Ovaj članak je o decimale. Ovdje ćemo se pozabaviti decimalnim zapisom razlomaka, uvesti pojam decimalnog razlomka i dati primjere decimalnih razlomaka. Dalje, hajde da razgovaramo o znamenkama decimalnih razlomaka, dajemo imena znamenki. Nakon toga ćemo se fokusirati na beskonačne decimalne razlomke, recimo na periodične i neperiodične razlomke. Zatim navodimo glavne radnje s decimalnim razlomcima. U zaključku utvrđujemo položaj decimalnih razlomaka na koordinatnoj zraci.

Navigacija po stranici.

Decimalni zapis razlomka broja

Čitanje decimala

Recimo nekoliko riječi o pravilima za čitanje decimalnih razlomaka.

Decimalni razlomci, koji odgovaraju ispravnim običnim razlomcima, čitaju se na isti način kao i ovi obični razlomci, samo se prethodno dodaje "nula cijeli". Na primjer, decimalni razlomak 0,12 odgovara običnom razlomku 12/100 (čita se „dvanaest stotinki“), stoga se 0,12 čita kao „nulta tačka dvanaest stotinki“.

Decimalni razlomci, koji odgovaraju mješovitim brojevima, čitaju se na potpuno isti način kao i ovi miješani brojevi. Na primjer, decimalni 56.002 odgovara mješoviti broj, dakle, decimalni razlomak 56,002 čita se kao "pedeset šest zarez i dvije hiljaditinke".

Mjesta u decimalama

U zapisu decimalnih razlomaka, kao i u zapisu prirodnih brojeva, vrijednost svake cifre zavisi od njenog položaja. Zaista, broj 3 u decimali 0,3 znači tri desetine, u decimali 0,0003 - tri desethiljaditinke, a u decimali 30,000,152 - tri desetine hiljada. Dakle, možemo razgovarati o cifre u decimalama, kao i o ciframa u prirodnim brojevima.

Nazivi cifara u decimalnom razlomku do decimalnog zareza potpuno se poklapaju sa nazivima cifara u prirodnim brojevima. A nazivi cifara u decimalnom razlomku nakon decimalnog zareza vidljivi su iz sljedeće tabele.

Na primjer, u decimalnom razlomku 37.051, broj 3 je na mjestu desetica, 7 je na mjestu jedinica, 0 je na desetom mjestu, 5 je na stotom mjestu, 1 je na hiljaditom mjestu.

Cifre u decimalnom razlomku također se razlikuju po starješini. Ako se krećemo s cifre na cifru s lijeva na desno u decimalnom zapisu, tada ćemo se kretati od senior to junior ranks. Na primjer, cifra stotine je starija od cifre desetine, a cifra milionitih delova je mlađa od cifre stotinke. U ovom konačnom decimalnom razlomku možemo govoriti o najznačajnijim i najmanje značajnim znamenkama. Na primjer, u decimalnom obliku 604,9387 senior (najviši) cifra je cifra stotine, i junior (najniži)- desetohiljadito mjesto.

Za decimalne razlomke dolazi do proširenja u znamenke. Analogno je proširenju cifara prirodnih brojeva. Na primjer, decimalna ekspanzija od 45,6072 je: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. A svojstva sabiranja iz proširenja decimalnog razlomka u znamenke omogućavaju vam da pređete na druge prikaze ovog decimalnog razlomka, na primjer, 45,6072=45+0,6072, ili 45,6072=40,6+5,007+0,0002, ili 45,6072=0,0072 .

Kraj decimala

Do sada smo govorili samo o decimalnim razlomcima u čijem zapisu postoji konačan broj cifara iza decimalnog zareza. Takvi razlomci se nazivaju konačni decimalni razlomci.

Definicija.

Kraj decimala- To su decimalni razlomci, čiji zapisi sadrže konačan broj znakova (cifara).

Evo nekoliko primjera završnih decimala: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .

Međutim, ne može se svaki uobičajeni razlomak predstaviti kao konačni decimalni razlomak. Na primjer, razlomak 5/13 ne može se zamijeniti jednakim razlomkom s jednim od nazivnika 10, 100, ..., stoga se ne može pretvoriti u konačni decimalni razlomak. Više ćemo o tome govoriti u teorijskom dijelu pretvaranja običnih razlomaka u decimalne razlomke.

Beskonačne decimale: periodični razlomci i neperiodični razlomci

Pisanjem decimalnog razlomka iza decimalnog zareza može se priznati mogućnost prisustva demona. konačna količina cifre. U ovom slučaju dolazimo do razmatranja takozvanih beskonačnih decimalnih razlomaka.

Definicija.

Beskrajne decimale- To su decimalni razlomci u čijem zapisu postoji beskonačan broj cifara.

Jasno je da beskonačne decimalne razlomke ne možemo zapisati u cijelosti, stoga su u svom zapisu ograničeni samo na određeni konačan broj cifara iza decimalne točke i stavljaju elipsu koja označava beskonačno kontinuirani niz cifara. Evo nekoliko primjera beskonačnih decimalnih razlomaka: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Ako pažljivo pogledate posljednja dva beskrajna decimalna razlomka, onda je u razlomku 2.111111111 ... jasno vidljiv beskonačno ponavljajući broj 1, a u razlomku 69.74152152152 ..., počevši od treće decimale, ponavljajuća grupa brojeva 1, 5 i 2 je jasno vidljiv. Takvi beskonačni decimalni razlomci nazivaju se periodični.

Definicija.

Periodične decimale(ili jednostavno periodične frakcije) su beskonačni decimalni razlomci, u čijem zapisu se, počevši od određenog decimalnog mjesta, nalazi neka cifra ili grupa cifara, koja se naziva period razlomka.

Na primjer, period periodičnog razlomka 2,111111111… je broj 1, a period razlomka 69,74152152152… je grupa brojeva poput 152.

Za beskonačne periodične decimalne razlomke usvojena je posebna oznaka. Radi kratkoće, dogovorili smo se da točku napišemo jednom, stavljajući je u zagrade. Na primjer, periodični razlomak 2,111111111… zapisuje se kao 2,(1) , a periodični razlomak 69,74152152152… je zapisan kao 69,74(152) .

Vrijedi napomenuti da za isti periodični decimalni razlomak možete odrediti različite periode. Na primjer, periodična decimala 0,73333… može se smatrati razlomkom 0,7(3) sa periodom od 3, kao i razlomkom 0,7(33) sa periodom od 33, i tako dalje 0,7(333), 0,7 (3333 ), ... Periodični razlomak 0,73333 ... možete pogledati i ovako: 0,733(3), ili ovako 0,73(333), itd. Ovdje, da bismo izbjegli dvosmislenost i nedosljednosti, pristajemo da period decimalnog razlomka smatramo najkraćim od svih mogućih nizova cifara koje se ponavljaju, a počevši od najbliže pozicije decimalnoj zarezi. Odnosno, period decimalnog razlomka 0,73333… će se smatrati nizom od jedne cifre 3, a periodičnost počinje od druge pozicije nakon decimalnog zareza, odnosno 0,73333…=0,7(3) . Drugi primjer: periodični razlomak 4,7412121212… ima period od 12, periodičnost počinje od treće cifre nakon decimalnog zareza, odnosno 4,7412121212…=4,74(12) .

Beskonačni decimalni periodični razlomci se dobijaju pretvaranjem u decimalne razlomke običnih razlomaka čiji imenioci sadrže proste faktore koji nisu 2 i 5.

Ovdje je vrijedno spomenuti periodične razlomke sa periodom od 9. Evo primjera takvih razlomaka: 6.43(9) , 27, (9) . Ovi razlomci su još jedna oznaka za periodične razlomke s periodom 0, a uobičajeno je da se zamjenjuju periodičnim razlomcima s periodom 0. Da biste to učinili, period 9 se zamjenjuje periodom 0, a vrijednost sljedeće najviše cifre se povećava za jedan. Na primjer, razlomak s periodom 9 oblika 7.24(9) zamjenjuje se periodičnim razlomkom s periodom 0 oblika 7.25(0) ili jednakim konačnim decimalnim razlomkom od 7.25. Drugi primjer: 4,(9)=5,(0)=5 . Jednakost razlomka s periodom od 9 i njegovog odgovarajućeg razlomka s periodom od 0 lako se uspostavlja nakon zamjene ovih decimalnih razlomaka njihovim jednakim običnim razlomcima.

Na kraju, pogledajmo izbliza beskonačne decimale, koje nemaju beskonačno ponavljajući niz cifara. Zovu se neperiodične.

Definicija.

Neponavljajuće decimale(ili jednostavno neperiodični razlomci) su beskonačne decimale bez tačke.

Ponekad neperiodični razlomci imaju oblik sličan onom periodičnih razlomaka, na primjer, 8.02002000200002 ... je neperiodični razlomak. U tim slučajevima treba biti posebno oprezan da primijetite razliku.

Imajte na umu da se neperiodični razlomci ne pretvaraju u obične razlomke, beskonačni neperiodični decimalni razlomci predstavljaju iracionalne brojeve.

Operacije sa decimalama

Jedna od radnji sa decimalima je poređenje, a definisane su i četiri osnovne aritmetike operacije sa decimalama: sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Razmotrite odvojeno svaku od radnji s decimalnim razlomcima.

Decimalno poređenje u suštini zasnovan na poređenju običnih razlomaka koji odgovaraju upoređenim decimalnim razlomcima. Međutim, pretvaranje decimalnih razlomaka u obične je prilično naporna operacija, a beskonačni razlomci koji se ne ponavljaju ne mogu se predstaviti kao obični razlomak, pa je zgodno koristiti pobitno poređenje decimalnih razlomaka. Pobitno poređenje decimala je slično poređenju prirodnih brojeva. Za detaljnije informacije, preporučujemo da proučite materijal članka usporedbu decimalnih razlomaka, pravila, primjere, rješenja.

Pređimo na sljedeći korak - množenje decimala. Množenje konačnih decimalnih razlomaka vrši se slično oduzimanju decimalnih razlomaka, pravila, primjeri, rješenja množenja kolonom prirodnih brojeva. U slučaju periodičnih razlomaka, množenje se može svesti na množenje običnih razlomaka. Zauzvrat, množenje beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka nakon njihovog zaokruživanja svodi se na množenje konačnih decimalnih razlomaka. Preporučujemo dalje proučavanje materijala članka množenje decimalnih razlomaka, pravila, primjere, rješenja.

Decimale na koordinatnom snopu

Postoji korespondencija jedan prema jedan između tačaka i decimala.

Hajde da shvatimo kako se konstruišu tačke na koordinatnoj zraci koja odgovara datom decimalnom razlomku.

Konačne decimalne razlomke i beskonačne periodične decimalne razlomke možemo zamijeniti običnim razlomcima jednakim njima, a zatim konstruirati odgovarajuće obične razlomke na koordinatnoj zraci. Na primjer, decimalni razlomak 1,4 odgovara običnom razlomku 14/10, stoga je tačka s koordinatom 1,4 uklonjena iz ishodišta u pozitivnom smjeru za 14 segmenata jednakih desetini jednog segmenta.

Decimalni razlomci se mogu označiti na koordinatnoj gredi, počevši od proširenja ovog decimalnog razlomka u znamenke. Na primjer, recimo da trebamo izgraditi tačku sa koordinatom 16.3007 , budući da je 16.3007=16+0.3+0.0007 , a zatim u dati poen može se doći uzastopnim polaganjem 16 jediničnih segmenata od početka, 3 segmenta čija je dužina jednaka desetini jediničnog segmenta i 7 segmenata čija je dužina jednaka desetohiljaditim ulomku jediničnog segmenta .

Ova metoda konstruisanja decimalnih brojeva na koordinatnom snopu omogućava vam da se približite koliko god želite tački koja odgovara beskonačnom decimalnom razlomku.

Ponekad je moguće precizno iscrtati tačku koja odgovara beskonačnoj decimali. Na primjer, , tada ovaj beskonačni decimalni razlomak 1,41421... odgovara tački koordinatnog zraka, udaljenoj od početka za dužinu dijagonale kvadrata sa stranicom od 1 jediničnog segmenta.

Obrnuti proces dobijanja decimalnog razlomka koji odgovara datoj tački na koordinatnoj gredi je tzv. decimalno mjerenje segmenta. Da vidimo kako se to radi.

Neka naš zadatak bude da dođemo od početka do date tačke na koordinatnoj liniji (ili da joj se beskonačno približimo ako je nemoguće doći do nje). Sa decimalnim mjerenjem segmenta, možemo sekvencijalno odgoditi bilo koji broj jediničnih segmenata od početka, zatim segmente čija je dužina jednaka desetini jednog segmenta, zatim segmente čija je dužina jednaka stotom dijelu jednog segmenta, itd. . Zapisivanjem broja iscrtanih segmenata svake dužine, dobijamo decimalni razlomak koji odgovara datoj tački na koordinatnoj zraci.

Na primjer, da biste došli do tačke M na gornjoj slici, potrebno je izdvojiti 1 jedinični segment i 4 segmenta, čija je dužina jednaka desetini jedinice. Dakle, tačka M odgovara decimalnom razlomku 1.4.

Jasno je da tačke koordinatnog snopa, koje se ne mogu dostići tokom decimalnog merenja, odgovaraju beskonačnim decimalnim razlomcima.

Bibliografija.

  • Matematika: studije. za 5 ćelija. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
  • Matematika. 6. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izd., Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
  • algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

U ovom članku ćemo razumjeti što je decimalni razlomak, koje karakteristike i svojstva ima. Idi! 🙂

Decimala je poseban slučaj običnih razlomaka (u kojima je nazivnik višekratnik 10).

Definicija

Decimale su razlomci čiji su imenioci brojevi koji se sastoje od jedan i određenog broja nula iza njega. Odnosno, to su razlomci sa nazivnikom 10, 100, 1000 itd. Inače, decimalni razlomak se može okarakterisati kao razlomak sa nazivnikom 10 ili jednim od stepena desetice.

Primjeri razlomaka:

, ,

Decimalni razlomak se piše drugačije nego obični razlomak. Operacije s ovim razlomcima također se razlikuju od operacija s običnim. Pravila za operacije nad njima su u velikoj mjeri bliska pravilima za operacije nad cijelim brojevima. To posebno određuje njihovu relevantnost u rješavanju praktičnih problema.

Predstavljanje razlomka u decimalnom zapisu

U decimalnom zapisu nema nazivnika, on prikazuje broj brojioca. AT opšti pogled Decimalni razlomak se piše na sljedeći način:

gdje je X cijeli broj razlomka, Y je njegov razlomak, "," je decimalni zarez.

Za ispravan prikaz običnog razlomka kao decimale potrebno je da bude ispravan, odnosno da ima istaknuti cijeli broj (ako je moguće) i brojnik manji od nazivnika. Zatim, u decimalnom zapisu, cijeli broj se upisuje prije decimalnog zareza (X), a brojnik običnog razlomka se upisuje nakon decimalnog zareza (Y).

Ako brojilac predstavlja broj sa brojem cifara manjim od broja nula u nazivniku, tada se u dijelu Y broj cifara koji nedostaju u decimalnom zapisu popunjava nulama ispred cifara brojnika.

primjer:

Ako je obični razlomak manji od 1, tj. nema cijeli broj, tada je 0 zapisano u decimalnom obliku za X.

U razlomku (Y), nakon posljednje značajne (osim nule) cifre, može se unijeti proizvoljan broj nula. Ne utiče na vrijednost razlomka. I obrnuto: sve nule na kraju razlomka decimalnog razlomka mogu se izostaviti.

Čitanje decimala

Dio X čita se u opštem slučaju na sljedeći način: "X cijelih brojeva."

Y dio se čita prema broju u nazivniku. Za imenilac 10 treba da pročitate: "Y desetine", za nazivnik 100: "Y stotinke", za imenilac 1000: "Y hiljaditih" i tako dalje... 😉

Drugi pristup čitanju smatra se ispravnijim, zasnovan na brojanju broja znamenki razlomka. Da biste to učinili, morate razumjeti da se razlomke nalaze u zrcalnoj slici u odnosu na znamenke cijelog dijela razlomka.

Nazivi za pravilno čitanje dati su u tabeli:

Na osnovu toga, očitavanje treba da se zasniva na korespondenciji sa nazivom kategorije poslednje cifre razlomka.

  • 3.5 glasi "tri tačka pet"
  • 0,016 glasi kao "nula tačka šesnaest hiljaditih"

Pretvaranje proizvoljnog običnog razlomka u decimalu

Ako je nazivnik običnog razlomka 10 ili neki stepen desetice, tada se razlomak pretvara kako je gore opisano. U drugim situacijama potrebne su dodatne transformacije.

Postoje 2 načina za prevođenje.

Prvi način prevođenja

Brojilac i imenilac moraju se pomnožiti sa takvim cijelim brojem da imenilac bude 10 ili jedan od stepena desetice. I tada je razlomak predstavljen decimalnim zapisom.

Ova metoda je primjenjiva za razlomke čiji se nazivnik razlaže samo na 2 i 5. Dakle, u prethodnom primjeru . Ako postoje drugi primarni faktori u ekspanziji (na primjer, ), tada ćete morati pribjeći 2. metodi.

Drugi način prevođenja

Druga metoda je da se brojnik podijeli sa nazivnikom u stupcu ili na kalkulatoru. Cjelobrojni dio, ako postoji, nije uključen u transformaciju.

Pravilo dugog dijeljenja koje rezultira decimalnim razlomkom opisano je u nastavku (pogledajte Dijeljenje decimala).

Pretvorite decimalni u običan

Da biste to učinili, njegov razlomak (desno od zareza) treba napisati kao brojilac, a rezultat čitanja razlomka treba napisati kao odgovarajući broj u nazivniku. Dalje, ako je moguće, trebate smanjiti rezultirajuću frakciju.

Kraj i beskonačni decimalni

Decimalni razlomak se naziva konačnim, čiji se razlomak sastoji od konačnog broja znamenki.

Svi gornji primjeri sadrže tačno konačne decimalne razlomke. Međutim, ne može se svaki obični razlomak predstaviti kao konačna decimala. Ako 1. metoda prevođenja za dati razlomak nije primjenjiva, a 2. metoda pokazuje da se dijeljenje ne može završiti, tada se može dobiti samo beskonačan decimalni razlomak.

Nemoguće je napisati beskonačan razlomak u punom obliku. U nepotpunom obliku, takvi razlomci se mogu predstaviti:

  1. kao rezultat smanjenja na željeni broj decimalnih mjesta;
  2. u obliku periodičnog razlomka.

Razlomak se naziva periodičnim, u kojem se nakon decimalnog zareza može razlikovati niz cifara koji se beskonačno ponavlja.

Preostali razlomci se nazivaju neperiodični. Za neperiodične razlomke dozvoljena je samo 1. metoda predstavljanja (zaokruživanje).

Primjer periodičnog razlomka: 0,8888888 ... Ovdje postoji cifra 8 koja se ponavlja, koja će se, očito, ponavljati beskonačno, jer nema razloga za pretpostavku drugačije. Ovaj broj se zove period razlomka.

Periodični razlomci su čisti i mješoviti. Decimalni razlomak je čist, u kojem period počinje odmah nakon decimalnog zareza. Mješoviti razlomak ima 1 ili više znamenki prije decimalnog zareza.

54,33333 ... - periodični čisti decimalni razlomak

2,5621212121 ... - periodična mješovita frakcija

Primjeri pisanja beskonačnih decimala:

Drugi primjer pokazuje kako pravilno formirati period u periodičnom razlomku.

Pretvaranje periodičnih decimala u obične

Da biste čisti periodični razlomak pretvorili u običan period, upišite ga u brojilac, a u nazivnik upišite broj koji se sastoji od devetki u iznosu jednakom broju cifara u periodu.

Mješovita ponavljajuća decimala se prevodi na sljedeći način:

  1. potrebno je da formirate broj koji se sastoji od broja iza decimalnog zareza prije tačke i prve tačke;
  2. od rezultirajućeg broja oduzmite broj nakon decimalne točke prije tačke. Rezultat će biti brojnik običnog razlomka;
  3. u nazivnik treba da unesete broj koji se sastoji od broja devetki jednakog broju cifara perioda, nakon čega slijede nule, čiji je broj jednak broju cifara broja iza decimalne zareze ispred 1. period.

Decimalno poređenje

Decimalni razlomci se u početku upoređuju po cijelim dijelovima. Veći je razlomak koji ima veći cijeli broj.

Ako su cijeli brojevi isti, tada se upoređuju znamenke odgovarajućih cifara razlomaka, počevši od prve (od desetih). Ovdje se primjenjuje isti princip: veći od razlomaka, koji ima veći rang desetina; ako su cifre desetine jednake, upoređuju se cifre stotih dela, i tako dalje.

Zbog

, budući da sa jednakim cijelim dijelovima i jednakim desetinama u razlomkom dijelu, 2. razlomak ima više stotinki.

Sabiranje i oduzimanje decimala

Decimale se sabiraju i oduzimaju na isti način kao i cijeli brojevi, pišu odgovarajuće cifre jednu ispod druge. Da biste to učinili, morate imati decimalne točke jedna ispod druge. Tada će se poklapati jedinice (desetice, itd.) cijelog broja, kao i desetine (stotine, itd.) razlomka. Cifre koje nedostaju u razlomku su ispunjene nulama. Direktno Proces sabiranja i oduzimanja izvodi se na isti način kao i za cijele brojeve.

Decimalno množenje

Da biste pomnožili decimalne razlomke, morate ih napisati jedan ispod drugog, poravnati sa posljednjom znamenkom i ne obraćajući pažnju na lokaciju decimalnih zareza. Zatim morate pomnožiti brojeve na isti način kao i kod množenja cijelih brojeva. Nakon što dobijete rezultat, trebali biste ponovo izračunati broj znamenki iza decimalnog zareza u oba razlomka i odvojiti ukupan broj razlomaka u rezultirajućem broju zarezom. Ako nema dovoljno cifara, one se zamjenjuju nulama.

Množenje i dijeljenje decimala sa 10 n

Ove radnje su jednostavne i svode se na pomicanje decimalnog zareza. P Prilikom množenja, zarez se pomiče udesno (razlomak se povećava) za broj cifara jednak broju nula u 10 n, gdje je n proizvoljni cijeli broj. To jest, određeni broj cifara se prenosi iz razlomka u cijeli broj. Prilikom dijeljenja, odnosno, zarez se prenosi na lijevo (broj se smanjuje), a neke od znamenki se prenose iz cijelog broja u razlomak. Ako nema dovoljno cifara za prijenos, cifre koje nedostaju se popunjavaju nulama.

Dijeljenje decimale i cijelog broja cijelim brojem i decimalom

Dijeljenje decimale cijelim brojem je isto kao i dijeljenje dva cijela broja. Dodatno, mora se uzeti u obzir samo pozicija decimalnog zareza: pri rušenju cifre cifre iza koje slijedi zarez, potrebno je staviti zarez iza tekuće cifre generiranog odgovora. Zatim morate nastaviti dijeliti dok ne dobijete nulu. Ako u dividendi nema dovoljno znakova za potpuno dijeljenje, kao njih treba koristiti nule.

Slično, 2 cijela broja se dijele u kolonu ako su sve cifre dividende srušene, a puna podjela još nije završena. U ovom slučaju, nakon rušenja posljednje cifre dividende, decimalni zarez se stavlja u rezultirajući odgovor, a nule se koriste kao demolirane cifre. One. dividenda je ovde, u stvari, predstavljena kao decimalni razlomak sa nultim razlomkom.

Da bi se decimalni razlomak (ili cijeli broj) podijelio decimalnim brojem, potrebno je pomnožiti dividendu i djelitelj brojem 10 n, u kojem je broj nula jednak broju znamenki iza decimalne točke u djelitelj. Na taj način se rješavaju decimalnog zareza u razlomku kojim želite podijeliti. Nadalje, proces podjele je isti kao što je gore opisano.

Grafički prikaz decimala

Grafički, decimalni razlomci su predstavljeni pomoću koordinatne linije. Za to se pojedinačni segmenti dodatno dijele na 10 jednakih dijelova, kao što se centimetri i milimetri istovremeno nanose na ravnalo. Ovo osigurava da se decimale prikazuju tačno i da se mogu objektivno upoređivati.

Da bi uzdužne podjele na pojedinačnim segmentima bile iste, treba pažljivo razmotriti dužinu samog pojedinačnog segmenta. Trebao bi biti takav da se može osigurati pogodnost dodatne podjele.

Ovaj materijal ćemo posvetiti tako važnoj temi kao što su decimalni razlomci. Prvo, definirajmo osnovne definicije, damo primjere i zadržimo se na pravilima decimalnog zapisa, kao i na tome koje su znamenke decimalnih razlomaka. Zatim ističemo glavne vrste: konačni i beskonačni, periodični i neperiodični razlomci. U završnom dijelu ćemo pokazati kako se na koordinatnoj osi nalaze tačke koje odgovaraju razlomcima.

Šta je decimalni zapis za razlomke

Takozvani decimalni zapis za razlomke može se koristiti i za prirodne i za razlomke. Izgleda kao skup od dva ili više brojeva sa zarezom između njih.

Decimalna točka se koristi za odvajanje cijelog broja od razlomka. Po pravilu, posljednja znamenka decimale nikada nije nula, osim ako je decimalni zarez odmah iza prve nule.

Koji su neki primjeri razlomaka u decimalnom zapisu? Može biti 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 itd.

U nekim udžbenicima možete pronaći upotrebu tačke umjesto zareza (5.67, 6789.1011 itd.) Ova opcija se smatra ekvivalentnom, ali je tipičnija za izvore na engleskom jeziku.

Definicija decimala

Na osnovu gornjeg koncepta decimalnog zapisa, možemo formulirati sljedeću definiciju decimalnih razlomaka:

Definicija 1

Decimale su razlomci u decimalnom zapisu.

Zašto trebamo pisati razlomke u ovom obliku? To nam daje neke prednosti u odnosu na obične, na primjer, kompaktniji zapis, posebno u slučajevima kada je nazivnik 1000, 100, 10, itd. ili mješoviti broj. Na primjer, umjesto 6 10 možemo specificirati 0 , 6 , umjesto 25 10000 - 0 , 0023 , umjesto 512 3 100 - 512 , 03 .

Kako pravilno predstaviti obične razlomke sa desetinama, stotinama, hiljadama u nazivniku u decimalnom obliku, biće opisano u posebnom materijalu.

Kako pravilno čitati decimale

Postoje neka pravila za čitanje zapisa decimala. Dakle, oni decimalni razlomci koji odgovaraju njihovim ispravnim običnim ekvivalentima čitaju se gotovo isto, ali sa dodatkom riječi "nula desetina" na početku. Dakle, unos 0 , 14 , koji odgovara 14 100 , čita se kao "nulta tačka četrnaest stotinki".

Ako se decimalni razlomak može povezati s mješovitim brojem, onda se čita na isti način kao i ovaj broj. Dakle, ako imamo razlomak 56, 002, što odgovara 56 2 1000, takav unos čitamo kao "pedeset šest zareza dvije hiljaditinke."

Vrijednost cifre u decimalnom zapisu ovisi o tome gdje se nalazi (baš kao u slučaju prirodnih brojeva). Dakle, u decimalnom razlomku 0, 7, sedam je desetine, u 0, 0007 je deset hiljaditih, a u razlomku 70.000, 345 znači sedam desetina hiljada celih jedinica. Dakle, u decimalnim razlomcima postoji i koncept cifre broja.

Imena cifara koje se nalaze ispred zareza su slična onima koje postoje u prirodnim brojevima. Nazivi onih koji se nalaze iza su jasno predstavljeni u tabeli:

Uzmimo primjer.

Primjer 1

Imamo decimalni broj 43, 098. Ona ima četvorku na mjestu desetica, trojku na mjestu jedinica, nulu na desetom mjestu, 9 na stotom mjestu i 8 na hiljaditom mjestu.

Uobičajeno je razlikovati znamenke decimalnih razlomaka prema starešini. Ako se krećemo kroz brojeve s lijeva na desno, onda ćemo ići s visokih na niske cifre. Ispostavilo se da su stotine starije od desetina, a milioniti su mlađi od stotih. Ako uzmemo taj konačni decimalni razlomak, koji smo gore naveli kao primjer, tada će u njemu najviša, odnosno najviša, biti znamenka stotine, a najniža, ili najniža, biti cifra od 10 hiljaditih.

Bilo koji decimalni razlomak može se razložiti na zasebne znamenke, odnosno predstaviti kao zbir. Ova operacija se izvodi na isti način kao i za prirodne brojeve.

Primjer 2

Pokušajmo proširiti razlomak 56, 0455 u znamenke.

Moći ćemo:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Ako se prisjetimo svojstava sabiranja, ovaj razlomak možemo predstaviti u drugim oblicima, na primjer, kao zbir 56 + 0, 0455 ili 56, 0055 + 0, 4, itd.

Šta su zadnje decimale

Svi razlomci o kojima smo gore govorili su decimale na kraju. To znači da je broj cifara iza decimalnog zareza konačan. Hajde da dobijemo definiciju:

Definicija 1

Završne decimale su tip decimale koja ima konačan broj znamenki iza zareza.

Primjeri takvih razlomaka mogu biti 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49, itd.

Bilo koji od ovih razlomaka može se pretvoriti ili u mješoviti broj (ako je vrijednost njihovog razlomka različita od nule), ili u običan razlomak (ako je cijeli broj nula). Kako se to radi, posvetili smo poseban materijal. Istaknimo samo nekoliko primjera ovdje: na primjer, konačni decimalni razlomak 5 , 63 možemo dovesti u oblik 5 63 100 , a 0 , 2 odgovara 2 10 (ili bilo koji drugi razlomak koji mu je jednak, na primjer, 4 20 ili 1 5 .)

Ali obrnuti proces, tj. pisanje običnog razlomka u decimalnom obliku ne može se uvijek izvesti. Dakle, 5 13 se ne može zamijeniti jednakim razlomkom sa nazivnikom 100, 10, itd., što znači da konačni decimalni razlomak neće uspjeti iz njega.

Glavne vrste beskonačnih decimalnih razlomaka: periodični i neperiodični razlomci

Gore smo istakli da se konačni razlomci tako nazivaju jer imaju konačan broj cifara iza decimalnog zareza. Međutim, on može biti beskonačan, u kom slučaju će se i sami razlomci zvati beskonačnim.

Definicija 2

Beskonačne decimale su one koje imaju beskonačan broj cifara iza decimalnog zareza.

Očigledno je da se takvi brojevi jednostavno ne mogu napisati u potpunosti, pa naznačimo samo dio njih, a zatim stavimo tri tačke. Ovaj znak označava beskonačan nastavak niza decimalnih mjesta. Primjeri beskonačnih decimala bi bili 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 748768152. itd.

U "repu" takvog razlomka mogu postojati ne samo naizgled nasumični nizovi brojeva, već i stalno ponavljanje istog znaka ili grupe znakova. Razlomci s izmjenom nakon decimalnog zareza nazivaju se periodični.

Definicija 3

Periodični decimalni razlomci su takvi beskonačni decimalni razlomci u kojima se jedna cifra ili grupa od nekoliko cifara ponavlja iza decimalnog zareza. Ponavljajući dio naziva se period razlomka.

Na primjer, za razlomak 3, 444444 ... . period će biti broj 4, a za 76, 134134134134 ... - grupa 134.

Koliki je minimalni broj znakova dozvoljen u periodičnom razlomku? Za periodične razlomke bit će dovoljno cijeli period napisati jednom u zagradi. Dakle, razlomak je 3, 444444 ... . biće ispravno pisati kao 3, (4) i 76, 134134134134 ... - kao 76, (134) .

Općenito, unosi s više tačaka u zagradama imat će potpuno isto značenje: na primjer, periodični razlomak 0,677777 je isti kao 0,6 (7) i 0,6 (77), itd. Unosi poput 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) i drugi su također dozvoljeni.

Kako bismo izbjegli greške, uvodimo uniformnost notacije. Dogovorimo se da napišemo samo jednu tačku (najkraći mogući niz cifara), koja je najbliža decimalnoj zarezi, i stavimo je u zagrade.

Odnosno, za gornji razlomak smatrat ćemo unos 0, 6 (7) kao glavni, a, na primjer, u slučaju razlomka 8, 9134343434, pisaćemo 8, 91 (34) .

Ako nazivnik običnog razlomka sadrži proste faktore koji nisu jednaki 5 i 2, tada će se, kada se pretvore u decimalni zapis, iz njih dobiti beskonačni razlomci.

U principu, bilo koji konačni razlomak možemo zapisati kao periodični. Da bismo to učinili, samo trebamo dodati beskonačan broj nula s desne strane. Kako to izgleda u zapisniku? Recimo da imamo konačni razlomak 45, 32. U periodičnom obliku, to će izgledati kao 45 , 32 (0) . Ova radnja je moguća jer dodavanje nula desno od bilo kojeg decimalnog razlomka daje nam kao rezultat jednak razlomak.

Odvojeno, treba se zadržati na periodičnim razlomcima s periodom od 9, na primjer, 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Oni su alternativna oznaka za slične razlomke s periodom od 0, tako da se često zamjenjuju kada se piše razlomcima sa nultom tačkom. Istovremeno se dodaje jedan na vrijednost sljedeće znamenke, a (0) je naznačeno u zagradama. Jednakost rezultirajućih brojeva lako je provjeriti predstavljanjem ih kao obične razlomke.

Na primjer, razlomak 8, 31 (9) može se zamijeniti odgovarajućim razlomkom 8, 32 (0) . Ili 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Odnosi se na beskonačne decimalne periodične razlomke racionalni brojevi. Drugim riječima, bilo koji periodični razlomak se može predstaviti kao običan razlomak, i obrnuto.

Postoje i razlomci u kojima nema niza koji se beskonačno ponavlja iza decimalnog zareza. U ovom slučaju nazivaju se neperiodični razlomci.

Definicija 4

Neperiodični decimalni razlomci uključuju one beskonačne decimalne razlomke koji ne sadrže tačku nakon decimalnog zareza, tj. ponavljajuća grupa brojeva.

Ponekad neperiodični razlomci izgledaju vrlo slično periodičnim. Na primjer, 9 , 03003000300003 ... na prvi pogled izgleda da ima tačku, ali detaljna analiza decimalnih mjesta potvrđuje da je to još uvijek neperiodični razlomak. Morate biti veoma oprezni sa ovakvim brojevima.

Neperiodični razlomci su iracionalni brojevi. Oni se ne pretvaraju u obične razlomke.

Osnovne operacije sa decimalama

Sa decimalnim razlomcima se mogu izvoditi sljedeće operacije: poređenje, oduzimanje, sabiranje, dijeljenje i množenje. Analizirajmo svaku od njih posebno.

Poređenje decimala može se svesti na poređenje običnih razlomaka koji odgovaraju originalnim decimalima. Ali beskonačni neperiodični razlomci ne mogu se svesti na ovaj oblik, a pretvaranje decimalnih razlomaka u obične često je naporan zadatak. Kako brzo izvršiti radnju poređenja ako to trebamo uraditi u toku rješavanja problema? Pogodno je porediti decimalne razlomke po ciframa na isti način kao što poredimo prirodne brojeve. Ovoj metodi ćemo posvetiti poseban članak.

Da biste jedan decimalni razlomak dodali drugom, zgodno je koristiti metodu sabiranja stupaca, kao i za prirodne brojeve. Da biste dodali periodične decimalne razlomke, prvo ih morate zamijeniti običnim i računati prema standardnoj shemi. Ako, prema uslovima zadatka, treba da saberemo beskonačne neperiodične razlomke, onda ih prvo moramo zaokružiti na određenu cifru, a zatim ih sabrati. Što je manja cifra na koju zaokružujemo, to će biti veća tačnost izračuna. Za oduzimanje, množenje i dijeljenje beskonačnih razlomaka potrebno je i prethodno zaokruživanje.

Pronalaženje razlike decimalnih razlomaka je suprotno od sabiranja. Zapravo, uz pomoć oduzimanja možemo pronaći broj čiji će nam zbir sa oduzetim razlomkom dati smanjeni. O tome ćemo detaljnije govoriti u posebnom članku.

Množenje decimalnih razlomaka vrši se na isti način kao i za prirodne brojeve. Metoda izračunavanja po koloni je također pogodna za to. Ovu radnju s periodičnim razlomcima opet svodimo na množenje običnih razlomaka prema već proučavanim pravilima. Beskonačni razlomci, kao što se sjećamo, moraju se zaokružiti prije brojanja.

Proces dijeljenja decimala je obrnut od procesa množenja. Prilikom rješavanja problema koristimo i brojanje stupaca.

Možete postaviti tačnu korespondenciju između krajnje decimale i točke na koordinatnoj osi. Hajde da shvatimo kako označiti tačku na osi koja će tačno odgovarati traženom decimalnom razlomku.

Već smo proučavali kako konstruirati tačke koje odgovaraju običnim razlomcima, a decimalni razlomci se mogu svesti na ovaj oblik. Na primjer, obični razlomak 14 10 je isti kao 1 , 4 , tako da će tačka koja joj odgovara biti uklonjena iz ishodišta u pozitivnom smjeru za potpuno istu udaljenost:

Možete bez zamjene decimalnog razlomka običnim, a kao osnovu uzeti metodu proširenja znamenki. Dakle, ako trebamo označiti tačku čija će koordinata biti jednaka 15 , 4008 , onda ćemo ovaj broj prvo predstaviti kao zbir 15 + 0 , 4 + , 0008 . Za početak odvajamo 15 cijelih jediničnih segmenata u pozitivnom smjeru od početka, zatim 4 desetine jednog segmenta, a zatim 8 desethiljaditih dijelova jednog segmenta. Kao rezultat, dobit ćemo koordinatnu tačku, koja odgovara razlomku 15, 4008.

Za beskonačni decimalni razlomak, bolje je koristiti ovu konkretnu metodu, jer vam omogućava da se željenoj tački približite koliko god želite. U nekim slučajevima moguće je izgraditi tačnu korespondenciju beskonačnog razlomka na koordinatnoj osi: na primjer, 2 = 1, 41421. . . , a ovaj razlomak se može povezati s tačkom na koordinatnoj zraci, udaljenoj od 0 dužinom dijagonale kvadrata, čija će stranica biti jednaka jednom jediničnom segmentu.

Ako ne pronađemo tačku na osi, već decimalni razlomak koji joj odgovara, tada se ova radnja naziva decimalno mjerenje segmenta. Hajde da vidimo kako da to uradimo kako treba.

Pretpostavimo da treba da stignemo od nule do date tačke na koordinatnoj osi (ili da se približimo što je moguće bliže u slučaju beskonačnog razlomka). Da bismo to učinili, postupno odvajamo jedinične segmente od početka koordinata dok ne dođemo do željene točke. Nakon cijelih segmenata, po potrebi mjerimo desetine, stotinke i manje dijelove kako bi korespondencija bila što preciznija. Kao rezultat, dobili smo decimalni razlomak, koji odgovara dati poen na koordinatnoj osi.

Iznad smo dali sliku sa tačkom M. Pogledajte ponovo: da biste došli do ove tačke, morate izmjeriti jedan jedinični segment od nule i četiri desetine, jer ova tačka odgovara decimalnom razlomku 1, 4.

Ako ne možemo pogoditi tačku u procesu decimalnog mjerenja, onda to znači da joj odgovara beskonačan decimalni razlomak.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Sjećate se kako sam u prvoj lekciji o decimalnim razlomcima rekao da postoje brojčani razlomci koji se ne mogu predstaviti kao decimale (pogledajte lekciju „Decimalni razlomci“)? Također smo naučili kako razložiti nazivnike razlomaka da bismo provjerili postoje li drugi brojevi osim 2 i 5.

Dakle: lagao sam. A danas ćemo naučiti kako prevesti apsolutno bilo koji brojčani razlomak u decimalu. Istovremeno ćemo se upoznati s cijelom klasom razlomaka sa beskonačnim značajnim dijelom.

Ponavljajuća decimala je svaka decimala koja ima:

  1. Značajni dio se sastoji od beskonačnog broja cifara;
  2. U određenim intervalima ponavljaju se brojevi u značajnom dijelu.

Skup ponovljenih cifara koji čine značajan dio naziva se periodični dio razlomka, a broj cifara u ovom skupu je period razlomka. Preostali segment značajnog dijela, koji se ne ponavlja, naziva se neperiodični dio.

Budući da postoji mnogo definicija, vrijedno je detaljno razmotriti nekoliko ovih razlomaka:

Ova frakcija se najčešće javlja u problemima. Neperiodični dio: 0; periodični dio: 3; dužina perioda: 1.

Neperiodični dio: 0,58; periodični dio: 3; dužina perioda: ponovo 1.

Neperiodični dio: 1; periodični dio: 54; dužina perioda: 2.

Neperiodični dio: 0; periodični dio: 641025; dužina perioda: 6. Radi praktičnosti, dijelovi koji se ponavljaju odvojeni su jedan od drugog razmakom - u ovom rješenju to nije potrebno.

Neperiodični dio: 3066; periodični dio: 6; dužina perioda: 1.

Kao što vidite, definicija periodičnog razlomka zasniva se na konceptu značajan dio broja. Stoga, ako ste zaboravili šta je, preporučujem da to ponovite - pogledajte lekciju "".

Prijelaz na periodičnu decimalu

Razmotrimo običan razlomak oblika a/b. Razložimo njegov nazivnik na jednostavne faktore. Postoje dvije opcije:

  1. U ekspanziji su prisutni samo faktori 2 i 5. Ovi razlomci se lako svode na decimale - pogledajte lekciju "Decimalni razlomci". Nas to ne zanima;
  2. Postoji još nešto u proširenju osim 2 i 5. U ovom slučaju, razlomak se ne može predstaviti kao decimala, ali se može pretvoriti u periodičnu decimalu.

Da biste postavili periodični decimalni razlomak, morate pronaći njegov periodični i neperiodični dio. Kako? Pretvorite razlomak u nepravilan, a zatim podijelite brojilac sa nazivnikom "uglom".

Pritom će se dogoditi sljedeće:

  1. Prvo podijelite cijeli dio ako postoji;
  2. Može biti nekoliko brojeva iza decimalnog zareza;
  3. Nakon nekog vremena brojevi će početi ponovi.

To je sve! Cifre koje se ponavljaju nakon decimalnog zareza označavaju se periodičnim dijelom, a ono što je ispred - neperiodično.

Zadatak. Pretvorite obične razlomke u periodične decimale:

Svi razlomci bez celobrojnog dela, tako da jednostavno podelimo brojilac sa nazivnikom sa "uglom":

Kao što vidite, ostaci se ponavljaju. Zapišimo razlomak u "ispravnom" obliku: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultat je razlomak: 0,5833 ... = 0,58(3).

Pišemo u normalnom obliku: 4,0909 ... = 4, (09).

Dobijamo razlomak: 0,4141 ... = 0, (41).

Prijelaz s periodične decimalne na obične

Razmotrimo periodičnu decimalu X = abc (a 1 b 1 c 1). Potrebno ga je prenijeti na klasičnu "dvokatnicu". Da biste to učinili, slijedite četiri jednostavna koraka:

  1. Pronađite period razlomka, tj. izbroji koliko je cifara u periodičnom dijelu. Neka je broj k;
  2. Pronađite vrijednost izraza X · 10 k . Ovo je ekvivalentno pomicanju decimalnog zareza za punu tačku udesno - pogledajte lekciju "Množenje i dijeljenje decimalnih razlomaka";
  3. Od rezultujućeg broja oduzmite originalni izraz. U ovom slučaju, periodični dio je „sagorio“ i ostaje običan razlomak;
  4. Pronađite X u rezultirajućoj jednadžbi. Svi decimalni razlomci se pretvaraju u obične.

Zadatak. Pretvorite u običan nepravilan razlomak broja:

  • 9,(6);
  • 32,(39);
  • 0,30(5);
  • 0,(2475).

Rad sa prvim razlomkom: X = 9, (6) = 9,666 ...

Zagrade sadrže samo jednu cifru, tako da je period k = 1. Zatim ovaj razlomak pomnožimo sa 10 k = 10 1 = 10. Imamo:

10X = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Oduzmite originalni razlomak i riješite jednačinu:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

A sada da se pozabavimo drugim razlomkom. Dakle, X = 32, (39) = 32,393939 ...

Period k = 2, pa sve pomnožimo sa 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Ponovo oduzmite prvobitni razlomak i riješite jednačinu:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Idemo do trećeg razlomka: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Šema je ista, pa ću samo dati proračune:

Period k = 1 ⇒ pomnožiti sve sa 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Konačno, posljednji razlomak: X = 0, (2475) = 0,2475 2475 ... Opet, radi pogodnosti, periodični dijelovi su odvojeni jedan od drugog razmacima. Imamo:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10,000X = 10,000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Već u osnovna škola učenici se bave razlomcima. A onda se pojavljuju u svakoj temi. Nemoguće je zaboraviti radnje sa ovim brojevima. Stoga morate znati sve informacije o običnim i decimalnim razlomcima. Ovi koncepti su jednostavni, glavna stvar je razumjeti sve po redu.

Zašto su razlomci potrebni?

Svijet oko nas sastoji se od cijelih objekata. Dakle, nema potrebe za dionicama. Ali svakodnevni život stalno tjera ljude na rad s dijelovima predmeta i stvari.

Na primjer, čokolada se sastoji od nekoliko kriški. Razmotrite situaciju u kojoj je njegova pločica formirana od dvanaest pravokutnika. Ako ga podijelite na dva, dobit ćete 6 dijelova. Biće dobro podeljen na tri. Ali petorica neće moći dati cijeli broj kriški čokolade.

Usput, ove kriške su već razlomci. A njihova daljnja podjela dovodi do pojave složenijih brojeva.

Šta je "razlomak"?

Ovo je broj koji se sastoji od dijelova jednog. Izvana izgleda kao dva broja odvojena vodoravnom ili kosom crtom. Ova karakteristika se naziva razlomkom. Broj napisan na vrhu (lijevo) naziva se brojilac. Onaj dole (desno) je imenilac.

U stvari, ispostavilo se da je razlomak znak dijeljenja. To jest, brojilac se može nazvati dividenda, a imenilac djelitelj.

Šta su razlomci?

U matematici postoje samo dvije vrste njih: obični i decimalni razlomci. S prvima se školarci upoznaju u osnovnim razredima, nazivajući ih jednostavno “razlomcima”. Drugi uči u 5. razredu. Tada se pojavljuju ova imena.

Obični razlomci su svi oni koji su zapisani kao dva broja odvojena crtom. Na primjer, 4/7. Decimala je broj u kojem razlomak ima oznaku položaja i odvojen je od cijelog broja zarezom. Na primjer, 4.7. Učenicima treba biti jasno da su dva navedena primjera potpuno različiti brojevi.

Svaki prosti razlomak se može napisati kao decimalni. Ova izjava je skoro uvek tačna u obrnuti smjer. Postoje pravila koja vam omogućavaju da zapišete decimalni razlomak kao običan razlomak.

Koje podvrste imaju ove vrste frakcija?

Bolje je početi hronološkim redom, jer se proučavaju. Obični razlomci su prvi. Među njima se može razlikovati 5 podvrsta.

    Tačno. Njegov brojilac je uvijek manji od nazivnika.

    Pogrešno. Njegov brojilac je veći ili jednak nazivniku.

    Smanjivo / nesvodivo. Može biti ispravno ili pogrešno. Još jedna stvar je važna, da li brojilac i imenilac imaju zajedničke faktore. Ako postoje, onda bi trebalo da podijele oba dijela razlomka, odnosno da ga smanje.

    Miješano. Cijeli broj se dodjeljuje svom uobičajenom ispravnom (netačnom) razlomku. I uvijek stoji na lijevoj strani.

    Kompozitni. Formira se od dvije frakcije podijeljene jedna na drugu. Odnosno, ima tri razlomka odjednom.

Decimale imaju samo dvije podvrste:

    konačni, odnosno onaj u kojem je razlomak ograničen (ima kraj);

    beskonačan - broj čije se cifre iza decimalnog zareza ne završavaju (mogu se pisati beskonačno).

Kako pretvoriti decimalni u običan?

Ako je ovo konačan broj, onda se primjenjuje asocijacija zasnovana na pravilu - kako čujem, tako i pišem. Odnosno, morate ga ispravno pročitati i zapisati, ali bez zareza, ali s razlomkom.

Kao nagoveštaj o traženom nazivniku, zapamtite da je to uvek jedan i nekoliko nula. Potonjih treba napisati onoliko koliko je cifara u razlomku dotičnog broja.

Kako pretvoriti decimalne razlomke u obične ako im cijeli dio nedostaje, odnosno jednak nuli? Na primjer, 0,9 ili 0,05. Nakon primjene navedenog pravila, ispada da trebate napisati nula cijelih brojeva. Ali to nije naznačeno. Ostaje zapisati samo razlomke. Za prvi broj imenilac će biti 10, za drugi - 100. To jest, navedeni primjeri će imati brojeve kao odgovore: 9/10, 5/100. Štaviše, pokazalo se da je ovo posljednje moguće smanjiti za 5. Stoga, rezultat za njega mora biti napisan 1/20.

Kako od decimale napraviti običan razlomak ako je njegov cijeli broj različit od nule? Na primjer, 5,23 ili 13,00108. Oba primjera čitaju cijeli broj i zapisuju njegovu vrijednost. U prvom slučaju, ovo je 5, u drugom 13. Zatim morate prijeći na razlomak. S njima je potrebno izvršiti istu operaciju. Prvi broj ima 23/100, drugi ima 108/100000. Drugu vrijednost treba ponovo smanjiti. Odgovor je mješoviti razlomci: 5 23/100 i 13 27/25000.

Kako pretvoriti beskonačnu decimalu u običan razlomak?

Ako nije periodično, onda se takva operacija ne može izvesti. Ova činjenica je zbog činjenice da se svaki decimalni razlomak uvijek pretvara u konačni ili periodični.

Jedina stvar koja se može učiniti s takvim razlomkom je zaokružiti ga. Ali tada će decimala biti približno jednaka toj beskonačnosti. Već se može pretvoriti u običnu. Ali obrnuti proces: pretvaranje u decimalni - nikada neće dati početnu vrijednost. To jest, beskonačni neperiodični razlomci se ne prevode u obične razlomke. Ovo se mora zapamtiti.

Kako napisati beskonačan periodični razlomak u obliku običnog?

U ovim brojevima, jedna ili više cifara se uvijek pojavljuju iza decimalnog zareza, koje se ponavljaju. Zovu se periodi. Na primjer, 0,3(3). Ovdje "3" u periodu. Oni su klasifikovani kao racionalni, jer se mogu pretvoriti u obične razlomke.

Oni koji su se susreli sa periodičnim razlomcima znaju da oni mogu biti čisti ili mješoviti. U prvom slučaju tačka počinje odmah od zareza. U drugom, razlomak počinje bilo kojim brojevima, a zatim počinje ponavljanje.

Pravilo po kojem trebate napisati beskonačnu decimalu u obliku običnog razlomka bit će različito za ove dvije vrste brojeva. Prilično je lako zapisati čiste periodične razlomke kao obične razlomke. Kao i kod konačnih, potrebno ih je pretvoriti: upišite period u brojilac, a broj 9 će biti imenilac, ponavljajući onoliko puta koliko ima cifara u periodu.

Na primjer, 0,(5). Broj nema cijeli broj, tako da morate odmah prijeći na razlomak. U brojilac upiši 5, a u nazivnik 9. To jest, odgovor će biti razlomak 5/9.

Pravilo o tome kako napisati uobičajeni decimalni razlomak koji je mješoviti razlomak.

    Pogledajte dužinu perioda. Toliko 9 će imati imenilac.

    Zapišite imenilac: prvo devetke, zatim nule.

    Da biste odredili brojilac, morate napisati razliku dva broja. Sve cifre iza decimalnog zareza će se smanjiti, zajedno sa tačkom. Može se oduzeti - bez tačke.

Na primjer, 0,5(8) - zapišite periodični decimalni razlomak kao običan razlomak. Razlomak ispred tačke je jednocifreni. Dakle, nula će biti jedan. Takođe postoji samo jedna cifra u periodu - 8. To jest, postoji samo jedna devetka. Odnosno, potrebno je da u imenilac upišete 90.

Da biste odredili brojilac od 58, trebate oduzeti 5. Ispada 53. Na primjer, morat ćete napisati 53/90 kao odgovor.

Kako se obični razlomci pretvaraju u decimale?

Najjednostavnija opcija je broj čiji je imenilac broj 10, 100 i tako dalje. Tada se nazivnik jednostavno odbacuje, a između razlomka i cijelog broja stavlja se zarez.

Postoje situacije kada se imenilac lako pretvara u 10, 100 itd. Na primjer, brojevi 5, 20, 25. Dovoljno ih je pomnožiti sa 2, 5 i 4. Samo je potrebno pomnožiti ne samo imenilac, već i brojnik istim brojem.

Za sve ostale slučajeve dobro će doći jednostavno pravilo: podijelite brojilac sa nazivnikom. U ovom slučaju možete dobiti dva odgovora: konačni ili periodični decimalni razlomak.

Operacije sa običnim razlomcima

Sabiranje i oduzimanje

Učenici ih upoznaju ranije od ostalih. I u početku razlomci imaju iste nazivnike, a zatim različite. Opća pravila može se svesti na takav plan.

    Pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika.

    Napišite dodatne faktore svim običnim razlomcima.

    Pomnožite brojioce i nazivnike faktorima koji su za njih definisani.

    Dodajte (oduzmite) brojioce razlomaka, a zajednički imenilac ostavite nepromijenjen.

    Ako je brojnik minusa manji od oduzetog, onda morate saznati imamo li mješoviti broj ili pravi razlomak.

    U prvom slučaju, cijeli broj treba uzeti jedan. Dodajte imenilac brojiocu razlomka. I onda uradite oduzimanje.

    U drugom - potrebno je primijeniti pravilo oduzimanja sa manjeg broja na veći. Odnosno, oduzmite modul minuenda od modula oduzetog i stavite znak "-" kao odgovor.

    Pažljivo pogledajte rezultat sabiranja (oduzimanja). Ako dobijete nepravilan razlomak, onda bi trebalo odabrati cijeli dio. Odnosno, podijelite brojilac sa nazivnikom.

    Množenje i dijeljenje

    Za njihovu implementaciju, razlomke nije potrebno svesti na zajednički nazivnik. To olakšava poduzimanje radnje. Ali i dalje moraju poštovati pravila.

      Prilikom množenja običnih razlomaka potrebno je uzeti u obzir brojeve u brojiocima i nazivnicima. Ako bilo koji brojnik i nazivnik imaju zajednički faktor, onda se mogu smanjiti.

      Pomnožite brojioce.

      Pomnožite nazivnike.

      Ako dobijete razlomak koji se može reducirati, onda bi on trebao biti ponovo pojednostavljen.

      Prilikom dijeljenja prvo morate zamijeniti dijeljenje množenjem, a djelitelj (drugi razlomak) recipročnim (zamijeniti brojilac i imenilac).

      Zatim nastavite kao kod množenja (počevši od tačke 1).

      U zadacima gdje trebate pomnožiti (dijeliti) cijelim brojem, potonji bi trebao biti zapisan kao nepravilan razlomak. To jest, sa nazivnikom 1. Zatim nastavite kako je gore opisano.

    Operacije sa decimalama

    Sabiranje i oduzimanje

    Naravno, uvijek možete pretvoriti decimalu u običan razlomak. I postupajte po već opisanom planu. Ali ponekad je zgodnije djelovati bez ovog prijevoda. Tada će pravila za njihovo sabiranje i oduzimanje biti potpuno ista.

      Izjednačite broj cifara u razlomku broja, odnosno iza decimalnog zareza. Dodijelite mu broj nula koji nedostaje.

      Napišite razlomke tako da zarez bude ispod zareza.

      Dodajte (oduzmite) kao prirodne brojeve.

      Uklonite zarez.

    Množenje i dijeljenje

    Važno je da ovdje ne morate dodavati nule. Razlomke treba ostaviti onako kako su dati u primjeru. I onda po planu.

      Za množenje morate napisati razlomke jedan ispod drugog, ne obraćajući pažnju na zareze.

      Množi se kao prirodni brojevi.

      Stavite zarez u odgovor, računajući od desnog kraja odgovora onoliko cifara koliko ih ima u razlomcima oba faktora.

      Da biste podijelili, prvo morate pretvoriti djelitelj: učiniti ga prirodnim brojem. To jest, pomnožite ga sa 10, 100, itd., ovisno o tome koliko je cifara u razlomku djelitelja.

      Pomnožite dividendu istim brojem.

      Podijelite decimalu prirodnim brojem.

      Stavite zarez u odgovor u trenutku kada se podjela cijelog dijela završi.

    Što ako postoje obje vrste razlomaka u jednom primjeru?

    Da, u matematici često postoje primjeri u kojima morate izvršiti operacije nad običnim i decimalnim razlomcima. Postoje dva moguća rješenja za ove probleme. Potrebno je objektivno odmjeriti brojeve i odabrati najbolju.

    Prvi način: predstavljanje običnih decimala

    Pogodno je ako se prilikom dijeljenja ili pretvaranja dobiju konačni razlomci. Ako barem jedan broj daje periodični dio, tada je ova tehnika zabranjena. Stoga, čak i ako ne volite raditi s običnim razlomcima, morat ćete ih prebrojati.

    Drugi način: zapišite decimalne razlomke kao obične

    Ova tehnika je zgodna ako u dijelu nakon decimalnog zareza ima 1-2 znamenke. Ako ih ima više, može se pojaviti vrlo veliki obični razlomak, a decimalni unosi će vam omogućiti da brže i lakše izračunate zadatak. Stoga je uvijek potrebno trezveno procijeniti zadatak i odabrati najjednostavniji način rješenja.