Razlomak m/n smatrat ćemo nesvodljivim (na kraju krajeva, razlomak koji se može svesti uvijek se može svesti u nesvodljivi oblik). Dobijamo kvadriranje obje strane jednačine m^2=2n^2. Iz ovoga zaključujemo da je m^2, a zatim broj m- čak. one. m = 2k. Zbog toga m^2 = 4k^2 i stoga 4 k^2 =2n^2 ili 2 k^2 = n^2. Ali onda se ispostavi da je tako n je takođe paran broj, koji ne može biti, budući da je razlomak m/n nesvodivo. Postoji kontradikcija. Ostaje da se zaključi da je naša pretpostavka pogrešna i racionalni broj m/n jednako √2 ne postoji.”

To je sve njihov dokaz.

Kritička procjena dokaza starih Grka

1) U racionalnom broju koji su usvojili Grci m/n brojevi m i n cela, ali nepoznato(da li oni čak, da li oni odd). I tako je! A da bi se nekako uspostavila bilo kakva zavisnost između njih, mora se tačno odrediti njihova svrha;

2) Kada su stari odlučili da broj m je paran, tada u njihovoj prihvaćenoj jednakosti m = 2k oni (namjerno ili iz neznanja!) nisu sasvim "tačno" okarakterizirali broj " k ". Ali evo broja k- ovo je cijeli(Cijeli!) i potpuno poznati broj koji jasno definiše pronađeno čak broj m. I nemoj to biti pronađeno brojevi " k» stari nisu mogli dalje » koristiti» i broj m ;

3) A kada iz jednakosti 2 k^2 = n^2 Drevni ljudi su dobili broj n^2 je paran i istovremeno n- čak, trebali su ne žuri sa zaključkom o nove kontroverze“, ali bolje je uvjeriti se u granicu tačnost prihvaćeno od njih izbor» brojevi « n ».

I kako su to mogli učiniti? Da, jednostavno!
Vidi: iz njihove jednačine 2 k^2 = n^2 lako bi se mogla dobiti sljedeća jednakost k√2 = n. I ovdje nema ničeg za osudu na bilo koji način - na kraju krajeva, oni su dobili od jednakosti m/n=√2 još jedna adekvatna jednakost m^2=2n^2 ! I niko ih nije prešao!

Ali u novoj jednakosti k√2 = n sa očiglednim INTEGER brojevima k i n jasno je da od uvijek dobiti broj √2 - racionalno . Uvek je! Zato što sadrži brojeve k i n- slavna CIJELA!

Ali tako da iz njihove jednakosti 2 k^2 = n^2 i, kao posljedica toga, od k√2 = n dobiti broj √2 - iracionalno (kao to " poželio"stari Grci!"), onda moraju imati, najmanje , broj " k"kao neceo broj (!!!) brojevi. A stari Grci ovo jednostavno nisu imali!

Otuda ZAKLJUČAK: gornji dokaz iracionalnosti broja √2, koji su dali stari Grci prije 2400 godina, iskreno netačno i matematički netačno, u najmanju ruku - to je samo false .

U maloj F-6 brošuri prikazanoj gore (vidi sliku iznad), izdatoj u Krasnodaru (Rusija) 2015. sa ukupnim tiražem od 15.000 primjeraka. (očigledno, uz sponzorstvo) nov, izuzetno korektan sa stanovišta matematike i krajnje istinit] dokaz iracionalnosti broja √2, koji se mogao dogoditi davno, da nije bilo krutih " prepo n" proučavanju antikviteta istorije.

Sam koncept iracionalnog broja je tako uređen da se definiše kroz negaciju svojstva "biti racionalan", pa je dokaz kontradikcijom ovdje najprirodniji. Međutim, moguće je ponuditi sljedeće obrazloženje.

Kako se fundamentalno racionalni brojevi razlikuju od iracionalnih? Oba se mogu aproksimirati racionalnim brojevima sa bilo kojom preciznošću, ali za racionalne brojeve postoji aproksimacija sa "nultom" preciznošću (sam broj), ali za iracionalne brojeve to više nije slučaj. Pokušajmo se igrati s tim.

Prije svega, primjećujemo tako jednostavnu činjenicu. Neka su $%\alpha$%, $%\beta$% dva pozitivna broja koja se aproksimiraju jedan drugom sa tačnošću od $%\varepsilon$%, tj. $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Šta će se dogoditi ako obrnemo brojeve? Kako to mijenja tačnost? Lako je vidjeti da je $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$ što će biti striktno manje od $%\varepsilon$% za $%\alpha\beta>1$%. Ova tvrdnja se može smatrati nezavisnom lemom.

Sada stavimo $%x=\sqrt(2)$%, i neka je $%q\in(\mathbb Q)$% racionalna aproksimacija $%x$% sa preciznošću $%\varepsilon$%. Znamo da je $%x>1$%, a što se tiče $%q$% aproksimacije, zahtijevamo da nejednakost $%q\ge1$% bude zadovoljena. Za sve brojeve manje od $%1$%, tačnost aproksimacije će biti lošija od one kod samog $%1$% i stoga ih nećemo razmatrati.

Dodajmo $%1$% svakom od brojeva $%x$%, $%q$%. Očigledno je da će tačnost aproksimacije ostati ista. Sada imamo brojeve $%\alpha=x+1$% i $%\beta=q+1$%. Prelaskom na recipročne vrijednosti i primjenom "leme", dolazimo do zaključka da se naša tačnost aproksimacije poboljšala, postajući striktno manja od $%\varepsilon$%. Traženi uslov $%\alpha\beta>1$% je ispunjen čak i sa marginom: u stvari, znamo da su $%\alpha>2$% i $%\beta\ge2$%, iz čega možemo zaključiti da tačnost je poboljšana za najmanje $%4$% puta, tj. ne prelazi $%\varepsilon/4$%.

A evo glavne stvari: po uslovu, $%x^2=2$%, to jest, $%x^2-1=1$%, što znači da je $%(x+1)(x- 1) =1$%, to jest, brojevi $%x+1$% i $%x-1$% su inverzni jedan prema drugom. A to znači da će $%\alpha^(-1)=x-1$% biti aproksimacija (racionalnom) broju $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% sa preciznost striktno manja od $%\varepsilon$%. Ostaje da se ovim brojevima doda $%1$% i ispada da broj $%x$%, odnosno $%\sqrt(2)$%, ima novu racionalnu aproksimaciju jednaku $%\beta ^(- 1)+1$%, tj. $%(q+2)/(q+1)$%, sa "poboljšanom" preciznošću. Ovim je dokaz završen, budući da racionalni brojevi, kao što smo gore napomenuli, imaju "apsolutno tačnu" racionalnu aproksimaciju sa tačnošću od $%\varepsilon=0$%, pri čemu se tačnost u principu ne može povećati. I uspjeli smo, što govori o neracionalnosti našeg broja.

Zapravo, ovaj argument pokazuje kako konstruirati konkretne racionalne aproksimacije za $%\sqrt(2)$% sa sve boljom preciznošću. Prvo moramo uzeti aproksimaciju $%q=1$%, a zatim primijeniti istu formulu zamjene: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Ovaj proces proizvodi sljedeće: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ i tako dalje.

primjer:
\(4\) je racionalan broj, jer se može napisati kao \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) je također racionalan jer se može napisati kao \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)…\) - a ovo je racionalan broj: može se predstaviti kao \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) je racionalan jer se može predstaviti kao \(\frac(1)(2)\) . Zaista, možemo izvesti lanac transformacija \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

iracionalan broj je broj koji se ne može zapisati kao razlomak s cijelim brojnikom i nazivnikom.

Nemoguće jer je tako beskrajno razlomci, pa čak i neperiodične. Dakle, ne postoje cijeli brojevi koji bi, kada bi se podijelili jedan s drugim, dali iracionalan broj.

primjer:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) je iracionalan broj;
\(π≈3.1415926… \) je iracionalan broj;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) je iracionalan broj.

Primjer (Zadatak od OGE). Vrijednost kojeg od izraza je racionalan broj?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Rješenje:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) također je nemoguće predstaviti broj kao razlomak s cijelim brojevima , stoga je broj iracionalan.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - nema više korijena, broj se lako može predstaviti kao razlomak, na primjer, \(\frac(-5)(1)\) , tako da je racionalan.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - korijen se ne može izdvojiti - broj je iracionalan.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) je također iracionalan.

Sa segmentom jedinične dužine, drevni matematičari su već znali: znali su, na primjer, nesamjerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broja.

Iracionalni su:

Primjeri dokaza iracionalnosti

Koren od 2

Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao nesvodljivi razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost:

Iz ovoga slijedi da čak, dakle, čak i . Neka gdje cijeli. Onda

Stoga, čak, dakle, čak i . Dobili smo da su i parni, što je u suprotnosti sa nesvodljivošću razlomka . Dakle, prvobitna pretpostavka je bila pogrešna i predstavlja iracionalan broj.

Binarni logaritam broja 3

Pretpostavimo suprotno: on je racionalan, to jest, predstavljen je kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi. Od , i može se uzeti pozitivno. Onda

Ali jasno je, čudno je. Dobijamo kontradikciju.

e

Priča

Koncept iracionalnih brojeva su implicitno usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, kada je Manava (oko 750. pne - oko 690. pne) otkrio da se kvadratni koreni nekih prirodnih brojeva, kao što su 2 i 61, ne mogu eksplicitno izraziti.

Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu od Metaponta (oko 500. pne), Pitagorejcu koji je pronašao ovaj dokaz proučavajući dužine stranica pentagrama. U doba Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica dužine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja je cijeli broj puta uključena u bilo koji segment. Međutim, Hipas je tvrdio da ne postoji jedinstvena jedinica dužine, jer pretpostavka o njenom postojanju dovodi do kontradikcije. On je pokazao da ako hipotenuza jednakokračnog pravokutnog trokuta sadrži cijeli broj jediničnih segmenata, onda taj broj mora biti i paran i neparan u isto vrijeme. Dokaz je izgledao ovako:

• Omjer dužine hipotenuze i dužine kraka jednakokračnog pravokutnog trokuta može se izraziti kao a:b, gdje a i b odabrana kao najmanja moguća.
• Prema Pitagorinoj teoremi: a² = 2 b².
• Jer a² čak, a mora biti paran (pošto bi kvadrat neparnog broja bio neparan).
• Zbog a:b nesvodivo b mora biti čudno.
• Jer ačak, označiti a = 2y.
• Onda a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², dakle b je paran onda bčak.
• Međutim, to je i dokazano b odd. Kontradikcija.

Grčki matematičari nazvali su ovaj odnos nesamerljivih veličina alogos(neizrecivo), ali prema legendi, Hipasu nije odano dužno poštovanje. Postoji legenda da je Hipas došao do otkrića dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u more "zbog stvaranja elementa svemira, koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere. " Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući pretpostavku koja leži u osnovi cijele teorije da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

vidi takođe

Bilješke

Koji su brojevi iracionalni? iracionalan broj nije racionalan realan broj, tj. ne može se predstaviti kao razlomak (kao omjer dva cijela broja), gdje je m je cijeli broj, n- prirodni broj. iracionalan broj može se predstaviti kao beskonačan neperiodični decimalni razlomak.

iracionalan broj ne može biti tačno. Samo u formatu 3.333333…. Na primjer, Kvadratni korijen od dva - je iracionalan broj.

Šta je iracionalni broj? Iracionalan broj(za razliku od racionalnih) naziva se beskonačni decimalni neperiodični razlomak.

Mnogo iracionalnih brojevačesto se označava velikim latiničnim slovom podebljanim bez senčenja. to.:

One. skup iracionalnih brojeva je razlika između skupova realnih i racionalnih brojeva.

Svojstva iracionalnih brojeva.

• Zbir 2 nenegativna iracionalna broja može biti racionalan broj.
• Iracionalni brojevi definišu Dedekindove sekcije u skupu racionalnih brojeva, u nižoj klasi koji nemaju veliki broj, a u gornjem nema manjeg.
• Svaki realni transcendentalni broj je iracionalan broj.
• Svi iracionalni brojevi su ili algebarski ili transcendentni.
• Skup iracionalnih brojeva je svuda gust na brojevnoj pravoj: između svakog para brojeva nalazi se iracionalni broj.
• Red na skupu iracionalnih brojeva je izomorfan redu na skupu realnih transcendentalnih brojeva.
• Skup iracionalnih brojeva je beskonačan, skup je 2. kategorije.
• Rezultat svake aritmetičke operacije nad racionalnim brojevima (osim dijeljenja sa 0) je racionalan broj. Rezultat aritmetičkih operacija nad iracionalnim brojevima može biti racionalan ili iracionalan broj.
• Zbir racionalnog i iracionalnog broja uvijek će biti iracionalan broj.
• Zbir iracionalnih brojeva može biti racionalan broj. Na primjer, neka x iracionalno, dakle y=x*(-1) takođe iracionalan; x+y=0, i broj 0 racionalno (ako, na primjer, dodamo korijen bilo kojeg stepena od 7 i minus korijen istog stepena od sedam, dobićemo racionalni broj 0).

Iracionalni brojevi, primjeri.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ