RANDOM VRIJEDNOSTI

Primjer 2.1. Slučajna vrijednost X dato funkcijom distribucije

Pronađite vjerovatnoću da kao rezultat testa Xće uzeti vrijednosti između (2,5; 3,6).

Rješenje: X u intervalu (2.5; 3.6) može se odrediti na dva načina:

Primjer 2.2. Na kojim vrijednostima parametara ALI i AT funkcija F(x) = A + Be - x može biti funkcija distribucije za nenegativne vrijednosti slučajne varijable X.

Rješenje: Pošto su sve moguće vrijednosti slučajne varijable X pripadaju intervalu , tada da bi funkcija bila funkcija distribucije za X, imovina treba da sadrži:

.

odgovor: .

Primjer 2.3. Slučajna varijabla X je data funkcijom distribucije

Nađite vjerovatnoću da će, kao rezultat četiri nezavisna ispitivanja, vrijednost X tačno 3 puta će uzeti vrijednost koja pripada intervalu (0,25; 0,75).

Rješenje: Verovatnoća dostizanja vrednosti X u intervalu (0,25; 0,75) nalazimo po formuli:

Primjer 2.4. Verovatnoća da lopta udari u koš u jednom bacanju je 0,3. Nacrtaj zakon raspodjele broja pogodaka u tri bacanja.

Rješenje: Slučajna vrijednost X- broj pogodaka u koš sa tri bacanja - može poprimiti vrijednosti: 0, 1, 2, 3. Vjerovatnoće koje X

X:

Primjer 2.5. Dva strijelca vrše jedan udarac u metu. Verovatnoća da ga pogodi prvi strelac je 0,5, drugi - 0,4. Zapišite zakon raspodjele broja pogodaka u metu.

Rješenje: Naći zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X- broj pogodaka u metu. Neka događaj bude pogodak u metu prvog strijelca, i - pogodak drugog strijelca, odnosno - njihovi promašaji.

Sastavimo zakon distribucije vjerovatnoće SV X:

Primjer 2.6. Testirana su 3 elementa, koji rade nezavisno jedan od drugog. Trajanje vremena (u satima) vrijeme rada elementi imaju funkcije gustine raspodjele: za prvi: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, za drugo: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, za treću: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Odrediti vjerovatnoću da će u vremenskom intervalu od 0 do 5 sati: samo jedan element otkazati; samo dva elementa neće uspjeti; sva tri elementa ne uspijevaju.

Rješenje: Koristimo definiciju generirajuće funkcije vjerovatnoća:

Verovatnoća da će u nezavisnim ispitivanjima, u prvom od kojih je verovatnoća nastanka događaja ALI jednako , u drugom, itd., događaju ALI pojavljuje se točno jednom, jednaka je koeficijentu pri u proširenju generirajuće funkcije u potencijama . Pronađimo vjerovatnoće kvara, odnosno nekvara prvog, drugog i trećeg elementa u vremenskom intervalu od 0 do 5 sati:

Kreirajmo generirajuću funkciju:

Koeficijent at je jednak vjerovatnoći da je događaj ALI pojavit će se tačno tri puta, odnosno vjerovatnoća kvara sva tri elementa; koeficijent at je jednak vjerovatnoći da će tačno dva elementa otkazati; koeficijent at jednak je vjerovatnoći da će samo jedan element otkazati.

Primjer 2.7. Zadana gustina vjerovatnoće f(x) slučajna varijabla X:

Naći funkciju distribucije F(x).

Rješenje: Koristimo formulu:

.

Dakle, funkcija distribucije ima oblik:

Primjer 2.8. Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Sastavite zakon raspodjele broja neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu.

Rješenje: Slučajna vrijednost X- broj elemenata koji nisu uspjeli u jednom eksperimentu - može uzeti vrijednosti: 0, 1, 2, 3. Vjerovatnoće koje X uzima ove vrijednosti, nalazimo po Bernoullijevoj formuli:

Tako dobijamo sljedeći zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X:

Primjer 2.9. Postoje 4 standardna dijela u lotu od 6 dijelova. 3 stavke su nasumično odabrane. Sastaviti zakon raspodjele broja standardnih dijelova među odabranim.

Rješenje: Slučajna vrijednost X- broj standardnih dijelova među odabranim - može imati vrijednosti: 1, 2, 3 i ima hipergeometrijsku distribuciju. Vjerovatnoće koje X

gdje -- broj delova u seriji;

-- broj standardnih delova u seriji;

– broj odabranih dijelova;

-- broj standardnih dijelova među odabranim.

.

.

.

Primjer 2.10. Slučajna varijabla ima gustinu distribucije

gdje i nisu poznati, ali , a i . Pronađite i .

Rješenje: U ovom slučaju slučajna vrijednost X ima trokutnu distribuciju (Simpsonovu distribuciju) na intervalu [ a, b]. Numeričke karakteristike X:

shodno tome, . Odlučivanje ovaj sistem, dobijamo dva para vrijednosti: . Pošto, prema stanju problema, konačno imamo: .

odgovor: .

Primjer 2.11. U prosjeku za 10% ugovora osiguravajuće društvo isplaćuje osigurane sume u vezi sa nastankom osiguranog slučaja. Izračunati očekivanu vrijednost i varijansu u broju takvih ugovora među četiri nasumično odabrana.

Rješenje: Matematička očekivanja i varijansa mogu se pronaći pomoću formula:

.

Moguće vrijednosti SV (broj ugovora (od četiri) sa nastankom osiguranog slučaja): 0, 1, 2, 3, 4.

Koristimo Bernoullijevu formulu za izračunavanje vjerovatnoće različitog broja ugovora (od četiri) za koje su plaćene osigurane sume:

.

Serija distribucije CV-a (broj ugovora sa nastankom osiguranog slučaja) ima oblik:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Odgovor: , .

Primjer 2.12. Od pet ruža, dvije su bijele. Napišite zakon raspodjele za slučajnu varijablu koja izražava broj bijelih ruža između dvije uzeti u isto vrijeme.

Rješenje: U uzorku od dvije ruže možda nema bijele ruže ili može biti jedna ili dvije bijele ruže. Dakle, slučajna varijabla X može imati vrijednosti: 0, 1, 2. Vjerovatnoće koje X uzima ove vrijednosti, nalazimo po formuli:

gdje -- broj ruža;

-- broj bijelih ruža;

– broj istovremeno uzetih ruža;

-- broj bijelih ruža među uzetima.

.

.

.

Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći:

Primjer 2.13. Od 15 sklopljenih jedinica, 6 je potrebno dodatno podmazivanje. Napraviti zakon raspodjele broja jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje, između pet nasumično odabranih od ukupnog broja.

Rješenje: Slučajna vrijednost X- broj jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje između pet odabranih - može imati vrijednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5 i ima hipergeometrijsku distribuciju. Vjerovatnoće koje X uzima ove vrijednosti, nalazimo po formuli:

gdje -- broj sklopljenih jedinica;

-- broj jedinica koje zahtijevaju dodatno podmazivanje;

– broj odabranih agregata;

-- broj jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje među odabranim.

.

.

.

.

.

.

Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći:

Primjer 2.14. Od 10 satova primljenih na popravku, 7 treba generalno čišćenje mehanizma. Satovi nisu razvrstani po vrsti popravke. Majstor, želeći pronaći sat koji treba očistiti, pregledava ih jednog po jednog i, nakon što je pronašao takav sat, zaustavlja dalje gledanje. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu broja sati gledanja.

Rješenje: Slučajna vrijednost X- broj jedinica kojima je potrebno dodatno podmazivanje između pet odabranih - može imati sljedeće vrijednosti: 1, 2, 3, 4. Vjerovatnoće koje X uzima ove vrijednosti, nalazimo po formuli:

.

.

.

.

Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći:

Sada izračunajmo numeričke karakteristike vrijednosti:

Odgovor: , .

Primjer 2.15. Pretplatnik je zaboravio zadnju cifru telefonskog broja koji mu je potreban, ali se sjeća da je to čudno. Pronađite matematičko očekivanje i varijansu broja biranja koje je napravio prije nego što je pogodio željeni broj, ako posljednju cifru bira nasumično i ne bira biranu cifru u budućnosti.

Rješenje: Slučajna varijabla može imati vrijednosti: . Budući da pretplatnik ubuduće ne bira biranu cifru, vjerovatnoće ovih vrijednosti su jednake.

Hajde da sastavimo niz distribucije slučajne varijable:

	0,2

Izračunajmo matematičko očekivanje i varijansu broja pokušaja biranja:

Odgovor: , .

Primjer 2.16. Verovatnoća kvara tokom testova pouzdanosti za svaki uređaj iz serije je jednaka str. Odredite matematičko očekivanje broja uređaja koji nisu uspjeli, ako su testirani N aparati.

Rješenje: Diskretna slučajna varijabla X je broj neispravnih uređaja N nezavisni testovi, u svakom od kojih je vjerovatnoća neuspjeha jednaka p, distribuiraju prema binomskom zakonu. Matematičko očekivanje binomske distribucije jednako je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće da će se događaj desiti u jednom pokušaju:

Primjer 2.17. Diskretna slučajna varijabla X uzima 3 moguće vrijednosti: sa vjerovatnoćom ; sa verovatnoćom i sa verovatnoćom . Pronađite i znajući da je M( X) = 8.

Rješenje: Koristimo definicije matematičkog očekivanja i zakon distribucije diskretne slučajne varijable:

Mi nalazimo: .

Primjer 2.18. Odjel tehničke kontrole provjerava standardnost proizvoda. Vjerovatnoća da je stavka standardna je 0,9. Svaka serija sadrži 5 artikala. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable X- broj serija, od kojih svaka sadrži tačno 4 standardna proizvoda, ako je 50 serija podložno verifikaciji.

Rješenje: U ovom slučaju, svi provedeni eksperimenti su nezavisni, a vjerovatnoće da svaka serija sadrži tačno 4 standardna proizvoda su iste, stoga se matematičko očekivanje može odrediti formulom:

,

gdje je broj stranaka;

Vjerovatnoća da serija sadrži tačno 4 standardna artikla.

Pronalazimo vjerovatnoću koristeći Bernoullijevu formulu:

odgovor: .

Primjer 2.19. Pronađite varijansu slučajne varijable X– broj pojavljivanja događaja A u dva nezavisna ispitivanja, ako su vjerovatnoće nastanka događaja u ovim ogledima iste i poznato je da M(X) = 0,9.

Rješenje: Problem se može riješiti na dva načina.

1) Moguće CB vrijednosti X: 0, 1, 2. Koristeći Bernoullijevu formulu, određujemo vjerovatnoće ovih događaja:

, , .

Zatim zakon o raspodjeli X izgleda kao:

Iz definicije matematičkog očekivanja određujemo vjerovatnoću:

Nađimo varijansu SW X:

.

2) Možete koristiti formulu:

.

odgovor: .

Primjer 2.20. Matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno raspoređene slučajne varijable X su 20 i 5. Nađite vjerovatnoću da kao rezultat testa Xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (15; 25).

Rješenje: Vjerovatnoća pogađanja normalne slučajne varijable X na odsjeku od do izraženo je u terminima Laplaceove funkcije:

Primjer 2.21. Zadata funkcija:

Na kojoj vrijednosti parametra C ova funkcija je gustina distribucije neke kontinuirane slučajne varijable X? Pronađite matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable X.

Rješenje: Da bi funkcija bila gustina distribucije neke slučajne varijable, ona mora biti nenegativna i mora zadovoljiti svojstvo:

.

posljedično:

Izračunajte matematičko očekivanje koristeći formulu:

.

Izračunajte varijansu koristeći formulu:

T je str. Potrebno je pronaći matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable.

Rješenje: Zakon distribucije diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja u nezavisnim ispitivanjima, u svakom od kojih je vjerovatnoća pojave događaja, naziva se binom. Matematičko očekivanje binomske distribucije jednako je umnošku broja pokušaja i vjerovatnoće pojave događaja A u jednom pokušaju:

.

Primjer 2.25. Tri nezavisna hica se ispaljuju u metu. Vjerovatnoća da ćete pogoditi svaki metak je 0,25. Odredite standardnu ​​devijaciju broja pogodaka sa tri hica.

Rješenje: Budući da se izvode tri nezavisna pokušaja, a vjerovatnoća pojave događaja A (pogodak) u svakom pokušaju je ista, pretpostavit ćemo da je diskretna slučajna varijabla X - broj pogodaka na meti - raspoređena prema binomu zakon.

Varijanca binomske distribucije jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerovatnoće pojave i nepojave događaja u jednom pokusu:

Primjer 2.26. Prosječan broj klijenata koji posjete osiguravajuću kuću za 10 minuta je tri. Pronađite vjerovatnoću da barem jedan kupac stigne u sljedećih 5 minuta.

Prosječan broj kupaca koji dolaze za 5 minuta: . .

Primjer 2.29. Vrijeme čekanja za aplikaciju u procesorskom redu slijedi eksponencijalni zakon raspodjele s prosječnom vrijednošću od 20 sekundi. Pronađite vjerovatnoću da će sljedeći (proizvoljni) zahtjev čekati procesor duže od 35 sekundi.

Rješenje: U ovom primjeru, očekivanje , a stopa neuspjeha je .

Tada je željena vjerovatnoća:

Primjer 2.30. Grupa od 15 učenika održava sastanak u sali sa 20 redova od po 10 sedišta. Svaki učenik nasumično zauzima mjesto u sali. Kolika je vjerovatnoća da ne više od tri osobe budu na sedmom mjestu u nizu?

Rješenje:

Primjer 2.31.

Tada prema klasičnoj definiciji vjerovatnoće:

gdje -- broj delova u seriji;

-- broj nestandardnih delova u seriji;

– broj odabranih dijelova;

-- broj nestandardnih delova među odabranim.

Tada će zakon raspodjele slučajne varijable biti sljedeći.

kao što je poznato, slučajna varijabla naziva se varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable su označene velikim slovima latinične abecede (X, Y, Z), a njihove vrijednosti - odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane.

Diskretna slučajna varijabla naziva se slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim nenultim vjerovatnoćama.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina.

1 . Zakon distribucije se može dati u tabeli:

gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .

u) korišćenjem funkcija distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).

Svojstva funkcije F(x)

3 . Zakon raspodjele može se postaviti grafički – distributivni poligon (poligon) (vidi problem 3).

Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji odražavaju najvažnije karakteristike zakona o raspodjeli. To može biti broj koji ima značenje "prosječne vrijednosti" slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene prosječne vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.

Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable :

• Matematičko očekivanje (srednja vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
  Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
• Disperzija diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2) − 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
  Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ
• Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).

Primjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"

Zadatak 1.

Izdato je 1.000 lutrijskih listića: njih 5 će osvojiti 500 rubalja, 10 će osvojiti 100 rubalja, 20 će osvojiti 50 rubalja, a 50 će osvojiti 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X - dobitak po listiću.

Rješenje. Prema uslovu zadatka, moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.

Broj tiketa bez dobitka je 1000 - (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Slično, nalazimo sve ostale vjerovatnoće: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Rezultirajući zakon predstavljamo u obliku tabele:

Nađite matematičko očekivanje od X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Zadatak 3.

Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, izgraditi poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju diskretne slučajne varijable.

Rješenje. 1. Diskretna slučajna varijabla X=(broj neuspješnih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 =0 (nijedan od elemenata uređaja nije uspio), x 2 =1 (jedan element nije uspio), x 3 =2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 \u003d 3 (tri elementa nisu uspjela).

Kvarovi elemenata su nezavisni jedan od drugog, vjerovatnoće kvara svakog elementa su međusobno jednake, stoga je primjenjiv Bernulijeva formula . S obzirom da pod uslovom, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo verovatnoće vrednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dakle, željeni zakon binomne distribucije X ima oblik:

Na osi apscise iscrtavamo moguće vrijednosti x i, a na osi ordinata odgovarajuće vjerovatnoće r i. Konstruirajmo tačke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezujući ove tačke sa segmentima, dobijamo željeni poligon distribucije.

3. Pronađite funkciju raspodjele F(x) = P(X

Za x ≤ 0 imamo F(x) = P(X<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 biće F(x) = 1, jer događaj je siguran.

Grafikon funkcije F(x)

4. Za binomnu distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- disperzija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Vježba 1. Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable X ima oblik:
Pronađite:
a) parametar A;
b) funkcija raspodjele F(x) ;
c) vjerovatnoća pogađanja slučajne varijable X u intervalu;
d) matematičko očekivanje MX i varijansa DX .
Nacrtajte funkcije f(x) i F(x) .

Zadatak 2. Pronađite varijansu slučajne varijable X datu integralnom funkcijom.

Zadatak 3. Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable X date distribucijske funkcije.

Zadatak 4. Gustoća vjerovatnoće neke slučajne varijable je data na sljedeći način: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Odrediti koeficijent A, funkciju raspodjele F(x), matematičko očekivanje i varijansu, kao i vjerovatnoću da slučajna varijabla zauzme vrijednost u intervalu. Nacrtajte grafove f(x) i F(x).

Zadatak. Funkcija distribucije neke kontinuirane slučajne varijable data je na sljedeći način:

Odrediti parametre a i b , pronaći izraz za gustinu vjerovatnoće f(x), matematičko očekivanje i varijansu, kao i vjerovatnoću da slučajna varijabla zauzme vrijednost u intervalu . Nacrtajte grafove f(x) i F(x).

Nađimo funkciju gustine distribucije kao derivaciju funkcije distribucije.
F′=f(x)=a
Znajući da ćemo pronaći parametar a:

ili 3a=1, odakle je a = 1/3
Parametar b nalazimo iz sljedećih svojstava:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 odakle je b = -1/3
Dakle, funkcija distribucije je: F(x) = (x-1)/3

Očekivana vrijednost.


Disperzija.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Pronađite vjerovatnoću da slučajna varijabla zauzme vrijednost u intervalu
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Primjer #1. Zadana je gustina raspodjele vjerovatnoće f(x) kontinuirane slučajne varijable X. Obavezno:

1. Odrediti koeficijent A.
2. naći funkciju distribucije F(x) .
3. shematski nacrtajte F(x) i f(x) .
4. naći matematičko očekivanje i varijansu X .
5. naći vjerovatnoću da X uzme vrijednost iz intervala (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Rješenje:

Slučajna varijabla X je data gustinom distribucije f(x):

Nađite parametar A iz uslova:



ili
14/3*A-1=0
gdje,
A = 3 / 14

Funkcija distribucije se može naći po formuli.

………………………………………………………

An - slučajna varijabla X je uzela vrijednost An.

Očigledno, zbir događaja A1 A2, . , An je određeni događaj, jer slučajna varijabla nužno uzima barem jednu od vrijednosti x1, x2, xn.

Dakle, P (A1 È A2 È . È An) = 1.

Osim toga, događaji A1, A2, ., An su nekompatibilni, jer slučajna varijabla u jednom eksperimentu može uzeti samo jednu od vrijednosti x1, x2, ., xn. Po teoremu sabiranja za nespojive događaje dobijamo

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

tj. p1+p2+ . +pn = 1, ili, ukratko,

Dakle, zbir svih brojeva koji se nalaze u drugom redu tabele 1, koji daje zakon raspodjele slučajne varijable X, mora biti jednak jedan.

PRIMJER 1. Neka je slučajna varijabla X broj bodova koji se bacaju kada se kockica baci. Naći zakon raspodjele (u obliku tabele).

Slučajna varijabla X uzima vrijednosti

x1=1, x2=2, … , x6=6

sa vjerovatnoćama

p1= p2 = … = p6 =

Zakon raspodjele je dat u tabeli:

tabela 2

PRIMJER 2. Binomna distribucija. Razmotrimo slučajnu varijablu X - broj pojavljivanja događaja A u nizu nezavisnih eksperimenata, u svakom od kojih se A javlja sa vjerovatnoćom p.

Slučajna varijabla X očito može uzeti jednu od sljedećih vrijednosti:

0, 1, 2, ., k, ., n.

Vjerojatnost događaja koji se sastoji u činjenici da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost jednaku k određena je Bernoullijevom formulom:

Rn(k)= gdje je q=1- r.

Takva raspodjela slučajne varijable naziva se binomna distribucija ili Bernoullijeva distribucija. Bernulijeva distribucija je u potpunosti određena sa dva parametra: brojem n svih pokušaja i vjerovatnoćom p sa kojom se događaj dogodi u svakom pojedinačnom ispitivanju.

Uslov za binomnu distribuciju ima oblik:

Da bi se dokazala valjanost ove jednakosti, dovoljan je identitet

(q+px)n=

stavi x=1.

PRIMJER 3. Poissonova distribucija. Ovo je naziv distribucije vjerovatnoće forme:

P(k)= .

Određuje ga jedan (pozitivan) parametar a. Ako je ξ slučajna varijabla koja ima Poissonovu distribuciju, tada je odgovarajući parametar a - prosječna vrijednost ove slučajne varijable:

a=Mξ=, gdje je M matematičko očekivanje.

Slučajna varijabla je:

PRIMJER 4. eksponencijalna distribucija.

Ako je vrijeme slučajna varijabla, označimo ga sa τ, tako da

gdje je 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

Srednja vrijednost slučajne varijable t je:

Gustina distribucije ima oblik:

4) Normalna distribucija

Neka su nezavisne, identično raspoređene slučajne varijable i neka Ako su članovi dovoljno mali, a broj n dovoljno velik, - ako su za n à ∞ matematičko očekivanje slučajne varijable Mξ i varijansa Dξ jednaka Dξ=M(ξ–Mξ)2, takvi da su Mξ~ a, Dξ~σ2, onda

- normalna ili Gausova raspodjela

.

5) Geometrijska raspodjela. Neka ξ označava broj pokušaja koji prethode prvom "uspjehu". Ako pretpostavimo da svaki test traje jedinicu vremena, onda možemo smatrati ξ kao vrijeme čekanja do prvog "uspjeha". Distribucija izgleda ovako:

R(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Hipergeometrijska distribucija.

Postoji N - objekata među kojima n - "posebnih objekata". Među svim objektima, k-objekti su nasumično odabrani. Pronađite vjerovatnoću da je među odabranim objektima jednako r - "posebni objekti". Distribucija izgleda ovako:

7) Pascal distribucija.

Neka je x ukupan broj "neuspjeha" koji prethode dolasku r-tog "uspjeha". Distribucija izgleda ovako:

Funkcija distribucije ima oblik:

Jednakovjerovatna distribucija podrazumijeva da slučajna varijabla x može uzeti bilo koju vrijednost u intervalu sa istom vjerovatnoćom. U ovom slučaju, gustina distribucije se izračunava kao

U nastavku su prikazani grafikoni gustine distribucije i funkcije distribucije.

Prije objašnjenja pojma "bijeli šum", potrebno je dati niz definicija.

Slučajna funkcija je funkcija neslučajnog argumenta t, koji je, za svaku fiksnu vrijednost argumenta, slučajna varijabla. Na primjer, ako je U slučajna varijabla, onda je funkcija X(t)=t2U slučajna.

Sekcija slučajne funkcije je slučajna varijabla koja odgovara fiksnoj vrijednosti argumenta slučajne funkcije. Dakle, slučajna funkcija se može smatrati skupom slučajnih varijabli (X(t)), ovisno o parametru t.

Gustina distribucije vjerovatnoće X pozovite funkciju f(x) je prvi izvod funkcije distribucije F(x):

Koncept gustine raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable X za diskretnu količinu nije primjenjivo.

Gustoća vjerovatnoće f(x) naziva se funkcija diferencijalne distribucije:

Nekretnina 1. Gustina distribucije je nenegativna vrijednost:

Nekretnina 2. Nepravilan integral gustine distribucije u rasponu od do jednak je jedan:

Primjer 1.25. S obzirom na funkciju distribucije kontinuirane slučajne varijable X:

f(x).

Rješenje: Gustoća distribucije jednaka je prvom izvodu funkcije distribucije:

1. Zadana funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X:

Pronađite gustinu distribucije.

2. Zadana je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X:

Pronađite gustinu distribucije f(x).

1.3. Numeričke karakteristike kontinuiranog slučajnog

količine

Očekivana vrijednost kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi Oh, određen je jednakošću:

Pretpostavlja se da integral konvergira apsolutno.

a,b), zatim:

f(x) je gustina distribucije slučajne varijable.

Disperzija kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi, određena je jednakošću:

Poseban slučaj. Ako vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu ( a,b), zatim:

Verovatnoća da Xće uzeti vrijednosti koje pripadaju intervalu ( a,b), određena je jednakošću:

.

Primjer 1.26. Kontinuirana slučajna varijabla X

Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable X u intervalu (0; 0,7).

Rješenje: Slučajna varijabla je raspoređena po intervalu (0,1). Definirajmo gustinu distribucije kontinuirane slučajne varijable X:

a) Matematičko očekivanje :

b) Disperzija

u)

Zadaci za samostalan rad:

1. Slučajna varijabla X dato funkcijom distribucije:

M(x);

b) disperzija D(x);

X u interval (2,3).

2. Slučajna vrijednost X

Naći: a) matematičko očekivanje M(x);

b) disperzija D(x);

c) odrediti vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable X u intervalu (1; 1,5).

3. Slučajna vrijednost X je dato integralnom funkcijom distribucije:

Naći: a) matematičko očekivanje M(x);

b) disperzija D(x);

c) odrediti vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable X u intervalu.

1.4. Zakoni distribucije kontinuirane slučajne varijable

1.4.1. Ujednačena distribucija

Kontinuirana slučajna varijabla X ima ujednačenu distribuciju na intervalu [ a,b], ako je na ovom segmentu gustina distribucije vjerovatnoće slučajne varijable konstantna, a izvan nje jednaka nuli, tj.:

Rice. četiri.

; ; .

Primjer 1.27. Autobus neke rute kreće se ravnomjerno sa intervalom od 5 minuta. Odrediti vjerovatnoću da je ravnomjerno raspoređena slučajna varijabla X– vrijeme čekanja na autobus će biti manje od 3 minute.

Rješenje: Slučajna vrijednost X- ravnomjerno raspoređeni po intervalu.

Gustoća vjerovatnoće: .

Da vrijeme čekanja ne bi bilo duže od 3 minute, putnik mora doći na autobusko stajalište u roku od 2 do 5 minuta nakon polaska prethodnog autobusa, tj. slučajna vrijednost X mora biti unutar intervala (2;5). To. željena vjerovatnoća:

Zadaci za samostalan rad:

1. a) naći matematičko očekivanje slučajne varijable X ravnomjerno raspoređeni u intervalu (2; 8);

b) pronaći varijansu i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređeni u intervalu (2;8).

2. Minutna kazaljka električnog sata skače na kraju svake minute. Odrediti vjerovatnoću da će u datom trenutku sat pokazati vrijeme koje se razlikuje od pravog vremena za najviše 20 sekundi.

1.4.2. Eksponencijalna (eksponencijalna) distribucija

Kontinuirana slučajna varijabla X je eksponencijalno distribuiran ako njegova gustina vjerovatnoće ima oblik:

gdje je parametar eksponencijalne distribucije.

Na ovaj način

Rice. 5.

Numeričke karakteristike:

Primjer 1.28. Slučajna vrijednost X- vrijeme rada sijalice - ima eksponencijalnu distribuciju. Odredite vjerovatnoću da će lampa trajati najmanje 600 sati ako je prosječni vijek trajanja lampe 400 sati.

Rješenje: Prema uslovu zadatka, matematičko očekivanje slučajne varijable X iznosi 400 sati, pa:

;

Željena vjerovatnoća , gdje

konačno:

Zadaci za samostalan rad:

1. Napišite gustoću i funkciju distribucije eksponencijalnog zakona, ako je parametar .

2. Slučajna vrijednost X

Pronađite matematičko očekivanje i varijansu veličine X.

3. Slučajna vrijednost X dato funkcijom raspodjele vjerovatnoće:

Pronađite matematičko očekivanje i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable.

1.4.3. Normalna distribucija

normalno naziva se distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X, čija gustina ima oblik:

gdje a– matematičko očekivanje, – standardna devijacija X.

Verovatnoća da Xće uzeti vrijednost koja pripada intervalu:

, gdje

je Laplaceova funkcija.

Distribucija koja ima ; , tj. sa gustinom vjerovatnoće naziva se standardnim.

Rice. 6.

Vjerovatnoća da je apsolutna vrijednost odstupanja manja od pozitivnog broja:

.

Konkretno, kada a= 0 jednakost je tačna:

Primjer 1.29. Slučajna vrijednost X normalno distribuirano. Standardna devijacija . Naći vjerovatnoću da će odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja u apsolutnoj vrijednosti biti manje od 0,3.

Rješenje: .

Zadaci za samostalan rad:

1. Napišite gustinu vjerovatnoće normalne distribucije slučajne varijable X, znajući to M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno raspoređene slučajne varijable X su 20 i 5. Nađite vjerovatnoću da kao rezultat testa Xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (15;20).

3. Slučajne greške mjerenja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom mm i matematičkim očekivanjem a= 0. Odrediti vjerovatnoću da greška najmanje jednog od 3 nezavisna mjerenja ne prelazi 4 mm u apsolutnoj vrijednosti.

4. Neka supstanca se vaga bez sistematskih grešaka. Slučajne greške vaganja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom r. Pronađite vjerovatnoću da će vaganje biti obavljeno sa greškom koja ne prelazi 10 g u apsolutnoj vrijednosti.