Kvantitativna studija biološki fenomeni nužno zahtijevaju stvaranje hipoteza kojima bi se te pojave mogle objasniti. Da bi se testirala ova ili ona hipoteza, sprovodi se niz specijalnih eksperimenata i upoređuju se stvarni dobijeni podaci sa onima koji se teoretski očekuju prema ovoj hipotezi. Ako postoji podudaranje, to može biti dovoljan razlog da se hipoteza prihvati. Ako se eksperimentalni podaci slabo slažu sa teorijski očekivanim, postoji velika sumnja u ispravnost predložene hipoteze.

Stepen usklađenosti stvarnih podataka sa očekivanim (hipotetičkim) mjeri se hi-kvadrat testom:

 stvarno uočena vrijednost karakteristike u ja- igračka; - teoretski očekivani broj ili znak (indikator) za datu grupu, k-broj grupa podataka.

Kriterijum je predložio K. Pearson 1900. godine, a ponekad se naziva i Pearsonov kriterijum.

Zadatak. Među 164 djece koja su naslijedila faktor od jednog roditelja, a faktor od drugog, bilo je 46 djece sa faktorom, 50 sa faktorom, 68 sa faktorom. Izračunajte očekivane frekvencije u odnosu 1:2:1 između grupa i odredite stepen slaganja između empirijskih podataka koristeći Pearsonov test.

Rješenje: Odnos posmatranih frekvencija je 46:68:50, teoretski očekivan 41:82:41.

Postavimo nivo značajnosti na 0,05. Tabelarna vrijednost Pearsonovog testa za ovaj nivo značajnosti sa istim brojem stupnjeva slobode pokazala se 5,99. Stoga se hipoteza o korespondenciji eksperimentalnih podataka sa teorijskim može prihvatiti, jer, .

Imajte na umu da prilikom izračunavanja hi-kvadrat testa više ne postavljamo uslov za neophodnu normalnost distribucije. Hi-kvadrat test se može koristiti za bilo koju distribuciju koju slobodno biramo u našim pretpostavkama. Postoji određena univerzalnost u ovom kriteriju.

Druga primjena Pearsonovog kriterija je poređenje empirijske raspodjele s Gaussovom normalnom distribucijom. Istovremeno se može pripisati grupi kriterijuma za provjeru normalnosti distribucije. Jedino ograničenje je činjenica da ukupan broj vrijednosti (varijanti) pri korištenju ovog kriterija mora biti dovoljno velik (najmanje 40), a broj vrijednosti u pojedinim klasama (intervalima) mora biti najmanje 5. U suprotnom, susjedne intervale treba kombinirati. Broj stupnjeva slobode prilikom provjere normalnosti distribucije treba izračunati kao:.

1. Fišerov kriterijum.

Ovaj parametarski test služi za testiranje nulte hipoteze o jednakosti varijansi normalno raspoređenih populacija.

Or.

Za male veličine uzorka, primjena Studentovog t-testa može biti ispravna samo ako su varijanse jednake. Stoga, prije testiranja jednakosti srednjih vrijednosti uzorka, potrebno je uvjeriti se da je Studentov t-test valjan.

gdje N 1 , N 2  veličine uzoraka,  1 ,  2 - broj stupnjeva slobode za ove uzorke.

Kada se koriste tabele, treba napomenuti da se broj stepeni slobode za uzorak sa većom varijansom bira kao broj kolone tabele, a za manju varijansu kao broj reda tabele.

Za nivo značajnosti prema tabelama matematičke statistike nalazimo tabelarnu vrijednost. Ako, onda se hipoteza o jednakosti varijansi odbacuje za odabrani nivo značajnosti.

Primjer. Proučavao se uticaj kobalta na tjelesnu težinu kunića. Eksperiment je izveden na dvije grupe životinja: oglednoj i kontrolnoj. Iskusni su dobili dodatak prehrani u obliku vodene otopine kobalt hlorida. Tokom eksperimenta, debljanje je bilo u gramima:

Test \(\chi^2\) ("hi-kvadrat", takođe "Pearsonov test dobrote uklapanja") ima izuzetno široku primenu u statistici. AT opšti pogled možemo reći da se koristi za testiranje nulte hipoteze o poslušnosti posmatranog slučajna varijabla određeni teorijski zakon distribucije (za više detalja pogledajte, na primjer,). Specifične formulacije provjerljiva hipoteza će se razlikovati od slučaja do slučaja.

U ovom postu ću opisati kako radi \(\chi^2\) test koristeći (hipotetički) primjer iz imunologije. Zamislite da smo izvršili eksperiment kako bismo utvrdili efikasnost suzbijanja razvoja mikrobne bolesti kada se u organizam unesu odgovarajuća antitijela. Ukupno je u eksperimentu bilo uključeno 111 miševa koje smo podijelili u dvije grupe, uključujući 57 odnosno 54 životinje. Prvoj grupi miševa ubrizgane su patogene bakterije, nakon čega je uslijedilo uvođenje krvnog seruma koji sadrži antitijela protiv ovih bakterija. Životinje iz druge grupe su služile kao kontrola - primale su samo bakterijske injekcije. Nakon nekog vremena inkubacije, ispostavilo se da je 38 miševa umrlo, a 73 preživjela. Od poginulih, 13 je pripadalo prvoj grupi, a 25 drugoj (kontrolnoj). testirano u ovom eksperimentu Nulta hipoteza može se formulisati na sljedeći način: uvođenje seruma s antitijelima nema efekta na preživljavanje miševa. Drugim riječima, tvrdimo da su uočene razlike u preživljavanju miševa (77,2% u prvoj grupi naspram 53,7% u drugoj grupi) potpuno slučajne i da nisu povezane s djelovanjem antitijela.

Podaci dobijeni eksperimentom mogu se prikazati u obliku tabele:

Tabele poput ove se zovu tabele nepredviđenih okolnosti. U ovom primjeru tabela ima dimenziju 2x2: postoje dvije klase objekata ("Bakterije + serum" i "Samo bakterije"), koji se ispituju prema dva kriterija ("Mrtvi" i "Preživjeli"). to najjednostavniji slučaj tabele nepredviđenih okolnosti: naravno, i broj časova koji se proučavaju i broj karakteristika mogu biti veći.

Da bismo testirali nultu hipotezu formulisanu gore, moramo znati kakva bi bila situacija da antitijela ne bi imala nikakav učinak na preživljavanje miševa. Drugim riječima, morate izračunati očekivane frekvencije za odgovarajuće ćelije tabele nepredviđenih situacija. Kako uraditi? U eksperimentu je umrlo ukupno 38 miševa, što je 34,2%. ukupan broj uključene životinje. Ukoliko uvođenje antitela ne utiče na preživljavanje miševa, u obe eksperimentalne grupe treba posmatrati isti procenat mortaliteta, odnosno 34,2%. Računajući koliko je 34,2% od 57 i 54, dobijamo 19,5 i 18,5. Ovo su očekivane stope mortaliteta u našim eksperimentalnim grupama. Očekivane stope preživljavanja izračunate su na sličan način: budući da je ukupno preživjelo 73 miša, ili 65,8% njihovog ukupnog broja, očekivane stope preživljavanja su 37,5 i 35,5. Napravimo novu tabelu nepredviđenih okolnosti, sada sa očekivanim frekvencijama:

Kao što vidite, očekivane frekvencije se dosta razlikuju od posmatranih, tj. Čini se da primjena antitijela ima utjecaj na preživljavanje miševa zaraženih patogenom. Možemo kvantifikovati ovaj utisak koristeći Pearsonov test ispravnosti \(\chi^2\):

\[\chi^2 = \sum_()\frac((f_o - f_e)^2)(f_e),\]

\[\chi^2 = (13 – 19,5)^2/19,5 + (44 – 37,5)^2/37,5 + (25 – 18,5)^2/18,5 + (29 – 35,5)^2/35,5 = \]

Da li je \(\chi^2\) dovoljno velik da odbaci nultu hipotezu? Za odgovor na ovo pitanje potrebno je pronaći odgovarajuću kritičnu vrijednost kriterija. Broj stepeni slobode za \(\chi^2\) se izračunava kao \(df = (R - 1)(C - 1)\), gdje su \(R\) i \(C\) broj konjugacije redova i kolona u tabeli. U našem slučaju \(df = (2 -1)(2 - 1) = 1\). Znajući broj stupnjeva slobode, sada možemo lako pronaći kritičnu vrijednost \(\chi^2\) koristeći standardnu ​​R-funkciju qchisq():

Dakle, za jedan stepen slobode vrijednost kriterija \(\chi^2\) prelazi 3,841 samo u 5% slučajeva. Vrijednost koju smo dobili, 6,79, značajno premašuje ovu kritičnu vrijednost, što nam daje za pravo da odbacimo nultu hipotezu da ne postoji veza između primjene antitijela i preživljavanja zaraženih miševa. Odbacivanjem ove hipoteze, rizikujemo da pogrešimo sa verovatnoćom manjom od 5%.

Treba napomenuti da gornja formula za kriterij \(\chi^2\) daje donekle precijenjene vrijednosti kada se radi sa kontingentnim tablicama veličine 2x2. Razlog je taj što je sama distribucija kriterija \(\chi^2\) kontinuirana, dok su frekvencije binarnih karakteristika ("umrlo" / "preživjelo") diskretne po definiciji. S tim u vezi, kod izračunavanja kriterijuma uobičajeno je da se uvede tzv. korekcija kontinuiteta, ili Yatesov amandman :

\[\chi^2_Y = \sum_()\frac((|f_o - f_e| - 0.5)^2)(f_e).\]

Pearson "s Hi-kvadrat test sa Yatesom" podaci korekcije kontinuiteta: miševi X-kvadrat = 5,7923, df = 1, p-vrijednost = 0,0161

Hi-kvadrat distribucija je jedna od najčešće korištenih u statistici za testiranje statističke hipoteze. Na osnovu "hi-kvadrat" distribucije, konstruisan je jedan od najmoćnijih testova dobrote uklapanja, Pirsonov "hi-kvadrat" test.

Test ispravnosti je kriterij za testiranje hipoteze o predloženom zakonu nepoznate raspodjele.

χ2 ("hi-kvadrat") test se koristi za testiranje hipoteze različitih distribucija. To je njegova zasluga.

Proračunska formula kriterija je jednaka

gdje su m i m' empirijske i teorijske frekvencije, respektivno

distribucija koja se razmatra;

n je broj stepeni slobode.

Za verifikaciju, potrebno je da uporedimo empirijske (opažene) i teorijske (izračunate pod pretpostavkom normalna distribucija) frekvencija.

Ako se empirijske frekvencije potpuno poklapaju sa frekvencijama izračunatim ili očekivanim, S (E - T) = 0, a kriterij χ2 će također biti jednak nuli. Ako S (E - T) nije jednako nuli, to će ukazati na neslaganje između izračunatih frekvencija i empirijskih frekvencija serije. U takvim slučajevima potrebno je procijeniti značaj χ2 kriterija, koji teoretski može varirati od nule do beskonačnosti. Ovo se radi upoređivanjem stvarno dobijene vrijednosti χ2ph sa njegovom kritičnom vrijednošću (χ2st).Nulta hipoteza, tj. pretpostavka da je neslaganje između empirijske i teorijske ili očekivane frekvencije nasumično, pobija se ako je χ2ph veći ili jednak do χ2. za prihvaćeni nivo značajnosti (a) i broj stepena slobode (n).

Distribucija vjerojatnih vrijednosti slučajne varijable χ2 je kontinuirana i asimetrična. Zavisi od broja stupnjeva slobode (n) i približava se normalnoj raspodjeli kako se broj opažanja povećava. Stoga je primjena χ2 kriterija na procjenu diskretne distribucije je povezan sa nekim greškama koje utiču na njegovu vrednost, posebno za male uzorke. Da bi se dobile preciznije procjene, uzorak je distribuiran u varijantne serije, mora imati najmanje 50 opcija. Ispravna primjena Kriterijum χ2 takođe zahteva da frekvencije varijanti u ekstremnim klasama ne budu manje od 5; ako ih je manje od 5, onda se kombinuju sa frekvencijama susjednih klasa tako da je njihov ukupni iznos veći ili jednak 5. U skladu sa kombinacijom frekvencija, smanjuje se i broj klasa (N). Broj stupnjeva slobode se postavlja prema sekundarnom broju klasa, uzimajući u obzir broj ograničenja slobode varijacije.

Pošto tačnost određivanja kriterijuma χ2 u velikoj meri zavisi od tačnosti izračunavanja teorijskih frekvencija (T), za dobijanje razlike između empirijske i izračunate frekvencije treba koristiti nezaokružene teorijske frekvencije.

Kao primjer, uzmite studiju objavljenu na web stranici posvećenoj aplikaciji statističke metode u humanističkim naukama.

Hi-kvadrat test omogućava poređenje frekvencijskih distribucija, bez obzira da li su one normalno raspoređene ili ne.

Učestalost se odnosi na broj pojavljivanja događaja. Obično se učestalost pojavljivanja događaja bavi kada se varijable mjere u skali imena i njihove druge karakteristike, osim učestalosti, nemoguće je ili problematično odabrati. Drugim riječima, kada varijabla ima kvalitativne karakteristike. Takođe, mnogi istraživači imaju tendenciju da prevedu rezultate testova u nivoe (visoki, srednji, niski) i prave tabele distribucije rezultata kako bi saznali broj ljudi na ovim nivoima. Da bi se dokazalo da je na jednom od nivoa (u jednoj od kategorija) broj ljudi zaista veći (manji), koristi se i hi-kvadrat koeficijent.

Pogledajmo najjednostavniji primjer.

Proveden je test samopoštovanja među mlađim adolescentima. Rezultati testova su prevedeni u tri nivoa: visok, srednji, nizak. Frekvencije su raspoređene na sljedeći način:

Visoka (H) 27 pers.

Srednje (C) 12 osoba

Niska (H) 11 pers.

Očigledno je da je većina djece sa visokim samopoštovanjem, međutim, to treba statistički dokazati. Da bismo to učinili, koristimo Hi-kvadrat test.

Naš zadatak je provjeriti da li se dobijeni empirijski podaci razlikuju od teorijski jednako vjerovatnih. Da biste to učinili, potrebno je pronaći teorijske frekvencije. U našem slučaju, teorijske frekvencije su jednako vjerojatne frekvencije koje se nalaze sabiranjem svih frekvencija i dijeljenjem sa brojem kategorija.

u našem slučaju:

(B + C + H) / 3 = (27 + 12 + 11) / 3 = 16,6

Formula za izračunavanje hi-kvadrat testa je:

χ2 = ∑(E - T)Í / T

Pravimo sto:

Pronađite zbir zadnje kolone:

Sada morate pronaći kritičnu vrijednost kriterija prema tabeli kritičnih vrijednosti (tabela 1 u dodatku). Da bismo to učinili, potreban nam je broj stupnjeva slobode (n).

n = (R - 1) * (C - 1)

gdje je R broj redova u tabeli, C je broj kolona.

U našem slučaju postoji samo jedna kolona (što znači originalne empirijske frekvencije) i tri reda (kategorije), pa se formula mijenja - izuzimamo kolone.

n = (R - 1) = 3-1 = 2

Za vjerovatnoću greške p≤0,05 i n = 2, kritična vrijednost χ2 = 5,99.

Dobijena empirijska vrijednost je veća od kritične vrijednosti – razlike u frekvenciji su značajne (χ2= 9,64; p≤0,05).

Kao što vidite, izračunavanje kriterija je vrlo jednostavno i ne oduzima puno vremena. Praktična vrijednost hi-kvadrat testa je ogromna. Ova metoda je najvrednija u analizi odgovora na upitnike.

Uzmimo složeniji primjer.

Na primjer, psiholog želi da zna da li je istina da su nastavnici pristrasniji prema dječacima nego prema djevojčicama. One. verovatnije je da hvali devojke. Da bi to uradila, psiholog je analizirao karakteristike učenika koje su napisali nastavnici za učestalost pojavljivanja tri reči: „aktivan“, „marljiv“, „disciplinovan“, prebrojani su i sinonimi reči. Podaci o učestalosti pojavljivanja riječi uneseni su u tabelu:

Za obradu dobijenih podataka koristimo hi-kvadrat test.

Da bismo to uradili, konstruišemo tabelu raspodele empirijskih frekvencija, tj. frekvencije koje opažamo:

Teoretski, očekujemo da frekvencije budu ravnomjerno raspoređene, tj. učestalost će biti raspoređena proporcionalno između dječaka i djevojčica. Napravimo tabelu teoretskih frekvencija. Da biste to učinili, pomnožite zbir reda sa zbirom kolone i podijelite rezultirajući broj sa ukupnim zbrojem (s).

Dobivena tabela za izračune će izgledati ovako:

χ2 = ∑(E - T)Í / T

n = (R - 1), gdje je R broj redova u tabeli.

U našem slučaju, hi-kvadrat = 4,21; n = 2.

Prema tabeli kritičnih vrijednosti kriterija nalazimo: pri n = 2 i nivou greške od 0,05, kritična vrijednost χ2 = 5,99.

Rezultirajuća vrijednost je manja od kritične vrijednosti, što znači da je nulta hipoteza prihvaćena.

Zaključak: nastavnici ne pridaju značaj polu djeteta kada pišu njegove karakteristike.

Zaključak.

K. Pearson je dao značajan doprinos razvoju matematičke statistike (veliki broj fundamentalnih koncepata). Glavni Pearsonov filozofski stav je formulisan na sledeći način: koncepti nauke su veštačke konstrukcije, sredstva za opisivanje i uređivanje čulnog iskustva; pravila za njihovo povezivanje u naučne predloge izdvaja gramatika nauke, a to je filozofija nauke. Povezivanje heterogenih pojmova i fenomena omogućava univerzalna disciplina – primijenjena statistika, iako je prema Pearsonu i subjektivna.

Mnoge konstrukcije K. Pearsona su direktno povezane ili razvijene korištenjem antropoloških materijala. Razvio je brojne metode numeričke klasifikacije i statističke kriterijume koji se koriste u svim oblastima nauke.

Književnost.

1. A. N. Bogoljubov, Matematika. Mehanika. Biografski vodič. - Kijev: Naukova dumka, 1983.

2. Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (ur.). Matematika 19. veka. - M.: Nauka. - T.I.

3. 3. Borovkov A.A. Math statistics. Moskva: Nauka, 1994.

4. 8. Feller V. Uvod u teoriju vjerovatnoće i njene primjene. - M.: Mir, T.2, 1984.

5. 9. Harman G., Moderna faktorska analiza. - M.: Statistika, 1972.

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije

Federalna agencija za obrazovanje grada Irkutska

Baikal Državni univerzitet ekonomija i pravo

Katedra za informatiku i kibernetiku

Hi-kvadrat raspodjela i njena primjena

Kolmykova Anna Andreevna

Student 2. godine

grupa IS-09-1

Za obradu dobijenih podataka koristimo hi-kvadrat test.

Da bismo to uradili, konstruišemo tabelu raspodele empirijskih frekvencija, tj. frekvencije koje opažamo:

Teoretski, očekujemo da frekvencije budu ravnomjerno raspoređene, tj. učestalost će biti raspoređena proporcionalno između dječaka i djevojčica. Napravimo tabelu teoretskih frekvencija. Da biste to učinili, pomnožite zbir reda sa zbirom kolone i podijelite rezultirajući broj sa ukupnim zbrojem (s).

Dobivena tabela za izračune će izgledati ovako:

χ2 \u003d ∑ (E - T)² / T

n = (R - 1), gdje je R broj redova u tabeli.

U našem slučaju, hi-kvadrat = 4,21; n = 2.

Prema tabeli kritičnih vrijednosti kriterija nalazimo: pri n = 2 i nivou greške od 0,05, kritična vrijednost χ2 = 5,99.

Rezultirajuća vrijednost je manja od kritične vrijednosti, što znači da je nulta hipoteza prihvaćena.

Zaključak: nastavnici ne pridaju značaj polu djeteta kada pišu njegove karakteristike.

Aplikacija

Kritične tačke distribucije χ2

Tabela 1

Zaključak

Studenti gotovo svih specijalnosti studiraju na kraju kursa više matematike odeljenje „teorija verovatnoće i matematička statistika“, u stvarnosti se upoznaju samo sa nekim osnovnim pojmovima i rezultatima, koji očito nisu dovoljni praktičan rad. Studenti se susreću sa nekim matematičkim metodama istraživanja u specijalnim predmetima (na primjer, kao što su "Prognoziranje i planiranje izvodljivosti", "Tehnička i ekonomska analiza", "Kontrola kvaliteta proizvoda", "Marketing", "Kontroliranje", " Matematičke metode Predviđanje“, „Statistika“ itd. – u slučaju studenata ekonomskih specijalnosti), međutim, prezentacija je u većini slučajeva vrlo skraćena i propisne prirode. Kao rezultat toga, stručnjaci za primijenjenu statistiku nemaju dovoljno znanja.

Zbog toga veliki značaj ima kurs "Primijenjena statistika" u tehnički univerziteti, i u ekonomskih univerziteta- predmet "Ekonometrija", pošto je ekonometrija, kao što znate, Statistička analiza specifični ekonomski podaci.

Teorija vjerovatnoće i matematička statistika pružaju osnovna znanja za primijenjenu statistiku i ekonometriju.

Potrebni su specijalistima za praktičan rad.

Razmatrao sam kontinuirani probabilistički model i pokušao na primjerima pokazati njegovu upotrebljivost.

Bibliografija

1. Orlov A.I. Primijenjena statistika. M.: Izdavačka kuća "Ispit", 2004.

2. Gmurman V.E. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. M.: postdiplomske škole, 1999. - 479 str.

3. Ayvozyan S.A. Teorija vjerojatnosti i primijenjena statistika, v.1. M.: Jedinstvo, 2001. - 656s.

4. Khamitov G.P., Vedernikova T.I. Vjerovatnoće i statistika. Irkutsk: BSUEP, 2006 - 272 str.

5. Ezhova L.N. Ekonometrija. Irkutsk: BSUEP, 2002. - 314 str.

6. Mosteller F. Pedeset zabavnih probabilističkih problema s rješenjima. M. : Nauka, 1975. - 111 str.

7. Mosteller F. Vjerovatnoća. M. : Mir, 1969. - 428s.

8. Yaglom A.M. Vjerovatnoća i informacija. M. : Nauka, 1973. - 511 str.

9. Čistjakov V.P. Kurs vjerovatnoće. M.: Nauka, 1982. - 256 str.

10. Kremer N.Sh. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. M.: UNITI, 2000. - 543 str.

11. Matematička enciklopedija, v.1. M.: Sovjetska enciklopedija, 1976. - 655s.

12. http://psystat.at.ua/ - Statistika u psihologiji i pedagogiji. Članak Hi-kvadrat test.

Distribucija. Pearsonova distribucija Gustoća vjerovatnoće ... Wikipedia

hi-kvadrat raspodjela- distribucija "chi square" - Teme informaciona sigurnost EN chi square distribucija... Priručnik tehničkog prevodioca

hi-kvadrat distribucije- Distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable sa vrijednostima od 0 do, čija je gustina data formulom, gdje je 0 sa parametrom =1,2,...; je gama funkcija. Primjeri. 1) Zbroj kvadrata nezavisnih normaliziranih normalnih slučajnih ... ... Rječnik sociološke statistike

HI-KVADRAT DISTRIBUCIJA (chi2)- Distribucija slučajne varijable chi2 ako su slučajni uzorci veličine 1 uzeti iz normalne distribucije sa srednjom (i varijansom q2, onda je chi2 = (X1 u)2/q2, gdje je X vrijednost uzorka. Ako se veličina uzorka proizvoljno povećava do N, tada chi2 = … …

Gustoća vjerovatnoće ... Wikipedia

- (Snedecor distribucija) Gustoća vjerovatnoće ... Wikipedia

Fisherova distribucija Gustoća vjerovatnoće Funkcija distribucije Broj parametara sa ... Wikipedia

Jedan od osnovnih pojmova teorije vjerovatnoće i matematičke statistike. At moderan pristup kao matematički modelu slučajnog fenomena koji se proučava, uzima se odgovarajući prostor vjerovatnoće (W, S, P), gdje je W skup elementarnih ... Mathematical Encyclopedia

Gama distribucija Gustoća vjerovatnoće Funkcija distribucije Parametri ... Wikipedia

F DISTRIBUCIJA- Teorijska raspodjela vjerovatnoće slučajne varijable F. Ako se slučajni uzorci veličine N biraju nezavisno od normalne populacije, svaki od njih generiše hi-kvadrat distribuciju sa stepenom slobode = N. Omjer dva takva ... . .. Rječnik u psihologiji

Knjige

• Teorija vjerojatnosti i matematička statistika u zadacima. Više od 360 zadataka i vježbi, Borzykh D.A. Predloženi priručnik sadrži zadatke različitim nivoima teškoće. Međutim, glavni naglasak je stavljen na zadatke srednje složenosti. Ovo je namjerno učinjeno kako bi se učenici podstakli da…