H i gipotezalarning P(H i) ehtimolliklari aprior ehtimollar - tajribalar oldidagi ehtimollar deyiladi.
P(A/H i) ehtimolliklari a posteriori probabilities - tajriba natijasida aniqlangan H i gipotezalarning ehtimolliklari deyiladi.

№1 misol. Qurilma yuqori sifatli qismlardan va oddiy sifatli qismlardan yig'ilishi mumkin. Qurilmalarning 40% ga yaqini yuqori sifatli qismlardan yig'ilgan. Agar qurilma yuqori sifatli qismlardan yig'ilgan bo'lsa, uning ishonchliligi (ehtimol ish vaqti) vaqt o'tishi bilan t 0,95; agar oddiy sifatli qismlardan bo'lsa - uning ishonchliligi 0,7 ga teng. Qurilma t vaqt davomida sinovdan o'tkazildi va benuqson ishladi. Uning yuqori sifatli qismlardan yig'ilganligi ehtimolini toping.
Yechim. Ikkita gipoteza mumkin: H 1 - qurilma yuqori sifatli qismlardan yig'ilgan; H 2 - qurilma oddiy sifatli qismlardan yig'ilgan. Tajriba oldidan bu gipotezalarning ehtimolliklari: P(H 1) = 0,4, P(H 2) = 0,6. Tajriba natijasida A hodisasi kuzatildi - qurilma t vaqt davomida benuqson ishladi. H 1 va H 2 gipotezalarida bu hodisaning shartli ehtimollari: P(A|H 1) = 0,95; P(A|H 2) = 0,7. (12) formuladan foydalanib, tajribadan keyin H 1 gipoteza ehtimolini topamiz:

№2 misol. Ikki otuvchi bir xil nishonga mustaqil ravishda o'q uzadi, har biri bittadan o'q uzadi. Birinchi otishma uchun nishonga tegish ehtimoli 0,8, ikkinchisi uchun 0,4. Otishmadan keyin nishonda bitta teshik topildi. Ikki otuvchi bir nuqtani ura olmaydi deb faraz qilib, birinchi otganning nishonga tegish ehtimolini toping.
Yechim. A hodisasi otishdan keyin nishonda topilgan bitta teshik bo'lsin. Rasmga tushirish boshlanishidan oldin farazlar mumkin:
H 1 - na birinchi, na ikkinchi otuvchi urmaydi, bu gipotezaning ehtimoli: P (H 1) = 0,2 0,6 = 0,12.
H 2 - ikkala otuvchi ham urishadi, P (H 2) = 0,8 0,4 = 0,32.
H 3 - birinchi otuvchi uradi, ikkinchisi esa urmaydi, P(H 3) = 0,8 0,6 = 0,48.
H 4 - birinchi otuvchi urmaydi, lekin ikkinchisi uradi, P (H 4) = 0,2 0,4 = 0,08.
Ushbu gipotezalar bo'yicha A hodisasining shartli ehtimollari:

Tajribadan so'ng H 1 va H 2 gipotezalari imkonsiz bo'lib qoladi va H 3 va H 4 gipotezalarining ehtimollari.
teng bo'ladi:

№3 misol. Yig'ish sexida qurilmaga elektr motor ulangan. Elektr dvigatellari uchta ishlab chiqaruvchi tomonidan etkazib beriladi. Omborda 0,85, 0,76 va 0,71 ehtimollik bilan kafolat muddati tugagunga qadar nosoz ishlay oladigan nomlari keltirilgan zavodlarning mos ravishda 19,6 va 11 ta elektr dvigatellari mavjud. Ishchi tasodifiy ravishda bitta dvigatelni oladi va uni qurilmaga o'rnatadi. Kafolat muddati tugagunga qadar o'rnatilgan va uzluksiz ishlaydigan elektr motorining mos ravishda birinchi, ikkinchi yoki uchinchi ishlab chiqaruvchi tomonidan etkazib berilishi ehtimolini toping.
Yechim. Birinchi sinov - elektr motorini tanlash, ikkinchisi - kafolat muddati davomida elektr motorining ishlashi. Quyidagi voqealarni ko'rib chiqing:
A - elektr motor kafolat muddati tugagunga qadar benuqson ishlaydi;
H 1 - montajchi dvigatelni birinchi zavodning mahsulotlaridan oladi;
H 2 - montajchi dvigatelni ikkinchi zavodning mahsulotlaridan oladi;
H 3 - montajchi dvigatelni uchinchi zavodning mahsulotlaridan oladi.
A hodisaning ehtimoli formula bo'yicha hisoblanadi to'liq ehtimollik:

Shartli ehtimolliklar muammo bayonotida ko'rsatilgan:

Keling, ehtimolliklarni topaylik

4-misol. Uch elementdan iborat tizimning ishlashi vaqtida 1, 2 va 3 raqamlari bo'lgan elementlarning ishdan chiqishi ehtimoli 3 ga bog'langan: 2: 5. Bu elementlarning nosozliklarini aniqlash ehtimoli mos ravishda 0,95; 0,9 va 0,6.

b) Ushbu vazifaning shartlariga ko'ra, tizimning ishlashi paytida nosozlik aniqlandi. Qaysi element eng ko'p ishlamay qolishi mumkin?

Yechim.
A muvaffaqiyatsiz hodisa bo'lsin. H1 - birinchi elementning ishdan chiqishi, H2 - ikkinchi elementning ishdan chiqishi, H3 - uchinchi elementning ishdan chiqishi gipotezalar tizimini kiritamiz.
Gipotezalarning ehtimolliklarini topamiz:
P (H1) = 3/(3+2+5) = 0,3
P(H2) = 2/(3+2+5) = 0,2
P (H3) = 5/(3+2+5) = 0,5

Muammoning shartiga ko'ra, A hodisaning shartli ehtimollari:
P(A|H1) = 0,95, P(A|H2) = 0,9, P(A|H3) = 0,6

a) Tizimdagi nosozlikni aniqlash ehtimolini toping.
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,3*0,95 + 0,2*0,9 + 0,5 *0,6 = 0,765

b) Ushbu vazifaning shartlariga ko'ra, tizimning ishlashi paytida nosozlik aniqlandi. Qaysi element eng ko'p ishlamay qolishi mumkin?
P1 = P(H1)*P(A|H1)/ P(A) = 0,3*0,95 / 0,765 = 0,373
P2 = P(H2)*P(A|H2)/ P(A) = 0,2*0,9 / 0,765 = 0,235
P3 = P(H3)*P(A|H3)/ P(A) = 0,5*0,6 / 0,765 = 0,392

Uchinchi elementning maksimal ehtimoli.

Qisqacha nazariya

Agar voqea faqat mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi hodisalardan biri sodir bo'lgan taqdirda sodir bo'lsa, u holda u hodisalarning har birining ehtimolliklari mahsuloti yig'indisiga va tegishli shartli ehtimollik hamyoniga teng bo'ladi.

Bunda hodisalar gipoteza, ehtimollar esa apriori deb ataladi. Bu formula umumiy ehtimollik formulasi deb ataladi.

Bayes formulasi to'liq hodisalar guruhini tashkil etuvchi har qanday hodisa bilan birga paydo bo'ladigan hodisa sodir bo'lganda va gipotezalarning ehtimolliklarini miqdoriy qayta baholash zarur bo'lganda amaliy muammolarni hal qilishda qo'llaniladi. Apriori (tajribadan oldin) ehtimollar ma'lum. Posteriori (tajribadan keyin) ehtimolliklarni hisoblash talab qilinadi, ya'ni. Asosan, siz shartli ehtimollarni topishingiz kerak. Bayes formulasi quyidagicha ko'rinadi:

Keyingi sahifada muammo haqida gap boradi.

Muammoni hal qilish misoli

1-topshiriqning sharti

Zavodda 1, 2 va 3 dastgohlar mos ravishda barcha qismlarning 20%, 35% va 45% ni ishlab chiqaradi. Ularning mahsulotlarida nuqson mos ravishda 6%, 4%, 2% ni tashkil qiladi. Tasodifiy tanlangan buyumning nuqsonli bo'lish ehtimoli qanday? Uning ishlab chiqarilganligi ehtimoli qanday: a) 1-mashinada; b) 2-mashina; c) 3-mashina?

1-muammo yechimi

Standart mahsulot nuqsonli bo'lganligini hodisa bilan belgilang.

Voqea faqat uchta hodisadan biri sodir bo'lganda sodir bo'lishi mumkin:

Mahsulot 1-mashinada ishlab chiqariladi;

Mahsulot 2-mashinada ishlab chiqariladi;

Mahsulot 3-mashinada ishlab chiqariladi;

Shartli ehtimollarni yozamiz:

Umumiy ehtimollik formulasi

Agar hodisa faqat mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi hodisalardan biri sodir bo'lganda sodir bo'lishi mumkin bo'lsa, u holda hodisaning ehtimolligi formula bilan hisoblanadi.

Umumiy ehtimollik formulasidan foydalanib, biz hodisaning ehtimolini topamiz:

Bayes formulasi

Bayes formulasi "sabab va ta'sirni qayta tartibga solish" imkonini beradi: ko'ra ma'lum fakt ma'lum bir sabab tufayli yuzaga kelishi ehtimolini hisoblash uchun hodisa.

1-mashinada nuqsonli mahsulot ishlab chiqarilganligi ehtimoli:

2-mashinada nuqsonli mahsulot ishlab chiqarilganligi ehtimoli:

3-mashinada nuqsonli mahsulot ishlab chiqarilganligi ehtimoli:

2-topshiriqning sharti

Guruhda 1 nafar a’lochi, 5 nafar a’lochi va 14 nafar o‘rtacha o‘quvchi bor. A’lochi talaba 5 va 4 ga teng ehtimollik bilan javob beradi, yaxshi o‘quvchi 5, 4 va 3 ga teng ehtimollik bilan javob beradi, o‘rtacha o‘quvchi esa 4,3 va 2 ga teng ehtimollik bilan javob beradi. Tasodifiy tanlangan talaba javob berdi 4. O'rtacha o'quvchini chaqirish ehtimoli qanday?

2-muammo yechimi

Gipotezalar va shartli ehtimollar

Quyidagi farazlar mumkin:

A’lochi talaba javob berdi;

Yaxshi javob berdi;

– o‘rtamiyona talaba javob berdi;

Voqea - talaba 4 ga ega bo'lsin.

Javob:

Narxga qarorning shoshilinchligi (kunlardan bir necha soatgacha) kuchli ta'sir ko'rsatadi. Imtihon / testda onlayn yordam tayinlash orqali amalga oshiriladi.

Ilova to'g'ridan-to'g'ri chatda qoldirilishi mumkin, avvalroq topshiriqlarning holatini o'chirib tashlab, uni hal qilish muddatlari haqida sizni xabardor qiladi. Javob vaqti bir necha daqiqa.

Ishning maqsadi: umumiy ehtimollik formulasi va Bayes formulasidan foydalangan holda ehtimollar nazariyasiga oid masalalarni yechish malakalarini shakllantirish.

Umumiy ehtimollik formulasi

Hodisa ehtimoli LEKIN, bu faqat mos kelmaydigan hodisalardan biri sodir bo'lganda paydo bo'lishi mumkin B x, B 2 ,..., B n, To'liq guruhni shakllantirish ushbu hodisalarning har birining ehtimolliklari va A hodisasining tegishli shartli ehtimolliklari yig'indisiga teng:

Bu formula deyiladi umumiy ehtimollik formulasi.

Gipotezalarning ehtimolligi. Bayes formulasi

Tadbirga ruxsat bering LEKIN mos kelmaydigan hodisalardan biri sodir bo'lganda paydo bo'lishi mumkin B b B 2 ,...,B p, to'liq guruhni shakllantirish. Ushbu hodisalarning qaysi biri sodir bo'lishi oldindan ma'lum bo'lmagani uchun, ular gipoteza deb ataladi. Voqea sodir bo'lish ehtimoli LEKIN umumiy ehtimollik formulasi bilan aniqlanadi:

Sinov o'tkazildi, natijada voqea sodir bo'ldi deb taxmin qiling LEKIN. Ular qanday o'zgarganligini aniqlash kerak (hodisa tufayli LEKIN allaqachon kelgan) gipotezalarning ehtimolliklari. Gipotezalarning shartli ehtimollari formula orqali topiladi

Ushbu formulada indeks / = 1.2

Bu formula Bayes formulasi deb ataladi (uni yaratgan ingliz matematigi nomi bilan; 1764 yilda nashr etilgan). Bayes formulasi test natijasi ma'lum bo'lgandan keyin gipotezalarning ehtimolini oshirib yuborishga imkon beradi, buning natijasida hodisa paydo bo'ldi. LEKIN.

Vazifa 1. Zavod ma'lum turdagi qismlarni ishlab chiqaradi, har bir qism 0,05 ehtimollik bilan nuqsonga ega. Qismni bitta inspektor tekshiradi; u 0,97 ehtimollik bilan nuqsonni aniqlaydi va agar nuqson topilmasa, u qismni tayyor mahsulotga o'tkazadi. Bundan tashqari, inspektor xatosi bo'lmagan qismni noto'g'ri rad etishi mumkin; buning ehtimoli 0,01 ga teng. Quyidagi hodisalarning ehtimolini toping: A - qism rad etiladi; B - qism rad etiladi, lekin noto'g'ri; C - qism nuqsonli tayyor mahsulotga o'tkazib yuboriladi.

Yechim

Gipotezalarni belgilaymiz:

H= (standart qism tekshirish uchun yuboriladi);

H= (nostandart qism tekshirish uchun yuboriladi).

Tadbir A =(qismi rad etiladi).

Muammoning shartidan biz ehtimolliklarni topamiz

P H (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Umumiy ehtimollik formulasiga ko'ra, biz olamiz

Bir qismning xatolik tufayli rad etilishi ehtimoli

Qismning nuqsonli tayyor mahsulotga o'tkazib yuborilishi ehtimolini topamiz:

Javob:

Vazifa 2. Mahsulotning standartligi uchta tovar ekspertidan biri tomonidan tekshiriladi. Mahsulotning birinchi merchandayserga etib borishi ehtimoli 0,25, ikkinchisiga - 0,26 va uchinchisiga - 0,49. Birinchi merchandayser tomonidan mahsulotning standart sifatida tan olinishi ehtimoli 0,95, ikkinchisida - 0,98, uchinchisida - 0,97. Standart mahsulot ikkinchi inspektor tomonidan tekshirilishi ehtimolini toping.

Yechim

Keling, voqealarni belgilaylik:

L. =(tasdiqlash uchun mahsulot /-th tovar menejeriga boradi); / = 1, 2, 3;

B =(mahsulot standart sifatida tan olinadi).

Muammoning shartiga ko'ra, ehtimolliklar ma'lum:

Biz shartli ehtimollarni ham bilamiz

Bayes formulasidan foydalanib, biz standart mahsulot ikkinchi kontroller tomonidan tekshirilishi ehtimolini topamiz:

Javob:“0,263.

Vazifa 3. Ikki mashina umumiy konveyerga o'tadigan qismlarni ishlab chiqaradi. Birinchi mashinada nostandart qismni olish ehtimoli 0,06, ikkinchisida esa - 0,09. Ikkinchi mashinaning ishlashi birinchisidan ikki baravar ko'p. Konveyerdan nostandart qism olingan. Bu qismni ikkinchi mashina ishlab chiqarish ehtimolini toping.

Yechim

Keling, voqealarni belgilaylik:

A. =(yig'ish liniyasidan olingan qism i-chi mashina tomonidan ishlab chiqariladi); / = 1,2;

DA= (qabul qilingan qism nostandart bo'ladi).

Biz shartli ehtimollarni ham bilamiz

Umumiy ehtimollik formulasidan foydalanib, topamiz

Bayes formulasidan foydalanib, biz olingan nostandart qismni ikkinchi avtomat tomonidan ishlab chiqarish ehtimolini topamiz:

Javob: 0,75.

Vazifa 4. Ishonchliligi mos ravishda 0,8 va 0,9 bo'lgan ikkita tugundan iborat qurilma sinovdan o'tkaziladi. Tugunlar bir-biridan mustaqil ravishda muvaffaqiyatsizlikka uchraydi. Qurilma muvaffaqiyatsiz tugadi. Buni hisobga olgan holda, gipotezalarning ehtimolliklarini toping:

• a) faqat birinchi tugun nosoz;
• b) faqat ikkinchi tugun noto'g'ri;
• c) ikkala tugun ham noto'g'ri.

Yechim

Keling, voqealarni belgilaylik:

D = (7-tugun muvaffaqiyatsiz bo'lmaydi); i = 1,2;

D - mos keladigan qarama-qarshi hodisalar;

LEKIN= (sinov paytida qurilma muvaffaqiyatsiz bo'ladi).

Muammoning shartidan biz olamiz: P(D) = 0,8; P(L 2) = 0,9.

Qarama-qarshi hodisalarning ehtimollik xususiyatiga ko'ra

Tadbir LEKIN mahsulotlar yig'indisiga teng mustaqil hodisalar

Mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qoʻshish teoremasidan va mustaqil hodisalar ehtimolini koʻpaytirish teoremasidan foydalanib, biz hosil boʻlamiz.

Endi biz gipotezalarning ehtimolliklarini topamiz:

Javob:

Vazifa 5. Zavodda murvatlar uchta mashinada ishlab chiqariladi, ular murvatlarning umumiy sonining mos ravishda 25%, 30% va 45% ni ishlab chiqaradi. Mashina asboblarini ishlab chiqarishda nuqson mos ravishda 4%, 3% va 2% ni tashkil qiladi. Kiruvchi mahsulotdan tasodifiy olingan murvatning nuqsonli bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim

Keling, voqealarni belgilaylik:

4 = (i-chi mashinada tasodifiy olingan murvat qilingan); i = 1, 2, 3;

DA= (tasodifiy olingan murvat nuqsonli bo'ladi).

Muammoning shartidan klassik ehtimollik formulasidan foydalanib, biz gipotezalarning ehtimolliklarini topamiz:

Bundan tashqari, klassik ehtimollik formulasidan foydalanib, biz shartli ehtimollarni topamiz:

Umumiy ehtimollik formulasidan foydalanib, topamiz

Javob: 0,028.

Vazifa 6. Elektron sxema 0,25 ehtimollik bilan uchta partiyadan biriga tegishli; 0,5 va 0,25. Tomonlarning har biri uchun sxemaning kafolat muddatidan tashqari ishlashi ehtimoli mos ravishda 0,1 ga teng; 0,2 va 0,4. Tasodifiy tanlangan sxemaning kafolat muddatidan tashqari ishlashi ehtimolini toping.

Yechim

Keling, voqealarni belgilaylik:

4 \u003d (tasodifiy sxemadan olingan r-chi partiya); i = 1, 2, 3;

DA= (tasodifiy olingan sxema kafolat muddatidan keyin ishlaydi).

Muammoning shartiga ko'ra, gipotezalarning ehtimolliklari ma'lum:

Biz shartli ehtimollarni ham bilamiz:

Umumiy ehtimollik formulasidan foydalanib, topamiz

Javob: 0,225.

Vazifa 7. Qurilma ikkita blokni o'z ichiga oladi, ularning har birining xizmat ko'rsatish qobiliyati qurilmaning ishlashi uchun zarurdir. Ushbu bloklar uchun nosozliksiz ishlash ehtimoli mos ravishda 0,99 va 0,97 ni tashkil qiladi. Qurilma ishdan chiqqan. Ikkala birlikning muvaffaqiyatsiz bo'lish ehtimolini aniqlang.

Yechim

Keling, voqealarni belgilaylik:

D = ( z bloki muvaffaqiyatsiz bo'ladi); i = 1,2;

LEKIN= (qurilma ishlamay qoladi).

Masalaning shartidan qarama-qarshi hodisalarning ehtimollik xossasiga ko'ra quyidagilarga erishamiz: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Tadbir LEKIN D yoki hodisalarning kamida bittasi bo'lgandagina sodir bo'ladi A 2 . Shuning uchun bu hodisa hodisalar yig'indisiga teng LEKIN= D + LEKIN 2 .

Qo'shma hodisalar ehtimoli uchun qo'shish teoremasi orqali biz olamiz

Bayes formulasidan foydalanib, biz ikkala blokning ishdan chiqishi tufayli qurilmaning ishdan chiqishi ehtimolini topamiz.

Javob:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar Vazifa 1. Televizion studiyaning omborida 1-sonli zavod tomonidan ishlab chiqarilgan kineskoplarning 70%; qolgan kineskoplar 2-sonli zavod tomonidan ishlab chiqarilgan. Kafolat muddati davomida kineskopning ishlamay qolish ehtimoli 1-sonli zavodning kineskoplari uchun 0,8 va 2-sonli kineskoplar uchun 0,7. Kineskop kafolat muddatidan o'tgan. Uning 2-sonli zavod tomonidan ishlab chiqarilganligi ehtimolini toping.

Vazifa 2. Yig'ish uchun uchta avtomatik mashinaning qismlari keladi. Ma'lumki, 1-mashina 0,3%, 2-chi - 0,2%, 3-chi - 0,4% nuqsonlarni beradi. Agar 1-mashinadan 1000 ta, 2-dan 2000 ta, 3-dan esa 2500 ta detal olingan boʻlsa, yigʻish uchun nuqsonli qismni olish ehtimolini toping.

Vazifa 3. Ikkita mashina bir xil qismlarni ishlab chiqaradi. Birinchi mashinada ishlab chiqarilgan qismning standart bo'lish ehtimoli 0,8 ga, ikkinchisida esa 0,9 ga teng. Ikkinchi mashinaning ishlashi birinchisidan uch baravar ko'p. Ikkala mashinadan qismlarni qabul qiladigan konveyerdan standart qismning tasodifiy olinishi ehtimolini toping.

Vazifa 4. Kompaniya rahbari uchta transport kompaniyasidan ikkitasi xizmatidan foydalanishga qaror qildi. Birinchi, ikkinchi va uchinchi firmalar uchun tovarlarni o'z vaqtida etkazib bermaslik ehtimoli mos ravishda 0,05; 0,1 va 0,07. Ushbu ma'lumotlarni yuk tashish xavfsizligi to'g'risidagi ma'lumotlar bilan taqqoslab, menejer tanlov adolatli degan xulosaga keldi va uni qur'a tashlashga qaror qildi. Yuborilgan yukni o'z vaqtida yetkazib berish ehtimolini toping.

Vazifa 5. Qurilma ikkita blokni o'z ichiga oladi, ularning har birining xizmat ko'rsatish qobiliyati qurilmaning ishlashi uchun zarurdir. Ushbu bloklar uchun nosozliksiz ishlash ehtimoli mos ravishda 0,99 va 0,97 ni tashkil qiladi. Qurilma ishdan chiqqan. Ikkinchi blokning ishlamay qolish ehtimolini aniqlang.

Vazifa 6. Yig'ish sexi qismlarni uchta mashinadan oladi. Birinchi mashina nikohning 3% ni, ikkinchisi - 1% va uchinchisi - 2% ni beradi. Agar har bir mashinadan mos ravishda 500, 200, 300 ta detal olingan bo'lsa, nosoz qismning yig'ilishga tushish ehtimolini aniqlang.

Vazifa 7. Ombor uchta firmaning mahsulotlarini qabul qiladi. Bundan tashqari, birinchi firmaning ishlab chiqarishi 20%, ikkinchisi - 46% va uchinchisi - 34% ni tashkil qiladi. Ma'lumki, birinchi firma uchun nostandart mahsulotlarning o'rtacha ulushi 5%, ikkinchisi uchun - 2% va uchinchisi uchun - 1%. Tasodifiy tanlangan mahsulot standart bo'lib chiqsa, ikkinchi kompaniya tomonidan ishlab chiqarilgan bo'lish ehtimolini toping.

Vazifa 8. Bir nuqson tufayli zavodni ishlab chiqarishda nikoh a 5% ni tashkil qiladi va asosida rad etilganlar orasida a mahsulotlar 10% hollarda nuqson bor R. Va nuqsonsiz mahsulotlarda a, nuqson R 1% hollarda uchraydi. Kamchilikka duch kelish ehtimolini toping R barcha mahsulotlarda.

9-topshiriq. Korxonada 10 ta yangi va 5 ta avval ta’mirda bo‘lgan eski avtomobil mavjud. Yangi mashina uchun to'g'ri ishlash ehtimoli 0,94, eskisi uchun - 0,91. Tasodifiy tanlangan mashinaning to'g'ri ishlashi ehtimolini toping.

Vazifa 10. Ikkita sensor umumiy aloqa kanaliga signal yuboradi va ularning birinchisi ikkinchisiga qaraganda ikki barobar ko'p signal yuboradi. Birinchi sensordan buzilgan signalni olish ehtimoli 0,01, ikkinchisidan - 0,03. Umumiy aloqa kanalida buzilgan signalni qabul qilish ehtimoli qanday?

11-topshiriq. Mahsulotlarning beshta partiyasi mavjud: uchta partiya 8 dona, ulardan 6 tasi standart va 2 tasi nostandart va ikkita partiyasi 10 dona, shundan 7 tasi standart va 3 tasi nostandart. Partiyalardan biri tasodifiy tanlanadi va bu partiyadan tafsilot olinadi. Tanlangan qismning standart bo'lish ehtimolini aniqlang.

12-topshiriq. Montajchi birinchi zavoddan o'rtacha 50% qismlarni, ikkinchi zavoddan 30% va uchinchi zavoddan 20% oladi. Birinchi zavodning bir qismi mukammal sifatga ega bo'lish ehtimoli 0,7; ikkinchi va uchinchi zavodlarning qismlari uchun mos ravishda 0,8 va 0,9. Tasodifiy ravishda olingan ishtirok a'lo sifatli bo'lib chiqdi. Bu qismning birinchi zavod tomonidan ishlab chiqarilganligi ehtimolini toping.

13-topshiriq. Avtomobillarni bojxona ko‘rigidan o‘tkazish ikki nafar inspektor tomonidan amalga oshiriladi. O'rtacha 100 ta mashinadan 45 tasi birinchi inspektordan o'tadi. Ko‘rikdan o‘tishda bojxona qoidalariga rioya qilgan avtomashinaning ushlanmaslik ehtimoli birinchi inspektor uchun 0,95, ikkinchisi uchun 0,85 ni tashkil qiladi. Bojxona qoidalariga rioya qilgan avtomobilning ushlanmaslik ehtimolini toping.

14-topshiriq. Qurilmani yig'ish uchun zarur bo'lgan qismlar ikkita avtomatik mashinadan keladi, ularning ishlashi bir xil. Agar avtomatlardan biri standart buzilishning o'rtacha 3% ni, ikkinchisi esa 2% ni bersa, standart qismning yig'ilishga kirish ehtimolini hisoblang.

15-topshiriq. Og'ir atletika bo'yicha murabbiy ushbu vazn toifasida jamoaviy kredit olish uchun sportchi 200 kg og'irlikdagi shtangani surishi kerakligini hisoblab chiqdi. Ivanov, Petrov va Sidorovlar jamoadan joy olishadi. Ivanov mashg'ulotlar davomida 7 ta holatda bunday og'irlikni ko'tarishga urinib ko'rdi va 3 tasini ko'tardi. Petrov 13 tadan 6 marta ko'tardi, Sidorov esa shtangani muvaffaqiyatli boshqarish uchun 35% imkoniyatga ega. Murabbiy tasodifiy tarzda jamoaga bitta sportchini tanlaydi.

• a) Tanlangan sportchining jamoa ochkolarini keltirish ehtimolini toping.
• b) Jamoa hech qanday ochko olmadi. Sidorovning gapirish ehtimolini toping.

16-topshiriq. Oq qutida 12 ta qizil va 6 ta ko'k shar bor. Qora rangda - 15 qizil va 10 ko'k to'p. Zar tashlang. Agar ballar soni 3 ga karrali bo'lsa, oq qutidan tasodifiy to'p olinadi. Agar boshqa har qanday nuqtalar soni tushib qolsa, qora qutidan tasodifiy to'p olinadi. Qizil sharning paydo bo'lish ehtimoli qanday?

17-topshiriq. Ikkita qutida radio trubkalari mavjud. Birinchi qutida 12 ta chiroq mavjud, ulardan 1 tasi nostandart; ikkinchisida 10 ta chiroq mavjud, ulardan 1 tasi nostandart. Birinchi qutidan tasodifiy chiroq olindi va ikkinchisiga o'tkazildi. Ikkinchi qutidan tasodifiy chizilgan chiroqning nostandart bo'lish ehtimolini toping.

18-topshiriq. Oq to'p ikkita to'pni o'z ichiga olgan idishga tashlanadi, shundan so'ng bitta to'p tasodifiy tortiladi. Agar to'plarning dastlabki tarkibi (rang bo'yicha) bo'yicha barcha mumkin bo'lgan taxminlar bir xil bo'lsa, chizilgan to'pning oq bo'lish ehtimolini toping.

19-topshiriq. Standart qism 3 ta bir xil qismdan iborat qutiga tashlanadi va keyin bir qism tasodifiy chiziladi. Dastlabki qutidagi standart qismlar soni haqidagi barcha taxminlar bir xil ehtimolga ega bo'lsa, standart qism chizilgan bo'lish ehtimolini toping.

Vazifa 20. Radioaloqa sifatini oshirish uchun ikkita radio qabul qiluvchidan foydalaniladi. Har bir qabul qiluvchi tomonidan signalni qabul qilish ehtimoli 0,8 ga teng va bu hodisalar (qabul qiluvchi tomonidan signalni qabul qilish) mustaqildir. Har bir qabul qiluvchi uchun radioaloqa seansi vaqtida nosozliksiz ishlash ehtimoli 0,9 ga teng bo'lsa, signalni qabul qilish ehtimolini aniqlang.

Umumiy ehtimollik formulasini olishda, hodisa deb taxmin qilingan LEKIN, ehtimolligi aniqlanishi kerak bo'lgan voqealardan birida sodir bo'lishi mumkin edi H 1 , N 2 , ... , H n, juftlik mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi. Bu hodisalarning (gipotezalarning) ehtimoli oldindan ma'lum edi. Tajriba o'tkazildi deb faraz qilaylik, natijada voqea sodir bo'ldi LEKIN keldi. Bu qo'shimcha ma'lumot gipotezalarning ehtimolini qaytadan baholash imkonini beradi H i, hisoblab chiqqan holda P (H i / A).

yoki umumiy ehtimollik formulasidan foydalanib, biz olamiz

Bu formula Bayes formulasi yoki gipoteza teoremasi deb ataladi. Bayes formulasi tajriba natijasi ma'lum bo'lgandan keyin gipotezalarning ehtimolini "qayta ko'rib chiqish" imkonini beradi, natijada voqea paydo bo'ldi. LEKIN.

Ehtimollar R(N i) gipotezalarning apriori ehtimollaridir (ular tajribadan oldin hisoblangan). Ehtimollar P(H i /A) gipotezalarning a posteriori ehtimolliklari (ular tajribadan keyin hisoblanadi). Bayes formulasi keyingi ehtimolliklarni ularning oldingi ehtimollaridan va hodisaning shartli ehtimollaridan hisoblash imkonini beradi. LEKIN.

Misol. Ma'lumki, barcha erkaklarning 5% va barcha ayollarning 0,25% ranglarni ko'r qiladi. Tibbiy karta raqami bo'yicha tasodifiy tanlangan kishi rang ko'rligidan aziyat chekadi. Uning erkak bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim. Tadbir LEKIN Odam rang ko'r. Eksperiment uchun elementar hodisalar maydoni - odam tibbiy karta raqami bo'yicha tanlanadi - Ō = ( H 1 , N 2 ) 2 ta hodisadan iborat:

H 1 - erkak tanlangan,

H 2 - ayol tanlangan.

Bu hodisalar faraz sifatida tanlanishi mumkin.

Muammoning shartiga ko'ra (tasodifiy tanlash) bu hodisalarning ehtimollari bir xil va tengdir P (H 1 ) = 0.5; P (H 2 ) = 0.5.

Bunday holda, odamning rang ko'rligidan aziyat chekishining shartli ehtimollari mos ravishda tengdir:

P(A/N 1 ) = 0.05 = 1/20; P(A/N 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Tanlangan odamning rangi ko'r ekanligi, ya'ni voqea sodir bo'lganligi ma'lum bo'lganligi sababli, birinchi gipotezani qayta baholash uchun Bayes formulasidan foydalanamiz:

Misol. Uchta bir xil quti mavjud. Birinchi qutida 20 ta oq shar, ikkinchi qutida 10 ta oq va 10 ta qora shar, uchinchi qutida 20 ta qora shar bor. Tasodifiy tanlangan qutidan oq to'p olinadi. To'pning birinchi qutidan tortib olinishi ehtimolini hisoblang.

Yechim. tomonidan belgilang LEKIN hodisa - oq to'pning paydo bo'lishi. Qutini tanlash bo'yicha uchta taxmin (gipoteza) bo'lishi mumkin: H 1 ,H 2 , H 3 - mos ravishda birinchi, ikkinchi va uchinchi qutilarni tanlash.

Har qanday qutini tanlash bir xil darajada mumkin bo'lganligi sababli, gipotezalarning ehtimolliklari bir xil:

P (H 1 )=P(H 2 )=P(H 3 )= 1/3.

Muammoning shartiga ko'ra, birinchi qutidan oq sharni chizish ehtimoli

Ikkinchi qutidan oq to'pni chizish ehtimoli

Uchinchi qutidan oq to'pni chizish ehtimoli

Bayes formulasi yordamida kerakli ehtimollikni topamiz:

Sinovlarni takrorlash. Bernoulli formulasi.

n ta sinov mavjud bo'lib, ularning har birida A hodisasi sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin va har bir alohida sinovda A hodisasining ehtimoli doimiy, ya'ni. tajribadan tajribaga o'zgarmaydi. Biz bir tajribada A hodisasining ehtimolini qanday topishni allaqachon bilamiz.

n ta tajribada A hodisasining ma'lum bir necha marta (m marta) sodir bo'lish ehtimoli alohida qiziqish uyg'otadi. testlar mustaqil bo'lsa, bunday muammolar osongina hal qilinadi.

Def. Bir nechta testlar chaqiriladi hodisaga nisbatan mustaqil A agar ularning har birida A hodisaning ehtimoli boshqa tajribalar natijalariga bog'liq bo'lmasa.

A hodisaning ro'y berish ehtimoli P n (m) aynan m marta (ro'y bermaslik) n-m marta, hodisa ) bu n sinovlarda. A hodisasi turli ketma-ketlikda m marta paydo bo'ladi).

Bernoulli formulasi.

Quyidagi formulalar aniq:

P n (m Kamroq n ta sinovda k marta.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli. Ko'proq n ta sinovda k marta.1) n = 8, m = 4, p = q = ½,

Bayes formulasi

Bayes teoremasi- kuzatishlar asosida hodisalar haqida faqat ba'zi bir qisman ma'lumotlar ma'lum bo'lgan sharoitlarda sodir bo'lish ehtimolini aniqlaydigan elementar ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalaridan biri. Bayes formulasiga ko'ra, ilgari ma'lum bo'lgan ma'lumotlarni ham, yangi kuzatishlar ma'lumotlarini ham hisobga olgan holda, ehtimollikni aniqroq qayta hisoblash mumkin.

"Jismoniy ma'no" va terminologiya

Bayes formulasi "sabab va oqibatni qayta tartibga solish" imkonini beradi: hodisaning ma'lum faktini hisobga olgan holda, uning ma'lum bir sabab tufayli yuzaga kelishi ehtimolini hisoblang.

Bu holatda "sabablar" harakatini aks ettiruvchi hodisalar odatda deyiladi farazlar, chunki ular taxmin qilingan unga olib keladigan voqealar. Gipotezaning haqiqiyligining shartsiz ehtimoli deyiladi a priori(Sabab qanchalik ehtimol? umuman) va shartli - voqea faktini hisobga olgan holda - a posteriori(Sabab qanchalik ehtimol? voqea ma'lumotlarini hisobga olgan holda chiqdi).

Natija

Bayes formulasining muhim natijasi - bu hodisaning umumiy ehtimolining formulasi bir nechta nomuvofiq farazlar ( va faqat ulardan!).

Formulaning kelib chiqishi

Agar hodisa faqat sabablarga bog'liq bo'lsa A i, keyin sodir bo'lgan bo'lsa, demak, ba'zi sabablar majburiy ravishda sodir bo'lgan, ya'ni.

Bayes formulasi bo'yicha

transfer P(B) o'ngga, biz kerakli ifodani olamiz.

Spamni filtrlash usuli

Bayes teoremasiga asoslangan usul spamni filtrlashda muvaffaqiyatli qo'llanildi.

Tavsif

Filtrni o'rgatishda harflarda uchraydigan har bir so'z uchun uning "og'irligi" hisoblab chiqiladi va saqlanadi - bu so'zli xatning spam bo'lish ehtimoli (eng oddiy holatda, ehtimollikning klassik ta'rifiga ko'ra: "spamdagi ko'rinishlar / hamma narsaning ko'rinishi").

Yangi kelgan xatni tekshirishda uning spam bo'lish ehtimoli farazlar to'plami uchun yuqoridagi formuladan foydalanib hisoblanadi. Bunda "gipotezalar" so'zlar bo'lib, har bir so'z uchun "gipotezaning ishonchliligi" - harfdagi ushbu so'zning% va "hodisaning gipotezaga bog'liqligi" P(B | A i) - so'zning oldindan hisoblangan "og'irligi". Ya'ni, bu holda harfning "og'irligi" uning barcha so'zlarining o'rtacha "og'irligi" dan boshqa narsa emas.

Xat "og'irligi" foydalanuvchi tomonidan o'rnatilgan ma'lum chiziqdan oshib ketishiga qarab "spam" yoki "spam bo'lmagan" deb tasniflanadi (odatda 60-80% olinadi). Xat bo'yicha qaror qabul qilingandan so'ng, unga kiritilgan so'zlar uchun "vaznlar" ma'lumotlar bazasida yangilanadi.

Xarakterli

Ushbu usul oddiy (algoritmlar elementar), qulay ("qora ro'yxatlar" va shunga o'xshash sun'iy nayranglarsiz bajarishga imkon beradi), samarali (etarlicha katta namunada mashq qilgandan so'ng, spamni 95-97% gacha qisqartiradi va har qanday xatolik bo'lsa, u qo'shimcha o'qitilishi mumkin). Umuman olganda, uning keng qo'llanilishi uchun barcha ko'rsatmalar mavjud, bu amalda sodir bo'ladi - deyarli barcha zamonaviy spam-filtrlar uning asosida qurilgan.

Biroq, usulning asosiy kamchiligi ham bor: u taxminga asoslanadi, nima ba'zi so'zlar spamda ko'proq uchraydi, boshqalari esa oddiy elektron pochta xabarlarida, va agar bu taxmin noto'g'ri bo'lsa, samarasiz bo'ladi. Biroq, amaliyot shuni ko'rsatadiki, hatto odam ham bunday spamni "ko'z bilan" aniqlay olmaydi - faqat xatni o'qib, uning ma'nosini tushungandan keyin.

Amalga oshirish bilan bog'liq bo'lgan yana bir muhim kamchilik - bu usul faqat matn bilan ishlaydi. Ushbu cheklov haqida bilib, spamerlar rasmga reklama ma'lumotlarini qo'yishni boshladilar, shu bilan birga xatdagi matn yo'q yoki mantiqiy emas. Bunga qarshi yoki matnni aniqlash vositalaridan foydalanish kerak ("qimmat" protsedura, u faqat shunday hollarda qo'llaniladi. favqulodda), yoki eski filtrlash usullari - "qora ro'yxatlar" va muntazam iboralar (chunki bunday harflar ko'pincha stereotip shaklga ega).

Shuningdek qarang

Eslatmalar

Havolalar

Adabiyot

• Byrd Kivi. Ruhoniy Bayes teoremasi. // Computerra jurnali, 2001 yil 24 avgust
• Pol Grem. Spam uchun reja. // Pol Grahamning shaxsiy sayti.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Bayes formulasi" nima ekanligini ko'ring:

Quyidagi formula: a1, A2, ..., An mos kelmaydigan hodisalar, F.ni qoʻllashning umumiy sxemasi. g.: agar B hodisasi dekompatsiyada sodir bo'lishi mumkin bo'lsa. A1, A2, ..., An n ta gipoteza P (A1), ... tajribadan oldin ma'lum, ... ... ehtimollar bilan tuzilgan shartlar. Geologik entsiklopediya

Muayyan gipotezalarni, shuningdek, ushbu gipotezalarning ehtimolini hisobga olgan holda, ushbu hodisaning shartli ehtimollari orqali qiziqish hodisasining ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Formulyatsiya Bir ehtimollik maydoni berilgan bo'lsin, va juftlik bilan to'liq guruh ... ... Vikipediya

Muayyan gipotezalarni, shuningdek, ushbu gipotezalarning ehtimolini hisobga olgan holda, ushbu hodisaning shartli ehtimollari orqali qiziqish hodisasining ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Formulyatsiya Bir ehtimollik maydoni berilgan bo'lsin, va hodisalarning to'liq guruhi, bunday ... ... Vikipediya

- (yoki Bayes formulasi) ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalaridan biri boʻlib, voqea (gipoteza) faqat notoʻgʻri boʻlishi mumkin boʻlgan bilvosita dalillar (maʼlumotlar) mavjud boʻlganda sodir boʻlish ehtimolini aniqlash imkonini beradi... Vikipediya.

Bayes teoremasi elementar ehtimollar nazariyasining asosiy teoremalaridan biri boʻlib, kuzatishlar asosida hodisalar haqida faqat baʼzi bir qisman maʼlumotlar maʼlum boʻlgan sharoitda sodir boʻlish ehtimolini belgilaydi. Bayes formulasiga ko'ra, siz ... ... Vikipediya

Bayes, Tomas Tomas Bayes Muhtaram Tomas Bayes Tug'ilgan yili: 1702 (1702) Tug'ilgan joyi ... Vikipediya

Tomas Bayes Muhtaram Tomas Bayes Tug'ilgan yili: 1702 (1702) Tug'ilgan joyi: London ... Vikipediya

Bayes xulosasi - bu statistik xulosa chiqarish usullaridan biri bo'lib, unda Bayes formulasi dalillar kelganda gipotezalar haqiqatining ehtimollik baholarini aniqlashtirish uchun ishlatiladi. Bayesian yangilanishidan foydalanish ayniqsa ...... Vikipediyada muhim ahamiyatga ega

Ushbu maqolani yaxshilash maqsadga muvofiqmi?: Izohlar ko'rinishida yozilganlarni tasdiqlovchi nufuzli manbalarga havolalarni toping va tartibga soling. Izohlarni qo'yib, manbalarni aniqroq ko'rsating. Pere ... Vikipediya

Mahbuslar o'zlarining g'arazli manfaatlarini ko'zlab, bir-birlariga xiyonat qiladilarmi yoki ular jim bo'lib, shu bilan umumiy muddatni kamaytiradimi? Mahbusning dilemmasi (Ing. Prisoner's dilemma, "dilemma" nomi kamroq qo'llaniladi ... Vikipediya

Kitoblar

• Masalalarda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. 360 dan ortiq topshiriq va mashqlar, Borzykh D.A. Taklif etilayotgan qo'llanmada vazifalar mavjud turli darajalar qiyinchiliklar. Biroq, asosiy e'tibor o'rtacha murakkablikdagi vazifalarga qaratilgan. Bu talabalarni rag'batlantirish uchun ataylab qilingan ...