Algebraik ifodalarni soddalashtirish algebrani o'rganishning kalitlaridan biri va barcha matematiklar uchun juda foydali mahoratdir. Soddalashtirish murakkab yoki uzun ifodani ishlash uchun qulay bo‘lgan oddiy ifodaga qisqartirish imkonini beradi. Oddiy soddalashtirish qobiliyatlari hatto matematikaga ishtiyoqi bo'lmaganlar uchun ham yaxshi. Bir nechta oddiy qoidalarga rioya qilish orqali algebraik ifodalarning eng keng tarqalgan turlarini hech qanday maxsus matematik bilimlarsiz soddalashtirish mumkin.

Qadamlar

Muhim ta'riflar

1. O'xshash a'zolar . Bular bir xil tartibdagi o'zgaruvchiga ega bo'lgan a'zolar, bir xil o'zgaruvchilarga ega bo'lgan a'zolar yoki erkin a'zolar (o'zgaruvchini o'z ichiga olmaydi). Boshqacha qilib aytganda, o'xshash atamalar bir xil darajada bir o'zgaruvchini o'z ichiga oladi, bir nechta bir xil o'zgaruvchilarni o'z ichiga oladi yoki umuman o'zgaruvchini o'z ichiga olmaydi. Ifodadagi atamalarning tartibi muhim emas.

   • Masalan, 3x 2 va 4x 2 atamalarga o'xshaydi, chunki ular ikkinchi tartibli "x" o'zgaruvchisini (ikkinchi darajali) o'z ichiga oladi. Biroq, x va x 2 o'xshash a'zolar emas, chunki ular turli tartibdagi "x" o'zgaruvchisini o'z ichiga oladi (birinchi va ikkinchi). Xuddi shunday, -3yx va 5xz o'xshash a'zolar emas, chunki ular turli xil o'zgaruvchilarni o'z ichiga oladi.

2. Faktorizatsiya . Bu shunday raqamlarni topish, ularning mahsuloti asl raqamga olib keladi. Har qanday asl raqam bir nechta omillarga ega bo'lishi mumkin. Masalan, 12 raqamini quyidagi omillar qatoriga ajratish mumkin: 1 × 12, 2 × 6 va 3 × 4, shuning uchun biz 1, 2, 3, 4, 6 va 12 raqamlarini koeffitsientlar deb aytishimiz mumkin. soni 12. Komillar bo'linuvchilar bilan bir xil, ya'ni asl raqam bo'linadigan raqamlar.

   • Misol uchun, agar siz 20 raqamini ko'paytirmoqchi bo'lsangiz, uni quyidagicha yozing: 4×5.
   • E'tibor bering, faktoringda o'zgaruvchi hisobga olinadi. Masalan, 20x = 4(5x).
   • Tub sonlarni faktorlarga ajratib bo'lmaydi, chunki ular faqat o'ziga va 1 ga bo'linadi.

3. Xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun operatsiyalar tartibini eslang va bajaring.

   • Qavslar
   • Daraja
   • Ko'paytirish
   • Bo'lim
   • Qo'shish
   • Ayirish

   A'zolar kabi Casting

   1. Ifodani yozing. Eng oddiy algebraik ifodalarni (ularda kasrlar, ildizlar va boshqalar mavjud emas) bir necha bosqichda yechish (soddalashtirish) mumkin.

      • Masalan, ifodani soddalashtiring 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. O'xshash a'zolarni aniqlang (bir xil tartibdagi o'zgaruvchiga ega a'zolar, bir xil o'zgaruvchiga ega bo'lgan a'zolar yoki bo'sh a'zolar).

      • Ushbu iborada o'xshash atamalarni toping. 2x va 4x atamalari bir xil tartibdagi o'zgaruvchini o'z ichiga oladi (birinchi). Bundan tashqari, 1 va -3 bepul a'zolardir (o'zgaruvchini o'z ichiga olmaydi). Shunday qilib, bu iborada, atamalar 2x va 4x o'xshash va a'zolar 1 va -3 ham o'xshashdir.

   3. O'xshash a'zolarni bering. Bu ularni qo'shish yoki ayirish va ifodani soddalashtirishni anglatadi.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Berilgan a'zolarni hisobga olgan holda ifodani qayta yozing. Siz kamroq atamalar bilan oddiy ibora olasiz. Yangi ifoda asl nusxaga teng.

      • Bizning misolimizda: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, ya'ni asl ifoda soddalashtirilgan va u bilan ishlash osonroq.

   5. O'xshash atamalarni quyishda amallarning bajarilish tartibiga rioya qiling. Bizning misolimizda o'xshash atamalarni keltirish oson edi. Biroq, a'zolar qavs ichiga olingan, kasr va ildizlar ishtirok etgan murakkab iboralarda bunday atamalarni keltirish unchalik oson emas. Bunday hollarda operatsiyalar tartibiga rioya qiling.

      • Masalan, 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x ifodasini ko'rib chiqing. Bu erda 3x va 2x ni darhol atamalarga o'xshash deb belgilash va ularni keltirish xato bo'ladi, chunki avval siz qavslarni kengaytirishingiz kerak. Shuning uchun, operatsiyalarni ularning tartibida bajaring.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Hozir, ifoda faqat qo'shish va ayirish amallarini o'z ichiga olgan bo'lsa, siz kabi atamalar yaratishingiz mumkin.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Ko‘paytuvchini qavsga kiritish

   1. Toping eng katta umumiy bo'luvchi(GCD) ifodaning barcha koeffitsientlari. NOD bu eng katta raqam, unga ko'ra ifodaning barcha koeffitsientlari bo'linadi.

      • Masalan, 9x 2 + 27x - 3 tenglamasini ko'rib chiqing. Bu holda, gcd=3, chunki bu ifodaning har qanday koeffitsienti 3 ga bo'linadi.

   2. Ifodaning har bir atamasini gcd ga bo'ling. Olingan atamalar asl ifodaga qaraganda kichikroq koeffitsientlarni o'z ichiga oladi.

      • Bizning misolimizda har bir ifoda atamasini 3 ga bo'ling.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Bu ifoda chiqdi 3x2 + 9x-1. Bu asl ifodaga teng emas.

   3. Asl ifodani hosil bo'lgan ifodaning gcd ko'paytmasiga teng qilib yozing. Ya'ni, olingan ifodani qavs ichiga kiriting va GCD ni qavs ichidan chiqaring.

      • Bizning misolimizda: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Ko‘paytuvchini qavs ichidan olib, kasr ifodalarini soddalashtirish. Nima uchun ko'paytirgichni oldingi kabi qavslardan chiqarib oling? Keyin, kasr iboralari kabi murakkab ifodalarni soddalashtirishni o'rganish. Bunday holda, omilni qavslar tashqarisiga qo'yish kasrdan (maxrajdan) xalos bo'lishga yordam beradi.

      • Masalan, (9x 2 + 27x - 3)/3 kasr ifodasini ko'rib chiqing. Ushbu ifodani soddalashtirish uchun qavslardan foydalaning.
        • 3 omilni hisobga oling (avvalgi kabi): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • E'tibor bering, endi sanoqchi ham, maxraj ham 3 raqamiga ega. Buni qisqartirish mumkin va siz quyidagi ifodani olasiz: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Maxrajida 1 raqami bo'lgan har qanday kasr hisoblagichga teng bo'lganligi sababli, asl kasr ifodasi quyidagicha soddalashtiriladi: 3x2 + 9x-1.

   Qo'shimcha soddalashtirish usullari

   1. Kasrli ifodalarni soddalashtirish. Yuqorida ta'kidlanganidek, agar hisoblagich ham, maxraj ham bir xil atamalarni (yoki hatto bir xil iboralarni) o'z ichiga olsa, ularni qisqartirish mumkin. Buning uchun pay yoki maxrajning umumiy koeffitsientini yoki ikkala raqam va maxrajni chiqarib tashlashingiz kerak. Yoki numeratorning har bir hadini maxrajga bo'lish va shu bilan ifodani soddalashtirish mumkin.

      • Masalan, (5x 2 + 10x + 20)/10 kasr ifodasini ko'rib chiqing. Bu erda hisoblagichning har bir a'zosini maxrajga (10) bo'lish kifoya. Ammo e'tibor bering, 5x2 atamasi hatto 10 ga bo'linmaydi (chunki 5 10 dan kichik).
        • Shunday qilib, soddalashtirilgan ifodani quyidagicha yozing: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

   2. Radikal ifodalarni soddalashtirish. Radikal belgisi ostidagi ifodalar radikal ifodalar deyiladi. Ularni tegishli omillarga parchalash va keyinchalik bir omilni ildiz ostidan olib tashlash orqali soddalashtirish mumkin.

      • Oddiy misolni ko'rib chiqing: √(90). 90 raqamini quyidagi omillarga ajratish mumkin: 9 va 10 va 9 dan olingan ekstrakt Kvadrat ildiz(3) va ildiz ostidan 3 tasini oling.
        • √(90)
        • √(9×10)
        • √(9)×√(10)
        • 3×√(10)
        • 3√(10)

   3. Kuchlar bilan ifodalarni soddalashtirish. Ayrim iboralarda atamalarni daraja bilan ko‘paytirish yoki bo‘lish amallari mavjud. Bir asosga ega bo'lgan atamalar ko'paytirilganda, ularning darajalari qo'shiladi; asosi bir xil boʻlgan hadlarni boʻlishda ularning darajalari ayiriladi.

      • Masalan, 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15) ifodasini ko'rib chiqing. Ko‘paytirishda ko‘rsatkichlarni qo‘shing, bo‘lishda esa ayirish.
        • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
        • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
        • 48x7+x2
      • Quyida atamalarni daraja bilan koʻpaytirish va boʻlish qoidasi tushuntiriladi.
        • Hujjatlarni kuchlar bilan ko'paytirish atamalarni o'z-o'zidan ko'paytirishga tengdir. Masalan, x 3 = x × x × x va x 5 = x × x × x × x × x bo'lganligi sababli, x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x ×) x) yoki x 8 .
        • Xuddi shunday, atamalarni vakolatlarga bo'lish atamalarni o'z-o'zidan ajratish bilan tengdir. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Numeratorda ham, maxrajda ham bo'lgan o'xshash atamalarni qisqartirish mumkinligi sababli, ikkita "x" yoki x 2 ko'paytmasi hisobda qoladi.

Ushbu maqolaning materiali kasrlarni o'z ichiga olgan iboralarni o'zgartirishga umumiy nuqtai nazardir. Bu erda biz kasrli ifodalarga xos bo'lgan asosiy o'zgarishlarni ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kasrli ifodalar va kasrli ifodalar

Boshlash uchun, keling, qanday ifoda konvertatsiyasi bilan shug'ullanmoqchi ekanligimizni aniqlaylik.

Maqolaning sarlavhasida o'z-o'zidan tushunarli ibora mavjud " kasrli ifodalar". Ya'ni, quyida biz sonli ifodalarni va o'zgaruvchili ifodalarni o'zgartirish haqida gapiramiz, ularning yozuvida kamida bitta kasr mavjud.

Darhol ta'kidlaymizki, maqola nashr etilgandan so'ng " Kasrlarni o'zgartirish: umumiy ko'rinish"Bizni endi alohida kasrlar qiziqtirmaydi. Shunday qilib, bundan keyin biz kamida bitta kasr mavjudligi bilan birlashtirilgan ildizlar, darajalar, logarifmlar bilan yig'indi, farqlar, mahsulotlar, qisman va murakkabroq iboralarni ko'rib chiqamiz.

Va keling, bu haqda gaplashaylik kasrli ifodalar. Bu kasrli ifodalar bilan bir xil emas. Kasrli ifodalar - ko'proq umumiy tushuncha. Kasrli har bir ifoda kasrli ifoda emas. Masalan, ifoda kasrli ifoda emas, garchi u kasrni o'z ichiga olsa ham, u butun sonli ratsional ifodadir. Shunday ekan, kasrli ibora borligiga to‘liq ishonchingiz komil bo‘lmay turib, uni kasrli ifoda demang.

Kasrli ifodalarni asosiy bir xil o'zgartirishlar

Misol.

Ifodani soddalashtiring .

Yechim.

Bunday holda siz qavslarni ochishingiz mumkin, bu ifodani beradi , unda va kabi shartlar, shuningdek, -3 va 3 mavjud. Ularni qisqartirgandan so'ng, biz kasrni olamiz.

Keling, ko'rsataylik qisqa shakl Yechim yozuvlari:

Javob:

.

Alohida kasrlar bilan ishlash

O‘zgartirish haqida gapirayotgan iboralar boshqa iboralardan asosan kasrlar mavjudligi bilan farqlanadi. Va kasrlarning mavjudligi ular bilan ishlash uchun vositalarni talab qiladi. Ushbu paragrafda biz ushbu ifoda yozuviga kiritilgan alohida kasrlarni o'zgartirishni muhokama qilamiz va keyingi xatboshida biz asl ifodani tashkil etuvchi kasrlar bilan amallarni bajarishga kirishamiz.

Har qanday kasr bilan ajralmas qismi original ifoda bo'lsa, siz Fraktsiyani aylantirish maqolasida ko'rsatilgan har qanday konvertatsiyani amalga oshirishingiz mumkin. Ya'ni, siz alohida kasrni olishingiz, uning soni va maxraji bilan ishlashingiz, uni kamaytirishingiz, yangi maxrajga olib kelishingiz va hokazo. Ko'rinib turibdiki, bu o'zgartirish bilan tanlangan kasr unga bir xil teng kasr bilan almashtiriladi va dastlabki ifoda o'rniga unga teng bo'lgan ifoda qo'yiladi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Kasr bilan ifodani aylantirish oddiyroq shaklga.

Yechim.

Transformatsiyani kasr bilan ishlashdan boshlaylik. Birinchidan, qavslarni oching va kasrning soniga o'xshash shartlarni bering: . Endi hisoblagichdagi umumiy koeffitsient x ni qavsga qo'yish va algebraik kasrni keyinchalik kamaytirishni iltimos qiladi: . Asl ifodadagi kasr o'rniga olingan natijani almashtirishgina qoladi, bu esa beradi .

Javob:

.

Kasrlar bilan amallarni bajarish

Kasrlar bilan ifodalarni aylantirish jarayonining bir qismi ko'pincha amalga oshiriladi kasrlar bilan amallar. Ular harakatlarni amalga oshirishning qabul qilingan tartibiga muvofiq amalga oshiriladi. Shuni ham yodda tutish kerakki, har qanday raqam yoki ifoda har doim maxraji 1 bo'lgan kasr sifatida ifodalanishi mumkin.

Misol.

Ifodani soddalashtiring .

Yechim.

Muammoga turli tomonlardan yondashish mumkin. Ko'rib chiqilayotgan mavzu doirasida biz kasrlar bilan amallarni bajarish orqali boramiz. Keling, kasrlarni ko'paytirishdan boshlaylik:

Endi biz hosilani maxraji 1 bo'lgan kasr sifatida yozamiz, shundan so'ng kasrlarni ayiramiz:

Agar xohlasa va kerak bo'lsa, denominatordagi mantiqsizlikdan qutulish mumkin , unda siz o'zgartirishni tugatishingiz mumkin.

Javob:

Ildizlar, darajalar, logarifmlar va boshqalarning xossalarini qo'llash.

Kasrli iboralar sinfi juda keng. Bunday iboralar, haqiqiy kasrlardan tashqari, ildizlarni, turli darajali darajalarni, modullarni, logarifmlarni, trigonometrik funktsiyalar va h.k. Tabiiyki, ular aylantirilganda, tegishli xususiyatlar qo'llaniladi.

Kasrlarga nisbatan qo'llaniladigan kasr ildizining xossasini, kasrning darajaga bo'lgan xususiyatini, qism modulining xususiyatini va farqning logarifmi xususiyatini ajratib ko'rsatish kerak. .

Aniqlik uchun biz bir nechta misollarni keltiramiz. Masalan, ifodada Darajaning xususiyatlaridan kelib chiqib, birinchi kasrni daraja bilan almashtirish foydali bo'lishi mumkin, bu esa keyinchalik ifodani kvadrat farq sifatida ko'rsatishga imkon beradi. Logarifmik ifodani o'zgartirganda kasrning logarifmini logarifmlar ayirmasi bilan almashtirish mumkin, bu bizga o'xshash atamalarni keltirish va shu bilan ifodani soddalashtirish imkonini beradi: . Trigonometrik ifodalarni o'zgartirish uchun sinusning bir xil burchakdagi kosinusga nisbatini tangens bilan almashtirish kerak bo'lishi mumkin. Tegishli formulalar yordamida yarim argumentdan butun argumentga o'tish kerak bo'lishi mumkin va shu bilan kasr argumentidan xalos bo'lish kerak, masalan: .

Ildizlarning, darajalarning va boshqalarning xususiyatlarini qo'llash. iboralarning o'zgarishi maqolalarda batafsil yoritilgan:

• Ildiz xossalari yordamida irratsional ifodalarni o'zgartirish;
• Quvvatlarning xususiyatlaridan foydalangan holda ifodalarni o'zgartirish,
• Logarifmlarning xossalaridan foydalangan holda logarifmik ifodalarni aylantirish,
• Trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilish.

Ifodaning qiymatini hisoblashda oxirgi bajariladigan arifmetik amal "asosiy" hisoblanadi.

Ya'ni, agar siz harflar o'rniga ba'zi (har qanday) raqamlarni almashtirsangiz va ifodaning qiymatini hisoblashga harakat qilsangiz, u holda oxirgi amal ko'paytirish bo'lsa, unda biz mahsulotga ega bo'lamiz (ifoda omillarga bo'linadi).

Agar oxirgi amal qo'shish yoki ayirish bo'lsa, bu ifoda faktorlarga ajratilmaganligini bildiradi (shuning uchun qisqartirish mumkin emas).

Buni o'zingiz tuzatish uchun bir nechta misollar:

Misollar:

Yechimlar:

1. Umid qilamanki, siz darhol kesishga shoshilmadingiz va? Bu kabi birliklarni "kamaytirish" hali ham etarli emas edi:

Birinchi qadam faktorizatsiya bo'lishi kerak:

4. Kasrlarni qo‘shish va ayirish. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish.

Oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish hammaga ma'lum bo'lgan amaldir: biz umumiy maxrajni qidiramiz, har bir kasrni etishmayotgan ko'paytmaga ko'paytiramiz va sonlarni qo'shamiz / ayitamiz.

Keling, eslaylik:

Javoblar:

1. va maxrajlari ko‘paytma, ya’ni umumiy omillarga ega emas. Shuning uchun bu raqamlarning LCM ko'paytmasiga teng. Bu umumiy maxraj bo'ladi:

2. Bu yerda umumiy maxraj:

3. Bu erda, birinchi navbatda, aralash kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiramiz, keyin esa - odatdagi sxema bo'yicha:

Agar kasrlarda harflar bo'lsa, bu boshqa masala, masalan:

Oddiydan boshlaylik:

a) maxrajlarda harflar bo‘lmaydi

Bu erda hamma narsa oddiy sonli kasrlar bilan bir xil: biz umumiy maxrajni topamiz, har bir kasrni etishmayotgan omilga ko'paytiramiz va hisoblagichlarni qo'shamiz / ayitamiz:

Endi hisoblagichda siz shunga o'xshashlarni, agar mavjud bo'lsa, olib kelishingiz va ularni faktor bilan belgilashingiz mumkin:

O'zingiz sinab ko'ring:

Javoblar:

b) maxrajlarda harflar mavjud

Keling, harflarsiz umumiy maxrajni topish tamoyilini eslaylik:

Avvalo, biz umumiy omillarni aniqlaymiz;

Keyin barcha umumiy omillarni bir marta yozamiz;

va ularni umumiy emas, balki boshqa barcha omillar bilan ko'paytiring.

Maxrajlarning umumiy omillarini aniqlash uchun avval ularni oddiy omillarga ajratamiz:

Biz umumiy omillarni ta'kidlaymiz:

Endi biz umumiy omillarni bir marta yozamiz va ularga umumiy bo'lmagan (tagi chizilmagan) omillarni qo'shamiz:

Bu umumiy maxrajdir.

Keling, harflarga qaytaylik. Maxrajlar aynan bir xil tarzda berilgan:

Biz maxrajlarni omillarga ajratamiz;

umumiy (bir xil) ko'paytiruvchilarni aniqlash;

barcha umumiy omillarni bir marta yozing;

Biz ularni umumiy emas, balki boshqa barcha omillar bilan ko'paytiramiz.

Shunday qilib, tartibda:

1) maxrajlarni omillarga ajrating:

2) umumiy (bir xil) omillarni aniqlang:

3) barcha umumiy omillarni bir marta yozing va ularni boshqa barcha (tagi chizilmagan) omillarga ko'paytiring:

Demak, umumiy maxraj shu yerda. Birinchi kasrni ko'paytirish kerak, ikkinchisini - quyidagicha:

Aytgancha, bitta hiyla bor:

Masalan: .

Biz maxrajlarda bir xil omillarni ko'ramiz, faqat barchasi turli ko'rsatkichlarga ega. Umumiy maxraj quyidagicha bo'ladi:

darajada

darajada

darajada

darajada.

Keling, vazifani murakkablashtiramiz:

Qanday qilib kasrlar bir xil maxrajga ega bo'ladi?

Kasrning asosiy xususiyatini eslaylik:

Hech bir joyda bir xil sonni kasrning pay va maxrajidan ayirish (yoki qo‘shish) mumkinligi aytilmagan. Chunki bu haqiqat emas!

O'zingiz ko'ring: masalan, har qanday kasrni oling va raqam va maxrajga bir nechta son qo'shing, masalan, . Nima o'rganildi?

Shunday qilib, yana bir qat'iy qoida:

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirganingizda, faqat ko'paytirish amalidan foydalaning!

Lekin olish uchun nimani ko'paytirish kerak?

Bu erda va ko'paytiring. Va ko'paytiring:

Koeffitsientlarga ajratish mumkin bo'lmagan iboralar "elementar omillar" deb ataladi.

Masalan, elementar omil. - ham. Ammo - yo'q: u omillarga bo'linadi.

Ifodasi haqida nima deyish mumkin? Bu boshlang'ichmi?

Yo'q, chunki uni faktorlarga ajratish mumkin:

(siz "" mavzusida faktorizatsiya haqida o'qigansiz).

Shunday qilib, siz harflar bilan ifodani ajratadigan elementar omillar raqamlarni ajratadigan oddiy omillarning analogidir. Va biz ular bilan ham xuddi shunday qilamiz.

Biz ikkala maxrajning ham omili borligini ko'ramiz. U kuchdagi umumiy maxrajga boradi (nega esingizdami?).

Ko'paytiruvchi elementardir va ularda umumiylik yo'q, ya'ni birinchi kasr shunchaki unga ko'paytirilishi kerak bo'ladi:

Yana bir misol:

Yechim:

Vahima ichida bu denominatorlarni ko'paytirishdan oldin, ularni qanday qilib faktorga kiritish haqida o'ylash kerakmi? Ularning ikkalasi ham quyidagilarni ifodalaydi:

Ajoyib! Keyin:

Yana bir misol:

Yechim:

Odatdagidek, biz maxrajlarni faktorlarga ajratamiz. Birinchi maxrajda biz uni oddiygina qavs ichidan chiqaramiz; ikkinchisida - kvadratlar farqi:

Ko'rinib turibdiki, umumiy omillar yo'q. Ammo diqqat bilan qarasangiz, ular allaqachon juda o'xshash ... Va haqiqat:

Shunday qilib, yozamiz:

Ya'ni, shunday bo'ldi: qavs ichida biz atamalarni almashtirdik va shu bilan birga, kasr oldidagi belgi teskari tomonga o'zgardi. E'tibor bering, buni tez-tez qilishingiz kerak bo'ladi.

Endi biz umumiy maxrajga kelamiz:

Tushundim? Endi tekshiramiz.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Javoblar:

Bu erda yana bir narsani esga olishimiz kerak - kublar farqi:

E'tibor bering, ikkinchi kasrning maxrajida "yig'indi kvadrati" formulasi mavjud emas! Yig'indining kvadrati quyidagicha ko'rinadi:

A yig'indining to'liq bo'lmagan kvadrati deb ataladi: undagi ikkinchi a'zo birinchi va oxirgining ko'paytmasi bo'lib, ularning ikki barobar ko'paytmasi emas. Yig'indining to'liq bo'lmagan kvadrati kublar farqining kengayishi omillaridan biridir:

Agar allaqachon uchta kasr bo'lsa-chi?

Ha, xuddi shunday! Avvalo, biz maxrajdagi omillarning maksimal soni bir xil ekanligiga ishonch hosil qilamiz:

E'tibor bering: agar siz bitta qavs ichidagi belgilarni o'zgartirsangiz, kasr oldidagi belgi teskarisiga o'zgaradi. Ikkinchi qavsdagi belgilarni almashtirsak, kasr oldidagi belgi yana teskari bo'ladi. Natijada, u (kasr oldidagi belgi) o'zgarmadi.

Biz birinchi maxrajni umumiy maxrajda to'liq yozamiz, so'ngra unga hali yozilmagan barcha omillarni ikkinchidan, keyin uchinchidan (agar ko'proq kasr bo'lsa va hokazo) qo'shamiz. Ya'ni, bu shunday bo'ladi:

Hmm ... Kasrlar bilan nima qilish kerakligi aniq. Ammo ikkalasi haqida nima deyish mumkin?

Hammasi oddiy: kasrlarni qanday qo'shishni bilasiz, to'g'rimi? Shunday qilib, siz deuce kasrga aylanishiga ishonch hosil qilishingiz kerak! Esingizda bo'lsin: kasr - bu bo'linish amalidir (agar siz to'satdan unutgan bo'lsangiz, hisoblagich maxrajga bo'linadi). Va raqamni bo'lishdan osonroq narsa yo'q. Bunday holda, raqamning o'zi o'zgarmaydi, lekin kasrga aylanadi:

Aynan nima kerak!

5. Kasrlarni ko`paytirish va bo`lish.

Xo'sh, eng qiyin qismi endi tugadi. Va oldimizda eng oddiy, lekin ayni paytda eng muhimi:

Jarayon

Raqamli ifodani hisoblash tartibi qanday? Esda tutingki, bunday iboraning qiymatini hisobga olgan holda:

Hisobladingizmi?

Bu ishlashi kerak.

Xullas, eslataman.

Birinchi qadam darajani hisoblashdir.

Ikkinchisi - ko'paytirish va bo'lish. Agar bir vaqtning o'zida bir nechta ko'paytirish va bo'linish mavjud bo'lsa, ularni istalgan tartibda bajarishingiz mumkin.

Va nihoyat, qo'shish va ayirish amallarini bajaramiz. Yana, har qanday tartibda.

Lekin: qavs ichidagi ifoda tartibsiz baholanadi!

Agar bir nechta qavslar bir-biriga ko'paytirilsa yoki bo'linsa, biz birinchi navbatda qavslarning har biridagi ifodani baholaymiz, so'ngra ularni ko'paytiramiz yoki bo'lamiz.

Qavslar ichida boshqa qavslar bo'lsa-chi? Keling, o'ylab ko'raylik: qavs ichida qandaydir ifoda yozilgan. Ifodani baholashda birinchi navbatda nima qilish kerak? To'g'ri, qavslarni hisoblang. Xo'sh, biz buni aniqladik: birinchi navbatda biz ichki qavslarni hisoblaymiz, keyin hamma narsa.

Shunday qilib, yuqoridagi ifoda uchun harakatlar tartibi quyidagicha (joriy harakat qizil rang bilan ajratilgan, ya'ni men hozir bajarayotgan harakat):

OK, hammasi oddiy.

Lekin bu harflar bilan ifodalash bilan bir xil emas, shunday emasmi?

Yo'q, xuddi shunday! Faqat arifmetik amallar o'rniga algebraik amallarni, ya'ni oldingi bo'limda tasvirlangan amallarni bajarish kerak: o'xshash olib kelish, kasrlarni qo'shish, kasrlarni kamaytirish va hokazo. Yagona farq polinomlarni faktoring qilish harakati bo'ladi (biz uni ko'pincha kasrlar bilan ishlashda ishlatamiz). Ko'pincha faktorizatsiya uchun siz i dan foydalanishingiz yoki oddiy koeffitsientni qavs ichidan olib tashlashingiz kerak.

Odatda bizning maqsadimiz ifodani mahsulot yoki qism sifatida ifodalashdir.

Masalan:

Keling, ifodani soddalashtiraylik.

1) Avval qavs ichidagi ifodani soddalashtiramiz. U erda biz kasrlar farqiga egamiz va bizning maqsadimiz uni mahsulot yoki qism sifatida ko'rsatishdir. Shunday qilib, biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz va qo'shamiz:

Bu iborani yanada soddalashtirishning iloji yo'q, bu erda barcha omillar elementardir (bu nimani anglatishini hali ham eslaysizmi?).

2) Biz olamiz:

Kasrlarni ko'paytirish: nima osonroq bo'lishi mumkin.

3) Endi siz qisqartirishingiz mumkin:

OK, endi hammasi tugadi. Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi?

Yana bir misol:

Ifodani soddalashtiring.

Birinchidan, uni o'zingiz hal qilishga harakat qiling va shundan keyingina yechimga qarang.

Yechim:

Avvalo, protsedurani aniqlaymiz.

Birinchidan, qavs ichidagi kasrlarni qo'shamiz, ikkita kasr o'rniga bittasi chiqadi.

Keyin kasrlarni bo'linishni qilamiz. Xo'sh, biz natijani oxirgi kasr bilan qo'shamiz.

Men bosqichlarni sxematik raqamlayman:

Endi men joriy harakatni qizil rangga bo'yab, butun jarayonni ko'rsataman:

1. Agar shunga o'xshashlar bo'lsa, ularni darhol olib kelish kerak. Qaysi vaqtda bizda shunga o'xshashlar bo'lsa, ularni darhol olib kelish tavsiya etiladi.

2. Kasrlarni kamaytirish uchun ham xuddi shunday: kamaytirish imkoniyati paydo bo'lishi bilanoq, uni ishlatish kerak. Istisno - bu siz qo'shadigan yoki ayiradigan kasrlar: agar ular hozir bir xil maxrajlarga ega bo'lsa, unda kamaytirishni keyinroq qoldirish kerak.

O'zingiz hal qilishingiz kerak bo'lgan ba'zi vazifalar:

Va boshida va'da berdi:

Javoblar:

Yechimlar (qisqacha):

Agar siz hech bo'lmaganda dastlabki uchta misolni engib o'tgan bo'lsangiz, unda siz mavzuni o'zlashtirgan deb hisoblang.

Endi o'rganishga!

FOYDALANISHNI AYLANTIRISH. XULOSA VA ASOSIY FORMULA

Asosiy soddalashtirish operatsiyalari:

• O'xshashlarni olib kelish: kabi atamalarni qo'shish (kamaytirish) uchun ularning koeffitsientlarini qo'shish va harf qismini belgilash kerak.
• Faktorizatsiya: umumiy omilni qavs ichidan chiqarish, qo‘llash va h.k.
• Fraksiyani kamaytirish: kasrning ayiruvchisi va maxraji bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilishi yoki bo'linishi mumkin, undan kasrning qiymati o'zgarmaydi.
  1) son va maxraj faktorizatsiya qilish
  2) sanoq va maxrajda umumiy ko‘rsatkichlar bo‘lsa, ularni kesib tashlash mumkin.

  MUHIM: faqat multiplikatorlarni kamaytirish mumkin!

• Kasrlarni qo'shish va ayirish:
  ;
• Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish:
  ;

Algebra kursidan maktab o'quv dasturi Keling, aniqliklarga o'taylik. Ushbu maqolada biz ratsional ifodalarning maxsus turini batafsil o'rganamiz - ratsional kasrlar, shuningdek, qanday xarakteristikani bir xil ekanligini tahlil qiling ratsional kasrlarni o'zgartirish sodir bo'ladi.

Biz darhol ta'kidlaymizki, biz quyida belgilagan ma'nodagi ratsional kasrlar ba'zi algebra darsliklarida algebraik kasrlar deb ataladi. Ya'ni, ushbu maqolada biz ratsional va algebraik kasrlar ostida bir xil narsani tushunamiz.

Odatdagidek, biz ta'rif va misollar bilan boshlaymiz. Keyinchalik, ratsional kasrni yangi maxrajga keltirish va kasr a'zolarining belgilarini o'zgartirish haqida gapiraylik. Shundan so'ng biz kasrlarni qisqartirish qanday amalga oshirilishini tahlil qilamiz. Nihoyat, ratsional kasrni bir necha kasrlar yig‘indisi sifatida tasvirlash haqida to‘xtalib o‘tamiz. Barcha ma'lumotlar yechimlarning batafsil tavsifi bilan misollar bilan ta'minlanadi.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ratsional kasrlarning ta'rifi va misollari

Ratsional kasrlar 8-sinfda algebra darslarida o‘rganiladi. Yu.N.Makarychev va boshqalarning 8-sinflar uchun algebra darsligida berilgan ratsional kasr ta’rifidan foydalanamiz.

DA bu ta'rif ratsional kasrning pay va maxrajidagi ko‘phadlar standart ko‘rinishdagi ko‘phad bo‘lishi kerakmi yoki yo‘qmi, aniqlanmagan. Shuning uchun biz ratsional kasrlar standart va nostandart ko'phadlarni o'z ichiga olishi mumkin deb faraz qilamiz.

Mana bir nechtasi ratsional kasrlarga misollar. Shunday qilib, x/8 va - ratsional kasrlar. Va kasrlar va ratsional kasrning tovushli ta'rifiga to'g'ri kelmaydi, chunki ularning birinchisida ayiruvchi ko'phad emas, ikkinchisida esa ayiruvchi ham, maxraji ham ko'phad bo'lmagan ifodalarni o'z ichiga oladi.

Ratsional kasrning ayiruvchi va maxrajini aylantirish

Har qanday kasrning soni va maxraji o'z-o'zidan etarli bo'lgan matematik ifodalar bo'lib, ratsional kasrlarda ular ko'phadlar, muayyan holatda ular monomlar va sonlardir. Shuning uchun, har qanday ifodada bo'lgani kabi, ratsional kasrning soni va maxraji bilan bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, ratsional kasrning numeratoridagi ifodani xuddi maxraj kabi unga teng bo'lgan ifoda bilan almashtirish mumkin.

Ratsional kasrning hisoblagichi va maxrajida bir xil o'zgartirishlar amalga oshirilishi mumkin. Masalan, hisoblagichda o'xshash atamalarni guruhlash va kamaytirish mumkin, maxrajda esa bir nechta sonlarning ko'paytmasini uning qiymati bilan almashtirish mumkin. Ratsional kasrning soni va maxraji ko'phadlar bo'lganligi sababli, ular yordamida ko'phadlarga xos bo'lgan o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin, masalan, standart shaklga qisqartirish yoki mahsulot sifatida tasvirlash.

Aniqlik uchun bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Ratsional kasrni aylantirish shunday qilib, ayiruvchi standart shakldagi ko'phad, maxraj esa ko'phadlarning ko'paytmasi bo'ladi.

Yechim.

Ratsional kasrlarni yangi maxrajga keltirish asosan ratsional kasrlarni qo'shish va ayirishda qo'llaniladi.

Kasr oldida, shuningdek, uning soni va maxrajidagi belgilarni o'zgartirish

Kasrning asosiy xususiyatidan kasrning hadlari belgilarini o'zgartirish uchun foydalanish mumkin. Darhaqiqat, ratsional kasrning soni va maxrajini -1 ga ko'paytirish ularning belgilarini o'zgartirishga teng bo'ladi va natijada berilgan bilan bir xil bo'lgan kasr hosil bo'ladi. Ratsional kasrlar bilan ishlashda bunday o'zgartirish juda tez-tez ishlatilishi kerak.

Shunday qilib, agar siz bir vaqtning o'zida kasrning numeratori va maxraji belgilarini o'zgartirsangiz, siz asl kasrga teng kasr olasiz. Ushbu bayonot tenglikka mos keladi.

Keling, bir misol keltiraylik. Ratsional kasrni shaklning hisoblagichi va maxrajining belgilari teskari bo'lgan bir xil teng kasr bilan almashtirish mumkin.

Kasrlar bilan yana bir o'xshash o'zgartirishni amalga oshirish mumkin, bunda belgi numeratorda yoki maxrajda o'zgartiriladi. Keling, tegishli qoidani ko'rib chiqaylik. Agar siz kasrning ishorasini pay yoki maxraj belgisi bilan almashtirsangiz, siz asl qismga bir xil teng bo'lgan kasr olasiz. Yozma bayonot tengliklarga mos keladi va .

Bu tengliklarni isbotlash qiyin emas. Isbot raqamlarni ko'paytirish xususiyatlariga asoslanadi. Ulardan birinchisini isbotlaylik: . Shunga o'xshash o'zgarishlar yordamida tenglik ham isbotlanadi.

Masalan, kasrni ifoda yoki ifoda bilan almashtirish mumkin.

Ushbu kichik bo'limni yakunlash uchun biz yana ikkita foydali tenglikni taqdim etamiz va . Ya'ni, agar siz faqat sanoqchi yoki faqat maxraj belgisini o'zgartirsangiz, kasr o'z belgisini o'zgartiradi. Masalan, va .

Kasr hadlarining belgisini o'zgartirishga imkon beruvchi ko'rib chiqilayotgan o'zgarishlar ko'pincha kasrli ratsional ifodalarni o'zgartirishda qo'llaniladi.

Ratsional kasrlarni qisqartirish

Ratsional kasrlarning qisqarishi deb ataladigan ratsional kasrlarning keyingi o'zgarishi kasrning bir xil asosiy xususiyatiga asoslanadi. Bu o'zgartirish tenglikka mos keladi, bu erda a , b va c ba'zi ko'phadlar, b va c esa nolga teng emas.

Yuqoridagi tenglikdan ma'lum bo'ladiki, ratsional kasrni qisqartirish uning soni va maxrajidagi umumiy omildan xalos bo'lishni nazarda tutadi.

Misol.

Ratsional kasrni kamaytiring.

Yechim.

Umumiy omil 2 darhol ko'rinadi, keling, uni kamaytiramiz (yozayotganda, qisqartirish amalga oshiriladigan umumiy omillarni kesib tashlash qulay). Bizda ... bor . X 2 \u003d x x va y 7 \u003d y 3 y 4 (agar kerak bo'lsa, qarang) bo'lgani uchun, x y 3 kabi hosil bo'lgan kasrning hisoblagichi va maxrajining umumiy omili ekanligi aniq. Keling, ushbu omillar bilan kamaytiraylik: . Bu qisqartirishni yakunlaydi.

Yuqorida biz ratsional kasrning qisqarishini ketma-ket bajardik. Va kasrni darhol 2·x·y 3 ga qisqartirib, bir bosqichda qisqartirishni amalga oshirish mumkin edi. Bunday holda, yechim quyidagicha ko'rinadi: .

Javob:

.

Ratsional kasrlarni kamaytirishda asosiy muammo shundaki, hisoblagich va maxrajning umumiy omili har doim ham ko'rinmaydi. Bundan tashqari, u har doim ham mavjud emas. Umumiy koeffitsientni topish yoki uning yo'qligiga ishonch hosil qilish uchun ratsional kasrning soni va maxrajini koeffitsientlarga ajratish kerak. Agar umumiy omil bo'lmasa, asl ratsional kasrni kamaytirish kerak emas, aks holda qisqartirish amalga oshiriladi.

Ratsional fraktsiyalarni kamaytirish jarayonida turli xil nuanslar paydo bo'lishi mumkin. Misollar va tafsilotlar bilan asosiy nozikliklar "Algebraik kasrlarni kamaytirish" maqolasida muhokama qilinadi.

Ratsional kasrlarning qisqarishi haqidagi suhbatni yakunlab, shuni ta'kidlaymizki, bu transformatsiya bir xil bo'lib, uni amalga oshirishdagi asosiy qiyinchilik hisoblagich va maxrajdagi ko'phadlarni faktorizatsiya qilishdadir.

Ratsional kasrni kasrlar yig'indisi sifatida ko'rsatish

Bir necha kasrlar yig'indisi yoki butun son ifodasi va kasr yig'indisi sifatida ifodalanishidan iborat bo'lgan ratsional kasrni o'zgartirish juda aniq, lekin ba'zi hollarda juda foydali.

Numeratorida bir nechta monomiylar yig'indisi bo'lgan ko'phad mavjud bo'lgan ratsional kasrni har doim bir xil maxrajli kasrlar yig'indisi sifatida yozish mumkin, ularning sonida mos monomlar mavjud. Masalan, . Bu tasvirlash bir xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidasi bilan izohlanadi.

Umuman olganda, har qanday ratsional kasrni har xil usullarda kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash mumkin. Misol uchun, a/b kasr ikki kasr yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin - ixtiyoriy kasr c/d va a/b va c/d kasrlar orasidagi farqga teng kasr. Bu bayonot to'g'ri, chunki tenglik . Masalan, ratsional kasrni kasrlar yig'indisi sifatida turli usullar bilan ifodalash mumkin: Biz asl kasrni butun son ifodasi va kasrning yig'indisi sifatida ifodalaymiz. Numeratorni maxrajga ustunga bo'lgach, biz tenglikni olamiz . Har qanday n butun son uchun n 3 +4 ifodaning qiymati butun sondir. Kasrning qiymati esa, agar uning maxraji 1, -1, 3 yoki -3 bo'lsa, butun son bo'ladi. Bu qiymatlar mos ravishda n=3, n=1, n=5 va n=−1 qiymatlariga mos keladi.

Javob:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7-sinf. 14:00 1-qism. Talabalar uchun darslik ta'lim muassasalari/ A. G. Mordkovich. - 13-nashr, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Ratsional ifodalar va kasrlar butun algebra kursining asosi hisoblanadi. Bunday iboralar bilan ishlashni, ularni soddalashtirishni va faktorlarni belgilashni o'rganganlar, aslida, har qanday masalani hal qila oladilar, chunki iboralarni o'zgartirish har qanday jiddiy tenglama, tengsizlik va hatto so'z muammosining ajralmas qismidir.

Ushbu video darsda biz ratsional ifodalar va kasrlarni soddalashtirish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qanday to'g'ri qo'llashni ko'rib chiqamiz. Keling, bu formulalarni birinchi qarashda hech narsa yo'q joyda ko'rishni o'rganamiz. Shu bilan birga, biz kvadrat trinomialni diskriminant orqali omillarga ajratish kabi oddiy hiylani takrorlaymiz.

Siz mening orqamdagi formulalardan allaqachon taxmin qilganingizdek, bugun biz qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini, aniqrog'i, formulalarning o'zini emas, balki ularni murakkab ratsional ifodalarni soddalashtirish va kamaytirish uchun qo'llashni o'rganamiz. Biroq, misollarni echishga o'tishdan oldin, keling, ushbu formulalarni batafsil ko'rib chiqaylik yoki ularni eslaylik:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ kvadratlar farqi;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ yig‘indining kvadrati;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ kvadrat farqi;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+(b)^( 2)) \right)$ - kublar yig‘indisi;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \o'ng)\left(((a)^(2))+ab+(b)^(2) ) \right)$ - kublarning farqi.

Shuni ham ta'kidlashni istardimki, bizning maktab ta'lim tizimimiz ushbu mavzuni o'rganish bilan, ya'ni. ratsional ifodalar, shuningdek, ildizlar, modullar, barcha talabalar bir xil muammoga ega, men buni hozir tushuntiraman.

Gap shundaki, qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini va shunga mos ravishda kasrlarni kamaytirish bo'yicha harakatlarni o'rganishning boshida (bu 8-sinf haqida), o'qituvchilar shunday deyishadi: "Agar sizga biror narsa tushunarsiz bo'lsa, unday qilmang. Xavotir, biz bu mavzuga bir necha marta qaytamiz, o'rta maktabda. Buni keyinroq aniqlaymiz”. Xo'sh, 9-10-sinflar tugashi bilan, o'sha o'qituvchilar hali ham ratsional kasrlarni qanday yechishni bilmagan o'quvchilarga shunday tushuntirishadi: "Oxirgi ikki yil qaerda edingiz? 8-sinfda ham algebra fanidan o'rganilgan! Bu erda nima tushunarsiz bo'lishi mumkin? Bu juda aniq!"

Biroq, oddiy talabalar uchun bunday tushuntirishlar unchalik oson emas: ular hali ham boshlarida tartibsizlik bor edi, shuning uchun hozir biz ikkita oddiy misolni tahlil qilamiz, ular asosida haqiqiy muammolarda ushbu iboralarni qanday tanlashni ko'rib chiqamiz, Bu bizni qisqa ko'paytirish formulalariga va uni keyinchalik murakkab ratsional ifodalarni o'zgartirish uchun qanday qo'llashga olib keladi.

Oddiy ratsional kasrlarni qisqartirish

№1 vazifa

\[\frac(4x+3((y)^(2))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Biz o'rganishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - bu asl iboralarda aniq kvadratlar va yuqori kuchlarni ajratishdir, buning asosida formulalarni qo'llashimiz mumkin. Ko'raylikchi:

Keling, ushbu faktlarni hisobga olgan holda ifodaimizni qayta yozamiz:

\[\frac(4x+3((y)^(2))(((\left(3((y)^(2)) \o'ng))^(2))-((\left(4x) \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2))(\left(3((y)^(2))-4x \o'ng)\chap(3) ((y)^(2))+4x \o'ng))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Javob: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Vazifa №2

Keling, ikkinchi vazifaga o'tamiz:

\[\frac(8)((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Bu erda soddalashtiradigan hech narsa yo'q, chunki numerator doimiydir, lekin men bu masalani ikkita o'zgaruvchini o'z ichiga olgan polinomlarni faktorlarga ajratishni o'rganishingiz uchun aniq taklif qildim. Agar uning o'rniga quyida ko'phad yozilgan bo'lsa, uni qanday qismlarga ajratamiz?

\[((x)^(2))+5x-6=\chap(x-... \o'ng)\chap(x-... \o'ng)\]

Keling, tenglamani yechib, nuqtalar o‘rniga qo‘yishimiz mumkin bo‘lgan $x$ ni topamiz:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Biz trinomialni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \o'ng)\left(x+6 \o'ng)\]

Biz kvadrat trinomial bilan ishlashni o'rgandik - buning uchun biz ushbu video darsni yozib olishimiz kerak edi. Lekin $x$ va doimiydan tashqari $y$ ham bo'lsa-chi? Keling, ularni koeffitsientlarning yana bir elementi sifatida ko'rib chiqaylik, ya'ni. Keling, ifodamizni quyidagicha qayta yozamiz:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Biz kvadrat konstruktsiyamizning parchalanishini yozamiz:

\[\chap(x-y \o'ng)\chap(x+6y \o'ng)\]

Umuman olganda, agar biz asl iboraga qaytsak va o'zgarishlarni hisobga olgan holda uni qayta yozsak, biz quyidagilarni olamiz:

\[\frac(8)(\left(x-y \o'ng)\left(x+6y \o'ng))\]

Bunday rekord bizga nima beradi? Hech narsa, chunki uni kamaytirish mumkin emas, hech narsaga ko'paytirilmaydi yoki bo'linmaydi. Biroq, bu kasr murakkabroq ifodaning ajralmas qismi bo'lib chiqishi bilanoq, bunday kengayish foydali bo'ladi. Shuning uchun, siz kvadrat trinomialni ko'rganingizdan so'ng (u qo'shimcha parametrlar bilan yuklanganmi yoki yo'qmi), uni har doim faktorlarga solishga harakat qiling.

Yechimning nuanslari

Ratsional ifodalarni aylantirishning asosiy qoidalarini eslang:

• Barcha maxrajlar va ayirgichlar qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yoki diskriminant orqali faktorlarga ajratilishi kerak.
• Biz ushbu algoritmga muvofiq ishlashimiz kerak: qisqartirilgan ko'paytirish formulasini ko'rib, ajratib ko'rsatishga harakat qilsak, birinchi navbatda, biz hamma narsani maksimal darajada tarjima qilishga harakat qilamiz. Shundan so'ng biz umumiy darajani qavslardan chiqaramiz.
• Ko'pincha parametrli ifodalar bo'ladi: boshqa o'zgaruvchilar koeffitsientlar sifatida paydo bo'ladi. Biz ularni kvadratik kengayish formulasidan foydalanib topamiz.

Shunday qilib, siz ratsional kasrlarni ko'rganingizdan so'ng, birinchi navbatda, son va maxrajni omillarga (chiziqli ifodalarga) ko'paytirish kerak, biz esa qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yoki diskriminantdan foydalanamiz.

Keling, bir nechta mantiqiy iboralarni ko'rib chiqaylik va ularni ajratib olishga harakat qilaylik.

Murakkab misollarni yechish

№1 vazifa

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2))))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Biz har bir atamani qayta yozamiz va kengaytirishga harakat qilamiz:

Keling, ushbu faktlarni hisobga olgan holda barcha ratsional ifodaimizni qayta yozamiz:

\[\frac(((\left(2x \o'ng))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \o'ng))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \o'ng))^(2)))(((\left(2x \o'ng))^(3))+ ((\chap(3y\o'ng))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \o'ng))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \o'ng))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \o'ng)\left(3y+2x \o'ng))(\left(2x+3y \o'ng)\left(((\left(2x \o'ng))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \o'ng))^(2)) \o'ng))=-1\]

Javob: $-1$.

Vazifa №2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3))(4((x)^(2))-1)\]

Keling, barcha kasrlarni ko'rib chiqaylik.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+(2)^( 2))=((\left(x-2 \o'ng))^(2))\]

O'zgarishlarni hisobga olgan holda butun tuzilmani qayta yozamiz:

\[\frac(3\left(1-2x \o'ng))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \o'ng))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \o'ng))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \o'ng)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \o‘ng))(\chap(2x-1 \o‘ng)\chap(2x+1 \o‘ng))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \o'ng))(2\cdot \left(x-2 \o'ng)\cdot \left(-1 \o'ng))=\frac(3)(2 \left(x-2 \o'ng))\]

Javob: $\frac(3)(2\left(x-2 \o'ng))$.

Yechimning nuanslari

Xo'sh, biz nimani o'rgandik:

• Har bir kvadrat trinomiyal faktorlarga ajratilmaydi, xususan, bu yig'indi yoki ayirmaning to'liq bo'lmagan kvadratiga taalluqlidir, ular ko'pincha yig'indi yoki ayirma kublarining qismlari sifatida topiladi.
• Konstantalar, ya'ni. o'zgaruvchilari bo'lmagan oddiy sonlar ham parchalanish jarayonida faol elementlar sifatida harakat qilishi mumkin. Birinchidan, ular qavs ichidan chiqarilishi mumkin, ikkinchidan, doimiylarning o'zlari kuch sifatida ifodalanishi mumkin.
• Ko'pincha, barcha elementlarni omillarga aylantirgandan so'ng, qarama-qarshi konstruktsiyalar paydo bo'ladi. Siz bu kasrlarni juda ehtiyotkorlik bilan kamaytirishingiz kerak, chunki siz ularni yuqoridan yoki pastdan kesib o'tsangiz, qo'shimcha $-1$ omili paydo bo'ladi - bu ularning qarama-qarshi bo'lishining natijasidir.

Murakkab muammolarni hal qilish

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)((b)^(2))+4b+4)\]

Keling, har bir atamani alohida ko'rib chiqaylik.

Birinchi kasr:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \o'ng)\left(((\chap) (3a \o'ng))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \o'ng))^(2)) \o'ng)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \o'ng)\left(b+2 \o'ng)\]

Ikkinchi kasrning butun hisobini quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:

\[((\left(3a \o'ng))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \o'ng))^(2))\]

Endi maxrajga qaraylik:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \o‘ng) ))^(2))\]

Keling, yuqoridagi faktlarni hisobga olgan holda butun ratsional ifodani qayta yozamiz:

\[\frac(\left(3a-4b \o'ng)\left(((\left(3a \o'ng))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \o'ng))^(2 )) \o'ng))(\left(b-2 \o'ng)\left(b+2 \o'ng))\cdot \frac(((\left(b+2 \o'ng))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \o'ng))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \o'ng)\left(b+2 \o'ng))(\left(b-2 \o'ng))\]

Javob: $\frac(\left(3a-4b \o'ng)\left(b+2 \o'ng))(\left(b-2 \o'ng))$.

Yechimning nuanslari

Yana bir bor ko'rganimizdek, ko'pincha haqiqiy ratsional ifodalarda uchraydigan yig'indining to'liq bo'lmagan kvadratlari yoki farqning to'liq bo'lmagan kvadratlari, ammo ulardan qo'rqmang, chunki har bir element o'zgartirilgandan so'ng ular deyarli har doim bekor qilinadi. . Bundan tashqari, hech qanday holatda yakuniy javobda katta qurilishlardan qo'rqmaslik kerak - bu sizning xatoingiz emas (ayniqsa, hamma narsa faktorlangan bo'lsa), lekin muallif bunday javobni o'ylab topdi.

Xulosa qilib aytganda, men ratsional kasrlar bilan bevosita bog'liq bo'lmagan yana bir murakkab misolni tahlil qilmoqchiman, lekin u sizni haqiqiy testlar va imtihonlarda kutayotgan hamma narsani o'z ichiga oladi, xususan: faktorizatsiya, umumiy maxrajga qisqartirish, o'xshash atamalarni qisqartirish. . Biz hozir aynan shunday qilmoqchimiz.

Ratsional ifodalarni soddalashtirish va o'zgartirish bo'yicha murakkab masalani hal qilish

\[\left(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \o'ng)\cdot \left(\frac(((x)^(2))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \o'ng)\]

Birinchidan, birinchi qavsni ko'rib chiqing va kengaytiring: unda biz turli xil maxrajlarga ega bo'lgan uchta alohida kasrni ko'ramiz, shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa barcha uchta kasrni umumiy maxrajga keltirishdir va buning uchun ularning har birini faktorlarga ajratish kerak:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \o'ng)\left((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \o'ng)\]

Keling, butun tuzilmamizni quyidagicha qayta yozamiz:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x) -2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \o'ng))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \o'ng)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2) )) \o'ng))(\left(x-2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \o'ng))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ chap(x-2 \o'ng)\left((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \o'ng))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \o'ng))^(2)))(\left(x-2 \o'ng)\left((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \o‘ng))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Bu birinchi qavsdagi hisob-kitoblarning natijasidir.

Ikkinchi qavs bilan ishlash:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \o'ng)\chap(x+2 \ o'ng)\]

O'zgarishlarni hisobga olgan holda ikkinchi qavsni qayta yozamiz:

\[\frac(((x)^(2))))(\left(x-2 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \o'ng))(\left(x-2 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\left(x-2 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))\]

Endi butun asl qurilishni yozamiz:

\[\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \o'ng)\left(x+2 \o'ng))=\frac(1)(x+2)\]

Javob: $\frac(1)(x+2)$.

Yechimning nuanslari

Ko'rib turganingizdek, javob juda aqlli bo'lib chiqdi. Biroq, diqqat qiling: ko'pincha bunday keng ko'lamli hisob-kitoblar bilan, agar yagona o'zgaruvchi faqat maxrajda bo'lsa, o'quvchilar bu maxraj ekanligini va kasrning pastki qismida bo'lishi kerakligini unutib, bu ifodani hisoblagichga yozadilar - bu qo'pol xatodir.

Bundan tashqari, men sizning rasmingizni chizmoqchiman alohida e'tibor bunday vazifalar qanday hal qilinadi. Har qanday murakkab hisob-kitoblarda barcha bosqichlar bosqichma-bosqich amalga oshiriladi: birinchi navbatda, biz birinchi qavsni alohida, so'ngra ikkinchi qavsni alohida hisoblaymiz va faqat oxirida biz barcha qismlarni birlashtiramiz va natijani hisoblaymiz. Shunday qilib, biz o'zimizni ahmoqona xatolardan sug'urta qilamiz, barcha hisob-kitoblarni diqqat bilan yozib qo'yamiz va shu bilan birga, birinchi qarashda ko'rinishi mumkin bo'lgan qo'shimcha vaqtni behuda sarflamaymiz.