2-bo'lim. Formulalarning mantiqiy ekvivalentligi. Taklif algebra formulalari uchun normal shakllar

Ekvivalentlik munosabati

Haqiqat jadvallari yordamida kiritilgan o'zgaruvchilarning qaysi haqiqat qiymatlari to'plami ostida formula haqiqiy yoki noto'g'ri qiymat olishini (shuningdek, tegishli mantiqiy tuzilishga ega bo'lgan bayonot) qaysi formulalar tavtologiya bo'lishini aniqlash mumkin. yoki qarama-qarshiliklar, shuningdek, ikkita berilgan formulalar yoki yo'qligini aniqlang ekvivalent.

Mantiqda ikkita gapning ikkalasi ham to‘g‘ri yoki ikkalasi ham yolg‘on bo‘lsa, ekvivalent deyiladi. Bu iboradagi "bir vaqtning o'zida" so'zi noaniq. Demak, "Ertaga seshanba bo'ladi" va "Kecha yakshanba edi" jumlalari uchun bu so'z to'g'ridan-to'g'ri ma'noga ega: dushanba kuni ikkalasi ham to'g'ri, haftaning qolgan qismida ikkalasi ham yolg'on. Tenglamalar uchun " x = 2"va" 2x = 4» "bir vaqtning o'zida" "o'zgaruvchining bir xil qiymatlari bilan" degan ma'noni anglatadi. "Ertaga yomg'ir yog'adi" va "Ertaga yomg'ir yog'maydi" degan bashoratlar bir vaqtning o'zida tasdiqlanadi (to'g'ri bo'lib chiqadi) yoki tasdiqlanmaydi (noto'g'ri bo'lib chiqadi). Aslida, bu bir xil prognoz bo'lib, ikki shaklda ifodalangan turli shakllar, bu formulalar bilan ifodalanishi mumkin X va . Ushbu formulalar bir vaqtning o'zida "to'g'ri" yoki "noto'g'ri" qiymatini oladi. Tekshirish uchun haqiqat jadvalini tuzish kifoya:

Birinchi va oxirgi ustunlardagi haqiqat qiymatlari bir xil ekanligini ko'ramiz. Bunday formulalar, shuningdek, ularga mos keladigan jumlalar tabiiy ravishda ekvivalent hisoblanadi.

F 1 va F 2 formulalari ekvivalent deb ataladi, agar ularning ekvivalenti tavtologiya bo'lsa.

Ikki formulaning ekvivalentligi quyidagicha yoziladi: (o'qing: formula F1 formulaga teng F2).

Formulalarning ekvivalentligini tekshirishning uchta usuli mavjud: 1) ularning ekvivalentini yarating va uning tavtologiya ekanligini tekshirish uchun haqiqat jadvalidan foydalaning; 2) har bir formula uchun haqiqat jadvalini tuzing va yakuniy natijalarni taqqoslang; o'zgaruvchan qiymatlarning bir xil to'plamlari uchun umumiy ustunlarda bo'lsa ikkala formulaning haqiqat qiymatlari teng bo'ladi, keyin formulalar ekvivalent bo'ladi; 3) ekvivalent transformatsiyalar yordamida.

2.1-misol: Formulalar ekvivalentligini aniqlang: 1) , ; 2) , .

1) Ekvivalentlikni aniqlash uchun birinchi usuldan foydalanamiz, ya'ni formulalar ekvivalentligi tavtologiya ekanligini aniqlaymiz.

Formulalar ekvivalentini tuzamiz: . Olingan formula ikki xil o'zgaruvchini o'z ichiga oladi ( LEKIN va DA) va 6 ta amal: 1) ; 2) ; 3) ; to'rtta); 5) ; 6). Bu shuni anglatadiki, mos keladigan haqiqat jadvali 5 qator va 8 ustunga ega bo'ladi:

Haqiqat jadvalining yakuniy ustunidan ko'rinib turibdiki, tuzilgan ekvivalentlik tavtologiya va shuning uchun .

2) va formulalarining ekvivalentligini aniqlash uchun ikkinchi usuldan foydalanamiz, ya'ni formulalarning har biri uchun haqiqat jadvalini tuzamiz va yakuniy ustunlarni solishtiramiz. ( Izoh. Ikkinchi usuldan samarali foydalanish uchun barcha tuzilgan haqiqat jadvallari bir xil tarzda boshlanishi kerak, ya'ni o'zgaruvchan qiymatlar to'plami tegishli qatorlarda bir xil edi .)

Formula ikki xil o'zgaruvchiga va 2 ta amalga ega, ya'ni mos keladigan haqiqat jadvali 5 qator va 4 ustunga ega:

Formulada ikki xil o'zgaruvchi va 3 ta amal mavjud, ya'ni mos keladigan haqiqat jadvali 5 qator va 5 ustunga ega:

Tuzilgan haqiqat jadvallarining yakuniy ustunlarini solishtirsak (jadvallar xuddi shunday boshlanganligi sababli, biz o'zgaruvchan qiymatlar to'plamini e'tiborsiz qoldirishimiz mumkin), biz ularning mos kelmasligini va shuning uchun formulalar ekvivalent emasligini ko'ramiz ().

Ifoda formula emas (chunki " " belgisi hech qanday mantiqiy amalni bildirmaydi). U ifodalaydi munosabat formulalar orasidagi (shuningdek, raqamlar orasidagi tenglik, chiziqlar orasidagi parallellik va boshqalar).

Ekvivalentlik munosabatining xossalari haqidagi teorema o'rinli:

2.1 teorema. Taklifli algebra formulalari orasidagi ekvivalentlik munosabati:

1) refleksli ravishda: ;

2) simmetrik tarzda: agar , keyin ;

3) o‘timli: agar va bo‘lsa, keyin .

Mantiq qonunlari

Taklif mantiqiy formulalarining ekvivalentlari ko'pincha deyiladi mantiq qonunlari. Biz ulardan eng muhimlarini sanab o'tamiz:

1. - o'ziga xoslik qonuni.

2. - chiqarib tashlangan o'rta qonuni

3. - qarama-qarshilik qonuni

4. - nol bilan diszyunksiya

5. - nol bilan birikma

6. - birlik bilan diszyunksiya

7. - birlik bilan bog`lanish

8. - ikkilamchi inkor qonuni

9. - qo‘shma gapning kommutativligi

10. – diszyunksiyaning kommutativligi

11. - qo‘shma gapning assosiativligi

12. - diszyunksion assotsiativlik

13. – qo‘shma gapning taqsimlanishi

14. – distributiv dis’yunksiya

15. - identifikatorlik qonunlari

16. ; - absorbsiya qonunlari

17. ; - De Morgan qonunlari

18. diszyunksiya orqali imo-ishorani ifodalovchi qonundir

19. - qarama-qarshilik qonuni

20. - ekvivalentlikni boshqa mantiqiy amallar orqali ifodalovchi qonunlar

Mantiq qonunlari murakkab formulalarni soddalashtirish va formulalar bir xil to'g'ri yoki yolg'on ekanligini isbotlash uchun ishlatiladi.

Ekvivalent transformatsiyalar. Formulalarni soddalashtirish

Agar hamma joyda ekvivalent formulalarda biron bir o'zgaruvchi o'rniga bir xil formulani almashtirsak, yangi olingan formulalar ham almashtirish qoidasiga muvofiq ekvivalent bo'lib chiqadi. Shunday qilib, har bir ekvivalentdan istalgan miqdordagi yangi ekvivalentlarni olish mumkin.

1-misol: Agar o'rniga De Morgan qonunida X o'rniga, o'rniga Y o'rniga, keyin biz yangi ekvivalentini olamiz. Olingan ekvivalentlikning haqiqiyligini haqiqat jadvali yordamida tekshirish oson.

Formulaning bir qismi bo'lgan har qanday formula bo'lsa F, formulaga ekvivalent formula bilan almashtirilsin, keyin hosil bo'lgan formula formulaga teng bo'ladi. F.

Keyin 2-misoldagi formula uchun quyidagi almashtirishlarni amalga oshirishimiz mumkin:

- ikkilamchi inkor qonuni;

- De Morgan qonuni;

- ikkilamchi inkor qonuni;

– assotsiativlik qonuni;

idempotentlik qonunidir.

Ekvivalentlik munosabatining tranzitivlik xususiyatiga ko'ra, buni aytishimiz mumkin .

Bir formulani unga ekvivalent boshqa formula bilan almashtirish deyiladi ekvivalent transformatsiya formulalar.

ostida soddalashtirish implikatsiya va ekvivalentlik belgilarini o'z ichiga olmaydigan formulalar elementar bo'lmagan formulalarning inkorlarini (xususan, qo'shaloq inkorlarni) o'z ichiga olmaydi yoki jami asl nusxaga qaraganda kamroq sonli birikma va ayirma belgilarini o'z ichiga olgan formulaga olib keladigan ekvivalent transformatsiyani tushunadi. bitta.

2.2-misol: Keling, formulani soddalashtiraylik .

Birinchi bosqichda biz implikatsiyani diszyunksiyaga aylantiruvchi qonunni qo'lladik. Ikkinchi bosqichda kommutativ qonun qo'llanildi. Uchinchi bosqichda identifikatorlik qonuni qo'llanildi. To'rtinchidan - De Morgan qonuni. Va beshinchisi - ikki tomonlama inkor qonuni.

Izoh 1. Agar ma'lum bir formula tavtologiya bo'lsa, unga teng keladigan har qanday formula ham tavtologiya hisoblanadi.

Shunday qilib, ekvivalent transformatsiyalar ma'lum formulalarning bir xil haqiqatini isbotlash uchun ham ishlatilishi mumkin. Buning uchun ushbu formulani tavtologiya bo'lgan formulalardan biriga ekvivalent o'zgartirishlar bilan kamaytirish kerak.

Izoh 2. Ayrim tavtologiya va ekvivalentlar juftlarga birlashtiriladi (qarama-qarshilik qonuni va alternativ, kommutativ, assotsiativ qonunlar qonuni va boshqalar). Ushbu yozishmalarda, deb atalmish ikkilik printsipi .

Izoh va ekvivalentlik belgilarini o'z ichiga olmaydigan ikkita formula deyiladi ikkilik , agar ularning har biri mos ravishda belgilarini almashtirish orqali boshqasidan olinishi mumkin bo'lsa.

Ikkilik printsipi quyidagilarni ta'kidlaydi:

2.2 teorema: Agar implikatsiya va ekvivalentlik belgilari bo'lmagan ikkita formula ekvivalent bo'lsa, ularning ikkilik formulalari ham ekvivalentdir.

normal shakllar

normal shakl berilgan funksiyani amalga oshiradigan formulani sintaktik jihatdan aniq yozish usulidir.

Mantiqning ma'lum qonunlaridan foydalanib, har qanday formulani shaklning ekvivalent formulasiga aylantirish mumkin , bu yerda va har biri oʻzgaruvchi, yoki oʻzgaruvchining inkori, yoki oʻzgaruvchilar birikmasi yoki ularning inkori. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, har qanday formulani oddiy standart shaklning ekvivalent formulasiga keltirish mumkin, bu elementlarning diszyunksiyasi bo'ladi, ularning har biri alohida turli mantiqiy o'zgaruvchilarning birikmasi, inkor belgisi bilan yoki bo'lmasdan.

2.3-misol: Katta formulalarda yoki bir nechta o'zgarishlarda qo'shma belgisini tashlab qo'yish odatiy holdir (ko'paytirish belgisi bilan o'xshashlik bo'yicha): . Amalga oshirilgan transformatsiyalardan so'ng formula uchta birikmaning diszyunksiyasi ekanligini ko'ramiz.

Ushbu shakl deyiladi disjunktiv normal shakl (DNF). DNF ning bitta elementi deyiladi elementar birikma yoki tarkibiy birlik.

Xuddi shunday, har qanday formulani ekvivalent formulaga keltirish mumkin, bu elementlarning birikmasi bo'ladi, ularning har biri mantiqiy o'zgaruvchilarning inkor belgisi bo'lgan yoki bo'lmagan diszyunksiyasi bo'ladi. Ya'ni, har bir formulani shaklning ekvivalent formulasiga keltirish mumkin , bu yerda va har biri oʻzgaruvchi yoki oʻzgaruvchining inkori yoki oʻzgaruvchilarning diszyunksiyasi yoki ularning inkori. Ushbu shakl deyiladi konyunktiv normal shakl (KNF).

2.4-misol:

CNF ning yagona elementi deyiladi elementar disjunktsiya yoki nolning tarkibiy qismi.

Shubhasiz, har bir formulada cheksiz ko'p DNF va CNF mavjud.

2.5-misol: Formula uchun bir nechta DNFlarni topamiz .

Mukammal oddiy shakllar

SDNF (mukammal DNF) shunday DNF bo'lib, unda har bir elementar birikma barcha elementar gaplarni o'z ichiga oladi yoki ularning inkorlari bir marta, elementar birikmalar takrorlanmaydi.

SKNF (mukammal CNF) shunday CNF bo'lib, unda har bir elementar dis'yunktsiya barcha elementar takliflarni yoki ularning inkorlarini bir marta o'z ichiga oladi, elementar dis'yunktsiyalar takrorlanmaydi.

2.6-misol: 1) - SDNF

2) 1 - SKNF

Keling, SDNF (SKNF) ning xarakterli xususiyatlarini shakllantiramiz.

1) Dizyunksiyaning (qo‘shma gapning) barcha a’zolari har xil;

2) Har bir bog‘lovchining (dizyunksiyaning) barcha a’zolari har xil;

3) Birorta ham bog‘lovchi (dizyunksiya) o‘zgaruvchini ham, uning inkorini ham o‘z ichiga olmaydi;

4) Har bir birikma (dizyunksiya) dastlabki formulaga kiritilgan barcha o‘zgaruvchilarni o‘z ichiga oladi.

Ko'rib turganimizdek, xarakteristikalar (lekin shakllar emas!) duallik ta'rifini qondiradi, shuning uchun ikkalasini ham olishni o'rganish uchun bitta shaklni tushunish kifoya.

Ekvivalent transformatsiyalar yordamida DNF (CNF) dan SDNF (SKNF) ni olish oson. Mukammal normal shakllarni olish qoidalari ham ikki tomonlama bo'lganligi sababli, biz SMNFni olish qoidasini batafsil tahlil qilamiz va ikkilik ta'rifidan foydalanib, SKNFni mustaqil ravishda olish qoidasini shakllantiramiz.

Umumiy qoida Ekvivalent transformatsiyalar yordamida formulani SDNF ga keltirish:

Formulani berish uchun F, SDNF uchun bir xil noto'g'ri bo'lsa, bu etarli:

1) uni ba'zi DNF-ga keltiring;

2) o'zgaruvchini o'z ichiga olgan diszyunksiya a'zolarini inkori bilan birga olib tashlash (mavjud bo'lsa);

3) ayrilishning bir xil a'zolaridan (mavjud bo'lsa) bittadan boshqasini olib tashlang;

4) har bir bog‘lovchining bir xil a’zosidan tashqari hammasini olib tashlash (mavjud bo‘lsa);

5) agar biron bir birikmada dastlabki formulaga kiritilgan oʻzgaruvchilar orasidan oʻzgaruvchi boʻlmasa, bu birikmaga atama qoʻshing va tegishli taqsimot qonunini qoʻllang;

6) agar paydo bo'lgan dis'yunksiya bir xil atamalarni o'z ichiga olsa, 3-retseptdan foydalaning.

Olingan formula bu formulaning SDNF sidir.

2.7-misol: Formula uchun SDNF va SKNF ni topamiz .

Ushbu formula uchun DNF allaqachon topilganligi sababli (2.5-misolga qarang), biz SDNFni olishdan boshlaymiz:

2) hosil bo'lgan dis'yunksiyada ularning inkorlari bilan birga o'zgaruvchilar yo'q;

3) diszyunksiyada bir xil a'zolar mavjud emas;

4) hech qanday qo‘shma gapda bir xil o‘zgaruvchilar yo‘q;

5) birinchi elementar bog‘lanishda asl formulaga kiritilgan barcha o‘zgaruvchilar bor, ikkinchi elementar bog‘lanishda esa o‘zgaruvchi yo‘q. z, shuning uchun unga atama qo'shamiz va taqsimlash qonunini qo'llaymiz: ;

6) disjunksiyada bir xil atamalar paydo bo'lganligini ko'rish oson, shuning uchun biz bittasini olib tashlaymiz (3-retsept);

3) bir xil ajratmalardan birini olib tashlang: ;

4) qolgan diszyunksiyalarda bir xil atamalar mavjud emas;

5) elementar ayirmalarning birortasi ham dastlabki formulaga kiritilgan barcha o‘zgaruvchilarni o‘z ichiga olmaydi, shuning uchun ularning har birini qo‘shma gap bilan to‘ldiramiz: ;

6) hosil bo‘lgan qo‘shma gapda bir xil ayirma gaplar bo‘lmaydi, shuning uchun topilgan qo‘shma shakl mukammal bo‘ladi.

Chunki SKNF va SDNF agregatlarida formulalar mavjud F 8 a'zo bo'lsa, ehtimol ular to'g'ri topilgan.

Har bir qoniqarli (rad etish mumkin) formulada bitta SDNF va bitta SKNF mavjud. Tavtologiyada SKNF yo'q, qarama-qarshilikda esa SDNF yo'q.

Matematikadan ochiq dars "Bernulli sxemasi. Bernulli va Laplas sxemasidan foydalanib masalalar yechish"

Didaktik: ehtimollarni hisoblash uchun Bernulli sxemasi bilan ishlash ko'nikma va malakalarini egallash.

Rivojlantiruvchi: bilimlarni amaliyotda qo'llash ko'nikmalarini rivojlantirish, o'quvchilarning funktsional tafakkurini shakllantirish va rivojlantirish, taqqoslash, tahlil qilish va sintez qilish, juftlikda ishlash ko'nikmalarini rivojlantirish, kasbiy so'z boyligini kengaytirish.

Ushbu o'yinni qanday o'ynash kerak:

Tarbiyaviy: nazariyani amaliyotda qo‘llash orqali fanga qiziqish uyg‘otish, o‘quvchilarda o‘quv materialini ongli ravishda o‘zlashtirishga erishish, jamoada ishlash ko‘nikmasini shakllantirish, kompyuter atamalaridan to‘g‘ri foydalanish, fanga qiziqish, fanga hurmat, kelajak kasbi.

Ilmiy bilimlar: B

Dars turi: aralash dars:

• oldingi sinflarda o'tilgan materialni mustahkamlash;
• tematik, axborot-muammo texnologiyasi;
• ushbu darsda o'rganilgan materialni umumlashtirish va mustahkamlash.

O'qitish usuli: tushuntirish - tasviriy, muammoli.

Bilimlarni nazorat qilish: frontal so'rov, muammolarni hal qilish, taqdimot.

Darsning moddiy-texnik jihozlanishi. kompyuter, multimedia proyektori.

Uslubiy ta'minot: ma'lumotnomalar, dars mavzusi bo'yicha taqdimot, krossvord.

Darslar davomida

1. Tashkiliy vaqt: 5 min.

(salomlashish, guruhning darsga tayyorligi).

2. Bilimlarni tekshirish:

Slaydlarda savollarni old tomondan tekshirish: 10 min.

• "Ehtimollar nazariyasi" bo'limining ta'riflari
• "Ehtimollar nazariyasi" bo'limining asosiy tushunchasi
• "Ehtimollar nazariyasi" qanday hodisalarni o'rganadi
• tasodifiy hodisaning o'ziga xos xususiyati
• ehtimolliklarning klassik ta'rifi

Xulosa qilish. 5 daqiqa.

3. Qator bo`yicha masalalar yechish: 5 min.

1-topshiriq. Zar tashlanadi. 5 dan kichik juft sonni olish ehtimoli qanday?

Vazifa 2. Bir qutida to'qqizta bir xil radio trubka bor, ulardan uchtasi ishlatilgan. Ish kuni davomida usta uskunani ta'mirlash uchun ikkita radio trubkani olishga majbur bo'ldi. Ikkala chiroq ham ishlatilganligi ehtimoli qanday?

Vazifa 3. Uchta kinozalda uchta turli film bor. 1-zalning kassalarida ma'lum bir soatga chiptalar bo'lish ehtimoli 0,3 ga, 2-zalning kassalarida - 0,2 va 3-zalning kassalarida - 0,4 ga teng. Ma'lum bir soatda kamida bitta film uchun chipta sotib olish ehtimoli qanday?

4. Doskada masalalar yechish usullarini tekshirish. Ilova 1. 5 min.

Muammolarni hal qilish bo'yicha 5-xulosa:

Har bir vazifa uchun hodisaning yuzaga kelish ehtimoli bir xil: m va n - const

6. Topshiriq orqali maqsadni belgilash: 5 min.

Vazifa. Ikkita teng shaxmatchi shaxmat o'ynaydi. To'rtta o'yindan ikkitasida g'alaba qozonish ehtimoli qanday?

Oltita o'yindan uchtasida g'alaba qozonish ehtimoli qanday (durang hisobga olinmaydi)?

Savol. Bu masala savollari bilan oldingi masalalar savollari orasidagi farqni o‘ylab ko‘ring va nomlang?

Mulohaza yuritish, taqqoslash orqali javobga erishing: savollarda m va n farq qiladi.

7. Dars mavzusi:

p-const bilan n ta tajribadan k marta hodisaning yuz berish ehtimolini hisoblash.

Agar har bir sinovda A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli boshqa sinovlar natijalariga bog‘liq bo‘lmagan sinovlar o‘tkazilsa, bunday sinovlar A hodisasiga nisbatan mustaqil deb ataladi. hodisa xuddi shunday.

Bernoulli formulasi. Har birida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli p ga teng bo'lgan n ta mustaqil sinovda ehtimollik (0)

yoki 2-ilova Bernulli formulasi, bu erda k,n-kichik raqamlar bu erda q = 1-p

Yechish: Teng shaxmatchilar o‘ynamoqda, shuning uchun g‘alaba qozonish ehtimoli p=1/2; demak, q ni yo'qotish ehtimoli ham 1/2 ga teng. Barcha o'yinlarda g'alaba qozonish ehtimoli doimiy bo'lgani uchun va o'yinlar qanday tartibda yutilganligi muhim emasligi sababli, Bernulli formulasi qo'llaniladi. 5 daqiqa

To'rtta o'yindan ikkitasi g'alaba qozonish ehtimolini toping:

Oltita o'yindan uchtasi g'alaba qozonish ehtimolini toping:

P4 (2) > P6 (3) bo'lgani uchun, oltitadan uchtadan to'rttadan ikkitasida g'alaba qozonish ehtimoli ko'proq.

8. Vazifa.

Har bir sinovda bu hodisaning sodir bo'lish ehtimoli 0,25 bo'lsa, A hodisasining 243 ta sinovda roppa-rosa 70 marta sodir bo'lish ehtimolini toping.

k=70, n=243 Bu k va n katta sonlar ekanligini bildiradi. Bu shuni anglatadiki, Bernulli formulasi bo'yicha hisoblash qiyin. Bunday hollarda mahalliy Laplas formulasi qo'llaniladi:

X ning ijobiy qiymatlari uchun 3-ilova 4-ilovada keltirilgan; x ning manfiy qiymatlari uchun bir xil jadval va = dan foydalaning.

9. Masalani yechish algoritmini tuzing: 5 min.

• x ning qiymatini toping va yuzdan birgacha yaxlitlang (0,01);
• Laplas funksiyasi jadvaliga asosan topamiz;
• Laplas funksiyasining qiymatini Laplas formulasiga almashtiramiz

10. Doskada tahlil qilib masalani yechish. 5-ilova. 10 min.

11. Taqdimotlar orqali dars ma’lumotlarini umumlashtirish

• "Ehtimollar nazariyasi" bo'limi haqida qisqacha ma'lumot; 5 daqiqa.
• olimlar Bernulli va Laplas haqidagi tarixiy materiallar. 5 daqiqa.

Yechilayotgan tenglamadan atalmish tenglamaga o'tishga ruxsat berish ekvivalent tenglamalar va xulosa tenglamalari, ularning yechimlari orqali dastlabki tenglamaning yechimini aniqlash mumkin. Ushbu maqolada qaysi tenglamalar ekvivalent va qaysi biri xulosa tenglamalar deb atalishini batafsil tahlil qilamiz, tegishli ta’riflarni beramiz, tushuntiruvchi misollar keltiramiz, ekvivalent tenglamaning ma’lum ildizlaridan tenglamaning ildizlarini topishni tushuntiramiz. xulosa tenglama.

Ekvivalent tenglamalar, ta'rif, misollar

Ekvivalent tenglamalarga ta’rif beraylik.

Ta'rif

Ekvivalent tenglamalar bir xil ildizga ega yoki ildizi bo'lmagan tenglamalar.

Maʼnosi oʻxshash, ammo soʻzlashuvida birmuncha farq qiladigan taʼriflar turli matematika darsliklarida berilgan, masalan:

Ta'rif

f(x)=g(x) va r(x)=s(x) ikkita tenglama deyiladi ekvivalent, agar ular bir xil ildizlarga ega bo'lsa (yoki, xususan, ikkala tenglamada ham ildiz bo'lmasa).

Ta'rif

Ildizlari bir xil bo'lgan tenglamalar deyiladi ekvivalent tenglamalar. Ildizlari bo'lmagan tenglamalar ham ekvivalent hisoblanadi.

Xuddi shu ildizlar deganda quyidagilar tushuniladi: agar biron bir son ekvivalent tenglamalardan birining ildizi bo'lsa, u boshqa tenglamalarning ildizi ham bo'ladi va ekvivalent tenglamalarning birortasi ham tenglama bo'lmagan ildizga ega bo'lishi mumkin emas. bu tenglamalarning boshqa har qanday ildizi.

Ekvivalent tenglamalarga misollar keltiramiz. Masalan, uchta tenglama 4 x=8 , 2 x=4 va x=2 ekvivalentdir. Haqiqatan ham, ularning har biri noyob ildiz 2 ga ega, shuning uchun ular ta'rifi bo'yicha ekvivalentdir. Yana bir misol: ikkita x 0=0 va 2+x=x+2 tenglamalar ekvivalent, ularning yechimlari to‘plamlari bir xil: ularning birinchi va ikkinchisining ildizi istalgan son. Ikki x=x+5 va x 4 =−1 tenglamalari ham ekvivalent tenglamalarga misol bo‘lib, ularning har ikkalasining ham haqiqiy yechimi yo‘q.

Rasmni to'ldirish uchun ekvivalent bo'lmagan tenglamalarga misollar keltirish kerak. Masalan, x=2 va x 2 =4 tenglamalar ekvivalent emas, chunki ikkinchi tenglama birinchi tenglamaning ildizi bo'lmagan -2 ildizga ega. Tenglamalar va ham ekvivalent emas, chunki ikkinchi tenglamaning ildizlari har qanday sonlar va nol soni birinchi tenglamaning ildizi emas.

Ekvivalent tenglamalarning aniq ta'rifi bitta o'zgaruvchiga ega tenglamalarga ham, o'zgaruvchilari ko'p bo'lgan tenglamalarga ham tegishli. Biroq, ikki, uch va boshqalar bilan tenglamalar uchun. o'zgaruvchilar, ta'rifdagi "ildiz" so'zi "yechimlar" so'zi bilan almashtirilishi kerak. Shunday qilib,

Ta'rif

Ekvivalent tenglamalar yechishlari bir xil bo‘lgan yoki yo‘q tenglamalardir.

Keling, bir nechta o'zgaruvchiga ega ekvivalent tenglamalarga misol keltiraylik. x 2 +y 2 +z 2 =0 va 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - bu erda uchta o'zgaruvchili x, y va z bo'lgan ekvivalent tenglamalarga misol, ularning ikkalasi ham yagona yechimga ega (0, 0) , 0). Ammo x + y = 5 va x y = 1 ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalar ekvivalent emas, chunki, masalan, x=2, y=3 qiymatlar juftligi birinchi tenglamaning yechimidir (bu qiymatlar almashtirilganda ​Birinchi tenglamada biz to'g'ri tenglikni olamiz 2+3=5 ), lekin ikkinchisining yechimi emas (bu qiymatlarni ikkinchi tenglamaga almashtirganda, biz noto'g'ri tenglikni olamiz 2 3=1 ).

Xulosa tenglamalari

Mana maktab darsliklaridan xulosa tenglamalarining ta'riflari:

Ta'rif

Agar f(x)=g(x) tenglamaning har bir ildizi bir vaqtning o‘zida p(x)=h(x) tenglamaning ildizi bo‘lsa, u holda p(x)=h(x) tenglama deyiladi. oqibat f(x)=g(x) tenglamalari.

Ta'rif

Agar birinchi tenglamaning barcha ildizlari ikkinchi tenglamaning ildizlari bo'lsa, ikkinchi tenglama deyiladi. oqibat birinchi tenglama.

Keling, natijaviy tenglamalarga bir nechta misol keltiraylik. x 2 =3 2 tenglama x−3=0 tenglamaning natijasidir. Darhaqiqat, ikkinchi tenglama bitta ildizga ega x=3, bu ildiz ham x 2 =3 2 tenglamaning ildizidir, shuning uchun ta'rifga ko'ra, x 2 =3 2 tenglama x−3= tenglamaning natijasidir. 0 . Yana bir misol: (x−2) (x−3) (x−4)=0 tenglama tenglamaning natijasidir. , chunki ikkinchi tenglamaning barcha ildizlari (ulardan ikkitasi bor, bular 2 va 3 ), aniqki, birinchi tenglamaning ildizlari.

Natija tenglamasining ta'rifidan kelib chiqadiki, mutlaqo har qanday tenglama ildizga ega bo'lmagan har qanday tenglamaning natijasidir.

Ekvivalent tenglamalarning ta'rifi va natijaviy tenglamaning ta'rifidan bir nechta aniq natijalarni eslatib o'tish kerak:

• Agar ikkita tenglama ekvivalent bo'lsa, ularning har biri ikkinchisining natijasidir.
• Agar ikkita tenglamaning har biri ikkinchisining natijasi bo'lsa, bu tenglamalar ekvivalentdir.
• Ikki tenglama, agar ularning har biri boshqasining natijasi bo'lsa, ekvivalent hisoblanadi.