Vrijeme je za rastavljanje metode vađenja korijena. Oni se zasnivaju na svojstvima korijena, posebno na jednakosti, koja vrijedi za svaki nenegativan broj b.

U nastavku ćemo zauzvrat razmotriti glavne metode vađenja korijena.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem - izvlačenjem korijena iz prirodnih brojeva pomoću tablice kvadrata, tablice kocki itd.

Ako tablice kvadrata, kocke itd. nije pri ruci, logično je koristiti metodu izdvajanja korijena, koja uključuje dekomponiranje korijenskog broja na jednostavne faktore.

Odvojeno, vrijedi se zadržati na tome, što je moguće za korijene s neparnim eksponentima.

Konačno, razmotrite metodu koja vam omogućava da uzastopno pronađete cifre vrijednosti korijena.

Hajde da počnemo.

Koristeći tablicu kvadrata, tablicu kocki itd.

U najjednostavnijim slučajevima, tablice kvadrata, kocke itd. omogućavaju vađenje korijena. Šta su ovo tabele?

Tabela kvadrata cijelih brojeva od 0 do 99 (prikazano ispod) sastoji se od dvije zone. Prva zona tabele nalazi se na sivoj pozadini, izborom određenog reda i određene kolone omogućava vam da napravite broj od 0 do 99. Na primjer, izaberimo red od 8 desetica i stupac od 3 jedinice, čime smo fiksirali broj 83. Druga zona zauzima ostatak tabele. Svaka njegova ćelija nalazi se na sjecištu određenog reda i određene kolone i sadrži kvadrat odgovarajućeg broja od 0 do 99. Na raskrsnici izabranog reda od 8 desetica i stupca 3 od jedan nalazi se ćelija sa brojem 6889, što je kvadrat broja 83.

Tabele kocke, tabele četvrtih stepena brojeva od 0 do 99 i tako dalje su slične tablici kvadrata, samo što sadrže kocke, četvrte stepene itd. u drugoj zoni. odgovarajući brojevi.

Tablice kvadrata, kocke, četvrte potencije itd. omogućavaju vam da izvučete kvadratne korijene, kubne korijene, četvrte korijene, itd. odnosno iz brojeva u ovim tabelama. Objasnimo princip njihove primjene u vađenju korijena.

Recimo da treba da izvučemo koren n-tog stepena iz broja a, dok je broj a sadržan u tabeli n-tih stepeni. Prema ovoj tabeli nalazimo broj b takav da je a=b n . Onda , dakle, broj b će biti željeni korijen n-tog stepena.

Kao primjer, pokažimo kako se kubni korijen od 19683 ekstrahuje pomoću tablice kocke. U tabeli kocki nalazimo broj 19 683, iz nje nalazimo da je ovaj broj kocka broja 27, dakle, .

Jasno je da su tablice n-tih stupnjeva vrlo zgodne za vađenje korijena. Međutim, često nisu pri ruci, a njihovo sastavljanje zahtijeva određeno vrijeme. Štaviše, često je potrebno izdvojiti korijene iz brojeva koji nisu sadržani u odgovarajućim tablicama. U tim slučajevima treba pribjeći drugim metodama vađenja korijena.

Dekompozicija korijenskog broja na proste faktore

Prilično zgodan način za izdvajanje korijena iz prirodnog broja (ako je, naravno, korijen ekstrahovan) je razlaganje korijenskog broja na proste faktore. Njegovo suština je sledeća: nakon što ga je prilično lako predstaviti kao stepen sa željenim indikatorom, što vam omogućava da dobijete vrijednost korijena. Hajde da objasnimo ovu tačku.

Neka je korijen n-tog stepena izvučen iz prirodnog broja a, a njegova vrijednost je jednaka b. U ovom slučaju, jednakost a=b n je tačna. Broj b kao bilo koji prirodan broj može se predstaviti kao proizvod svih njegovih prostih faktora p 1 , p 2 , …, p m u obliku p 1 p 2 … p m , a korijenski broj a u ovom slučaju je predstavljen kao (p 1 p 2 ... p m) n . Budući da je dekompozicija broja na proste faktore jedinstvena, dekompozicija korijenskog broja a na proste faktore će izgledati kao (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , što omogućava izračunavanje vrijednosti korijena kao .

Imajte na umu da ako se faktorizacija korijena broja a ne može predstaviti u obliku (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , tada korijen n-tog stepena iz takvog broja a nije u potpunosti izvučen.

Pozabavimo se ovim prilikom rješavanja primjera.

Primjer.

Uzmi kvadratni korijen od 144.

Rješenje.

Ako se okrenemo tabeli kvadrata datoj u prethodnom pasusu, jasno se vidi da je 144=12 2 , iz čega je jasno da je kvadratni korijen od 144 12 .

Ali u svjetlu ove tačke, zanima nas kako se korijen izdvaja razlaganjem korijenskog broja 144 na proste faktore. Pogledajmo ovo rješenje.

Hajde da se razgradimo 144 na osnovne faktore:

To jest, 144=2 2 2 2 3 3 . Na osnovu rezultirajuće dekompozicije, mogu se izvršiti sljedeće transformacije: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. shodno tome, .

Koristeći svojstva stepena i svojstva korijena, rješenje bi se moglo formulirati malo drugačije: .

odgovor:

Za konsolidaciju gradiva razmotrite rješenja još dva primjera.

Primjer.

Izračunajte vrijednost korijena.

Rješenje.

Prost faktorizacija korijenskog broja 243 je 243=3 5 . Na ovaj način, .

odgovor:

Primjer.

Da li je vrijednost korijena cijeli broj?

Rješenje.

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, razložimo korijenski broj na proste faktore i vidimo da li se može predstaviti kao kocka cijelog broja.

Imamo 285 768=2 3 3 6 7 2 . Rezultirajuća dekompozicija nije predstavljena kao kocka cijelog broja, jer stepen prostog faktora 7 nije višekratnik tri. Dakle, kubni korijen od 285,768 nije uzet u potpunosti.

odgovor:

br.

Vađenje korijena iz razlomaka

Vrijeme je da shvatimo kako se korijen izdvaja iz razlomka. Neka se razlomak korijenskog broja zapiše kao p/q. Prema svojstvu korijena količnika, tačna je sljedeća jednakost. Iz ove jednakosti slijedi pravilo korijena razlomka: Korijen razlomka jednak je količniku dijeljenja korijena brojila s korijenom nazivnika.

Pogledajmo primjer vađenja korijena iz razlomka.

Primjer.

Koliki je kvadratni korijen običnog razlomka 25/169.

Rješenje.

Prema tablici kvadrata nalazimo da je kvadratni korijen brojnika izvornog razlomka 5, a kvadratni korijen nazivnika 13. Onda . Time se završava ekstrakcija korijena iz obične frakcije 25/169.

odgovor:

Korijen decimalnog razlomka ili mješovitog broja se izdvaja nakon zamjene korijenskih brojeva običnim razlomcima.

Primjer.

Uzmite kubni korijen decimale 474.552.

Rješenje.

Predstavimo originalnu decimalu kao običan razlomak: 474,552=474552/1000 . Onda . Ostaje izdvojiti kubne korijene koji se nalaze u brojniku i nazivniku rezultirajućeg razlomka. Jer 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000=10 3 , tada i . Ostaje samo dovršiti proračune .

odgovor:

.

Izdvajanje korijena negativnog broja

Odvojeno, vrijedi se zadržati na vađenju korijena iz negativnih brojeva. Kada smo proučavali korijene, rekli smo da kada je eksponent korijena neparan broj, onda negativan broj može biti pod znakom korijena. Takvim zapisima dali smo sljedeće značenje: za negativan broj −a i neparni eksponent korijena 2 n−1, imamo . Ova jednakost daje pravilo za vađenje neparnih korijena iz negativnih brojeva: da biste izdvojili korijen negativnog broja, potrebno je izvući korijen suprotnog pozitivnog broja i staviti znak minus ispred rezultata.

Razmotrimo primjer rješenja.

Primjer.

Pronađite vrijednost korijena.

Rješenje.

Transformirajmo originalni izraz tako da se ispod predznaka korijena pojavi pozitivan broj: . Sada zamjenjujemo mješoviti broj običnim razlomkom: . Primjenjujemo pravilo vađenja korijena iz običnog razlomka: . Ostaje izračunati korijene u brojniku i nazivniku rezultirajućeg razlomka: .

Evo rezimea rješenja: .

odgovor:

.

Pobitno pronalaženje korijenske vrijednosti

U opštem slučaju, ispod korena se nalazi broj koji, korišćenjem tehnika o kojima je bilo reči gore, ne može biti predstavljen kao n-ti stepen bilo kog broja. Ali u isto vrijeme, postoji potreba da se zna vrijednost datog korijena, barem do određenog znaka. U ovom slučaju, da biste izdvojili korijen, možete koristiti algoritam koji vam omogućava da dosljedno dobijete dovoljan broj vrijednosti ​​cifara željenog broja.

Prvi korak ovog algoritma je da se otkrije koji je najznačajniji bit vrijednosti korijena. Da bi se to uradilo, brojevi 0, 10, 100, ... se sukcesivno podižu na stepen n dok se ne dobije broj koji premašuje osnovni broj. Tada će broj koji smo podigli na stepen n u prethodnom koraku ukazivati ​​na odgovarajući visoki red.

Na primjer, razmotrite ovaj korak algoritma kada izvlačite kvadratni korijen od pet. Uzimamo brojeve 0, 10, 100, ... i kvadriramo ih dok ne dobijemo broj veći od 5. Imamo 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, što znači da će najznačajnija znamenka biti cifra jedinice. Vrijednost ovog bita, kao i nižih, naći će se u sljedećim koracima algoritma za ekstrakciju korijena.

Svi sljedeći koraci algoritma imaju za cilj uzastopno preciziranje vrijednosti korijena zbog činjenice da se pronađu vrijednosti sljedećih cifara željene vrijednosti korijena, počevši od najviše i krećući se prema najnižoj . Na primjer, vrijednost korijena u prvom koraku je 2, u drugom - 2,2, u trećem - 2,23, i tako dalje 2,236067977 ... . Hajde da opišemo kako se pronalaze vrijednosti bitova.

Pronalaženje bitova se vrši nabrajanjem njihovih mogućih vrijednosti 0, 1, 2, ..., 9 . U ovom slučaju, n-te potencije odgovarajućih brojeva se računaju paralelno i uspoređuju se s korijenskim brojem. Ako u nekoj fazi vrijednost stupnja premašuje radikalni broj, tada se smatra pronađenom vrijednost cifre koja odgovara prethodnoj vrijednosti i vrši se prijelaz na sljedeći korak algoritma za ekstrakciju korijena, ako se to ne dogodi, tada je vrijednost ove cifre 9 .

Objasnimo sve ove točke koristeći isti primjer vađenja kvadratnog korijena od pet.

Prvo pronađite vrijednost cifre jedinice. Iterirati ćemo vrijednosti 0, 1, 2, …, 9, računajući redom 0 2 , 1 2 , …, 9 2 dok ne dobijemo vrijednost veću od radikalnog broja 5 . Svi ovi proračuni su prikladno predstavljeni u obliku tabele:

Dakle, vrijednost cifre jedinice je 2 (jer je 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Pređimo na pronalaženje vrijednosti desetog mjesta. U ovom slučaju ćemo kvadrirati brojeve 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, upoređujući dobivene vrijednosti s korijenskim brojem 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, tada je vrijednost desetog mjesta 2. Možete nastaviti do traženja vrijednosti stotinke:

Dakle, pronađena je sljedeća vrijednost korijena od pet, ona je jednaka 2,23. I tako možete nastaviti dalje tražiti vrijednosti: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Da bismo konsolidirali materijal, analizirat ćemo ekstrakciju korijena s točnošću od stotih dionica koristeći razmatrani algoritam.

Prvo, definiramo staru cifru. Da bismo to učinili, kockamo brojeve 0, 10, 100, itd. dok ne dobijemo broj veći od 2,151.186 . Imamo 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , tako da je najznačajnija znamenka desetica.

Hajde da definišemo njegovu vrednost.

Od 103<2 151,186 , а 20 3 >2.151.186, tada je vrijednost cifre desetice 1. Pređimo na jedinice.

Dakle, vrijednost mjesta jedinica je 2. Idemo na deset.

Pošto je čak 12,9 3 manje od radikalnog broja 2 151,186 , vrijednost desetog mjesta je 9 . Ostaje da izvršimo posljednji korak algoritma, on će nam dati vrijednost korijena sa potrebnom tačnošću.

U ovoj fazi, vrijednost korijena se nalazi do stotih dijelova: .

U zaključku ovog članka, želio bih reći da postoji mnogo drugih načina za vađenje korijena. Ali za većinu zadataka dovoljni su oni koje smo gore proučili.

Bibliografija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne institucije.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razred opšteobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).

Korisnici proračunskih tablica uvelike koriste funkciju kvadratnog korijena. Budući da rad s podacima obično zahtijeva obradu velikih brojeva, može biti prilično teško ručno brojati. U ovom članku ćete pronaći detaljnu analizu problema izdvajanja korijena bilo kojeg stepena u Excelu.

Prilično lak zadatak, budući da program ima posebnu funkciju koja se može uzeti sa liste. Da biste to učinili, trebate učiniti sljedeće:

1. Odaberite ćeliju u koju želite upisati funkciju tako što ćete je jednom kliknuti lijevom tipkom miša. Pojavit će se crni obris, aktivni red i stupac će biti istaknuti narandžastom bojom, a ime će se pojaviti u ćeliji za adresu.

   

2. Kliknite na dugme "fx" ("Insert Function"), koje se nalazi iznad naziva kolona, ​​nakon adresne ćelije, prije trake formule.

   

3. Pojavit će se padajući izbornik u kojem trebate pronaći funkciju "Root". Ovo se može uraditi u kategoriji "Matematika" ili u "Punoj abecednoj listi" pomeranjem miša po donjem meniju.

   

4. Odaberite stavku "Root" tako što ćete jednom kliknuti lijevom tipkom miša, a zatim - gumb "OK".

   

5. Pojavit će se sljedeći meni - "Argumenti funkcije".

   

6. Unesite broj ili odaberite ćeliju u kojoj je ovaj izraz ili formula unaprijed napisan, da biste to učinili, kliknite jednom lijevom tipkom miša na liniju "Broj", zatim pomaknite kursor preko ćelije koja vam je potrebna i kliknite na nju. Ime ćelije će se automatski popuniti u niz.

   

7. Kliknite na dugme "OK".

   

8. I sve je spremno, funkcija je izračunala kvadratni korijen, upisujući rezultat u odabranu ćeliju.

   

Također je moguće izdvojiti kvadratni korijen iz zbira broja i ćelije (podaci koji se popunjavaju u ovoj ćeliji) ili dvije ćelije, za to unesite vrijednosti ​​​​u red "Broj". Napišite broj i kliknite jednom na ćeliju, program će sam staviti znak za sabiranje.

Napomenu! Ovu funkciju možete unijeti i ručno. U traku formule unesite sljedeći izraz: "=SQRT(x)", gdje je x broj koji tražite.

Vađenje korena 3., 4. i drugih stepena.

Ne postoji posebna funkcija za rješavanje ovog izraza u Excelu. Da biste izdvojili n-ti korijen, prvo ga morate razmotriti sa matematičke tačke gledišta.

N-ti korijen je jednak podizanju broja na suprotni stepen (1/n). To jest, kvadratni korijen odgovara broju na stepen od ½ (ili 0,5).

Na primjer:

• četvrti korijen od 16 je 16 na stepen od ¼;
• kubni korijen od 64 = 64 na stepen 1/3;

Postoje dva načina da izvršite ovu radnju u programu za proračunske tablice:

1. Sa funkcijom.
2. Koristeći znak stepena "^", unesite izraz ručno.

Ekstrahiranje korijena bilo kojeg stupnja pomoću funkcije

1. Odaberite željenu ćeliju i kliknite na "Insert Function" na kartici "Formules".

   

2. Proširite listu u stavci “Kategorija”, u kategoriji “Matematika” ili “Puna abecedna lista” pronađite funkciju “Stepen”.

   

   

3. U red "Broj" unesite broj (u našem slučaju to je broj 64) ili naziv ćelije tako što ćete kliknuti na njega jednom.

   

4. U red "Power" upišite snagu na koju želite podići korijen (1/3).

   

   Bitan! Simbol "/" mora se koristiti za predstavljanje znaka podjele, a ne standardnog znaka podjele ":".

5. Kliknite "OK" i rezultat akcije će se pojaviti u inicijalno odabranoj ćeliji.

   

   

Bilješka! Za detaljnije upute sa fotografijom o radu s funkcijama pogledajte gornji članak.

Ekstrahiranje korijena bilo kojeg stepena pomoću znaka stepena "^"

Bilješka! Stepen možete napisati kao razlomak ili kao decimalni broj. Na primjer, razlomak ¼ se može napisati kao 0,25. Za odvajanje desetinki, stotih, hiljaditih i tako dalje koristite zarez, kao što je uobičajeno u matematici.

Primjeri pisanja izraza

Da biste uspješno koristili operaciju vađenja korijena u praksi, morate se upoznati sa svojstvima ove operacije.
Sva svojstva su formulirana i dokazana samo za nenegativne vrijednosti varijabli sadržanih pod predznacima korijena.

Teorema 1. N-ti korijen (n=2, 3, 4,...) umnoška dva nenegativna skupa čipova jednak je proizvodu n-tog korijena ovih brojeva:

komentar:

1. Teorema 1 ostaje važeća za slučaj kada je radikalni izraz proizvod više od dva nenegativna broja.

Teorema 2.Ako a, i n je prirodan broj veći od 1, tada je jednakost

Teorema 1 nam dozvoljava da pomnožimo m samo koreni istog stepena , tj. samo korijeni sa istim eksponentom.

Teorema 3. Ako ,k je prirodan broj i n je prirodan broj veći od 1, tada je jednakost

Drugim riječima, da bi se korijen podigao na prirodnu moć, dovoljno je podići korijenski izraz na ovu moć.
Ovo je posljedica teoreme 1. Zaista, na primjer, za k = 3 dobijamo

Teorema 4. Ako ,k, n su prirodni brojevi veći od 1, onda je jednakost

Drugim riječima, da biste izvukli korijen iz korijena, dovoljno je pomnožiti eksponente korijena.
Na primjer,

Budi pazljiv! Naučili smo da se nad korijenima mogu izvesti četiri operacije: množenje, dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena (iz korijena). Ali šta je sa sabiranjem i oduzimanjem korijena? Nema šanse.
Na primjer, ne možete pisati umjesto Indeed, ali to je očigledno

Teorema 5. Ako indikatori korena i korenskog izraza se pomnože ili podele sa istim prirodnim brojem, tada se vrednost korena neće promeniti, tj.

Primjeri rješavanja problema

Primjer 2 Izračunati
Rješenje. Pretvorite mješoviti broj u nepravilan razlomak.
Imamo Koristeći drugo svojstvo korijena ( teorema 2 ), dobijamo:

Primjer 3 Izračunati:

Rješenje. Bilo koja formula u algebri, kao što dobro znate, koristi se ne samo "s lijeva na desno", već i "s desna na lijevo". Dakle, prvo svojstvo korijena znači da se može predstaviti kao i, obrnuto, može biti zamijenjeno izrazom. Isto vrijedi i za drugo svojstvo korijena. Imajući to na umu, hajde da izvršimo proračune.

Čestitamo: danas ćemo analizirati korijene - jednu od najzanimljivijih tema 8. razreda. :)

Mnogi ljudi se zbune oko korijena, ne zato što su složeni (što je komplikovano - par definicija i još par svojstava), već zato što su u većini školskih udžbenika korijeni definirani kroz takve divlje vrijednosti da su samo sami autori udžbenika mogu to shvatiti. Pa čak i tada samo uz flašu dobrog viskija. :)

Stoga ću sada dati najispravniju i najkompetentniju definiciju korijena - jedinu koju biste zaista trebali zapamtiti. I tek onda ću objasniti: zašto je sve to potrebno i kako to primijeniti u praksi.

Ali prvo, zapamtite jednu važnu točku, na koju iz nekog razloga mnogi sastavljači udžbenika "zaboravljaju":

Korijeni mogu biti parnog stepena (naš omiljeni $\sqrt(a)$, kao i bilo koji $\sqrt(a)$ i paran $\sqrt(a)$) i neparnog stepena (bilo koji $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ itd.). A definicija korijena neparnog stepena je nešto drugačija od parnog.

Ovdje se u ovom jebenom “nešto drugačijem” krije, vjerovatno, 95% svih grešaka i nesporazuma povezanih s korijenima. Pa hajde da razjasnimo terminologiju jednom za svagda:

Definicija. Čak i root n od broja $a$ je bilo koji nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$. A korijen neparnog stepena iz istog broja $a$ je općenito bilo koji broj $b$ za koji vrijedi ista jednakost: $((b)^(n))=a$.

U svakom slučaju, korijen se označava ovako:

\(a)\]

Broj $n$ u takvoj notaciji naziva se korijenski eksponent, a broj $a$ naziva se radikalni izraz. Konkretno, za $n=2$ dobijamo naš "omiljeni" kvadratni koren (usput, ovo je koren parnog stepena), a za $n=3$ dobijamo kubni koren (neparan stepen), što se takođe često nalazi u problemima i jednačinama.

Primjeri. Klasični primjeri kvadratnih korijena:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(poravnati)\]

Usput, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Ovo je sasvim logično jer $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.

Kubični korijeni su također uobičajeni - nemojte ih se bojati:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(poravnati)\]

Pa, par "egzotičnih primjera":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(poravnati)\]

Ako ne razumijete koja je razlika između parnog i neparnog stepena, ponovo pročitajte definiciju. Veoma je važno!

U međuvremenu ćemo razmotriti jednu neugodnu osobinu korijena, zbog koje smo morali uvesti posebnu definiciju za parne i neparne eksponente.

Zašto su nam uopšte potrebni koreni?

Nakon čitanja definicije, mnogi učenici će se zapitati: "Šta su matematičari pušili kada su smislili ovo?" I zaista: zašto su nam potrebni svi ti korijeni?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se na trenutak u osnovnu školu. Zapamtite: u onim dalekim vremenima, kada je drveće bilo zelenije, a knedle ukusnije, naša glavna briga je bila da pravilno pomnožimo brojeve. Pa, nešto u duhu "pet po pet - dvadeset i pet", to je sve. Ali na kraju krajeva, brojeve možete množiti ne u parovima, već u trojkama, četvorkama i općenito cijelim skupovima:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Međutim, ovo nije poenta. Trik je drugačiji: matematičari su lijeni ljudi, pa su množenje deset petica morali zapisati ovako:

Tako su došli do diploma. Zašto ne biste zapisali broj faktora kao superscript umjesto dugog niza? kao ovaj:

Veoma je zgodno! Sve kalkulacije su smanjene za nekoliko puta, a ne možete potrošiti gomilu pergamentnih listova bilježnica da zapišete nekih 5 183 . Takav unos nazvan je stepenom broja, u njemu je pronađena gomila svojstava, ali se ispostavilo da je sreća kratkog vijeka.

Nakon grandioznog pića, koje je organizovano baš u vezi sa „otkrićem“ stepeni, neki posebno naduvani matematičar iznenada je upitao: „Šta ako znamo stepen broja, a ne znamo sam broj?“ Zaista, ako znamo da određeni broj $b$, na primjer, daje 243 na 5. stepen, kako onda možemo pogoditi čemu je sam broj $b$ jednak?

Ovaj problem se pokazao mnogo globalnijim nego što se na prvi pogled čini. Jer se pokazalo da za većinu „gotovih“ diploma ne postoje takvi „početni“ brojevi. Procijenite sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strelica desno b=4\cdot 4\cdot 4\Strelica desno b=4. \\ \end(poravnati)\]

Šta ako je $((b)^(3))=50$? Ispostavilo se da morate pronaći određeni broj, koji će nam, kada se pomnoži sam sa sobom tri puta, dati 50. Ali koji je to broj? Jasno je da je veći od 3 jer je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. tj. ovaj broj se nalazi negdje između tri i četiri, ali čemu je jednak - FIGU ćete razumjeti.

Upravo zbog toga su matematičari došli do $n$-tog korijena. Zbog toga je uvedena radikalna ikona $\sqrt(*)$. Da označimo isti broj $b$, koji će nam na specificiranu potenciju dati prethodno poznatu vrijednost

\[\sqrt[n](a)=b\Strelica desno ((b)^(n))=a\]

Ne raspravljam: često se ovi korijeni lako razmatraju - vidjeli smo nekoliko takvih primjera iznad. Ali ipak, u većini slučajeva, ako pomislite na proizvoljan broj, a zatim pokušate izvući korijen proizvoljnog stepena iz njega, očekuje vas okrutna nevolja.

Šta je tu! Čak i najjednostavniji i najpoznatiji $\sqrt(2)$ ne može se predstaviti u našem uobičajenom obliku - kao cijeli broj ili razlomak. A ako ovaj broj unesete u kalkulator, vidjet ćete ovo:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Kao što vidite, iza decimalnog zareza postoji beskonačan niz brojeva koji se ne povinuju nikakvoj logici. Možete, naravno, zaokružiti ovaj broj da biste brzo uporedili sa drugim brojevima. Na primjer:

\[\sqrt(2)=1.4142...\približno 1.4 \lt 1.5\]

Ili evo još jednog primjera:

\[\sqrt(3)=1.73205...\približno 1.7 \gt 1.5\]

Ali sva ova zaokruživanja su, prvo, prilično gruba; i drugo, također morate znati raditi s približnim vrijednostima, inače možete uhvatiti gomilu neočiglednih grešaka (usput, vještina poređenja i zaokruživanja se obavezno provjerava na ispitu profila).

Stoga se u ozbiljnoj matematici ne može bez korijena – oni su isti jednaki predstavnici skupa svih realnih brojeva $\mathbb(R)$, poput razlomaka i cijelih brojeva koje odavno poznajemo.

Nemogućnost predstavljanja korijena kao razlomka oblika $\frac(p)(q)$ znači da taj korijen nije racionalan broj. Takvi brojevi se nazivaju iracionalni i ne mogu se precizno predstaviti osim uz pomoć radikala ili drugih konstrukcija posebno dizajniranih za to (logaritmi, stepeni, granice, itd.). Ali o tome drugi put.

Razmotrimo nekoliko primjera gdje će, nakon svih proračuna, iracionalni brojevi i dalje ostati u odgovoru.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]

Naravno, po izgledu korijena gotovo je nemoguće pogoditi koji će brojevi doći iza decimalnog zareza. Međutim, moguće je izračunati na kalkulatoru, ali čak i najnapredniji kalkulator datuma nam daje samo prvih nekoliko cifara iracionalnog broja. Stoga je mnogo ispravnije odgovore napisati kao $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.

Za to su i izmišljeni. Da biste lakše zapisali odgovore.

Zašto su potrebne dvije definicije?

Pažljivi čitalac je vjerovatno već primijetio da su svi kvadratni korijeni navedeni u primjerima uzeti iz pozitivnih brojeva. Pa, barem od nule. Ali kockasti korijeni se mirno izvlače iz apsolutno bilo kojeg broja - čak i pozitivnih, čak i negativnih.

Zašto se ovo dešava? Pogledajte graf funkcije $y=((x)^(2))$:

Pokušajmo izračunati $\sqrt(4)$ koristeći ovaj graf. Da biste to učinili, na grafu je nacrtana vodoravna linija $y=4$ (označena crvenom bojom), koja siječe parabolu u dvije tačke: $((x)_(1))=2$ i $((x) _(2)) =-2$. Ovo je sasvim logično, jer

S prvim brojem je sve jasno - on je pozitivan, dakle korijen:

Ali šta onda učiniti sa drugom tačkom? Da li 4 ima dva korijena odjednom? Na kraju krajeva, ako kvadriramo broj −2, dobijamo i 4. Zašto onda ne napisati $\sqrt(4)=-2$? A zašto nastavnici gledaju takve zapise kao da hoće da te pojedu? :)

Problem je u tome što ako se ne nametnu nikakvi dodatni uvjeti, onda će četiri imati dva kvadratna korijena - pozitivan i negativan. I svaki pozitivan broj će ih također imati dva. Ali negativni brojevi uopće neće imati korijen - to se može vidjeti iz istog grafikona, budući da parabola nikada ne pada ispod ose y, tj. ne uzima negativne vrijednosti.

Sličan problem se javlja za sve korijene s parnim eksponentom:

1. Strogo govoreći, svaki pozitivan broj će imati dva korijena s parnim eksponentom $n$;
2. Iz negativnih brojeva, korijen s čak $n$ uopće se ne izdvaja.

Zato definicija parnog korijena $n$ izričito propisuje da odgovor mora biti nenegativan broj. Ovako se oslobađamo dvosmislenosti.

Ali za neparan $n$ ne postoji takav problem. Da bismo to vidjeli, pogledajmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:

Iz ovog grafikona mogu se izvući dva zaključka:

1. Grane kubične parabole, za razliku od uobičajene, idu u beskonačnost u oba smjera - i gore i dolje. Stoga, na kojoj god visini da povučemo vodoravnu liniju, ova linija će se sigurno sjeći s našim grafikom. Stoga se kubni korijen uvijek može uzeti, apsolutno iz bilo kojeg broja;
2. Osim toga, takva raskrsnica će uvijek biti jedinstvena, tako da ne morate razmišljati o tome koji broj uzeti u obzir "tačan" korijen, a koji postići. Zato je definicija korijena za neparan stepen jednostavnija nego za paran (nema zahtjeva nenegativnosti).

Šteta što ove jednostavne stvari nisu objašnjene u većini udžbenika. Umjesto toga, naš mozak počinje da raste sa svim vrstama aritmetičkih korijena i njihovih svojstava.

Da, ne raspravljam: šta je aritmetički korijen - također morate znati. I o tome ću detaljno govoriti u zasebnoj lekciji. Danas ćemo takođe govoriti o tome, jer bez toga, sva razmišljanja o korenima $n$-te višestrukosti ne bi bila potpuna.

Ali prvo morate jasno razumjeti definiciju koju sam dao gore. U suprotnom, zbog obilja termina, u glavi će vam početi takva zbrka da na kraju ništa nećete razumjeti.

I sve što trebate razumjeti je razlika između parnih i neparnih brojeva. Stoga ćemo još jednom prikupiti sve što zaista trebate znati o korijenima:

1. Parni korijen postoji samo od nenegativnog broja i sam je uvijek nenegativan broj. Za negativne brojeve, takav korijen je nedefiniran.
2. Ali korijen neparnog stepena postoji iz bilo kojeg broja i sam po sebi može biti bilo koji broj: za pozitivne brojeve je pozitivan, a za negativne brojeve, kao što kapa nagoveštava, negativan.

Da li je teško? Ne, nije teško. Jasno? Da, očigledno je! Stoga ćemo sada malo vježbati sa proračunima.

Osnovna svojstva i ograničenja

Korijeni imaju puno čudnih svojstava i ograničenja - ovo će biti zasebna lekcija. Stoga ćemo sada razmotriti samo najvažniji "čip", koji se odnosi samo na korijene s parnim eksponentom. Ovo svojstvo pišemo u obliku formule:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\desno|\]

Drugim riječima, ako broj podignemo na paran stepen, a zatim iz ovoga izvučemo korijen istog stepena, dobićemo ne originalni broj, već njegov modul. Ovo je jednostavna teorema koju je lako dokazati (dovoljno je razmotriti odvojeno nenegativne $x$, a zatim zasebno razmotriti negativne). Nastavnici stalno govore o tome, dato je u svakom školskom udžbeniku. Ali čim dođe do rješavanja iracionalnih jednačina (tj. jednačina koje sadrže znak radikala), učenici zajedno zaboravljaju ovu formulu.

Da bismo detaljno razumjeli problem, zaboravimo sve formule na minut i pokušajmo izbrojati dva broja unaprijed:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\levo(-3 \desno))^(4)))=?\]

Ovo su vrlo jednostavni primjeri. Prvi primjer će riješiti većina ljudi, ali na drugom se mnogi drže. Da biste bilo koje takvo sranje riješili bez problema, uvijek razmotrite proceduru:

1. Prvo, broj se podiže na četvrti stepen. Pa, nekako je lako. Dobit će se novi broj, koji se čak može naći u tablici množenja;
2. A sada iz ovog novog broja potrebno je izvući korijen četvrtog stepena. One. nema "smanjenja" korijena i stupnjeva - to su sekvencijalne akcije.

Hajde da se pozabavimo prvim izrazom: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očigledno, prvo morate izračunati izraz ispod korijena:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Zatim izdvajamo četvrti korijen broja 81:

Sada uradimo isto sa drugim izrazom. Prvo, dižemo broj −3 na četvrti stepen, za šta ga trebamo pomnožiti sam sa sobom 4 puta:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ lijevo(-3 \desno)=81\]

Dobili smo pozitivan broj, jer je ukupan broj minusa u proizvodu 4 komada, i svi će se međusobno poništiti (na kraju krajeva, minus sa minusom daje plus). Zatim ponovo izvucite korijen:

U principu, ovaj red se ne bi mogao napisati, jer je nebitno da će odgovor biti isti. One. parni korijen iste parne snage "spaljuje" minuse, i u tom smislu rezultat se ne razlikuje od uobičajenog modula:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\desno|=3; \\ & \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=\lijevo| -3 \right|=3. \\ \end(poravnati)\]

Ovi proračuni se dobro slažu s definicijom korijena parnog stepena: rezultat je uvijek nenegativan, a predznak radikala je također uvijek nenegativan broj. Inače, korijen nije definiran.

Napomena o redoslijedu operacija

1. Oznaka $\sqrt(((a)^(2)))$ znači da prvo kvadriramo broj $a$, a zatim uzimamo kvadratni korijen rezultirajuće vrijednosti. Stoga možemo biti sigurni da je nenegativan broj uvijek ispod predznaka korijena, budući da je $((a)^(2))\ge 0$ ionako;
2. Ali notacija $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, naprotiv, znači da prvo izdvajamo korijen iz određenog broja $a$ i tek onda kvadriramo rezultat. Stoga, broj $a$ ni u kom slučaju ne može biti negativan - ovo je obavezan zahtjev ugrađen u definiciju.

Dakle, ni u kom slučaju ne treba nepromišljeno smanjivati ​​korijene i stupnjeve, čime se navodno "pojednostavlja" izvorni izraz. Jer ako ispod korijena postoji negativan broj, a njegov eksponent je paran, dobit ćemo mnogo problema.

Međutim, svi ovi problemi su relevantni samo za parne indikatore.

Uklanjanje znaka minus ispod znaka korijena

Naravno, korijeni s neparnim eksponentima također imaju svoju osobinu, koja u principu ne postoji za parne. naime:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Ukratko, možete izvaditi minus ispod znaka korijena neparnog stepena. Ovo je vrlo korisna osobina koja vam omogućava da "izbacite" sve minuse:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(poravnati)\]

Ovo jednostavno svojstvo uvelike pojednostavljuje mnoge proračune. Sada ne morate da brinete: šta ako negativni izraz uđe ispod korena, a stepen u korenu se pokaže paran? Dovoljno je samo “izbaciti” sve minuse van korijena, nakon čega se mogu međusobno umnožiti, podijeliti i općenito učiniti mnogo sumnjivih stvari, koje će nas u slučaju “klasičnih” korijena garantovano dovesti do greška.

I tu na scenu stupa još jedna definicija – upravo ona kojom većina škola počinje proučavanje iracionalnih izraza. I bez toga bi naše rezonovanje bilo nepotpuno. Upoznajte se!

aritmetički korijen

Pretpostavimo na trenutak da samo pozitivni brojevi ili, u ekstremnim slučajevima, nula mogu biti ispod predznaka korijena. Ocjenimo na parne / neparne indikatore, poenimo sve gore navedene definicije - radit ćemo samo s nenegativnim brojevima. Šta onda?

I tada dobijamo aritmetički korijen - on se djelomično siječe s našim "standardnim" definicijama, ali se još uvijek razlikuje od njih.

Definicija. Aritmetički korijen $n$-tog stepena nenegativnog broja $a$ je nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$.

Kao što vidite, paritet nas više ne zanima. Umjesto toga, pojavilo se novo ograničenje: radikalni izraz je sada uvijek nenegativan, a sam korijen također nije negativan.

Da biste bolje razumjeli kako se aritmetički korijen razlikuje od uobičajenog, pogledajte grafove kvadratne i kubične parabole koje su nam već poznate:

Kao što vidite, od sada nas zanimaju samo oni dijelovi grafova koji se nalaze u prvoj koordinatnoj četvrti - gdje su koordinate $x$ i $y$ pozitivne (ili barem nula). Više ne morate gledati u indikator da biste shvatili imamo li pravo na korijen negativnog broja ili ne. Zato što se negativni brojevi više u principu ne razmatraju.

Možda ćete pitati: "Pa, zašto nam treba takva kastrirana definicija?" Ili: "Zašto ne možemo proći sa standardnom definicijom datom gore?"

Pa, dat ću samo jedno svojstvo zbog kojeg nova definicija postaje odgovarajuća. Na primjer, pravilo eksponencijalnosti:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Imajte na umu: korijenski izraz možemo podići na bilo koji stepen i istovremeno pomnožiti korijenski eksponent istom potencijom - i rezultat će biti isti broj! Evo nekoliko primjera:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Pa, šta nije u redu s tim? Zašto to nismo mogli ranije? Evo zašto. Zamislite jednostavan izraz: $\sqrt(-2)$ je broj koji je sasvim normalan u našem klasičnom smislu, ali apsolutno neprihvatljiv sa stanovišta aritmetičkog korijena. Pokušajmo to pretvoriti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Kao što vidite, u prvom slučaju smo minus izvadili ispod radikala (imamo pravo, jer je indikator neparan), au drugom smo koristili gornju formulu. One. sa stanovišta matematike, sve se radi po pravilima.

WTF?! Kako isti broj može biti i pozitivan i negativan? Nema šanse. Samo formula eksponencijalnosti, koja odlično radi za pozitivne brojeve i nulu, počinje da daje potpunu jeres u slučaju negativnih brojeva.

Ovdje su, kako bi se riješili takve dvosmislenosti, došli do aritmetičkih korijena. Njima je posvećena posebna velika lekcija, gdje ćemo detaljno razmotriti sva njihova svojstva. Dakle, sada se nećemo zadržavati na njima - lekcija se ionako pokazala predugačkom.

Algebarski korijen: za one koji žele znati više

Dugo sam razmišljao: napraviti ovu temu u posebnom pasusu ili ne. Na kraju sam odlučio da odem odavde. Ovaj materijal je namijenjen onima koji žele još bolje razumjeti korijene - ne više na prosječnom "školskom" nivou, već na nivou bliskom olimpijadi.

Dakle: pored "klasične" definicije korijena $n$-tog stepena iz broja i pripadajuće podjele na parne i neparne indikatore, postoji definicija "odraslih", koja ne ovisi o paritetu i druge suptilnosti uopšte. Ovo se zove algebarski korijen.

Definicija. Algebarski $n$-ti korijen bilo kojeg $a$ je skup svih brojeva $b$ takvih da je $((b)^(n))=a$. Ne postoji dobro utvrđena oznaka za takve korijene, pa samo stavite crticu na vrh:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\) \]

Osnovna razlika u odnosu na standardnu ​​definiciju datu na početku lekcije je u tome što algebarski korijen nije određeni broj, već skup. A pošto radimo sa realnim brojevima, ovaj skup je samo tri tipa:

1. Prazan set. Pojavljuje se kada je potrebno pronaći algebarski korijen parnog stepena iz negativnog broja;
2. Skup koji se sastoji od jednog elementa. Svi korijeni neparnih potencija, kao i korijeni parnih potencija iz nule, spadaju u ovu kategoriju;
3. Konačno, skup može uključivati ​​dva broja - isti $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$ koje smo vidjeli na grafikon kvadratne funkcije. Prema tome, takvo poravnanje je moguće samo kada se iz pozitivnog broja izvuče korijen parnog stepena.

Posljednji slučaj zaslužuje detaljnije razmatranje. Nabrojimo nekoliko primjera da bismo razumjeli razliku.

Primjer. Izračunaj izraze:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Rješenje. Prvi izraz je jednostavan:

\[\overline(\sqrt(4))=\lijevo\( 2;-2 \desno\)\]

To su dva broja koja su dio skupa. Jer svaki od njih na kvadrat daje četvorku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\lijevo\( -3 \desno\)\]

Ovdje vidimo skup koji se sastoji od samo jednog broja. Ovo je sasvim logično, budući da je eksponent korijena neparan.

Konačno, posljednji izraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Imamo prazan set. Jer ne postoji niti jedan realan broj koji će nam, kada se podigne na četvrti (to jest, paran!) stepen, dati negativan broj −16.

Završna napomena. Napominjemo: nisam slučajno posvuda primijetio da radimo sa stvarnim brojevima. Budući da postoje i kompleksni brojevi - tu je sasvim moguće izračunati $\sqrt(-16)$ i mnoge druge čudne stvari.

Međutim, u modernom školskom programu matematike kompleksni brojevi se gotovo nikada ne nalaze. Oni su izostavljeni iz većine udžbenika jer naši zvaničnici smatraju da je tema "preteška za razumjeti".

To je sve. U sljedećoj lekciji ćemo pogledati sva ključna svojstva korijena i konačno naučiti kako pojednostaviti iracionalne izraze. :)

Pogledao sam ponovo u tanjir... I, idemo!

Počnimo s jednostavnim:

Sačekaj minutu. ovo, što znači da to možemo napisati ovako:

Jasno? Evo sljedećeg za vas:

Korijeni rezultirajućih brojeva nisu točno izvučeni? Ne brinite, evo nekoliko primjera:

Ali šta ako ne postoje dva množitelja, već više? Isto! Formula za množenje korijena radi s bilo kojim brojem faktora:

Sada potpuno nezavisni:

odgovori: Dobro urađeno! Slažem se, sve je vrlo lako, glavna stvar je znati tablicu množenja!

Podjela korijena

Shvatili smo množenje korijena, sada idemo na svojstvo dijeljenja.

Da vas podsjetim da formula općenito izgleda ovako:

A to znači to korijen količnika jednak je količniku korijena.

Pa, pogledajmo primjere:

To je sve nauka. A evo primjera:

Nije sve tako glatko kao u prvom primjeru, ali kao što vidite, nema ništa komplikovano.

Šta ako izraz izgleda ovako:

Vi samo trebate primijeniti formulu u obrnutom smjeru:

A evo primjera:

Možete vidjeti i ovaj izraz:

Sve je isto, samo ovdje morate zapamtiti kako prevesti razlomke (ako se ne sjećate, pogledajte temu i vratite se!). Zapamtite? Sada odlučujemo!

Siguran sam da ste se snašli sa svime, sa svime, a sada da pokušamo da malo ukorijenimo.

Eksponencijacija

Šta se događa ako se kvadratni korijen stavi na kvadrat? Jednostavno je, zapamtite značenje kvadratnog korijena broja - ovo je broj čiji je kvadratni korijen jednak.

Dakle, ako kvadriramo broj čiji je kvadratni korijen jednak, šta ćemo onda dobiti?

Pa, naravno!

Pogledajmo primjere:

Sve je jednostavno, zar ne? A ako je korijen u drugom stepenu? Uredu je!

Držite se iste logike i zapamtite svojstva i moguće radnje sa stupnjevima.

Pročitajte teoriju na temu "" i sve će vam postati krajnje jasno.

Na primjer, evo jednog izraza:

U ovom primjeru, stepen je paran, ali šta ako je neparan? Opet, primijenite svojstva snage i faktorirajte sve:

S ovim se čini da je sve jasno, ali kako izvući korijen iz broja u stepenu? Evo, na primjer, ovo:

Prilično jednostavno, zar ne? Šta ako je stepen veći od dva? Slijedimo istu logiku koristeći svojstva stupnjeva:

Pa, je li sve jasno? Zatim riješite svoje primjere:

A evo i odgovora:

Uvod u znak korena

Šta samo nismo naučili da radimo sa korenima! Ostaje samo vježbati unos broja ispod znaka korijena!

Prilično je lako!

Recimo da imamo broj

Šta možemo s tim? Pa, naravno, sakrijte trojku ispod korijena, a zapamtite da je trojka kvadratni korijen!

Zašto nam treba? Da, samo da proširimo naše mogućnosti pri rješavanju primjera:

Kako vam se sviđa ovo svojstvo korijena? Olakšava život? Za mene je to tačno! Samo moramo zapamtiti da možemo unijeti samo pozitivne brojeve ispod predznaka kvadratnog korijena.

Isprobajte i sami ovaj primjer:
Jeste li uspjeli? Hajde da vidimo šta bi trebalo da dobijete:

Dobro urađeno! Uspjeli ste unijeti broj ispod korijenskog znaka! Pređimo na nešto jednako važno - razmislite kako uporediti brojeve koji sadrže kvadratni korijen!

Root Comparison

Zašto bismo trebali naučiti upoređivati ​​brojeve koji sadrže kvadratni korijen?

Veoma jednostavno. Često, u velikim i dugim izrazima na koje se susrećemo na ispitu, dobijemo iracionalan odgovor (sećate li se šta je to? Danas smo već pričali o tome!)

Primljene odgovore moramo postaviti na koordinatnu liniju, na primjer, da bismo odredili koji je interval pogodan za rješavanje jednadžbe. I tu nastaje zamka: na ispitu nema kalkulatora, a bez njega, kako zamisliti koji je broj veći, a koji manji? To je to!

Na primjer, odredite što je veće: ili?

Nećete reći odmah. Pa, hajde da koristimo raščlanjeno svojstvo dodavanja broja ispod predznaka korena?

Zatim naprijed:

Pa, očito, što je veći broj pod znakom korijena, veći je i sam korijen!

One. ako znači .

Iz ovoga čvrsto zaključujemo da I niko nas neće ubediti u suprotno!

Izdvajanje korijena iz velikih brojeva

Prije toga smo uveli faktor pod znakom korijena, ali kako ga izbaciti? Vi samo trebate to izdvojiti i izdvojiti ono što je izvučeno!

Bilo je moguće ići drugim putem i razložiti se na druge faktore:

Nije loše, zar ne? Bilo koji od ovih pristupa je ispravan, odlučite kako se osjećate ugodno.

Faktoring je vrlo koristan kada se rješavaju takvi nestandardni zadaci kao što je ovaj:

Ne plašimo se, mi delujemo! Svaki faktor pod korijenom rastavljamo na zasebne faktore:

A sada probajte sami (bez kalkulatora! Neće biti na ispitu):

Je li ovo kraj? Ne stajemo na pola puta!

To je sve, nije sve tako strašno, zar ne?

Desilo se? Bravo, u pravu si!

Sada probajte ovaj primjer:

A primjer je tvrd orah, tako da ne možete odmah shvatiti kako da mu pristupite. Ali mi smo, naravno, u zubima.

Pa, hajde da počnemo sa faktorima, hoćemo li? Odmah napominjemo da broj možete podijeliti sa (sjetite se znakova djeljivosti):

A sada, pokušajte sami (opet, bez kalkulatora!):

Pa, je li uspjelo? Bravo, u pravu si!

Sažimanje

1. Kvadratni korijen (aritmetički kvadratni korijen) nenegativnog broja je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak.
   .
2. Ako uzmemo samo kvadratni korijen nečega, uvijek ćemo dobiti jedan nenegativan rezultat.
3. Svojstva aritmetičkog korijena:
4. Kada uspoređujete kvadratne korijene, treba imati na umu da što je veći broj pod znakom korijena, veći je i sam korijen.

Kako vam se sviđa kvadratni korijen? Sve jasno?

Pokušali smo da vam bez vode objasnimo sve što trebate znati na ispitu o kvadratnom korijenu.

Tvoj je red. Pišite nam da li vam je ova tema teška ili ne.

Jeste li naučili nešto novo ili je sve već bilo tako jasno.

Pisite u komentare i sretno na ispitima!