Darsning maqsadi: o‘quvchilarning sonning logarifmi, uning xossalari haqidagi bilimlarini takrorlash; mashqlar bajarishda logarifmik tenglamalarni yechish va ularni mustahkamlash usullarini o‘rganish.

Vazifalar:

Tarbiyaviy: logarifmlarning ta’rifi va asosiy xossalarini takrorlash, logarifmlarni hisoblashda, logarifmik tenglamalarni yechishda qo‘llay bilish;

Rivojlantiruvchi: logarifmik tenglamalarni yechish qobiliyatini shakllantirish;

Tarbiyaviy: qat'iyatlilik, mustaqillikni tarbiyalash; mavzuga qiziqish uyg'otish

Dars turi: dars yangi materialni o'rganish.

Kerakli texnik jihozlar:kompyuter, proyektor, ekran.

Darsning tuzilishi va borishi:

1. Tashkiliy vaqt.

O'qituvchi.

Salom, joy oling! Bugun darsimizning mavzusi "Logarifmik tenglamalarni yechish" bo'lib, unda logarifmlarning ta'rifi va xossalari yordamida ularni yechish yo'llari bilan tanishamiz.(slayd raqami 1)

1. og'zaki ish.

Logarifm tushunchasini mustahkamlash, uning asosiy xossalari va logarifmik funksiya xossalarini takrorlash:

1. Nazariy isinish:

1. Logarifmni aniqlang.(slayd raqami 2)

2. Har qanday sonning logarifmini topish mumkinmi?

3. Logarifm negizida qanday son bo'lishi mumkin?

4. Funktsiya y=log 0,8 x ortib bormoqda yoki kamaymoqda? Nima uchun?

5. Logarifmik funksiya qanday qiymatlarni olishi mumkin?

6. Qanday logarifmlar o'nlik, natural deyiladi?

7. Logarifmlarning asosiy xossalari nimalardan iborat.(slayd raqami 3)

8. Logarifmning bir asosidan ikkinchisiga o‘tish mumkinmi? Buni qanday qilish kerak?(slayd raqami 4)

2. Karta ustida ishlash (3-4 talaba):

1-karta raqami: Hisoblang: a) jurnal 6 4 + log 6 9 =

B) log 1/3 36 - log 1/3 12 =

Tenglamani yeching: log 5 x \u003d 4 log 5 3 - 1/3 log 5 27

№2 karta:

Hisoblang: a) log211 - log244 =

B) log1/64 + log1/69 =

Tenglamani yeching: log 7 x \u003d 2 log 7 5 + 1/2 log 7 36 - 1/3 log 7 125.

Frontal sinf so'rovi (og'zaki mashqlar)

Hisoblang: (slayd raqami 5)

Raqamlarni solishtiring: (slayd raqami 6)

1. log ½ e va log ½ p;
2. log 2 √5/2 va log 2 √3/2.

Ifodaning belgisini toping log 0,8 3 log 6 2/3. (slayd raqami 7)

1. Uy vazifasini tekshirish:

Uyga quyidagi mashqlar tayinlandi: 327 (soatsiz), 331 (soatsiz), 333 (2) va 390 (6). Ushbu topshiriqlarning javoblarini tekshiring va talabalarning savollariga javob bering.

1. Yangi materialni o'rganish:

Ta'rif: Logarifm belgisi ostida o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglama logarifmik tenglama deyiladi.

Logarifmik tenglamaning eng oddiy misoli tenglamadir
jurnal a x \u003d c (a\u003e 0, a ≠ 1)
Logarifmik tenglamalarni yechish usullari:(slayd raqami 8)

1. Logarifmni aniqlash asosida tenglamalarni yechish.(slayd raqami 9)

log a x = c (a > 0, a≠ 1) x = a yechimga ega Bilan.

Logarifmning ta'rifiga asoslanib, tenglamalar echiladi, unda:

• asoslar va sonni hisobga olgan holda, logarifm aniqlanadi,
• Logarifm va asosni hisobga olgan holda, raqam aniqlanadi
• asos berilgan son va logarifm bilan aniqlanadi.

Misollar:

log 2 128= x, log 16 x = ¾, log x 27= 3,

2 x \u003d 128, x \u003d 16 ¾, x 3 \u003d 27,

2 x \u003d 2 7, x \u003d 2 3, x 3 \u003d 3 3,

x \u003d 7. x = 8. x = 3.

a) jurnal 7 (3x-1)=2 (javob: x=3 1/3)

b) jurnal 2 (7-8x)=2 (javob: x=3/8).

1. potentsiallashtirish usuli.(slayd raqami 10)

Potentsiyalash deganda logarifmlarni o'z ichiga olgan tenglikdan ularni o'z ichiga olmaydigan tenglikka o'tish tushuniladi, ya'ni.

Log a f(x) = log a g(x), keyin f(x) = g(x), sharti f(x)>0, g(x)>0, a>0, a≠ 1.

Misol:

Tenglamani yeching =

ODZ:

3x-1>0; x>1/3

6x+8>0.

3x-1=6x+8

3x=9

x=-3

3 >1/3 - noto'g'ri

Javob: Hech qanday yechim yo'q.

lg (x 2 -2) \u003d lg x (javob: x \u003d 2)

1. Asosiy logarifmik identifikatsiyani qo'llash orqali echilgan tenglamalar.(slayd raqami 11)

Misol:

Tenglamani yeching=log 2 (6-x)

ODZ:

6-x>0;

x>0;

x≠1;

log 2 x 2 >0;

x 2 >0.

Tizim yechimi: (0;1)Ụ (1;6).

Jurnal 2 (6-x)

x 2 = 6 x

x 2 + x-6 = 0

x=-3 ODZga tegishli emas.

x=2 ODZga tegishli.

Javob: x=2

Sinf bilan quyidagi tenglamani yeching:

= (javob: x=1)

1. Logarifmlarni bir xil asosga qisqartirish usuli.(slayd raqami 12)

Misol:

Log tenglamasini yeching 16 x+ log 4 x+ log 2 x=7

ODZ: x>0

¼ log 2 x+½ log 2 x+ log 2 x=7

7/4 log 2 x=7

log 2 x=4

x=16 – ODZga tegishli.

Javob: x=16.

Quyidagi tenglamani sinf bilan yeching:

3 (javob: x=5/3)

1. Logarifm xossalarini qo‘llash orqali yechilgan tenglamalar.(slayd raqami 13)

Misol:

Log tenglamasini yeching 2 (x +1) - log 2 (x -2) = 2.

ODZ:

x+1>0;

x-2>0. x>1.

Biz qismning logarifmining logarifmlari farqini o'zgartirish uchun formuladan foydalanamiz, logni olamiz 2 = 2, bundan kelib chiqadi= 4.

Oxirgi tenglamani echib, biz x \u003d 3, 3\u003e 1 - o'ngni topamiz

Javob: x = 3.

Quyidagi tenglamalarni sinf bilan yeching:

a) log 5 (x + 1) + log 5 (x +5) = 1 (javob: x=0).

b) log 9 (37-12x) log 7-2x 3 = 1,

37-12x >0, x

7-2x >0, x

7-2x≠ 1; x≠ 3; x≠ 3;

Jurnal 9 (37-12x) / log 3 (7-2x) = 1,

½ log 3 (37-12x) = log 3 (7-2x),

Jurnal 3 (37-12x) = log 3 (7-2x) 2,

37-12x \u003d 49 -28x + 4x 2,

4x 2 -16x +12 \u003d 0,

X 2 -4x +3 \u003d 0, D \u003d 19, x 1 \u003d 1, x 2 =3, 3 - begona ildiz.

Javob: x=1 - tenglamaning ildizi.

C) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) = lg9.

(x 2 -6x + 9) > 0, x ≠ 3,

X-7 >0; x>7; x>7.

Lg ((x-3)/(x-7)) 2 = lg9

((x-3)/(x-7)) 2 = 9,

(x-3) / (x-7) \u003d 3, (x-3) / (x-7) \u003d - 3,

x-3 \u003d 3x -21, x -3 \u003d - 3x +21,

x=9. x=6 - begona ildiz.

Tekshirish tenglamaning 9 ildizini ko'rsatadi.

Javob: 9

1. Yangi o'zgaruvchini kiritish orqali yechilgan tenglamalar.(slayd raqami 14)

Misol:

lg tenglamasini yeching 2 x - 6lgx + 5 \u003d 0.

ODZ: x>0.

lgx = p, keyin p bo'lsin 2 -6p+5=0.

p 1 =1, p 2 =5.

O'zgartirishga qaytish:

lgx = 1, lgx =5

x=10, 10>0 – rost x=100000, 100000>0 – rost

Javob: 10, 100000

Quyidagi tenglamani sinf bilan yeching:

Log 6 2 x + log 6 x +14 \u003d (√16 - x 2) 2 + x 2,

16 - x 2 ≥0; - 4≤ x ≤ 4;

X>0, x>0, O.D.Z. [0,4).

Jurnal 6 2 x + log 6 x +14 \u003d 16 - x 2 + x 2,

Log 6 2 x + log 6 x -2 = 0

Jurnal 6 x = t ni almashtiring

T 2 + t -2 \u003d 0; D=9; t 1 \u003d 1, t 2 \u003d -2.

Jurnal 6 x = 1, x = 6 - begona ildiz.

Jurnal 6 x=-2, x=1/36, tekshirish 1/36 ildiz ekanligini ko'rsatadi.

Javob: 1/36.

1. Faktoring yordamida yechilgan tenglamalar.(slayd raqami 15)

Misol:

Log tenglamasini yeching 4 (2x-1) ∙ log 4 x \u003d 2 log 4 (2x-1)

ODZ:

2x-1>0;

X>0. x>½.

log 4 (2x-1)∙ log 4 x - 2 log 4 (2x-1)=0

log 4 (2x-1)∙(log 4 x-2)=0

log 4 (2x-1)=0 yoki log 4 x-2=0

2x-1=1 log 4 x = 2

x=1 x=16

1;16 - ODZga tegishli

Javob: 1;16

Quyidagi tenglamani sinf bilan yeching:

log 3 x ∙log 3 (3x-2)= log 3 (3x-2) (javob: x=1)

1. Tenglamaning ikkala qismining logarifmini olish usuli.(slayd raqami 16)

Misol:

Tenglamalarni yechish

3-asosdagi tenglamaning ikkala tomonining logarifmini oling.

Biz log 3 = log 3 ni olamiz (3x)

biz olamiz: log 3 x 2 log 3 x \u003d log 3 (3x),

2log 3 x log 3 x = log 3 3+ log 3 x,

2 log 3 2 x \u003d log 3 x +1,

2 log 3 2 x - log 3 x -1=0,

log 3 x = p, x > 0 ni almashtiring

2 p 2 + p -2 \u003d 0; D=9; p 1 \u003d 1, p 2 \u003d -1/2

Jurnal 3 x = 1, x=3,

log 3 x \u003d -1/2, x \u003d 1 / √3.

Javob: 3; 1/√3

Quyidagi tenglamani sinf bilan yeching:

Jurnal 2 x - 1

x \u003d 64 (javob: x \u003d 8; x \u003d 1/4)

1. Funktsional jihatdan - grafik usuli. (slayd raqami 17)

Misol:

Tenglamalarni yechish: log 3 x = 12 x.

y = log funktsiyasi bo'lgani uchun 3 x ortib bormoqda va y = 12-x funksiyasi (0; + ∞) da kamaymoqda, keyin berilgan tenglama bu oraliqda bitta ildiz bor.

Bitta koordinatalar tizimida ikkita funktsiyaning grafiklarini tuzamiz: y = log 3 x va y = 12 x.

x=10 da berilgan tenglama 1=1 to‘g‘ri sonli tenglikka aylanadi. Javob: x=10.

Quyidagi tenglamani sinf bilan yeching:

1-√x \u003d ln x (javob: x \u003d 1).

1. Xulosa qilish, mulohaza yuritish (doiralarni tarqating, ularda bolalar o'zlarining kayfiyatlarini rasm bilan belgilaydilar).(slayd raqami 18,19)

Tenglamani yechish usulini aniqlang:

1. Uyga vazifa: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1)

Adabiyot

1. Ryazanovskiy, A.R. Matematika. 5 - 11 sinflar: Matematika darsi uchun qo'shimcha materiallar / A.R.Ryazanovskiy, E.A.Zaytsev. - 2-nashr, stereotip. - M .: Bustard, 2002 yil
2. Matematika. "Birinchi sentyabr" gazetasiga qo'shimcha. 1997 y. No 1, 10, 46, 48; 1998 yil. No 8, 16, 17, 20, 21, 47-moddalar.
3. Skorkina, N.M. Sinfdan tashqari ishlarning nostandart shakllari. O'rta va o'rta maktab uchun / N.M. Skorkin. - Volgograd: O'qituvchi, 2004 yil
4. Ziv, B.G., Goldich, V.A. Didaktik materiallar 10-sinf uchun algebra va tahlilning boshlanishi haqida./B.G.Ziv, V.A.Goldich. - 3-nashr, tuzatilgan. - Sankt-Peterburg: "CheRo-on-Neva", 2004 yil
5. Algebra va tahlilning boshlanishi: Texnik maktablar uchun matematika / ed. G.N.Yakovleva.-M.: Nauka, 1987 yil

Ko‘rib chiqish:

Taqdimotlarni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini (hisobini) yarating va tizimga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Logarifmik tenglamalarni yechish usullari Matematika o`qituvchisi: Plotnikova T.V. MBOU "Suzdal 1-sonli o'rta maktab"

Ta'rif musbat b sonining a asosiga logarifmi, bu erda a>0, a≠1, shunday ko'rsatkich c bo'lib, b olish uchun uni ko'tarish kerak.

Logarifmlarning xossalari log a 1 = 0 log a a = 1 log a (x y)= log a x + log a y 3

Asosiy uzatish formulalari 4

Hisoblang: 5

6 solishtiring

7 Raqamning belgisini aniqlang:

Logarifmik tenglamalarni yechishning asosiy usullari

1. l og 2 logarifm ta’rifidan foydalanib 128= x log x 27= 3 Quyidagi tenglamalarni yeching: a) log 7 (3x-1)=2 b) log 2 (7-8x)=2 9

2. Potensiyalash usuli Quyidagi tenglamani yechamiz: lg (x 2 -2) = lg x 10 2

11 3. Asosiy logarifmik tenglikni qo‘llash orqali yechilgan tenglamalar Quyidagi tenglamani yechamiz: 1.

12 4 . Logarifmlarni bir xil asosiy logga qisqartirish usuli 16 x + log 4 x + log 2 x = 7 Quyidagi tenglamani yeching:

13 5. log 2 (x +1) - log 2 (x -2) \u003d 2 logaritma xossalarini qo‘llash orqali yechilgan tenglamalar Quyidagi tenglamalarni yechamiz: a) l og 5 (x +1) + log 5 ( x +5) \u003d 1 b) log 9 (37-12x) log 7-2x 3 \u003d 1 c) lg (x 2 -6x + 9) - 2lg (x - 7) \u003d lg9 0 1 9

6. Yangi l g 2 x - 6lgx +5 = 0 o'zgaruvchini kiritish orqali yechilgan tenglamalar Quyidagi tenglamalarni yechamiz: log 6 2 x + log 6 x +14 = (√16 - x 2) 2 + x 2 14

15 7. Faktoring orqali yechilgan tenglamalar log 4 (2x-1)∙ log 4 x =2 log 4 (2x-1) Quyidagi tenglamalarni yeching: log 3 x ∙ log 3 (3x-2)= log 3 ( 3x-2) ) 1

8. Logarifm usuli Quyidagi tenglamani yechamiz: 16

9. Funktsional - grafik usul log 3 x = 12-x Quyidagi tenglamani yechamiz: 17 1.

Tenglamani yechish usulini aniqlang: Tenglama: Logarifmning boshqa bazisga o‘tishini aniqlash usulini faktorizatsiya potensiyalash. Yangi o‘zgaruvchining boshqa bazisga o‘tishini kiritish Logarifm grafikasining xususiyatlaridan foydalanish 18

Ha! Va bu logarifmik tenglamalarni kim o'ylab topdi! Men hamma narsani qila olaman !!! Yana bir nechta misol kerakmi? Mulohaza 19

Kirish

Matematika darslarida aqliy yuklamaning ortishi bizni o‘quvchilarning o‘rganilayotgan materialga qiziqishini, butun dars davomida faolligini qanday saqlab qolish haqida o‘ylashga majbur qiladi. Shu munosabat bilan o‘quvchilarning fikr-mulohazalarini faollashtiradigan, mustaqil bilim olishga undaydigan yangi samarali o‘qitish usullari va metodik usullari izlanmoqda.

O'quvchilarning katta qismi o'rtasida matematikaga qiziqishning paydo bo'lishi ko'p jihatdan uni o'qitish metodikasiga, o'quv ishining qanchalik mohirona qurilishiga bog'liq. O'quvchilar e'tiborini matematika nima o'rganayotganiga o'z vaqtida jalb qilish umumiy xususiyatlar Atrofdagi dunyoning ob'ektlari va hodisalari ob'ektlar bilan emas, balki mavhum tushunchalar bilan shug'ullanadi, matematika haqiqat bilan bog'liqlikni buzmasligini, aksincha, uni chuqurroq o'rganishga, umumlashtirilgan chizishga imkon berishini tushunishga erishish mumkin. amaliyotda keng foydalaniladigan nazariy xulosalar.

“Ochiq dars” pedagogik g‘oyalar festivalida qatnashgan 2004-2005 o'quv yili, “Logarifmik funksiya” (diplom No204044) mavzusida dars-ma’ruza taqdim etdim. Menimcha, bu usul ushbu alohida holatda eng muvaffaqiyatli hisoblanadi. O‘rganish natijasida o‘quvchilar mavzu bo‘yicha batafsil xulosa va qisqacha konspektga ega bo‘lib, keyingi darslarga tayyorlanishni osonlashtiradi. Xususan, logarifmik funksiya va uning xossalarini o‘rganishga to‘liq asoslangan “Logarifmik tenglamalarni yechish” mavzusi bo‘yicha.

Fundamental matematik tushunchalarni shakllantirishda talabalarda ularning har birini joriy etishning maqsadga muvofiqligi va ularni qo‘llash imkoniyatlari to‘g‘risida tasavvur hosil qilish muhim ahamiyatga ega. Buning uchun kontseptsiya ta'rifini shakllantirishda, uning mantiqiy tuzilishi ustida ishlashda ushbu tushunchaning paydo bo'lish tarixiga oid savollarni ko'rib chiqish kerak. Bunday yondashuv o‘quvchilarga yangi tushuncha voqelik faktlarini umumlashtirish vazifasini bajarishini tushunishga yordam beradi.

Logarifmlarning paydo bo'lish tarixi o'tgan yilgi ishda batafsil yoritilgan.

O`rta maxsus o`quv yurti va oliy o`quv yurtida matematika fanini o`qitishda uzviylikning muhimligini hamda o`quvchilarga qo`yiladigan yagona talablarga rioya qilish zarurligini inobatga olib, talabalarni logarifmik tenglamalar yechimi bilan tanishtirishda quyidagi usulni joriy etishni maqsadga muvofiq deb bilaman.

Logarifm belgisi ostida (xususan, logarifm asosida) o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar deyiladi. logarifmik. Quyidagi shakldagi logarifmik tenglamalarni ko'rib chiqing:

Bu tenglamalarni yechish quyidagi teoremaga asoslanadi.

Teorema 1. Tenglama tizimga teng

(2)

(1) tenglamani yechish uchun tenglamani yechish kifoya

va uning yechimlari tengsizliklar sistemasiga almashtiriladi

(1) tenglamani aniqlash sohasini aniqlash.

(1) tenglamaning ildizlari faqat (4) sistemani qanoatlantiradigan (3) tenglamaning yechimlari bo'ladi, ya'ni. (1) tenglamani aniqlash sohasiga tegishli.

Logarifmik tenglamalarni yechishda aniqlash sohasining kengayishi (tashqi ildizlarni olish) yoki torayishi (ildizlarni yo'qotish) sodir bo'lishi mumkin. Shuning uchun (3) tenglamaning ildizlarini (4) sistemaga almashtirish, ya'ni. yechimni tekshirish talab qilinadi.

1-misol: tenglamani yeching

Yechim:

Ikkala ma'no X tizim shartlarini qondirish.

Javob:

Formaning tenglamalarini ko'rib chiqing:

Ularning yechimi quyidagi teoremaga asoslanadi

2-teorema:(5) tenglama sistemaga ekvivalent

(6)

(5) tenglamaning ildizlari faqat tenglamaning ildizlari bo'ladi

shartlar bilan berilgan ta'rif sohasiga tegishli.

(5) ko'rinishdagi logarifmik tenglamani turli usullar bilan yechish mumkin. Keling, asosiylarini ko'rib chiqaylik.

1. POTENTIFIKATSIYA (logarifmning xossalarini qo'llash).

2-misol: tenglamani yeching

Yechim: 2-teoremaga ko'ra, bu tenglama tizimga ekvivalentdir:

Keling, tenglamani yechamiz:

Faqat bitta ildiz tizimning barcha shartlarini qondiradi. Javob:

2. LOGARIFM TA’RIFIDAN FOYDALANISH .

3-misol: Toping X, agar

Yechim:

Ma'nosi X= 3 tenglama sohasiga tegishli. Javob X = 3

3. KVADRAT TENGLAMAGA KAYTARISH.

4-misol: tenglamani yeching

Ikkala ma'no X tenglamaning ildizlaridir.

Javob:

4. LOGARITH.

5-misol: tenglamani yeching

Yechim: 10-asosdagi tenglamaning har ikki tomonining logarifmini olamiz va “daraja logarifmi” xossasini qo‘llaymiz.

Ikkala ildiz ham logarifmik funktsiyaning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'iga tegishli.

Javob: X = 0,1; X = 100

5. BIR ASOSGA KISHAYTIRISH.

6-misol: tenglamani yeching

Keling, formuladan foydalanamiz va barcha shartlarda 2-asosdagi logarifmga o'ting:

Keyin bu tenglama quyidagi shaklni oladi:

dan beri, u holda bu tenglamaning ildizidir.

Javob: X = 16

6. YORDAMCHI O‘ZGARTICHLARNI KIRISH.

Biz hammamiz tenglamalar bilan tanishmiz. boshlang'ich maktab. Hatto u erda biz eng oddiy misollarni yechishni o'rgandik va tan olish kerakki, ular hatto oliy matematikada ham o'z qo'llanilishini topadilar. Tenglamalar bilan hamma narsa oddiy, shu jumladan kvadrat. Agar ushbu mavzu bilan bog'liq muammolar mavjud bo'lsa, uni qaytadan sinab ko'rishingizni qat'iy tavsiya qilamiz.

Logarifmlardan siz ham o'tgansiz. Shunga qaramay, biz hali bilmaganlar uchun nima ekanligini aytib berishni muhim deb bilamiz. Logarifm, logarifm belgisining o'ng tomonidagi raqamni olish uchun asosni ko'tarish kerak bo'lgan kuchga tengdir. Keling, bir misol keltiraylik, unga asoslanib, sizga hamma narsa aniq bo'ladi.

Agar siz 3 ni to'rtinchi darajaga ko'tarsangiz, siz 81 ni olasiz. Endi raqamlarni analogiya bo'yicha almashtiring va nihoyat logarifmlar qanday yechilishini tushunasiz. Endi ikkita ko'rib chiqilgan tushunchani birlashtirishgina qoladi. Dastlab, vaziyat juda qiyin ko'rinadi, ammo yaqinroq tekshirilganda, vazn o'z joyiga tushadi. Ishonchimiz komilki, ushbu qisqa maqoladan so'ng siz imtihonning ushbu qismida hech qanday muammoga duch kelmaysiz.

Bugungi kunda bunday tuzilmalarni hal qilishning ko'plab usullari mavjud. Biz USE vazifalari uchun eng oddiy, eng samarali va eng qo'llaniladigan narsalar haqida gaplashamiz. Logarifmik tenglamalarni yechish eng oddiy misoldan boshlanishi kerak. Eng oddiy logarifmik tenglamalar funksiya va undagi bitta o‘zgaruvchidan iborat.

Shuni ta'kidlash kerakki, x argument ichida. A va b raqamlari bo'lishi kerak. Bunday holda siz funktsiyani darajali son bilan ifodalashingiz mumkin. Bu shunday ko'rinadi.

Albatta, logarifmik tenglamani shu tarzda yechish sizni to'g'ri javobga olib boradi. Ammo bu holatda talabalarning ko'pchiligining muammosi shundaki, ular nimadan va qaerdan kelib chiqqanligini tushunmaydilar. Natijada, siz xatolarga chidashingiz va kerakli ochkolarni olmaysiz. Agar siz harflarni joylarda aralashtirsangiz, eng haqoratli xato bo'ladi. Tenglamani shu tarzda yechish uchun ushbu standart maktab formulasini yodlab olishingiz kerak, chunki uni tushunish qiyin.

Buni osonlashtirish uchun siz boshqa usulga - kanonik shaklga murojaat qilishingiz mumkin. Fikr juda oddiy. Vazifaga yana e'tibor bering. Esda tutingki, a harfi funktsiya yoki o'zgaruvchi emas, balki raqamdir. A birga teng emas va noldan katta. b uchun hech qanday cheklovlar yo'q. Endi barcha formulalardan birini eslaymiz. B ni quyidagicha ifodalash mumkin.

Bundan kelib chiqadiki, logarifmli barcha dastlabki tenglamalar quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Endi biz logarifmlarni bekor qilishimiz mumkin. Natijada, biz allaqachon ko'rgan oddiy qurilish.

Ushbu formulaning qulayligi shundaki, uni eng oddiy dizaynlar uchun emas, balki turli xil holatlarda qo'llash mumkin.

OOF haqida tashvishlanmang!

Ko'pgina tajribali matematiklar biz ta'rif sohasiga e'tibor bermaganimizni payqashadi. Qoida F(x) ning 0 dan katta ekanligiga asoslanadi. Yo'q, biz bu nuqtani o'tkazib yubormadik. Endi biz kanonik shaklning yana bir jiddiy afzalligi haqida gapiramiz.

Bu erda qo'shimcha ildizlar bo'lmaydi. Agar o'zgaruvchi faqat bitta joyda paydo bo'lsa, u holda qamrov kerak emas. Avtomatik ishlaydi. Ushbu hukmni tasdiqlash uchun bir nechta oddiy misollarni hal qilishni ko'rib chiqing.

Turli asosli logarifmik tenglamalarni yechish usullari

Bu allaqachon murakkab logarifmik tenglamalar va ularni hal qilishda yondashuv alohida bo'lishi kerak. Bu erda kamdan-kam hollarda o'zimizni taniqli kanonik shakl bilan cheklashimiz mumkin. Keling, batafsil hikoyamizni boshlaylik. Bizda quyidagi qurilish mavjud.

Kasrga e'tibor bering. U logarifmni o'z ichiga oladi. Agar siz buni vazifada ko'rsangiz, bitta qiziqarli nayrangni eslab qolishingiz kerak.

Bu nima degani? Har bir logarifm qulay asosga ega bo'lgan ikkita logarifmdan iborat qism sifatida ifodalanishi mumkin. Va bu formula mavjud maxsus holat, bu misol uchun amal qiladi (agar c=b bo'lsa).

Bizning misolimizda aynan shu narsani ko'ramiz. Shunday qilib.

Darhaqiqat, ular kasrni aylantirib, qulayroq ifodaga ega bo'lishdi. Ushbu algoritmni eslang!

Endi biz logarifmik tenglamada turli asoslar bo'lmasligi kerak. Bazisni kasr sifatida ifodalaylik.

Matematikada bir qoida bor, unga asoslanib, siz bazadan darajani olishingiz mumkin. Quyidagi qurilish chiqadi.

Ko'rinib turibdiki, endi bizning ifodani kanonik shaklga aylantirishga va uni elementar hal qilishimizga nima to'sqinlik qiladi? Juda oddiy emas. Logarifmdan oldin kasrlar bo'lmasligi kerak. Keling, bu vaziyatni tuzataylik! Kasrni daraja sifatida chiqarishga ruxsat beriladi.

Mos ravishda.

Agar asoslar bir xil bo'lsa, biz logarifmlarni olib tashlashimiz va ifodalarning o'zini tenglashtirishimiz mumkin. Shunday qilib, vaziyat avvalgidan ko'ra ko'p marta osonlashadi. Har birimiz 8 yoki hatto 7-sinfda qanday yechishni bilgan elementar tenglama bo'ladi. Siz hisob-kitoblarni o'zingiz qilishingiz mumkin.

Biz bu logarifmik tenglamaning yagona haqiqiy ildizini oldik. Logarifmik tenglamani yechish misollari juda oddiy, shunday emasmi? Endi siz imtihonga tayyorgarlik ko'rish va uni topshirish uchun eng qiyin vazifalarni mustaqil ravishda hal qila olasiz.

Natija qanday?

Har qanday logarifmik tenglamalar bo'lsa, biz bitta muhim qoidadan kelib chiqamiz. Ifodani eng sodda shaklga keltiradigan tarzda harakat qilish kerak. Bunday holda, siz nafaqat muammoni to'g'ri hal qilish, balki uni eng oddiy va mantiqiy tarzda bajarish uchun ko'proq imkoniyatga ega bo'lasiz. Matematiklar har doim shunday ishlaydi.

Ayniqsa, bu holatda, qiyin yo'llarni izlashni tavsiya etmaymiz. Har qanday ifodani o'zgartirishga imkon beradigan bir nechta oddiy qoidalarni eslang. Misol uchun, ikkita yoki uchta logarifmni bir xil bazaga keltiring yoki bazadan quvvat oling va unda g'alaba qozoning.

Shuni ham yodda tutish kerakki, logarifmik tenglamalarni echishda siz doimo mashq qilishingiz kerak. Asta-sekin, siz tobora murakkab tuzilmalarga o'tasiz va bu sizni imtihondagi muammolarning barcha variantlarini ishonchli hal qilishga olib keladi. Imtihonlarga oldindan puxta tayyorgarlik ko'ring va omad tilaymiz!

Ushbu maqolada bitta o'zgaruvchili logarifmik tenglamalarni echish usullarining tizimli taqdimoti mavjud. Bu o'qituvchiga birinchi navbatda didaktik ma'noda yordam beradi: mashqlarni tanlash o'quvchilar uchun ularning imkoniyatlarini hisobga olgan holda individual topshiriqlarni yaratishga imkon beradi. Ushbu mashqlar umumlashtirish darsi va imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun ishlatilishi mumkin.
Qisqacha nazariy ma’lumotlar va masalalar yechish talabalarda logarifmik tenglamalarni yechish ko‘nikma va malakalarini mustaqil ravishda shakllantirish imkonini beradi.

Logarifmik tenglamalarni yechish.

Logarifmik tenglamalar – belgisi ostida noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamalar logarifm. Logarifmik tenglamalarni echishda ko'pincha nazariy ma'lumotlardan foydalaniladi:

Odatda, logarifmik tenglamalarni yechish ODZni aniqlashdan boshlanadi. Logarifmik tenglamalarda barcha logarifmlarni asoslari teng bo'lishi uchun aylantirilishi tavsiya etiladi. Keyin tenglamalar yangi o'zgaruvchi bilan belgilanadigan bitta logarifm bilan ifodalanadi yoki tenglama potensiyalash uchun qulay shaklga o'tkaziladi.
Logarifmik ifodalarni o'zgartirish ODZning torayishiga olib kelmasligi kerak, lekin agar qo'llaniladigan yechim usuli ODZni toraytirsa, individual raqamlarni ko'rib chiqishdan ozod qilsa, u holda muammoning oxiridagi bu raqamlarni dastlabki tenglamada almashtirish orqali tekshirish kerak, chunki ODZni toraytirganda, ildizlarning yo'qolishi mumkin.

1. Shakl tenglamalari noma'lum sonni va sonni o'z ichiga olgan ifodadir.

1) logarifmning ta'rifidan foydalaning: ;
2) tekshirishni amalga oshiring yoki tegishli qiymatlar oralig'ini toping noma'lum sana va tegishli ildizlarni (yechimlarni) tanlang.
Agar a).

2. Logarifmga nisbatan birinchi darajali tenglamalar, ularning yechimida logarifmlarning xossalari qo'llaniladi.

Ushbu tenglamalarni yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

1) logarifmlarning xossalaridan foydalanib, tenglamani o'zgartiring;
2) olingan tenglamani yechish;
3) noma'lum raqam uchun maqbul qiymatlar oralig'ini tekshiring yoki toping va ularga mos keladigan ildizlarni (yechimlarni) tanlang.
).

3. Logarifmga nisbatan ikkinchi va undan yuqori darajali tenglama.

Ushbu tenglamalarni yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

1. o'zgaruvchini o'zgartirish;
2. olingan tenglamani yechish;
3. teskari almashtirishni amalga oshirish;
4. olingan tenglamani yechish;
5. noma'lum raqam uchun maqbul qiymatlar oralig'ini tekshiring yoki toping va ularga mos keladigan ildizlarni (yechimlarni) tanlang.

4. Baza va ko'rsatkichda noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamalar.

Ushbu tenglamalarni yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

1. tenglamaning logarifmini oling;
2. olingan tenglamani yechish;
3. tekshiring yoki noma'lum raqam uchun maqbul qiymatlar oralig'ini toping va mos keladiganlarni tanlang
   ildizlar (eritmalar).

5. Yechimi bo'lmagan tenglamalar.

1. Bunday tenglamalarni yechish uchun ODZ tenglamasini topish kerak.
2. Tenglamaning chap va o'ng tomonlarini tahlil qiling.
3. Tegishli xulosalar chiqaring.

Dastlabki tenglama tizimga ekvivalent:

Tenglamaning yechimi yo‘qligini isbotlang.

ODZ tenglamasi x ≥ 0 tengsizlik bilan aniqlanadi. ODZda bizda mavjud

Ijobiy son va manfiy bo'lmagan sonning yig'indisi nolga teng emas, shuning uchun dastlabki tenglamaning yechimlari yo'q.

Javob: Hech qanday yechim yo'q.

ODZga faqat bitta ildiz x \u003d 0 tushadi. Javob: 0.

Keling, almashtiramiz.

Topilgan ildizlar ODZga tegishli.

ODZ tenglamasi barcha ijobiy raqamlar to'plamidir.

Chunki

Ushbu tenglamalar xuddi shunday tarzda echiladi:

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Ishlatilgan kitoblar.

1. Bechetnov V.M. Matematika. Moskva Demiurge 1994 yil
2. Borodulya I.T. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar. (topshiriqlar va mashqlar). Moskva "Ma'rifat" 1984 yil
3. Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Matematika bo'yicha vazifalar. Tenglamalar va tengsizliklar. Moskva "Fan" 1987 yil
4. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Algebra bo'yicha murabbiy. Moskva "Ileksa" 2007 yil
5. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebra va tahlil tamoyillari muammolari. Moskva "Ma'rifat" 2003 yil

asosiy xususiyatlar.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

bir xil asoslar

log6 4 + log6 9.

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz.

Logarifmlarni yechishga misollar

Agar logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichini quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarish mumkin:

Albatta, agar ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x >

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Yangi poydevorga o'tish

Logarifm logaksi berilsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Shuningdek qarang:

Logarifmning asosiy xossalari

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ko‘rsatkich 2,718281828…. Eksponentni eslab qolish uchun siz qoidani o'rganishingiz mumkin: ko'rsatkich 2,7 va Leo Tolstoyning tug'ilgan yilidan ikki marta.

Logarifmlarning asosiy xossalari

Ushbu qoidani bilib, siz eksponentning aniq qiymatini ham, Lev Tolstoyning tug'ilgan sanasini ham bilib olasiz.

Logarifmlar uchun misollar

Ifodalar logarifmini oling

1-misol
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 xossalari bo'yicha biz hisoblaymiz

2.

3.

2-misol x if ni toping

3-misol. Logarifmlarning qiymati berilsin

Agar log(x) ni hisoblang

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda deyiladi qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: logax va logay. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga teng, farq esa bo‘linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta - bir xil asoslar. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log2 48 − log2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log3 135 − log3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ushbu faktga asoslanib, ko'pchilik test qog'ozlari. Ha, nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log7 496.

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizda:

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz.

Logarifmlar formulalari. Logarifmlar yechimlarga misoldir.

Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log2 7. log2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni qisqartirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta hisoblagichga o'tkazilishi mumkin, bu bajarildi. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

Logarifm logaksi berilsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Xususan, agar c = x qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log5 16 log2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. U shunday deb ataladi:

Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajadagi b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib qo'yishadi".

Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, log25 64 = log5 8 - faqat bazadan kvadrat va logarifm argumentini chiqarib tashladi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu Yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi 🙂

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va hayratlanarli, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. logaa = 1. Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng.
2. loga 1 = 0. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.

Shuningdek qarang:

b sonining a asosiga logarifmi ifodani bildiradi. Logarifmni hisoblash, tenglik to'g'ri bo'lgan x () kuchini topishni anglatadi

Logarifmning asosiy xossalari

Yuqoridagi xususiyatlarni bilish kerak, chunki ular asosida deyarli barcha masalalar va misollar logarifmlar asosida hal qilinadi. Qolgan ekzotik xususiyatlar ushbu formulalar bilan matematik manipulyatsiyalar orqali olinishi mumkin

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Hisoblashda logarifmlarning yig'indisi va ayirmasi formulalari (3.4) juda tez-tez uchraydi. Qolganlari biroz murakkab, ammo bir qator vazifalarda ular murakkab ifodalarni soddalashtirish va ularning qiymatlarini hisoblash uchun ajralmas hisoblanadi.

Logarifmlarning umumiy holatlari

Ba'zi umumiy logarifmlar asosi hatto o'n, eksponensial yoki ikkilik bo'lgan logarifmlardir.
O'nta asosiy logarifm odatda o'nta asosiy logarifm deb ataladi va oddiygina lg (x) bilan belgilanadi.

Yozuvdan ko'rinib turibdiki, yozuvda asoslar yozilmagan. Misol uchun

Natural logarifm asosi ko'rsatkich bo'lgan logarifmdir (ln(x) bilan belgilanadi).

Ko‘rsatkich 2,718281828…. Eksponentni eslab qolish uchun siz qoidani o'rganishingiz mumkin: ko'rsatkich 2,7 va Leo Tolstoyning tug'ilgan yilidan ikki marta. Ushbu qoidani bilib, siz eksponentning aniq qiymatini ham, Lev Tolstoyning tug'ilgan sanasini ham bilib olasiz.

Yana bir muhim asos ikki logarifmdir

Funktsiya logarifmining hosilasi o'zgaruvchiga bo'lingan biriga teng

Integral yoki antiderivativ logarifm bog'liqlik bilan aniqlanadi

Yuqoridagi material logarifmlar va logarifmlar bilan bog'liq keng ko'lamli masalalarni hal qilish uchun etarli. Materialni tushunish uchun men faqat bir nechta umumiy misollarni keltiraman maktab o'quv dasturi va universitetlar.

Logarifmlar uchun misollar

Ifodalar logarifmini oling

1-misol
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 xossalari bo'yicha biz hisoblaymiz

2.
Logarifmlarning farq xususiyatiga ko'ra, biz bor

3.
3.5 xossalaridan foydalanib topamiz

Ko'rinishidan murakkab ifoda bir qator qoidalar yordamida shaklga soddalashtirilgan

Logarifm qiymatlarini topish

2-misol x if ni toping

Yechim. Hisoblash uchun oxirgi muddatgacha 5 va 13 xossalarini qo'llaymiz

Yozuvda almashtiring va motam tuting

Asoslar teng bo'lgani uchun biz ifodalarni tenglashtiramiz

Logarifmlar. Birinchi daraja.

Logarifmlarning qiymati berilsin

Agar log(x) ni hisoblang

Yechish: Logarifmni hadlar yig‘indisi orqali yozish uchun o‘zgaruvchining logarifmini oling

Bu logarifmlar va ularning xususiyatlari bilan tanishishning boshlanishi. Hisob-kitoblarni mashq qiling, amaliy ko'nikmalaringizni boyiting - tez orada logarifmik tenglamalarni yechish uchun olingan bilimlar kerak bo'ladi. Bunday tenglamalarni echishning asosiy usullarini o'rganib chiqib, biz sizning bilimingizni yana bir muhim mavzu - logarifmik tengsizliklar bo'yicha kengaytiramiz ...

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda deyiladi qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: logax va logay. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga teng, farq esa bo‘linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta - bir xil asoslar. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log6 4 + log6 9.

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log2 48 − log2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log3 135 − log3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Agar logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichini quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarish mumkin:

Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin.

Logarifmlarni qanday yechish mumkin

Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log7 496.

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizda:

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz. Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log2 7. log2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni qisqartirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta hisoblagichga o'tkazilishi mumkin, bu bajarildi. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

Logarifm logaksi berilsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Xususan, agar c = x qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log5 16 log2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. U shunday deb ataladi:

Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajadagi b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib qo'yishadi".

Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, log25 64 = log5 8 - faqat bazadan kvadrat va logarifm argumentini chiqarib tashladi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu Yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi 🙂

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va hayratlanarli, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. logaa = 1. Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng.
2. loga 1 = 0. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.