Türev bulma işlemine türev alma denir.

En basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonların türevlerini bulma problemlerini çözmenin bir sonucu olarak, türevi, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlayarak, bir türev tablosu ve kesin olarak tanımlanmış türev kuralları ortaya çıktı. . Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) türev bulma alanında çalışan ilk kişilerdir.

Bu nedenle, zamanımızda, herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının yukarıda belirtilen limitini hesaplamak gerekli değildir, sadece tabloyu kullanmak yeterlidir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.

türevini bulmak için, kontur işaretinin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit fonksiyonları yıkmak ve hangi eylemleri belirlemek (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler ilişkilidir. Ayrıca, türevler tablosunda temel fonksiyonların türevlerini ve farklılaşma kurallarında ürün, toplam ve bölümün türevleri için formülleri buluruz. İlk iki örnekten sonra türevler ve türev kuralları tablosu verilmiştir.

örnek 1 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Türev alma kurallarından, fonksiyonların toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu, yani.

Türev tablosundan, "X" in türevinin bire eşit olduğunu ve sinüsün türevinin kosinüs olduğunu öğrendik. Bu değerleri türevlerin toplamında yerine koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluruz:

Örnek 2 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Sabit faktörlü ikinci terimin türevin işaretinden alınabileceği toplamın bir türevi olarak türevini alın:

Bir şeyin nereden geldiğine dair hala sorular varsa, kural olarak, türev tablosunu ve en basit farklılaşma kurallarını okuduktan sonra netleşirler. Hemen onlara gidiyoruz.

Basit fonksiyonların türevleri tablosu

1. Bir sabitin (sayı) türevi. İşlev ifadesindeki herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200...). Her zaman sıfır. Bu çok sık gerekli olduğu için hatırlanması çok önemlidir.
2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "x". Her zaman bire eşittir. Bunu hatırlamak da önemlidir
3. Derecenin türevi. Problemleri çözerken kare olmayan kökleri bir güce dönüştürmeniz gerekir.
4. Bir değişkenin -1 kuvvetine göre türevi
5. türev kare kök
6. Sinüs türevi
7. Kosinüs türevi
8. Teğet türevi
9. Kotanjantın türevi
10. arksinüs türevi
11. Ark kosinüsünün türevi
12. Ark tanjantının türevi
13. Ters tanjantın türevi
14. Doğal logaritmanın türevi
15. Logaritmik bir fonksiyonun türevi
16. Üsün türevi
17. Üstel fonksiyonun türevi

farklılaşma kuralları

1. Toplamın veya farkın türevi
2. Bir ürünün türevi
2a. Sabit bir faktörle çarpılan bir ifadenin türevi
3. Bölümün türevi
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Kural 1eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir, sonra aynı noktada fonksiyonlar

ve

şunlar. fonksiyonların cebirsel toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.

Sonuçlar. İki türevlenebilir fonksiyon bir sabit kadar farklıysa, türevleri, yani

Kural 2eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir, o zaman ürünleri de aynı noktada türevlenebilir

ve

şunlar. iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin ürünleri ile diğerinin türevinin toplamına eşittir.

Sonuç 1. Sabit faktör türevin işaretinden alınabilir.:

Sonuç 2. Birkaç türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi, faktörlerin her birinin ve diğerlerinin türevinin ürünlerinin toplamına eşittir.

Örneğin, üç çarpan için:

Kural 3eğer fonksiyonlar

bir noktada türevlenebilir ve , o zaman bu noktada onların bölümleri de türevlenebilir.u/v , ve

şunlar. iki fonksiyonun bir bölümünün türevi, payı paydanın ürünleri ile payın türevi arasındaki fark ve pay ve paydanın türevi olan bir kesre eşittir ve payda önceki payın karesidir .

Diğer sayfalarda nereye bakmalı

Gerçek problemlerde çarpım ve bölümün türevini bulurken, her zaman birkaç türev kuralını aynı anda uygulamak gerekir, bu nedenle bu türevlerle ilgili daha fazla örnek makalede bulunmaktadır."Bir çarpım ve bir bölümün türevi".

Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamda bir terim ve sabit bir faktör olarak karıştırmamalısınız! Bir terim olması durumunda türevi sıfıra eşittir ve sabit bir faktör olması durumunda türevlerin işaretinden çıkarılır. BT tipik hata, türev çalışmalarının ilk aşamasında meydana gelir, ancak birkaç bir-iki bileşenli örneğin çözümü zaten yapıldığı için, ortalama öğrenci artık bu hatayı yapmaz.

Ve eğer bir ürünü veya bir bölümü farklılaştırırken bir teriminiz varsa sen"v, burada sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacak ve bu nedenle tüm terim sıfıra eşit olacaktır (böyle bir durum örnek 10'da analiz edilmiştir) .

Bir diğer yaygın hata, karmaşık bir fonksiyonun türevinin basit bir fonksiyonun türevi olarak mekanik çözümüdür. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makaleye ayrılmıştır. Ama önce basit fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz.

Yol boyunca, ifadelerin dönüşümü olmadan yapamazsınız. Bunu yapmak için yeni Windows kılavuzlarında açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler ve Kesirli eylemler .

Kuvvetler ve kökler ile türevlere çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon şöyle göründüğünde , ardından " Kesirlerin kuvvetler ve kökler toplamının türevi" dersini takip edin.

gibi bir göreviniz varsa , o zaman "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" dersindesiniz.

Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur

Örnek 3 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini belirleriz: ifadenin tamamı ürünü temsil eder ve faktörleri, ikincisinde terimlerden birinin sabit bir faktör içerdiği toplamlardır. Çarpım türevi kuralını uygularız: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin ürünlerinin toplamına ve diğerinin türevine eşittir:

Sonra, toplamın türev kuralını uygularız: fonksiyonların cebirsel toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamda, eksi işareti olan ikinci terim. Her toplamda, hem türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken hem de türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Böylece, "x" bire ve eksi 5 - sıfıra dönüşür. İkinci ifadede, "x" 2 ile çarpılır, yani ikiyi "x"in türeviyle aynı birim ile çarparız. Aşağıdaki türev değerlerini alıyoruz:

Bulunan türevleri ürünlerin toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:

Örnek 4 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bölümün türevini bulmamız gerekiyor. Bir bölümün türevini almak için formülü uygularız: iki fonksiyonun bir bölümünün türevi, payı paydanın ürünleri ile payın türevi ve payın türevi arasındaki fark olan bir kesre eşittir ve payda önceki payın karesidir. Alırız:

Örnek 2'de paydaki çarpanların türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte payda ikinci çarpan olan çarpım eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:

Sürekli bir kök ve derece yığınının olduğu bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken bu tür problemlere çözüm arıyorsanız, örneğin, o zaman sınıfa hoşgeldin "Kuvvetleri ve kökleri olan kesirlerin toplamının türevi" .

Sinüs, kosinüs, tanjant ve diğerlerinin türevleri hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız trigonometrik fonksiyonlar, yani, işlev şöyle göründüğünde o zaman dersin var "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .

Örnek 5 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, faktörlerinden biri bağımsız değişkenin karekökü olan ve türev tablosunda türevini tanıdığımız bir ürün görüyoruz. Çarpım türevi kuralına ve karekökün türevinin tablo değerine göre şunu elde ederiz:

Örnek 6 Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, payı bağımsız değişkenin karekökü olan bölümü görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümün türev kuralına ve karekökün türevinin tablo değerine göre şunu elde ederiz:

Paydaki kesirden kurtulmak için pay ve paydayı ile çarpın.

Fonksiyonlar noktanın bazı komşuluklarında tanımlansın ve noktada türevleri olsun. Daha sonra ürünlerinin, aşağıdaki formülle belirlenen noktada bir türevi vardır:
(1) .

Kanıt

Notasyonu tanıtalım:
;
.
Burada ve değişkenlerin fonksiyonları ve . Ancak gösterim kolaylığı için, argümanlarının gösterimini atlayacağız.

Daha sonra fark ederiz ki
;
.
Koşullara göre, fonksiyonlar ve aşağıdaki limitler olan noktada türevleri vardır:
;
.
Türevlerin varlığından, fonksiyonların ve noktasında sürekli olduğu sonucu çıkar. Bu yüzden
;
.

Fonksiyonların çarpımı olan x değişkeninin y fonksiyonunu düşünün ve :
.
Bu fonksiyonun şu noktadaki artışını göz önünde bulundurun:



.
Şimdi türevi buluyoruz:


.

Yani,
.
Kural kanıtlanmıştır.

Değişken yerine başka bir değişken kullanabilirsiniz. x olarak gösterelim. Sonra türevler varsa ve varsa, o zaman iki fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle belirlenir:
.
Veya daha kısa gösterimde
(1) .

Sonuçlar

x bağımsız değişkeninin fonksiyonları olsun. O zamanlar
;
;
vb. ...

İlk formülü kanıtlayalım. İlk önce, ve fonksiyonları için (1) çarpımının türevi formülünü uygularız ve ardından ve fonksiyonları için:

.

Diğer benzer formüller benzer şekilde kanıtlanmıştır.

Örnekler

örnek 1

türevi bulun
.

Çözüm

İki fonksiyonun ürününün türev alma kuralını uyguluyoruz
(1) .
.

Türev tablosundan şunu buluruz:
;
.
O zamanlar
.

Sonunda elimizde:
.

Cevap

Örnek 2

x değişkeninin bir fonksiyonunun türevini bulun
.

Çözüm

İki fonksiyonun çarpımının türevi için formülü uygularız:
(1) .
.

Fonksiyonların türev toplamı ve farkı için formülü uygularız:
.
.

Sabitleri ayırt etmek için kuralları uygularız:
;
.
;
.

Karar ver fiziksel görevler veya matematikteki örnekler, türev ve onu hesaplama yöntemleri bilgisi olmadan tamamen imkansızdır. Türev, matematiksel analizin en önemli kavramlarından biridir. Bugünün makalesini bu temel konuya ayırmaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlam Bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: türev nasıl anlaşılır?

Türevin geometrik ve fiziksel anlamı

Bir fonksiyon olsun f(x) , belirli aralıklarla verilen (a,b) . x ve x0 noktaları bu aralığa aittir. x değiştiğinde, fonksiyonun kendisi değişir. Argüman değişikliği - değerlerinin farkı x-x0 . Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, fonksiyonun iki noktadaki değerleri arasındaki farktır. Türev tanımı:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, verilen bir noktadaki fonksiyonun artışının, argümanın sıfıra eğilimli olduğu durumdaki artışına oranının sınırıdır.

Aksi takdirde şöyle yazılabilir:

Böyle bir limit bulmanın anlamı nedir? Fakat hangisi:

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni ile fonksiyonun grafiğinin verilen bir noktadaki tanjantı arasındaki açının tanjantına eşittir.

fiziksel anlam türev: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.

Gerçekten de okul günlerinden beri herkes hızın özel bir yol olduğunu biliyor. x=f(t) ve zaman t . ortalama sürat bir süre için:

Bir seferde hareketin hızını bulmak için t0 sınırı hesaplamanız gerekir:

Birinci kural: sabiti çıkar

Sabit, türevin işaretinden çıkarılabilir. Üstelik yapılmalıdır. Matematikte örnekleri çözerken, kural olarak alın - ifadeyi sadeleştirebiliyorsanız, sadeleştirdiğinizden emin olun. .

Örnek. Türevini hesaplayalım:

İkinci kural: fonksiyonların toplamının türevi

İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı şey fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.

Bu teoremin bir kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örneği ele alacağız.

Bir fonksiyonun türevini bulun:

Üçüncü kural: fonksiyonların çarpımının türevi

İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek: bir fonksiyonun türevini bulun:

Çözüm:

Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanması hakkında söylemek önemlidir. Türev karmaşık fonksiyon ara argümana göre bu fonksiyonun türevinin, ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin çarpımına eşittir.

Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:

Bu durumda, ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için, önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini ele alırız ve sonra ara argümanın bağımsız değişkene göre türeviyle çarparız.

Dördüncü Kural: İki fonksiyonun bölümünün türevi

İki fonksiyonun bir bölümünün türevini belirlemek için formül:

Sıfırdan mankenler için türevler hakkında konuşmaya çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değildir, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde genellikle tuzaklar vardır, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.

Bu ve diğer konulardaki herhangi bir sorunuz için öğrenci servisi ile iletişime geçebilirsiniz. Kısa sürede, daha önce türev hesaplama ile hiç ilgilenmemiş olsanız bile, en zor kontrolü çözmenize ve görevlerle uğraşmanıza yardımcı olacağız.

Tanımı takip edersek, bir noktada bir fonksiyonun türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının sınırıdır. yΔ argümanının artışına x:

Her şey açık görünüyor. Ama bu formülle, örneğin fonksiyonun türevini hesaplamaya çalışın. f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x günah x. Her şeyi tanım gereği yaparsanız, birkaç sayfa hesaplamadan sonra uykuya dalarsınız. Bu nedenle, daha basit ve daha etkili yollar vardır.

Başlangıç ​​olarak, sözde temel işlevlerin tüm işlevlerden ayırt edilebileceğini not ediyoruz. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tabloya girilen nispeten basit ifadelerdir. Bu tür işlevlerin türevleriyle birlikte hatırlanması yeterince kolaydır.

Temel fonksiyonların türevleri

Temel işlevler aşağıda listelenen her şeydir. Bu fonksiyonların türevleri ezbere bilinmelidir. Dahası, onları ezberlemek zor değil - bu yüzden basitler.

Böylece, temel fonksiyonların türevleri:

Temel bir işlev keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni işlevin türevi de kolayca hesaplanır:

(C · f)’ = C · f ’.

Genel olarak sabitler türevin işaretinden çıkarılabilir. Örneğin:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir ve çok daha fazlası. Artık çok temel olmayan, aynı zamanda belirli kurallara göre türevlenebilir yeni işlevler bu şekilde ortaya çıkacaktır. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.

Toplam ve farkın türevi

fonksiyonlar olsun f(x) ve g(x), türevleri bizim tarafımızdan bilinmektedir. Örneğin, yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Yani, iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla terim olabilir. Örneğin, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Açıkçası, cebirde "çıkarma" kavramı yoktur. "Negatif unsur" kavramı var. Bu nedenle, fark f − g toplam olarak yeniden yazılabilir f+ (−1) g ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.

f(x) = x 2 + günah; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

İşlev f(x) iki temel fonksiyonun toplamıdır, yani:

f ’(x) = (x 2+ günah x)’ = (x 2)' + (günah x)’ = 2x+ cosx;

İşlev için benzer şekilde tartışıyoruz g(x). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Cevap:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Bir ürünün türevi

Matematik mantıksal bir bilimdir, o kadar çok insan, toplamın türevi türevlerin toplamına eşitse, o zaman ürünün türevinin olduğuna inanır. vuruş"\u003e türevlerin ürününe eşittir. Ama incir size! Ürünün türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formül basittir, ancak çoğu zaman unutulur. Ve sadece okul çocukları değil, aynı zamanda öğrenciler. Sonuç, yanlış çözülmüş problemlerdir.

Bir görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: f(x) = x 3 kosk; g(x) = (x 2 + 7x- 7) · e x .

İşlev f(x) iki temel işlevin bir ürünüdür, bu nedenle her şey basittir:

f ’(x) = (x 3 çünkü x)’ = (x 3)' çünkü x + x 3 (çünkü x)’ = 3x 2 çünkü x + x 3 (-günah x) = x 2 (3cos x − x günah x)

İşlev g(x) ilk çarpan biraz daha karmaşıktır, ancak genel şema bundan değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk çarpanı g(x) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:

g ’(x) = ((x 2 + 7x- 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x- 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x- 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Cevap:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x günah x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Son adımda türevin çarpanlara ayrıldığına dikkat edin. Resmi olarak, bu gerekli değildir, ancak çoğu türev kendi başına hesaplanmaz, ancak işlevi keşfetmek için hesaplanır. Bu, türevin daha sonra sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin bulunacağı vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, çarpanlara ayrılmış bir ifadeye sahip olmak daha iyidir.

iki fonksiyon varsa f(x) ve g(x), ve g(x) ≠ 0 kümesinde bizi ilgilendiriyor, yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz h(x) = f(x)/g(x). Böyle bir fonksiyon için türevi de bulabilirsiniz:

Zayıf değil, değil mi? Eksi nereden geldi? Neden g 2? Ama böyle! Bu en karmaşık formüllerden biridir - bir şişe olmadan çözemezsiniz. Bu nedenle, belirli örneklerle çalışmak daha iyidir.

Bir görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:

Her kesrin payında ve paydasında temel fonksiyonlar vardır, bu yüzden tek ihtiyacımız olan bölümün türevi formülü:

Geleneğe göre, payı çarpanlara ayırıyoruz - bu, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:

Karmaşık bir fonksiyon mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül değildir. Örneğin, işlevi almak yeterlidir. f(x) = günah x ve değişkeni değiştirin x, söyle, üzerinde x 2+ln x. ortaya çıkıyor f(x) = günah ( x 2+ln x) karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var, ancak onu yukarıda tartışılan kurallara göre bulmak işe yaramayacak.

Nasıl olunur? Bu gibi durumlarda, bir değişkenin değiştirilmesi ve karmaşık bir fonksiyonun türevi formülü aşağıdakilere yardımcı olur:

f ’(x) = f ’(t) · t', eğer x ile değiştirilir t(x).

Kural olarak, bu formülün anlaşılmasındaki durum, bölümün türevinden daha üzücü. Bu nedenle, her adımın ayrıntılı bir açıklaması ile belirli örneklerle açıklamak da daha iyidir.

Bir görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = günah ( x 2+ln x)

İşlevde ise f(x) ifade 2 yerine x+ 3 kolay olacak x, o zaman işe yarayacak temel fonksiyon f(x) = e x. Bu nedenle, bir ikame yaparız: 2'ye izin ver x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Karmaşık bir fonksiyonun türevini şu formülle arıyoruz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirme gerçekleştirme: t = 2x+ 3. Şunları elde ederiz:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Şimdi fonksiyona bakalım g(x). Açıkçası değiştirilmesi gerekiyor. x 2+ln x = t. Sahibiz:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (günah t)’ · t' = çünkü t · t ’

Ters değiştirme: t = x 2+ln x. O zamanlar:

g ’(x) = çünkü( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = çünkü ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Bu kadar! Son ifadeden de anlaşılacağı gibi, tüm problem toplamın türevinin hesaplanmasına indirgenmiştir.

Cevap:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) çünkü ( x 2+ln x).

Derslerimde çok sık “türev” terimi yerine “inme” kelimesini kullanırım. Örneğin, toplamdan bir vuruş toplamına eşittir vuruşlar. Bu daha net mi? Tamam bu harika.

Böylece, türevin hesaplanması, yukarıda tartışılan kurallara göre bu vuruşlardan kurtulmaya gelir. Son bir örnek olarak, rasyonel bir üsle türev kuvvetine dönelim:

(x n)’ = n · x n − 1

Rolde bunu çok az kişi biliyor n kesirli bir sayı olabilir. Örneğin, kök x 0,5 Ama ya kökün altında zor bir şey varsa? Yine, karmaşık bir işlev ortaya çıkacak - bu tür yapıları vermeyi seviyorlar. kontrol işi ve sınavlar.

Bir görev. Bir fonksiyonun türevini bulun:

İlk olarak, kökü rasyonel üslü bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Şimdi bir ikame yapıyoruz: izin ver x 2 + 8x − 7 = t. Türevi aşağıdaki formülle buluruz:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0.5 t ’.

Ters bir ikame yapıyoruz: t = x 2 + 8x− 7. Şunlara sahibiz:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x- 7) -0.5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Son olarak, köklere geri dönelim:

İTİBAREN "türev" konulu redaksiyon materyalleri. Temel okul seviyesi.
Matematikte öğrenciler, öğretmenler ve öğretmenler için teorik bilgiler. Derslere yardımcı olmak için.

Tanım: Bir fonksiyonun bir noktadaki türevine, fonksiyonun artışının değişkenin artışına oranının limiti denir.

Temel matematiksel fonksiyonların türevleri tablosu:

Türev hesaplama kuralları

toplamın türevi herhangi iki ifadenin türevlerinin toplamına eşittir (toplamın türevi, türevlerin toplamına eşittir)

fark türevi herhangi iki ifadenin toplamı, bu terimlerin türevlerinin farkına eşittir (farkın türevi, türevlerin farkına eşittir).

Ürünün türevi iki faktör, birinci faktörün türevinin ikinci ile çarpımı artı birinci faktörün ikincinin türevi ile çarpımına eşittir (sırasıyla alınan faktörlerin türevlerinin toplamı).
Matematik öğretmeninin yorumu:Öğrenciye bir ürünün türevini hesaplama kuralını kısa cümlelerle hatırlattığımda şunu söylüyorum: birinci faktörün ikinci artıya göre türevi. vuruş değişimi!

bölümün türevi iki ifadenin toplamı, faktörlerin dönüşümlü olarak alınan türevlerinin farkının ve paydanın karesinin bölümüne eşittir.

Bir sayının ve bir fonksiyonun çarpımının türevi. Bir sayının ve bir değişmez ifadenin (bir fonksiyon) çarpımının türevini bulmak için, bu sayıyı bu değişmez ifadenin türeviyle çarpmanız gerekir.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini hesaplamak için dış fonksiyonun türevini bulmanız ve bunu iç fonksiyonun türeviyle çarpmanız gerekir.

Türevleri olan sayfadaki yorumlarınız ve geri bildirimleriniz:
İskender S.
Gerçekten bir masaya ihtiyacım vardı. İnternette en çok bulunanlardan biri. Açıklamalar ve kurallar için çok teşekkür ederim. Onlara en az bir örnek daha ve genel olarak harika olurdu. Tekrar teşekkürler.

Kolpakov A.N., matematik öğretmeni: tamam, yakında örneklerle sayfayı güncellemeye çalışacağım.

Sanal matematiksel referans kitabı.
Kolpakov Alexander Nikolaevich, matematik öğretmeni.