Nemoj izgubiti. Pretplatite se i primite link na članak na svoju e-poštu.

Svakodnevno komunicirajući na poslu ili učenju s brojevima i brojevima, mnogi od nas i ne slute da postoji vrlo zanimljiv zakon veliki brojevi koristi se, na primjer, u statistici, ekonomiji, pa čak i psihološkim i pedagoškim istraživanjima. Odnosi se na teoriju vjerovatnoće i kaže da je aritmetička sredina bilo kojeg velikog uzorka iz fiksne distribucije bliska matematičkom očekivanju ove distribucije.

Vjerovatno ste primijetili da nije lako razumjeti suštinu ovog zakona, posebno onima koji nisu baš naklonjeni matematici. Na osnovu ovoga, željeli bismo razgovarati o tome običan jezik(koliko je to moguće, naravno), da svako može bar okvirno da shvati šta je to. Ovo znanje će vam pomoći da bolje razumijete neke matematičke obrasce, postanete eruditniji i pozitivno utičete.

Pojmovi zakona velikih brojeva i njegovo tumačenje

Uz gornju definiciju zakona velikih brojeva u teoriji vjerovatnoće, možemo dati i njegovu ekonomsku interpretaciju. U ovom slučaju, princip je da se učestalost određene vrste finansijskog gubitka može predvidjeti sa visokim stepenom sigurnosti kada postoji visoki nivo gubici takve vrste uopšte.

Osim toga, u zavisnosti od nivoa konvergencije karakteristika, možemo razlikovati slabe i pojačane zakone velikih brojeva. O slabima mi pričamo, kada konvergencija postoji u vjerovatnoći, a o pojačanoj - kada konvergencija postoji u gotovo svemu.

Ako to tumačimo malo drugačije, onda bismo trebali reći ovo: uvijek je moguće pronaći tako konačan broj pokušaja, gdje će se, sa bilo kojom unaprijed programiranom vjerovatnoćom manjom od jedan, relativna učestalost pojave nekog događaja vrlo malo razlikovati od njegovu vjerovatnoću.

Dakle, opšta suština zakona velikih brojeva može se izraziti na sledeći način: rezultat složenog delovanja velikog broja identičnih i nezavisnih slučajnih faktora biće takav rezultat koji ne zavisi od slučajnosti. A govoreći još jednostavnijim jezikom, onda će se u zakonu velikih brojeva kvantitativni zakoni masovnih pojava jasno manifestovati tek kada ih ima veliki broj (zato se zakon velikih brojeva zove zakon).

Iz ovoga možemo zaključiti da je suština zakona da u brojevima koji se dobiju masovnim posmatranjem postoji određena ispravnost koju je nemoguće otkriti u malom broju činjenica.

Suština zakona velikih brojeva i njegovi primjeri

Zakon velikih brojeva izražava najopštije obrasce slučajnog i nužnog. Kada se nasumična odstupanja "ugase" jedno drugo, prosjeci određeni za istu strukturu poprimaju oblik tipičnih. One odražavaju djelovanje bitnih i trajnih činjenica u specifičnim uvjetima vremena i mjesta.

Pravilnosti definisane zakonom velikih brojeva jake su samo kada predstavljaju masovne tendencije i ne mogu biti zakoni za pojedinačne slučajeve. Dakle, princip matematičke statistike, koji kaže da složeno djelovanje niza slučajnih faktora može uzrokovati neslučajni rezultat. A najupečatljiviji primjer djelovanja ovog principa je konvergencija učestalosti pojavljivanja slučajnog događaja i njegove vjerovatnoće kada se broj pokušaja povećava.

Prisjetimo se uobičajenog bacanja novčića. Teoretski, glave i repovi mogu ispasti sa istom vjerovatnoćom. To znači da ako se, na primjer, novčić baci 10 puta, 5 od njih treba iskrsnuti glavom, a 5 treba iskrsnuti glavom. Ali svi znaju da se to gotovo nikada ne događa, jer omjer frekvencije glave i repa može biti 4 prema 6, i 9 prema 1, i 2 prema 8, itd. Međutim, s povećanjem broja bacanja novčića, na primjer, do 100, vjerovatnoća da će glava ili rep ispasti dostiže 50%. Ako se, teoretski, izvede beskonačan broj takvih eksperimenata, vjerovatnoća da novčić ispadne na obje strane uvijek će težiti 50%.

Kako će tačno novčić pasti zavisi od ogromnog broja nasumičnih faktora. Ovo je položaj novčića na dlanu, i sila kojom se baca, i visina pada, i njegova brzina, itd. Ali ako postoji mnogo eksperimenata, bez obzira na to kako faktori djeluju, uvijek se može tvrditi da je praktična vjerovatnoća bliska teoretskoj vjerovatnoći.

A evo još jednog primjera koji će pomoći da se shvati suština zakona velikih brojeva: pretpostavimo da trebamo procijeniti nivo zarade ljudi u određenom regionu. Ako uzmemo u obzir 10 zapažanja, gdje 9 osoba prima 20 hiljada rubalja, a 1 osoba - 500 hiljada rubalja, aritmetička sredina će biti 68 hiljada rubalja, što je, naravno, malo vjerovatno. Ali ako uzmemo u obzir 100 zapažanja, gdje 99 ljudi prima 20 hiljada rubalja, a 1 osoba - 500 hiljada rubalja, onda pri izračunavanju aritmetičke sredine dobijamo 24,8 hiljada rubalja, što je već bliže stvarnom stanju stvari. Povećanjem broja posmatranja, nateraćemo prosečnu vrednost da teži pravoj vrednosti.

Upravo iz tog razloga da bi se primijenio zakon velikih brojeva, prvo je potrebno prikupiti statistički materijal kako bi se proučavanjem dobili istiniti rezultati veliki broj zapažanja. Zato je ovaj zakon zgodno koristiti, opet, u statistici ili socijalnoj ekonomiji.

Sažimanje

Važnost djelovanja zakona velikih brojeva ne može se precijeniti ni u jednoj oblasti. naučna saznanja, a posebno za naučni razvoj u oblasti teorije statistike i metoda statističkog znanja. Djelovanje zakona je od velike važnosti i za same objekte koji se proučavaju sa njihovim masovnim pravilnostima. Gotovo sve metode statističkog posmatranja zasnovane su na zakonu velikih brojeva i principu matematičke statistike.

Ali, čak i bez uzimanja u obzir nauke i statistike kao takve, možemo sa sigurnošću zaključiti da zakon velikih brojeva nije samo fenomen iz oblasti teorije verovatnoće, već fenomen sa kojim se susrećemo gotovo svakodnevno u životu.

Nadamo se da vam je sada suština zakona velikih brojeva postala jasnija i da je možete lako i jednostavno objasniti nekom drugom. A ako vam je tema matematike i teorije vjerojatnosti u principu zanimljiva, onda preporučujemo čitanje o i. Također se upoznajte sa i. I, naravno, obratite pažnju na naše, jer nakon što ga položite, nećete samo savladati nove tehnike razmišljanja, već ćete i poboljšati svoje kognitivne sposobnosti općenito, uključujući i matematičke.

ZAKON VELIKIH BROJEVA

opšti princip, na osnovu kojeg kombinacija slučajnih faktora vodi, pod određenim vrlo opštim uslovima, do rezultata gotovo nezavisnog od slučajnosti. Konvergencija učestalosti pojavljivanja slučajnog događaja sa njegovom vjerovatnoćom s povećanjem broja pokušaja (prikazano prvo u kockanju) može poslužiti kao prvi primjer djelovanja ovog principa.

Na prijelazu iz 17. u 18. vijek. J. Bernoulli je dokazao teoremu koja kaže da je u nizu nezavisnih pokušaja, u svakom od kojih pojava određenog događaja A ima istu vrijednost, tačan odnos:

za bilo koji - broj pojavljivanja događaja u prvim ispitivanjima, - učestalost pojavljivanja. Ovo Bernulijeva teorema je proširio S. Poisson na slučaj niza nezavisnih ispitivanja, gdje vjerovatnoća pojave događaja A može zavisiti od broja pokušaja. Neka je ova vjerovatnoća za k-ti ogled jednaka i neka

Onda Poissonova teorema To navodi

za bilo koji Prvu strogost ove teoreme dao je PL Čebišev (1846), čija se metoda potpuno razlikuje od Poissonove metode i zasniva se na određenim ekstremnim razmatranjima; S. Poisson je izveo (2) iz približne formule za navedenu vjerovatnoću, zasnovanu na korištenju Gaussovog zakona i u to vrijeme još uvijek nije bila striktno potkrijepljena. S. Poisson se također prvi put susreo s pojmom "zakon velikih brojeva", koji je nazvao svojom generalizacijom Bernoullijeve teoreme.

Prirodna daljnja generalizacija Bernoullijevih i Poissonovih teorema javlja se ako to primijetimo slučajne varijable može se predstaviti kao zbir

nezavisne slučajne varijable, gdje ako se A pojavljuje u A-m test, i - inače. Istovremeno, matematički očekivanje (koje se podudara sa aritmetičkom sredinom matematičkih očekivanja) je jednako p za slučaj Bernuli i za slučaj Poisson. Drugim riječima, u oba slučaja se uzima u obzir devijacija aritmetičke sredine X k iz aritmetičke sredine njihove matematičke. očekivanja.

U radu P. L. Čebiševa "Prosječne vrijednosti" (1867.) ustanovljeno je da je za nezavisne slučajne varijable relacija

(za bilo koji ) je tačno pod vrlo opštim pretpostavkama. P. L. Čebišev je pretpostavio da matematički. sva očekivanja su ograničena istom konstantom, iako je iz njegovog dokaza jasno da je dovoljno zahtijevati da varijanse budu ograničene

ili čak zahteva

Tako je P. L. Chebyshev pokazao mogućnost široke generalizacije Bernoullijeve teoreme. A. A. Markov je uočio mogućnost daljnjih generalizacija i predložio korištenje imena B. h. na čitav skup generalizacija Bernoullijeve teoreme [i, posebno, na (3)]. Čebiševljev metod se zasniva na tačnom uspostavljanju opštih svojstava matematike. očekivanja i o upotrebi tzv. Čebiševljeve nejednakosti[za vjerovatnoću (3) daje procjenu oblika

ova granica se može zamijeniti preciznijom, naravno, uz značajnija ograničenja, vidi sl. Bernsteinova nejednakost]. Kasniji dokazi o različitim oblicima B. h. donekle su razvoj metode Čebiševa. Primjenjujući odgovarajuću "redukciju" slučajnih varijabli (zamjenjujući ih pomoćnim varijablama, naime: , ako gdje su neke konstante), A. A. Markov je proširio B. ch. za slučajeve u kojima varijanse termina ne postoje. Na primjer, pokazao je da (3) vrijedi if za neke konstante i svi i

Fenomen stabilizacije učestalosti pojavljivanja slučajnih događaja, otkriven na velikom i raznolikom materijalu, u početku nije imao nikakvo opravdanje i doživljavan je kao čisto empirijska činjenica. Prvi teorijski rezultat u ovoj oblasti bila je poznata Bernoullijeva teorema objavljena 1713. godine, koja je postavila temelje za zakone velikih brojeva.

Bernulijeva teorema po svom sadržaju je granična teorema, tj. izjava asimptotičkog značenja, koja govori šta će se dogoditi sa probabilističkim parametrima uz veliki broj zapažanja. Rodonačelnik svih modernih brojnih tvrdnji ovog tipa je upravo Bernulijeva teorema.

Danas se čini da je matematički zakon velikih brojeva odraz nekih zajedničko vlasništvo mnogo stvarnih procesa.

U želji da zakonu velikih brojeva da što više pokrića, što odgovara daleko od iscrpljenih potencijalnih mogućnosti primene ovog zakona, jedan od najvećih matematičara našeg veka A. N. Kolmogorov formulisao je njegovu suštinu na sledeći način: zakon velikih brojeva je „opšti princip na osnovu kojeg djelovanje velikog broja slučajnih faktora dovodi do rezultata gotovo neovisnog o slučaju.

Dakle, zakon velikih brojeva ima, takoreći, dva tumačenja. Jedan je matematički, povezan sa specifičnim matematičkim modelima, formulacijama, teorijama, a drugi je opštiji, koji prevazilazi ovaj okvir. Drugo tumačenje povezano je s fenomenom formiranja, koji se često primjećuje u praksi, u različitim stupnjevima usmjerenog djelovanja na pozadini velikog broja skrivenih ili vidljivih faktora koji spolja nemaju takav kontinuitet. Primjeri vezani za drugu interpretaciju su određivanje cijena na slobodnom tržištu, formiranje javnog mnijenja o određenom pitanju.

Uočivši ovo opšte tumačenje zakona velikih brojeva, okrenimo se specifičnim matematičkim formulacijama ovog zakona.

Kao što smo već rekli, prva i fundamentalno najvažnija za teoriju vjerovatnoće je Bernulijeva teorema. Sadržaj ove matematičke činjenice, koja odražava jednu od najvažnijih zakonitosti okolnog svijeta, svodi se na sljedeće.

Razmotrite niz nepovezanih (tj. nezavisnih) testova, za koje se uvjeti neprestano reproduciraju od testa do testa. Rezultat svakog testa je pojava ili nepojavljivanje događaja koji nas zanima. ALI.

Ovaj postupak (Bernoullijeva šema) se očito može prepoznati kao tipičan za mnoga praktična područja: "dječak - djevojčica" u slijedu novorođenčadi, dnevna meteorološka osmatranja ("kiša je padala - nije"), kontrola protoka proizvedenih proizvoda ("normalan - neispravan") itd.

Učestalost pojavljivanja događaja ALI at P suđenja ( t A -

učestalost događaja ALI in P testovi) ima sa rastom P tendencija stabilizacije njegove vrijednosti, to je empirijska činjenica.

Bernulijeva teorema. Odaberimo bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj e. Tada

Naglašavamo da je matematička činjenica koju je utvrdio Bernoulli u izvjesnoj matematički model(u Bernoullijevoj šemi) ne treba mešati sa empirijski utvrđenom pravilnošću stabilnosti frekvencije. Bernuli nije bio zadovoljan samo iskazom formule (9.1), već je, uzimajući u obzir potrebe prakse, dao procenu nejednakosti prisutne u ovoj formuli. U nastavku ćemo se vratiti na ovo tumačenje.

Bernulijev zakon velikih brojeva bio je predmet istraživanja velikog broja matematičara koji su nastojali da ga preciziraju. Jedno takvo preciziranje dobio je engleski matematičar Moivre i trenutno se zove Moivre-Laplaceova teorema. U Bernoullijevoj shemi, razmotrite slijed normaliziranih veličina:

Integralni teorem Moivre - Laplace. Odaberite bilo koja dva broja X ( i x 2 . U ovom slučaju, x, x 7, onda kada P -» °°

Ako je na desnoj strani formule (9.3) varijabla x x teže beskonačnosti, tada će rezultirajuća granica, koja zavisi samo od x 2 (u ovom slučaju, indeks 2 može biti uklonjena), biti funkcija distribucije, naziva se standardna normalna distribucija, ili Gaussov zakon.

Desna strana formule (9.3) jednaka je y = F(x 2) - F(x x). F(x2)-> 1 at x 2-> °° i F(x,) -> 0 za x, -> Odabirom dovoljno velikog

X] > 0 i dovoljno velike apsolutne vrijednosti X] n dobijamo nejednakost:

Uzimajući u obzir formulu (9.2), možemo izdvojiti praktično pouzdane procjene:

Ako se pouzdanost y = 0,95 (tj. vjerovatnoća greške od 0,05) nekome čini nedovoljnom, možete igrati na sigurno i izgraditi malo širi interval povjerenja koristeći pravilo tri sigma gore navedeno:

Ovaj interval odgovara veoma visokom nivou pouzdanosti y = 0,997 (vidi tabele normalna distribucija).

Razmotrimo primjer bacanja novčića. Hajde da bacimo novčić n = 100 puta. Može li se desiti da frekvencija R biće veoma različita od verovatnoće R= 0,5 (pod pretpostavkom simetrije novčića), na primjer, hoće li biti jednako nuli? Da biste to učinili, potrebno je da grb ne ispadne ni jednom. Takav događaj je teoretski moguć, ali već smo izračunali takve vjerovatnoće, za ovaj događaj će biti jednaka Ova vrijednost

je izuzetno mali, njegov redosled je broj sa 30 decimalnih mesta. Događaj s takvom vjerovatnoćom može se sa sigurnošću smatrati praktično nemogućim. Koja su odstupanja frekvencije od vjerovatnoće kod velikog broja eksperimenata praktično moguća? Koristeći Moivre-Laplaceovu teoremu, na ovo pitanje odgovaramo na sljedeći način: sa vjerovatnoćom at= 0,95 frekvencija grba R uklapa se u interval pouzdanosti:

Ako se čini da greška od 0,05 nije mala, potrebno je povećati broj eksperimenata (bacanje novčića). Sa povećanjem Pširina intervala povjerenja se smanjuje (nažalost, ne tako brzo koliko bismo željeli, već obrnuto proporcionalno -Jn). Na primjer, kada P= 10 000 dobijamo to R leži u intervalu poverenja sa verovatnoćom poverenja at= 0,95: 0,5 ± 0,01.

Dakle, kvantitativno smo se pozabavili pitanjem aproksimacije frekvencije vjerovatnoći.

Sada pronađimo vjerovatnoću događaja iz njegove učestalosti i procijenimo grešku ove aproksimacije.

Hajde da napravimo veliki broj eksperimenata P(bacio novčić), pronašao učestalost događaja ALI i želite da procenite njegovu verovatnoću R.

Iz zakona velikih brojeva P slijedi da:

Procijenimo sada praktično moguću grešku približne jednakosti (9.7). Da bismo to učinili, koristimo nejednakost (9.5) u obliku:

Za pronalaženje R on R potrebno je riješiti nejednačinu (9.8), za to je potrebno kvadrirati i riješiti odgovarajuću kvadratna jednačina. Kao rezultat, dobijamo:

gdje

Za približnu procjenu R on R može biti u formuli (9.8) R na desnoj strani, zamijenite sa R ili u formulama (9.10), (9.11) uzeti u obzir to

Tada dobijamo:

Pusti unutra P= 400 eksperimenata je primilo vrijednost frekvencije R= 0,25, tada na nivou pouzdanosti y = 0,95 nalazimo:

Ali šta ako trebamo preciznije znati vjerovatnoću, s greškom od, recimo, ne većom od 0,01? Da biste to učinili, morate povećati broj eksperimenata.

Pretpostavljajući u formuli (9.12) vjerovatnoću R= 0,25, izjednačavamo vrijednost greške datu vrijednost 0,01 i dobiti jednačinu za P:

Rješavajući ovu jednačinu, dobijamo n~ 7500.

Razmotrimo sada još jedno pitanje: može li se odstupanje frekvencije od vjerovatnoće dobijene u eksperimentima objasniti slučajnim uzrocima, ili ovo odstupanje pokazuje da vjerovatnoća nije onakva kakvu smo pretpostavili? Drugim riječima, iskustvo potvrđuje prihvaćeno statistička hipoteza ili, naprotiv, zahtijeva da se odbije?

Neka, na primjer, bacanje novčića P= 800 puta, dobijamo vrh frekvencije R= 0,52. Sumnjali smo da novčić nije simetričan. Da li je ova sumnja opravdana? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, poći ćemo od pretpostavke da je novčić simetričan (p = 0,5). Nađimo interval povjerenja (sa vjerovatnoćom povjerenja at= 0,95) za učestalost pojavljivanja grba. Ako vrijednost dobijena u eksperimentu R= 0,52 se uklapa u ovaj interval - sve je normalno, prihvaćena hipoteza o simetriji novčića nije u suprotnosti s eksperimentalnim podacima. Formula (9.12) za R= 0,5 daje interval od 0,5 ± 0,035; primljenu vrijednost p = 0,52 se uklapa u ovaj interval, što znači da će novčić morati biti "očišćen" od sumnji na asimetriju.

Slične metode se koriste za procjenu da li su različita odstupanja od matematičkog očekivanja uočena u slučajnim pojavama slučajna ili "značajna". Na primjer, da li je u nekoliko uzoraka upakovane robe došlo do slučajnog manjka težine ili to ukazuje na sistematsku obmanu kupaca? Slučajno je povećan postotak oporavka kod pacijenata koji su koristili nova droga, ili je to povezano s djelovanjem lijeka?

Normalni zakon igra posebno važnu ulogu u teoriji vjerovatnoće i njenim praktičnim primjenama. Već smo vidjeli iznad da je slučajna varijabla - broj pojavljivanja nekog događaja u Bernoullijevoj šemi - kada P-» °° se svodi na normalni zakon. Međutim, postoji mnogo opštiji rezultat.

Centralna granična teorema. Zbir velikog broja nezavisnih (ili slabo zavisnih) slučajnih varijabli uporedivih jedna s drugom po redoslijedu njihovih disperzija raspoređuje se prema normalnom zakonu, bez obzira na to kakvi su bili zakoni distribucije pojmova. Gornja izjava je gruba kvalitativna formulacija centralne granične teorije. Ova teorema ima mnogo oblika koji se međusobno razlikuju po uslovima koje slučajne varijable moraju da zadovolje da bi se njihov zbir „normalizovao“ sa povećanjem broja članova.

Gustoća normalne distribucije Dx) izražava se formulom:

gdje a - očekivanu vrijednost slučajna varijabla X s= V7) je njegova standardna devijacija.

Za izračunavanje vjerovatnoće da x padne unutar intervala (x 1? x 2), koristi se integral:

Budući da se integral (9.14) pri gustini (9.13) ne može izraziti u terminima elementarne funkcije(„nije uzeto“), zatim za izračunavanje (9.14) koriste tabele funkcije integralne distribucije standardne normalne distribucije, kada a = 0, a = 1 (takve tabele su dostupne u bilo kom udžbeniku teorije verovatnoće):

Vjerovatnoća (9.14) korištenjem jednačine (10.15) izražava se formulom:

Primjer. Pronađite vjerovatnoću da je slučajna varijabla x, ima normalnu distribuciju sa parametrima a, a, odstupaju od svog matematičkog očekivanja po modulu ne više od 3a.

Koristeći formulu (9.16) i tabelu funkcije distribucije normalnog zakona, dobijamo:

Primjer. U svakom od 700 nezavisnih iskustava, događaj ALI dešava se sa konstantnom vjerovatnoćom R= 0,35. Nađi vjerovatnoću da će događaj ALI desiće se:

• 1) tačno 270 puta;
• 2) manje od 270, a više od 230 puta;
• 3) više od 270 puta.

Pronalaženje matematičkog očekivanja a = itd i standardna devijacija:

slučajna varijabla - broj pojavljivanja događaja ALI:

Pronalaženje centrirane i normalizirane vrijednosti X:

Prema tabelama gustine normalne distribucije nalazimo f(x):

Hajde da nađemo sada R w (x,> 270) = P 700 (270 F(1,98) == 1 - 0,97615 = 0,02385.

Ozbiljan korak u proučavanju problema velikih brojeva napravio je 1867. P. L. Čebišev. On je razmatrao vrlo opšti slučaj, kada se ništa ne traži od nezavisnih slučajnih varijabli, osim postojanja matematičkih očekivanja i varijansi.

Čebiševljeva nejednakost. Za proizvoljno mali pozitivan broj e vrijedi sljedeća nejednakost:

Čebiševljeva teorema. Ako a x x, x 2, ..., x n - parno nezavisne slučajne varijable, od kojih svaka ima matematičko očekivanje E(Xj) = ci i disperzija D(x,) =), a varijanse su uniformno ograničene, tj. 1,2 ..., zatim za proizvoljno mali pozitivan broj e relacija je ispunjena:

Posljedica. Ako a a,= aio, -o 2 , i= 1,2 ..., dakle

Zadatak. Koliko puta se novčić mora baciti da bi barem sa vjerovatnoćom y - 0,997, da li bi se moglo tvrditi da bi frekvencija grba bila u intervalu (0,499; 0,501)?

Pretpostavimo da je novčić simetričan, p - q - 0.5. Primjenjujemo Čebiševljevu teoremu u formuli (9.19) na slučajnu varijablu X- učestalost pojavljivanja grba u P bacanje novčića. To smo već pokazali iznad X = X x + X 2 + ... +H„, gdje X t - slučajna varijabla koja uzima vrijednost 1 ako je grb ispao, a vrijednost 0 ako su ispali repovi. dakle:

Zapisujemo nejednakost (9.19) za događaj suprotan od događaja označenog pod znakom vjerovatnoće:

U našem slučaju, [e = 0,001, cj 2 \u003d /? -p)] t je broj grbova u P bacanje. Zamjenom ovih veličina u posljednju nejednakost i uzimajući u obzir da, prema uvjetu zadatka, nejednakost mora biti zadovoljena, dobijamo:

Navedeni primjer ilustruje mogućnost korištenja Čebiševljeve nejednakosti za procjenu vjerovatnoća određenih odstupanja slučajnih varijabli (kao i probleme poput ovog primjera koji se odnose na izračunavanje ovih vjerovatnoća). Prednost Čebiševe nejednakosti je u tome što ne zahtijeva poznavanje zakona distribucije slučajnih varijabli. Naravno, ako je takav zakon poznat, onda Čebiševljeva nejednakost daje pregrube procjene.

Razmotrimo isti primjer, ali koristeći činjenicu da je bacanje novčića poseban slučaj Bernoullijeve sheme. Broj uspjeha (u primjeru - broj grbova) poštuje binomski zakon, a sa velikim P ovaj zakon se može predstaviti integralnom Moivre-Laplaceovom teoremom kao normalnim zakonom sa matematičkim očekivanjem a = pr = n? 0,5 i sa standardnom devijacijom a = yfnpq- 25=0,5l/l. Slučajna varijabla - frekvencija grba - ima matematičko očekivanje = 0,5 i standardnu ​​devijaciju

tada imamo:

Iz posljednje nejednakosti dobijamo:

Iz tablica normalne distribucije nalazimo:

Vidimo da normalna aproksimacija daje broj bacanja novčića koji daje datu grešku u procjeni vjerovatnoće grba, koja je 37 puta manja od procjene dobivene korištenjem Čebiševljeve nejednakosti (ali Čebiševljeva nejednakost omogućava da se izvede slični proračuni čak i u slučaju kada nemamo informacije o zakonu raspodjele slučajne varijable koja se proučava).

Razmotrimo sada primijenjeni problem riješen uz pomoć formule (9.16).

Problem konkurencije. Dvije konkurentske željezničke kompanije imaju po jedan voz između Moskve i Sankt Peterburga. Ovi vozovi su opremljeni otprilike na isti način, također polaze i dolaze u približno isto vrijeme. Pretvarajmo se to P= 1000 putnika samostalno i nasumično biraju voz za sebe, stoga, kao matematički model za odabir voza od strane putnika, koristimo Bernoullijevu šemu sa P iskušenja i šanse za uspjeh R= 0,5. Kompanija mora odlučiti koliko će sjedišta obezbijediti u vozu, uzimajući u obzir dva međusobno kontradiktorna uslova: s jedne strane, ne žele imati prazna mjesta, s druge strane, ne žele biti nezadovoljni nedostatak mjesta (sljedeći put će preferirati konkurentske firme). Naravno, možete obezbijediti u vozu P= 1000 mjesta, ali tada će sigurno biti praznih mjesta. Slučajna varijabla - broj putnika u vozu - u okviru prihvaćenog matematičkog modela korištenjem integralne teorije De Moivre - Laplace se pridržava normalnog zakona s matematičkim očekivanjem a = pr = n/2 i disperzija a 2 = npq = p/4 sekvencijalno. Vjerovatnoća da će voz doći više od s putnika se određuje omjerom:

Postavite nivo rizika a, tj. vjerovatnoća da je više od s putnici:

Odavde:

Ako a a- korijen rizika posljednje jednadžbe, koji se nalazi u tablicama funkcije distribucije normalnog zakona, dobivamo:

ako npr. P = 1000, a= 0,01 (ovaj nivo rizika znači da je broj mjesta s tada će biti dovoljno u 99 slučajeva od 100). x a ~ 2.33 i s= 537 mjesta. Štaviše, ako obje kompanije prihvate isti nivo rizika a= 0,01, tada će dva voza imati ukupno 1074 sjedišta, od kojih će 74 biti prazna. Slično, može se izračunati da bi 514 mjesta bilo dovoljno u 80% svih slučajeva, a 549 mjesta u 999 od 1000 slučajeva.

Slična razmatranja se primjenjuju i na druge probleme konkurentnih usluga. Na primjer, ako t bioskopi se takmiče za isto P gledalaca, to treba prihvatiti R= -. Dobijamo

da je broj sedišta s u kinu treba odrediti omjerom:

Ukupan broj slobodnih mjesta je jednak:

Za a = 0,01, P= 1000 i t= 2, 3, 4 vrijednosti ovog broja su približno jednake 74, 126, 147, respektivno.

Razmotrimo još jedan primjer. Neka voz bude P - 100 vagona. Težina svakog vagona je slučajna varijabla s matematičkim očekivanjem a - 65 tona i očekivani srednji kvadrat o = 9 tona Lokomotiva može nositi voz ako njena težina ne prelazi 6600 tona; u suprotnom, morate priključiti drugu lokomotivu. Moramo pronaći vjerovatnoću da to neće biti potrebno.

težine pojedinačnih vagona: imaju ista matematička očekivanja a - 65 i ista varijansa d- o 2 \u003d 81. Prema pravilu matematičkih očekivanja: E(x) - 100 * 65 = 6500. Prema pravilu sabiranja varijansi: D(x) \u003d 100 x 81 \u003d 8100. Uzimajući korijen, nalazimo standardnu ​​devijaciju. Da bi jedna lokomotiva mogla vući voz, potrebno je da težina voza X pokazalo se ograničavajućim, tj. palo u granice intervala (0; 6600). Slučajna varijabla x - zbir 100 članova - može se smatrati normalno distribuiranom. Formulom (9.16) dobijamo:

Iz toga proizilazi da će lokomotiva "rukovati" vozom sa otprilike 0,864 vjerovatnoće. Smanjimo sada broj vagona u vozu za dva, tj. uzmimo P= 98. Računajući sada vjerovatnoću da će lokomotiva „područiti“ voz, dobijamo vrijednost reda 0,99, odnosno gotovo siguran događaj, iako su za to morala biti uklonjena samo dva vagona.

Dakle, ako imamo posla sa sumama velikog broja slučajnih varijabli, onda možemo koristiti normalni zakon. Naravno, ovo postavlja pitanje: koliko slučajnih varijabli treba dodati da bi zakon raspodjele sume već bio “normaliziran”? Zavisi od toga koji su zakoni distribucije termina. Postoje tako zamršeni zakoni da se normalizacija dešava samo sa veoma velikim brojem pojmova. Ali ove zakone su izmislili matematičari, dok priroda, po pravilu, posebno ne uređuje takve nevolje. Obično u praksi, da bi se mogao koristiti normalan zakon, dovoljno je pet ili šest termina.

Brzina kojom se zakon raspodjele zbira identično raspoređenih slučajnih varijabli "normalizira" može se ilustrovati na primjeru slučajnih varijabli sa ujednačenom distribucijom na intervalu (0, 1). Kriva takve distribucije ima oblik pravougaonika, što je već drugačije od normalnog zakona. Dodajmo dva od ovih nezavisne količine- dobijamo slučajnu varijablu raspoređenu prema tzv. Simpsonovom zakonu, grafička slika koji izgleda kao jednakokraki trougao. Ni to ne izgleda kao normalan zakon, ali je bolji. A ako dodate tri takve ravnomjerno raspoređene slučajne varijable, dobićete krivu koja se sastoji od tri segmenta parabole, vrlo slične normalnoj krivoj. Ako dodate šest takvih slučajnih varijabli, dobićete krivu koja se ne razlikuje od normalne. Ovo je osnova široko korišćene metode za dobijanje normalno raspoređene slučajne varijable, dok su svi savremeni računari opremljeni senzorima ravnomerno raspoređenih (0, 1) slučajnih brojeva.

Sljedeća metoda se preporučuje kao jedan praktičan način da se to provjeri. Mi gradimo interval pouzdanosti za učestalost događaja sa nivoom at= 0,997 prema pravilu tri sigma:

i ako oba njegova kraja ne idu dalje od segmenta (0, 1), onda se može koristiti normalni zakon. Ako je bilo koja od granica intervala povjerenja izvan segmenta (0, 1), tada se normalni zakon ne može koristiti. Međutim, pod određenim uslovima, binomni zakon za učestalost nekog slučajnog događaja, ako ne teži normalnom, može težiti drugom zakonu.

U mnogim aplikacijama, Bernulijeva shema se koristi kao matematički model slučajnog eksperimenta, u kojem se broj pokušaja P sjajno, slučajni događaj prilično retko, tj. R = itd nije mala, ali ne velika (fluktuira u rasponu od O -5 - 20). U ovom slučaju vrijedi sljedeća relacija:

Formula (9.20) se zove Poissonova aproksimacija za binomski zakon, pošto se raspodjela vjerovatnoće na njenoj desnoj strani naziva Poissonov zakon. Za Poissonovu distribuciju se kaže da je distribucija vjerovatnoće za rijetke događaje, budući da se javlja kada se ispune granice: P -»°°, R-»0, ali X = pr oo.

Primjer. Rođendani. Kolika je vjerovatnoća R t (k) to u društvu od 500 ljudi to ljudi rođeni na Novu godinu? Ako se ovih 500 ljudi odabere nasumično, onda se Bernoullijeva šema može primijeniti s vjerovatnoćom uspjeha P = 1/365. Onda

Proračuni vjerovatnoće za razne to dati sljedeće vrijednosti: RU = 0,3484...; R 2 = 0,2388...; R 3 = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R 5 = 0,0101...; R 6= 0,0023... Odgovarajuće aproksimacije Poissonovom formulom za X= 500 1/365 = 1,37

dati sljedeće vrijednosti: Ru = 0,3481...; R 2 = 0,2385...; R b = 0,1089; R 4 = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0,0023... Sve greške su samo na četvrtom decimalu.

Navedimo primjere situacija u kojima se može koristiti Poissonov zakon rijetkih događaja.

Na telefonskoj centrali je malo vjerovatno da će doći do pogrešne veze. R, obično R~ 0,005. Tada vam Poissonova formula omogućava da pronađete vjerovatnoću netačnih veza za datu ukupan broj veze n~ 1000 kada X = pr =1000 0,005 = 5.

Prilikom pečenja lepinja u tijesto se stavljaju grožđice. Treba očekivati ​​da će zbog miješanja učestalost rolanja grožđica približno slijediti Poissonovu distribuciju P n (k, X), gdje X- gustina grožđica u testu.

Radioaktivna supstanca emituje n-čestice. Događaj koji broj d-čestica dostiže tokom vremena t datoj površini prostora, uzima fiksnu vrijednost da, poštuje Poissonov zakon.

Broj živih ćelija sa izmenjenim hromozomima pod uticajem x-zrake slijedi Poissonovu distribuciju.

Dakle, zakoni velikih brojeva omogućavaju rješavanje problema matematičke statistike povezane s procjenom nepoznatih vjerovatnoća elementarnih ishoda slučajnog iskustva. Zahvaljujući ovom znanju, metode teorije vjerovatnoće činimo praktičnim smislenim i korisnim. Zakoni velikih brojeva također omogućavaju rješavanje problema dobijanja informacija o nepoznatim elementarnim vjerovatnoćama u drugom obliku - obliku testiranja statističkih hipoteza.

Razmotrimo detaljnije formulaciju i probabilistički mehanizam za rješavanje problema testiranja statističkih hipoteza.

Riječi o velikim brojevima odnose se na broj testova - razmatra se veliki broj vrijednosti slučajne varijable ili kumulativno djelovanje velikog broja slučajnih varijabli. Suština ovog zakona je sljedeća: iako je nemoguće predvidjeti koju će vrijednost pojedinačna slučajna varijabla imati u jednom eksperimentu, međutim, ukupni rezultat djelovanja velikog broja nezavisnih slučajnih varijabli gubi svoj slučajni karakter i može biti predvidjeti gotovo pouzdano (tj. sa velikom vjerovatnoćom). Na primjer, nemoguće je predvidjeti na koju će stranu novčić pasti. Međutim, ako bacite 2 tone novčića, onda se sa velikom sigurnošću može tvrditi da je težina novčića koji su pali s grbom gore 1 tona.

Prije svega, takozvana Čebiševljeva nejednakost odnosi se na zakon velikih brojeva, koji u posebnom testu procjenjuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla prihvatiti vrijednost koja odstupa od prosječne vrijednosti ne više od date vrijednosti.

Čebiševljeva nejednakost. Neka X je proizvoljna slučajna varijabla, a=M(X) , a D(X) je njegova disperzija. Onda

Primjer. Nominalna (tj. potrebna) vrijednost prečnika čahure obrađene na mašini je 5mm, a varijanse više nema 0.01 (ovo je tolerancija tačnosti mašine). Procijenite vjerovatnoću da će u proizvodnji jedne čaure odstupanje njenog prečnika od nominalnog biti manje od 0.5mm .

Rješenje. Neka r.v. X- prečnik proizvedene čahure. Po uslovu, njegovo matematičko očekivanje je jednako nominalnom prečniku (ako nema sistematskog kvara u postavljanju mašine): a=M(X)=5 , i varijansu D(X)≤0,01. Primjenom Čebiševe nejednakosti za ε = 0,5, dobijamo:

Dakle, vjerovatnoća ovakvog odstupanja je prilično velika, te stoga možemo zaključiti da je u slučaju pojedinačne proizvodnje dijela gotovo sigurno da odstupanje prečnika od nominalnog neće premašiti 0.5mm .

U osnovi, standardna devijacija σ karakteriše prosjek odstupanje slučajne varijable od njenog centra (tj. od njenog matematičkog očekivanja). Jer prosjek odstupanja, tada su moguća velika odstupanja (naglasak na o) tokom testiranja. Koliko su velika odstupanja praktično moguća? Kada smo proučavali normalno raspoređene slučajne varijable, izveli smo pravilo “tri sigma”: normalno raspoređena slučajna varijabla X u jednom testu praktično ne odstupa od svog prosjeka dalje od 3σ, gdje σ= σ(X) je standardna devijacija r.v. X. Takvo pravilo smo izveli iz činjenice da smo dobili nejednakost

.

Procijenimo sada vjerovatnoću za proizvoljno slučajna varijabla X prihvati vrijednost koja se razlikuje od srednje vrijednosti za najviše tri puta standardnu ​​devijaciju. Primjenom Čebiševe nejednakosti za ε = 3σ i s obzirom na to D(X)=σ 2 , dobijamo:

.

Na ovaj način, Uglavnom možemo procijeniti vjerovatnoću slučajne varijable koja odstupa od srednje vrijednosti za najviše tri standardne devijacije po broju 0.89 , dok se za normalnu distribuciju može garantovati sa vjerovatnoćom 0.997 .

Čebiševljeva nejednakost se može generalizirati na sistem nezavisnih identično distribuiranih slučajnih varijabli.

Generalizirana Čebiševljeva nejednakost. Ako su nezavisne slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= a i disperzije D(X i )= D, onda

At n=1 ova nejednakost prelazi u nejednakost Čebiševa formulisanu gore.

Čebiševljeva nejednakost, koja ima nezavisan značaj za rješavanje odgovarajućih problema, koristi se za dokazivanje takozvane Čebiševe teoreme. Prvo ćemo opisati suštinu ove teoreme, a zatim dati njenu formalnu formulaciju.

Neka X 1 , X 2 , … , X n– veliki broj nezavisnih slučajnih varijabli sa matematičkim očekivanjima M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Iako svaki od njih, kao rezultat eksperimenta, može uzeti vrijednost daleko od svog prosjeka (tj. matematičkog očekivanja), međutim, slučajna varijabla
, jednak njihovoj aritmetičkoj sredini, sa velikom vjerovatnoćom će poprimiti vrijednost blizu fiksnog broja
(ovo je prosjek svih matematičkih očekivanja). To znači sljedeće. Neka, kao rezultat testa, nezavisne slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n(ima ih puno!) uzeli su vrijednosti u skladu s tim X 1 , X 2 , … , X n respektivno. Zatim, ako se te vrijednosti mogu pokazati da su daleko od prosječnih vrijednosti odgovarajućih slučajnih varijabli, njihova prosječna vrijednost
vjerovatno će biti blizu
. Dakle, aritmetička sredina velikog broja slučajnih varijabli već gubi svoj slučajni karakter i može se predvidjeti s velikom preciznošću. Ovo se može objasniti činjenicom da su slučajna odstupanja vrijednosti X i od a i mogu biti različitih predznaka, pa se stoga ova odstupanja u zbiru nadoknađuju sa velikom vjerovatnoćom.

Terema Chebysheva (zakon velikih brojeva u obliku Čebiševa). Neka X 1 , X 2 , … , X n … je niz poparno nezavisnih slučajnih varijabli čije su varijanse ograničene na isti broj. Tada, bez obzira koliko mali broj ε uzmemo, vjerovatnoća nejednakosti

će biti proizvoljno blizu jedinice ako je broj n slučajne varijable da se uzimaju dovoljno velike. Formalno, to znači da pod uslovima teoreme

Ova vrsta konvergencije naziva se konvergencija u vjerovatnoći i označava se sa:

Dakle, Čebiševljev teorem kaže da ako postoji dovoljno veliki broj nezavisnih slučajnih varijabli, onda će njihova aritmetička sredina u jednom testu gotovo sigurno poprimiti vrijednost blisku srednjoj vrijednosti njihovih matematičkih očekivanja.

Najčešće se Čebiševljeva teorema primjenjuje u situaciji kada su slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n … imaju istu distribuciju (tj. isti zakon raspodjele ili istu gustinu vjerovatnoće). Zapravo, ovo je samo veliki broj instanci iste slučajne varijable.

Posljedica(o generalizovanoj Čebiševljevoj nejednakosti). Ako su nezavisne slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n … imaju istu distribuciju sa matematičkim očekivanjima M(X i )= a i disperzije D(X i )= D, onda

, tj.
.

Dokaz slijedi iz generalizirane Čebiševe nejednakosti prelaskom na granicu kao n→∞ .

Još jednom napominjemo da gore napisane jednakosti ne garantuju vrijednost količine
teži da a at n→∞. Ova vrijednost je još uvijek slučajna varijabla, a njene pojedinačne vrijednosti mogu biti prilično udaljene a. Ali vjerovatnoća takvog (daleko od toga a) vrijednosti sa povećanjem n teži 0.

Komentar. Zaključak korolarije očito vrijedi i u opštijem slučaju kada su nezavisne slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n … imaju drugačiju distribuciju, ali ista matematička očekivanja (jednako a) i varijanse ograničene u zbiru. Ovo omogućava da se predvidi tačnost merenja određene veličine, čak i ako se ta merenja vrše različitim instrumentima.

Razmotrimo detaljnije primenu ove posledice na merenje veličina. Hajde da koristimo neki uređaj n mjerenja iste količine, čija je prava vrijednost a a mi ne znamo. Rezultati takvih mjerenja X 1 , X 2 , … , X n mogu se značajno razlikovati jedni od drugih (i od prave vrijednosti a) zbog različitih nasumičnih faktora (pad tlaka, temperature, nasumične vibracije, itd.). Uzmite u obzir r.v. X- očitavanje instrumenta za jedno mjerenje veličine, kao i skup r.v. X 1 , X 2 , … , X n- očitavanje instrumenta pri prvom, drugom, ..., posljednjem mjerenju. Dakle, svaka od veličina X 1 , X 2 , … , X n postoji samo jedan od primjera r.v. X, te stoga svi imaju istu distribuciju kao r.v. X. Budući da su rezultati mjerenja nezavisni jedan od drugog, r.v. X 1 , X 2 , … , X n može se smatrati nezavisnim. Ako uređaj ne daje sistematsku grešku (na primjer, nula nije "srušena" na skali, opruga nije rastegnuta itd.), onda možemo pretpostaviti da je matematičko očekivanje M(X) = a, i zbog toga M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Dakle, ispunjeni su uslovi gornjeg korolarca, te stoga, kao približna vrijednost količine a možemo uzeti "implementaciju" slučajne varijable
u našem eksperimentu (koji se sastoji od serije n mjerenja), tj.

.

Uz veliki broj mjerenja, dobra tačnost proračuna pomoću ove formule je praktički pouzdana. Ovo je obrazloženje praktičnog principa da se kod velikog broja merenja njihova aritmetička sredina praktično ne razlikuje mnogo od prave vrednosti merene veličine.

„Selektivna“ metoda, koja se široko koristi u matematičkoj statistici, temelji se na zakonu velikih brojeva, što omogućava dobivanje njegovih objektivnih karakteristika s prihvatljivom točnošću iz relativno malog uzorka vrijednosti slučajne varijable. Ali o tome će biti riječi u sljedećem odjeljku.

Primjer. Na mjerni instrument, koji ne pravi sistematska izobličenja, mjeri se određena vrijednost a jednom (primljena vrijednost X 1 ), a zatim još 99 puta (dobivene vrijednosti X 2 , … , X 100 ). Za pravu vrijednost mjerenja a prvo uzmite rezultat prvog mjerenja
, a zatim aritmetičku sredinu svih mjerenja
. Tačnost mjerenja uređaja je takva da standardna devijacija mjerenja σ nije veća od 1 (jer disperzija D=σ 2 takođe ne prelazi 1). Za svaku od metoda mjerenja procijenite vjerovatnoću da greška mjerenja ne prelazi 2.

Rješenje. Neka r.v. X- očitavanje instrumenta za jedno mjerenje. Onda po uslovu M(X)=a. Da bismo odgovorili na postavljena pitanja, primjenjujemo generaliziranu Čebiševljevu nejednakost

za ε =2 prvo za n=1 a zatim za n=100 . U prvom slučaju dobijamo
, au drugom. Dakle, drugi slučaj praktično garantuje zadatu tačnost merenja, dok prvi ostavlja ozbiljne sumnje u tom smislu.

Primijenimo gornje izjave na slučajne varijable koje nastaju u Bernoullijevoj shemi. Prisjetimo se suštine ove sheme. Neka se proizvede n nezavisni testovi, u svakom od kojih neki događaj ALI mogu se pojaviti sa istom vjerovatnoćom R, a q=1–r(po značenju, ovo je vjerovatnoća suprotnog događaja - a ne pojava događaja ALI) . Hajde da potrošimo neki broj n takvi testovi. Uzmite u obzir slučajne varijable: X 1 – broj pojavljivanja događaja ALI in 1 th test, ..., X n– broj pojavljivanja događaja ALI in n th test. Svi uvedeni r.v. može poprimiti vrijednosti 0 ili 1 (događaj ALI može se pojaviti u testu ili ne) i vrijednost 1 uslovno prihvaćeno u svakom ispitivanju sa verovatnoćom str(vjerovatnoća nastanka događaja ALI u svakom testu) i vrijednost 0 sa vjerovatnoćom q= 1 – str. Dakle, ove veličine imaju iste zakone raspodjele:

Stoga su prosječne vrijednosti ovih količina i njihove disperzije također iste: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= str ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ str)− str 2 = str∙(1− str)= str ∙ q, … , D(X n )= str ∙ q . Zamjenom ovih vrijednosti u generaliziranu Čebiševljevu nejednakost, dobivamo

.

Jasno je da je r.v. X=X 1 +…+H n je broj pojavljivanja događaja ALI u svemu n suđenja (kako kažu - "broj uspjeha" u n testovi). Pustite u n test događaj ALI pojavio se u k Od njih. Tada se prethodna nejednakost može zapisati kao

.

Ali veličina
, jednak omjeru broja pojavljivanja događaja ALI in n nezavisnih ispitivanja, na ukupan broj pokušaja, ranije nazvan relativna stopa događaja ALI in n testovi. Dakle, postoji nejednakost

.

Prolaz sada do granice u n→∞, dobijamo
, tj.
(prema vjerovatnoći). Ovo je sadržaj zakona velikih brojeva u obliku Bernoullija. Iz ovoga slijedi da za dovoljno veliki broj ispitivanja n proizvoljno mala odstupanja relativne frekvencije
događaje iz njegove vjerovatnoće R su gotovo sigurni događaji, a velika odstupanja su gotovo nemoguća. Iz toga proizlazi zaključak o takvoj stabilnosti relativnih frekvencija (koju smo ranije nazvali eksperimentalničinjenica) opravdava prethodno uvedenu statističku definiciju vjerovatnoće događaja kao broja oko kojeg relativna učestalost događaja fluktuira.

S obzirom da je izraz str∙ q= str∙(1− str)= str− str 2 ne prelazi interval izmene
(ovo je lako provjeriti pronalaženjem minimuma ove funkcije na ovom segmentu), iz gornje nejednakosti
lako to dobiti

,

koji se koristi za rješavanje odgovarajućih problema (jedan od njih će biti dat u nastavku).

Primjer. Novčić je bačen 1000 puta. Procijenite vjerovatnoću da će odstupanje relativne učestalosti pojavljivanja grba od njegove vjerovatnoće biti manje od 0,1.

Rješenje. Primjena nejednakosti
at str= q=1/2 , n=1000 , ε=0,1, dobijamo .

Primjer. Procijenite vjerovatnoću da, pod uslovima iz prethodnog primjera, broj k ispuštenih grbova bit će u rasponu od 400 prije 600 .

Rješenje. Stanje 400< k<600 znači da 400/1000< k/ n<600/1000 , tj. 0.4< W n (A)<0.6 ili
. Kao što smo upravo vidjeli iz prethodnog primjera, vjerovatnoća takvog događaja je najmanje 0.975 .

Primjer. Za izračunavanje vjerovatnoće nekog događaja ALI Izvršeno je 1000 eksperimenata, u kojima je događaj ALI pojavio 300 puta. Procijenite vjerovatnoću da se relativna frekvencija (jednaka 300/1000=0,3) razlikuje od prave vjerovatnoće R ne više od 0,1.

Rješenje. Primjenjujući gornju nejednakost
za n=1000, ε=0.1, dobijamo .

Praksa proučavanja slučajnih pojava pokazuje da iako se rezultati pojedinačnih posmatranja, čak i onih sprovedenih pod istim uslovima, mogu u velikoj meri razlikovati, u isto vreme, prosečni rezultati za dovoljno veliki broj posmatranja su stabilni i slabo zavise od rezultati pojedinačnih zapažanja.

Teorijsko opravdanje za ovo izvanredno svojstvo slučajnih pojava je zakon velikih brojeva. Naziv "zakon velikih brojeva" kombinuje grupu teorema koje utvrđuju stabilnost prosječnih rezultata velikog broja slučajnih pojava i objašnjavaju razlog te stabilnosti.

Najjednostavniji oblik zakona velikih brojeva i istorijski prva teorema ovog odjeljka je Bernulijeva teorema navodeći da ako je vjerovatnoća događaja ista u svim pokušajima, onda sa povećanjem broja pokušaja, učestalost događaja teži vjerovatnoći događaja i prestaje biti slučajna.

Poissonova teorema kaže da učestalost događaja u nizu nezavisnih pokušaja teži aritmetičkoj sredini njegovih vjerovatnoća i prestaje biti slučajna.

Granične teoreme teorije vjerovatnoće, teoreme Moivre-Laplace objasni prirodu stabilnosti učestalosti pojavljivanja događaja. Ova priroda se sastoji u činjenici da je granična distribucija broja pojavljivanja događaja uz neograničeno povećanje broja pokušaja (ako je vjerovatnoća događaja u svim pokušajima ista) normalna distribucija.

Centralna granična teorema objašnjava široku upotrebu normalan zakon distribucija. Teorema kaže da kad god se slučajna varijabla formira kao rezultat sabiranja velikog broja nezavisnih slučajnih varijabli sa konačnim varijacijama, zakon distribucije ove slučajne varijable ispada praktički normalno po zakonu.

Teorema ispod, pod naslovom " Zakon velikih brojeva“ navodi da pod određenim, prilično opštim, uslovima, sa povećanjem broja slučajnih varijabli, njihova aritmetička sredina teži aritmetičkoj sredini matematičkih očekivanja i prestaje da bude slučajna.

Ljapunovljev teorem objašnjava rasprostranjenost normalan zakon distribucije i objašnjava mehanizam njenog nastanka. Teorema nam omogućava da tvrdimo da kad god se slučajna varijabla formira kao rezultat sabiranja velikog broja nezavisnih slučajnih varijabli, čije su varijanse male u poređenju sa varijansom zbira, zakon raspodjele ove slučajne varijable ispada kao biti praktično normalno po zakonu. A budući da su slučajne varijable uvijek generirane beskonačnim brojem uzroka, a najčešće nijedan od njih nema varijansu uporedivu sa varijansom same slučajne varijable, većina slučajnih varijabli koje se susreću u praksi podliježu normalnom zakonu distribucije.

Na osnovu kvalitativnih i kvantitativnih iskaza zakona velikih brojeva Čebiševljeva nejednakost. Definira gornju granicu vjerovatnoće da je odstupanje vrijednosti slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja veće od nekog datog broja. Zanimljivo je da nejednakost Čebiševa daje procjenu vjerovatnoće događaja za slučajnu varijablu čija je distribucija nepoznata, poznati su samo njeno matematičko očekivanje i varijansa.

Čebiševljeva nejednakost. Ako slučajna varijabla x ima varijansu, onda je za bilo koje e > 0 nejednakost , gdje M x i D x - matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable x .

Bernulijeva teorema. Neka je m n broj uspjeha u n Bernoullijevih pokušaja, a p vjerovatnoća uspjeha u jednom pokušaju. Tada za bilo koje e > 0 imamo .

Centralna granična teorema. Ako su slučajne varijable x 1 , x 2 , …, x n , … nezavisne u paru, jednako raspoređene i imaju konačnu varijansu, tada na n ® ravnomjerno po x (- ,)