İşlev Gradyanı bir noktada, koordinatları karşılık gelen kısmi türevlere eşit olan ve gösterilen bir vektör olarak adlandırılır.

Birim vektörü e=() olarak düşünürsek, formül (3)'e göre, yöndeki türev, gradyanın skaler ürünü ve yönü belirten birim vektördür. Aynı yöne sahip olmaları durumunda iki vektörün skaler çarpımının maksimum olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, fonksiyonun belirli bir noktadaki gradyanı, fonksiyonun bu noktadaki maksimum büyümesinin yönünü ve büyüklüğünü karakterize eder.

teorem . Eğer fonksiyon türevlenebilir ise ve M noktasında 0 Gradyan değeri sıfır değilse, gradyan içinden geçen seviye çizgisine diktir. verilen nokta ve aynı zamanda artan fonksiyon yönünde yönlendirilir

SONUÇ: 1) Belirli bir noktadaki o fonksiyonun gradyanı tarafından belirlenen yön boyunca bir noktada bir fonksiyonun türevi, diğer herhangi bir yöndeki o noktadaki türev ile karşılaştırıldığında maksimum bir değere sahiptir.

• 2) Verilen bir noktada bu fonksiyonun gradyanını belirleyen fonksiyonun türevinin değeri eşittir.
• 3) Her noktadaki fonksiyonun eğimini bilerek, bazı hatalarla seviye çizgileri oluşturmak mümkündür. M 0 noktasından başlayalım. Bu noktada bir gradyan oluşturalım. Yönü degradeye dik olarak ayarlayın. Seviye çizgisinin küçük bir bölümünü oluşturalım. Yakın bir M 1 noktası düşünün, ona bir gradyan oluşturun, vb.

İtibaren okul kursu Matematikçiler, düzlemdeki bir vektörün yönlendirilmiş bir segment olduğunu bilirler. Başı ve sonu iki koordinata sahiptir. Vektör koordinatları, başlangıç ​​koordinatlarının bitiş koordinatlarından çıkarılmasıyla hesaplanır.

Bir vektör kavramı n boyutlu bir uzaya da genişletilebilir (iki koordinat yerine n koordinat olacaktır).

Gradyan z fonksiyonunun z derecesi z = f(х 1 , х 2 , …х n), fonksiyonun noktadaki kısmi türevlerinin vektörüdür, yani. koordinatları olan vektör.

Bir fonksiyonun gradyanının, bir noktada fonksiyonun seviyesinin en hızlı büyüme yönünü karakterize ettiği kanıtlanabilir.

Örneğin, z \u003d 2x 1 + x 2 işlevi için (bkz. Şekil 5.8), herhangi bir noktadaki gradyanın koordinatları (2; 1) olacaktır. Herhangi bir noktayı vektörün başlangıcı olarak alarak bir düzlem üzerine çeşitli şekillerde inşa edilebilir. Örneğin, (0; 0) noktasını (2; 1) noktasına veya (1; 0) noktasını (3; 1) noktasına veya (0; 3) noktasını (2; 4) noktasına bağlayabilirsiniz, veya t.P. (bkz. şekil 5.8). Bu şekilde oluşturulan tüm vektörlerin koordinatları olacaktır (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Şekil 5.8, oluşturulan seviye çizgileri 4> 3> 2 seviye değerlerine karşılık geldiğinden, fonksiyonun seviyesinin gradyan yönünde büyüdüğünü açıkça göstermektedir.

Şekil 5.8 - Gradyan işlevi z \u003d 2x 1 + x 2

Başka bir örnek düşünün - z = 1/(x 1 x 2) işlevi. Bu işlevin gradyanı artık her zaman aynı olmayacaktır. farklı noktalar, koordinatları formüllerle belirlendiğinden (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

Şekil 5.9, seviye 2 ve 10 için z = 1 / (x 1 x 2) fonksiyonunun seviye çizgilerini gösterir (düz çizgi 1 / (x 1 x 2) = 2 noktalı bir çizgi ile gösterilir ve düz çizgi
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - düz çizgi).

Şekil 5.9 - Çeşitli noktalarda z \u003d 1 / (x 1 x 2) fonksiyonunun gradyanları

Örneğin, (0.5; 1) noktasını alın ve bu noktadaki gradyanı hesaplayın: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . (0.5; 1) noktasının 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 seviyesinde olduğunu unutmayın, çünkü z \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. (-4; -2) vektörünü Şekil 5.9'da tasvir edin, (0.5; 1) noktasını (-3.5; -1) noktasına bağlarız, çünkü
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Aynı seviye doğrusu üzerinde başka bir nokta alalım, örneğin nokta (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0.5*1) = 2). Bu noktada gradyanı hesaplayın
(-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). Şekil 5.9'da göstermek için (1; 0,5) noktasını (-1; -3,5) noktasına bağlarız, çünkü (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - dört).

Aynı düz çizgi üzerinde bir nokta daha alalım, ama sadece şimdi pozitif olmayan bir koordinat çeyreğinde. Örneğin, (-0.5; -1) noktası (z = f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). Bu noktadaki gradyan
(-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). (-0.5; -1) noktasını (3.5; 1) noktasına bağlayarak Şekil 5.9'da gösterelim, çünkü (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

tanım 1

Bazı etki alanlarından iki bağımsız değişkenin değerlerinin her bir $(x,y)$ çifti için belirli bir $z$ değeri atanırsa, o zaman $z$'ın iki değişkenli $(x,y) fonksiyonu olduğu söylenir. )$. Gösterim: $z=f(x,y)$.

$Oxy$ uzayındaki bazı etki alanlarında tanımlanan $z=f(x,y)$ işlevini düşünün.

Sonuç olarak,

tanım 3

Bir etki alanındaki üç bağımsız değişkenin değerlerinin her üçlü $(x,y,z)$ değeri için belirli bir $w$ değeri atanırsa, o zaman $w$'ın üç değişkenli $(x, y,z)$ bu alanda.

Tanım:$w=f(x,y,z)$.

$Oxyz$ uzayındaki bazı etki alanlarında tanımlanan $w=f(x,y,z)$ işlevini düşünün.

İçin verilen fonksiyon koordinat eksenlerindeki izdüşümlerin bir noktada verilen fonksiyonun kısmi türevlerinin değerleri olduğu bir vektör tanımlayın $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac(\partial z)(\ kısmi y) $.

Tanım 4

Verilen bir $w=f(x,y,z)$ fonksiyonunun gradyanı, aşağıdaki biçimde bir $\overrightarrow(gradw) $ vektörüdür:

Teorem 3

$w=f(x,y,z)$ skaler alanında bir gradyan alanı tanımlansın

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Verilen vektör $\overrightarrow(s) $ yönündeki $\frac(\partial w)(\partial s) $ türevi, $\overrightarrow(gradw) $ gradyan vektörünün verilen vektör üzerindeki izdüşümüne eşittir $\overrightarrow(lar) $.

Örnek 4

Çözüm:

Gradyanın ifadesi formülle bulunur.

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =2.\]

Sonuç olarak,

\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]

Örnek 5

Belirli bir fonksiyonun gradyanını belirleme

$M(1;2;1)$ noktasında. $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $ hesaplayın.

Çözüm:

gradyan için ifade verilen nokta formülle bul

\[\left(\overrightarrow(derece) \sağ)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \sağ)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\partial w)(\partial y) \sağ)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\partial w)(\partial z) \sağ)_(M) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Kısmi türevler şu şekildedir:

\[\frac(\kısmi w)(\kısmi x) =2x;\frac(\kısmi w)(\kısmi y) =4y;\frac(\kısmi w)(\kısmi z) =6z^(2) .\]

$M(1;2)$ noktasındaki türevler:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2\cdot 1=2;\frac(\partial w)(\partial y) =4\cdot 2=8;\frac(\partial w)( \partial z) =6\cdot 1^(2) =6.\]

Sonuç olarak,

\[\left(\overrightarrow(derece) \sağ)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]

\[\left(|\overrightarrow(derece) |\sağ)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104) .\]

bazılarını listeleyelim gradyan özellikleri:

Bazı $\overrightarrow(s)$ vektörünün yönü boyunca belirli bir noktada belirli bir fonksiyonun türevi, verilen $\overrightarrow(s)$ vektörünün yönü gradyanın yönü ile çakışıyorsa en büyük değere sahiptir. Bu durumda, türevin bu en büyük değeri, gradyan vektörünün uzunluğu ile çakışır, yani. $|\overrightarrow(derece) |$.

Gradyan vektörüne dik olan vektörün yönüne göre verilen fonksiyonun türevi, yani. $\overrightarrow(gradw) $, 0'a eşittir. $\varphi =\frac(\pi )(2) $ olduğundan, $\cos \varphi =0$; dolayısıyla $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.

GRADYAN FONKSİYONU u = f(x, y, z) bazı bölgelerde belirtilen. Uzay (XYZ), var vektör sembollerle gösterilen projeksiyonlarla: grad nerede ben, j, k- koordinat vektörleri. G. f. - bir nokta işlevi var (x, y, z), yani bir vektör alanı oluşturur. G yönünde türev. f. bu noktada ulaşır en büyük değer ve şuna eşittir: Gradyanın yönü, fonksiyonun en hızlı artış yönüdür. G. f. belirli bir noktada, bu noktadan geçen düz yüzeye diktir. Kullanım verimliliği G. f. litolojik çalışmalarda eolian ex çalışmasında gösterilmiştir. Merkez Karakum.

Jeolojik sözlük: 2 ciltte. - M.: Nedra. K.N. Paffengolts ve ark.. 1978 .

"GRADYENT FONKSİYONU" nun diğer sözlüklerde ne olduğunu görün:

Bu makale matematiksel karakteristik ile ilgilidir; doldurma yöntemi hakkında, bkz: Gradyan (bilgisayar grafikleri) ... Wikipedia

- (lat.). Farklı alanlarda barometrik ve termometrik okumalardaki fark. Sözlük yabancı kelimeler Rus diline dahildir. Chudinov A.N., 1910. Aynı anda bir barometre ve bir termometrenin okumalarındaki GRADIENT farkı ... ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

gradyan- Belirli bir yönde birim mesafe başına bir miktarın değerini değiştirme. Topografik gradyan, ölçülen bir yatay mesafe boyunca yükseklikteki değişikliktir. Röle koruması EN diferansiyel koruma açma karakteristiği eğimi … Teknik Çevirmenin El Kitabı

Gradyan- fonksiyonun en hızlı artışına yönelik ve büyüklük olarak bu yönde türevine eşit bir vektör: burada ei sembolleri koordinat eksenlerinin (orths) birim vektörlerini gösterir ... Ekonomik ve Matematiksel Sözlük

Vektör analizinin temel kavramlarından biri ve doğrusal olmayan eşlemeler teorisi. Vektörün skaler fonksiyonunun gradyanı, Öklid uzayından gelen argümana E n denir. f (t) fonksiyonunun t vektör argümanına göre türevi, yani n-boyutlu bir vektör ... ... Matematiksel Ansiklopedi

fizyolojik gradyan- - k'deki bir değişikliği yansıtan bir değer veya başka bir değere bağlı olarak bir fonksiyonun göstergesi; örneğin gradyan kısmi basıncı gazların alveollerden (accinus) kana ve kandan kana difüzyonunu belirleyen kısmi basınçlardaki fark ... ... Çiftlik hayvanlarının fizyolojisi için terimler sözlüğü

I Gradient (Latince gradiens'ten, cins gradientis yürüyor) Değeri uzayda bir noktadan diğerine değişen, belirli bir miktarın en hızlı değişiminin yönünü gösteren bir vektör (bkz. Alan teorisi). Eğer değer ... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Gradyan- (lat. gradiens yürüme, yürüme) (matematikte) bir fonksiyonun en hızlı artış yönünü gösteren bir vektör; (fizikte) uzayda veya bazılarının bir düzleminde artış veya azalma ölçüsü fiziksel miktar birim başına ... ... Modern doğa biliminin başlangıçları

Kitabın

• Yüksek matematiğin seçilmiş bölümlerinin bazı problemlerini çözme yöntemleri. Staj, Klimenko Konstantin Grigorievich, Levitskaya Galina Vasilievna, Kozlovsky Evgeny Alexandrovich. Bu atölye, bir fonksiyonun limiti ve ekstremi, gradyan ve türev gibi genel kabul görmüş matematiksel analiz dersinin bu bölümlerinden bazı problem türlerini çözme yöntemlerini tartışır.

1 0 Gradyan düz yüzeyin normali boyunca (ya da alan düzse düz çizgiye) yönlendirilir.

2 0 Gradyan artan alan fonksiyonu yönündedir.

3 0 Gradyan modülü, alanın belirli bir noktasındaki yöndeki en büyük türevine eşittir:

Bu özellikler, gradyanın değişmez bir özelliğini verir. GradU vektörünün, belirli bir noktada skaler alandaki en büyük değişikliğin yönünü ve büyüklüğünü gösterdiğini söylüyorlar.

Açıklama 2.1. U(x,y) fonksiyonu iki değişkenli bir fonksiyon ise, vektör

oksi düzleminde yer alır.

U=U(x,y,z) ve V=V(x,y,z) fonksiyonlarının М 0 (x,y,z) noktasında türevlenebilir olsun. O zaman aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

a) derece()= ; b) derece(UV)=VgradU+UgradV;

c) derece(U V)= dereceU dereceV; d) d) derece = , V ;

e) gradU( = gradU, burada , U=U() 'ye göre bir türevine sahiptir.

Örnek 2.1. U=x 2 +y 2 +z 2 fonksiyonu verilmiştir. M(-2;3;4) noktasında fonksiyonun gradyanını belirleyin.

Çözüm.(2.2) formülüne göre,

Bu skaler alanın düz yüzeyleri, x 2 +y 2 +z 2 küre ailesidir, gradU=(-4;6;8) vektörü, düzlemlerin normal vektörüdür.

Örnek 2.2. U=x-2y+3z skaler alanının gradyanını bulun.

Çözüm.(2.2) formülüne göre,

Belirli bir skaler alanın düz yüzeyleri düzlemlerdir.

x-2y+3z=C; gradU=(1;-2;3) vektörü, bu ailenin düzlemlerinin normal vektörüdür.

Örnek 2.3. M(2;2;4) noktasında U=x y yüzeyinin en dik eğimini bulun.

Çözüm. Sahibiz:

Örnek 2.4. U=x 2 +y 2 +z 2 skaler alanının düz yüzeyine birim normal vektörü bulun.

Çözüm. Belirli bir skaler Alan küresinin düz yüzeyleri x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Gradyan düz yüzeye normal boyunca yönlendirilir, böylece

M(x,y,z) noktasındaki düz yüzeye normal vektörü tanımlar. Birim normal vektör için şu ifadeyi elde ederiz:

Örnek 2.5. Alan gradyanını bulun U= , burada ve sabit vektörlerdir, r noktanın yarıçap vektörüdür.

Çözüm.İzin vermek

O zamanlar: . Determinantın türev alma kuralına göre,

Sonuç olarak,

Örnek 2.6. Uzaklık gradyanını bulun, burada P(x,y,z) incelenen alanın noktasıdır, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) sabit bir noktadır.

Çözüm. Birim yön vektörümüz var.

Örnek 2.7. M 0 (1,1) noktasında fonksiyonların gradyanları arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. Bu fonksiyonların gradyanlarını M 0 (1,1) noktasında buluyoruz, elimizde

; M 0 noktasında gradU ve gradV arasındaki açı eşitlikten belirlenir.

Dolayısıyla =0.

Örnek 2.8. Yöne göre türevi bulun, yarıçap vektörü eşittir

Çözüm. Bu fonksiyonun gradyanını bulma:

(2.5)'i (2.4) ile değiştirirsek, şunu elde ederiz:

Örnek 2.9. M 0 (1;1;1) noktasında U=xy+yz+xz skaler alanındaki en büyük değişimin yönünü ve bu noktadaki bu en büyük değişimin büyüklüğünü bulun.

Çözüm. Alandaki en büyük değişikliğin yönü vektör derecesi U(M) ile gösterilir. Onu bulduk:

Ve bu nedenle, . Bu vektör, M 0 (1;1;1) noktasında bu alanın en büyük artışının yönünü belirler. Bu noktada alandaki en büyük değişikliğin değeri şuna eşittir:

Örnek 3.1. Vektör çizgilerini bulun Vektör alanı sabit bir vektör nerede.

Çözüm. bizde öyle

Birinci kesrin payını ve paydasını x ile, ikinciyi y ile, üçüncüyü z ile çarpın ve terim terim ekleyin. Oran özelliğini kullanarak,

Dolayısıyla xdx+ydy+zdz=0, yani

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Şimdi birinci kesrin (3.3) pay ve paydasını c 1 ile, ikincisini c 2 ile, üçüncüyü c 3 ile çarparak ve terim terim toplayarak elde ederiz.

Nereden c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Ve bu nedenle, 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 ile. 2 sabit.

Vektör çizgileri için gerekli denklemler

Bu denklemler, orijinde ortak bir merkeze sahip kürelerin vektöre dik düzlemlerle kesişmesi sonucu vektör çizgilerinin elde edildiğini göstermektedir. Vektör çizgileri, merkezleri orijinden c vektörü yönünde geçen düz bir çizgi üzerinde olan dairelerdir. Dairelerin düzlemleri belirtilen doğruya diktir.

Örnek 3.2.(1,0,0) noktasından geçen alan vektör doğrusunu bulun.

Çözüm. Diferansiyel denklemler vektör çizgileri

Dolayısıyla biz varız. İlk denklemi çözme. Veya t parametresini tanıtırsak, bu durumda, denklem veya dz=bdt biçimini alır, buradan z=bt+c 2 olur.