Tema lekcije: „Okomita linija i ravnina u svemiru"

GBPOU KK STTT

Nastavnik matematike

IVANKOVA NADEŽDA PETROVNA

Na času ćemo praviti...

Pronađite...

pitanje 1. Koje se prave u prostoru nazivaju okomiti?

Prave u prostoru nazivaju se okomiti ako je ugao između njih 90 0

a

b

A

α

Pitanje 2.

Formulirajte lemu o okomitosti dvije paralelne prave na treću

a

b

With

M

A

C

α

Pitanje 3 .

Koja prava se naziva okomita na ravan?

Pitanje 4. Formulirajte znak okomitosti prave i ravni.

a

Dato: a r, a q

Dokazati: a α

A

l

P

q

Q

str

m

α

L

B

Pitanje 5 .

Šta je udaljenost

od tačke do ravni?

Udaljenost od tačke do ravni je dužina okomice od date tačke do ravni

A

a

b

AT

α

Pitanje 6 .

Kolika je udaljenost između prave i

ravan paralelna s njim?

a

b

With

α

Pitanje 7 .

Kolika je udaljenost između

paralelne ravni?

A

To

Pitanje 8 .

Koje prave se nazivaju ukrštanjem?

b

α

a



Odgovor: Prave koje se ukrštaju su prave koje ne leže u istoj ravni.

Pitanje 9. Kako izmjeriti udaljenost između linija koje se seku?

Razdaljina jednaka je udaljenosti od bilo koje tačke jedne od ovih pravih do ravni koja prolazi kroz drugu liniju, paralelna s prvom.

Razdaljina između dve linije koje se seku jednaka je udaljenosti između dvije paralelne ravni koje sadrže ove prave.

Udaljenost između dvije linije koje se seku jednaka je dužini njihove zajedničke okomice (postoji samo jedan takav segment).

Dokažite teoremu o tri okomite

AN - okomito na ravan

AB - koso

VH - projekcija AB na ravan

Ako BH, onda AB

a

Dokazati teoremu suprotnu teoremu o tri okomice

α

A ne leži u ravni

A D je okomito na ravan α

AB - koso

B D je projekcija AB na ravan α

Ako je AB, onda B D

a

α

Dato: MS ┴ ABC

Nađi: AC

ABCD je romb.

Dokazati: MO ┴ ABC

Dato: DA ┴ ABC

Zadato: ABCD - paralelogram, MB ┴ ABC

Dokazati: ABCD je pravougaonik

a

Pitanje 10:

Kako se zove ugao između prave i ravni?

Definirajte diedarski ugao.

Kako se mjeri diedarski ugao?

a

Pitanje 11 : Kako se zovu avioni

okomito?

Pitanje 12 : Formulirajte i dokažite znak

okomitost dvije ravni.

α

Pitanje 13: Kakav paralelepiped

zove se pravougaona?

Pitanje 14: Navedite svojstva pravougaonika

paralelepiped.

Pitanje 15:

Formulirajte i

dokazati dijagonalnu teoremu

pravougaona

paralelepiped.

Riješite problem:

Dato: ABC D - pravougaonik,

MV ⊥ (ABC).

Dokaži: (AMV) ⊥ (MVS)

u piramidi DABC poznate su dužine rebara: AB=AC= DB=DC =10, BC= DA =12. pronađite udaljenost između linija DA i VS.

trouglovi bdc i ABC jednakokraki

D M – visina ∆ bdc , D M - medijana,

AM – medijan ∆ AB C → AM - visina.

∆ ALI BC = ∆ bdc na tri strane D M = AM → ∆ AMD jednakokraki

MK – medijana i visina.

GOSPOĐA ⊥ AMD → GOSPOĐA ⊥ MK,

AD ⊥ MK , MK je zajednička okomica linija koje se sijeku

AD i sunce

∆ AVM pravougaona, AB=10,

VM=6, AM=8.

∆ AKM pravougaona, AM=8,

AK=6 , MK=2 √ 7.

Riješite problem (prema slici):

a

Nacrtajmo BE ⊥ AC, CE = EA, pošto je ΔABC jednakokraka i visina je također medijana.

zatim teoremom o 3-okomici DE ⊥ AC.

Da li je izjava tačna?

Pravo a je okomita na ravan α i pravu liniju b

nije okomito na ovu ravan. Mogu li oni

ravno a i b biti paralelni?

b ?

a



Da li je izjava tačna?

Prava a je paralelna ravni α, a prava b

okomito na ovu ravan. Da li postoji

prava okomita na prave a i b?

b

a

α

Da li je izjava tačna?

Sve prave okomite na datu ravan

i sijeku datu pravu leže u istoj

avioni.

a

b

With

d

α

Da li je izjava tačna?

Da li je moguće nacrtati tri

ravni, od kojih su svaka dva međusobno

okomito?

IZVORI:

Udžbenik Geometrija 10. razred Atanasyan L.S. itd. M.: Prosvetljenje. 2001

http://5terka.com/node/7155

http://vremyazabav.ru/zanimatelno/rebusi/rebusi-slova/82-rebusi-po-matematike.html

Za korištenje pregleda prezentacija, kreirajte Google račun (nalog) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Okomitost pravih i ravnina

Okomite prave u prostoru Dvije prave se nazivaju okomiti ako je ugao između njih 90 o a b c a  b c  b α

Lema Ako je jedna od dvije paralelne prave okomita na treću pravu, onda je i druga prava okomita na ovu pravu. A C a α M b c Zadano: a || b, a  c Dokazati: b  c Dokaz:

Prava se naziva okomita na ravan ako je okomita na bilo koju pravu koja leži u ovoj ravni α a a  α

Teorema 1. Ako je jedna od dvije paralelne prave okomita na ravan, onda je i druga prava okomita na ovu ravan. α x Zadano: a || a 1 ; a  α Dokažite: a 1  α Dokaz: a a 1

Teorem 2 α Dokazati: a || b Dokaz: a Ako su dvije prave okomite na ravan, onda su paralelne. β b 1 Dato je: a  α ; b  α b M c

Znak okomitosti prave i ravni Ako je prava okomita na dvije prave koje se ukrštaju koje leže u ravni, onda je ona okomita na ovu ravan. α q Dokazati: a  α Dokaz: a p m O Dato: a  p ; a  q p  α ; q  α p ∩ q = O

α q l m O a p B P Q Dokaz: L a) poseban slučaj A

α q a p m O Dokaz: a) opšti slučaj a 1

Teorema 4. Kroz bilo koju tačku u prostoru prolazi prava prava okomita na datu ravan, i osim toga, samo jedna. α a β M b s Dokazati: 1) ∃ s, s  α , M  s; 2) sa - ! Dokaz: Dato: α ; M  α

Pronalaženje zadatka: MD A B D M Rješenje: Dato je:  ABC ; MBBC; MBBA; MB = BD = a Dokazati: M B  BD C a a

Zadatak 128 Dokazati: O M  (ABC) Dato je: ABCD je paralelogram; AC ∩ BD = O ; M  (ABC); MA = MC, MB = MD A B D C O M Dokaz:

Zadatak 12 2 Pronađite: AD; BD; AK; B.K. A B D C O K Rješenje: Dato je:  ABC – r/s; O - centar  ABC CD  (ABC); OK || CD A B = 16  3 , OK = 12; CD = 16 12 16

Okomita i nagnuta M A B N α MN  α A  α B  α

Teorema o tri okomice Prava linija povučena u ravni kroz osnovu nagnute prave koja je okomita na njenu projekciju na ovu ravan okomita je na samu nagnutu liniju. A N M α β a Dato je: a  α , AN  α , AM je koso, a  NM, M  a Dokazati: a  AM Dokaz:

Teorema suprotna teoremi o tri okomice Prava linija povučena u ravni kroz osnovu nagnute okomice na nju je također okomita na njenu projekciju. A N M α β a Dato je: a  α , AN  α , AM je koso, a  AM, M  a Dokazati: a  HM Dokaz:

Ugao između prave i ravni A H α β a O φ (a; α) =  AON = φ

Na temu: metodološke izrade, prezentacije i bilješke

Prezentacija na temu "Perpendikularnost prave i ravni" odgovara teorijskom materijalu koji se proučava u ovom dijelu geometrije tijela....

Prikazana je izrada časa u 10. razredu, iz geometrije za nastavna gradiva: Geometrija za 10.-11. razred, autori L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev i drugi. Ovo je lekcija u učenju novog materijala koristeći ...

Odjeljci: Matematika

Ciljevi lekcije:

• identificirati nivo ovladavanja kompleksom znanja i vještina za rješavanje problema na datu temu,
• razvijati prostornu maštu, logičko razmišljanje, pažnju i pamćenje,
• vaspitati aktivnost, sposobnost slušanja.

Oprema za nastavu:

• udžbenik L.S. Atanasyan i drugi "Geometrija 10-11";
• radna sveska;
• PC;
• multimedijalni projektor;
• interaktivna ploča;
• autorska prezentacija pripremljena pomoću Microsoft Power Pointa ( Prilog 1 )

Struktura lekcije:

1. Organiziranje vremena.
2. Ažuriranje znanja učenika o temi.
3. Učvršćivanje prethodno stečenih znanja i razvoj vještina i sposobnosti primjene ovih znanja u rješavanju problema.
4. Sumiranje lekcije.
5. Zadaća.

TOKOM NASTAVE

1. Organizacioni momenat časa: pozdrav, provjera spremnosti za nastavu.

2. Ažuriranje znanja koje su učenici dobili na prethodnom času:

- pojam okomitih linija u prostoru;
- okomitost prave i ravni;
– svojstva paralelnih pravih okomitih na ravan.

U cilju ažuriranja znanja jedan učenik ide do table i zapisuje rešenje zadatka br. 119a), drugi učenik je dokaz teoreme o paralelnim pravima okomitim na ravan.

Dok se spremaju, frontalna anketa razreda:

Koliki je relativni položaj dvije linije u prostoru?
- U kom opsegu se meri ugao između pravih u prostoru?
Koje se prave u prostoru nazivaju okomiti?
- Formulirajte lemu o dvije paralelne prave okomite na treću.
– Uspostaviti ispravan slijed radnji u dokazu leme.

Nakon izvršenja online validacije.

Učitelj: Definirajte okomitost prave i ravni.

Učitelj: Formulirajte inverznu teoremu.

Provjera ispravnosti rješenja kućnog zadatka br. 119a (pomoću jednakosti trouglova).

3. Razvoj vještina i sposobnosti primjene teorijskih znanja u rješavanju problema

1) Oralne vježbe.

№1 Prava AB je okomita na ravan, tačke M i K pripadaju ovoj ravni. Dokazati da je prava AB okomita na pravu MK.

2) Vježbe pisanja .

№2 U kvadratu ABCD, t.O je tačka preseka njegovih dijagonala. Direktni MO je okomit na ravan kvadrata. Dokazati da je MA = MB = MC = MD.

№3 Strana AB paralelograma ABCD je okomita na ravan. Pronađite BD ako je AC = 10 cm.

4. Provjera asimilacije stečenog znanja tokom testa

5. Sumiranje lekcije

Zapišite domaći zadatak: tačke 15-16, br. 118 br. 120

Prezentacija "Prave u prostoru" je vizuelno pomagalo za demonstriranje nastavnog materijala pri učenju istoimene teme u školi. Teško je predstaviti figure u prostoru pomoću table ili drugih standardnih alata za nastavnike. Prezentacija je jedan od najpoželjnijih oblika demonstriranja vizuelnog materijala, gdje je potrebno prikazati tijela u prostoru. Prilikom kreiranja prezentacije može se koristiti animacija, prikaz figura u boji. Takođe, animirana prezentacija doprinosi dubljem razumijevanju demonstriranih procesa i transformacija, usmjerava pažnju učenika na predmet koji se izučava.

Tokom izlaganja učenici dobijaju ideju o pravima koje su okomite u prostoru, formuliše se i dokazuje važna lema o okomitosti prave na obe paralelne prave kada je jedna od njih okomita, rešenje zadatka se opisuje korišćenjem proučavanog materijal. Uz pomoć prezentacije nastavniku je lakše formirati sposobnost učenika da rješavaju geometrijske zadatke, da daju predstavu o svojstvima onih u prostoru. Materijal prikazan tokom prezentacije je lakši za razumevanje i pamćenje.

Prezentacija počinje podsjećanjem na to koji ugao se može formirati između dvije prave linije koje se nalaze na ravni i koje se međusobno sijeku. Na slici je prikazana određena ravan na kojoj su izgrađene prave a i b. Kada se ove prave sijeku, formira se ugao α. Vrijednost ugla može biti od 0° do 90°. Vertikalni uglovi formirani presekom pravih su jednaki, a susedni ugao je određen formulom 180°-α. Ovo je teorijsko znanje koje student treba zapamtiti prije proučavanja svojstava pravih linija okomitih na prostor. Na sljedećem slajdu, radi boljeg prikaza međusobnog položaja pravih u prostoru, prikazan je pravougaoni paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, na kojem su ivice AA 1 i AB okomite. Formulira se definicija okomitih linija, koje se tako nazivaju ako je ugao između njih 90°. Također se primjećuje da će u pravokutnom paralelepipedu, prave D 1 C 1 i DD 1 također biti okomite jedna na drugu. Podsjećamo i na notaciju okomitosti pravih D 1 C 1 ┴ DD 1 . Zatim se označavaju parovi linija u paralelepipedu, koji će biti paralelni i okomiti jedni na druge. Primećuje se da će AA 1 ┴ AD, DD 1 ┴ AD biti okomiti, a AA 1 i DD 1 paralelni.

Predstavljena je sljedeća lema, koja kaže da ako je jedna od paralelnih pravih okomita na neku treću pravu, onda će i druga paralelna prava biti okomita na nju. Tekst leme je istaknut za pamćenje u okviru i uz pomoć boje. Dokaz leme je demonstriran. Na slici su prikazane dvije paralelne prave a i b, kao i prava c, za koju se zna da je okomita na a. potrebno je dokazati da su b i c također okomiti. Da bi se dokazala ova tvrdnja, konstruiše se dodatna tačka M, koja ne pripada ni a ni b. Kroz ovu tačku povučena je prava MA, paralelna sa a. MS se također izvodi paralelno sa. Okomitost a na c znači da je ∠AMS=90°. Iz paralelizma a i b, kao i paralelizma a prema MA, slijedi paralelizam od b prema MA. Pošto je b paralelan sa MA, a c paralelan sa MC, a ugao ∠AMC=90°, onda je b okomito na c. Tvrdnja je dokazana.

Posljednji slajd predstavlja opis rješenja zadatka u kojem se traži da se dokaže okomitost ivice tetraedra AM i prave PQ. U zadatku je dat tetraedar MABC, u kojem je AM okomito na BC. Na rubu AB označena je tačka P. Poznato je da je AP/AB=2/3. A na ivici Ac je označena tačka Q koja deli ivicu u odnosu AQ/QC=2/1. Iz relacije AQ/QC=2/1 slijedi relacija Δ/AC=2/3. Iz nađene AQ/AC, poznate relacije AR/AV i činjenice da je ugao ∠A zajednički, proizilazi da su trouglovi ΔARQ i ΔABS slični. Istovremeno, iz jednakosti uglova ∠ARQ=∠ABS, ∠AQP=∠ABC, prave PQ i BC su paralelne. Znajući da su stranice Am i BC okomite, a PQ paralelan sa BC, koristeći dobro poznatu lemu, možemo tvrditi da je AM okomita na PQ. Problem riješen.

Prezentacija "Perpendikularne linije u prostoru" pomoći će nastavniku u izvođenju časa geometrije u školi. Takođe, vizuelni materijal je koristan za nastavnika koji obuku izvodi na daljinu. Prezentacija se može preporučiti studentu koji samostalno proučava predmet ili mu je potreban dodatni materijal za dublje razumijevanje.