Rastgele değişkenlerin olasılık dağılımları; dağıtım fonksiyonu ile karakterize edilir

dağılım eğrisi şekil parametresi nerede, ölçek parametresidir, kaydırma parametresidir. Dağılımlar ailesi (*) adını, yorulma testleri sırasında çeliğin çekme mukavemetine ilişkin deneysel verileri ve dağılım parametrelerinin (*) tahmin edilmesi için önerilen yöntemleri yaklaşık olarak tahmin etmek için ilk kez kullanan W. Weibull'dan almıştır. V. r. asimptotiğe ait üçüncü tür aşırı terimlerin dağılımı varyasyon serisi. Bilyalı rulmanların, vakum cihazlarının, elektronik bileşenlerin arıza modellerini tanımlamak için yaygın olarak kullanılır. V.'nin özel nehir durumları. üstel (p=1) ve Rayleigh (p=2) dağılımlarıdır. Dağılım fonksiyonu eğrileri (*) Pearson dağılımları ailesine ait değildir. Weibull dağılım fonksiyonunu hesaplamak için yardımcı tablolar vardır (bkz. ). Seviye niceliği q şuna eşit olduğunda

gama işlevi nerede; varyasyon, çarpıklık ve basıklık 'e bağlı değildir, bu da onları tablolaştırmayı ve parametre tahminlerini elde etmek için yardımcı tablolar oluşturmayı kolaylaştırır. V. r. tek modludur, eşittir ve arıza tehlikesi fonksiyonu azalmaz. için, fonksiyon monoton olarak azalıyor. Bu şekilde inşa edebilirsiniz. aranan Weibull olasılık kağıdı (bkz. ). Üzerinde görüntü bir içbükeyliğe sahip olduğunda ve bir dışbükeyliğe sahip olduğunda düz bir çizgiye dönüşür. V. r parametrelerinin tahminleri. nicel yöntem, maksimum olabilirlik yönteminden çok daha basit denklemlere yol açar. ortak asimptotik nicel yöntemle parametreleri ve (at ) tahmin etme verimliliği maksimumdur (ve 0,64'e eşittir). 0.24 ve 0.93 düzey niceliklerini kullanarak. Dağılım fonksiyonu (*), lognormal dağılımın dağılım fonksiyonu tarafından iyi bir şekilde tahmin edilir.

( - normalleştirilmiş dağılımın dağılım fonksiyonu,):

Aydınlatılmış:Weibull W., Malzemelerin mukavemetinin istatistiksel teorisi, Stockh., 1939; Gnedenko B.V., Belyaev Yu.K., Solovyov A.D., Matematiksel Yöntemler güvenilirlik teorisinde, M., 1965; Johnson L., Yorulma deneylerinin istatistiksel tedavisi, Amst., 1964; Kramer G Matematiksel istatistik yöntemleri, çev. İngilizce'den, 2. baskı, M, 1975. Yu.K. Belyaev, E.V. Chepurin.

Matematiksel ansiklopedi. - M.: Sovyet Ansiklopedisi. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Diğer sözlüklerde "WEIBULL DAĞITIMI" nın ne olduğunu görün:

dağıtım- 3.38 tahsis (tahsis): Bir sistemin (nesnenin) tasarımında kullanılan ve bir nesnenin özelliklerinin değerleri için gereksinimleri, belirlenmiş bir kritere göre bileşenler ve alt sistemler arasında dağıtmayı amaçlayan prosedür. ... . ..

Weibull dağılımı- 1.48. Weibull dağılımı; tip III uç değerlerin dağılımı Sürekli olasılık dağılımı rastgele değişken Dağıtım fonksiyonu ile X: burada x ³ a; y = (xa)/b; ve parametreler ¥< a < +¥, k >0, b > 0. Not... Normatif ve teknik dokümantasyon terimlerinin sözlük referans kitabı

Olasılık yoğunluğu Dağılım fonksiyonu Gösterim (((gösterim))) Parametreler ölçek faktörü ... Wikipedia

Weibull dağılımı

İki parametreli Weibull dağılımı, üstel dağılımdan daha esnektir. özel durum ilk. Weibull yoğunluğu

1/t0 = ve m = 1'de Denklem (8) üstel dağılım yoğunluğuna dönüşür. 1/t0 değeri ölçeği belirler ve m - dağılımın asimetrisini (şeklini) belirler.

(8)'i 0'dan t'ye entegre ettikten sonra, F(t) dağıtım fonksiyonunu Q(t)'ye eşit olarak elde ederiz:

Sonuç olarak,

Yoğunluk (8) ve olasılık (10) oranı başarısızlık oranını verir

Weibull dağılımının ana grafikleri Şekil 4'te gösterilmektedir.

İki parametreli Weibull dağılımı, yaklaşımda olağanüstü esnekliğe sahiptir ampirik dağılımlar ve bu nedenle güvenilirlik teorisinin pratik uygulamalarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Hem alıştırma alanında hem de eskime ve aşınma süreçlerinin analizinde güvenilirlik yasalarının tanımlanmasında kullanılır.

Weibull dağılımındaki arızalar arasındaki ortalama süre, koşuldan belirlenir ve şuna eşittir:

Şekil3.4. Weibull dağılım grafikleri

nerede - gama - işlev;

Normal dağılım

İki parametreli normal (Gauss) dağılım, güvenilirlik teorisinin pratik problemlerinde son derece yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu dağılımın parametreleri - beklenen değer rastgele değişken ve - standart sapma. Normal dağılımın yoğunluğu bağımlılık tarafından belirlenir

Normal yasaya göre dağılım fonksiyonu F(x) (Şekil 3.5), -'den +'ya integrasyon limitleri ile f(x) yoğunluğunun integrali ile belirlenir.

Rastgele değişken t, tüm güvenilirlik problemlerinde olduğu gibi, nesnenin çalışma süresi anlamına gelir ve bu nedenle, sayıların pozitif yarı ekseninde tanımlanır ve daha önce belirtildiği gibi normal yasa, tüm sayısal eksende tanımlanır - - +. Bu bağlamda, güvenilirlik teorisinde, yoğunluğu (3.13) sabit bir faktörle çarpılarak belirlenen, kesilmiş bir normal yasa dikkate alınır.

burada, a, b, kesilmiş dağılımın sol ve sağ sınırlarıdır.

F(a),F(b) - normal yasanın sol ve sağ kesme sınırlarındaki dağılım fonksiyonlarının değerleri.

Sabit faktör c'nin anlamı, Şekil 6'da gösterilen normal dağılım yoğunluğunun grafiği göz önüne alındığında netleşir.

Şek.5.

Dağılım yoğunluk eğrisinin altında kalan alanın her zaman bire eşit olması gerektiği bilinmektedir, yani bu durumda. Şekil 6'da gösterildiği gibi, bu koşulu sağlamak için, kesilmiş normal yasanın yoğunluk eğrisi, normal yasanın orijinal yoğunluğunu sabit bir faktörle çarparak yukarı ve sağa kaydırılmalıdır. Buna göre, ana parametreler değişecektir: matematiksel beklenti ve standart sapma. Hesaplamalar şunu gösteriyor ki, /< 0.5 (коэффициент вариации) постоянный множитель c для усечённо- нормального закона близок к единице. Поэтому во многих практических задачах теории надёжности пользуются параметрами нормального закона распределения случайной наработки объекта до отказа. При этом математическое ожидание отождествляют со средней наработкой до отказа Т0.

Şekil 6.

Normal dağılım altında hatasız çalışma olasılığı şuna eşittir:

Başarısızlık olasılığı formülle hesaplanır (s 1'de)

Arıza oranı, yoğunluğun arızasız çalışma olasılığına oranı ile belirlenir.

(14)…(16) ifadelerindeki integraller cinsinden ifade edilmezler. temel fonksiyonlar. Genellikle parametrenin olasılık integrali ile temsil edilirler.

tablolar bunun için yapılır.

(17) dikkate alındığında, normal yasaya göre hatasız çalışma olasılığı formülle belirlenir.

Ders soruları:

giriiş

Teknik sistemlerin güvenilirlik modelleri

Çalışma süresi dağıtım yasaları

giriiş

Teknik nesneleri, özellikle tasarım ve yaratım aşamalarında incelemek için nicel yöntemler, her zaman matematiksel süreç ve fenomen modellerinin oluşturulmasını gerektirir. Matematiksel bir model genellikle, nesnenin işleyişinin gerçek süreçlerini belirli bir yaklaşımla yansıtan başlangıç ​​ve sınır koşullarının yanı sıra birbirine bağlı analitik ve mantıksal ifadeler kümesi olarak anlaşılır. Matematiksel bir model, oluşturulan proje hakkında bilgi alabileceğiniz tam ölçekli bir nesnenin bir bilgi analogudur. Tahmin yapma yeteneği, modelin tanımlayıcı bir özelliği olarak kabul edilir. Bütün bunlar tamamen matematiksel güvenilirlik modelleri için geçerlidir.

Güvenilirliğin matematiksel modeli, analitik olarak temsil edilen bir sistem olarak anlaşılmaktadır. full bilgi nesnenin güvenilirliği hakkında. Bir model oluştururken, güvenilirliği belirli bir şekilde değiştirme süreci basitleştirilir ve şemalaştırılır. Tam ölçekli bir nesneye etki eden çok sayıda faktörden, ana olanlar seçilir, bunların değişimi güvenilirlikte gözle görülür değişikliklere neden olabilir. Sistemi oluşturan parçalar arasındaki ilişkiler, belirli yaklaşımlarla da analitik bağımlılıklarla temsil edilebilir. Sonuç olarak, nesne güvenirlik modeli çalışması temelinde elde edilen sonuçlar bir miktar belirsizlik içermektedir.

Model ne kadar başarılı seçilirse, nesnenin işleyişinin karakteristik özelliklerini o kadar iyi yansıtır, güvenilirliği o kadar doğru değerlendirilir ve karar verme için makul öneriler elde edilir.

1. Teknik sistemlerin güvenilirlik modelleri

Şu anda, matematiksel güvenilirlik modelleri oluşturmak için genel ilkeler vardır. Model, gelecekteki işlemlerinin özellikleri dikkate alınarak yalnızca belirli bir nesne için veya daha kesin olarak aynı türdeki bir grup nesne için oluşturulur. Aşağıdaki gereksinimleri karşılamalıdır:

Model, nesnenin güvenilirliğini etkileyen maksimum faktör sayısını dikkate almalıdır;

Model, tipik hesaplama araçlarını kullanarak, girdi faktörlerindeki değişime bağlı olarak çıktı güvenilirliği göstergelerini elde etmek için yeterince basit olmalıdır.

Bu gereksinimlerin tutarsızlığı, model oluşturma sürecini bir dereceye kadar yaratıcı kılan modellerin inşasını tamamen resmileştirmeye izin vermez.

Biri Şekil 1 1'de gösterilen birçok güvenilirlik modeli sınıflandırması vardır.

Şekil 1. Güvenilirlik modellerinin sınıflandırılması

Şekil 1'de gösterildiği gibi, tüm modeller iki büyük gruba ayrılabilir: nesne güvenilirlik modelleri ve eleman modelleri. Eleman güvenilirlik modelleri daha fazla fiziksel içeriğe sahiptir ve belirli bir tasarımın elemanları için daha spesifiktir. Bu modeller, malzemelerin mukavemet özelliklerini kullanır, yapıya etki eden yükleri hesaba katar, çalışma koşullarının elemanların çalışması üzerindeki etkisini dikkate alır. Bu modellerin çalışmasında, seçilen faktörlere bağlı olarak arızaların meydana gelme süreçlerinin resmileştirilmiş bir açıklaması elde edilir.

Nesnelerin güvenilirlik modelleri, belirli bir nesneyi oluşturan öğelerin etkileşim süreci olarak işleyiş sürecinin güvenilirliği açısından resmileştirilmiş bir açıklama için oluşturulur. Böyle bir modelde, öğelerin etkileşimi, yalnızca nesnenin genel güvenilirliğini etkileyen en önemli bağlantılar aracılığıyla gerçekleştirilir.

Eleman arızaları açısından parametrik nesne güvenirlik modelleri ve modelleri bulunmaktadır. Parametrik modeller, modelin çıktısında istenen nesne güvenilirlik göstergesinin elde edilmesini mümkün kılan rastgele eleman parametrelerinin fonksiyonlarını içerir. Sırayla, öğelerin parametreleri, nesnenin çalışma süresinin işlevleri olabilir.

Eleman arızaları açısından oluşturulan modeller en resmi olanıdır ve karmaşık teknik sistemlerin güvenilirliğinin analizinde ana modellerdir. Bu tür modeller oluşturmak için gerekli bir koşul, sistemin her bir elemanının arıza belirtilerinin açık bir açıklamasıdır. Model, tek bir elemanın arızasının sistemin güvenilirliği üzerindeki etkisini yansıtır.

Modellerin uygulama ilkelerine göre, analitik, istatistiksel ve birleşik (aksi takdirde işlevsel - istatistiksel) olarak farklılık gösterirler.

Analitik modeller, sistemin güvenilirliğini karakterize eden parametreler ile güvenilirliğin çıktı göstergesi arasındaki analitik bağımlılıkları içerir. Bu tür bağımlılıkları elde etmek için, önemli faktörlerin sayısını sınırlamak ve değişen güvenilirlik sürecinin fiziksel resmini önemli ölçüde basitleştirmek gerekir. Sonuç olarak, analitik modeller, sistem güvenilirliği göstergelerini değiştirmenin yalnızca nispeten basit problemlerini yeterli doğrulukla tanımlayabilir. Sistemin karmaşıklaşması ve güvenirliği etkileyen faktörlerin artması ile istatistiksel modeller ön plana çıkmaktadır.

İstatistiksel modelleme yöntemi, büyük karmaşıklığa sahip çok boyutlu problemlerin kısa sürede ve kabul edilebilir doğrulukla çözülmesine izin verir. Bilgisayar teknolojisinin gelişmesiyle birlikte bu yöntemin olanakları da genişlemektedir.

İşlevsel-istatistiksel modellerin oluşturulmasını sağlayan birleşik yöntem, daha da büyük olanaklara sahiptir. Bu tür modellerde, elemanlar için analitik modeller oluşturulur ve sistem bir bütün olarak istatistiksel modda modellenir.

Bir veya başka bir matematiksel modelin seçimi, nesnenin güvenilirliğine ilişkin çalışmanın hedeflerine, öğelerin güvenilirliği hakkında ilk bilgilerin mevcudiyetine, güvenilirlikteki değişikliği etkileyen tüm faktörlerin bilgisine, hazır olma durumuna bağlıdır. Analitik aparatın hasar birikimi ve arıza süreçlerini ve diğer birçok nedeni tanımlamak için. Sonuçta model seçimi araştırmacı tarafından yapılır.

3. GÜVENİLİRLİK HESAPLAMALARINDA EN SIK KULLANILAN TEMEL MATEMATİKSEL MODELLER

3.1. Weibull dağılımı

Çok sayıda elektronik cihazın ve önemli miktarda elektromekanik ekipmanın çalışma deneyimi, bunların, bu cihazların kullanım ömrünün üç periyoduna karşılık gelen, zamana bağlı arıza oranının üç tür bağımlılığı ile karakterize edildiğini göstermektedir (Şekil 3.1).

Bu rakamın Şekil 2'ye benzer olduğunu görmek kolaydır. 2.3, fonksiyonun grafiğinden beri ben (t) Weibull yasasına karşılık gelir. Zamandaki başarısızlık oranının bu üç tür bağımlılığı, arızaya kadar rastgele zamanın olasılıksal açıklaması için iki parametreli Weibull dağılımı kullanılarak elde edilebilir. Bu dağılıma göre, başarısızlık anının olasılık yoğunluğu

, (3.1)

D nerede - şekil parametresi (deneysel verilerin işlenmesi sonucunda seçimle belirlenir, d > 0); ben - ölçek parametresi, .

Başarısızlık oranı ifade ile belirlenir

(3.2)

Çalışma süresi olasılığı

, (3.3)

ve başarısızlık için ortalama zaman

. (3.4)

parametre ile olduğunu unutmayın. d = 1, Weibull dağılımı üstel hale gelir ve d = 2 - Rayleigh dağılımına.

d için< 1'de, arıza oranı monoton olarak azalır (alıştırma periyodu) ve monoton olarak artar (aşınma periyodu), bkz. 3.1. Bu nedenle parametre seçilerek d üç bölümün her birinde böyle bir teorik eğri elde etmek mümkündür. ben (t) deneysel eğri ile yakından örtüşür ve daha sonra gerekli güvenilirlik göstergelerinin hesaplanması bilinen bir düzenlilik temelinde yapılabilir.

Weibull dağılımı, bir dizi mekanik nesne (örneğin, bilyalı rulmanlar) için yeterince yakındır, nesnelerin zorlamalı modda hızlandırılmış testi için kullanılabilir.

3.2. Üstel Dağılım

Bölümde belirtildiği gibi. 3.1 Hatasız çalışma olasılığının üstel dağılımı, şekil parametresi kullanıldığında Weibull dağılımının özel bir durumudur. d = 1. Bu dağılım tek parametrelidir, yani hesaplanan ifadeyi yazmak için bir parametre yeterlidir ben = konst. Bu yasa için tersi ifade de doğrudur: hata oranı sabitse, zamanın bir fonksiyonu olarak hatasız çalışma olasılığı üstel yasaya uyar:

. (3.5)

Arızasız çalışma aralığının üstel dağılım yasasına göre hatasız çalışmanın ortalama süresi aşağıdaki formülle ifade edilir:

. (3.6)

(3.5) ifadesinde miktarın değiştirilmesi ben 1/T 1 değerini alırız. (3.7)

Üstel dağılımla ortalama T 1 süresini aşan bir aralıkta hatasız çalışma olasılığının 0,368'den az olacağına dikkat edin:

P (T 1) \u003d\u003d 0.368 (Şekil 3.2).

Yaşlanmanın başlamasından önceki normal çalışma süresinin süresi, Tı'den önemli ölçüde daha az olabilir, yani üstel model kullanımının kabul edilebilir olduğu zaman aralığı, genellikle bu model için hesaplanan ortalama çalışma süresinden daha azdır. Bu, çalışma süresinin varyansı kullanılarak kolayca gerekçelendirilebilir. Bildiğiniz gibi, bir rasgele değişken t için olasılık yoğunluğu f(t) verilir ve ortalama değer (matematiksel beklenti) T 1 belirlenirse, çalışma süresinin varyansı şu ifadeyle bulunur:

(3.8)

ve üstel dağılım için sırasıyla şuna eşittir:

. (3.9)

Bazı dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz:

. (3.10) Bu nedenle, T 1 civarında gruplandırılmış en olası çalışma süresi değerleri, aralıkta, yani t = 0 ila t = 2T 1 aralığındadır. Gördüğünüz gibi, nesne hem küçük bir zaman diliminde hem de zaman içinde çalışabilir. t = 2T 1 , l'yi koruyarak = yapı Ancak 2T 1 aralığında hatasız çalışma olasılığı son derece düşüktür: .

Şunu not etmek önemlidir ki, nesne işe yaradıysa, zamanı varsayalım. t reddetmeden, tasarruf ben = const, daha sonra çalışma süresinin daha fazla dağılımı, ilk dahil etme zamanındakiyle aynı olacaktır l = konst.

Bu nedenle, aralığın sonunda sağlıklı bir nesneyi kapatmak ve aynı aralık için birçok kez tekrar açmak testere dişi eğrisine yol açacaktır (bkz. Şekil 3.3).

Diğer dağıtımlar belirtilen özelliğe sahip değildir. Yukarıdakilerden, görünüşte paradoksal bir sonuç ortaya çıkar: cihaz tüm zaman boyunca yaşlanmadığından (özelliklerini değiştirmediğinden), üstel bir değere uyan ani arızaları önlemek için önleyici bakım veya cihazların değiştirilmesi tavsiye edilmez. yasa. Tabii ki, bu sonuç herhangi bir paradoks içermez, çünkü çalışma süresi aralığının üstel dağılımı varsayımı, cihazın yaşlanmadığı anlamına gelir. Öte yandan, cihazın açık kalma süresi ne kadar uzun olursa, cihazın arızalanmasına neden olabilecek çeşitli rastgele nedenlerin o kadar fazla olduğu açıktır. Bu, cihazın yüksek güvenilirliğini korumak için önleyici bakımın yapılması gereken aralıkların seçilmesi gerektiğinde cihazların çalışması için çok önemlidir. Bu konu eserde ayrıntılı olarak ele alınmıştır.

Üstel dağılım modeli, çok karmaşık olmayan hesaplamalarla, oluşturulan sistem için çeşitli seçenekler için basit ilişkiler elde etmeye izin verdiğinden, genellikle önsel analiz için kullanılır. Bir posteriori analiz (deneysel veriler) aşamasında, üstel modelin test sonuçlarına uygunluğu kontrol edilmelidir. Özellikle, test sonuçlarının işlenmesi sırasında ortaya çıkarsa, bu, analiz edilen bağımlılığın üstelliğinin kanıtıdır.

Pratikte, genellikle olur ben ancak const ve bu durumda sınırlı bir süre için kullanılabilir. Bu varsayım, sınırlı bir süre için, değişken arıza oranının ortalama değerle büyük bir hata olmadan değiştirilebileceği gerçeğiyle doğrulanır:

l(t)"bencp(t) = sabit.

3.3. Rayleigh dağılımı

Rayleigh yasasındaki olasılık yoğunluğu (bkz. Şekil 3.4) aşağıdaki forma sahiptir.

¦ , (3.11)

D nerede* - Rayleigh dağılım parametresi (bu dağılımın moduna eşittir). Standart sapma ile karıştırılmasına gerek yoktur: .

Başarısızlık oranı:

Rayleigh dağılımının karakteristik bir özelliği grafiğin düz çizgisidir. ben (t) orijinden başlayarak.

Bu durumda nesnenin arızasız çalışma olasılığı, ifade ile belirlenir.

. (3.12)

MTBF

. (3.13)

3.4. Normal dağılım (Gauss dağılımı)

normal hukuk dağılım, formun olasılık yoğunluğu ile karakterize edilir

, (3.14)

nerede mx, s x - sırasıyla, rastgele değişken x'in matematiksel beklentisi ve standart sapması.

Elektrik tesisatlarının güvenilirliğini rastgele bir değişken şeklinde analiz ederken, zamana ek olarak, akım, elektrik voltajı ve diğer argümanların değerleri sıklıkla ortaya çıkar. Normal yasa, yazmak için m x ve bilmeniz gereken iki parametreli bir yasadır. sx .

Arızasız çalışma olasılığı formülle belirlenir.

, (3.15)

ve başarısızlık oranı - formüle göre

Şek. 3.5 eğri gösterilir s t durumu için l (t), P(t) ve ¦ (t)<< m t , otomatik kontrol sistemlerinde kullanılan elemanların özelliği.

Bu kılavuz, rastgele bir değişkenin yalnızca en yaygın dağıtım yasalarını gösterir. Güvenilirlik hesaplamalarında da kullanılan bir dizi kanun bilinmektedir: gama dağılımı, -dağılım, Maxwell dağılımı, Erlang dağılımı, vb.

Unutulmamalıdır ki, eğer eşitsizlik s t<< m t karşılanmıyorsa, kesilmiş normal dağılım kullanılmalıdır.

Arızaya kadar olan zamanın pratik dağılımının türünün makul bir seçimi, arızadan önce nesnelerde meydana gelen fiziksel süreçlerin bir açıklaması ile çok sayıda arıza gerektirir.

Elektrik tesisatlarının son derece güvenilir elemanlarında, çalışma veya güvenilirlik testleri sırasında, başlangıçta mevcut olan nesnelerin sadece küçük bir kısmı başarısız olur. Bu nedenle, deneysel verilerin işlenmesi sonucunda bulunan sayısal özelliklerin değeri, büyük ölçüde başarısızlığa kadar beklenen zaman dağılımının türüne bağlıdır. 'de gösterildiği gibi, farklı arıza süresi yasalarıyla, aynı ilk verilerden hesaplanan ortalama arıza süresinin değerleri yüzlerce kez farklılık gösterebilir. Bu nedenle, başarısızlığa kadar geçen sürenin dağılımı için teorik bir model seçme konusuna, teorik ve deneysel dağılımların yaklaşıklığının uygun kanıtı ile özel bir dikkat gösterilmelidir (bkz. Bölüm 8).

3.5. Güvenilirlik hesaplamalarında dağıtım yasalarını kullanma örnekleri

Arızaların meydana geldiği zaman için en sık kullanılan dağıtım yasaları için güvenilirlik göstergelerini belirleyelim.

3.5.1. Üstel Dağılım Yasası ile Güvenilirlik Göstergelerinin Belirlenmesi

Örnek . Nesnenin, arıza oranı ile arızaların meydana gelme zamanının üstel bir dağılımına sahip olmasına izin verin. l \u003d 2,5 H 10 -5 1 / s.

Geri yüklenemeyen bir nesnenin güvenilirliğinin ana göstergelerini t = 2000 saat boyunca hesaplamak gerekir.

Çözüm.

q (2000) = 1 - P(2000) = 1 - 0.9512 = 0.0488.

1. (2.5) ifadesini kullanarak, nesnenin 500 saat boyunca hatasız çalışması şartıyla, 500 saat ile 2500 saat arasındaki zaman aralığında hatasız çalışma olasılığı şuna eşittir:

.

1. MTBF

h.

3.5.2. Rayleigh Dağılımında Güvenilirlik Ölçülerinin Belirlenmesi

Örnek. dağıtım parametresi d* = 100 sa.

t = 50 h için P(t), Q(t), değerlerinin belirlenmesi gerekir, l(t), T1 .

Çözüm.

(3.11), (3.12), (3.13) formüllerini kullanarak, elde ederiz

3.5.3. Gauss dağılımında şema göstergelerinin belirlenmesi

Örnek. Elektrik devresi, seri bağlı üç standart dirençten oluşur: ;

(% olarak, direncin nominal değerden sapma değeri ayarlanır).

Direnç parametrelerinin sapmalarını dikkate alarak devrenin toplam direncini belirlemek gerekir.

Çözüm.

Aynı tip elementlerin seri üretiminde, parametrelerinin dağılım yoğunluğunun normal yasaya uyduğu bilinmektedir. Kural 3'ü Kullanma s (üç sigma), ilk verilerden dirençlerin direnç değerlerinin bulunduğu aralıkları belirleriz: ;

Sonuç olarak,

Eleman parametre değerleri normal dağıldığında ve devre oluşturulurken elemanlar rastgele seçildiğinde ortaya çıkan R değeri e normal yasaya göre de dağıtılan fonksiyonel bir değişkendir ve ortaya çıkan değerin dağılımı, bizim durumumuzda ifade ile belirlenir.

R'nin elde edilen değeri e normal yasaya göre dağıtılır, daha sonra kural 3 kullanılarak s, yaz

dirençlerin nominal pasaport parametreleri nerede.

Böylece

Veya

Bu örnek, seri bağlı elemanların sayısı arttıkça ortaya çıkan hatanın azaldığını göstermektedir. Özellikle, tüm bireysel öğelerin toplam hatası şuna eşitse± 600 Ohm, o zaman toplam sonuç hatası± 374 ohm. Daha karmaşık devrelerde, örneğin, endüktans ve kapasitanslardan oluşan salınım devrelerinde, verilen parametrelerden endüktans veya kapasitansın sapması, rezonans frekansındaki bir değişiklikle ilişkilidir ve olası değişiklik aralığı, bir dirençlerin hesaplanmasına benzer bir yöntem.

3.5.4. Deneysel verilere göre onarılamaz bir nesnenin güvenilirlik göstergelerinin belirlenmesine bir örnek

Örnek. Test, aynı tipte kurtarılamayan ekipmanın N o = 1000 örneğini içeriyordu, arızalar her 100 saatte bir kaydedildi.

0 ile 1500 saat arasındaki zaman aralığında belirlenmesi gerekmektedir. Karşılık gelen aralıktaki arıza sayısı Tablo'da sunulmuştur. 3.1. Tablo 3.1
İlk veriler ve hesaplama sonuçları

Numara i-th Aralık	,h	PCS.		.1/saat
1	0 -100	50	0,950
2	100 -200	40	0,910	0,430
3	200 -300	32	0,878	0,358
4	300 - 400	25	0,853	0,284
5	400 - 500	20	0,833	0,238
6	500 - 600	17	0,816	0,206
7	600 -700	16	0,800	0,198
8	700 - 800	16	0,784	0,202
9	800 - 900	15	0,769	0,193
10	900 -1000	14	0,755	0,184
11	1000 -1100	15	0,740	0,200
12	1100 -1200	14	0,726	0,191
13	1200 -1300	14	0,712	0,195
14	1300 -1400	13	0,699	0,184
15	1400 -1500	14	0,685	0.202 saat

Çözüm..

Hiçbir nesnenin arızalanmasına bağlı olarak ortalama arıza süresi, ifade ile belirlenir.

, burada tj, j-inci nesnenin arıza süresidir (j, 0'dan N®'ye kadar değerler alır). Bu deneyde, N o = 1000 nesneden tüm nesneler başarısız oldu. Bu nedenle, elde edilen deneysel verilere göre, yalnızca ortalama arıza süresinin yaklaşık bir değeri bulunabilir. Göreve uygun olarak, aşağıdaki formülü kullanıyoruz: r J N o için, (3.16)

burada tj, j-th nesnesinin başarısız olma zamanıdır (j değerleri alır
1'den r'ye); r, kaydedilen arızaların sayısıdır (bizim durumumuzda, r = 315); tr - r-th (son) hataya kadar çalışma süresi. Grafikten, alıştırma periyodu t'den sonra görülebilir.і 600 h, başarısızlık oranı sabit hale gelir. Gelecekte olduğunu varsayarsak ben sabitse, normal çalışma periyodu, test edilen nesne tipinin başarısızlığına kadar olan üstel zaman modeli ile ilişkilendirilir. O zaman başarısızlık için ortalama zaman

h.

Böylece, başarısızlığa kadar olan ortalama sürenin iki tahmininden
= 3831 h ve T 1 = 5208 h, arızaların gerçek dağılımı ile daha tutarlı olanı seçmelisiniz. Bu durumda, tüm nesnelerin başarısızlığa karşı test edilmesi durumunda, yani r = N o, Şekil 2'deki grafiği tamamlamak için varsayılabilir. 3.6 ve zamanı tanımlayın ben artmaya başlar, ardından normal çalışma aralığı için ( ben = const) arıza için ortalama süreyi almalıdır T 1 = 5208 saat.

Sonuç olarak, bu örnek için, formül (2.7) ile ortalama arıza süresinin tanımının, r olduğunda<< N о, дает грубую ошибку. В нашем примере

h.

Hayır yerine başarısız sayısını koyarsak nesneler
r = 315, o zaman şunu elde ederiz:

h.

İkinci durumda, test sırasında N miktarında başarısız olmayan nesneler - r \u003d 1000-315 \u003d 685 adet. genel olarak, değerlendirmeye dahil edilmediler, yani ortalama arıza süresi sadece 315 nesne için belirlendi. Bu hatalar pratik hesaplamalarda oldukça yaygındır.

Bu dağılım en sık olarak yanma ve yaşlanma dönemleri için başarısızlık oranlarının araştırılmasında kullanılır. Elektrik şebekesinin bazı elemanlarının yalıtımının hizmet ömrünün dağılımı örneğinde, yaşlanmaya ve yalıtım arızasına yol açan ve Weibull dağılımı tarafından açıklanan fiziksel süreçler ayrıntılı olarak ele alınmıştır.

Güç transformatörleri ve kablo hatları gibi elektrik şebekelerinin en yaygın elemanlarının güvenilirliği, büyük ölçüde, çalışma sırasında "gücü" değişen yalıtımın güvenilirliği ile belirlenir. Elektromekanik ürünlerin yalıtımının temel özelliği, çalışma koşullarına ve ürün tipine bağlı olarak, mekanik mukavemet, mekanik etki altında artık deformasyonların, çatlakların, delaminasyonların oluşumunu hariç tutan elastikiyet ile belirlenen elektriksel mukavemetidir. yükler, yani homojensizlikler.

Yalıtım yapısının homojenliği ve sağlamlığı ve yüksek termal iletkenliği, kaçınılmaz olarak elektriksel gücün homojen olmama derecesinde bir artışa yol açan artan yerel ısınmanın oluşmasını engeller. Elemanın çalışması sırasında yalıtımın tahribatı, esas olarak yük akımları ile ısınmanın ve dış ortamın sıcaklık etkilerinin bir sonucu olarak ortaya çıkar.

Yalıtımın ömrünü etkileyen ve birbiriyle yakından ilişkili iki ana faktör (ısıl yaşlanma ve mekanik stres) göz önüne alındığında, hem yalıtımdaki yorulma olgusunun hem de ısıl yaşlanmanın büyük ölçüde üretim kalitesine bağlı olduğu sonucuna varabiliriz. elektrik ürününün malzemesi, yerel ısıtmanın olmamasını sağlayan yalıtım malzemesinin homojenliğinden kaynaklanmaktadır (çünkü tüm yalıtımın başarısız olacağını, yani tüm yalıtım alanında bozulma olacağını varsaymak zordur).

Malzemenin mikro çatlakları, delaminasyonları ve diğer homojen olmayanları, yalıtımın tüm hacmi (alanı) boyunca konumlarına ve boyutlarına göre rastgele dağılır. Hem termal hem de elektrodinamik yapıdaki değişken elverişsiz koşulların etkisi altında, malzemenin homojen olmamaları artar: örneğin, bir mikro çatlak yalıtımın derinliklerine yayılır ve eğer voltaj yanlışlıkla yükselirse, yalıtımın bozulmasına neden olabilir. Başarısızlığın nedeni, malzemenin hafif bir homojen olmaması bile olabilir.

İzolasyonun bozulmasına neden olan olumsuz etkilerin (termal veya elektromekanik) sayısının homojensizliğin boyutuna bağlı olarak azalan bir fonksiyon olduğunu varsaymak doğaldır. Bu sayı, en büyük homojensizlik (çatlaklar, delaminasyonlar, vb.) için minimumdur.

Bu nedenle, yalıtımın hizmet ömrünü belirleyen olumsuz etkilerin sayısı, farklı boyutlardaki homojensizliklere karşılık gelen bir dizi bağımsız rastgele değişkenden minimum rastgele değişkenin dağılım yasasına uymalıdır:

nerede Г ve - tüm yalıtımın hatasız çalışma süresi; T ve, - / "-th bölümünün (/" \u003d 1.2, P).

Bu nedenle, bir elektrik şebekesi elemanının yalıtımı gibi bir nesnenin çalışma süresi için dağıtım yasasını belirlemek için, tüm bölümlerin toplamı için minimum çalışma süresi için dağıtım yasasını bulmak gerekir. En büyük ilgi, bireysel bölümlerin çalışma süresinin dağıtım yasalarının farklı bir karaktere sahip olduğu, ancak dağıtım yasalarının biçiminin aynı olduğu durumdur, yani. bölgeler arasında belirgin bir fark yoktur.

Güvenilirlik açısından, böyle bir sistemin bölümleri bir seri bağlantıya karşılık gelir. Böyle bir sistemin çalışma süresinin dağıtım fonksiyonu P seri bağlı parseller:

dağılımının olduğu genel durumu düşünün. P(g) sözde bir "hassasiyet eşiği" vardır, yani. elemanın (0, /o) zaman aralığında başarısız olmayacağı garanti edilir (özel bir durumda, /o 0'a eşit olabilir). İşlevin olduğu açıktır R(1c + D/) > 0 her zaman bağımsız değişkenin azalmayan bir işlevidir.

Sistem için, çalışma süresi dağılımının asimptotik yasasını alabilirsiniz:

Dağıtımın duyarlılık eşiği / 0 yoksa, dağıtım yasası şu şekilde olacaktır:

nerede İle birlikte- bazı sabit katsayılar, İle birlikte> 0; a, Weibull üssüdür.

Bu yasanın adı Weibull dağılımı. Sonlu sayıda seri (güvenilirlik açısından) bağlı elemanlara (önemli sayıda kaplinli uzatılmış kablo hatları, vb.) sahip bir sistem için çalışma süresinin dağılımını tahmin etmede oldukça sık kullanılır.

Çalışma Süresi Dağıtım Yoğunluğu

Bir \u003d 1 olduğunda, dağıtım yoğunluğu sıradan bir üstel fonksiyona dönüşür (Şekil 3.3).

Weibull yasasına göre dağıtım yoğunluğundaki başarısızlık oranı için,

Bu yasa için başarısızlık oranı, dağıtım parametresine bağlı olarak, büyüyebilir, sabit kalabilir (üssel yasa) ve azalabilir (Şekil 3.4).

a = 2 için, çalışma süresinin dağılım fonksiyonu Rayleigh yasası ile örtüşür ve a » 1 için, ortalama çalışma süresi civarında normal dağılım yasası tarafından oldukça iyi bir şekilde yaklaşıktır.

Pirinç. 3.3.

Pirinç. 3.4.

Olarak Şekil l'de görülebilir. 3.3 ve 3.4, üstel dağılım yasası, a = 1 (A. = const) için Weibull yasasının özel bir durumudur.

Weibull yasası hesaplamalar için çok uygundur, ancak A. parametrelerinin ampirik bir seçimini ve mevcut bağımlılık A. (/) için a'yı gerektirir.

Weibull yasasına göre dağılımdaki çalışma süresinin ve varyansın matematiksel beklentisi (ortalama süre):

burada G(x), G(.g) tablosundan belirlenen gama fonksiyonudur (bkz. Ek 2); İle birlikte- meydana gelme olasılığını belirleyen bazı sabit katsayılar ile(0, /) zaman aralığında temel hasar