Kako riješiti jednačinu u cijelim brojevima. Rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima, kao kvadratne u odnosu na neku varijablu. Primjeri rješavanja sistema jednačina drugih vrsta
Rješenje jednadžbi u cijelim brojevima.
Neodređene jednačine su jednačine koje sadrže više od jedne nepoznate. Pojedinačno rješenje neodređene jednadžbe podrazumijeva se kao skup vrijednosti nepoznanica, koji datu jednadžbu pretvara u pravu jednakost.
Za rješavanje u cijelim brojevima jednadžbe oblika ah + by = c , gdje a, b , c su cijeli brojevi različiti od nule, predstavljamo niz teorijskih odredbi koje će nam omogućiti da uspostavimo pravilo odlučivanja. Ove odredbe se takođe zasnivaju na poznate činjenice teorija djeljivosti.
Teorema 1.Ako GCD (a, b ) = d , onda postoje takvi cijeli brojevi X i at, da je jednakost ah + b y= d . (Ova se jednakost naziva linearna kombinacija, ili linearni prikaz najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja u smislu samih brojeva.)
Dokaz teoreme se zasniva na korištenju jednakosti Euklidovog algoritma za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja (najveći zajednički djelitelj se izražava u terminima parcijalnih količnika i ostataka, počevši od posljednje jednakosti u Euklidskom algoritmu).
Primjer.
Pronađite linearni prikaz najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva 1232 i 1672.
Rješenje.
1. Sastavite jednakosti Euklidovog algoritma:
1672 = 1232 ∙1 + 440,
1232 = 440 ∙ 2 + 352,
440 = 352 ∙ 1 + 88,
352 = 88 ∙ 4, tj. (1672.352) = 88.
2) Izražavamo 88 uzastopno u terminima nepotpunih količnika i ostataka, koristeći gore dobijene jednakosti, počevši od kraja:
88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, tj. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).
Teorema 2. Ako je jednadžba ah + b y = 1 ako gcd (a, b ) = 1 , dovoljno je navesti broj 1 kao linearna kombinacija brojeva a i b.
Valjanost ove teoreme proizlazi iz teoreme 1. Dakle, da bi se pronašlo jedno cjelobrojno rješenje jednačine ah + b y = 1, ako je gcd(a, c) = 1, dovoljno je broj 1 predstaviti kao linearnu kombinaciju brojeva a i in .
Primjer.
Pronađite cijelo rješenje jednačine 15x + 37y = 1.
Rješenje.
1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,
15 = 7 ∙ 2 + 1.
2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),
Teorema 3. Ako je u jednadžbi ah + b y = sa gcd(a, b ) = d >1 i With nije djeljivo sa d , tada jednadžba nema cjelobrojna rješenja.
Da bi se dokazala teorema, dovoljno je pretpostaviti suprotno.
Primjer.
Pronađite cijelo rješenje jednačine 16x - 34y = 7.
Rješenje.
(16,34)=2; 7 nije djeljivo sa 2, jednadžba cjelobrojnih rješenja nema
Teorema 4. Ako je u jednadžbi ah + b y = sa gcd(a, b ) = d >1 i sa d , onda to
Prilikom dokazivanja teoreme treba pokazati da je proizvoljno cjelobrojno rješenje prve jednačine i rješenje druge jednačine i obrnuto.
Teorema 5. Ako je u jednadžbi ah + b y = sa gcd(a, b ) = 1, tada su sva cjelobrojna rješenja ove jednadžbe sadržana u formulama:
t je bilo koji cijeli broj.
Prilikom dokazivanja teoreme treba pokazati, prvo, da gornje formule zapravo daju rješenja zadate jednačine i, drugo, da se u gornjim formulama nalazi proizvoljno cjelobrojno rješenje ove jednačine.
Gore navedene teoreme nam omogućavaju da uspostavimo sljedeće pravilo za rješavanje jednadžbe u cijelim brojevima ah+ b y = sa gcd(a, b ) = 1:
1) Pronađeno je cjelobrojno rješenje jednadžbe ah + b y = 1 predstavljanjem 1 kao linearne kombinacije brojeva a ib (postoje i drugi načini za pronalaženje cjelobrojnih rješenja ove jednačine, na primjer, korištenjem kontinuiranih razlomaka);
Opća formula za cjelokupna rješenja datogDavanje t određene cjelobrojne vrijednosti, moguće je dobiti pojedinačna rješenja ove jednadžbe: najmanja po apsolutnoj vrijednosti, najmanja pozitivna (ako je moguće) itd.
Primjer.
Naći cjelokupna rješenja jednadžbe 407x - 2816y = 33.
Rješenje.
1. Ovu jednadžbu pojednostavljujemo, dovodeći je u oblik 37x - 256y = 3.
2. Rješavamo jednačinu 37x - 256y = 1.
256 = 37∙ 6 + 34,
37 = 34 ∙1 + 3,
34 = 3 ∙11 + 1.
1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =
37∙(-83) - 256∙(-12),
3. Opšti oblik svih cjelobrojnih rješenja date jednadžbe:
x \u003d -83 ∙ 3 - 256 t = -249 - 256 t,
y = -12 ∙ 3 - 37 t = -36 - 37 t.
Metoda iscrpnog nabrajanja svih mogućih vrijednosti varijabli,
uključeno u jednačinu.
Pronađite skup svih parova prirodnih brojeva koji su rješenja jednadžbe 49x + 51y = 602.
Rješenje:
Varijablu x iz jednačine izražavamo u terminima y x =Pošto su x i y prirodni brojevi, x =602 - 51g ≥ 49, 51g≤553, 1≤y≤10.
Kompletno nabrajanje opcija pokazuje da su prirodna rješenja jednadžbe x=5, y=7.
Odgovor: (5;7).
Rješenje jednadžbi metodom faktorizacije.
Diofant je, zajedno sa linearnim jednadžbama, razmatrao kvadratne i kubične neodređene jednadžbe. Njihovo rješavanje je obično teško.
Razmotrimo takav slučaj kada se u jednadžbama može primijeniti formula razlike kvadrata ili neki drugi metod faktorizacije.
Riješite jednačinu u cijelim brojevima: x 2 + 23 = y 2
Rješenje:
Prepišimo jednačinu u obliku: y 2 - x 2 \u003d 23, (y - x) (y + x) = 23
Budući da su x i y cijeli brojevi, a 23 prost broj, mogući su sljedeći slučajevi:
Rješavajući rezultirajuće sisteme, nalazimo:
(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)
Izražavanje jedne varijable u terminima druge i odabir cjelobrojnog dijela razlomka.
Riješite jednačinu u cijelim brojevima: x 2 + xy - y - 2 = 0.
Rješenje:
Iz ove jednačine izražavamo y u terminima x:
y (x - 1) \u003d 2 - x 2,
- Jednačine prvog stepena sa dve nepoznate
- Primjeri jednadžbi drugog stepena sa tri nepoznanice
- Opšti slučaj jednačine drugog stepena u dvije nepoznate
RAZVOJ SOFTVERA
- Program br. 1 (jednačine sa jednom nepoznatom)
UVOD
Moj predmetni projekat je posvećen jednom od najzanimljivijih sekcija teorije brojeva - rješavanju jednadžbi u cijelim brojevima.
Rješenje u cijelim brojevima algebarskih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima u više od jedne nepoznate jedan je od najtežih problema u teoriji brojeva.
Problem rješavanja jednačina u cijelim brojevima u potpunosti je riješen samo za jednačine drugog stepena sa dvije nepoznate. Primećujemo da za jednačine bilo kog stepena sa jednom nepoznatom to nije od značajnog interesa, jer se ovaj problem može rešiti korišćenjem konačnog broja pokušaja. Za jednadžbe iznad drugog stepena sa dvije ili više nepoznanica, ne samo da je problem nalaženja svih rješenja u cijelim brojevima vrlo težak, nego čak i jednostavniji problem utvrđivanja postojanja konačnog ili beskonačnog skupa takvih rješenja.
U svom projektu pokušao sam da predstavim neke od glavnih rezultata dobijenih u teoriji; rješenja jednačina u cijelim brojevima. Teoreme formulisane u njemu imaju dokaze u slučajevima kada su ti dokazi dovoljno jednostavni.
1. JEDNAČINE SA JEDNIM NEPOZNATIM
Razmotrimo jednačinu prvog stepena sa jednom nepoznatom
Neka su koeficijenti jednadžbe
i su cijeli brojevi. Jasno je da je rješenje ove jednačineće biti cijeli broj samo ako
je potpuno djeljiv sa . Dakle, jednačina (1) nije uvijek rješiva u cijelim brojevima; tako, na primjer, dvije jednadžbe i prva ima cjelobrojno rješenje, a druga u cijelim brojevima je nerješiva.Na istu okolnost nailazimo iu slučaju jednačina čiji je stepen veći od prvog: kvadratna jednačina
ima cjelovita rješenja , ; jednadžba u cijelim brojevima je nerješiva, jer su njeni korijeni iracionalni.Pitanje nalaženja cjelobrojnih korijena jednadžbe n-tog stepena sa cjelobrojnim koeficijentima
| (2) |
lako riješeno. Zaista, neka
je korijen ove jednadžbe. Onda| , . |
Iz posljednje jednakosti se vidi da
dijeli se bez ostatka; stoga je svaki cjelobrojni korijen jednačine (2) djelitelj slobodnog člana jednačine. Da bi se pronašla cjelobrojna rješenja jednadžbe, potrebno je odabrati one djelitelje koji, kada se unesu u jednadžbu, pretvaraju je u identitet. Tako, na primjer, od brojeva 1, -1, 2 i -2, koji su svi djelitelji slobodnog člana jednadžbe| , |
samo -1 je korijen. Dakle, ova jednadžba ima jedan cjelobrojni korijen
. Istom metodom lako je pokazati da jednačinau cijelim brojevima je neodlučiv.
Od mnogo većeg interesa je rješenje u cijelim brojevima jednadžbe s mnogo nepoznanica.
2. PRVE JEDNAČINE STENIJE SA DVA NEPOZNATA
Razmotrimo jednačinu prvog stepena sa dvije nepoznanice
| , | (3) |
i može imati cjelovita rješenja samo ako
podijeljena . Dakle, u slučaju - svi koeficijenti jednačine (3) moraju se podijeliti sa , i, smanjivanjem (3) za , dolazimo do jednačine| , |
čiji koeficijenti
i uzajamno prime.Razmotrimo prvo slučaj kada
Općinski obrazovne ustanove
Savrush prosjek sveobuhvatne škole
Pokhvistnevsky okrug Samara regija
Esej iz matematike na temu:
„Jednačine sa dva
nepoznato
u cijelim brojevima »
Završila: Kolesova Tatjana
Staroverova Nina
at učenici 10. razreda
MOU Savrushskaya srednja škola
Pokhvistnevsky okrug
Samara region.
Supervizor: Yatmankina Galina Mikhailovna
nastavnik matematike.
Savruha 2011
Uvod._______________________________________________________________3
1. Istorijska pozadina _______________________________________5
1.1 Teoreme o broju rješenja linearnih Diofantovih jednadžbi___6
1.2 Algoritam za rješavanje jednadžbe u cijelim brojevima _________________ 6
1.3 Metode rješavanja jednačina_______________________________ 7
Poglavlje 2. Primjena metoda za rješavanje jednačina.
1. Rješavanje problema ________________________________________________ 8
2.1 Rješavanje problema korištenjem Euklidovog algoritma ________________ 8
2.2 Način nabrajanja opcija________________________________ 9
2.3 Metoda faktoringa __________________________ 9
2.4 Metoda zaostatka _______________________________________ 12
2. Zadaci ispitnog nivoa _____________________ 13
Zaključak________________________________________________ 16
Spisak korišćene literature ___________________________________ 17
"Ko kontroliše brojeve,
On vlada svetom"
Pitagora.
Uvod.
Analiza situacije: Diofantove jednadžbe su aktuelna tema u našem vremenu, jer se rješenja jednačina, nejednačina, problema koji se svode na rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima pomoću procjena za varijable nalaze u raznim matematičkim zbirkama i zbirkama ispita.
Proučavajući različite načine rješavanja kvadratne jednačine s jednom promjenljivom u nastavi, bilo nam je zanimljivo otkriti kako se rješavaju jednačine s dvije varijable. Takvi zadaci se nalaze na olimpijadama i u materijalima za ispit.
U tome akademske godine Učenici jedanaestog razreda moraće da polažu Jedinstveni državni ispit iz matematike, gde se KIM sastavljaju po novoj strukturi. Ne postoji dio "A", ali su zadaci dodati dijelu "B" i dijelu "C". Sastavljači objašnjavaju dodavanje C6 činjenicom da je za prijem u tehnički univerzitet treba da bude u stanju da reši probleme visoki nivo teškoće.
Problem: Rešavajući približne varijante zadataka USE, uočili smo da su najčešći zadaci u C6 zadaci za rešavanje jednačina prvog i drugog stepena u celim brojevima. Ali ne znamo kako riješiti takve jednačine. S tim u vezi, postalo je neophodno proučiti teoriju takvih jednačina i algoritam za njihovo rješavanje.
Cilj: Naučite rješavati jednadžbe s dvije nepoznanice prvog i drugog stepena u cijelim brojevima.
Zadaci: 1) proučava nastavnu i referentnu literaturu;
2) Prikupiti teorijski materijal o tome kako se rješavaju jednačine;
3) Analizirati algoritam za rešavanje jednačina ovog tipa;
4) Opišite rješenje.
5) Razmotrite nekoliko primjera koristeći ovu tehniku.
6) Riješite jednačine sa dvije varijable u cijelim brojevima iz
materijali UPOTREBA-2010 C6.
Predmet proučavanja : Rješavanje jednačina
Predmet studija : Jednačine sa dvije varijable u cijelim brojevima.
hipoteza: Ova tema je od velike praktične važnosti. AT školski kurs Matematičari detaljno proučavaju jednačine sa jednom promenljivom i različite načine za njihovo rešavanje. Potrebe obrazovni proces zahtijevaju od učenika da znaju i budu sposobni rješavati jednostavne jednačine u dvije varijable. Stoga je povećana pažnja ovoj temi ne samo opravdana, već i relevantna u školskom predmetu matematike.
ovo djelo može se koristiti za proučavanje ove teme u fakultativnoj nastavi od strane studenata, u pripremi za maturu i prijemni ispiti. Nadamo se da će naš materijal pomoći srednjoškolcima da nauče kako rješavati jednadžbe ovog tipa.
Poglavlje 1. Teorija jednačina sa dvije varijable u cijelim brojevima.
1. Istorijska referenca.
Diofant i istorija Diofantovih jednačina .
Rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima jedan je od najstarijih matematičkih problema. Ovo područje matematike je svoj najveći procvat dostiglo u Ancient Greece. Glavni izvor koji je došao do našeg vremena je Diofantovo djelo - "Aritmetika". Diofant je sažeo i proširio iskustvo stečeno prije njega u rješavanju neodređenih jednačina u cijelim brojevima.
Istorija nam je sačuvala nekoliko karakteristika biografije izuzetnog aleksandrijskog algebraiste Diofanta. Prema nekim izvorima, Diofant je živio do 364. godine nove ere. Zasigurno je poznata samo neobična Diofantova biografija, koja je, prema legendi, uklesana na njegovom nadgrobnom spomeniku i predstavljala je zagonetku:
“Bog mu je poslao da bude dječak šesti dio svog života; dodajući ovome dvanaesti, prekrio je svoje obraze paperjem; nakon sedmog dijela, zapalio mu je svjetlo braka, a pet godina nakon vjenčanja dao mu je sina. Avaj! Nesretno pokojno dijete, koje je dostiglo mjeru polovine očevog punog života, ponijela ga je nemilosrdna sudbina. Četiri godine kasnije, tješeći svoju tugu naukom o brojevima, on [Diofant] je okončao svoj život” (oko 84 godine).
Ova zagonetka je primjer problema koje je Diofant riješio. Specijalizirao se za rješavanje zadataka u cijelim brojevima. Takvi problemi su sada poznati kao diofantski problemi.
Najpoznatiji, koji je riješio Diofant, je problem "razlaganja na dva kvadrata". Njegov ekvivalent je dobro poznata Pitagorina teorema. Ova teorema je bila poznata u Babiloniji, možda je bila poznata u Drevni Egipat, ali je to prvi put dokazano u Pitagorejskoj školi. Ovo je bilo ime grupe filozofa zainteresovanih za matematiku koja je dobila ime po osnivaču škole, Pitagori (oko 580-500 pne)
Diofantov život i rad tekao je u Aleksandriji, sakupljao je i rješavao poznate i izmišljao nove probleme. Kasnije ih je spojio u veliko djelo pod nazivom Aritmetika. Od trinaest knjiga koje su činile Aritmetiku, samo šest je preživjelo do srednjeg vijeka i postalo izvor inspiracije za matematičare renesanse.
1.1 Teoreme o broju rješenja linearne Diofantove jednadžbe.
Ovdje dajemo formulacije teorema na osnovu kojih se može sastaviti algoritam za rješavanje neodređenih jednačina prvog stepena u dvije varijable u cijelim brojevima.
Teorema 1. Ako u jednadžbi , , Tada jednačina ima barem jedno rješenje.
Teorema 2. Ako je u jednadžbi , i With nije djeljiv sa , tada jednadžba nema cjelobrojna rješenja.
Teorema 3. Ako u jednadžbi , i , onda je ekvivalentna jednadžbi u kojoj .
Teorema 4. Ako su u jednadžbi , , tada su sva cjelobrojna rješenja ove jednadžbe sadržana u formulama:
gdje x 0, y 0
1.2. Algoritam za rješavanje jednadžbe u cijelim brojevima.
Formulisane teoreme nam omogućavaju da sastavimo sljedeće algoritam rješenja u cijelim brojevima jednadžbe oblika .
1. Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva a i b ,
ako i With nije djeljiv sa , tada jednadžba nema cjelobrojna rješenja;
ako i tada
2. Podijelite pojam po član jednadžbu na , čime se dobiva jednačina u kojoj .
3. Pronađite cjelobrojno rješenje ( x 0, y 0) jednačine predstavljanjem 1 kao linearne kombinacije brojeva i ;
4. Compose opšta formula cjelokupna rješenja ove jednačine
gdje x 0, y 0 je cjelobrojno rješenje jednadžbe , - bilo koji cijeli broj.
1.3 Načini rješavanja jednačina
Kod rješavanja jednadžbi u cjelobrojnim i prirodnim brojevima možemo uslovno razlikovati sledećim metodama:
1. Način nabrajanja opcija.
2. Euklidov algoritam.
3. Kontinuirani razlomci.
4. Metoda faktorizacije.
5. Rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima kao kvadrata u odnosu na neku varijablu.
6. Metoda ostataka.
7. Metoda beskonačnog spuštanja.
Poglavlje 2
1. Primjeri rješavanja jednačina.
2.1 Euklidov algoritam.
Zadatak 1 . Riješite jednačinu u cijelim brojevima 407 X – 2816y = 33.
Koristimo kompajlirani algoritam.
1. Koristeći Euklid algoritam, nalazimo najveći zajednički djelitelj brojeva 407 i 2816:
2816 = 407 6 + 374;
407 = 374 1 + 33;
374 = 33 11 + 11;
Prema tome (407,2816) = 11, sa 33 deljivo sa 11
2. Podijelite obje strane originalne jednačine sa 11 da biste dobili jednačinu 37 X – 256y= 3, i (37, 256) = 1
3. Koristeći Euklidski algoritam, nalazimo linearni prikaz broja 1 kroz brojeve 37 i 256.
256 = 37 6 + 34;
Izrazimo 1 iz posljednje jednakosti, a zatim ćemo uzastopno rastući jednakosti izraziti 3; 34 i zamijenite rezultirajuće izraze u izraz za 1.
1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =
– 83 37 – 256 (–12)
Dakle, 37 (- 83) - 256 (-12) = 1, dakle par brojeva x 0= – 83 i u 0= – 12 je rješenje jednačine 37 X – 256y = 3.
4. Zapišite opću formulu za rješenja izvorne jednačine
gdje t- bilo koji cijeli broj.
2.2 Način nabrajanja opcija.
Zadatak 2. Zečevi i fazani sjede u kavezu, imaju ukupno 18 nogu. Saznajte koliko je tih i drugih u ćeliji?
Rješenje: Sastavlja se jednadžba sa dvije nepoznate varijable, u kojoj je x broj zečeva, y broj fazana:
4x + 2y = 18, ili 2x + y = 9.
Express at kroz X : y \u003d 9 - 2x.
Dakle, problem ima četiri rješenja.
odgovor: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).
2.3 Metoda faktoringa.
Nabrajanje opcija pri pronalaženju prirodnih rješenja jednadžbe s dvije varijable pokazuje se vrlo mukotrpnim. Također, ako jednačina ima cijeli rješenja, nemoguće ih je nabrojati, jer takvih rješenja ima beskonačan broj. Stoga ćemo pokazati još jedan trik - metoda faktorizacije.
Zadatak 3. Riješite jednačinu u cijelim brojevima y 3 - x 3 = 91.
Rješenje. 1) Koristeći skraćene formule za množenje, dekomponiramo desnu stranu jednačine na faktore:
(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)
2) Napiši sve djelioce broja 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91
3) Mi sprovodimo istraživanje. Imajte na umu da za bilo koji cijeli broj x i y broj
y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y ||x | + x 2 = (|y | - |x |) 2 ≥ 0,
dakle, oba faktora na lijevoj strani jednačine moraju biti pozitivna. Tada je jednačina (1) ekvivalentna skupu sistema jednačina:
; 
; 
; 
4) Rešavanjem sistema dobijamo: prvi sistem ima rešenja (5; 6), (-6; -5); treći (-3; 4),(-4; 3); drugo i četvrto rješenje u cijelim brojevima nemaju.
odgovor: jednačina (1) ima četiri rješenja (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
Zadatak 4. Pronađite sve parove prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednačinu
Rješenje. Faktoriziramo lijevu stranu jednačine i zapišemo jednačinu kao
.
Jer djelitelji broja 69 su brojevi 1, 3, 23 i 69, tada se 69 može dobiti na dva načina: 69=1 69 i 69=3 23. S obzirom na to, dobijamo dva sistema jednadžbi, rješavanjem kojih možemo pronaći željene brojeve:
Prvi sistem ima rešenje, a drugi sistem ima rešenje.
odgovor: .
Zadatak 5.
Rješenje. Zapisujemo jednačinu u obliku
.
Faktorizujmo lijevu stranu jednačine. Get
.
Proizvod dva cijela broja može biti jednak 1 samo u dva slučaja: ako su oba jednaka 1 ili -1. Dobijamo dva sistema:
Prvi sistem ima rješenje x=2, y=2, a drugi sistem ima rješenje x=0, y=0.
odgovor: .
Zadatak 6. Riješite jednačinu u cijelim brojevima
.
Rješenje. Ovu jednačinu zapisujemo u obliku
Lijevu stranu jednačine rastavljamo na faktore metodom grupisanja, dobijamo
.
Proizvod dva cijela broja može biti jednak 7 u sljedećim slučajevima:
7=1 7=7 1=-1 (-7)=-7 (-1) Tako dobijamo četiri sistema:
Ili , ili , ili .
Rješenje prvog sistema je par brojeva x = - 5, y = - 6. Rješavanjem drugog sistema dobijamo x = 13, y = 6. Za treći sistem rješenje su brojevi x = 5, y = 6. Četvrti sistem ima rješenje x = - 13, y = - 6.
Zadatak 7. Dokažite da je jednačina ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nije
ima cjelobrojna rješenja.
Rješenje. 1) Faktoriziramo lijevu stranu jednačine i obje strane jednačine podijelimo sa 3, kao rezultat dobijamo jednačinu:
(x - y)(y - z)(z - x) = 10…………………………(2)
2) Delitelji broja 10 su brojevi ±1, ±2, ±5, ±10. Imajte na umu da je zbir faktora na lijevoj strani jednačine (2) jednak 0. Lako je provjeriti da li je zbir bilo koja tri broja iz skupa djelitelja broja 10, koji daje proizvod 10, neće biti jednak 0. Prema tome, originalna jednadžba nema rješenja u cijelim brojevima.
Zadatak 8. Riješite jednadžbu: x 2 - y 2 \u003d 3 u cijelim brojevima.
Rješenje:
1. primijenite formulu za skraćeno množenje x 2 - y 2 \u003d (x-y) (x + y) \u003d 3
2. naći djelitelje broja 3 = -1;-3;1;3
3. Ova jednačina je ekvivalentna skupu od 4 sistema:
x-y=1 2x=4 x=2, y=1
X-y=3 x=2, y=-1
X-y=-3 x=-2, y=1
X-y=-1 x=-2, y=-1
Odgovor: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)
2.4 Metoda ostataka.
Zadatak 9 .Riješite jednadžbu: x 2 + xy \u003d 10
Rješenje:
1. Izrazite varijablu y u terminima x: y= 10-e 2
Y = - X
2. Razlomak će biti cijeli broj ako je x ±1;±2; ±5;±10
3. Pronađite 8 vrijednosti y.
Ako je x=-1 onda je y=-9 x=-5 onda je y=3
x=1 zatim y=9 x=5 pa y=-3
x=-2 zatim y=-3 x=-10 pa y=9
x=2 zatim y=3 x=10 pa y=-9
Zadatak 10. Riješite jednačinu u cijelim brojevima:
2x 2 -2xy + 9x + y \u003d 2
Rješenje:
izražavamo iz jednačine nepoznatu koja u nju ulazi samo do prvog stepena - u ovom slučaju u:
2x 2 + 9x-2=2xy-y
Y = 
odabiremo cijeli broj razlomka koristeći pravilo za dijeljenje polinoma polinomom "ugao". Dobijamo:
Dakle, razlika 2x-1 može uzeti samo vrijednosti -3, -1,1,3.
Ostaje da se nabroje ova četiri slučaja.
Odgovori : (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
2. Zadaci ispitnog nivoa
Razmotrivši nekoliko načina rješavanja jednačina prvog stepena sa dvije varijable u cijelim brojevima, uočili smo da se najčešće koriste metoda faktorizacije i metoda rezidua.
Jednačine koje su date u varijantama Jedinstvenog državnog ispita -2011 uglavnom se rješavaju metodom reziduala.
1. Riješite jednačinu u prirodnim brojevima: , gdje je m>n
Rješenje:
Izrazimo varijablu P kroz varijablu t
(y+10) 2< 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8
(y+6) 2< 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8
Odgovor: (12; -8)
Zaključak.
Rješenje različite vrste jednadžbe su jedan od sadržaja školskog predmeta matematike, ali se u isto vrijeme praktično ne razmatraju metode rješavanja jednadžbi s nekoliko nepoznanica. Istovremeno, rješavanje jednadžbi u nekoliko nepoznanica u cijelim brojevima jedan je od najstarijih matematičkih problema. Većina metoda za rješavanje ovakvih jednačina zasniva se na teoriji djeljivosti cijelih brojeva, za koju je interes trenutno određen brzim razvojem informacione tehnologije. S tim u vezi, srednjoškolcima će biti zanimljivo da se upoznaju sa metodama rješavanja nekih jednačina u cijelim brojevima, tim više što se na olimpijadama različitih nivoa vrlo često nude zadaci koji podrazumijevaju rješavanje jednačine u cijelim brojevima, a ove godine su i takve jednačine uključene. više iu materijalima ispita.
U našem radu razmatrali smo samo neodređene jednačine prvog i drugog stepena. Jednačine prvog stepena, kao što smo videli, rešavaju se prilično jednostavno. Identifikovali smo tipove takvih jednačina i algoritame za njihova rješenja. Nađeno je i opšte rješenje takvih jednačina.
Jednačine drugog stepena su složenije, pa smo razmatrali samo specijalne slučajeve: Pitagorinu teoremu i slučajeve gde jedan deo jednačine ima oblik proizvoda, a drugi je faktorizovan.
Veliki matematičari se bave jednačinama trećeg i više stepena, jer su njihova rješenja previše komplikovana i glomazna
U budućnosti planiramo produbiti svoja istraživanja u proučavanju jednačina sa više varijabli koje se koriste u rješavanju problema
Književnost.
1. Berezin V.N. Zbirka zadataka za fakultativne i vannastavne aktivnosti iz matematike. Moskva "Prosvjeta" 1985
2. Galkin E.G. Nestandardni zadaci iz matematike. Čeljabinsk "Vzgljad" 2004
3. Galkin E.G. Problemi sa celim brojevima. Čeljabinsk "Vzgljad" 2004
4. Glazer E.I. Istorija matematike u školi. Moskva "Prosvjeta" 1983
5. Mordkovich A.G. Algebra i početak analize 10-11 razred. Moskva 2003
6. Matematika. KORISTI 2010. Federalni zavod
pedagoška mjerenja.
7. Sharygin I. F. Izborni predmet matematike. Rješenje
zadataka. Moskva 1986
Tekst rada je postavljen bez slika i formula.
Puna verzija rad je dostupan u kartici "Radni fajlovi" u PDF formatu
Predmet proučavanja.
Istraživanje se odnosi na jednu od najzanimljivijih grana teorije brojeva - rješavanje jednačina u cijelim brojevima.
Predmet studija.
Rješenje u cijelim brojevima algebarskih jednadžbi sa cjelobrojnim koeficijentima u više od jedne nepoznate jedan je od najtežih i najstarijih matematičkih problema i nije dovoljno duboko zastupljen u školskom kursu matematike. U svom radu predstaviću prilično potpunu analizu jednačina u cijelim brojevima, klasifikaciju ovih jednadžbi prema metodama za njihovo rješavanje, opis algoritama za njihovo rješavanje, kao i praktične primjere primjene svake od metoda za njihovo rješavanje. rješavanje jednačina u cijelim brojevima.
Target.
Naučite kako riješiti jednadžbe u cijelim brojevima.
Zadaci:
Proučavati obrazovnu i referentnu literaturu;
Prikupiti teorijski materijal o tome kako riješiti jednadžbe;
Analizirati algoritme za rješavanje jednačina ovog tipa;
Opišite rješenja;
Razmotrimo primjere rješavanja jednačina korištenjem ovih metoda.
hipoteza:
Suočen sa cijelim jednadžbama u olimpijskim zadacima, pretpostavio sam da su poteškoće u njihovom rješavanju posljedica činjenice da mi nisu poznati svi načini njihovog rješavanja.
Relevantnost:
Prilikom rješavanja približnih varijanti USE zadataka primijetio sam da se često pojavljuju zadaci za rješavanje jednačina prvog i drugog stepena u cijelim brojevima. Osim toga, olimpijski zadaci raznim nivoima također sadrže jednadžbe u cijelim brojevima ili probleme koji se rješavaju korištenjem vještina rješavanja jednačina u cijelim brojevima. Važnost znanja kako rješavati jednačine u cijelim brojevima određuje relevantnost mog istraživanja.
Metode istraživanja
Teorijska analiza i generalizacija informacija naučna literatura o jednadžbama u cijelim brojevima.
Klasifikacija jednačina u cijelim brojevima prema metodama njihovog rješavanja.
Analiza i generalizacija metoda za rješavanje jednačina u cijelim brojevima.
Rezultati istraživanja
U radu su opisane metode za rješavanje jednačina, razmatran je teorijski materijal Fermatove teoreme, Pitagorina teorema, Euklidov algoritam, prikazani su primjeri rješavanja problema i jednačina različitih nivoa složenosti.
2.Povijest jednadžbi u cijelim brojevima
Diofant - naučnik - algebarista antičke Grčke, prema nekim izvorima, živio je do 364. godine nove ere. e. Specijalizirao se za rješavanje zadataka u cijelim brojevima. Otuda naziv Diofantove jednadžbe. Najpoznatiji, koji je riješio Diofant, je problem "razlaganja na dva kvadrata". Njegov ekvivalent je dobro poznata Pitagorina teorema. Diofantov život i rad tekao je u Aleksandriji, sakupljao je i rješavao poznate i izmišljao nove probleme. Kasnije ih je spojio u veliko djelo pod nazivom Aritmetika. Od trinaest knjiga koje su činile Aritmetiku, samo šest je preživjelo do srednjeg vijeka i postalo izvor inspiracije za matematičare renesanse. Diofantova Aritmetika je zbirka zadataka, od kojih svaka sadrži rješenje i neophodno objašnjenje. Zbirka uključuje razne probleme, a njihovo rješenje je često vrlo genijalno. Diofanta zanimaju samo pozitivno cjelobrojna i racionalna rješenja. Iracionalna rješenja naziva "nemogućim" i pažljivo bira koeficijente tako da se dobiju željena pozitivna, racionalna rješenja.
Fermatova teorema se koristi za rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima. Istorija dokazivanja je prilično zanimljiva. Mnogi eminentni matematičari radili su na potpunom dokazu Velike teoreme, a ti napori su doveli do mnogih rezultata u modernoj teoriji brojeva. Smatra se da je teorema na prvom mjestu po broju netačnih dokaza.
Izvanredni francuski matematičar Pierre Fermat izjavio je da jednačina za cijeli broj n ≥ 3 nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima x, y, z (xyz = 0 je isključeno pozitivnošću x, y, z. Za slučaj n = 3, ovo teoremu je pokušao u X vijeku dokazati srednjoazijski matematičar al-Khojandi, ali njegov dokaz nije sačuvan. Nešto kasnije, sam Fermat je objavio dokaz posebnog slučaja za n = 4.
Euler je 1770. dokazao teoremu za n = 3, Dirichlet i Legendre 1825. za n = 5, a Lame za n = 7. Kummer je pokazao da je teorema istinita za sve proste n manje od 100, s mogućim izuzetkom 37, 59, 67.
Osamdesetih godina bilo je novi pristup do resavanja problema. Iz Mordellove pretpostavke, koju je dokazao Faltings 1983., slijedi da jednačina
za n > 3 može imati samo konačan broj koprimenih rješenja.
Posljednji, ali najvažniji korak u dokazu teoreme napravio je Wiles u septembru 1994. godine. Njegov dokaz na 130 stranica objavljen je u Annals of Mathematics. Dokaz se zasniva na pretpostavci njemačkog matematičara Gerharda Freija da je Fermatova posljednja teorema posljedica hipoteze Taniyama-Shimura (ovu pretpostavku je dokazao Ken Ribet uz učešće J.-P. Serra). Wiles je objavio prvu verzija njegovog dokaza 1993. godine (nakon 7 godina mukotrpnog rada), ali je u njemu ubrzo otkrivena ozbiljna praznina; uz pomoć Richarda Lawrencea Taylora, jaz je brzo smanjen. Konačna verzija objavljena je 1995. 15. marta 2016. Andrew Wiles prima Abelovu nagradu. Trenutno je premija 6 miliona norveških kruna, odnosno oko 50 miliona rubalja. Prema Wilesu, nagrada je za njega bila "potpuno iznenađenje".
3.Linearne jednadžbe u cijelim brojevima
Linearne jednadžbe su najjednostavnije od svih Diofantovih jednačina.
Jednačina oblika ax=b, gdje su a i b neki brojevi, a x je nepoznata varijabla, naziva se linearna jednačina sa jednom nepoznatom. Ovdje je potrebno pronaći samo cjelobrojna rješenja jednadžbe. Može se vidjeti da ako je a ≠ 0, onda će jednadžba imati cjelobrojno rješenje samo ako je b potpuno djeljiv sa a i ovo rješenje je x = b / f. Ako je a=0, tada će jednadžba imati cjelobrojno rješenje kada je b=0 i u ovom slučaju x je bilo koji broj.
jer 12 je onda jednako deljivo sa 4
Jer a=o i b=0, tada je x bilo koji broj
Jer 7 nije ni deljivo sa 10, onda nema rešenja.
4. Način nabrajanja opcija.
U metodi nabrajanja opcija potrebno je uzeti u obzir znakove djeljivosti brojeva, uzeti u obzir sve moguće opcije konačna jednakost nabrajanja. Ova metoda se može koristiti za rješavanje ovih problema:
№1 Pronađite skup svih parova prirodnih brojeva koji su rješenje jednadžbe 49x+69y=602
Izražavamo iz jednačine x =,
Jer x i y su prirodni brojevi, tada je x = ≥ 1, pomnožite cijelu jednačinu sa 49 da se riješite nazivnika:
Pomaknite 602 na lijevu stranu:
51y ≤ 553, izrazi y, y= 10
Kompletno nabrajanje opcija pokazuje da su prirodna rješenja jednadžbe x=5, y=7.
Odgovor: (5,7).-
№2 Riješite problem
Od brojeva 2, 4, 7 treba napraviti trocifreni broj u kojem se nijedan broj ne može ponoviti više od dva puta.
Nađimo broj svih trocifrenih brojeva koji počinju brojem 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - ima ih 8.
Slično, nalazimo sve trocifrene brojeve koji počinju brojevima 4 i 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).
(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - takođe su po 8 brojeva. Ima samo 24 broja.
Odgovor: 24.
5. Kontinuirani razlomak i Euklidov algoritam
Kontinuirani razlomak je izraz običnog razlomka u obliku
gdje je q 1 cijeli broj, a q 2 , … ,qn su prirodni brojevi. Takav izraz se naziva kontinuirani (konačni kontinuirani) razlomak. Postoje konačni i beskonačni razlomci.
Za racionalni brojevi kontinuirani razlomak ima pogled s kraja. Osim toga, niz a i je upravo niz količnika koji se dobija primjenom Euklidovog algoritma na brojnik i nazivnik razlomka.
Rješavajući jednadžbe s kontinuiranim razlomcima, sastavio sam opći algoritam radnji za ovu metodu rješavanja jednačina u cijelim brojevima.
Algoritam
1) Sastaviti omjer koeficijenata za nepoznate u obliku razlomka
2) Pretvorite izraz u nepravilan razlomak
3) Odaberite cijeli broj nepravilnog razlomka
4) Zamijenite pravi razlomak jednakim razlomkom
5) Uradite 3.4 sa pogrešnim razlomkom dobijenim u nazivniku
6) Ponovite 5 do krajnjeg rezultata
7) U rezultirajućem izrazu odbacite posljednju kariku nastavljenog razlomka, pretvorite rezultirajući novi nastavljeni razlomak u jednostavan i oduzmite ga od originalnog razlomka.
Primjer#1 Riješi jednačinu 127x- 52y+ 1 = 0 u cijelim brojevima
Hajde da transformišemo odnos koeficijenata u nepoznate.
Prije svega, odabiremo cijeli broj nepravilnog razlomka; = 2 +
Zamijenite pravi razlomak jednakim razlomkom.
Gdje je = 2+
Uradimo iste transformacije sa nepravilnim razlomkom dobijenim u nazivniku.
Sada će originalni razlomak poprimiti oblik: Ponavljajući isto razmišljanje za razlomak, dobijamo
Dobili smo izraz koji se zove konačni nastavak ili nastavljeni razlomak. Odbacivši posljednju kariku ovog kontinuiranog razlomka - jednu petinu, rezultirajući novi razlomak pretvaramo u jednostavan i oduzimamo ga od originalnog razlomka:
Dovedemo rezultirajući izraz do zajedničkog nazivnika i odbacimo ga.
Odatle 127∙9-52∙22+1=0. Iz poređenja dobijene jednakosti sa jednačinom 127x- 52y + 1 = 0 proizlazi da je tada x= 9, y= 22 rješenje izvorne jednačine, a prema teoremi sva njena rješenja će biti sadržana u progresije x= 9+ 52t, y= 22+ 127t , gde je t=(0; ±1; ±2....). , odbacite njenu poslednju vezu i uradite proračune slične onima datim gore.
Da bismo dokazali ovu pretpostavku, trebat će nam neka svojstva kontinuiranih razlomaka.
Razmotrimo nesvodljivi razlomak. Označimo sa q 1 količnik i sa r 2 ostatak dijeljenja a sa b. tada dobijamo:
Tada je b=q 2 r 2 +r 3 ,
Slično
r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;
r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;
………………………………..
Količine q 1 , q 2 ,… nazivaju se nepotpuni količniki. Gornji proces formiranja nepotpunih količnika naziva se Euklidov algoritam. Ostaci od dijeljenja r 2 , r 3 ,… zadovoljavaju nejednakosti
one. formiraju niz opadajućih nenegativnih brojeva.
Primjer #2 Riješite jednačinu 170x+190y=3000 u cijelim brojevima
Nakon smanjenja za 10, jednadžba izgleda ovako,
Da bismo pronašli određeno rješenje, koristimo proširenje razlomka u kontinuirani razlomak
Nakon što je pretposljednji razlomak pogodan za to srušio u običan
Konkretno rješenje ove jednačine ima oblik
X 0 = (-1) 4300 ∙ 9 = 2700, y 0 = (-1) 5300 ∙ 8 = -2400,
a opšte je dato formulom
x=2700-19k, y=-2400+17k.
odakle dobijamo uslov na parametar k
One. k=142, x=2, y=14. .
6. Metoda faktoringa
Metoda nabrajanja opcija je nezgodan način, jer postoje slučajevi kada je nemoguće naći kompletna rješenja nabrajanjem, budući da postoji beskonačan broj takvih rješenja. Metoda faktorizacije je vrlo zanimljiva tehnika i nalazi se kako u osnovnoj matematici tako i u višoj matematici.
Suština se sastoji u identičnoj transformaciji. Smisao svake identične transformacije je napisati izraz u drugačijem obliku uz očuvanje njegove suštine. Razmotrite primjere primjene ove metode.
№1 Riješite jednačinu u cijelim brojevima y 3 - x 3 = 91.
Koristeći skraćene formule za množenje, desnu stranu jednačine rastavljamo na faktore:
(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91
Zapisujemo sve djelitelje broja 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91
Imajte na umu da je za bilo koji cijeli broj x i y broj
y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,
dakle, oba faktora na lijevoj strani jednačine moraju biti pozitivna. Tada je originalna jednadžba ekvivalentna skupu sistema jednačina:
Nakon što smo riješili sisteme, biramo one korijene koji su cijeli brojevi.
Dobijamo rješenja izvorne jednačine: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).
Odgovor: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).
№2 Pronađite sve parove prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednačinu x 2 -y 2 = 69
Faktoriziramo lijevu stranu jednačine i zapišemo jednačinu kao
Jer djelitelji broja 69 su brojevi 1, 3, 23 i 69, tada se 69 može dobiti na dva načina: 69=1 69 i 69=3 23. S obzirom da je x-y > 0, dobijamo dva sistema jednadžbi, rešavanjem kojih možemo pronaći željene brojeve:
Izrazivši jednu varijablu i zamjenivši je u drugu jednačinu, nalazimo korijene jednadžbi.Prvi sistem ima rješenje x=35;y=34, a drugi sistem ima rješenje x=13, y=10.
Odgovor: (35; 34), (13; 10).
№3 Riješite jednadžbu x + y \u003d xy u cijelim brojevima:
Zapisujemo jednačinu u obliku
Faktorizujmo lijevu stranu jednačine. Get
Proizvod dva cijela broja može biti jednak 1 samo u dva slučaja: ako su oba jednaka 1 ili -1. Dobijamo dva sistema:
Prvi sistem ima rješenje x=2, y=2, a drugi sistem ima rješenje x=0, y=0. Odgovor: (2; 2), (0; 0).
№4 Dokažite da je jednadžba (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nema rješenja u cijelim brojevima.
Faktoriziramo lijevu stranu jednačine i obje strane jednačine podijelimo sa 3, kao rezultat dobijamo jednačinu:
(x - y)(y - z)(z - x) = 10
Delitelji 10 su brojevi ±1, ±2, ±5, ±10. Imajte na umu da je zbir faktora na lijevoj strani jednačine jednak 0. Lako je provjeriti da zbir bilo koja tri broja iz skupa djelitelja broja 10, koji daje 10 u proizvodu, neće jednako 0. Prema tome, originalna jednadžba nema rješenja u cijelim brojevima.
7. Metoda ostataka
Glavni zadatak metode je pronaći ostatak dijeljenja oba dijela jednačine cijelim brojem, na osnovu dobijenih rezultata. Često dobijene informacije smanjuju mogućnosti skupova rješenja jednadžbe. Razmotrimo primjere:
№1 Dokažite da je jednačina x 2 = 3y + 2 nema rješenja u cijelim brojevima.
Dokaz.
Razmotrimo slučaj gdje je x, y ∈ N. Razmotrimo ostatke obje strane podijeljene sa 3. Desna strana jednačine daje ostatak od 2 kada se podijeli sa 3 za bilo koju vrijednost y. Lijeva strana, koja je kvadrat prirodnog broja, kada se podijeli sa 3, uvijek daje ostatak od 0 ili 1. Na osnovu ovoga zaključujemo da ova jednačina ne postoji u prirodnim brojevima.
Razmotrimo slučaj kada je jedan od brojeva jednak 0. Tada, očigledno, nema rješenja u cijelim brojevima.
Slučaj kada je y negativan cijeli broj nema rješenja, jer desna strana će biti negativna, a lijeva pozitivna.
Slučaj kada je x negativan cijeli broj također nema rješenja, jer spada u jedan od ranije razmatranih slučajeva zbog činjenice da je (-x) 2 = (x) 2 .
Ispostavilo se da navedena jednačina nema rješenja u cijelim brojevima, što je i trebalo dokazati.
№2 Riješi u cijelim brojevima 3 X = 1 + y 2 .
Nije teško vidjeti da je (0; 0) rješenje ove jednačine. Ostaje dokazati da jednačina nema druge cjelobrojne korijene.
Razmotrite slučajeve:
1) Ako je x∈N, y∈N, tada je Z djeljivo sa tri bez ostatka, a 1 + y 2 kada se podijeli sa 3 daje
ostatak je ili 1 ili 2. Dakle, jednakost za pozitivne cijele brojeve
vrijednosti x, y je nemoguće.
2) Ako je x negativan cijeli broj, y∈Z, tada je 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и
jednakost je takođe nemoguća. Dakle, (0; 0) je jedino
Odgovor: (0; 0).
№3 Riješite jednačinu 2x 2 -2xy+9x+y=2 u cijelim brojevima:
Izrazimo iz jednačine nepoznatu koja u nju ulazi samo do prvog stepena, odnosno varijablu y:
2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, odakle
Odabiremo cijeli broj razlomka koristeći pravilo za dijeljenje polinoma polinomom "ugao". Dobijamo:
Očigledno, razlika 2x-1 može poprimiti samo vrijednosti -3, -1, 1 i 3.
Ostaje da nabrojimo ova četiri slučaja, kao rezultat kojih dobijamo rješenja: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
Odgovor: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)
8. Primjer rješavanja jednadžbi s dvije varijable u cijelim brojevima kao kvadratne u odnosu na jednu od varijabli
№1 Riješite jednačinu 5x u cijelim brojevima 2 +5g 2 + 8xy+2y-2x +2=0
Ova jednadžba se može riješiti metodom faktorizacije, međutim, ova metoda, primijenjena na ovu jednačinu, je prilično naporna. Razmotrimo racionalniji način.
Zapisujemo jednačinu u obliku kvadrata u odnosu na varijablu x:
5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0
Pronalazimo njegove korijene.
Ova jednadžba ima rješenje ako i samo ako je diskriminanta
ove jednačine jednaka je nuli, tj. - 9(y+1) 2 =0, dakle y= - 1.
Ako je y=-1, tada je x=1.
Odgovor: (1; - 1).
9. Primjer rješavanja zadataka pomoću jednačina u cijelim brojevima.
№ 1. Riješite jednačinu prirodnim brojevima : gdje je n>m
Izrazimo varijablu n u terminima varijable m:
Nađimo djelitelje broja 625: ovo je 1; 5; 25; 125; 625
1) ako je m-25 =1, onda je m=26, n=25+625=650
2) m-25 =5, zatim m=30, n=150
3) m-25 =25, zatim m=50, n=50
4) m-25 =125, zatim m=150, n=30
5) m-25 =625, zatim m=650, n=26
Odgovor: m=150, n=30
№ 2. Riješite jednačinu prirodnim brojevima: mn +25 = 4m
Rješenje: mn +25 = 4m
1) izraziti varijablu 4m u terminima n:
2) naći prirodne delioce broja 25: ovo je 1; 5; 25
ako je 4-n=1, onda je n=3, m=25
4-n=5, zatim n=-1, m=5; 4-n =25, zatim n=-21, m=1 (strani korijeni)
Odgovor: (25;3)
Pored zadataka za rješavanje jednadžbe u cijelim brojevima, postoje zadaci za dokazivanje činjenice da jednačina nema cjelobrojne korijene.
Prilikom rješavanja takvih problema potrebno je zapamtiti sljedeća svojstva djeljivosti:
1) Ako je n Z; n je deljivo sa 2, tada je n = 2k, k ∈ Z.
2) Ako je n ∈ Z; n nije deljivo sa 2, tada je n = 2k+1, k ∈ Z.
3) Ako je n ∈ Z; n je deljivo sa 3, tada je n = 3k, k ∈ Z.
4) Ako je n ∈ Z; n nije deljivo sa 3, tada je n = 3k±1, k ∈ Z.
5) Ako je n ∈ Z; n nije djeljivo sa 4, tada je n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.
6) Ako je n ∈ Z; n(n+1) je deljivo sa 2, tada je n (n+1)(n+2) deljivo sa 2;3;6.
7) n; n+1 su međusobno prosti.
№3 Dokažite da je jednačina x 2 - 3y = 17 nema cjelobrojnih rješenja.
dokaz:
Neka x; y - rješenja jednačine
x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y ∈ Z onda je y+6 ∈ Z, pa je 3(y+6) deljivo sa 3, pa 3(y+6)-1 nije deljivo sa 3, dakle x 2 nije deljivo sa 3, dakle x nije djeljivo sa 3, pa je x = 3k±1, k ∈ Z.
Zamijenite ovo u originalnu jednačinu.
Imamo kontradikciju. To znači da jednačina nema cjelovita rješenja, što je trebalo dokazati.
10.Peak Formula
Pikovu formulu otkrio je austrijski matematičar Georg Pick 1899. godine. Formula je povezana sa jednadžbama u cijelim brojevima po tome što se iz poligona uzimaju samo cjelobrojni čvorovi, kao i cijeli brojevi u jednadžbama.
Koristeći ovu formulu, možete pronaći površinu figure izgrađene na listu u ćeliji (trokut, kvadrat, trapez, pravougaonik, mnogokut).
U ovoj formuli ćemo pronaći cjelobrojne točke unutar poligona i na njegovoj granici.
U zadacima koji će biti na ispitu postoji čitava grupa zadataka u kojima se daje poligon izgrađen na listu u ćeliji i postavlja se pitanje nalaženja površine. Skala ćelije je jedan kvadratni centimetar.
Primjer #1
M - broj čvorova na granici trokuta (na stranama i vrhovima)
N je broj čvorova unutar trougla.
*Pod "čvorovima" podrazumevamo presek linija. Pronađite površinu trokuta:
Obratite pažnju na čvorove:
M = 15 (označeno crvenom bojom)
N = 34 (označeno plavom bojom)
Primjer #2
Pronađite površinu poligona: Obratite pažnju na čvorove:
M = 14 (označeno crvenom bojom)
N = 43 (označeno plavom bojom)
12. Metoda spuštanja
Jedna od metoda za rješavanje jednačina u cijelim brojevima - metoda spuštanja - zasniva se na Fermatovoj teoremi.
Metoda spuštanja je metoda koja se sastoji u konstruisanju jednog rješenja beskonačnog niza rješenja sa beskonačno opadajućim pozitivnim z.
Razmotrit ćemo algoritam ove metode na primjeru rješavanja određene jednadžbe.
Primjer 1. Riješite jednačinu u cijelim brojevima 5x + 8y = 39.
1) Odaberimo nepoznatu koja ima najmanji koeficijent (u našem slučaju to je x) i izrazimo je u terminima druge nepoznate:
2) Izaberite celobrojni deo: Očigledno, x će biti ceo broj ako se pokaže da je izraz ceo broj, što će se zauzvrat dogoditi kada je broj 4 - 3y deljiv sa 5 bez ostatka.
3) Hajde da uvedemo dodatnu cjelobrojnu varijablu z na sljedeći način: 4 -3y = 5z. Kao rezultat, dobijamo jednačinu istog tipa kao i originalna, ali sa manjim koeficijentima.
4) Već ga rješavamo s obzirom na varijablu y, argumentirajući potpuno isto kao u paragrafima 1, 2: Odabirom cijelog broja, dobijamo:
5) Raspravljajući slično prethodnoj, uvodimo novu varijablu u: 3u = 1 - 2z.
6) Nepoznatu izraziti najmanjim koeficijentom, u ovom slučaju varijablu z: . Zahtevajući da bude ceo broj, dobijamo: 1 - u = 2v, odakle je u = 1 - 2v. Nema više razlomaka, spuštanje je završeno (nastavljamo proces sve dok u izrazu za sljedeću varijablu ne preostane razlomaka).
7) Sada treba da "idete gore". Izrazite kroz varijablu v prvo z, zatim y pa x:
8) Formule x = 3+8v i y = 3 - 5v, gdje je v proizvoljan cijeli broj, predstavljaju opće rješenje originalne jednačine u cijelim brojevima.
Dakle, metoda spuštanja uključuje prvo sekvencijalno izražavanje jedne varijable kroz drugu, sve dok u prikazu varijable ne preostanu razlomci, a zatim, sekvencijalno „uzdizanje“ duž lanca jednakosti kako bi se dobilo opšte rješenje jednačine.
12. Zaključak
Kao rezultat istraživanja, potvrđena je hipoteza da su poteškoće u rješavanju jednačina u cijelim brojevima posljedica činjenice da mi nisu bile poznate sve metode njihovog rješavanja. U toku istraživanja uspio sam pronaći i opisati malo poznate načine rješavanja jednačina u cijelim brojevima, ilustrovati ih primjerima. Rezultati mog istraživanja mogu biti korisni svim studentima koje zanima matematika.
13. Bibliografija
Izvori knjiga:
1. N. Ya. Vilenkin et al., Algebra i matematička analiza / 10. razred, 11. razred / / M., “Prosveščenie”, 1998;
2. A. F. Ivanov i dr., Matematika. Obrazovni materijali i materijali za obuku za pripremu ispita // Voronjež, GOUVPO VSTU, 2007.
3. A. O. Gel’fond, Matematika, teorija brojeva// Rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima// LIBROCOM Book House
Internet resursi:
4. Demo opcije kontrolu merni materijali jedinstveni državni ispit iz matematike http://fipi.ru/
5. Primjeri rješenja jednačina u cijelim brojevima http://reshuege.ru
6. Primjeri rješenja jednačina u cijelim brojevima http://mat-ege.ru
7. Istorija Diofantovih jednačina http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html
8. Istorija Diofanta http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm
9.Istorija diofantovskih jednadžbihttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html
10. Istorija Diofanta http://www.studfiles.ru/preview/4518769/
Nelinearne jednačine u dvije nepoznate
Definicija 1. Neka je A neko skup parova brojeva (x; y) . Kaže se da je skup A dat numerička funkcija z iz dvije varijable x i y , ako je specificirano pravilo uz pomoć kojeg se svakom paru brojeva iz skupa A dodjeljuje određeni broj.
Vježbajte numerička funkcija z iz dvije varijable x i y često odrediti dakle:
gdje f (x , y) - bilo koju funkciju osim funkcije
f (x , y) = ax+by+c ,
gdje su a, b, c dati brojevi.
Definicija 3 . Rješenje jednačine (2). imenovati par brojeva x; y) , za koju je formula (2) tačna jednakost.
Primjer 1. riješi jednačinu
Kako kvadrat bilo kojeg broja nije negativan, iz formule (4) slijedi da nepoznate x i y zadovoljavaju sistem jednadžbi
čije je rješenje par brojeva (6 ; 3) .
Odgovor: (6; 3)
Primjer 2. riješi jednačinu
Dakle, rješenje jednačine (6) je beskonačan broj parova brojeva vrsta
(1 + y ; y) ,
gdje je y bilo koji broj.
linearno
Definicija 4 . Rješavanje sistema jednačina
imenovati par brojeva x; y), zamjenjujući ih u svaku od jednačina ovog sistema, dobijamo tačnu jednakost.
Sistemi od dvije jednačine, od kojih je jedna linearna, imaju oblik
g(x , y)
Primjer 4. Riješite sistem jednačina
Rješenje . Izrazimo nepoznatu y iz prve jednadžbe sistema (7) u terminima nepoznatog x i zamijenimo rezultirajući izraz u drugu jednačinu sistema:
Rješavanje jednačine
x 1 = - 1 , x 2 = 9 .
shodno tome,
y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .
Sistemi od dvije jednačine, od kojih je jedna homogena
Sistemi od dvije jednačine, od kojih je jedna homogena, imaju oblik
gdje su a , b, c dati brojevi i g(x , y) je funkcija dvije varijable x i y .
Primjer 6. Riješite sistem jednačina
Rješenje . Rešimo homogenu jednačinu
3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,
3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,
tretirajući to kao kvadratnu jednačinu u odnosu na nepoznato x:
.
U slučaju kada x = - 5y, iz druge jednačine sistema (11) dobijamo jednačinu
5y 2 = - 20 ,
koja nema korena.
U slučaju kada
iz druge jednačine sistema (11) dobijamo jednačinu
,
čiji su korijeni brojevi y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Nalazeći za svaku od ovih vrijednosti y odgovarajuću vrijednost x, dobijamo dva rješenja sistema: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .
Odgovor: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)
Primjeri rješavanja sistema jednačina drugih vrsta
Primjer 8 . Riješite sistem jednačina (MIPT)
Rješenje . Uvodimo nove nepoznanice u i v, koje se izražavaju u terminima x i y formulama:
Da bismo prepisali sistem (12) u terminima novih nepoznatih, prvo ćemo nepoznanice x i y izraziti u terminima u i v. Iz sistema (13) slijedi da
Linearni sistem (14) rješavamo isključivanjem varijable x iz druge jednačine ovog sistema. U tu svrhu vršimo sljedeće transformacije na sistemu (14).
