban slučaj (slika 3.9), kada je jedna od ravnina koja se seku paralelna sa horizontalnom ravninom projekcije (α π 1, f 0 α X). U ovom slučaju, linija preseka a, koja pripada ravni α, takođe će biti paralelna sa ravni π 1, (slika 3.9. a), tj. poklapaće se sa horizontalom ravnina koje se seku (a ≡ h ).

Ako je jedna od ravni paralelna sa frontalnom ravninom projekcija (slika 3.9. b), tada će linija presjeka a koja pripada ovoj ravni biti paralelna s ravninom π 2 i poklopit će se s prednjim dijelom ravnina koje se sijeku ( a ≡ f).

.

.

Rice. 3.9. Poseban slučaj presjeka ravnine opšti položaj sa ravnima: a - horizontalni nivo; b - frontalni nivo

Primer konstruisanja presečne tačke (K) prave a (AB) sa ravninom α (DEF) prikazan je na sl. 3.10. Da bi se to učinilo, prava a je zatvorena u proizvoljnu ravan β i određena je linija presjeka ravnina α i β.

U primjeru koji se razmatra, prave AB i MN pripadaju istoj ravni β i sijeku se u tački K, a pošto prava MN pripada datoj ravni α (DEF), tačka K je također tačka presjeka prava a (AB) sa ravninom α. (Sl. 3.11).

.

Rice. 3.10. Konstrukcija tačke preseka prave sa ravninom

Za rješavanje takvog problema na složenom crtežu potrebno je znati pronaći tačku presjeka prave u opštem položaju sa ravninom u opštem položaju.

Razmotrimo primjer pronalaženja točke presjeka prave AB sa ravninom trougla DEF prikazanog na sl. 3.11.

Da bi se pronašla tačka preseka kroz frontalnu projekciju prave A 2 B 2, nacrtana je prednja projekcijska ravan β koja je presecala trougao u tačkama M i N. Na frontalnoj projekcijskoj ravni (π 2), ove tačke su predstavljen projekcijama M 2 , N 2 . Iz uslova pripadnosti pravoj ravni na horizontalnu ravan projekcija (π 1) nalaze se horizontalne projekcije dobijenih tačaka M 1 N 1. Na presjeku horizontalnih projekcija pravih A 1 B 1 i M 1 N 1 formira se horizontalna projekcija tačke njihovog presjeka (K 1). Prema liniji komunikacije i uslovima pripadanja na frontalnoj ravni projekcija, nalazi se frontalna projekcija presečne tačke (K 2).

.

Rice. 3.11. Primjer određivanja točke presjeka prave i ravni

Vidljivost segmenta AB u odnosu na trougao DEF određuje se metodom konkurentskih tačaka.

Dve tačke NEF i 1AB se razmatraju na π 2 ravni. Prema horizontalnim projekcijama ovih tačaka, može se ustanoviti da se tačka N nalazi bliže posmatraču (Y N >Y 1) nego tačka 1 (smer vidne linije je paralelan sa S). Prema tome, prava linija AB, odnosno dio prave AB (K 1) zatvorena je ravninom DEF na ravni π 2 (njena projekcija K 2 1 2 prikazana je isprekidanom linijom). Slično se uspostavlja i vidljivost na ravni π 1.

Pitanja za samokontrolu

1) Koja je suština metode nadmetanja bodova?

2) Koja svojstva prave linije znate?

3) Koji je algoritam za određivanje tačke preseka prave i ravni?

4) Koji zadaci se nazivaju pozicioni?

5) Formulirajte uslove za pripadnost pravoj ravni.

Predstavljamo Vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Akademija prirodne istorije"

Ako prava ne leži u ravni i nije joj paralelna, ona seče ravan.
Zadatak određivanja tačke preseka prave sa ravninom je sledeći:
1) crtanje pomoćne ravni ( Preporuča se pomoćna ravnina odabrati onu koja će dati najjednostavniju grafičko rješenje zadataka) kroz ovu liniju;
2) nalaženje linije preseka pomoćne ravni sa datom ravninom;
3) određivanje tačke preseka date prave sa linijom preseka ravni, a samim tim i sa datom ravninom.

Primer 1. Na (Sl.250, a) date ravan δ (δ 1 ) i prava AB (A 1 B 1 i A 2 B 2 ); potrebno je odrediti tačku njihovog ukrštanja.

U ovom slučaju nema potrebe pribjegavati pomoćnoj ravni, jer dati avionδ - horizontalno - istureno. Prema svojstvu projektovanih ravni, horizontalna projekcija tačke preseka, koja leži u ravni δ, spaja se sa horizontalnom projekcijom δ 1 .
Dakle, tačka K 1 preseka horizontalne projekcije A 1 B 1 prave linije AB sa horizontalnom projekcijom δ 1 je horizontalna projekcija presečne tačke K; frontalna projekcija K 2 određena je povlačenjem vertikalne linije komunikacije dok se ne ukrsti sa frontalnom projekcijom A 2 B 2 .
Primjer 2. Na (sl.250,b) prikazan je primjer preseka prave linije AB sa frontalno izbačenom ravninom δ.

Primer 1. Date su: ravan u opštem položaju a i prava u opštem položaju AB (A 1 B 1 A 2 B 2); potrebno je pronaći tačku njihovog preseka (Sl.251,a).
Na primjer, kroz pravu liniju AB povučemo neku pomoćnu ravan horizontalno - projektovanje ravan δ (δ 1 ), kao što je prikazano na (sl. 251b); presecaće ravan a duž prave NM (N 1 M 1, N 2 M 2), koja će, pak, preseći pravu AB (A 1 B 1 A 2 B 2) u tački C (C 1 C 2), kao što se može videti na (Sl. 251, c). Tačka C je tačka preseka prave AB sa ravninom a.

Primjer 2. Na (Sl.252) primjer pronalaženja projekcije tačke preseka prave AB sa ravni opšteg položaja pomoću horizontale h.
Primjer 3. Dati su: trougao ABC i prava NM ; potrebno je odrediti tačku njihovog preseka (Sl.253,a).
Uzmimo kao pomoćnu ravan horizontalno projektovanu ravan δ, tada se horizontalna projekcija og spaja sa horizontalnom projekcijom N 1 M 1 pravom linijom NM i siječe projekcije stranica trokuta u tačkama E 1 i F 1 (Sl.253 ,b). Segment E 1 F 1 će biti horizontalna projekcija linije ukrštanja. Zatim nalazimo frontalnu projekciju linije raskrsnice: pomoću vertikalnih komunikacijskih linija dobijamo tačke E 2 i F 2, kroz njih povlačimo pravu liniju E 2 F 2, koja će biti frontalna projekcija linije raskrsnice.
Prava E 2 F 2 seče pravu N 2 M 2 u tački K 2 . Tačka K 2 će biti frontalna projekcija tačke preseka prave MN sa pravom EF; horizontalna projekcija K 1 ove tačke određena je pomoću vertikalne komunikacijske linije.
Tačka K (K 1 , K 2 ) će biti tačka preseka date prave MN sa datim trouglom ABC, koji im istovremeno pripada, jer se prava MN u njoj seče sa pravom EF koja leži u ravan trougla ABC.

Vježba 1
Konstruirajte složeni crtež trougla ABC po koordinatama vrhova. Pronađite prirodnu veličinu stranica trokuta i izgradite ga u prirodnoj veličini. Koristeći iste koordinate, konstruirajte vizualnu sliku
Vježba 2
Prema čeonoj projekciji poligona i horizontalnim projekcijama dvije njegove susjedne strane, dovršite horizontalnu projekciju poligona.
Konstruisati projekcije proizvoljnog trougla u ravni poligona. Konstruirajte tačku izvan poligona, ali koja leži u istoj ravni s njim (

Konstrukcija tačke preseka prave sa projektovanom ravninom svodi se na konstruisanje druge projekcije tačke na dijagramu, pošto jedna tačka projekcije uvek leži na tragu projektovane ravni, jer se sve što je u ravni projekcije projektuje na jedan od tragova ravni. Na sl. 224,a prikazana je konstrukcija tačke preseka prave EF sa prednjom projekcijom ravni trougla ABC (okomita na ravan V) Na ravan V trougao ABC se projektuje u segment a "c" prave, a tačka k" će takođe ležati na ovoj pravoj i biti u tački preseka e "f" sa "c". Horizontalna projekcija se gradi pomoću projekcijske spojne linije. Vidljivost prave prava u odnosu na ravan trougla ABC je određena sa relativnu poziciju projekcije trougla ABC i prave EF na ravan V. Smjer gledanja na sl. 224, kao što je prikazano strelicom. Biće vidljiv onaj deo prave linije čija je frontalna projekcija iznad projekcije trougla. Lijevo od tačke k" projekcija prave linije je iznad projekcije trougla, dakle, ovaj dio je vidljiv na ravni H.

Na sl. 224, b, prava EF seče horizontalnu ravan P. Čeona projekcija k "tačke K - tačka preseka prave EF sa ravninom P - biće u tački preseka projekcije e" f "sa tragom ravnine Pv, pošto je horizontalna ravan frontalno projekcijska ravan. Horizontalna projekcija k tačke K nalazi se pomoću projekcijske spojne linije.

Konstrukcija linije preseka dve ravni svodi se na pronalaženje dvije zajedničke tačke za ove dvije ravni. Ovo je dovoljno za konstruisanje presečne linije, pošto je presečna linija prava, a prava je definisana sa dve tačke. Kada se projekcijska ravan siječe s ravninom u opštem položaju, jedna od projekcija linije ukrštanja poklapa se sa tragom ravnine koja se nalazi u ravni projekcija na koju je ravan projekcije okomita. Na sl. 225, a frontalna projekcija m "n" presečne linije MN poklapa se sa tragom Pv prednje projekcijske ravni P, a na sl. 225b, horizontalna projekcija kl poklapa se sa tragom horizontalno projekcijske ravni R. Ostale projekcije presječne linije konstruiraju se pomoću projekcijskih spojnih linija.

Konstrukcija tačke preseka prave sa ravninom Opšti položaj (Sl. 226, a) izvodi se pomoću pomoćne projekcijske ravni R, koja je povučena kroz datu pravu liniju EF. Izgrađena je linija preseka 12 pomoćne ravni R sa datom ravninom trougla ABC, u ravni R se dobijaju dve prave: EF - data prava i 12 - konstruisana presečna linija, koje se seku u tački K .

Pronalaženje projekcije tačke K prikazano je na sl. 226b. Konstrukcije se izvode sljedećim redoslijedom.

Kroz pravu EF povučena je pomoćna horizontalna projekcijska ravan R. Njen trag R H poklapa se sa horizontalnom projekcijom ef prave EF.

Izgradite frontalnu projekciju 1 "2" linije presjeka 12 ravni R sa dati avion trougao ABC koristeći projekcijske linije, pošto je poznata horizontalna projekcija linije ukrštanja. Poklapa se sa horizontalnim tragom R H ravni R.

Određuje se frontalna projekcija k" željene tačke K koja se nalazi na preseku čeone projekcije ove prave sa projekcijom 1"2" presečne linije. Horizontalna projekcija tačke se konstruiše pomoću projekcije priključna linija.

Vidljivost prave u odnosu na ravan trougla ABC određuje se metodom konkurentskih tačaka. Da bismo odredili vidljivost prave linije na frontalnoj ravnini projekcija (slika 226, b), uporedimo Y koordinate tačaka 3 i 4 čije se frontalne projekcije poklapaju. Y-koordinata tačke 3, koja leži na pravoj BC, manja je od Y-koordinate tačke 4, koja leži na pravoj EF. Posljedično, tačka 4 je bliža posmatraču (smjer gledanja je označen strelicom) i projekcija prave linije prikazana je na vidljivoj ravni V. Prava prolazi ispred trougla. Lijevo od tačke K" prava je zatvorena ravninom trougla ABC.

Vidljivost na horizontalnoj ravni projekcije se prikazuje poređenjem Z koordinata tačaka 1 i 5. Pošto je Z 1 > Z 5, tačka 1 je vidljiva. Dakle, desno od tačke 1 (do tačke K) linija EF je nevidljiva.

Da bi se konstruisala linija preseka dve ravni u opštem položaju, koriste se pomoćne sekantne ravni. Ovo je prikazano na sl. 227 a. Jedna ravan je data trouglom ABC, druga je data paralelnim pravima EF i MN. Date ravni (sl. 227, a) seče trećom pomoćnom ravninom. Radi lakše konstrukcije, horizontalne ili frontalne ravnine se uzimaju kao pomoćne ravnine. U ovom slučaju, pomoćna ravan R je horizontalna ravan. On seče date ravni duž pravih 12 i 34, koje u preseku daju tačku K, koja pripada sve tri ravni, a samim tim i dve date ravni, tj. leže na liniji preseka datih ravni. Druga tačka se nalazi pomoću druge pomoćne ravni Q. Dve pronađene tačke K i L određuju liniju preseka dve ravni.

Na sl. 227b, pomoćna ravan R je data frontalnim budnim tragom. Frontalne projekcije linija preseka 1 "2" i 3"4 ravni R sa datim ravnima poklapaju se sa frontalnim tragom Rv ravni R, pošto je ravan R okomita na ravan V, a sve što je u njemu (uključujući linije presjeka) se projektuje na njegov frontalni trag Rv. Horizontalne projekcije ovih linija konstruiraju se pomoću projekcijskih spojnih linija povučenih od čeonih projekcija tačaka 1", 2", 3", 4" do raskrsnice sa horizontalnim projekcijama odgovarajućih pravih u tačkama 1, 2, 3, 4. Konstruisane horizontalne projekcije linija preseka se produžavaju sve dok se ne seku jedna s drugom u tački k, što je horizontalna projekcija tačke K koja pripada linija presjeka dvije ravni. Frontalna projekcija ove tačke je na tragu Rv.

Da bi se konstruisala druga tačka koja pripada liniji preseka, nacrta se druga pomoćna ravan Q. Radi pogodnosti konstrukcije, ravan Q je povučena kroz tačku C paralelnu ravnini R. Zatim, da se konstruišu horizontalne projekcije pravih preseka ravni Q sa ravninom trougla ABC i ravninom zadatom paralelnim pravima, dovoljno je pronaći dve tačke: c i 5 i kroz njih povući prave paralelne sa prethodno konstruisanim projekcijama preseka 12 i 34, pošto je ravan Q ║ R. Nastavljajući ove prave dok se ne seku, dobija se horizontalna projekcija l tačke L koja pripada liniji preseka datih ravni. Frontalna projekcija l" tačke L leži na tragu Q v i konstruiše se linijom projekcijske veze. Povezivanjem istoimenih projekcija tačaka K i L dobijaju se projekcije željene presečne linije. .

Ako uzmemo pravu u jednoj od ravnina koje se sijeku i konstruiramo tačku presjeka ove prave sa drugom ravninom, tada će ova tačka pripadati liniji presjeka ovih ravni, budući da pripada objema datim ravnima. Napravimo i drugu tačku na isti način, možemo pronaći liniju preseka dve ravni, pošto su dve tačke dovoljne da se napravi prava linija. Na sl. 228 prikazuje takvu konstrukciju linije presjeka dvije ravni date trouglovima.

Za ovu konstrukciju uzima se jedna od stranica trougla i gradi se tačka preseka ove stranice sa ravninom drugog trougla. Ako ovo ne uspije, uzmite drugu stranu istog trougla, pa treću. Ako to nije dovelo do pronalaženja željene točke, grade se točke presjeka stranica drugog trokuta s prvim.

Na sl. 228 konstruisana je tačka preseka prave EF sa ravninom trougla ABC. Da bi se to učinilo, pomoćna horizontalno projektovana ravnina S povlači se kroz pravu liniju EF i gradi frontalnu projekciju 1 "2" linije presjeka ove ravnine s ravninom trougla ABC. Frontalna projekcija 1 "2" linije ukrštanja, koja se siječe sa frontalnom projekcijom e "f" prave linije EF, daje frontalnu projekciju m" tačke presjeka M. Horizontalna projekcija m tačke M nalazi se pomoću projekcijska vezna linija Druga tačka koja pripada liniji preseka ravnina datih trouglova , - tačka N - tačka preseka prave BC sa ravninom trougla DEF. Kroz pravu BC, front- projekcija ravan R je nacrtana, a na ravni H, presek horizontalnih projekcija prave BC i linije preseka 34 daje tačku n - horizontalnu projekciju željene tačke Vidljivi preseci datih trouglova se određuju korišćenjem konkurentskih tačaka za svaku ravan projekcije posebno. Da bi se to uradilo, na jednoj od ravni projekcije se bira tačka, koja je projekcija dvije konkurentske tačke. Vidljivost se utvrđuje iz drugih projekcija ovih tačaka upoređivanjem njihovih koordinata.

Na primjer, tačke 5 i 6 su točke sjecišta horizontalnih projekcija bc i de. Na ravni frontalne projekcije projekcije ovih tačaka se ne poklapaju. Upoređujući njihove Z koordinate, otkrivaju da tačka 5 zatvara tačku 6, jer je koordinata Z 5 veća od koordinate Z 6. Dakle, lijevo od tačke 5, strana DE je nevidljiva.

Vidljivost na frontalnoj ravni projekcija određuje se korišćenjem konkurentskih tačaka 4 i 7 koje pripadaju segmentima DE i BC, upoređujući njihove koordinate Y 4 i Y 7 Pošto je Y 4 > Y 7 vidljiva je strana DE na ravni V.

Treba napomenuti da kada se konstruiše tačka preseka prave sa ravninom trougla, tačka preseka može biti izvan ravni trougla. U ovom slučaju, povezivanjem dobijenih tačaka koje pripadaju liniji preseka, ocrtava se samo onaj njen deo koji pripada oba trougla.

PREGLEDAJTE PITANJA

1. Koje koordinate tačke određuju njen položaj u ravni V?

2. Koja je koordinata Y i Z koordinate tačke?

3. Kako se na dijagramu nalaze projekcije segmenta okomite na ravan projekcija H? Okomito na ravan projekcije V?

4. Kako se nalaze horizontalna i frontalna projekcija na dijagramu?

5. Formulirajte glavnu poziciju o pripadnosti tačke pravoj liniji.

6. Kako na dijagramu razlikovati prave od onih koje se seku?

7. Koje točke se nazivaju nadmetanjem?

8. Kako odrediti koja je od dvije tačke vidljiva ako se njihove projekcije na ravan frontalne projekcije poklapaju?

9. Formulirajte glavni stav o paralelnosti prave i ravni.

10. Koji je postupak za konstruisanje tačke preseka prave sa ravni u opštem položaju?

11. Koji je postupak za konstruisanje linije preseka dve ravni u opštem položaju?