Lekcija na temu Trigonometrijske funkcije ugaonog argumenta. Trigonometrijske funkcije numeričkog i kutnog argumenta. Objašnjenje novog materijala

Video tutorial « Trigonometrijske funkcije kutni argument" je vizuelni materijal za izvođenje časa matematike na relevantnu temu. Video je sastavljen tako da je proučavano gradivo predstavljeno što je više moguće učenicima za razumijevanje, lako pamtljivo, dobro otkriva vezu između dostupnih informacija o trigonometrijskim funkcijama iz odjeljka proučavanja trokuta i njihove definicije koristeći jedinični krug. To može postati samostalni dio lekcija, jer u potpunosti pokriva ovu temu, dopunjena važnim komentarima tokom bodovanja.

Da jasno pokaže vezu razne definicije trigonometrijske funkcije, koriste se animacijski efekti. Isticanje teksta u boji, jasne razumljive konstrukcije, dopunjavanje komentarima pomaže da se brzo savlada, zapamti gradivo i brže postignu ciljevi lekcije. Veza između definicija trigonometrijskih funkcija jasno je prikazana korištenjem efekata animacije i isticanja boja, doprinoseći razumijevanju i pamćenju materijala. Priručnik je usmjeren na poboljšanje efikasnosti obuke.

Lekcija počinje uvodom u temu. Zatim se prisjećaju definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. oštar ugao pravougaonog trougla. Definicija istaknuta u okviru podsjeća da su sinus i kosinus formirani kao omjer kateta i hipotenuze, a tangenta i kotangens su formirani omjerom kateta. Učenici se također podsjećaju na nedavno proučavani materijal da kada se razmatra tačka koja pripada jediničnom krugu, apscisa tačke je kosinus, a ordinata je sinus broja koji odgovara ovoj tački. Povezanost ovih pojmova prikazana je pomoću konstrukcije. Na ekranu se prikazuje jedinični krug, postavljen tako da mu se centar poklapa sa ishodištem. Zraka se konstruiše iz početka koordinata, čineći ugao α sa pozitivnom poluosom apscise. Ova zraka seče jediničnu kružnicu u tački O. Okomite se spuštaju od tačke do apscise i y-ose, pokazujući da koordinate ove tačke određuju kosinus i sinus ugla α. Primećuje se da je dužina luka AO od tačke preseka jedinične kružnice sa pozitivnim smerom ose apscise do tačke O isti deo celog luka kao i ugao α od 360°. Ovo vam omogućava da napravite proporciju α/360=t/2π, koja je prikazana upravo tamo i označena crvenom bojom za pamćenje. Vrijednost t=πα/180° se izvodi iz ove proporcije. Uzimajući ovo u obzir, određuje se odnos između definicija sinusa i kosinusa sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=cost=cosπα/180. Na primjer, dat je nalaz sin60°. Zamjenom stepena mjere ugla u formulu, dobijamo sin π 60°/180°. Smanjujući razlomak za 60, dobijamo sin π/3, koji je jednak √3/2. Primjećuje se da ako je 60° stepen mjera ugla, tada se π/3 naziva radijanska mjera ugla. Postoje dva moguća zapisa o odnosu stepena mjere ugla prema radijanu: 60°=π/3 i 60°=π/3 rad.

Koncept ugla od jednog stepena je definisan kao centralni ugao zasnovan na luku čija dužina 1/360 predstavlja deo obima. Sljedeća definicija otkriva koncept ugla od jednog radijana - centralnog ugla zasnovanog na luku dužine jedan, ili jednak poluprečniku kružnice. Definicije su označene kao važne i istaknute za pamćenje.

Za pretvaranje mjere jednog stupnja kuta u radijan i obrnuto, koristi se formula α ° \u003d πα / 180 rad. Ova formula je istaknuta u okviru na ekranu. Iz ove formule slijedi da je 1°=π/180 rad. U ovom slučaju, jedan radijan odgovara kutu od 180°/π≈57,3°. Primjećuje se da se pri pronalaženju vrijednosti trigonometrijskih funkcija nezavisne varijable t može smatrati i numeričkim i kutnim argumentom.

Nadalje, prikazani su primjeri korištenja stečenog znanja u toku rješavanja matematičkih zadataka. U primjeru 1 potrebno je pretvoriti vrijednosti iz stupnjeva u radijane 135° i 905°. Na desnoj strani ekrana nalazi se formula koja prikazuje odnos između stepena i radijana. Nakon zamjene vrijednosti u formulu, dobijamo (π/180) 135. Nakon što ovaj razlomak smanjimo za 45, dobijamo vrijednost 135°=3π/4. Za pretvaranje ugla od 905° u radijane koristi se ista formula. Nakon zamjene vrijednosti u nju, ispada (π / 180) 905 \u003d 181π / 36 rad.

U drugom primjeru riješen je inverzni problem - nađena je mjera stepena uglova izražena u radijanima π/12, -21π/20, 2,4π. Na desnoj strani ekrana se prisjeća proučavana formula za odnos između stupnja i radijanske mjere kuta 1 rad = 180 ° / π. Svaki primjer se rješava zamjenom radijanske mjere u formulu. Zamjenom π/12, dobijamo (180°/π)·(π/12)=15°. Slično, pronađene su vrijednosti preostalih uglova -21π/20=-189° i 2,4π=432°.

Video lekciju "Trigonometrijske funkcije kutnog argumenta" preporučujemo da se koristi u tradicionalnim časovima matematike kako bi se povećala efikasnost učenja. Materijal će pomoći u pružanju vizualizacije učenja tokom učenja na daljinu na ovu temu. Detaljno, razumljivo objašnjenje teme, rješavanje problema na njoj može pomoći učeniku da samostalno savlada gradivo.

TUMAČENJE TEKSTA:

"Trigonometrijske funkcije kutnog argumenta".

Iz geometrije već znamo da je sinus (kosinus) oštrog ugla pravokutnog trokuta omjer kateta i hipotenuze, a tangenta (kotangenta) je omjer kateta. A u algebri apscisu tačke na jediničnom krugu nazivamo kosinusom, a ordinatu ove tačke sinusom. Potrudićemo se da sve ovo bude usko povezano.

Postavimo ugao sa stepenom mere α° (alfa stepeni), kao što je prikazano na slici 1: vrh ugla je kompatibilan sa centrom jedinične kružnice (sa ishodištem koordinatnog sistema), a jedna strana ugla ugao je kompatibilan sa pozitivnim zrakom x-ose. Druga strana ugla seče kružnicu u tački O. Ordinata tačke O je sinus ugla alfa, a apscisa ove tačke je kosinus od alfa.

Imajte na umu da je luk AO isti dio dužine jedinične kružnice kao i ugao alfa iz ugla od trista šezdeset stepeni. Označimo dužinu AO luka kroz t(te), tada ćemo napraviti proporciju =

(alfa se odnosi na trustove od šezdeset kao te prema dva pi) Odavde nalazimo te: t = = (te je jednako pi alfa podijeljeno sa sto osamdeset).

Dakle, da biste pronašli sinus ili kosinus ugla alfa stepeni, možete koristiti formulu:

sin α ° \u003d sint \u003d sin (sinus alfa stupnjeva jednak je sinusu od te i jednak je sinusu privatnog pi alfa na sto osamdeset),

cosα° \u003d trošak = cos (kosinus alfa stupnjeva jednak je kosinsu od te i jednak je kosinusu privatnog pi alfa na sto osamdeset).

Na primjer, sin 60 ° \u003d sin \u003d sin \u003d (sinus od šezdeset stupnjeva jednak je sinusu pi za tri, prema tablici osnovnih vrijednosti sinusa, jednak je korijenu od tri po dva).

Vjeruje se da je 60 ° stepen mjera ugla, a (pi sa tri) radijanska mjera istog ugla, odnosno 60 ° = drago(šezdeset stepeni je jednako pi puta tri radijana). Radi kratkoće, dogovorili smo se za označavanje drago izostaviti, odnosno dozvoljena je sljedeća oznaka: 60°= (prikaži skraćenice radijanska mjera = rad.)

Ugao od jednog stepena je centralni ugao, koji se zasniva na luku koji je (tristo šezdeseti) dio luka. Ugao od jednog radijana je centralni ugao koji počiva na luku dužine jedan, odnosno na luku čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice (smatramo centralne uglove jedinične kružnice da pokazuju ugao u pi radijani na kružnici).

Prisjetimo se važne formule za pretvaranje mjere stepena u radijan:

α° = drago. (alfa je jednako pi alfa podijeljeno sa sto osamdeset radijana) Konkretno, 1° = drago(jedan stepen je jednak pi podijeljen sa sto osamdeset radijana).

Iz ovoga možemo otkriti da je jedan radijan jednak omjeru od sto osamdeset stepeni prema pi i približno je jednak pedeset sedam tačaka tri desetine stepena: 1 drago= ≈ 57,3°.

Iz gore navedenog: kada govorimo o bilo kojoj trigonometrijskoj funkciji, na primjer, o funkciji s \u003d sint (es je jednako sinus te), nezavisna varijabla t (te) može se smatrati i numeričkim argumentom i kutnim argumentom.

Razmotrite primjere.

PRIMJER 1. Pretvori iz stepeni u radijane: a) 135°; b) 905°.

Rješenje. Koristimo formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane:

a) 135° = 1° ∙ 135 = drago ∙ 135 = drago

(sto trideset i pet stepeni je jednako pi puta sto osamdeset radijana puta sto trideset pet, a nakon smanjenja je tri pi puta četiri radijana)

b) Slično, koristeći formulu za pretvaranje stepena mjere u radijan, dobijamo

905° = drago ∙ 905 = drago.

(devetsto pet stepeni jednako je sto osamdeset jedan pi puta trideset šest radijana).

PRIMJER 2. Izraziti u stepenima: a) ; b) -; c) 2.4π

(pi puta dvanaest; minus dvadeset jedan pi puta dvadeset; dva zareza četiri desetinke pi).

Rješenje. a) Izrazite u stupnjevima pi sa dvanaest, koristite formulu za prevođenje radijanske mjere ugla u mjeru stupnjeva u 1 drago=, dobijamo

drago = 1 drago∙ = ∙ = 15°

Slično b) - = 1 drago∙ (-) \u003d ∙ (-) = 189 ° (minus dvadeset jedan pi sa dvadeset jednako je minus sto osamdeset devet stepeni),

c) 2,4π = 1 drago∙ 2,4π = ∙ 2,4π = 432° (dve tačke četiri od pi su četiri stotine trideset dva stepena).

Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta analizirali smo. Uzeli smo tačku A na kružnici i tražili sinuse i kosinuse iz rezultirajućeg ugla β.

Tačku smo označili kao A, ali se u algebri često označava kao t i sve formule/funkcije su date s njom. Takođe nećemo odstupiti od kanona. One. t - to će biti određeni broj, i stoga numerička funkcija(npr. sint)

Logično je da, pošto imamo krug poluprečnika jedan, onda

Trigonometrijske funkcije kutnog argumenta također smo ga uspješno raščlanili - prema kanonima, pisaćemo za takve funkcije: sin α °, što znači pod α ° bilo koji ugao sa brojem stepeni koji nam je potreban.

Zraka ovog ugla će nam dati drugu tačku na kružnici (OA - tačka A) i odgovarajuće tačke C i B za numeričku argument funkciju, ako nam je potrebna: sin t = sin α°

Prave sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Nikad to ne zaboravi y-osa je sinusna linija, x-osa je linija kosinusa! Tačke dobijene iz kruga su označene na ovim osama.

ALI linije tangenta i kotangensa su paralelne s njima i prolaze kroz tačke (1; 0) i (0; 1) respektivno.

Kako god pravi broj t se može uzeti, može mu se dodijeliti jedinstveno definirani broj sin t. Istina, pravilo korespondencije je prilično komplikovano; kao što smo vidjeli gore, sastoji se u sljedećem.

Da biste pronašli vrijednost sin t po broju t, trebate:

1) postaviti brojevnu kružnicu u koordinatnu ravan tako da se centar kružnice poklapa sa ishodištem koordinata, a početna tačka A kružnice udari u tačku (1; 0);

2) naći tačku na kružnici koja odgovara broju t;

3) naći ordinatu ove tačke.

Ova ordinata je sin t.

Zapravo mi pričamo o funkciji u = sin t, gdje je t bilo koji realan broj.

Sve ove funkcije se pozivaju trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta t.

Postoji niz odnosa koji povezuju vrijednosti različitih trigonometrijskih funkcija, neke od ovih relacija smo već dobili:

sin 2 t + cos 2 t = 1

Iz posljednje dvije formule lako je dobiti relaciju koja povezuje tg t i ctg t:

Sve ove formule koriste se u onim slučajevima kada je, znajući vrijednost bilo koje trigonometrijske funkcije, potrebno izračunati vrijednosti preostalih trigonometrijskih funkcija.

Izrazi "sinus", "kosinus", "tangenta" i "kotangenta" su zapravo bili poznati, međutim, i dalje su se koristili u nešto drugačijoj interpretaciji: u geometriji i fizici su smatrali sinus, kosinus, tangentu i kotangens. g l a(ali ne

brojevi, kao što je to bilo u prethodnim paragrafima).

Iz geometrije je poznato da je sinus (kosinus) oštrog ugla omjer kateta pravokutnog trokuta i njegove hipotenuze, a tangenta (kotangenta) ugla je omjer kateta pravokutnog trokuta. U prethodnim paragrafima razvijen je drugačiji pristup konceptima sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa. U stvari, ovi pristupi su međusobno povezani.

Uzmimo ugao sa stepenom b o i uredimo ga u modelu "numerički krug u pravougaonom koordinatnom sistemu" kao što je prikazano na sl. četrnaest

kutni vrh kompatibilan sa sredinom

krugovi (sa ishodištem koordinatnog sistema),

i jedna strana ugla je kompatibilna sa

pozitivni zrak x-ose. tačka

presek druge strane ugla sa

krug će biti označen slovom M. Ordina-

Slika 14 b o , a apscisa ove tačke je kosinus ugla b o .

Za pronalaženje sinusa ili kosinusa ugla b o uopće nije potrebno svaki put praviti ove vrlo složene konstrukcije.

Dovoljno je napomenuti da je luk AM isti dio dužine numeričke kružnice kao i ugao b o iz ugla od 360°. Ako je dužina luka AM označena slovom t, dobijamo:

Na ovaj način,

Na primjer,

Vjeruje se da je 30° mjera stepena ugla i radijanska mjera istog ugla: 30° = rad. općenito:

Posebno mi je drago odakle, zauzvrat, dolazimo.

Dakle, šta je 1 radijan? Postoje različite mjere dužine segmenata: centimetri, metri, jardi itd. Postoje i različite mjere za označavanje veličine uglova. Razmatramo centralne uglove jedinične kružnice. Ugao od 1° je središnji ugao zasnovan na luku koji je dio kružnice. Ugao od 1 radijan je centralni ugao zasnovan na luku dužine 1, tj. na luku čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice. Iz formule dobivamo da je 1 rad = 57,3 °.

Uzimajući u obzir funkciju u = sin t (ili bilo koju drugu trigonometrijsku funkciju), nezavisnu varijablu t možemo smatrati numeričkim argumentom, kao što je bio slučaj u prethodnim paragrafima, ali ovu varijablu možemo smatrati i merom ugla, tj. ugaoni argument. Stoga je, govoreći o trigonometrijskoj funkciji, u određenom smislu indiferentno smatrati je funkcijom numeričkog ili kutnog argumenta.

Lekcija i prezentacija na temu: "Trigonometrijska funkcija kutnog argumenta, mjera stepena ugla i radijana"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u online trgovini "Integral" za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni građevinski zadaci
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni zadaci za izgradnju u prostoru

Šta ćemo učiti:
1. Prisjetimo se geometrije.
2. Definicija kutnog argumenta.
3. Stepen mjera ugla.
4. Radijanska mjera ugla.
5. Šta je radijan?
6. Primjeri i zadaci za samostalno rješavanje.

Ponavljanje geometrije

Ljudi, u našim funkcijama:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

Varijabla t može uzeti ne samo numeričke vrijednosti, odnosno biti numerički argument, već se može smatrati i mjerom ugla - kutnim argumentom.

Prisjetimo se geometrije!
Kako smo tamo definirali sinus, kosinus, tangent, kotangens?

Sinus ugla je omjer suprotnog kraka i hipotenuze

Kosinus ugla - omjer susjednog kraka i hipotenuze

Tangent ugla je omjer suprotnog kraka i susjednog.

Kotangens ugla je omjer susjednog kraka i suprotnog.

Definicija trigonometrijske funkcije kutnog argumenta

Definirajmo trigonometrijske funkcije kao funkcije argumenta ugla na brojevnoj kružnici:
Uz pomoć numeričkog kruga i koordinatnog sistema uvijek možemo lako pronaći sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla:

Vrh našeg ugla α postavljamo u centar kružnice, tj. u centar koordinatne ose i postavite jednu od strana tako da se poklapa s pozitivnim smjerom x-ose (OA)
Tada druga stranica siječe brojevnu kružnicu u tački M.

Ordinate tačke M: sinus ugla α
Abscisa tačke M: kosinus ugla α

Imajte na umu da je dužina luka AM isti dio jedinične kružnice kao i naš ugao α od 360 stepeni: gdje je t dužina luka AM.

Stepen mjera ugla

1) Ljudi, dobili smo formulu za određivanje stepena mjere ugla kroz dužinu luka numeričkog kruga, pogledajmo je pobliže:

Zatim zapisujemo trigonometrijske funkcije u obliku:

Na primjer:

Radijanska mjera uglova

Prilikom izračunavanja stepena ili radijanske mjere ugla, zapamtite! :
Na primjer:

Između ostalog! Oznaka rad. možete ispustiti!

Šta je radijan?

Dragi prijatelji, naišli smo na novi koncept - Radian. Pa šta je to?

Postoje različite mjere dužine, vremena, težine, na primjer: metar, kilometar, sekunda, sat, gram, kilogram i druge. Dakle, radijan je jedna od mjera ugla. Vrijedno je uzeti u obzir centralne uglove, odnosno koji se nalaze u središtu numeričkog kruga.
Ugao od 1 stepena je centralni ugao zasnovan na luku koji je jednak 1/360 obima.

Ugao od 1 radijan je centralni ugao zasnovan na luku jednakom 1 u jediničnom krugu, au proizvoljnom krugu na luku jednakom poluprečniku kružnice.

primjeri: