Një trup elastik i deformuar (për shembull, një burim i shtrirë ose i ngjeshur) është i aftë, duke u kthyer në një gjendje të padeformuar, të kryejë punë në trupat në kontakt me të. Prandaj, një trup i deformuar elastikisht ka energji potenciale. Kjo varet nga pozicioni relativ i pjesëve të trupit, siç janë mbështjelljet e një suste. Puna që mund të bëjë një susta e shtrirë varet nga shtrirjet fillestare dhe përfundimtare të sustës. Le të gjejmë punën që mund të bëjë susta e shtrirë, duke u kthyer në gjendjen e pashtrirë, d.m.th., të gjejmë energjinë potenciale të sustës së shtrirë.

Lëreni pranverën e shtrirë të fiksohet në njërin skaj, dhe skaji tjetër, duke lëvizur, funksionon. Duhet pasur parasysh se forca me të cilën vepron susta nuk mbetet konstante, por ndryshon në proporcion me shtrirjen. Nëse shtrirja fillestare e sustës, duke llogaritur nga gjendja e pashtrirë, ishte />, atëherë vlera fillestare e forcës elastike ishte , ku është faktori i proporcionalitetit, i cili quhet ngurtësi e sustës. Me tkurrjen e sustës, kjo forcë zvogëlohet në mënyrë lineare nga një vlerë në zero. Pra, vlera mesatare e forcës është . Mund të tregohet se puna është e barabartë me këtë mesatare të shumëzuar me zhvendosjen e pikës së aplikimit të forcës:

Kështu, energjia potenciale e një pranvere të shtrirë

E njëjta shprehje është marrë për një pranverë të ngjeshur.

Në formulën (98.1), energjia potenciale shprehet në ngurtësinë e sustës dhe në shtrirjen e saj. Duke zëvendësuar me , ku është forca elastike që korrespondon me tensionin (ose ngjeshjen) e sustës, marrim shprehjen

që përcakton energjinë potenciale të sustës, forcën e shtrirë (ose të ngjeshur). Nga kjo formulë shihet se, duke shtrirë susta të ndryshme me të njëjtën forcë, do t'u japim atyre një furnizim të ndryshëm të energjisë potenciale: sa më e fortë të jetë susta, d.m.th. sa më i madh elasticiteti i tij, aq më pak energji potenciale; dhe anasjelltas: sa më e butë të jetë susta, aq më shumë energji do të ruajë për një forcë të caktuar tërheqëse. Kjo mund të kuptohet qartë, nëse kemi parasysh se për të njëjtën forcat aktive shtrirja e një suste të butë është më e madhe se ajo e një të ngurtë, dhe për këtë arsye produkti i forcës dhe zhvendosja e pikës së aplikimit të forcës, pra puna, është gjithashtu më i madh.

Ky model ka rëndësi të madhe, për shembull, kur instaloni susta të ndryshme dhe amortizues: kur ulet në tokë, amortizuesi i shasisë, duke ngjeshur, duhet të bëjë shumë punë, duke ulur shpejtësinë vertikale të avionit. Në një amortizues me ngurtësi të ulët, ngjeshja do të jetë më e madhe, por forcat elastike që rezultojnë do të jenë më të vogla dhe avioni do të mbrohet më mirë nga dëmtimi. Për të njëjtën arsye, goditjet në rrugë ndihen më fort kur gomat e biçikletës fryhen fort sesa kur fryhen lehtë.

Sipas shprehjes (3.12), energjia potenciale e sistemit është puna maksimale pozitive që mund të bëhet nga ata që veprojnë në sistem. forcat e brendshme.

Llogaritni energjinë potenciale të një sustë elastike të ngjeshur ose të shtrirë; forcat e brendshme që veprojnë në skajet e sustës janë të drejtuara kundër forcave të jashtme deformuese dhe janë proporcionale në madhësi me deformimin (Fig. 1.27, a):

ku është koeficienti i elasticitetit të sustës. Le të llogarisim punën që mund të kryejnë forcat e brendshme gjatë kalimit të sustës nga gjendja e deformuar në gjendjen normale (të padeformuar); kjo punë është gjithmonë pozitive. Kur gjatësia e sustës ndryshon me një sasi shumë të vogël, forcat mund të konsiderohen pothuajse konstante dhe puna e tyre do të jetë e barabartë.Grafikisht, kjo vepër paraqitet nga zona e hijezuar në Fig. 1.27b. Punë e plotë forcat e brendshme gjatë kalimit në gjendje normale përfaqësohen dukshëm nga sipërfaqja e trekëndëshit.Kjo punë është energjia potenciale e sustës së deformuar.

Për një susta spirale të përdredhur, një llogaritje e ngjashme jep ku është koeficienti i elasticitetit për rrotullim dhe është këndi i kthesës. Vini re se në një gjendje me energji potenciale zero, forcat e brendshme janë zero.

Për një trup të ngurtë (ose medium) të deformuar elastikisht, mund të llogaritet energjia potenciale që gjendet në një njësi vëllimi. Le të zbatojmë formulën për një shufër me gjatësi I dhe prerje tërthore. Atëherë do të jetë zgjatja relative e trupit nën veprimin e një force nga stresi normal mekanik. Ne përdorim ligjin e Hooke-it (shih formulën dhe shprehim energjinë potenciale të të gjithë shufrës (shih (3.14)) në varësi ose nga përkatësia

zgjatim ose tension

ku është vëllimi i trupit; moduli i elasticitetit gjatësor.

Kështu, vlera

është energjia e deformimit elastik (tensioni ose ngjeshja) që përmbahet në një njësi vëllimi të një trupi ose një mjedisi elastik. Për një mjedis të caktuar me një modul të caktuar të elasticitetit gjatësor, energjia për njësi vëllimi është drejtpërdrejt proporcionale me katrorin e sforcimit relativ ose katrorin e sforcimit a. Për një tendosje të caktuar relative, kjo energji është proporcionale me modulin e elasticitetit gjatësor. Shprehje të ngjashme përftohen edhe për llojet e tjera të deformimeve elastike.

Ne llogarisim energjinë potenciale të dy trupave me masa të tërhequra nga njëri-tjetri sipas ligjit të gravitetit. Forcat e tërheqjes së ndërsjellë do të bëjnë punë pozitive nëse trupat afrohen, dhe punë negative nëse trupat largohen. Le të supozojmë se në gjendjen fillestare këta trupa janë në distancë dhe kur afrohen, distanca më e vogël e mundshme ndërmjet tyre (në kontakt) është e barabartë me (Fig. 1.28). Atëherë puna pozitive që bëhet nga forcat e rëndesës gjatë kësaj afrimi mund të llogaritet si shumë e punëve elementare, d.m.th.

(shenja minus para integralit u shfaq për faktin se kur distanca midis trupave zvogëlohet, vlera si diferencë midis vlerave të reja dhe fillestare është negative, ndërsa puna është pozitive, pasi trupat lëvizin në drejtim të forcave). Në rastin e veçantë kur distancat janë të mëdha dhe ndryshimi i tyre është i vogël, siç është rasti kur një trup bie në sipërfaqen e Tokës nga një lartësi e vogël, produkti mund të zëvendësohet dhe më pas

Puna që mund të bëjë një trup me peshë të vendosur në lartësi kur bie quhet energjia potenciale e këtij trupi në fushën gravitacionale të Tokës.

trupi në Tokë, graviteti bën punë pozitive dhe energjia potenciale e trupit zvogëlohet.

Sidoqoftë, nëse energjia potenciale e një sistemi me dy trupa tërheqës barazohet me punën e llogaritur me formulën (3.15), atëherë energjia potenciale e sistemit do të jetë zero në Por distanca më e vogël midis trupave nuk është gjithmonë një vlerë e caktuar. Kjo rrethanë na shtyu të zgjedhim një gjendje tjetër, më të caktuar të sistemit, në të cilin energjia e tij potenciale është e barabartë me zero; domethënë, ne ramë dakord të konsiderojmë se energjia potenciale e çdo sistemi është e barabartë me zero nëse pjesët përbërëse të tij largohen nga njëra-tjetra me distanca pafundësisht të mëdha; në këtë rast, forcat e bashkëveprimit midis trupave janë të barabarta me zero.

Nga ky kusht rezulton se energjia potenciale e një sistemi trupash tërheqës duhet të jetë një vlerë negative (dhe një sistem trupash refuzues duhet të jetë një vlerë pozitive). Në të vërtetë, nëse nga gjendja fillestare, kur distanca midis trupave është pafundësisht e madhe dhe trupat fillojnë të afrohen, për shembull, në një distancë, atëherë forcat e tërheqjes bëjnë punë pozitive dhe për këtë arsye energjia potenciale duhet të ulet dhe, për rrjedhojë, bëhen më pak se zero. Në këtë mënyrë,

Rrjedhimisht,

Për një sistem të përbërë nga dy ndërveprues ngarkesat elektrike dhe energjia potenciale shprehet me të njëjtën formulë:

ku konstante. Nëse ngarkesat kanë shenja të ndryshme, atëherë energjia potenciale është negative; për një sistem ngarkesash të së njëjtës shenjë, energjia potenciale është një vlerë pozitive. Në fig. 1.29 tregon grafikët e funksionit që tregon ndryshimin në energjinë potenciale të një sistemi të tërheqjes (1) dhe zmbrapsjes (2) të trupave me një ndryshim në distancën midis tyre.

Për një sistem më kompleks që përmban, për shembull, trupa ndërveprues, energjia potenciale do të jetë një funksion i koordinatave të të gjithë këtyre trupave: është e barabartë me Për dy trupa, pra,

Për një sistem kompleks të përbërë nga shumë trupa ndërveprues, forca që vepron mbi trup në drejtim

për shembull, boshti është i barabartë me derivatin e pjesshëm:

Le të supozojmë se në imazh grafik funksionet për disa sistemi fizik origjina O vendoset brenda sistemit, dhe boshti është i orientuar në një drejtim me interes për ne (Fig. 1.30). ka një shenjë negative, d.m.th., drejtohet drejt pikës O dhe do të parandalojë largimin e grimcës nga sistemi; në pikën B forca është në drejtim të kundërt.

Kur largoheni nga pika O, energjia potenciale do të rritet, prandaj, energjia kinetike e grimcave duhet të ulet. Nëse në pikën O energjia kinetike e grimcës ishte e barabartë, atëherë ajo

bëhet e barabartë me zero në pikën A. Këtu grimca do të ndalojë, pas së cilës forcat që veprojnë mbi të do t'i thonë asaj të kthejë lëvizjen; grimca nuk do të jetë në gjendje të kapërcejë pengesën e mundshme dhe të largohet nga sistemi. Kjo do të jetë e mundur vetëm nëse energjia kinetike është mjaft e madhe, për shembull, e barabartë me

AT sisteme komplekse trupat ndërveprues mund të formojnë edhe puse potenciale (Fig. 1.31). Nëse grimca është në vend, atëherë kur lëviz në çdo drejtim, energjia potenciale rritet, prandaj, energjia kinetike zvogëlohet (forca që vepron në grimcë drejtohet drejt pikës C). Prandaj, nëse energjia kinetike e një grimce brenda "gropës" është e vogël, atëherë ajo nuk do të jetë në gjendje ta lërë atë dhe do të performojë lëvizje lëkundëse rreth pikës C.

Shënoni me X zgjatim pranveror, d.m.th. dallimi ndërmjet gjatësive të sustave në gjendjet e deformuara dhe të padeformuara.

Kur susta kthehet nga gjendja e deformuar në gjendjen e padeformuar, forca funksionon.

. (12)

Kështu, energjia potenciale e një burimi të deformuar elastik

4.5.2. Energji potenciale tërheqje gravitacionale dy pika materiale

Në fig. 5 tregon dy pika të masës materiale m 1 dhe m 2. Pozicioni i tyre karakterizohet nga vektorët e rrezes dhe përkatësisht. Puna elementare e bërë nga forcat e tërheqjes gravitacionale të këtyre pikave, ku është forca që vepron në pikën e parë materiale nga e dyta dhe është forca që vepron në pikën e dytë materiale nga e para; sipas ligjit të 3-të të Njutonit =-; dhe janë zhvendosje elementare të pikave materiale. Me këtë në mendje, ku . Duke marrë parasysh se dhe janë të drejtuara në të kundërt dhe se sasia , ne gjejme . Punë e plotë

ku R 1 dhe R2– distanca fillestare dhe përfundimtare ndërmjet pikave materiale.

Kjo punë është e barabartë me ndryshimin e energjisë potenciale A=W n 1 -W n 2. Duke marrë parasysh (14), ne gjejmë se energjia potenciale e tërheqjes gravitacionale të dy pikave materiale

ose (15)

ku R ose r– distanca ndërmjet pikave materiale.

Fundi i punës -

Kjo temë i përket:

Fizika do të studiohet në 4 semestra: në të parën: - bazat fizike të mekanikës klasike dhe relativiste.

HYRJE ... FIZIKA në NATYRËN GREKE është një shkencë që studion ligjet më të thjeshta dhe në të njëjtën kohë më të përgjithshme të dukurive ...

Nëse keni nevojë për materiale shtesë për këtë temë, ose nuk keni gjetur atë që po kërkoni, ju rekomandojmë të përdorni kërkimin në bazën e të dhënave tona të veprave:

Çfarë do të bëjmë me materialin e marrë:

Nëse ky material doli të jetë i dobishëm për ju, mund ta ruani në faqen tuaj në rrjetet sociale:

Të gjitha temat në këtë seksion:

L E C T I A ​​n 1. K I N E M A T I C A
Kinematika është një degë e mekanikës që studion lëvizjen e trupave pa marrë parasysh shkaqet që shkaktojnë lëvizjen. Lëvizja e një trupi është ndryshimi i pozicionit të tij në raport me një trup tjetër brenda

Kinematika e një pike materiale. Rruga, zhvendosja, shpejtësia dhe nxitimi
Oriz. 1 Mësoni

Ligji i lëvizjes jepet nga ekuacioni i vektorit
. (1) Me metodën e koordinatave, pozicioni i pikës A përcaktohet nga koordinatat x, y, z dhe ligji.

Shpejtësia
Shpejtësia e menjëhershme e një pike materiale përcaktohet nga relacioni

Nxitimi
Për të karakterizuar shkallën e ndryshimit të shpejtësisë, futet një vektor sasi fizike quhet nxitimi

Shpejtësia këndore dhe nxitimi këndor
Konsideroni lëvizjen e një pike materiale përgjatë një rrethi me rreze R (Fig. 5). Lëreni për kohë

L E C T I O N 2 . D I N A M I ​​C A M A T E R I A L
Dinamika është një degë e mekanikës që i kushtohet studimit të lëvizjes së trupave materialë nën veprimin e forcave të aplikuara ndaj tyre. Dinamika bazohet në 3 ligjet e Njutonit, të formuluara në vitin 1687. Ato

Ligji i dytë i Njutonit
Për ta formuluar atë, ne prezantojmë konceptin e forcës. Një forcë është një sasi vektoriale që karakterizon ndikimin në një trup të caktuar nga trupa të tjerë. Forcë

Ligji i tretë i Njutonit
Ndikimi i trupave mbi njëri-tjetrin është gjithmonë në natyrën e ndërveprimit. Nëse trupi 2 vepron në trupin 1 me një forcë

Forcat e fërkimit
Ato shfaqen kur trupat ngjitur ose pjesët e tyre lëvizin në raport me njëri-tjetrin. Fërkimi, woz

L E K T I O N 3
Tërësia e trupave të caktuar për shqyrtim quhet sistem mekanik. Trupat e sistemit mund të ndërveprojnë si me njëri-tjetrin ashtu edhe me trupat që nuk janë të përfshirë në sistem. në kuq

Ligji i ruajtjes së momentit
Konsideroni një sistem të përbërë nga n pika materiale. Shëno me forcën me të cilën pika materiale

Qendra e masës dhe ligji i lëvizjes së saj
Në dinamikë përdoret gjerësisht koncepti i qendrës së masës së një sistemi pikash materiale, i cili zakonisht shënohet me shkronjën C. Pozicioni i qendrës së masës përcaktohet nga vektori i rrezes

Propulsion reaktiv. Lëvizja e trupave me masë të ndryshueshme
Ka shumë dukuri të bazuara në ligjin e ruajtjes së momentit. Për shembull, fluturimi me raketë (dhe puna motorët reaktiv) bazohen në faktin se si rezultat i nxjerrjes së gazrave nga gryka, raketa

Forcat konservatore dhe jo konservatore
Të gjitha forcat që ndodhin në mekanikë zakonisht ndahen në konservatore dhe jo konservatore. Forca, veprim

Energjia potenciale e një sistemi pikash materiale
Konsideroni një sistem të përbërë nga shumë pika materiale. Nëse është dhënë pozicioni i secilës pikë materiale, atëherë pozicioni i të gjithë sistemit ose konfigurimi i tij përcaktohet nga kjo. Nëse forcat që veprojnë

Energjia potenciale e një trupi në fushën uniforme të gravitetit të Tokës
Formula (15) është gjithashtu e vlefshme për trupat sferikë homogjenë; në këtë rast r është distanca ndërmjet qendrave të masës së trupave të tillë. Në veçanti, energjia potenciale e një trupi me masë m, e vendosur

Energjia kinetike
Le të shkruajmë ekuacionin e lëvizjes së një pike materiale (grimcë) me masë m, që lëviz nën veprimin e forcave, rezultanta e së cilës është e barabartë me

Ligji i ruajtjes së energjisë në mekanikë
Konsideroni një sistem prej n pikash materiale, të cilat ndikohen nga forcat konservatore dhe jokonservatore. Le të gjejmë punën që bëjnë këto forca kur lëvizin sistemin nga një

Përplasjet elastike dhe joelastike
Kur trupat përplasen, ato deformohen në një masë më të madhe ose më të vogël. Në këtë rast, energjia kinetike e trupave shndërrohet pjesërisht ose plotësisht në energji potenciale të deformimit elastik dhe në energji të brendshme.

Ndikim absolutisht joelastik
Një shembull interesant ku ka një humbje të energjisë mekanike nën veprimin e forcave shpërndarëse është një ndikim plotësisht joelastik, në të cilin energjia potenciale e deformimit elastik nuk lind.

Ndikim absolutisht elastik
Kjo është një goditje e tillë, në të cilën e plotë energji mekanike trupi është i shpëtuar. Së pari, energjia kinetike konvertohet pjesërisht ose plotësisht në energjinë potenciale të deformimit elastik. Më pas trupat kthehen

Ligji i përgjithshëm fizik i ruajtjes së energjisë
Mekanika klasike merr parasysh vetëm energjinë kinetike të lëvizjes makroskopike të trupave dhe pjesëve të tyre makroskopike, si dhe energjinë e tyre potenciale. Por ajo është plotësisht e hutuar nga e brendshme

Momenti i forcës dhe momenti i impulsit në lidhje me një fillim fiks
Le të jetë O çdo pikë fikse në kuadrin inercial të referencës. Quhet fillimi ose pol. Shënoni me

Ekuacioni i momentit
Le të supozojmë se pika O është fikse. Në rastin e një pike materiale, duke diferencuar (3), marrim.

Ligji i ruajtjes së momentit këndor
Nëse sistemi është i mbyllur (d.m.th. forcat e jashtme jo), atëherë dhe, prandaj, sipas ekuacionit (6) vektori

Lëvizja në fushën e forcave qendrore
Nëse një forcë e formës vepron në një pikë materiale, (8) atëherë ata thonë se pika materiale gjen

Shkallët e lirisë. Koordinatat e përgjithësuara
Pozicioni i një pike në hapësirë ​​mund të specifikohet nga një numër i caktuar koordinatash të pavarura, për shembull, tre koordinata x, y, z të sistemit kartezian. Por kjo mund të bëhet edhe në një mënyrë tjetër. Për shembull, në vend të

Numri i shkallëve të lirisë së një trupi të ngurtë
Një trup absolutisht i ngurtë në mekanikë është një sistem i idealizuar i pikave materiale, të gjitha distancat midis të cilave nuk ndryshojnë me kalimin e kohës gjatë lëvizjes së sistemit. Në mënyrë të paqartë

Ekuacioni i lëvizjes dhe ekuilibrit të një trupi të ngurtë
Sepse të ngurtaështë një sistem mekanik me gjashtë shkallë lirie, atëherë kërkohen gjashtë ekuacione numerike të pavarura ose dy ekuacione vektoriale të pavarura për të përshkruar lëvizjen e tij.

Teorema e Shtajnerit
Në mekanikë, një trup i ngurtë zakonisht konsiderohet si sistemi mekanik, masa m e së cilës shpërndahet vazhdimisht mbi vëllimin V të trupit, në mënyrë që gjatë llogaritjes së momentit të inercisë së trupit, përmbledhja

Energjia kinetike në lëvizjen e planit
Plani (rrafsh-paralel) është një lëvizje në të cilën të gjitha pikat e trupit lëvizin në rrafshe paralele. Lëvizjen planore të trupit e paraqesim si lëvizje përpara me shpejtësi

Duke përmbledhur të gjitha pikat materiale, marrim
ose, (12)

Kështu, nëse e thyejmë lëvizjen planore të trupit në përkthimore
qendra e masës Vc dhe rrotulluese me shpejtësi këndore w rreth boshtit që kalon nga qendra e masës së trupit, atëherë energjia kinetike zbërthehet në dy terma të pavarur

Fuqia
. (16) Le të krahasojmë sasitë themelore dhe ekuacionet e lëvizjeve përkthimore dhe rrotulluese

Transformimet galilease. Parimi i relativitetit të Galileos
Nëse kornizat e referencës lëvizin në mënyrë të njëtrajtshme dhe drejtvizore në raport me njëri-tjetrin dhe ligji 1 i Njutonit është i vlefshëm në njërën prej tyre, atëherë këto korniza janë inerciale. Galileo tha:

Postulatet e teorisë private të relativitetit
Historikisht, ishte ligji i mbledhjes së shpejtësive (5) që tregoi kufizimet e ideve galileane për vetitë e hapësirës dhe kohës. Në të vërtetë, sipas këtij ligji, në lidhje me sistemin

Transformimet e Lorencit
Postulatet e Ajnshtajnit kërkuan një rishikim themelor të ideve rreth vetive të hapësirës, ​​kohës dhe lëvizjes. Le ta tregojmë këtë me një shembull të thjeshtë. Le të imagjinojmë se një kornizë referimi lëvizëse

Ligji i mbledhjes së shpejtësive në mekanikën relativiste
Duke diferencuar (11) në lidhje me dhe (12) në lidhje me

Masa në mekanikën Njutoniane dhe relativiste
Gjatë studimit të lëvizjes së trupave, shpejtësitë e të cilëve v janë të papërfillshme në krahasim me shpejtësinë e dritës c (v/c → 0), bëhet përafrimi jorelativist. Në këtë rast

Energjia, momenti në mekanikën relativiste
Nëse një trup lëviz me një shpejtësi v në raport me sistemi inercial referencë (ISO) K, pastaj përveç energjisë së mbetur

Ekuacioni bazë i dinamikës relativiste
Sipas (20), momenti relativist, ndërsa të dyja formulat janë të vlefshme për "të rëndë", d.m.th. duke pasur nr

Energjia kinetike e një grimce relativiste
Sipas (19), energji totale trupat (grimcat) në mekanika relativiste, përbëhet nga energjia

Dridhjet harmonike
Oriz. 1 Mësoni

Energjia e mundshme dhe kinetike
Le të vendosim ndryshimin në potencial dhe energjia kinetike sistemi oscilues. Dihet se energjia potenciale e një trupi të deformuar elastikisht është e barabartë me

Diagrami vektorial i lëkundjes harmonike
Lëkundjet harmonike mund të paraqiten si projeksion i vektorit

Forma komplekse e paraqitjes së vibrimeve
Sipas formulës së Euler-it për numrat kompleks

Mbledhja e lëkundjeve të drejtuara në mënyrë identike
Konsideroni shtimin e dy lëkundjeve harmonike të së njëjtës frekuencë, zhvendosjet e të cilave dhe

Lavjerrësi matematikor
Kjo është një pikë materiale e varur në një fije pa peshë dhe të pazgjatshme. Një përafrim i mirë me mat

Lavjerrësi pranveror
Kjo është një ngarkesë me masë m, e varur në një burim absolutisht elastik dhe që lëkundet rreth pozicionit të ekuilibrit, Fig. 1. Ai u konsiderua në paragrafin 1. Për të

Dridhje të lira të amortizuara
Përveç forcës elastike F = - kx, në trup vepron edhe një forcë rezistence, e cila është në përpjesëtim me shpejtësinë gjatë lëvizjeve të ngadalta, d.m.th.

Zvogëlimi logaritmik i amortizimit
logaritmi natyror raporti i devijimit të sistemit në momentet t dhe quhet zvogëlim logaritmik

Dridhjet e detyruara
Ato lindin kur një forcë (forcë) e jashtme që ndryshon periodikisht vepron në sistem, (22)