Belirli bir noktada bir fonksiyonun grafiğinin normalinin denklemi nasıl bulunur?

Bu dersimizde normalin denklemini nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. fonksiyon grafikleri bir noktada ve bu sorunla ilgili sayısız örnek düşünün. Malzemeyi iyi anlamak için anlamanız gerekir türevin geometrik anlamı ve bunları en azından aşağıdaki makaleler düzeyinde bulabilme:

Türev nasıl bulunur? Bileşik fonksiyonun türevi ve .

Bu dersler, "aptalların" konuyu hızlı bir şekilde gezinmesine ve neredeyse sıfırdan farklılaşma becerilerini geliştirmesine izin verecektir. Özünde, paragrafın ayrıntılı bir devamı teğet denklemi Yukarıdaki listeden 3. makale. Neden devam filmi? Normal denklem, teğet denklemi ile yakından ilişkilidir. Diğer şeylerin yanı sıra, fonksiyonun olduğu durumlarda bu doğruların denklemlerinin nasıl oluşturulacağına ilişkin problemleri ele alacağım. dolaylı olarak ayarlamak veya parametrik olarak .

Ama önce hafızalarımızı tazeleyelim: eğer fonksiyon türevlenebilir bir noktada (yani varsa nihai türev), daha sonra noktadaki fonksiyonun grafiğine teğet denklemi aşağıdaki formülle bulunabilir:

Bu, derste daha önce karşılaştığımız en yaygın durumdur. Türevlerle ilgili en basit problemler . Ancak mesele bununla sınırlı değil: Bir noktada sonsuz türev varsa: , tanjant eksene paralel olacak ve denklemi şeklini alacaktır. Bekleme örneği: yakın sonsuza giden türevi olan bir fonksiyon kritik nokta . Karşılık gelen tanjant şu denklemle ifade edilir: (y ekseni).

Türev mevcut değilse (örneğin, noktanın türevi), o zaman, elbette, mevcut değil ve ortak teğet .

Son iki vakayı nasıl ayırt edeceğimi biraz sonra anlatacağım ama şimdilik bugünkü dersin ana akışına dönelim:

normal olan nedir? normal bir noktada bir fonksiyonun grafiğine denir dümdüz Bu noktadaki fonksiyonun grafiğine teğet olana dik verilen bir noktadan geçen (tanjantın olması gerektiği açıktır). Kısacası normal, teğet noktasından geçen teğete dik olan düz bir çizgidir.

Normal denklem nasıl bulunur? İtibaren analitik geometri kursu çok basit bir algoritma kendini önerir: teğet denklemi ve içinde sunun Genel görünüm . Daha fazla "kaldır" normal vektör ve nokta ve yön vektörü için normal denklemi oluşturun.

Bu yöntem kullanılabilir, ancak matematiksel analizde aşağıdakilere dayalı hazır bir formül kullanmak gelenekseldir. dik doğruların eğim katsayıları ilişkisi . varsa nihai ve sıfırdan farklı türev, daha sonra fonksiyonun grafiğinin normalinin noktasındaki denklemi aşağıdaki denklem ile ifade edilir:

Sıfıra veya sonsuzluğa eşit olduğu özel durumları kesinlikle ele alacağız, ancak ilk “olağan” örnekler:

örnek 1

Eğrinin grafiğine teğet ve normal denklemlerini oluşturun apsisi olan bir noktada.

Pratik görevlerde, genellikle teğeti de bulmak gerekir. Ancak, bu sadece eldeki - “tam bir ele” sahip olmak daha iyi olacak =)

Çözüm: Görevin ilk kısmı iyi biliniyor, teğet denklemi aşağıdaki formüle göre oluşturacağız:

Bu durumda:

Bulalım türev :
Burada ilk adımda sabiti türevin işaretinden çıkardı , ikincisinde - kullanılmış bileşik fonksiyon türev alma kuralı .

şimdi hesaplayalım bir noktada türev :

Alınan sonlu sayı ve memnun eder. Formülde değiştirin:

Bunu sol tarafın en üstüne taşıyalım, parantezleri açalım ve teğetin denklemini şu şekilde sunalım. Genel görünüm : Görevin ikinci kısmı artık zor değil. Normal denklemi aşağıdaki formülle oluşturacağız: Kurtulmak üç katlı atış ve denklemi akla getirin: istenen denklemdir.

Cevap:

Burada kısmi bir kontrol yapabilirsiniz. İlk olarak, noktanın koordinatları her bir denklemi sağlamalıdır:

- gerçek eşitlik.

- gerçek eşitlik.

Ve ikinci olarak, normal vektörler ortogonal olmalıdır. Bu, kullanılarak kolayca doğrulanabilir nokta ürün : , kontrol edilecekti.

Alternatif olarak, normal vektörler yerine kullanabilirsiniz. çizgilerin yön vektörleri .

! Noktadaki türev ve/veya türev yanlış bulunursa bu kontrol işe yaramaz hale gelir. BT " zayıf bağlantı» görevler - son derece dikkatli olun!

Duruma göre, bir çizim gerekli değildi, ancak bütünlük adına:
Komik, ama aslında tam bir kontrol olduğu ortaya çıktı, çünkü çizim oldukça doğru bir şekilde yapıldı =) Bu arada, fonksiyon üst yayı tanımlar elips .

Bağımsız bir çözüm için aşağıdaki görev:

Örnek 2

Noktadaki fonksiyonun grafiğine teğet ve normal denklemlerini oluşturun.

Dersin sonunda bir son ödev örneği.

Şimdi iki özel duruma bakalım:

1) Noktadaki türev sıfıra eşitse: , o zaman teğet denklemi basitleştirilecektir: Yani teğet eksene paralel olacaktır.

Buna göre normal, eksene paralel olan noktadan geçecek, yani denklemi şeklini alacaktır.

2) Noktadaki türev varsa, ancak sonsuz ise: , makalenin en başında belirtildiği gibi, teğet dikey hale gelecektir: . Normal, eksene paralel bir noktadan geçtiği için denklemi “ayna” şeklinde ifade edilecektir:

Basit:

Örnek 3

Parabolün teğet ve normal denklemlerini oluşturun noktada . Çizim yapmak.

Çizimi tamamlama gereksinimini eklemedim - görev orijinalinde bu şekilde formüle edildi. Bu nadir olmasına rağmen.

Çözüm: tanjant denklemini oluşturun . Bu durumda

Hesaplamalar önemsiz gibi görünüyor, ancak işaretlerde kafa karıştırmak gerçek olmaktan öte:

Böylece:

Teğet eksene paralel olduğu için (Dava 1), o zaman aynı noktadan geçen normal y eksenine paralel olacaktır:

Çizim elbette ek bir sorundur, ancak analitik çözümün iyi bir kontrolü:

Cevap: ,

Bir okul matematik dersinde, tanjantın basitleştirilmiş bir tanımı yaygındır ve şu şekilde formüle edilmiştir: “Bir fonksiyonun grafiğinin teğeti, bu grafikle tek bir ortak noktası olan düz bir çizgidir”. Gördüğünüz gibi, genel durumda bu ifade yanlıştır. Göre türevin geometrik anlamı , yeşil çizgi teğettir, mavi çizgi değil.

Aşağıdaki örnek, şu durumlarda aynı Vaka #1'e ayrılmıştır:

Örnek 4

Noktadaki eğriye teğet ve normalin denklemini yazın.

Kısa çözüm ve ders sonunda cevap

Uygulamada nadiren meydana geldiği vaka numarası 2, bu nedenle yeni başlayanlar çok fazla endişelenemez ve beşinci örneği hafif bir kalple atlayamaz. İtalik olarak yazılan bilgiler, konuya aşina olan ileri düzey okuyuculara yöneliktir. türev ve teğet tanımları ve ayrıca deneyime sahip tanım gereği türevi bulma :

Örnek 5

Bir noktada bir fonksiyonun grafiğine teğet ve normal denklemlerini bulun

Çözüm : içindekritik nokta türev payda kaybolur ve bu nedenle tek taraflı türevler burada türev tanımı kullanılarak hesaplanmalıdır (makalenin sonuna bakınız).Tanımı gereği türev ):
Her iki türev de sonsuzdur, bu nedenle, noktada ortak bir dikey teğet vardır: Normalin x ekseni olduğu açık. Resmi olarak formüle göre: Sorunun daha iyi anlaşılması için bir çizim vereceğim: Cevap :

İnternette gezinmek için ayrılmadığına sevindim, çünkü tüm eğlence daha yeni başlıyor! Bir sonraki paragrafın materyalinde ustalaşmak için şunları bulabilmeniz gerekir: dolaylı olarak türevi verilen fonksiyon :

Fonksiyon örtük olarak verilirse teğet denklemi ve normal denklem nasıl bulunur?

Teğet ve normal formüller aynı kalır, ancak çözüm tekniği değişir:

Örnek 6

noktasındaki eğrinin teğet ve normal denklemlerini bulunuz.

Çözüm: denkleme bakılırsa, bu bir çeşit 3. sipariş hattı , hangisi - şimdi hiç ilgilenmiyoruz.

Denklemde kötü amaçlı yazılım var ve bu nedenle işlevi şu şekilde ifade etme olasılığı açıkçaçok puslu görünüyor.

Ama bu gerekli değil! Çok daha akıllı bir çözüm var. Aynı formülü kullanarak teğet denklemi oluşturacağız.

Koşuldan, değerler biliniyor, bu arada, önerilen denklemi gerçekten karşıladıklarından emin olmak zarar vermez: Doğru eşitlik elde edilir, bu da her şeyin noktaya uygun olduğu anlamına gelir.

Hesaplamak kalıyor. İlk olarak, standart şemayı kullanarak buluyoruz örtük olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevi :

Sonucu, problemimiz için daha uygun bir gösterimle yeniden yazalım:

2. adımda, türevin bulunan ifadesini yerine koyarız:

Bu kadar!

Denklemi dikkatlice ele almak için kalır:

Normal denklemi yazalım:

Cevap:

Hazır! Ve ilk başta zor görünüyordu. Buradaki türev elbette savunmasız bir yer olsa da. Bağımsız çözüm için küçük resim:

Örnek 7

Bir noktada bir doğrunun normalinin denklemini bulun

Zaten teğeti bilemeye yetecek kadar =)

Bu durumda, ne olduğunu bulmak kolaydır. daire yarıçap noktasında ortalayın ve hatta istenen işlevi ifade edin . Ama neden?! Sonuçta, türevini bulmak için örtük işlev daha kolay! Buradaki neredeyse en ilkel o.

Kısa çözüm ve ders sonunda cevap.

Fonksiyon parametrik olarak verilirse teğet denklemi ve normal denklem nasıl bulunur?

Daha da kolay. Ama bunun için bulma alıştırması yapmalısın parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevi . Ve böylece - neredeyse bir bedava:

Örnek 8

Hangi noktada çizilen sikloidin teğet ve normalinin denklemlerini oluşturun.

Sayfada sikloidin bir çizimi bulunabilir Çizgi parametrik olarak ayarlanmışsa S ve V (Öyleyse bu makale daha önce oluşturuldu). Hatta temas noktasını gösterir.

Çözüm: teğet noktasının apsisi ve ordinatı, doğrudan eğrinin parametrik denklemlerinden hesaplanır:

Bulalım Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun 1. türevi :

Ve değerini şu şekilde hesaplayın:

Teğet denklemi, biraz farklı gösterim için ayarlanmış olağan formüle göre oluşturacağız:

Normal Denklem:

Cevap:

Sonuç olarak, başka bir ilginç satırla tanışmayı öneriyorum:

Örnek 9

Bir noktada çizilen yarım kübik bir parabolün normali için bir denklem yazın.

Bu bir kendin yap örneğidir. Parametrik olarak verilen fonksiyonların grafiklerinin, örneğin benim kullanılarak oluşturulabileceğini hatırlatırım. hesaplanmış geometrik düzen .

Eh, dersimiz sona erdi ve umarım sunulan materyal sizin için teğet değildir, ama normalde =)

İlginiz için teşekkürler ve iyi şanslar!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2:Çözüm Bu durumda: Böylece: Normal denklemi formülle oluşturuyoruz : Cevap :

Örnek 4:Çözüm : teğetin denklemini aşağıdaki formülle oluşturacağız: Bu görevde:
Böylece: Bir noktada, teğet eksene paraleldir, dolayısıyla karşılık gelen normal denklem şöyledir: Cevap :

Örnek 7:Çözüm : bu problemde: . Türevini bulalım: Veya: Türev ifadesinde yerine koyun: Gerekli normal denklem: Cevap :

Örnek 9:Çözüm : bu durumda: Türevini bulalım ve değerini şu şekilde hesaplayalım: Normal Denklem: Cevap :

http://www.mathprofi.ru adresinden alınmıştır.

Tanım: M 0 noktasındaki y \u003d ¦ (x) eğrisinin normali, M 0 noktasından geçen ve bu eğriye M 0 noktasındaki teğete dik olan düz çizgidir.

Eğrinin denklemini ve M 0 noktasının koordinatlarını bilerek tanjant ve normalin denklemini yazalım. teğet vardır eğim k \u003d t g \u003d ¦, (x 0). Analitik geometriden düz çizginin y-y 0 = k(x - x 0) denklemine sahip olduğu bilinmektedir.

Bu nedenle, teğet denklemi: y - y 0 \u003d ¦, (x 0) (x - x 0); (bir)

Normal Kn \u003d'nin eğimi (dik oldukları için), ancak daha sonra normal denklem:

y-y 0 \u003d (-1 / ¦, (x 0) (x - x 0); (2)

Bir noktada türev yoksa, o noktada da teğet yoktur.

Örneğin, ¦(x)=|x| x=0 noktasında türevi yoktur.

lim D x ®0 (D y/ D x)= lim D x ®0 (| D x|/ D x)=

Tek taraflı limitler var ama lim D x ®0 (D y / D x) mevcut değil

Tanjant da.

Böyle bir noktaya grafiğin köşe noktası denir.

§dört. Bir fonksiyonun sürekliliği ve türevlenebilirliği arasındaki ilişki.

Türevlenebilir bir fonksiyon için aşağıdaki teorem geçerlidir.

Teorem: y \u003d ¦ (x) fonksiyonunun x 0 noktasında sonlu bir türevi varsa, fonksiyon bu noktada süreklidir.

Kanıt:

Çünkü x 0 noktasında bir türev ¦ vardır, (x 0), yani. bir sınır var

lim D x ®0 (D y/ D x)= ¦ , (x 0), ardından D y/ D x= ¦ , (x 0)+ , burada

B.m.v., D x'e bağlı olarak. D x®0, ®0 için çünkü \u003d (D y / D x) - ¦, (x 0) ®0 D x®0'da

Buradan elimizde: D y \u003d ¦, (x 0) D x + D x.

Ama sonra

Argümanın sonsuz küçük bir artışı, fonksiyonun sonsuz küçük bir artışına karşılık gelir, dolayısıyla ¦(x) x 0 noktasında süreklidir.

Ters teoremin doğru olmadığını anlamak önemlidir!

Her sürekli fonksiyon türevlenebilir değildir.

Böylece, ¦(x) =|x| x 0 =0 noktasında süreklidir, grafik düz bir çizgidir, ancak ¦ , (0) yoktur.

§5. Sabit, sinüs, kosinüs ve üstel fonksiyonun türevleri.

1. y \u003d ¦ (x) \u003d c; y, = (c), = 0; (bir)

Kanıt:

a) herhangi bir noktada x ¦(x) = c

b) x'e bir artış D x, x + D x veririz, ¦ (x + D x) = c fonksiyonunun değeri;

c) ¦ (x + D x) - ¦ (x) \u003d c - c \u003d 0;

d) D y / D x \u003d 0 / D x \u003d 0

e) lim D x ®0 (D y / D x) = lim D x ®0 0 = 0

2. y \u003d günah x; y, = (sin x), = cos x; (2)

Kanıt:

a) herhangi bir noktada x ¦ (x) = günah x;

b) x'in D x, x + D x, fonksiyon değerini artırmasına izin verin

Türev uygulamaları.

5.1.Türevin geometrik anlamı:

Fonksiyonun grafiğini düşünün y= f (x).

Şekil 1, herhangi iki nokta için A ve B fonksiyonun grafiği: , burada α sekantın eğimidir AB.

Böylece fark oranı sekantın eğimine eşittir. bir noktayı düzeltirsek A ve noktayı ona doğru hareket ettirin B, sonra süresiz olarak azalır ve 0'a yaklaşır ve sekant AB teğete yaklaşır AC.

Bu nedenle, fark oranının sınırı, A noktasındaki teğetin eğimine eşittir, yani. . Bu şu anlama gelir: Fonksiyonun x 0 noktasındaki türevi, bu noktada y = f(x) fonksiyonunun grafiğine teğetin eğimine eşittir, yani. .

1. Fonksiyonun grafiğine (x 0; f (x 0) noktasındaki teğeti, sekantın (AC) sınırlayıcı konumudur.

teğet denklemi : y – f(x 0) =

2. (x 0; f (x 0) noktasındaki teğete (AC) dik olan çizgiye fonksiyonun grafiğinin normali denir..

Normal Denklem: y – f(x 0) =

Bir görev: apsisi x 0 =2 olan noktada y=10x-x fonksiyonunun grafiğine çizilen teğet ve normalin denklemlerini oluşturunuz.

Çözüm:

1. Temas noktasının koordinatını bulun: f(х 0)= f(2)=10∙2–2 2 =16,

2. Teğetin eğimini bulun: f "(x) \u003d (10x-x)" \u003d 10-2x, \u003d f"(2)=10–2∙2=6

3. Tanjant denklemini oluşturun: y–16 = 6 ∙ (x-2), y–16 = 6x–12, y–6x–4 = 0 – tanjant denklemi,

4. Normalin denklemini oluşturun: y -16 =, 6y -96 = -x + 2, 6y + x -98 = 0 - normalin denklemi.

5.2. fiziksel anlam türev:

Tanım. Cismin hızı, yolun zamana göre birinci türevine eşittir:

5.3. Türevin mekanik anlamı:

Tanım. Cismin ivmesi, hızın zamana göre birinci türevine veya yolun zamana göre ikinci türevine eşittir:

Bir görev: Kanuna göre hareket eden bir noktanın t=4c anında hızını ve ivmesini belirleyiniz.

Çözüm:

1. Hız yasasını bulun: v= S"=

2. t = 4c anındaki hızı bulun: v(t)= v(4)=2∙4 2 +8∙4=64 birim/sn

3. İvme yasasını buluyoruz: a=v′=

4. t = 4c anındaki ivmeyi bulun: a(t)= a( 4)=4∙4+8=24birim/sn 2

BÖLÜM 1.3. Fonksiyon diferansiyeli ve yaklaşık hesaplamalarda uygulaması. Fonksiyon diferansiyeli kavramı

fonksiyon diferansiyeli y \u003d ƒ (x), x noktasındaki artışının ana kısmı olarak adlandırılır, fonksiyonun türevinin ürününe ve argümanın artışına eşittir ve dу (veya dƒ (x) ile gösterilir): dy \u003d ƒ "(x)∙∆х(1).

diferansiyel dу olarak da adlandırılır birinci dereceden diferansiyel. Bağımsız değişken x'in diferansiyelini, yani y=x fonksiyonunun diferansiyelini bulalım.

y"=x"=1 olduğundan, formül (1)'e göre, elimizde dy=dx=∆x olur, yani bağımsız değişkenin diferansiyeli şu değişkenin artışına eşittir: dx=∆x.

Bu nedenle formül (1) aşağıdaki gibi yazılabilir: dy \u003d ƒ "(x) ∙ dx(2) başka bir deyişle, bir fonksiyonun diferansiyeli, bu fonksiyonun türevinin ürününe ve bağımsız değişkenin diferansiyeline eşittir.

Formül (2)'den, eşitlik dy / dx \u003d ƒ "(x) izler.

Örnek 1: ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x) fonksiyonunun diferansiyelini bulun.

Çözüm: dy \u003d ƒ "(x) dx formülüne göre, dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x))" dx \u003d (6x-2cos (l + 2x)) dx'i buluyoruz.

Örnek2: Fonksiyonun ikinci dereceden diferansiyelini bulun: y = x 3 –7x.

Çözüm:

BÖLÜM 1.4. İlkel. Belirsiz integral. Belirsiz integrali hesaplama yöntemleri.

Tanım1. F(x) fonksiyonuna, diferansiyeli f(x)dx ifadesine eşit olan bir aralıkta f(x) fonksiyonunun ters türevi denir. Örnek: f (x) \u003d 3x 2 3x 2 dx F (x) \u003d x 3.

Bununla birlikte, bir fonksiyonun diferansiyeli, tek bir ters türevine değil, bunların bir kümesine karşılık gelir. Örneği düşünün: F 1 (x) = x 3, F 2 (x) = x 3 + 4, F 3 (x) = x 3 - 2, genel olarak F (x) + C, burada C keyfi bir sabittir . Bu, f(x)=3x2 fonksiyonu için birbirinden bir sabit terimle farklılık gösteren birçok ters türev olduğu anlamına gelir.

Tanım2. Bir aralıktaki tüm ters türevli fonksiyonlar f(x) kümesine bu aralıktaki f(x) fonksiyonlarının belirsiz integrali denir ve ∫f(x)dx sembolü ile gösterilir.

Bu sembol şöyledir: "f(x) bölü dx'in integrali", dolayısıyla tanım gereği:

∫ (x)dx = F(x)+C.

Sembol ∫ integralin işareti olarak adlandırılır, f(x) integraldir, f(x)dx integraldir, x integral değişkendir, F(x) bir tür ters türevdir,

C sabittir.

Belirsiz integralin temel özellikleri:

1. Belirsiz integralin diferansiyeli, integrale eşittir, yani.

d ∫ f(x)dx = f(x)dx.

2. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, keyfi bir sabite eklenen bu fonksiyona eşittir: ∫ dF(x) = F(x) + C

3. Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir: ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx , k-sabit.

4. Fonksiyonların cebirsel toplamının belirsiz integrali toplamına eşittir her birinden integraller: ∫ (f 1 (x)+f 2 (x)-f 3 (x))dx = ∫ f 1 (x)dx + ∫ f 2 (x)dx – ∫f 3 (x)dx .

Denklemi şu şekle sahip bir eğri düşünün:

Bir noktadaki belirli bir eğriye teğet denklemi şu şekildedir:

Belirli bir noktada bir eğrinin normali, belirli bir noktadan geçen ve o noktadaki teğete dik olan düz bir çizgidir.

Bir noktada verilen bir eğrinin normalinin denklemi şu şekildedir:

(35)

Teğet noktası ile apsis ekseni arasında kalan teğet parçasının uzunluğuna denir. teğet uzunluk, bu parçanın x eksenine izdüşümüne denir alt teğet .

Teğet noktası ile apsis ekseni arasında kalan normal doğru parçasının uzunluğuna denir. normal uzunluk, bu parçanın x eksenine izdüşümüne denir normalin altında.

Örnek 17

Apsisi eşit olan bir noktada eğriye teğet ve normal denklemlerini yazın.

Çözüm:

Bu noktada fonksiyonun değerini bulalım:

noktasında verilen fonksiyonun türevini bulalım.

Cevap: Teğet denklemi:

Normal Denklem: .

Örnek 18

Bir elips için tanjant ve normal, teğet ve alt tanjant uzunluğu, normalin uzunluğu ve normalin altı için denklemleri yazın

olduğu noktada.

Çözüm:

Formül (10) ile parametrik olarak verilen fonksiyonun bir türevi olarak bulalım:

Temas noktasının koordinatlarını ve temas noktasındaki türevin değerini bulun:

Tanjant denklemi formül (34) ile bulunur:

Teğetin eksenle kesiştiği noktanın koordinatlarını bulun:

Teğetin uzunluğu, segmentin uzunluğuna eşittir:

Tanım olarak, alt tanjant eşittir

Burada açı, teğet ile eksen arasındaki açıdır. Bu nedenle, teğetin eğimi eşittir

Yani alt tanjant eşittir

Normal denklemi formül (35) ile buluruz:

Normalin eksenle kesiştiği noktanın koordinatlarını bulun:

Normalin uzunluğu, segmentin uzunluğuna eşittir:

Tanım olarak, normal altı eşittir

Açı, normal ile eksen arasındaki açıdır. Bu nedenle, normalin eğimi eşittir

Yani normal altı:

Cevap: Teğet denklemi:

Normal Denklem:

teğet uzunluğu ; alt tanjant;

Normal uzunluk ; normalin altında

Görevler 7. Teğet ve normal denklemleri yazın:

1. Bir noktada apsisi olan bir parabole

2. X ekseni ile kesişme noktalarındaki daireye

3. Hangi noktada sikloide

4. Eğrinin hangi noktalarında teğet paralel:

a) Öküz ekseni; b) düz

.

10. Bir fonksiyonun monotonluk aralıkları. İşlev aşırılıkları.

Fonksiyon monotonluğu koşulu:

Bir fonksiyonun artmayarak türevlenebilmesi için türevin kendisine ait tüm noktalarda pozitif olmaması gerekli ve yeterlidir.

Bir fonksiyonun azalmayarak türevlenebilmesi için türevin kendisine ait tüm noktalarda negatif olmaması gerekli ve yeterlidir.

Bir fonksiyonun türevinin belirli bir işaret taşıdığı aralıklara aralık denir. monotonluk fonksiyonlar

Örnek 19

Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.

Çözüm:

fonksiyonun türevini bulalım .

Elde edilen türevin sabitlik aralıklarını bulalım. Bunun için

elde edilen kare üç terimliyi çarpanlarına ayırıyoruz:

Ortaya çıkan ifadenin işaretini interval yöntemini kullanarak inceliyoruz.

Böylece (36), (37)'ye göre verilen fonksiyonun arttığını ve azaldığını elde ederiz.

Cevap: Verilen fonksiyon artmakta ve azalmaktadır.

Tanım Fonksiyon noktada vardır yerel maksimum (minimum), koşulun sağlanacağı şekilde noktanın bir komşuluğu varsa

Bir fonksiyonun yerel minimumu veya maksimumu denir. yerel ekstremum.

Bir ekstremumun varlığı için gerekli bir koşul.

Fonksiyon, noktanın bir komşuluğunda tanımlansın. Fonksiyonun noktada bir ekstremumu varsa, o noktada türev ya sıfırdır ya da yoktur.

nokta denir kritik nokta noktasındaki türev sıfırsa veya yoksa işlev görür.

Kritik bir noktada bir ekstremumun varlığı için yeterli koşullar.

Nokta kritik olsun.

Bir ekstremum için ilk yeterli koşul:

Fonksiyonun noktanın bazı komşuluklarında sürekli olmasına ve her noktada türevlenebilir olmasına izin verin.

Bir nokta, içinden geçerken yerel bir maksimumdur.

Bir fonksiyonun türevi artıdan eksiye işaret değiştirir.

Bir nokta, içinden geçerken yerel bir minimumdur.

Bir fonksiyonun türevi eksiden artıya işaret değiştirir.

Örnek 20

Fonksiyonun ekstremumunu bulun.

Çözüm:

Verilen fonksiyonun türevini bulalım

Elde edilen türevdeki pay ve paydayı sıfıra eşitleyerek kritik noktaları buluruz:

Aralıklar yöntemini kullanarak türevin işaretini araştırıyoruz.

Şekilden, bir noktadan geçerken türevin işaretini artıdan eksiye değiştirdiği görülebilir. Bu nedenle, noktada yerel bir maksimum vardır.

Bir noktadan geçerken, türev işareti eksiden artıya değiştirir.

Bu nedenle, nokta yerel bir minimumdur.

Bir noktadan geçerken türev işaret değiştirmez. Bu nedenle kritik nokta, verilen fonksiyonun uç noktası değildir.

Cevap:- yerel maksimum, - yerel minimum.

Bir ekstremum için ikinci yeterli koşul:

Bir fonksiyonun bir noktadaki ilk türevleri sıfıra eşitse ve fonksiyonun bir noktadaki a-th türevi sıfır değilse, o zaman nokta fonksiyonun uç noktasıdır ve ayrıca,

o zaman yerel bir minimumdur

o zaman yerel bir maksimumdur.

Örnek 21

İkinci türevi kullanarak fonksiyonun ekstremumunu bulun.

Çözüm:

Verilen fonksiyonun ilk türevini bulalım.

Fonksiyonun kritik noktalarını bulalım:

Fonksiyon sadece sol komşulukta tanımlandığı için bir noktayı dikkate almıyoruz.

ikinci türevi bulalım

Bulduk

Böylece, (39)'a dayanarak, at'ın bir yerel maksimum olduğu sonucuna varırız.

Cevap: yerel maksimumdur.

Görevler 8.

Artan ve azalan işlevleri inceleyin:

İşlevin uç noktalarını keşfedin:

Tanjant düz bir çizgidir fonksiyonun grafiğine bir noktada dokunan ve tüm noktaları fonksiyonun grafiğinden en küçük mesafede olan . Bu nedenle, teğet, fonksiyonun grafiğine belirli bir açıda teğet geçer ve birkaç teğet, teğet noktasından farklı açılarda geçemez. Tanjant denklemleri ve fonksiyonun grafiğinin normalinin denklemleri türev kullanılarak derlenir.

Teğet denklemi, düz çizgi denkleminden türetilmiştir. .

Tanjantın denklemini ve sonra fonksiyonun grafiğine normalin denklemini türetiyoruz.

y = kx + b .

onun içinde k- açısal katsayı.

Buradan aşağıdaki girişi alıyoruz:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

türev değeri f "(x 0 ) fonksiyonlar y = f(x) noktada x0 eğime eşit k=tg φ bir noktadan çizilen bir fonksiyonun grafiğine teğet M0 (x 0 , y 0 ) , nerede y0 = f(x 0 ) . Bu nedir geometrik anlamda türev .

Böylece, değiştirebiliriz küzerinde f "(x 0 ) ve aşağıdakileri al fonksiyonun grafiğine teğetin denklemi :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemini derleme görevlerinde (ve yakında onlara geçeceğiz), yukarıdaki formülden elde edilen denklemi bir doğrunun genel denklemi. Bunu yapmak için tüm harf ve sayıları denklemin sol tarafına aktarmanız ve sağ tarafta sıfır bırakmanız gerekir.

Şimdi normal denklem hakkında. Normal teğete dik fonksiyonun grafiğine teğet noktasından geçen düz bir çizgidir. Normal Denklem :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

İlk örneği ısıtmak için kendiniz çözmeniz ve ardından çözüme bakmanız isteniyor. Bu görevin okuyucularımız için bir "soğuk duş" olmayacağını ummak için her türlü neden var.

Örnek 0. Bir noktada fonksiyonun grafiğine tanjantın denklemini ve normalin denklemini oluşturun M (1, 1) .

örnek 1 Teğetin denklemini ve fonksiyonun grafiğine normalin denklemini oluşturun temas noktasının apsisi ise .

Fonksiyonun türevini bulalım:

Şimdi, tanjant denklemini elde etmek için teorik referansta verilen girişe ikame edilmesi gereken her şeye sahibiz. alırız

Bu örnekte şanslıydık: eğim sıfıra eşit çıktı, bu yüzden denklemi ayrı ayrı getirin. Genel görünüm gerek yoktu. Şimdi normal denklemi yazabiliriz:

Aşağıdaki resimde: bordo renkte bir fonksiyonun grafiği, yeşil renkte bir tanjant, turuncu renkte bir normal.

Bir sonraki örnek de karmaşık değil: öncekinde olduğu gibi fonksiyon da bir polinomdur, ancak eğim katsayısı sıfıra eşit olmayacaktır, bu nedenle bir adım daha eklenecektir - denklemi genel bir forma getirerek.

Örnek 2

Çözüm. Temas noktasının koordinatını bulalım:

Fonksiyonun türevini bulalım:

.

Temas noktasındaki türevin değerini, yani teğetin eğimini bulalım:

Elde edilen tüm verileri "boş formül" ile değiştiririz ve teğet denklemi elde ederiz:

Denklemi genel bir forma getiriyoruz (sol tarafta sıfır dışındaki tüm harf ve sayıları toplayıp sağ tarafta sıfır bırakıyoruz):

Normalin denklemini oluşturuyoruz:

Örnek 3 Temas noktasının apsisi ise fonksiyonun grafiğine teğetin denklemini ve normalinin denklemini oluşturun.

Çözüm. Temas noktasının koordinatını bulalım:

Fonksiyonun türevini bulalım:

.

Temas noktasındaki türevin değerini, yani teğetin eğimini bulalım:

.

Teğetin denklemini buluyoruz:

Denklemi genel bir forma getirmeden önce biraz “birleştirmeniz” gerekir: terimi terimle 4 ile çarpın. Bunu yapıyoruz ve denklemi genel bir forma getiriyoruz:

Normalin denklemini oluşturuyoruz:

Örnek 4 Temas noktasının apsisi ise fonksiyonun grafiğine teğetin denklemini ve normalinin denklemini oluşturun.

Çözüm. Temas noktasının koordinatını bulalım:

.

Fonksiyonun türevini bulalım:

Temas noktasındaki türevin değerini, yani teğetin eğimini bulalım:

.

Teğet denklemi elde ederiz:

Denklemi genel bir forma getiriyoruz:

Normalin denklemini oluşturuyoruz:

Teğet ve normal denklemler yazarken yapılan yaygın bir hata, örnekte verilen fonksiyonun karmaşık olduğunu fark etmemek ve türevini basit bir fonksiyonun türevi olarak hesaplamaktır. Aşağıdaki örnekler zaten karmaşık fonksiyonlar(ilgili ders yeni bir pencerede açılacaktır).

Örnek 5 Temas noktasının apsisi ise fonksiyonun grafiğine teğetin denklemini ve normalinin denklemini oluşturun.

Çözüm. Temas noktasının koordinatını bulalım:

Dikkat! Bu işlev- karmaşık, teğet argümanından beri (2 x) kendisi bir fonksiyondur. Bu nedenle, bir fonksiyonun türevini karmaşık bir fonksiyonun türevi olarak buluruz.