Uneori, în viață există situații în care trebuie să pătrunzi în memorie în căutarea unor lucruri uitate de mult cunoștințe școlare. De exemplu, trebuie să determinați suprafața unui teren de formă triunghiulară sau a venit rândul următoarei reparații într-un apartament sau o casă privată și trebuie să calculați cât material va fi nevoie. pentru o suprafata cu forma triunghiulara. A existat o perioadă în care ai putea rezolva o astfel de problemă în câteva minute, iar acum încerci cu disperare să-ți amintești cum să determini aria unui triunghi?

Nu trebuie să vă faceți griji pentru asta! La urma urmei, este destul de normal când creierul uman decide să schimbe cunoștințele neutilizate de mult timp undeva într-un colț îndepărtat, din care uneori nu este atât de ușor să le extragi. Pentru a nu fi nevoit să suferiți în căutarea cunoștințelor școlare uitate pentru a rezolva o astfel de problemă, acest articol conține diverse metode care ușurează găsirea zonei dorite a unui triunghi.

Este bine cunoscut faptul că un triunghi este un tip de poligon care este limitat de numărul minim posibil de laturi. În principiu, orice poligon poate fi împărțit în mai multe triunghiuri conectând vârfurile sale cu segmente care nu îi intersectează laturile. Prin urmare, cunoscând triunghiul, puteți calcula aria aproape oricărei figuri.

Dintre toate triunghiurile posibile care apar în viață, se pot distinge următoarele tipuri particulare: și dreptunghiulare.

Cel mai simplu mod de a calcula aria unui triunghi este atunci când unul dintre colțurile acestuia este drept, adică în cazul unui triunghi dreptunghic. Este ușor de observat că este o jumătate de dreptunghi. Prin urmare, aria sa este egală cu jumătate din produsul laturilor, care formează un unghi drept între ele.

Dacă cunoaștem înălțimea unui triunghi, coborât de la unul dintre vârfurile sale pe latura opusă, și lungimea acestei laturi, care se numește bază, atunci aria se calculează ca jumătate din produsul înălțimii și bazei. Aceasta se scrie folosind următoarea formulă:

S = 1/2*b*h, în care

S este aria dorită a triunghiului;

b, h - respectiv, înălțimea și baza triunghiului.

Este atât de ușor să calculați aria unui triunghi isoscel, deoarece înălțimea va diviza latura opusă și poate fi măsurată cu ușurință. Dacă aria este determinată, atunci este convenabil să luați lungimea uneia dintre laturile care formează un unghi drept ca înălțime.

Toate acestea sunt cu siguranță bune, dar cum să determinați dacă unul dintre colțurile unui triunghi este drept sau nu? Dacă dimensiunea figurii noastre este mică, atunci puteți folosi un unghi de construcție, un triunghi de desen, o carte poștală sau alt obiect cu formă dreptunghiulară.

Dar dacă avem un teren triunghiular? În acest caz, procedați după cum urmează: numărați din partea de sus a propusului unghi drept pe o parte se măsoară în aceeași proporție un multiplu de distanță de 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), iar pe cealaltă, un multiplu de distanță de 4 (40 cm, 160 cm, 4 m). Acum trebuie să măsurați distanța dintre punctele de capăt ale acestor două segmente. Dacă valoarea este un multiplu de 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), atunci se poate argumenta că unghiul este corect.

Dacă valoarea lungimii fiecăreia dintre cele trei laturi ale figurii noastre este cunoscută, atunci aria triunghiului poate fi determinată folosind formula lui Heron. Pentru ca acesta să aibă o formă mai simplă, se folosește o nouă valoare, care se numește semiperimetru. Aceasta este suma tuturor laturilor triunghiului nostru, împărțite la jumătate. După ce se calculează semiperimetrul, puteți începe să determinați zona folosind formula:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), unde

pătrat- Rădăcină pătrată;

p este valoarea semiperimetrului (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - muchiile (laturile) triunghiului.

Dar dacă triunghiul are o formă neregulată? Există două moduri posibile aici. Prima dintre acestea este să încercați să împărțiți o astfel de figură în două triunghiuri dreptunghiulare, a căror sumă a ariilor este calculată separat și apoi adăugată. Sau, dacă unghiul dintre cele două laturi și dimensiunea acestor laturi sunt cunoscute, atunci aplicați formula:

S = 0,5 * ab * sinC, unde

a,b - laturile triunghiului;

c este unghiul dintre aceste laturi.

Cel din urmă caz ​​este rar în practică, dar, cu toate acestea, totul este posibil în viață, așa că formula de mai sus nu va fi de prisos. Succes cu calculele tale!

Triunghiul este o figură binecunoscută. Și asta, în ciuda varietății bogate a formelor sale. Dreptunghiular, echilateral, acut, isoscel, obtuz. Fiecare dintre ele este oarecum diferit. Dar pentru orice este necesar să cunoașteți aria triunghiului.

Formule comune pentru toate triunghiurile care folosesc lungimile laturilor sau înălțimii

Denumirile adoptate în ele: laturile - a, b, c; înălțimi pe laturile corespunzătoare pe a, n in, n s.

1. Aria unui triunghi se calculează ca produsul dintre ½, latura și înălțimea coborâte pe acesta. S = ½ * a * n a. În mod similar, ar trebui să scrieți formule pentru celelalte două părți.

2. Formula lui Heron, în care apare semiperimetrul (se obișnuiește să-l notăm cu litera p mică, în contrast cu întregul perimetru). Semi-perimetrul trebuie calculat după cum urmează: se adună toate laturile și se împart la 2. Formula semi-perimetru: p \u003d (a + b + c) / 2. Apoi egalitatea pentru aria de \ u200b\u200bfigura arată astfel: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Dacă nu doriți să utilizați un semi-perimetru, atunci o astfel de formulă va fi utilă, în care sunt prezente doar lungimile laturilor: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Este oarecum mai lung decât precedentul, dar vă va ajuta dacă ați uitat cum să găsiți semi-perimetrul.

Formule generale în care apar unghiurile unui triunghi

Notația care este necesară pentru a citi formulele: α, β, γ - unghiuri. Ele se află laturi opuse a, b, c, respectiv.

1. Potrivit acestuia, jumătate din produsul a două laturi și sinusul unghiului dintre ele este egal cu aria triunghiului. Adică: S = ½ a * b * sin γ. Formulele pentru celelalte două cazuri ar trebui scrise într-un mod similar.

2. Aria unui triunghi poate fi calculată dintr-o latură și trei unghiuri cunoscute. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Există și o formulă cu o latură cunoscută și două unghiuri adiacente acesteia. Arata astfel: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Ultimele două formule nu sunt cele mai simple. E destul de greu să-i amintești.

Formule generale pentru situația în care se cunosc razele cercurilor înscrise sau circumscrise

Denumiri suplimentare: r, R — razele. Primul este folosit pentru raza cercului înscris. Al doilea este pentru cel descris.

1. Prima formulă prin care se calculează aria unui triunghi este legată de semiperimetrul. S = r * r. Într-un alt mod, poate fi scris după cum urmează: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. În al doilea caz, va trebui să înmulțiți toate laturile triunghiului și să le împărțiți la raza cvadruplă a cercului circumscris. În termeni literali, arată astfel: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. A treia situație vă permite să faceți fără a cunoaște laturile, dar aveți nevoie de valorile tuturor celor trei unghiuri. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Caz special: triunghi dreptunghic

Aceasta este cea mai simplă situație, deoarece este necesară doar lungimea ambelor picioare. Ele sunt notate cu literele latine a și b. Aria unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din aria dreptunghiului adăugat acestuia.

Matematic, arată astfel: S = ½ a * b. Ea este cel mai ușor de reținut. Deoarece arată ca formula pentru aria unui dreptunghi, apare doar o fracție, denotă jumătate.

Caz special: triunghi isoscel

Deoarece cele două laturi ale sale sunt egale, unele formule pentru zona sa par oarecum simplificate. De exemplu, formula lui Heron, care calculează aria unui triunghi isoscel, ia următoarea formă:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Dacă îl converti, va deveni mai scurt. În acest caz, formula lui Heron pentru un triunghi isoscel este scrisă după cum urmează:

S = ¼ în √(4 * a 2 - b 2).

Formula ariei pare oarecum mai simplă decât pentru un triunghi arbitrar dacă laturile și unghiul dintre ele sunt cunoscute. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Caz special: triunghi echilateral

De obicei, în problemele despre el, latura este cunoscută sau poate fi cumva recunoscută. Apoi formula pentru găsirea ariei unui astfel de triunghi este următoarea:

S = (a 2 √3) / 4.

Sarcini pentru găsirea zonei dacă triunghiul este reprezentat pe hârtie în carouri

Cea mai simplă situație este atunci când un triunghi dreptunghic este desenat astfel încât picioarele acestuia să coincidă cu liniile hârtiei. Apoi trebuie doar să numărați numărul de celule care se potrivesc în picioare. Apoi înmulțiți-le și împărțiți-le la doi.

Când triunghiul este acut sau obtuz, trebuie să fie desenat într-un dreptunghi. Apoi, în figura rezultată vor fi 3 triunghiuri. Unul este cel dat în sarcină. Iar celelalte două sunt auxiliare și dreptunghiulare. Zonele ultimelor două trebuie determinate prin metoda descrisă mai sus. Apoi calculați aria dreptunghiului și scădeți din el cele calculate pentru cele auxiliare. Se determină aria triunghiului.

Mult mai dificilă este situația în care niciuna dintre laturile triunghiului nu coincide cu liniile hârtiei. Apoi trebuie să fie înscris într-un dreptunghi, astfel încât vârfurile figurii originale să se afle pe laturile sale. În acest caz, vor exista trei triunghiuri dreptunghiulare auxiliare.

Un exemplu de problemă cu formula lui Heron

Condiție. Unele triunghiuri au laturi. Ele sunt egale cu 3, 5 și 6 cm. Trebuie să-i cunoașteți aria.

Acum puteți calcula aria unui triunghi folosind formula de mai sus. Sub rădăcina pătrată se află produsul a patru numere: 7, 4, 2 și 1. Adică, aria este √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Dacă nu aveți nevoie de mai multă precizie, atunci puteți lua rădăcina pătrată a lui 14. Este 3,74. Atunci aria va fi egală cu 7,48.

Răspuns. S \u003d 2 √14 cm 2 sau 7,48 cm 2.

Un exemplu de problemă cu un triunghi dreptunghic

Condiție. Un picior al unui triunghi dreptunghic este cu 31 cm mai lung decât al doilea. Este necesar să aflați lungimile lor dacă aria triunghiului este de 180 cm 2.
Soluţie. Trebuie să rezolvi un sistem de două ecuații. Primul are legătură cu zona. Al doilea este cu raportul picioarelor, care este dat în problemă.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
În primul rând, valoarea lui „a” trebuie înlocuită în prima ecuație. Se dovedește: 180 \u003d ½ (in + 31) * in. Are doar unul cantitate necunoscută, deci este ușor de rezolvat. După ce deschidem parantezele, obținem ecuație pătratică: în 2 + 31 in - 360 = 0. Oferă două valori pentru „în”: 9 și - 40. Al doilea număr nu este potrivit ca răspuns, deoarece lungimea laturii triunghiului nu poate fi negativă valoare.

Rămâne de calculat al doilea etapă: la numărul rezultat se adaugă 31. Rezultă 40. Acestea sunt cantitățile căutate în problemă.

Răspuns. Lamele triunghiului au 9 și 40 cm.

Sarcina de a găsi latura prin zona, latura și unghiul unui triunghi

Condiție. Aria unui triunghi este de 60 cm2. Este necesar să se calculeze una dintre laturile sale dacă a doua latură este de 15 cm, iar unghiul dintre ele este de 30º.

Soluţie. Pe baza denumirilor acceptate, latura dorită este „a”, cunoscutul „b”, unghiul dat este „γ”. Apoi formula zonei poate fi rescrisă după cum urmează:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Aici sinusul de 30 de grade este 0,5.

După transformări, „a” se dovedește a fi egal cu 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Adică 16.

Răspuns. Latura dorită este de 16 cm.

Problema unui pătrat înscris într-un triunghi dreptunghic

Condiție. Vârful unui pătrat cu latura de 24 cm coincide cu unghiul drept al triunghiului. Ceilalți doi se întind pe picioare. Al treilea aparține ipotenuzei. Lungimea unuia dintre picioare este de 42 cm Care este aria unui triunghi dreptunghic?

Soluţie. Luați în considerare două triunghiuri dreptunghiulare. Primul este specificat în sarcină. Al doilea se bazează pe catelul cunoscut al triunghiului original. Sunt asemănătoare deoarece au un unghi comun și sunt formate din linii paralele.

Atunci rapoartele picioarelor lor sunt egale. Picioarele triunghiului mai mic sunt de 24 cm (latura pătratului) și 18 cm (cu piciorul dat 42 cm minus latura pătratului de 24 cm). Picioarele corespunzătoare triunghi mare- 42 cm și x cm. Acest „x” este necesar pentru a calcula aria triunghiului.

18/42 \u003d 24 / x, adică x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Atunci aria este egală cu produsul dintre 56 și 42, împărțit la doi, adică 1176 cm 2.

Răspuns. Suprafața dorită este de 1176 cm 2.

Un triunghi este o astfel de figură geometrică, care constă din trei linii drepte care se conectează în puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă. Punctele de legătură ale liniilor sunt vârfurile triunghiului, care sunt notate cu litere latine (de exemplu, A, B, C). Liniile drepte de legătură ale unui triunghi se numesc segmente, care sunt de obicei notate cu litere latine. Există următoarele tipuri de triunghiuri:

• Dreptunghiular.
• obtuz.
• Cu unghi acut.
• Versatil.
• Echilateral.
• Isoscel.

Formule generale pentru calcularea ariei unui triunghi

Formula ariei triunghiulare pentru lungime și înălțime

S=a*h/2,
unde a este lungimea laturii triunghiului a cărui zonă se găsește, h este lungimea înălțimii trasate la bază.

Formula lui Heron

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
unde √ este rădăcina pătrată, p este semiperimetrul triunghiului, a,b,c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului. Semiperimetrul unui triunghi poate fi calculat folosind formula p=(a+b+c)/2.

Formula pentru aria unui triunghi în ceea ce privește unghiul și lungimea segmentului

S = (a*b*sin(α))/2,
Unde b,c este lungimea laturilor triunghiului, sin (α) este sinusul unghiului dintre cele două laturi.

Formula pentru aria unui triunghi având în vedere raza cercului înscris și trei laturi

S=p*r,
unde p este semiperimetrul triunghiului a cărui zonă se află, r este raza cercului înscris în acest triunghi.

Formula pentru aria unui triunghi date trei laturi și raza unui cerc circumscris în jurul lui

S= (a*b*c)/4*R,
unde a,b,c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului, R este raza cercului circumscris triunghiului.

Formula pentru aria unui triunghi în coordonatele carteziene ale punctelor

Coordonatele carteziene ale punctelor sunt coordonate în sistemul xOy, unde x este abscisa și y este ordonată. Sistemul de coordonate carteziene xOy pe un plan se numește axe numerice reciproc perpendiculare Ox și Oy cu un punct de referință comun în punctul O. Dacă coordonatele punctelor din acest plan sunt date sub forma A (x1, y1), B (x2, y2) și C (x3, y3 ), atunci puteți calcula aria unui triunghi folosind următoarea formulă, care se obține din produs vectorial doi vectori.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
unde || reprezintă modul.

Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi de 90 de grade. Un triunghi poate avea doar un astfel de unghi.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic pe două catete

S=a*b/2,
unde a,b este lungimea picioarelor. Picioarele se numesc laturile adiacente unghiului drept.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic având în vedere ipotenuza și unghiul ascuțit

S = a*b*sin(α)/ 2,
unde a, b sunt catetele triunghiului, iar sin(α) este sinusul unghiului la care se intersectează liniile a, b.

Formula pentru aria unui triunghi dreptunghic după catete și unghi opus

S = a*b/2*tg(β),
unde a, b sunt catetele triunghiului, tg(β) este tangenta unghiului la care catetele a, b sunt conectate.

Cum se calculează aria unui triunghi isoscel

Un triunghi isoscel este unul care are două laturi egale. Aceste laturi se numesc laturi, iar cealalta parte este baza. Puteți utiliza una dintre următoarele formule pentru a calcula aria unui triunghi isoscel.

Formula de bază pentru calcularea ariei unui triunghi isoscel

S=h*c/2,
unde c este baza triunghiului, h este înălțimea triunghiului coborât la bază.

Formula unui triunghi isoscel pe latura laterală și pe bază

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
unde c este baza triunghiului, a este valoarea uneia dintre laturile triunghiului isoscel.

Cum să găsiți aria unui triunghi echilateral

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale. Pentru a calcula aria unui triunghi echilateral, puteți folosi următoarea formulă:
S = (√3*a*a)/4,
unde a este lungimea laturii unui triunghi echilateral.

Formulele de mai sus vă vor permite să calculați aria necesară a triunghiului. Este important de reținut că, pentru a calcula distanța dintre triunghiuri, trebuie să țineți cont de tipul de triunghi și de datele disponibile care pot fi utilizate pentru calcul.

Aria unui triunghi. În multe probleme de geometrie legate de calculul ariilor, se folosesc formule pentru aria unui triunghi. Sunt mai multe dintre ele, aici le vom lua în considerare pe cele principale.A enumera aceste formule ar fi prea simplu și inutil. Vom analiza originea principalelor formule, cele care sunt folosite cel mai des.

Înainte de a vă familiariza cu derivarea formulelor, asigurați-vă că vă uitați la articolul despre.După ce ați studiat materialul, puteți restabili cu ușurință formulele din memorie (dacă acestea „zboară” brusc la momentul potrivit pentru dvs.).

Prima formulă

Diagonala unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri de suprafață egală:

Prin urmare, aria triunghiului va fi egală cu jumătate din aria paralelogramului:

Formula ariei triunghiulare

* Adică, dacă știm orice latură a triunghiului și înălțimea coborâtă în această latură, atunci putem calcula întotdeauna aria acestui triunghi.

Formula doi

După cum sa menționat deja în articolul despre aria unui paralelogram, formula are forma:

Aria unui triunghi este jumătate din aria sa, deci:

* Adică, dacă se cunosc două laturi dintr-un triunghi și unghiul dintre ele, putem calcula întotdeauna aria unui astfel de triunghi.

Formula lui Heron (a treia)

Această formulă este greu de obținut și nu aveți nevoie de ea. Uite ce frumoasa este, putem spune ca este amintita.

*Dacă sunt date trei laturi ale unui triunghi, atunci folosind această formulă putem calcula oricând aria acestuia.

Formula Patru

Unde reste raza cercului înscris

*Dacă sunt cunoscute trei laturi ale unui triunghi și raza cercului înscris în el, atunci putem găsi întotdeauna aria acestui triunghi.

Formula cinci

Unde Reste raza cercului circumscris.

*Dacă sunt cunoscute trei laturi ale unui triunghi și raza cercului circumscris, atunci putem găsi întotdeauna aria unui astfel de triunghi.

Apare întrebarea: dacă sunt cunoscute trei laturi ale unui triunghi, atunci nu este mai ușor să-i găsești aria folosind formula lui Heron!

Da, este mai ușor, dar nu întotdeauna, uneori devine dificil. Are de-a face cu extragerea rădăcinilor. În plus, aceste formule sunt foarte convenabile de utilizat în problemele în care aria unui triunghi este dată, laturile sale sunt date și este necesar să se găsească raza unui cerc înscris sau circumscris. Astfel de sarcini sunt incluse în examen.

Să aruncăm o privire la formula:

Este un caz special al formulei pentru aria unui poligon în care este înscris un cerc:

Luați în considerare exemplul unui pentagon:

Conectăm centrul cercului cu vârfurile acestui pentagon și aruncăm perpendiculare din centru spre laturile sale. Obținem cinci triunghiuri, cu perpendicularele căzute fiind razele cercului înscris:

Aria pentagonului este:

Acum este clar că, dacă vorbim despre un triunghi, atunci această formulă ia forma:

Formula șase

Un triunghi este cea mai simplă figură geometrică, care constă din trei laturi și trei vârfuri. Datorită simplității sale, triunghiul a fost folosit din cele mai vechi timpuri pentru diferite măsurători, iar astăzi figura poate fi utilă pentru rezolvarea problemelor practice și de zi cu zi.

Caracteristicile triunghiului

Cifra a fost folosită pentru calcule încă din cele mai vechi timpuri, de exemplu, topografii și astronomii operează cu proprietățile triunghiurilor pentru a calcula suprafețe și distanțe. Prin aria acestei figuri, este ușor de exprimat aria oricărui n-gon, iar această proprietate a fost folosită de oamenii de știință antici pentru a deriva formule pentru zonele poligoanelor. Loc de munca permanent cu triunghiuri, în special cu un triunghi dreptunghic, a devenit baza pentru o întreagă secțiune de matematică - trigonometrie.

geometria triunghiului

Proprietăți figură geometrică au fost studiate din cele mai vechi timpuri: cele mai vechi informații despre triunghi au fost găsite în papirusurile egiptene vechi de 4000 de ani. Apoi figura a fost studiată în Grecia antică iar cele mai mari contribuții la geometria triunghiului au fost aduse de Euclid, Pitagora și Heron. Studiul triunghiului nu s-a oprit niciodată, iar în secolul al XVIII-lea Leonhard Euler a introdus conceptul de ortocentru al figurii și cerc al lui Euler. La începutul secolelor al XIX-lea și al XX-lea, când părea că se știe absolut totul despre un triunghi, Frank Morley a formulat teorema asupra trisectoarelor unui unghi, iar Vaclav Sierpinski a propus un triunghi fractal.

Există mai multe tipuri de triunghiuri plate care ne sunt familiare curs şcolar geometrii:

• unghi ascuțit - toate colțurile figurii sunt ascuțite;
• obtuz - figura are un unghi obtuz (mai mare de 90 de grade);
• dreptunghiular - figura conține un unghi drept egal cu 90 de grade;
• isoscel - un triunghi cu două laturi egale;
• echilateral - un triunghi cu toate laturile egale.
• LA viata reala există tot felul de triunghiuri și, în unele cazuri, este posibil să fie nevoie să calculăm aria unei figuri geometrice.

Aria unui triunghi

Aria este o estimare a cât de mult din plan delimitează figura. Aria unui triunghi poate fi găsită în șase moduri, folosind laturile, înălțimea, unghiurile, raza cercului înscris sau circumscris, precum și folosind formula lui Heron sau calculând integrala dublă de-a lungul liniilor care delimitează planul. Cea mai simplă formulă pentru calcularea ariei unui triunghi este:

unde a este latura triunghiului, h este înălțimea acestuia.

Cu toate acestea, în practică, nu este întotdeauna convenabil pentru noi să găsim înălțimea unei figuri geometrice. Algoritmul calculatorului nostru vă permite să calculați zona, știind:

• trei laturi;
• două laturi și unghiul dintre ele;
• o latură și două colțuri.

Pentru a determina aria în termeni de trei laturi, folosim formula lui Heron:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

unde p este semiperimetrul triunghiului.

Calculul ariei pe două laturi și un unghi se face după formula clasică:

S = a × b × sin(alfa),

unde alfa este unghiul dintre laturile a și b.

Pentru a determina aria printr-o latură și două colțuri folosim relația care:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Folosind o proporție simplă, determinăm lungimea celei de-a doua laturi, după care calculăm aria folosind formula S = a × b × sin(alfa). Acest algoritm este complet automatizat și trebuie doar să introduceți variabilele date și să obțineți rezultatul. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemple din viața reală

plăci de pavaj

Să presupunem că doriți să pavați podeaua cu plăci triunghiulare și să determinați cantitatea materialul necesar, ar trebui să aflați suprafața unei plăci și suprafața podelei. Să presupunem că trebuie să procesați 6 metri pătrați ai unei suprafețe folosind o țiglă ale cărei dimensiuni sunt a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Evident, calculatorul folosește formula lui Heron pentru a calcula aria unui triunghi și va da rezultatul:

Astfel, aria elementului de țiglă osoasă va fi de 0,021 metri pătrați și veți avea nevoie de 6 / 0,021 \u003d 285 de triunghiuri pentru a îmbunătăți podeaua. Numerele 20, 21 și 29 alcătuiesc numerele triple pitagorice care satisfac . Și așa este, calculatorul nostru a calculat și toate unghiurile triunghiului, iar unghiul gamma este exact de 90 de grade.

sarcina școlară

Într-o problemă școlară, trebuie să găsiți aria unui triunghi, știind că latura a \u003d 5 cm și unghiurile alfa și beta ale rănii sunt de 30, respectiv 50 de grade. Pentru a rezolva manual această problemă, vom găsi mai întâi valoarea laturii b folosind raportul de aspect și sinusurile unghiurilor opuse, apoi vom determina aria folosind formula simplă S = a × b × sin(alfa). Să economisim timp, să introducem datele în formularul calculatorului și să obținem un răspuns instantaneu

Când utilizați un calculator, este important să specificați corect unghiurile și laturile, altfel rezultatul va fi incorect.

Concluzie

Triunghiul este o figură unică care apare atât în ​​viața reală, cât și în calcule abstracte. Utilizați calculatorul nostru online pentru a găsi aria triunghiurilor de orice fel.