U sedmom razredu matematike prvo se susreću sa jednadžbe sa dvije varijable, ali se proučavaju samo u kontekstu sistema jednačina sa dvije nepoznanice. Zato iz vida ispada niz problema u kojima se uvode određeni uslovi na koeficijente jednačine koji ih ograničavaju. Osim toga, zanemaruju se i metode za rješavanje problema poput “Rješavanje jednadžbe prirodnim ili cijelim brojevima”, iako u KORISTITE materijale i dalje prijemni ispiti Problemi ove vrste postaju sve češći.

Koja će se jednačina zvati jednačina sa dvije varijable?

Tako, na primjer, jednačine 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ili xy = 12 su jednadžbe s dvije varijable.

Razmotrimo jednačinu 2x - y = 1. Ona se pretvara u pravu jednakost pri x = 2 i y = 3, tako da je ovaj par varijabilnih vrijednosti rješenje jednačine koja se razmatra.

Dakle, rješenje bilo koje jednadžbe s dvije varijable je skup uređenih parova (x; y), vrijednosti varijabli koje ova jednadžba pretvara u pravu numeričku jednakost.

Jednačina sa dvije nepoznanice može:

a) imaju jedno rešenje. Na primjer, jednačina x 2 + 5y 2 = 0 ima jedina odluka (0; 0);

b) imaju više rješenja. Na primjer, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ima 4 rješenja: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

u) nemaju rješenja. Na primjer, jednadžba x 2 + y 2 + 1 = 0 nema rješenja;

G) imaju beskonačno mnogo rješenja. Na primjer, x + y = 3. Rješenja ove jednačine će biti brojevi čiji je zbir 3. Skup rješenja ove jednačine može se napisati kao (k; 3 - k), gdje je k bilo koji pravi broj.

Glavne metode za rješavanje jednačina sa dvije varijable su metode zasnovane na faktorskim izrazima, isticanje punog kvadrata, korištenje svojstava kvadratna jednačina, ograničeni izrazi, metode evaluacije. Jednačina se, po pravilu, pretvara u oblik iz kojeg se može dobiti sistem za pronalaženje nepoznatih.

Faktorizacija

Primjer 1

Riješite jednačinu: xy - 2 = 2x - y.

Rješenje.

Grupiramo pojmove u svrhu faktoringa:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Izvadite zajednički faktor iz svake zagrade:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Imamo:

y = 2, x je bilo koji realan broj ili x = -1, y je bilo koji realan broj.

Na ovaj način, odgovor su svi parovi oblika (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.

Jednakost nula nenegativnih brojeva

Primjer 2

Riješite jednačinu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Rješenje.

Grupisanje:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Sada se svaka zagrada može skupiti korištenjem formule kvadratne razlike.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Zbir dva nenegativna izraza je nula samo ako je 3x - 2 = 0 i 2y - 3 = 0.

Dakle, x = 2/3 i y = 3/2.

Odgovor: (2/3; 3/2).

Metoda evaluacije

Primjer 3

Riješite jednačinu: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Rješenje.

U svakoj zagradi odaberite cijeli kvadrat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Procjena značenje izraza u zagradama.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 i (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, tada je lijeva strana jednadžbe uvijek najmanje 2. Jednakost je moguća ako:

(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y - 2) 2 + 2 = 2, pa je x = -1, y = 2.

Odgovor: (-1; 2).

Hajde da se upoznamo sa još jednom metodom za rešavanje jednačina sa dve varijable drugog stepena. Ova metoda je da se jednačina smatra kao kvadrat u odnosu na neku varijablu.

Primjer 4

Riješite jednačinu: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Rješenje.

Rešimo jednačinu kao kvadratnu u odnosu na x. Nađimo diskriminanta:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Jednačina će imati rješenje samo kada je D = 0, tj. ako je y = 4. Zamjenjujemo vrijednost y u originalnu jednačinu i nalazimo da je x = 3.

Odgovor: (3; 4).

Često u jednadžbama sa dvije nepoznanice označavaju ograničenja na varijable.

Primjer 5

Riješite jednačinu u cijelim brojevima: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Rješenje.

Prepišimo jednačinu u obliku x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Desna strana rezultirajuće jednačine, kada se podijeli sa 5, daje ostatak od 2. Dakle, x 2 nije djeljiv sa 5. Ali kvadrat broja koji nije djeljiv sa 5 daje ostatak od 1 ili 4. Dakle, jednakost je nemoguća i nema rješenja.

Odgovor: nema korijena.

Primjer 6

Riješite jednačinu: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Rješenje.

Odaberimo pune kvadrate u svakoj zagradi:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lijeva strana jednačine je uvijek veća ili jednaka 3. Jednakost je moguća ako |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Dakle, x = ± 2, y = -3.

Odgovor: (2; -3) i (-2; -3).

Primjer 7

Za svaki par negativnih cijelih brojeva (x; y) koji zadovoljavaju jednačinu
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, izračunajte zbroj (x + y). Odgovorite na najmanji iznos.

Rješenje.

Odaberite pune kvadrate:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Pošto su x i y cijeli brojevi, njihovi kvadrati su također cijeli brojevi. Zbroj kvadrata dva cijela broja, jednak 37, dobijemo ako dodamo 1 + 36. Dakle:

(x - y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.

Rješavajući ove sisteme i uzimajući u obzir da su x i y negativni, nalazimo rješenja: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odgovor: -17.

Ne očajavajte ako imate poteškoća pri rješavanju jednačina sa dvije nepoznanice. Uz malo vježbe, moći ćete savladati bilo koju jednačinu.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe sa dvije varijable?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Tekst rada je postavljen bez slika i formula.
Puna verzija rad je dostupan u kartici "Radni fajlovi" u PDF formatu

Predmet proučavanja.

Istraživanje se odnosi na jednu od najzanimljivijih grana teorije brojeva - rješavanje jednačina u cijelim brojevima.

Predmet studija.

Rješenje u cijelim brojevima algebarskih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima u više od jedne nepoznate jedan je od najtežih i najstarijih matematičkih problema i nije dovoljno detaljno predstavljen u školski kurs matematike. U svom radu predstaviću prilično potpunu analizu jednačina u cijelim brojevima, klasifikaciju ovih jednadžbi prema metodama za njihovo rješavanje, opis algoritama za njihovo rješavanje, kao i praktične primjere primjene svake od metoda za njihovo rješavanje. rješavanje jednačina u cijelim brojevima.

Target.

Naučite kako riješiti jednadžbe u cijelim brojevima.

Zadaci:

Proučavati obrazovnu i referentnu literaturu;

Prikupiti teorijski materijal o tome kako riješiti jednadžbe;

Analizirati algoritme za rješavanje jednačina ovog tipa;

Opišite rješenja;

Razmotrimo primjere rješavanja jednačina korištenjem ovih metoda.

hipoteza:

Suočen s jednadžbama u cijelim brojevima u olimpijskim zadacima, pretpostavio sam da su poteškoće u njihovom rješavanju posljedica činjenice da mi nisu poznati svi načini njihovog rješavanja.

Relevantnost:

Prilikom rješavanja približnih varijanti USE zadataka primijetio sam da se često pojavljuju zadaci za rješavanje jednačina prvog i drugog stepena u cijelim brojevima. Osim toga, olimpijski zadaci raznim nivoima također sadrže jednadžbe u cijelim brojevima ili probleme koji se rješavaju korištenjem vještina rješavanja jednačina u cijelim brojevima. Važnost znanja kako rješavati jednačine u cijelim brojevima određuje relevantnost mog istraživanja.

Metode istraživanja

Teorijska analiza i generalizacija informacija naučna literatura o jednadžbama u cijelim brojevima.

Klasifikacija jednačina u cijelim brojevima prema metodama njihovog rješavanja.

Analiza i generalizacija metoda za rješavanje jednačina u cijelim brojevima.

Rezultati istraživanja

U radu su opisane metode za rješavanje jednačina, razmatran je teorijski materijal Fermaove teoreme, Pitagorina teorema, Euklidov algoritam, prikazani su primjeri rješavanja problema i jednačina različitih nivoa složenosti.

2.Povijest jednadžbi u cijelim brojevima

Diofant - naučnik - algebraista Ancient Greece, prema nekim izvorima, živio je do 364. godine nove ere. e. Specijalizirao se za rješavanje zadataka u cijelim brojevima. Otuda naziv Diofantove jednadžbe. Najpoznatiji, koji je riješio Diofant, je problem "razlaganja na dva kvadrata". Njegov ekvivalent je dobro poznata Pitagorina teorema. Diofantov život i rad tekao je u Aleksandriji, sakupljao je i rješavao poznate i izmišljao nove probleme. Kasnije ih je spojio u veliko djelo pod nazivom Aritmetika. Od trinaest knjiga koje su činile Aritmetiku, samo šest je preživjelo do srednjeg vijeka i postalo izvor inspiracije za matematičare renesanse. Diofantova aritmetika je zbirka zadataka, od kojih svaka sadrži rješenje i potrebno objašnjenje. Zbirka uključuje razne probleme, a njihovo rješenje je često vrlo genijalno. Diofanta zanimaju samo pozitivno cjelobrojna i racionalna rješenja. Iracionalna rješenja naziva "nemogućim" i pažljivo bira koeficijente tako da se dobiju željena pozitivna, racionalna rješenja.

Fermatova teorema se koristi za rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima. Istorija dokazivanja je prilično zanimljiva. Mnogi eminentni matematičari radili su na potpunom dokazu Velike teoreme, a ti napori su doveli do mnogih rezultata u modernoj teoriji brojeva. Smatra se da je teorema na prvom mjestu po broju netačnih dokaza.

Izvanredni francuski matematičar Pierre Fermat izjavio je da jednačina za cijeli broj n ≥ 3 nema rješenja u pozitivnim cijelim brojevima x, y, z (xyz = 0 je isključeno pozitivnošću x, y, z. Za slučaj n = 3, ovu teoremu je pokušao u X vijeku dokazati srednjoazijski matematičar al-Khojandi, ali njegov dokaz nije sačuvan. Nešto kasnije, sam Fermat je objavio dokaz posebnog slučaja za n = 4.

Euler je 1770. dokazao teoremu za n = 3, Dirichlet i Legendre 1825. za n = 5, a Lame za n = 7. Kummer je pokazao da je teorema istinita za sve proste n manje od 100, s mogućim izuzetkom 37, 59, 67.

Osamdesetih godina bilo je novi pristup do resavanja problema. Iz Mordellove pretpostavke, koju je dokazao Faltings 1983., slijedi da jednačina

za n > 3 može imati samo konačan broj koprimenih rješenja.

Posljednji, ali najvažniji korak u dokazu teoreme napravio je Wiles u septembru 1994. godine. Njegov dokaz na 130 stranica objavljen je u Annals of Mathematics. Dokaz se zasniva na pretpostavci njemačkog matematičara Gerharda Freya da je Fermatova posljednja teorema posljedica hipoteze Taniyama-Shimura (ovu pretpostavku je dokazao Ken Ribet uz učešće J.-P. Serra). Wiles je objavio prvu verzija njegovog dokaza 1993. godine (nakon 7 godina mukotrpnog rada), ali je u njemu ubrzo otkrivena ozbiljna praznina; uz pomoć Richarda Lawrencea Taylora, jaz je brzo smanjen. Konačna verzija objavljena je 1995. 15. marta 2016. Andrew Wiles prima Abelovu nagradu. Trenutno je premija 6 miliona norveških kruna, odnosno oko 50 miliona rubalja. Prema Wilesu, nagrada je za njega bila "potpuno iznenađenje".

3.Linearne jednadžbe u cijelim brojevima

Linearne jednadžbe su najjednostavnije od svih Diofantovih jednačina.

Jednačina oblika ax=b, gdje su a i b neki brojevi, a x je nepoznata varijabla, naziva se linearna jednačina s jednom nepoznatom. Ovdje je potrebno pronaći samo cjelobrojna rješenja jednadžbe. Može se vidjeti da ako je a ≠ 0, onda će jednadžba imati cjelobrojno rješenje samo ako je b potpuno djeljiv sa a i ovo rješenje je x = b / f. Ako je a=0, tada će jednadžba imati cjelobrojno rješenje kada je b=0 i u ovom slučaju x je bilo koji broj.

jer 12 je onda jednako deljivo sa 4

Jer a=o i b=0, tada je x bilo koji broj

Jer 7 nije ni deljivo sa 10, onda nema rešenja.

4. Način nabrajanja opcija.

U metodi nabrajanja opcija potrebno je uzeti u obzir znakove djeljivosti brojeva, uzeti u obzir sve moguće opcije konačna jednakost nabrajanja. Ova metoda se može koristiti za rješavanje ovih problema:

№1 Pronađite skup svih parova prirodnih brojeva koji su rješenje jednadžbe 49x+69y=602

Izražavamo iz jednačine x =,

Jer x i y su prirodni brojevi, tada je x = ≥ 1, pomnožite cijelu jednačinu sa 49 da se riješite nazivnika:

Pomaknite 602 na lijevu stranu:

51y ≤ 553, izrazi y, y= 10

Kompletno nabrajanje opcija pokazuje da su prirodna rješenja jednadžbe x=5, y=7.

Odgovor: (5,7).-

№2 Riješite problem

Od brojeva 2, 4, 7 treba napraviti trocifreni broj u kojem se nijedan broj ne može ponoviti više od dva puta.

Nađimo broj svih trocifrenih brojeva koji počinju brojem 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - ima ih 8.

Slično, nalazimo sve trocifrene brojeve koji počinju brojevima 4 i 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - takođe su po 8 brojeva. Ima samo 24 broja.

Odgovor: 24.

5. Kontinuirani razlomak i Euklidov algoritam

Kontinuirani razlomak je izraz običnog razlomka u obliku

gdje je q 1 cijeli broj, a q 2 , … ,qn su prirodni brojevi. Takav izraz se naziva kontinuirani (konačni kontinuirani) razlomak. Postoje konačni i beskonačni razlomci.

Za racionalni brojevi kontinuirani razlomak ima pogled s kraja. Osim toga, niz a i je upravo niz količnika koji se dobija primjenom Euklidovog algoritma na brojnik i nazivnik razlomka.

Rješavajući jednadžbe s kontinuiranim razlomcima, sastavio sam opći algoritam radnji za ovu metodu rješavanja jednačina u cijelim brojevima.

Algoritam

1) Sastaviti omjer koeficijenata za nepoznate u obliku razlomka

2) Pretvorite izraz u nepravilan razlomak

3) Odaberite cijeli broj nepravilnog razlomka

4) Zamijenite pravi razlomak jednakim razlomkom

5) Uradite 3.4 sa pogrešnim razlomkom dobijenim u nazivniku

6) Ponovite 5 do krajnjeg rezultata

7) U rezultirajućem izrazu odbacite posljednju kariku nastavljenog razlomka, pretvorite rezultirajući novi nastavljeni razlomak u jednostavan i oduzmite ga od originalnog razlomka.

Primjer#1 Riješi jednačinu 127x- 52y+ 1 = 0 u cijelim brojevima

Hajde da transformišemo odnos koeficijenata u nepoznate.

Prije svega, odabiremo cijeli broj nepravilnog razlomka; = 2 +

Zamijenite pravi razlomak jednakim razlomkom.

Gdje je = 2+

Uradimo iste transformacije sa nepravilnim razlomkom dobijenim u nazivniku.

Sada će originalni razlomak poprimiti oblik: Ponavljajući isto razmišljanje za razlomak, dobijamo

Dobili smo izraz koji se zove konačni nastavak ili nastavljeni razlomak. Odbacivši posljednju kariku ovog kontinuiranog razlomka - jednu petinu, rezultirajući novi razlomak pretvaramo u jednostavan i oduzimamo ga od originalnog razlomka:

Dovedemo rezultirajući izraz do zajedničkog nazivnika i odbacimo ga.

Odatle 127∙9-52∙22+1=0. Upoređujući dobijenu jednakost sa jednačinom 127x- 52y+1 = 0, slijedi da je tada x= 9, y= 22 rješenje izvorne jednačine, a prema teoremi, sva njena rješenja će biti sadržana u progresijama x = 9+ 52t, y= 22+ 127t , gde je t=(0; ±1; ±2....). , odbacite njegovu poslednju vezu i uradite proračune slične onima datim gore.

Da bismo dokazali ovu pretpostavku, trebat će nam neka svojstva kontinuiranih razlomaka.

Razmotrimo nesvodljivi razlomak. Označimo sa q 1 količnik i sa r 2 ostatak dijeljenja a sa b. tada dobijamo:

Tada je b=q 2 r 2 +r 3 ,

Slično

r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;

r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;

………………………………..

Količine q 1 , q 2 ,… nazivaju se nepotpuni količniki. Gornji proces formiranja nepotpunih količnika naziva se Euklidov algoritam. Ostaci od dijeljenja r 2 , r 3 ,… zadovoljavaju nejednakosti

one. formiraju niz opadajućih nenegativnih brojeva.

Primjer #2 Riješite jednačinu 170x+190y=3000 u cijelim brojevima

Nakon smanjenja za 10, jednadžba izgleda ovako,

Da bismo pronašli određeno rješenje, koristimo proširenje razlomka u kontinuirani razlomak

Nakon što je pretposljednji razlomak pogodan za to srušio u običan

Konkretno rješenje ove jednačine ima oblik

X 0 = (-1) 4300 ∙ 9 = 2700, y 0 = (-1) 5300 ∙ 8 = -2400,

a opšte je dato formulom

x=2700-19k, y=-2400+17k.

odakle dobijamo uslov na parametar k

One. k=142, x=2, y=14. .

6. Metoda faktoringa

Metoda nabrajanja opcija je nezgodan način, jer postoje slučajevi kada je nemoguće naći kompletna rješenja nabrajanjem, budući da postoji beskonačan broj takvih rješenja. Metoda faktorizacije je vrlo zanimljiva tehnika i nalazi se kako u osnovnoj matematici tako i u višoj matematici.

Suština se sastoji u identičnoj transformaciji. Smisao svake identične transformacije je napisati izraz u drugačijem obliku uz očuvanje njegove suštine. Razmotrite primjere primjene ove metode.

№1 Riješite jednačinu u cijelim brojevima y 3 -x 3 = 91.

Koristeći skraćene formule za množenje, desnu stranu jednačine rastavljamo na faktore:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91

Zapisujemo sve djelitelje broja 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

Imajte na umu da je za bilo koji cijeli broj x i y broj

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

dakle, oba faktora na lijevoj strani jednačine moraju biti pozitivna. Tada je originalna jednadžba ekvivalentna skupu sistema jednačina:

Nakon što smo riješili sisteme, biramo one korijene koji su cijeli brojevi.

Dobijamo rješenja izvorne jednačine: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4),(-4; 3).

Odgovor: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 Pronađite sve parove prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednačinu x 2 -y 2 = 69

Faktoriziramo lijevu stranu jednačine i zapišemo jednačinu kao

Jer djelitelji broja 69 su brojevi 1, 3, 23 i 69, tada se 69 može dobiti na dva načina: 69=1 69 i 69=3 23. S obzirom da je x-y > 0, dobijamo dva sistema jednadžbi, rešavanjem kojih možemo pronaći željene brojeve:

Izrazivši jednu varijablu i zamjenivši je u drugu jednačinu, nalazimo korijene jednadžbi.Prvi sistem ima rješenje x=35;y=34, a drugi sistem ima rješenje x=13, y=10.

Odgovor: (35; 34), (13; 10).

№3 Riješite jednadžbu x + y \u003d xy u cijelim brojevima:

Zapisujemo jednačinu u obliku

Faktorizujmo lijevu stranu jednačine. Get

Proizvod dva cijela broja može biti jednak 1 samo u dva slučaja: ako su oba jednaka 1 ili -1. Dobijamo dva sistema:

Prvi sistem ima rješenje x=2, y=2, a drugi sistem ima rješenje x=0, y=0. Odgovor: (2; 2), (0; 0).

№4 Dokažite da je jednadžba (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nema rješenja u cijelim brojevima.

Faktoriziramo lijevu stranu jednačine i obje strane jednačine podijelimo sa 3, kao rezultat dobijamo jednačinu:

(x - y)(y - z)(z - x) = 10

Delitelji 10 su brojevi ±1, ±2, ±5, ±10. Imajte na umu da je zbir faktora na lijevoj strani jednačine 0. Lako je provjeriti da zbir bilo koja tri broja iz skupa djelitelja broja 10, koji daju 10 u proizvodu, neće biti jednak 0. Dakle, originalna jednadžba nema rješenja u cijelim brojevima.

7. Metoda ostataka

Glavni zadatak metode je pronaći ostatak dijeljenja oba dijela jednačine cijelim brojem, na osnovu dobijenih rezultata. Često dobijene informacije smanjuju mogućnosti skupova rješenja jednadžbe. Razmotrimo primjere:

№1 Dokažite da je jednačina x 2 = 3y + 2 nema rješenja u cijelim brojevima.

Dokaz.

Razmotrimo slučaj gdje je x, y ∈ N. Razmotrimo ostatak obje strane podijeljen sa 3. Desna strana jednačine daje ostatak od 2 kada se podijeli sa 3 za bilo koju vrijednost y. Lijeva strana, koja je kvadrat prirodnog broja, kada se podijeli sa 3, uvijek daje ostatak od 0 ili 1. Na osnovu ovoga zaključujemo da ova jednačina ne postoji u prirodnim brojevima.

Razmotrimo slučaj kada je jedan od brojeva jednak 0. Tada, očigledno, nema rješenja u cijelim brojevima.

Slučaj kada je y negativan cijeli broj nema rješenja, jer desna strana će biti negativna, a lijeva pozitivna.

Slučaj kada je x negativan cijeli broj također nema rješenja, jer spada u jedan od ranije razmatranih slučajeva zbog činjenice da je (-x) 2 = (x) 2 .

Ispostavilo se da navedena jednačina nema rješenja u cijelim brojevima, što je i trebalo dokazati.

№2 Riješi u cijelim brojevima 3 X = 1 + y 2 .

Nije teško vidjeti da je (0; 0) rješenje ove jednačine. Ostaje dokazati da jednačina nema druge cjelobrojne korijene.

Razmotrite slučajeve:

1) Ako je x∈N, y∈N, tada je Z djeljivo sa tri bez ostatka, a 1 + y 2 kada se podijeli sa 3 daje

ostatak je ili 1 ili 2. Dakle, jednakost za pozitivne cijele brojeve

vrijednosti x, y je nemoguće.

2) Ako je x negativan cijeli broj, y∈Z, tada je 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

jednakost je takođe nemoguća. Dakle, (0; 0) je jedino

Odgovor: (0; 0).

№3 Riješite jednačinu 2x 2 -2xy+9x+y=2 u cijelim brojevima:

Izrazimo iz jednačine nepoznatu koja u nju ulazi samo do prvog stepena, odnosno varijablu y:

2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, odakle

Odabiremo cijeli broj razlomka koristeći pravilo za dijeljenje polinoma polinomom "ugao". Dobijamo:

Očigledno, razlika 2x-1 može poprimiti samo vrijednosti -3, -1, 1 i 3.

Ostaje da nabrojimo ova četiri slučaja, kao rezultat kojih dobijamo rješenja: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Odgovor: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. Primjer rješavanja jednadžbi s dvije varijable u cijelim brojevima kao kvadratne u odnosu na jednu od varijabli

№1 Riješite jednačinu 5x u cijelim brojevima 2 +5g 2 + 8xy+2y-2x +2=0

Ova jednadžba se može riješiti metodom faktorizacije, međutim, ova metoda, primijenjena na ovu jednačinu, je prilično naporna. Razmotrimo racionalniji način.

Zapisujemo jednačinu u obliku kvadrata u odnosu na varijablu x:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Pronalazimo njegove korijene.

Ova jednadžba ima rješenje ako i samo ako je diskriminanta

ove jednačine jednaka je nuli, tj. - 9(y+1) 2 =0, dakle y= - 1.

Ako je y=-1, tada je x=1.

Odgovor: (1; - 1).

9. Primjer rješavanja zadataka pomoću jednačina u cijelim brojevima.

№ 1. Riješite jednačinu prirodnim brojevima : gdje je n>m

Izrazimo varijablu n u terminima varijable m:

Nađimo djelitelje broja 625: ovo je 1; 5; 25; 125; 625

1) ako je m-25 =1, onda je m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, zatim m=30, n=150

3) m-25 =25, zatim m=50, n=50

4) m-25 =125, zatim m=150, n=30

5) m-25 =625, zatim m=650, n=26

Odgovor: m=150, n=30

№ 2. Riješite jednačinu prirodnim brojevima: mn +25 = 4m

Rješenje: mn +25 = 4m

1) izraziti varijablu 4m u terminima n:

2) naći prirodne delioce broja 25: ovo je 1; 5; 25

ako je 4-n=1, onda je n=3, m=25

4-n=5, zatim n=-1, m=5; 4-n =25, zatim n=-21, m=1 (strani korijeni)

Odgovor: (25;3)

Pored zadataka za rješavanje jednadžbe u cijelim brojevima, postoje zadaci za dokazivanje činjenice da jednačina nema cjelobrojne korijene.

Prilikom rješavanja takvih problema potrebno je zapamtiti sljedeća svojstva djeljivosti:

1) Ako je n Z; n je deljivo sa 2, tada je n = 2k, k ∈ Z.

2) Ako je n ∈ Z; n nije deljivo sa 2, tada je n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Ako je n ∈ Z; n je deljivo sa 3, tada je n = 3k, k ∈ Z.

4) Ako je n ∈ Z; n nije deljivo sa 3, tada je n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Ako je n ∈ Z; n nije djeljivo sa 4, tada je n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Ako je n ∈ Z; n(n+1) je deljivo sa 2, tada je n (n+1)(n+2) deljivo sa 2;3;6.

7) n; n+1 su međusobno prosti.

№3 Dokažite da je jednačina x 2 - 3y = 17 nema cjelobrojnih rješenja.

dokaz:

Neka x; y - rješenja jednačine

x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y ∈ Z onda je y+6 ∈ Z, pa je 3(y+6) deljivo sa 3, pa 3(y+6)-1 nije deljivo sa 3, dakle x 2 nije deljivo sa 3, dakle x nije djeljivo sa 3, pa je x = 3k±1, k ∈ Z.

Zamijenite ovo u originalnu jednačinu.

Imamo kontradikciju. To znači da jednačina nema cjelovita rješenja, što je trebalo dokazati.

10.Peak Formula

Pikovu formulu otkrio je austrijski matematičar Georg Pick 1899. godine. Formula je povezana sa jednadžbama u cijelim brojevima po tome što se iz poligona uzimaju samo cjelobrojni čvorovi, kao i cijeli brojevi u jednadžbama.

Koristeći ovu formulu, možete pronaći površinu figure izgrađene na listu u ćeliji (trokut, kvadrat, trapez, pravougaonik, poligon).

U ovoj formuli ćemo pronaći cijele točke unutar poligona i na njegovoj granici.

U zadacima koji će biti na ispitu postoji čitava grupa zadataka u kojima se daje poligon izgrađen na listu u ćeliji i postavlja se pitanje nalaženja površine. Skala ćelije je jedan kvadratni centimetar.

Primjer #1

M - broj čvorova na granici trokuta (na stranama i vrhovima)

N je broj čvorova unutar trougla.

*Pod "čvorovima" podrazumevamo presek linija. Pronađite površinu trokuta:

Obratite pažnju na čvorove:

M = 15 (označeno crvenom bojom)

N = 34 (označeno plavom bojom)

Primjer #2

Pronađite površinu poligona: Obratite pažnju na čvorove:

M = 14 (označeno crvenom bojom)

N = 43 (označeno plavom bojom)

12. Metoda spuštanja

Jedna od metoda za rješavanje jednačina u cijelim brojevima - metoda spuštanja - zasniva se na Fermatovoj teoremi.

Metoda spuštanja je metoda koja se sastoji u konstruisanju jednog rješenja beskonačnog niza rješenja sa beskonačno opadajućim pozitivnim z.

Razmotrit ćemo algoritam ove metode na primjeru rješavanja određene jednadžbe.

Primjer 1. Riješite jednačinu u cijelim brojevima 5x + 8y = 39.

1) Odaberimo nepoznatu koja ima najmanji koeficijent (u našem slučaju to je x) i izrazimo je u terminima druge nepoznate:

2) Izaberite celobrojni deo: Očigledno, x će biti ceo broj ako se pokaže da je izraz ceo broj, što će se zauzvrat dogoditi kada je broj 4 - 3y deljiv sa 5 bez ostatka.

3) Hajde da uvedemo dodatnu cjelobrojnu varijablu z na sljedeći način: 4 -3y = 5z. Kao rezultat, dobijamo jednačinu istog tipa kao i originalna, ali sa manjim koeficijentima.

4) Već ga rješavamo s obzirom na varijablu y, argumentirajući potpuno isto kao u paragrafima 1, 2: Odabirom cijelog broja, dobijamo:

5) Raspravljajući slično prethodnoj, uvodimo novu varijablu u: 3u = 1 - 2z.

6) Nepoznatu izraziti najmanjim koeficijentom, u ovom slučaju varijablu z: . Zahtevajući da bude ceo broj, dobijamo: 1 - u = 2v, odakle je u = 1 - 2v. Nema više razlomaka, spuštanje je završeno (nastavljamo proces sve dok u izrazu za sljedeću varijablu ne preostane razlomaka).

7) Sada treba da "idete gore". Izrazite kroz varijablu v prvo z, zatim y pa x:

8) Formule x = 3+8v i y = 3 - 5v, gdje je v proizvoljan cijeli broj, predstavljaju opće rješenje originalne jednačine u cijelim brojevima.

Dakle, metoda spuštanja uključuje prvo sekvencijalno izražavanje jedne varijable kroz drugu, sve dok u prikazu varijable ne preostanu razlomci, a zatim, sekvencijalno „uzdizanje“ duž lanca jednakosti kako bi se dobilo opšte rješenje jednačine.

12. Zaključak

Kao rezultat istraživanja, potvrđena je hipoteza da su poteškoće u rješavanju jednačina u cijelim brojevima posljedica činjenice da mi nisu bile poznate sve metode njihovog rješavanja. U toku istraživanja uspio sam pronaći i opisati malo poznate načine rješavanja jednačina u cijelim brojevima, ilustrovati ih primjerima. Rezultati mog istraživanja mogu biti korisni svim studentima koje zanima matematika.

13. Bibliografija

Izvori knjiga:

1. N. Ya. Vilenkin et al., Algebra i matematička analiza / 10. razred, 11. razred / / M., “Prosveščenie”, 1998;

2. A. F. Ivanov i dr., Matematika. Obrazovni materijali i materijali za obuku za pripremu ispita // Voronjež, GOUVPO VSTU, 2007.

3. A. O. Gel’fond, Matematika, teorija brojeva// Rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima// LIBROCOM Book House

Internet resursi:

4. Demo opcije kontrolno mjerni materijali jedinstvenog državnog ispita iz matematike http://fipi.ru/

5. Primjeri rješenja jednačina u cijelim brojevima http://reshuege.ru

6. Primjeri rješenja jednačina u cijelim brojevima http://mat-ege.ru

7. Istorija Diofantovih jednačina http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Istorija Diofanta http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9.Istorija diofantovskih jednadžbihttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Istorija Diofanta http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

1.3 Načini rješavanja jednačina

Kod rješavanja jednadžbi u cjelobrojnim i prirodnim brojevima možemo uslovno razlikovati sledećim metodama:

1. Način nabrajanja opcija.

2. Euklidov algoritam.

3. Kontinuirani razlomci.

4. Metoda faktorizacije.

5. Rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima kao kvadrata u odnosu na neku varijablu.

6. Metoda ostataka.

7. Metoda beskonačnog spuštanja.

Poglavlje 2

1. Primjeri rješavanja jednačina.

2.1 Euklidov algoritam.

Zadatak 1 . Riješite jednačinu u cijelim brojevima 407 X – 2816y = 33.

Koristimo kompajlirani algoritam.

1. Koristeći Euklid algoritam, nalazimo najveći zajednički djelitelj brojeva 407 i 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Prema tome (407,2816) = 11, sa 33 deljivo sa 11

2. Podijelite obje strane originalne jednačine sa 11 da biste dobili jednačinu 37 X – 256y= 3, i (37, 256) = 1

3. Koristeći Euklidski algoritam, nalazimo linearni prikaz broja 1 kroz brojeve 37 i 256.

256 = 37 6 + 34;

Izrazimo 1 iz posljednje jednakosti, a zatim ćemo uzastopno rastući jednakosti izraziti 3; 34 i zamijenite rezultirajuće izraze u izraz za 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83 37 – 256 (–12)

Dakle, 37 (- 83) - 256 (-12) = 1, dakle par brojeva x 0= – 83 i u 0= – 12 je rješenje jednačine 37 X – 256y = 3.

4. Zapišite opću formulu za rješenja izvorne jednačine

gdje t- bilo koji cijeli broj.

2.2 Način nabrajanja opcija.

Zadatak 2. Zečevi i fazani sjede u kavezu, imaju ukupno 18 nogu. Saznajte koliko je tih i drugih u ćeliji?

Rješenje: Sastavlja se jednadžba sa dvije nepoznate varijable, u kojoj je x broj zečeva, y broj fazana:

4x + 2y = 18, ili 2x + y = 9.

Express at kroz X : y \u003d 9 - 2x.

Dakle, problem ima četiri rješenja.

odgovor: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Metoda faktoringa.

Nabrajanje opcija pri pronalaženju prirodnih rješenja jednadžbe s dvije varijable pokazuje se vrlo mukotrpnim. Također, ako je jednačina cijeli rješenja, nemoguće ih je nabrojati, jer takvih rješenja ima beskonačan broj. Stoga ćemo pokazati još jedan trik - metoda faktorizacije.

Zadatak 3. Riješite jednačinu u cijelim brojevimay 3 - x 3 = 91.

Rješenje. 1) Koristeći skraćene formule za množenje, dekomponiramo desnu stranu jednačine na faktore:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) Napiši sve djelioce broja 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

3) Mi sprovodimo istraživanje. Imajte na umu da za bilo koji cijeli broj x i y broj

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

dakle, oba faktora na lijevoj strani jednačine moraju biti pozitivna. Tada je jednačina (1) ekvivalentna skupu sistema jednačina:

4) Rešavanjem sistema dobijamo: prvi sistem ima rešenja (5; 6), (-6; -5); treći (-3; 4),(-4; 3); drugo i četvrto rješenje u cijelim brojevima nemaju.

odgovor: jednačina (1) ima četiri rješenja (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Zadatak 4. Pronađite sve parove prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednačinu

Rješenje. Faktoriziramo lijevu stranu jednačine i zapišemo jednačinu kao

Jer djelitelji broja 69 su brojevi 1, 3, 23 i 69, tada se 69 može dobiti na dva načina: 69=1 69 i 69=3 23. S obzirom na to

Prvi sistem ima rešenje

odgovor:

Zadatak 5. Riješite jednačinu u cijelim brojevima:

Rješenje. Zapisujemo jednačinu u obliku

Faktorizujmo lijevu stranu jednačine. Get

Proizvod dva cijela broja može biti jednak 1 samo u dva slučaja: ako su oba jednaka 1 ili -1. Dobijamo dva sistema:

Prvi sistem ima rješenje x=2, y=2, a drugi sistem ima rješenje x=0, y=0.

odgovor:

Zadatak 6. Riješite jednačinu u cijelim brojevima

Rješenje. Ovu jednačinu zapisujemo u obliku

Lijevu stranu jednačine rastavljamo na faktore metodom grupisanja, dobijamo

Proizvod dva cijela broja može biti jednak 7 u sljedećim slučajevima:

7=1 7=7 1=-1 (-7)=-7 (-1) Tako dobijamo četiri sistema:

Rješenje prvog sistema je par brojeva x = - 5, y = - 6. Rješavanjem drugog sistema dobijamo x = 13, y = 6. Za treći sistem rješenje su brojevi x = 5, y = 6. Četvrti sistem ima rješenje x = - 13, y = - 6.

Zadatak 7. Dokažite da je jednačina ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nije

Posljednji video je bio posvećen linearnim jednačinama koje sadrže dvije varijable. Razmotrili smo glavna svojstva takvih izraza, mogućnosti njihove transformacije i rješenja, kao i grafički prikaz zavisnosti između dve varijable.

Poznato je da velika većina ovih jednačina ima skup odgovora, uvijek predstavljenih parom brojeva. Ovaj par je vrijednosti x i y. Razmotrite moguće varijante korijena jednadžbe sljedećeg oblika:

Očigledno, par (4, 6) može biti korijen ove jednadžbe:

Ili razlomci 1/5 i 1/3:

5(1/5) - 3(1/3) = 2

U oba slučaja dobija se tačna jednakost, što znači da su oba para korijena prihvatljiva kao rješenje prikazane jednačine. Ali u isto vrijeme, jedan par su razlomci, a drugi je predstavljen cijelim brojevima. Korijeni jednadžbi s dvije varijable koje imaju vrijednosti u cijelim brojevima nazivaju se cijeli brojevi.
Vrlo često u matematici postoje problemi koji zahtijevaju cjelobrojna rješenja takvih jednačina. S druge strane, neke varijacije poput:

nemaju celinu numerička rješenja općenito. Budući da za bilo koje cjelobrojne vrijednosti x i y dobijate cijeli broj opšti izraz lijeva strana (2x + 3y), koja ni na koji način ne može biti jednaka razlomku - odnosno prekršit će se princip očuvanja jednakosti.
Razmotrite moguća rješenja jednačine:

Prevedimo ga u oblik zavisnosti koristeći prijenos kroz znak jednakosti i identične transformacije:

Sasvim je očito da je očuvana jednakost oblika:

Gdje je n bilo koji prirodan broj, koji može biti cijeli broj u vrijednosti. Odnosno, jednadžba 7x - y \u003d -1 ima skup cjelobrojnih rješenja. Provjerimo sve cijele brojeve kao x:

x = -3; y = -26

Već znamo opću apstraktnu formulu za definiranje bilo koje linearne jednadžbe u dvije varijable:

Gdje su x i y varijable, a i b su koeficijenti varijabli, a c je slobodan termin. Svaka jednačina slična linearnim izrazima sa x i y može se svesti na takav apstraktni oblik ekvivalentnim transformacijama. Detaljna studija opšta formula olakšava identifikaciju nekih obrazaca u smislu prisustva cjelobrojnih rješenja. Dakle, ako je data neka jednačina oblika:

U kojem je slobodni član razlomak, tada korijeni jednadžbe ne mogu biti integralni numerički izrazi. Zbir ili razlika dva cijela broja, prema zakonu elementarne algebre, ne može biti jednaka frakcijskom izrazu.

Zbog velikog broja moguća rješenja, korijeni jednadžbi s dvije varijable ponekad imaju oblik ne para pojedinačnih brojeva, već para dvije pojedinačne formule - za x i za y. Na primjer, riješimo jednačinu:

Da bismo to učinili, potrebno je izvršiti niz transformacija. Razbijmo monom 20x na identičan zbir 18x + 2x:

20x = 18x + 2x

18x + 2x + 3y = 10

Grupiramo monome koji imaju više numeričkih koeficijenata. Vrijedi napomenuti da se varijabla x mora podijeliti na zbir kako bi se x dobio sa što većim koeficijentom i višekratnikom numeričkog koeficijenta varijable y. Budući da u našem primjeru kod y postoji trojka, onda razbijamo x sa maksimalnim dozvoljenim koeficijentom, višekratnim od tri. Nakon grupiranja, izvlačimo zajednički višestruki faktor:

18x + 2x + 3y = 10

18x + 3y + 2x = 10

3(6x + y) + 2x = 10

Neka je izraz u zagradama (6x + y) jednak nekoj varijabli c, tada:

3(6x + y) + 2x = 10

Vrijednost varijable c dijelimo po istom principu kao što dijelimo koeficijent za x. U ovom slučaju trebamo odabrati određeni broj koji će biti višekratnik dva (vrijednost na 2x), ali ne veći od tri. Očigledno će biti ovako:

2s + s + 2x = 10

Vršimo iste promjene:

2s + s + 2x = 10

2(c + x) + c = 10

Označimo sadržaj zagrada sa n, tada:

2(c + x) + c = 10

Dobivenu jednakost umjesto sa:

3(10 - 2n) + 2x = 10

I rješavamo rezultirajuću jednadžbu za varijablu x:

3(10 - 2n) + 2x = 10

30 - 6n + 2x = 10

2x \u003d 10 + 6n - 30

Prikladno je napisati:

6x + y \u003d n - x

Zamjenjujemo formulu koju znamo za x da izračunamo y:

6x + y \u003d n - x

6(- 10 + 3n) + y = n - (- 10 + 3n)

60 + 18n + y = n + 10 - 3n

y \u003d n + 10 - 3n + 60 - 18n

Korijeni jednačine 20x + 3y = 10 su dva izraza oblika:

Gdje je n bilo koji cijeli broj - 0, 1, 2, itd. Dakle, da se opiše čitav niz mogućih cjelobrojnih rješenja, najlakši način je izračunati neke formule za brzo izračunavanje x i y. Zamjenom bilo kojeg izraza n u ove formule, možete lako dobiti željeni par brojeva.