Keng tarqalgan muammoni ko'rib chiqing differensial yordamida funksiya qiymatini taxminiy hisoblash haqida.

Bu erda va quyida biz birinchi darajali differentsiallarga e'tibor qaratamiz; qisqalik uchun biz ko'pincha "differensial" deb aytamiz. Differensial yordamida taxminiy hisob-kitoblar muammosi qat'iy hal algoritmiga ega va shuning uchun alohida qiyinchiliklar bo'lmasligi kerak. Bitta narsa shundaki, kichik tuzoqlar mavjud, ular ham tozalanadi. Shunday qilib, avval boshingizni sho'ng'iring.

Bundan tashqari, bo'limda hisob-kitoblarning mutlaq va nisbiy xatolarini topish uchun formulalar mavjud. Material juda foydali, chunki xatolarni boshqa masalalarda ham hisoblash kerak.

Misollarni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun siz hech bo'lmaganda o'rtacha darajada funktsiyalarning hosilalarini topa olishingiz kerak, shuning uchun agar differentsiatsiya butunlay noto'g'ri bo'lsa, iltimos, quyidagidan boshlang nuqtadagi hosilani topish va bilan nuqtadagi differensialni topish. Texnik vositalardan sizga turli xil mikrokalkulyator kerak bo'ladi matematik funktsiyalar. Siz MS Excel imkoniyatlaridan foydalanishingiz mumkin, ammo bu holda u kamroq qulay.

Dars ikki qismdan iborat:

– Bitta o‘zgaruvchining bir nuqtadagi funksiya qiymatining differentsialidan foydalangan holda taxminiy hisoblar.

– Taxminiy hisob-kitoblar yordamida umumiy farq bir nuqtada ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi qiymatlari.

Ko'rib chiqilayotgan vazifa differentsial tushunchasi bilan chambarchas bog'liq, ammo bizda hosila va differentsialning ma'nosi haqida hali dars yo'qligi sababli, biz o'zimizni misollarni rasmiy ko'rib chiqish bilan cheklaymiz, bu o'rganish uchun etarli. ularni qanday hal qilish kerak.

Bitta o'zgaruvchining funksiyasining differentsialidan foydalangan holda taxminiy hisoblar

Birinchi xatboshida bitta o'zgaruvchining funksiyasi qoidalari. Hammaga ma'lumki, u bilan belgilanadi y yoki orqali f(x). Ushbu muammo uchun ikkinchi belgidan foydalanish ancha qulayroqdir. Amalda tez-tez uchraydigan mashhur misolga o'tamiz:

1-misol

Yechim: Differensial yordamida taxminiy hisoblash uchun ishchi formulani daftaringizga ko'chiring:

Keling, boshlaymiz, bu oson!

Birinchi qadam funktsiyani yaratishdir. Shartga ko'ra, sonning kub ildizini hisoblash taklif etiladi: , shuning uchun mos keladigan funktsiya quyidagi ko'rinishga ega: .

Taxminiy qiymatni topish uchun formuladan foydalanishimiz kerak.

Biz qaraymiz chap tomoni formulalar va 67 raqami sifatida ifodalanishi kerak degan fikr xayolga keladi. Buning eng oson yo'li qanday? Men quyidagi algoritmni tavsiya qilaman: bu qiymatni kalkulyatorda hisoblang:

- dumi bilan 4 ta chiqdi, bu yechim uchun muhim ko'rsatma.

Sifatida x 0 "yaxshi" qiymatni tanlang, ildizni olish uchun. Tabiiyki, bu qiymat x 0 bo'lishi kerak iloji boricha yaqinroq 67 ga.

Ushbu holatda x 0 = 64. Haqiqatan ham, .

Eslatma: Tanlangandax 0 muammo hali ham paydo bo'ladi, shunchaki hisoblangan qiymatga qarang (bu holda ), eng yaqin butun sonni oling (bu holda 4) va uni kerakli quvvatga ko'taring (bu holda ). Natijada, kerakli tanlov amalga oshiriladi. x 0 = 64.

Agar a x 0 = 64, u holda argument o'sishi: .

Shunday qilib, 67 raqami yig'indi sifatida ifodalanadi

Birinchidan, nuqtadagi funktsiyaning qiymatini hisoblaymiz x 0 = 64. Aslida, bu avvalroq qilingan:

Nuqtadagi differensial quyidagi formula bilan topiladi:

Ushbu formulani daftaringizga ham ko'chirishingiz mumkin.

Formuladan siz birinchi hosilani olishingiz kerak:

Va uning qiymatini nuqtada toping x 0:

.

Shunday qilib:

Hammasi tayyor! Formulaga ko'ra:

Topilgan taxminiy qiymat mikrokalkulyator yordamida hisoblangan 4,06154810045 qiymatiga ancha yaqin.

Javob:

2-misol

Funksiyaning o'sishlarini uning differentsialiga almashtirib, taxminan ni hisoblang.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Ishni tugatishning taxminiy misoli va dars oxirida javob. Yangi boshlanuvchilar uchun qaysi raqamni olish kerakligini aniqlash uchun birinchi navbatda mikrokalkulyatorda aniq qiymatni hisoblashingizni maslahat beraman. x 0 , va qaysi biri - D uchun x. Shuni ta'kidlash kerakki, D x ichida bu misol salbiy bo'ladi.

Ba'zilarda savol tug'ilishi mumkin, agar siz kalkulyatorda hamma narsani xotirjam va aniqroq hisoblashingiz mumkin bo'lsa, bu vazifa nima uchun kerak? Qabul qilaman, vazifa ahmoq va sodda. Lekin buni biroz oqlashga harakat qilaman. Birinchidan, vazifa funktsiya differentsialining ma'nosini ko'rsatadi. Ikkinchidan, qadimgi davrlarda kalkulyator bizning davrimizda shaxsiy vertolyotga o'xshash narsa edi. 1985-86 yillarda institutlardan birida xona kattaligidagi kompyuter qanday qilib uloqtirilganini o'zim ko'rganman (shaharning turli burchaklaridan tornavida bilan radiohavaskorlar yugurib kelishdi va bir necha soatdan keyin bo'limda faqat korpus qoldi. ). Antikvar buyumlar bizning fizika bo'limimizda ham topilgan, ammo kichikroq o'lchamda - stol o'lchamidagi joyda. Ajdodlarimiz taxminiy hisoblash usullari bilan shunday azob chekishgan. Ot aravasi ham transport vositasidir.

Qanday bo'lmasin, muammo oliy matematikaning standart kursida qoldi va uni hal qilish kerak bo'ladi. Bu sizning savolingizga asosiy javob =).

3-misol

Funksiya qiymatining differentsialidan foydalanib, taxminan hisoblang nuqtada x= 1.97. Bir nuqtada aniqroq funktsiya qiymatini hisoblang x= 1.97 mikrokalkulyator yordamida mutlaq va nisbiy hisoblash xatolarini baholang.

Aslida, bu vazifani osonlikcha quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: “Taxminiy qiymatni hisoblang differensial bilan

Yechim: Biz tanish formuladan foydalanamiz:

Bunday holda, tayyor funktsiya allaqachon berilgan: . Yana bir bor e'tiboringizni "o'yin" o'rniga funktsiyani belgilash uchun undan foydalanish qulayroq ekanligiga qaratmoqchiman. f(x).

Ma'nosi x= 1.97 sifatida ifodalanishi kerak x 0 = Δ x. Xo'sh, bu erda osonroq, biz 1.97 raqami "ikki" ga juda yaqin ekanligini ko'ramiz, shuning uchun u iltimos qiladi x 0 = 2. Va shuning uchun: .

Funktsiyaning nuqtadagi qiymatini hisoblang x 0 = 2:

Formuladan foydalanish , biz bir xil nuqtada differentsialni hisoblaymiz.

Birinchi hosilani toping:

Va uning qiymati x 0 = 2:

Shunday qilib, nuqtadagi farq:

Natijada, formula bo'yicha:

Vazifaning ikkinchi qismi hisob-kitoblarning mutlaq va nisbiy xatosini topishdir.

Differensial yordamida taxminiy hisob-kitoblar

Ushbu darsda biz umumiy muammoni ko'rib chiqamiz differensial yordamida funksiya qiymatini taxminiy hisoblash haqida. Bu erda va quyida biz birinchi tartibli differentsiallar haqida gapiramiz, qisqalik uchun men ko'pincha "differensial" deb aytaman. Differensial yordamida taxminiy hisob-kitoblar muammosi qat'iy hal algoritmiga ega va shuning uchun alohida qiyinchiliklar bo'lmasligi kerak. Bitta narsa shundaki, kichik tuzoqlar mavjud, ular ham tozalanadi. Shunday qilib, avval boshingizni sho'ng'iring.

Bundan tashqari, sahifada mutlaq va nisbiy hisoblash xatolarini topish uchun formulalar mavjud. Material juda foydali, chunki xatolarni boshqa masalalarda ham hisoblash kerak. Fiziklar, qarsaklaringiz qani? =)

Misollarni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun siz hech bo'lmaganda o'rtacha darajada funktsiyalarning hosilalarini topa olishingiz kerak, shuning uchun agar differentsiatsiya butunlay noto'g'ri bo'lsa, darsdan boshlang. hosilani qanday topish mumkin? Men ham maqolani o'qishni tavsiya qilaman Loyima bilan eng oddiy muammolar, ya'ni paragraflar nuqtadagi hosilani topish haqida va nuqtadagi differensialni topish. Texnik vositalardan sizga turli xil matematik funktsiyalarga ega mikrokalkulyator kerak bo'ladi. Siz Excel-dan foydalanishingiz mumkin, ammo bu holda u kamroq qulay.

Seminar ikki qismdan iborat:

– Bitta o‘zgaruvchining funksiyasining differentsialidan foydalangan holda taxminiy hisoblar.

– Ikki oʻzgaruvchili funksiyaning umumiy differentsialidan foydalangan holda taxminiy hisob-kitoblar.

Kimga nima kerak. Aslida, boylikni ikkita uyumga bo'lish mumkin edi, chunki ikkinchi nuqta bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalarini qo'llashga tegishli. Lekin men nima qila olaman, men uzoq maqolalarni yaxshi ko'raman.

Taxminiy hisob-kitoblar
bir o'zgaruvchining funksiyasining differentsialidan foydalanish

Ko'rib chiqilayotgan vazifa va uning geometrik ma'no allaqachon darsda yoritilgan hosila nima? , va endi biz misollarni rasmiy ko'rib chiqish bilan cheklanamiz, bu ularni qanday hal qilishni o'rganish uchun etarli.

Birinchi xatboshida bitta o'zgaruvchining funksiyasi qoidalari. Hammaga ma'lumki, u orqali yoki orqali belgilanadi. Ushbu muammo uchun ikkinchi belgidan foydalanish ancha qulayroqdir. Amalda tez-tez uchraydigan mashhur misolga o'tamiz:

1-misol

Yechim: Differensial yordamida taxminiy hisoblash uchun ishchi formulani daftaringizga ko'chiring:

Keling, boshlaymiz, bu oson!

Birinchi qadam funktsiyani yaratishdir. Shartga ko'ra, sonning kub ildizini hisoblash taklif etiladi: , shuning uchun mos keladigan funktsiya quyidagi ko'rinishga ega: . Taxminiy qiymatni topish uchun formuladan foydalanishimiz kerak.

Biz qaraymiz chap tomoni formulalar va 67 raqami sifatida ifodalanishi kerak degan fikr xayolga keladi. Buning eng oson yo'li qanday? Men quyidagi algoritmni tavsiya qilaman: bu qiymatni kalkulyatorda hisoblang:
- dumi bilan 4 ta chiqdi, bu yechim uchun muhim ko'rsatma.

Biz "yaxshi" qiymatni tanlaganimizda, ildizni olish uchun. Tabiiyki, bu qiymat bo'lishi kerak iloji boricha yaqinroq to 67. Bu holda: . Haqiqatan ham: .

Eslatma: Agar o'rnatish hali ham muammo bo'lsa, faqat hisoblangan qiymatga qarang (bu holda ), eng yaqin butun sonni oling (bu holda 4) va uni kerakli quvvatga ko'taring (bu holda ). Natijada kerakli tanlov amalga oshiriladi: .

Agar , u holda argumentning o'sishi: .

Shunday qilib, 67 raqami yig'indi sifatida ifodalanadi

Birinchidan, biz nuqtadagi funktsiyaning qiymatini hisoblaymiz. Aslida, bu allaqachon qilingan:

Nuqtadagi differensial quyidagi formula bilan topiladi:
Siz ham daftaringizga nusxa ko'chirishingiz mumkin.

Formuladan siz birinchi hosilani olishingiz kerak:

Va uning qiymatini quyidagi nuqtada toping:

Shunday qilib:

Hammasi tayyor! Formulaga ko'ra:

Topilgan taxminiy qiymat qiymatga etarlicha yaqin mikrokalkulyator yordamida hisoblab chiqilgan.

Javob:

2-misol

Funksiyaning o'sishlarini uning differentsialiga almashtirib, taxminan ni hisoblang.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Ishni tugatishning taxminiy misoli va dars oxirida javob. Yangi boshlanuvchilar uchun qaysi raqamni va qaysi birini olish kerakligini bilish uchun birinchi navbatda mikrokalkulyatorda aniq qiymatni hisoblashingizni maslahat beraman. Shuni ta'kidlash kerakki, bu misolda salbiy bo'ladi.

Ba'zilarda savol tug'ilishi mumkin, agar siz kalkulyatorda hamma narsani xotirjam va aniqroq hisoblashingiz mumkin bo'lsa, bu vazifa nima uchun kerak? Qabul qilaman, vazifa ahmoq va sodda. Lekin buni biroz oqlashga harakat qilaman. Birinchidan, vazifa funktsiya differentsialining ma'nosini ko'rsatadi. Ikkinchidan, qadimgi davrlarda kalkulyator bizning davrimizda shaxsiy vertolyotga o'xshash narsa edi. 1985-86-yillarda mahalliy politexnika institutidan xonaning kattaligidagi kompyuter qanday qilib uloqtirilganini o'zim ko'rganman (shaharning turli burchaklaridan tornavida ko'targan radio havaskorlar yugurib kelishdi va bir necha soatdan keyin blokdan faqat korpus qoldi. ). Antikvar buyumlar bizning fizika bo'limida ham topilgan, ammo kichikroq o'lchamda - maktab stolining o'lchamidagi joyda. Ajdodlarimiz taxminiy hisoblash usullari bilan shunday azob chekishgan. Ot aravasi ham transport vositasidir.

Qanday bo'lmasin, muammo oliy matematikaning standart kursida qoldi va uni hal qilish kerak bo'ladi. Bu sizning savolingizga asosiy javob =)

3-misol

nuqtada. Mikrokalkulyator yordamida bir nuqtada funksiyaning aniqroq qiymatini hisoblang, mutlaq va nisbiy hisoblash xatolarini baholang.

Aslida, xuddi shu vazifa, uni quyidagicha osonlikcha qayta shakllantirish mumkin: “Taxminiy qiymatni hisoblang. differensial bilan

Yechim: Biz tanish formuladan foydalanamiz:
Bunday holda, tayyor funktsiya allaqachon berilgan: . Yana bir bor e'tiboringizni funktsiyani belgilash uchun "o'yin" o'rniga foydalanish qulayroq ekanligiga qaratmoqchiman.

Qiymat sifatida ifodalanishi kerak. Xo'sh, bu erda osonroq, biz 1.97 raqami "ikki" ga juda yaqin ekanligini ko'ramiz, shuning uchun u o'zini o'zi taklif qiladi. Va shuning uchun: .

Formuladan foydalanish , biz bir xil nuqtada differentsialni hisoblaymiz.

Birinchi hosilani toping:

Va uning qiymati nuqtada:

Shunday qilib, nuqtadagi farq:

Natijada, formula bo'yicha:

Vazifaning ikkinchi qismi hisob-kitoblarning mutlaq va nisbiy xatosini topishdir.

Hisoblashning mutlaq va nisbiy xatosi

Mutlaq hisoblash xatosi formula bo'yicha topiladi:

Modul belgisi qaysi qiymat kattaroq va qaysi kichikroq ekanligi bizga ahamiyat bermasligini ko'rsatadi. Muhim, qanchalik uzoq taxminiy natija u yoki bu yo'nalishda aniq qiymatdan chetga chiqdi.

Nisbiy hisoblash xatosi formula bo'yicha topiladi:
, yoki, xuddi shunday:

Nisbiy xato ko'rsatadi necha foiz bilan taxminiy natija aniq qiymatdan chetga chiqdi. Formulaning 100% ga ko'paytirilmagan versiyasi mavjud, ammo amalda men deyarli har doim yuqoridagi versiyani foizlar bilan ko'raman.

Qisqacha ma'lumotdan so'ng, biz vazifamizga qaytamiz, unda biz funktsiyaning taxminiy qiymatini hisoblab chiqdik differentsial yordamida.

Mikrokalkulyator yordamida funktsiyaning aniq qiymatini hisoblaymiz:
, qat'iy aytganda, qiymat hali ham taxminiy, ammo biz buni aniq ko'rib chiqamiz. Bunday vazifalar sodir bo'ladi.

Mutlaq xatoni hisoblaymiz:

Nisbiy xatoni hisoblaymiz:
, foizning mingdan bir qismi olinadi, shuning uchun differensial faqat katta taxminni taqdim etdi.

Javob: , mutlaq hisoblash xatosi , nisbiy hisoblash xatosi

Quyidagi misol mustaqil yechim uchundir:

4-misol

Funksiya qiymatining differentsialidan foydalanib, taxminan hisoblang nuqtada. Berilgan nuqtada funksiyaning aniqroq qiymatini hisoblang, mutlaq va nisbiy hisoblash xatolarini baholang.

Ishni tugatishning taxminiy misoli va dars oxirida javob.

Ko'pchilik ko'rib chiqilgan barcha misollarda ildizlar paydo bo'lishini payqashdi. Bu tasodifiy emas, aksariyat hollarda ko'rib chiqilayotgan muammoda haqiqatan ham ildizli funktsiyalar taklif etiladi.

Ammo azob chekayotgan o'quvchilar uchun men arksine bilan kichik bir misol topdim:

5-misol

Funksiya qiymatining differentsialidan foydalanib, taxminan hisoblang nuqtada

Bu qisqa, lekin tarbiyaviy misol mustaqil qaror qabul qilish uchun ham. Va men yangi kuch bilan maxsus vazifani ko'rib chiqish uchun biroz dam oldim:

6-misol

Differensial yordamida taxminan hisoblang, natijani ikki kasrga yaxlitlang.

Yechim: Vazifada qanday yangilik bor? Shartga ko'ra, natijani ikki kasrgacha yaxlitlash talab qilinadi. Lekin gap bu emas, maktabni yaxlitlash muammosi, menimcha, siz uchun qiyin emas. Gap shundaki, bizda tangens bor darajalarda ifodalangan dalil bilan. Trigonometrik funktsiyani darajalar bilan yechish so'ralganda nima qilish kerak? Masalan, va hokazo.

Yechim algoritmi tubdan saqlanib qolgan, ya'ni oldingi misollardagi kabi formulani qo'llash zarur.

Aniq funktsiyani yozing

Qiymat sifatida ifodalanishi kerak. Jiddiy yordam beradi trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvali. Aytgancha, kim uni chop qilmagan bo'lsa, men buni qilishni maslahat beraman, chunki siz oliy matematikani o'rganish davomida u erga qarashingiz kerak bo'ladi.

Jadvalni tahlil qilib, biz tangensning "yaxshi" qiymatini ko'ramiz, bu 47 darajaga yaqin:

Shunday qilib:

Dastlabki tahlildan so'ng darajalarni radianga aylantirish kerak. Ha, va faqat shunday!

Ushbu misolda, to'g'ridan-to'g'ri trigonometrik jadvaldan buni bilib olishingiz mumkin. Darajani radianga aylantirish formulasi: (formulalarni bir xil jadvalda topish mumkin).

Qo'shimcha shablon:

Shunday qilib: (hisob-kitoblarda biz qiymatdan foydalanamiz ). Natija, shartga ko'ra, ikki kasrgacha yaxlitlanadi.

Javob:

7-misol

Differensial yordamida taxminan hisoblang, natijani uchta kasrgacha yaxlitlang.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab narsa yo'q, biz darajalarni radianlarga aylantiramiz va odatiy yechim algoritmiga rioya qilamiz.

Taxminiy hisob-kitoblar
ikkita o'zgaruvchili funktsiyaning umumiy differentsialidan foydalanish

Hammasi juda, juda o'xshash bo'ladi, shuning uchun agar siz ushbu sahifaga ushbu aniq vazifa bilan kelgan bo'lsangiz, birinchi navbatda oldingi paragrafning kamida bir nechta misollarini ko'rib chiqishingizni maslahat beraman.

Paragrafni o'rganish uchun siz topa bilishingiz kerak ikkinchi tartibli qisman hosilalar, ularsiz qaerda. Yuqoridagi darsda ikkita o'zgaruvchining funktsiyasini harfi bilan belgiladim. Ko'rib chiqilayotgan vazifaga kelsak, ekvivalent yozuvdan foydalanish qulayroqdir.

Bitta o'zgaruvchining funktsiyasida bo'lgani kabi, masalaning sharti ham turli yo'llar bilan tuzilishi mumkin va men duch kelgan barcha formulalarni ko'rib chiqishga harakat qilaman.

8-misol

Yechim: Shart qanday yozilishidan qat'i nazar, yechimning o'zida funktsiyani belgilash uchun, takrorlayman, "Z" harfini emas, balki ishlatgan ma'qul.

Va bu erda ish formulasi:

Bizning oldimizda aslida oldingi paragraf formulasining katta singlisi. O'zgaruvchi shunchaki kattalashdi. O'zim nima deyman hal qilish algoritmi asosan bir xil bo'ladi!

Shartga ko'ra, nuqtada funktsiyaning taxminiy qiymatini topish talab qilinadi.

Keling, 3.04 raqamini ko'rsataylik. Bulonning o'zi ovqatlanishni so'raydi:
,

Keling, 3.95 raqamini ko'rsataylik. Navbat Kolobokning ikkinchi yarmiga keldi:
,

Va har xil tulki hiylalariga qaramang, Gingerbread Man bor - siz uni eyishingiz kerak.

Nuqtadagi funksiya qiymatini hisoblaymiz:

Funktsiyaning nuqtadagi differensialligi quyidagi formula bilan topiladi:

Formuladan kelib chiqadiki, siz topishingiz kerak qisman hosilalari Birinchi tartibni tanlang va nuqtada ularning qiymatlarini hisoblang.

Nuqtadagi birinchi tartibning qisman hosilalarini hisoblaymiz:

Nuqtadagi umumiy farq:

Shunday qilib, formulaga ko'ra, nuqtadagi funktsiyaning taxminiy qiymati:

Funktsiyaning nuqtadagi aniq qiymatini hisoblaymiz:

Bu qiymat mutlaqo to'g'ri.

Xatolar ushbu maqolada allaqachon muhokama qilingan standart formulalar yordamida hisoblanadi.

Mutlaq xato:

Nisbiy xato:

Javob:, mutlaq xato: , nisbiy xato:

9-misol

Funksiyaning taxminiy qiymatini hisoblang to'liq differentsial yordamida bir nuqtada, mutlaq va nisbiy xato baholang.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Kim ushbu misolga batafsil to'xtalib o'tsa, hisoblash xatolari juda sezilarli bo'lganiga e'tibor beradi. Bu quyidagi sababga ko'ra sodir bo'ldi: taklif qilingan muammoda argumentlarning o'sishi etarlicha katta: . Umumiy naqsh quyidagicha - mutlaq qiymatdagi bu o'sishlar qanchalik katta bo'lsa, hisob-kitoblarning aniqligi shunchalik past bo'ladi. Shunday qilib, masalan, shunga o'xshash nuqta uchun o'sishlar kichik bo'ladi: , va taxminiy hisob-kitoblarning aniqligi juda yuqori bo'ladi.

Bu xususiyat bitta o‘zgaruvchili funksiya uchun ham amal qiladi (darsning birinchi qismi).

10-misol

Yechim: Biz bu ifodani taxminan ikki oʻzgaruvchili funksiyaning umumiy differentsialidan foydalanib hisoblaymiz:

8-9-misollardan farqi shundaki, biz birinchi navbatda ikkita o'zgaruvchidan iborat funktsiyani tuzishimiz kerak: . Funktsiya qanday tuzilgani, menimcha, hamma uchun intuitiv tarzda tushunarli.

4.9973 qiymati "besh" ga yaqin, shuning uchun: , .
0,9919 qiymati "bir" ga yaqin, shuning uchun biz faraz qilamiz: , .

Nuqtadagi funksiya qiymatini hisoblaymiz:

Nuqtadagi differensialni quyidagi formula bilan topamiz:

Buning uchun nuqtada birinchi tartibning qisman hosilalarini hisoblaymiz.

Bu erda hosilalar eng oddiy emas va siz ehtiyot bo'lishingiz kerak:

;

.

Nuqtadagi umumiy farq:

Shunday qilib, ushbu ifodaning taxminiy qiymati:

Mikrokalkulyator yordamida aniqroq qiymatni hisoblaymiz: 2.998899527

Nisbiy hisoblash xatosini topamiz:

Javob: ,

Yuqoridagilarning shunchaki misoli, ko'rib chiqilayotgan muammoda argumentlarning o'sishi juda kichik va xato juda kam bo'lib chiqdi.

11-misol

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning umumiy differentsialidan foydalanib, ushbu ifodaning taxminan qiymatini hisoblang. Mikrokalkulyator yordamida bir xil ifodani hisoblang. Hisob-kitoblarning nisbiy xatosini foizda baholang.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Dars oxirida tugatishning taxminiy namunasi.

Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, ushbu turdagi vazifada eng keng tarqalgan mehmon - bu qandaydir ildizlar. Ammo vaqti-vaqti bilan boshqa funktsiyalar mavjud. Va dam olish uchun oxirgi oddiy misol:

12-misol

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning umumiy differentsialidan foydalanib, agar funktsiyaning taxminan qiymatini hisoblang

Yechim sahifaning pastki qismiga yaqinroq. Yana bir bor, dars vazifalarining so'zlashuviga e'tibor bering, amalda turli misollarda so'zlar boshqacha bo'lishi mumkin, ammo bu yechimning mohiyatini va algoritmini tubdan o'zgartirmaydi.

Rostini aytsam, biroz charchadim, chunki material zerikarli edi. Maqolaning boshida aytish pedagogik emas edi, lekin hozir bu allaqachon mumkin =) Haqiqatan ham, hisoblash matematikasi muammolari odatda unchalik qiyin emas, juda qiziq emas, eng muhimi, ehtimol, oddiy hisob-kitoblarda xato.

Kalkulyatoringizning kalitlari o'chib ketmasin!

Yechimlar va javoblar:

2-misol: Yechim: Biz formuladan foydalanamiz:
Ushbu holatda: , ,

Shunday qilib:
Javob:

4-misol: Yechim: Biz formuladan foydalanamiz:
Ushbu holatda: , ,

Differensial bir nuqtada ishlaydi argumentning o'sishiga nisbatan asosiy, chiziqli deyiladi
funktsiyani oshirish qismi
, nuqtadagi funksiya hosilasining mahsulotiga teng Mustaqil o'zgaruvchining o'sishi uchun:

.

Demak, funktsiya ortishi
differensialidan farq qiladi
cheksiz kichik qiymatga va etarlicha kichik qiymatlar uchun biz taxmin qilishimiz mumkin
yoki

Yuqoridagi formula taxminiy hisob-kitoblarda ishlatiladi va kamroq
, formula qanchalik aniqroq bo'lsa.

3.1-misol. Taxminan hisoblang

Yechim. Funktsiyani ko'rib chiqing
. bu quvvat funktsiyasi va uning hosilasi

Sifatida shartlarga javob beradigan raqamni olishingiz kerak:

Ma'nosi
ma'lum yoki hisoblash juda oson;

Raqam imkon qadar 33,2 ga yaqin bo'lishi kerak.

Bizning holatlarimizda bu talablar raqam bilan qondiriladi = 32, buning uchun
= 2,
= 33,2 -32 = 1,2.

Formulani qo'llash orqali biz kerakli raqamni topamiz:

+
.

3.2-misol. Agar yil uchun bank foiz stavkasi yillik 5% bo'lsa, bankdagi depozitni ikki baravar oshirish vaqtini toping.

Yechim. Yil davomida hissa miqdori ortadi
marta, lekin uchun yillar davomida hissasi ortadi
bir marta. Endi biz tenglamani yechishimiz kerak:
=2. Logarifmni olib, biz qaerga erishamiz
. Hisoblash uchun taxminiy formulani olamiz
. Taxmin qilib
, toping
va taxminiy formulaga muvofiq. Bizning holatda
va
. Bu yerdan. Chunki
, biz hissaning ikki baravar ko'payishi vaqtini topamiz
yillar.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

1. Funksiyaning nuqtadagi differentsialini aniqlang.

2. Nima uchun hisob-kitoblar uchun formula taxminiy hisoblanadi?

3. Raqam qanday shartlarga javob berishi kerak yuqoridagi formulaga kiritilganmi?

Mustaqil ish uchun topshiriqlar

Taxminiy qiymatni hisoblang
, nuqtada almashtirish
funktsiyaning o'sishi
uning differentsiali.

3.1-jadval

4 .Funksiyalarni tekshirish va ularning grafiklarini qurish

Agar bitta o'zgaruvchining funksiyasi formula sifatida berilgan bo'lsa
, keyin uning ta'rifi sohasi argument qiymatlari to'plamidir , bunda funktsiyaning qiymatlari aniqlanadi.

4.1-misol. Funktsiya qiymati
radikal ifodaning faqat manfiy bo'lmagan qiymatlari uchun aniqlanadi:
. Demak, funktsiyani aniqlash sohasi yarim oraliqdir, chunki trigonometrik funktsiyaning qiymati
tengsizlikni qanoatlantiring: -1
1.

Funktsiya
chaqirdi hatto, agar biron bir qiymat uchun uning ta'rif sohasidan, tenglik

,

va g'alati, agar boshqa munosabat to'g'ri bo'lsa:
. Boshqa hollarda funksiya chaqiriladi funktsiyasi umumiy ko'rinish.

4.4-misol. Mayli
. Keling, tekshiramiz: . Demak, bu funksiya teng.

Funktsiya uchun
to'g'ri. Shuning uchun bu funktsiya g'alati.

Oldingi funktsiyalar yig'indisi
ga teng emasligi sababli umumiy funksiya hisoblanadi
va
.

Asimptot funksiya grafigi
nuqtadan masofa () degan xususiyatga ega bo'lgan chiziq deyiladi. ;
) tekislikning ushbu to'g'ri chiziqqa bo'lgan qismi grafikning koordinata nuqtasidan cheksiz masofada nolga intiladi. Vertikal (4.1-rasm), gorizontal (4.2-rasm) va qiya (4.3-rasm) asimptotalari mavjud.

Guruch. 4.1. Jadval

Guruch. 4.2. Jadval

Guruch. 4.3. Jadval

Funktsiyaning vertikal asimptotalarini ikkinchi turdagi uzilish nuqtalarida (nuqtadagi funktsiyaning bir tomonlama chegaralaridan kamida bittasi cheksiz yoki mavjud emas) yoki uning aniqlanish sohasi oxirida izlash kerak.
, agar
yakuniy raqamlardir.

Agar funktsiya
butun son chizig'ida aniqlanadi va chekli chegara mavjud
, yoki
, keyin tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziq
, o'ng tomondagi gorizontal asimptota va to'g'ri chiziq
chap tomondagi gorizontal asimptotadir.

Agar chegaralar bo'lsa

va
,

keyin to'g'ri
funksiya grafigining qiya asimptotasidir. Egri asimptota o'ng qo'lda ham bo'lishi mumkin (
) yoki chap qo'l (
).

Funktsiya
to'plamda ortish deyiladi
, agar mavjud bo'lsa
, shu kabi >, quyidagi tengsizlik amal qiladi:
>
(kamaytirish, agar bir vaqtning o'zida:
<
). Kopgina
bu holda funksiyaning monotonlik intervali deyiladi.

Funktsiyaning monotonligi uchun quyidagi etarli shart to'g'ri bo'ladi: agar to'plam ichida differentsiallanuvchi funktsiya hosilasi bo'lsa.
ijobiy (salbiy) bo'lsa, bu to'plamda funktsiya ortib bormoqda (kamaymoqda).

4.5-misol. Funktsiya berilgan
. Uning ortish va kamayish oraliqlarini toping.

Yechim. Keling, uning hosilasini topamiz
. Bu aniq >0 da >3 va <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) va (3) ga ortadi;
).

Nuqta nuqta deb ataladi mahalliy maksimal (minimal) funktsiyalari
, agar nuqtaning ba'zi mahallasida tengsizlik
(
) . Nuqtadagi funktsiya qiymati chaqirdi maksimal (minimal). Funktsiyaning maksimal va minimal qiymatlari umumiy nom bilan birlashtiriladi ekstremum funktsiyalari.

Funktsiyani bajarish uchun
nuqtada ekstremum bor edi bu nuqtada uning hosilasi nolga teng bo'lishi kerak (
) yoki mavjud emas edi.

Funktsiyaning hosilasi nolga teng bo'lgan nuqtalar deyiladi statsionar funktsiya nuqtalari. Statsionar nuqtada funktsiyaning ekstremum bo'lishi shart emas. Ekstremani topish uchun funktsiyaning statsionar nuqtalarini qo'shimcha ravishda tekshirish kerak, masalan, etarli ekstremum sharoitlardan foydalangan holda.

Ulardan birinchisi, agar, statsionar nuqtadan o'tayotganda chapdan o'ngga differensiallanuvchi funktsiyaning hosilasi ishorani plyusdan minusga o'zgartiradi, keyin nuqtada mahalliy maksimalga erishiladi. Agar belgi minusdan plyusga o'zgarmasa, bu funktsiyaning minimal nuqtasidir.

Agar o'rganilayotgan nuqtadan o'tganda hosilaning belgisi o'zgarmasa, bu nuqtada ekstremum yo'q.

Statsionar nuqtadagi funktsiyaning ekstremumi uchun ikkinchi etarli shart funktsiyaning ikkinchi hosilasidan foydalanadi: agar
<0, тоmaksimal nuqta, va agar
>0, keyin - minimal ball. Da
=0 ekstremum turi haqidagi savol ochiq qoladi.

Funktsiya
chaqirdi qavariq (botiq)) to'plamda
, agar har qanday ikkita qiymat uchun
quyidagi tengsizlik amal qiladi:

.

4.4-rasm. Qavariq funksiya grafigi

Ikki marta differentsiallanuvchi funktsiyaning ikkinchi hosilasi bo'lsa
to'plam ichida ijobiy (salbiy).
, u holda funksiya to'plamda konkav (qavariq) bo'ladi
.

Uzluksiz funksiya grafigining burilish nuqtasi
funksiya qavariq va botiq bo'lgan oraliqlarni ajratib turuvchi nuqta deyiladi.

Ikkinchi hosila
burilish nuqtasida ikki marta differentsiallanuvchi funktsiya nolga teng, ya'ni
= 0.

Agar biror nuqtadan o'tayotganda ikkinchi hosila bo'lsa keyin uning belgisini o'zgartiradi uning grafigining burilish nuqtasidir.

Funktsiyani o'rganish va uning grafigini tuzishda quyidagi sxemadan foydalanish tavsiya etiladi:

Funktsiya o'sishining taxminiy qiymati

Funktsiyaning etarlicha kichik o'sishi uchun uning differentsialiga taxminan teng, ya'ni. Dy » dy va shuning uchun

2-misol X argumenti x 0 =3 qiymatidan x 1 =3,01 ga o‘zgarganda y= funksiya o‘sishning taqribiy qiymatini toping.

Yechim. Biz (2.3) formuladan foydalanamiz. Buning uchun biz hisoblaymiz

X 1 - x 0 \u003d 3,01 - 3 \u003d 0,01, keyin

Qilish » .

Funktsiyaning nuqtadagi taxminiy qiymati

y = f(x) funktsiyaning x 0 nuqtasidagi o'sish ta'rifiga muvofiq, Dx (Dx®0) argumenti o'sishda Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) bo'ladi. va (3.3) formulani yozish mumkin

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

(3.4) formulaning alohida holatlari quyidagi ifodalardir:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3,4v)

tgDx » Dx (3,4 g)

Bu erda, avvalgidek, Dx®0 deb taxmin qilinadi.

3-misol f (x) \u003d (3x -5) 5 funktsiyasining x 1 \u003d 2.02 nuqtasida taxminiy qiymatini toping.

Yechim. Hisoblash uchun (3.4) formuladan foydalanamiz. Keling, x 1 ni x 1 = x 0 + Dx ko'rinishida tasvirlaymiz. Keyin x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2.02)=f(2 + 0.02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

4-misol(1.01) 5 , , ln(1.02), ln ni hisoblang.

Yechim

1. (3.4a) formuladan foydalanamiz. Buning uchun (1,01) 5 ni (1+0,01) 5 shaklida ifodalaymiz.

Keyin, Dx = 0,01, n = 5 deb faraz qilsak, biz olamiz

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. (1 - 0,006) 1/6 shaklida ifodalab, (3.4a) ko'ra, olamiz

(1 - 0,006) 1/6 "1 + .

3. ln(1.02) = ln(1 + 0.02) ekanligini hisobga olib, Dx=0.02 deb faraz qilsak (3.4b) formula boʻyicha hosil boʻladi.

ln (1,02) = ln (1 + 0,02) » 0,02.

4. Xuddi shunday

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Funksiyalarning taxminiy o‘sishlarini toping

155. x argumenti x 0 = 2 dan x 1 = 2 ga o‘zgarganda y = 2x 3 + 5.001

156. x 0 \u003d 3 va Dx \u003d 0,001 uchun y \u003d 3x 2 + 5x + 1

157. y \u003d x 3 + x - 1, x 0 \u003d 2 va Dx \u003d 0,01

158. y \u003d ln x da x 0 \u003d 10 va Dx \u003d 0,01

159. y \u003d x 2 - 2x, x 0 \u003d 3 va Dx \u003d 0,01

Funksiyalarning taxminiy qiymatlarini toping

160. y \u003d 2x 2 - x + 1 da x 1 \u003d 2.01

161. y \u003d x 2 + 3x + 1 da x 1 \u003d 3.02

162.y= x 1 = 1,1 nuqtada

163. y \u003d nuqtada x 1 \u003d 3,032

164. y \u003d nuqtada x 1 \u003d 3,97

165. y \u003d sin 2x da x 1 \u003d 0,015

Taxminan hisoblang

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178 ln(1,003×e) 179 ln(1,05) 5 180 ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

Funktsiyalarni o'rganish va chizmalarni tuzish

Funksiyaning monotonlik belgilari

Teorema 1 (funksiyalarni oshirish (kamaytirish) uchun zarur shart) . Agar differensiallanuvchi funksiya y = f(x), xn(a; b) (a; b) oraliqda ortib (kamaysa), har qanday x 0 n(a; b) uchun.

Teorema 2 (funktsiyalarni oshirish (kamaytirish) uchun etarli shart) . Agar y = f(x), xn(a; b) funksiya (a; b) oraliqning har bir nuqtasida musbat (manfiy) hosilaga ega bo lsa, u holda bu funksiya shu oraliqda ortadi (kamayadi).

Funktsiyaning ekstremallari

Ta'rif 1. x 0 nuqtasi y \u003d f (x) funktsiyasining maksimal (minimal) nuqtasi deb ataladi, agar x 0 nuqtaning biron bir d-mahallasidan barcha x uchun f (x) tengsizlik bo'lsa.< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) x ¹ x 0 uchun.

3-teorema (ferma) (ekstremum mavjudligi uchun zarur shart) . Agar x 0 nuqta y = f(x) funktsiyaning ekstremum nuqtasi bo'lsa va bu nuqtada hosila mavjud bo'lsa, u holda

Teorema 4 (ekstremum mavjudligi uchun birinchi etarli shart) . y = f(x) funksiya x 0 nuqtaning qandaydir d-qo'shnisida differensiallanuvchi bo'lsin. Keyin:

1) agar hosila x 0 nuqtadan o'tayotganda belgisini (+) dan (-) ga o'zgartirsa, u holda x 0 maksimal nuqtadir;

2) agar hosila x 0 nuqtadan o'tayotganda ishorasini (-) dan (+) ga o'zgartirsa, u holda x 0 minimal nuqtadir;

3) hosila x 0 nuqtadan o‘tganda belgisini o‘zgartirmasa, x 0 nuqtada funksiya ekstremumga ega bo‘lmaydi.

Ta'rif 2. Funktsiyaning hosilasi yo'q bo'lib ketadigan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar deyiladi birinchi turdagi tanqidiy nuqtalar.

birinchi hosiladan foydalanish

1. y = f(x) funksiyaning D(f) aniqlanish sohasini toping.

2. Birinchi hosilani hisoblang

3. Birinchi turdagi tanqidiy nuqtalarni toping.

4. Kritik nuqtalarni y = f(x) funksiyaning D(f) aniqlanish sohasiga qo‘ying va kritik nuqtalar funksiya sohasini bo‘ladigan oraliqlardagi hosila belgisini aniqlang.

5. Funksiyaning maksimal va minimal nuqtalarini tanlang va shu nuqtalarda funksiya qiymatlarini hisoblang.

1-misol Ekstremum uchun y \u003d x 3 - 3x 2 funktsiyasini o'rganing.

Yechim. Birinchi hosiladan foydalanib funktsiyaning ekstremumini topish algoritmiga muvofiq bizda:

1. D(f): xn(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0, x = 2 birinchi turdagi kritik nuqtalardir.

x = 0 nuqtadan o'tganda hosila

(+) dan (-) belgisini o'zgartiradi, shuning uchun u nuqtadir

Maksimal. X \u003d 2 nuqtasidan o'tayotganda, u (-) dan (+) belgisini o'zgartiradi, shuning uchun bu minimal nuqta.

5. ymax = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Maksimal koordinatalar (0; 0).

y min \u003d f (2) \u003d 2 3 - 3 × 2 2 \u003d -4.

Minimal koordinatalar (2; -4).

Teorema 5 (ekstremum mavjudligi uchun ikkinchi etarli shart) . Agar y \u003d f (x) funktsiyasi x 0 nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlangan va ikki marta differentsiallanadigan bo'lsa, x 0 nuqtasida f (x) funksiyasi maksimal if va minimal bo'ladi.

Funksiyaning ekstremumini topish algoritmi

ikkinchi hosiladan foydalanish

1. y = f(x) funksiyaning D(f) aniqlanish sohasini toping.

2. Birinchi hosilani hisoblang

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (log x - 2) 211. f(x) = x log 2 x + x + 4

23. Funksiyaning differentsiallanishi haqida tushuncha. Xususiyatlari. Differensialni yaqinlashishda qo'llashth hisob-kitoblar.

Funksiya differensiali haqida tushuncha

y=ƒ(x) funksiya x nuqtada nolga teng bo‘lmagan hosilaga ega bo‘lsin.

Unda funktsiya, uning chegarasi va cheksiz kichik funksiyaning ulanishi haqidagi teoremaga asosan ∆x+a ∆x yozish mumkin.

Shunday qilib, ∆u funktsiyaning o'sishi ∆x→0 da cheksiz kichik bo'lgan ikkita ƒ "(x) ∆x va a ∆x hadlarining yig'indisidir. Bu holda birinchi had ning cheksiz kichik funktsiyasidir. ∆x bilan bir xil tartib, chunki ikkinchi had ∆x dan yuqori tartibli cheksiz kichik funktsiyadir:

Shuning uchun birinchi had a ƒ "(x) ∆x deyiladi o'sishning asosiy qismi∆u funktsiyalari.

funktsiya differentsiali y \u003d ƒ (x) nuqtadagi x funktsiya hosilasi va argument o'sishiga teng bo'lgan uning o'sishning asosiy qismi deb ataladi va du (yoki dƒ (x)) bilan belgilanadi:

dy=ƒ"(x) ∆x. (1)

Differensial du ham deyiladi birinchi tartibli differensial. X mustaqil o‘zgaruvchining differensialini, ya’ni y=x funksiyaning differentsialini topamiz.

y"=x"=1 bo'lgani uchun (1) formula bo'yicha biz dy=dx=∆x ga ega bo'lamiz, ya'ni mustaqil o'zgaruvchining differensiali bu o'zgaruvchining o'sishiga teng: dx=∆x.

Shuning uchun (1) formulani quyidagicha yozish mumkin:

dy \u003d ƒ "(x) dx, (2)

boshqacha qilib aytganda, funktsiyaning differentsiali bu funktsiyaning hosilasi va mustaqil o'zgaruvchining differentsial ko'paytmasiga teng.

Formuladan (2) dy / dx \u003d ƒ "(x) tengligi keladi. Endi belgilash

dy/dx hosilasini dy va dx differentsiallarining nisbati sifatida ko'rish mumkin.

Differensialquyidagi asosiy xususiyatlarga ega.

1. d(Bilan)=0.

2. d(u+w-v)=du+dw-dv.

3. d(uv)=du v+u dv.

d(Bilanu)=Biland(u).

4. .

5. y= f(z), , ,

Differensialning shakli o‘zgarmas (invariant): argument oddiy yoki murakkab bo‘lishidan qat’i nazar, u har doim funksiya hosilasi va argument differentsialining ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.

Differensialni taxminiy hisob-kitoblarga qo'llash

Ma’lumki, y=ƒ(x) funksiyaning x nuqtadagi ∆u o’sishini ∆u=ƒ"(x) ∆x+a ∆x shaklida ifodalash mumkin, bunda a→0 ∆x→0, yoki dy+a ∆x ∆x dan yuqori tartibli cheksiz kichik a ∆x dan voz kechsak, taxminiy tenglikka erishamiz.

∆y≈dy, (3)

bundan tashqari, bu tenglik qanchalik aniq bo'lsa, ∆x kichikroq bo'ladi.

Bu tenglik har qanday differensiallanuvchi funksiyaning o'sishini taxminan katta aniqlik bilan hisoblash imkonini beradi.

Differensial odatda funktsiyaning o'sishiga qaraganda ancha oson topiladi, shuning uchun (3) formuladan hisoblash amaliyotida keng qo'llaniladi.

24. Antihosil funksiya va noaniqth integral.

HOZILAVIY FUNKSIYA VA ANIQSIZ INTEGRAL TUSHUNCHASI.

Funktsiya F (X) deyiladi antiderivativ funktsiya bu funktsiya uchun f (X) (yoki qisqasi, ibtidoiy bu funksiya f (X)) berilgan oraliqda, agar shu oraliqda bo'lsa. Misol. Funktsiya butun son o'qi bo'yicha funktsiyaning antiderivatividir, chunki har qanday uchun X. E'tibor bering, for antiderivativ funksiyasi bilan birga shaklning istalgan funksiyasi , bu erda FROM- ixtiyoriy doimiy son (bu doimiyning hosilasi nolga teng ekanligidan kelib chiqadi). Bu xususiyat umumiy holatda ham mavjud.

Teorema 1. Agar va funksiya uchun ikkita antiderivativ bo'lsa f (X) qandaydir oraliqda, u holda bu oraliqdagi ularning orasidagi farq doimiy songa teng bo'ladi. Bu teoremadan kelib chiqadiki, agar qandaydir antiderivativ ma'lum bo'lsa F (X) ushbu funktsiyadan f (X), keyin uchun antiderivativlarning butun to'plami f (X) funksiyalar bilan tugaydi F (X) + FROM. Ifoda F (X) + FROM, qayerda F (X) funksiyaning anti hosilasidir f (X) va FROM ixtiyoriy doimiy hisoblanadi, deyiladi noaniq integral funktsiyasidan f (X) va , va belgisi bilan belgilanadi f (X) deyiladi integral ; - integral , X - integratsiya o'zgaruvchisi ; ∫ - noaniq integral belgisi . Shunday qilib, ta'rifga ko'ra agar . Savol tug'iladi: har qanday uchun funktsiyalari f (X) qarama-qarshi hosila va demak, noaniq integral bormi? Teorema 2. Agar funktsiya f (X) davomiy ustida [ a ; b], keyin funksiya uchun ushbu segmentda f (X) ibtidoiy mavjud . Quyida faqat uzluksiz funksiyalar uchun antiderivativlar haqida gapiramiz. Shuning uchun, ushbu bo'limda quyida ko'rib chiqilgan integrallar mavjud.

25. Noaniqning xossalarivaintegral. Integrals asosiy elementar funktsiyalardan.

Noaniq integralning xossalari

Quyidagi formulalarda f va g- o'zgaruvchan funktsiyalar x, F- funksiyaning antiderivativi f, a, k, C doimiy qiymatlardir.







Elementar funksiyalarning integrallari

Ratsional funktsiyalarning integrallari ro'yxati

(nolning anti hosilasi doimiy hisoblanadi; integrallashning har qanday diapazonida nolning integrali nolga teng)

Logarifmik funktsiyalarning integrallari ro'yxati

Ko'rsatkichli funktsiyalarning integrallari ro'yxati

Irratsional funktsiyalarning integrallari ro'yxati

("uzun logarifm")

trigonometrik funktsiyalarning integrallari ro'yxati , teskari trigonometrik funktsiyalarning integrallari ro'yxati

26. Almashtirish usulis o'zgaruvchisi, noaniq integraldagi qismlar bo'yicha integrallash usuli.

O'zgaruvchan almashtirish usuli (almashtirish usuli)

O'rnini bosuvchi integratsiya usuli yangi integratsiya o'zgaruvchisini (ya'ni almashtirish) kiritishdan iborat. Bunda berilgan integral jadvalli yoki unga qaytariladigan yangi integralga keltiriladi. O'zgartirishlarni tanlashning umumiy usullari mavjud emas. O'zgartirishni to'g'ri aniqlash qobiliyati amaliyot orqali erishiladi.

Integralni hisoblash talab qilinsin, uzluksiz hosilasi bo'lgan funktsiyani almashtirishni amalga oshiramiz.

Keyin va noaniq integralni integrallash formulasining o'zgarmaslik xususiyatiga asoslanib, biz almashtirish integratsiyasi formulasi:

Qismlar bo'yicha integratsiya

Qismlar bo'yicha integratsiya - integratsiya uchun quyidagi formulani qo'llash:

Xususan, yordam bilan n-bu formulaning katlamli qo'llanilishi, integral topiladi

bu erda - th darajali ko'phad.

30. Aniq integralning xossalari. Nyuton-Leybnits formulasi.

Aniq integralning asosiy xossalari

Aniq integralning xossalari

Nyuton-Leybnits formulasi.

Funktsiyaga ruxsat bering f (x) yopiq intervalda uzluksiz [ a, b]. Agar a F (x) - antiderivativ funktsiyalari f (x) ustida[ a, b], keyin