değiştirme a= 28, b= 38, m= 32, σ= 4, elde ederiz

R(28< X < 38)= F(1.5) F(1)

Fonksiyonun değer tablosuna göre Ф( X) Ф(1.5) = 0.4332, Ф(1) = 0.3413 buluruz.

Yani istenen olasılık:

P(28

Görevler

6.1. rastgele değer X(-3;5) aralığında eşit olarak dağıtılır. Bulmak:

a) dağıtım yoğunluğu f(x);

b) dağıtım fonksiyonları F(x);

c) sayısal özellikler;

d) olasılık R(4<X<6).

6.2. rastgele değer X segmente eşit olarak dağıtılır. Bulmak:

a) dağıtım yoğunluğu f(x);

b) dağıtım işlevi F(x);

c) sayısal özellikler;

d) olasılık R(3≤X≤6).

6.3. Otobana, yeşil ışığın 2 dakika, sarı ışığın 3 saniye ve kırmızı ışığın 30 saniye yandığı, vb. Otomatik bir trafik ışığı kurulur. Otoyolda rastgele bir zamanda bir araba gidiyor. Arabanın trafik ışıklarından durmadan geçme olasılığını bulunuz.

6.4. Metro trenleri 2 dakikalık aralıklarla düzenli olarak çalışmaktadır. Yolcu platforma rastgele bir zamanda girer. Yolcunun tren için 50 saniyeden fazla beklemesi gerekme olasılığı nedir? Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X- tren bekleme süresi.

6.5. Dağılım fonksiyonu tarafından verilen üstel dağılımın varyansını ve standart sapmasını bulun:

6.6. Sürekli rastgele değişken X olasılık dağılım yoğunluğu tarafından verilen:

a) Ele alınan rastgele değişkenin dağılım yasasını adlandırın.

b) Dağılım fonksiyonunu bulun F(x) ve rastgele değişkenin sayısal özellikleri X.

6.7. rastgele değer X olasılık dağılım yoğunluğu tarafından verilen üstel yasaya göre dağıtılır:

X(2.5;5) aralığından bir değer alacaktır.

6.8. Sürekli rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen üstel yasaya göre dağıtılır:

Test sonucunda çıkma olasılığını bulunuz. X değer aralığından alacaktır.

6.9. Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve standart sapması sırasıyla 8 ve 2'dir.

a) yoğunluk dağıtım f(x);

b) testin bir sonucu olarak olma olasılığı X(10;14) aralığından bir değer alacaktır.

6.10. rastgele değer X ortalama 3.5 ve varyans 0.04 ile normal olarak dağılmıştır. Bulmak:

a) dağıtım yoğunluğu f(x);

b) testin bir sonucu olarak olma olasılığı X değer aralığından alacaktır.

6.11. rastgele değer X ile normal olarak dağılmış M(X) = 0 ve D(X)= 1. Olaylardan hangisi: | X|≤0,6 veya | X|≥0.6 yüksek bir olasılık mı?

6.12. rastgele değer X ile normal olarak dağılmış M(X) = 0 ve D(X)= 1. Bir testte hangi aralıktan (-0.5; -0.1) veya (1; 2) daha büyük olasılıkla bir değer alacaktır?

6.13. Hisse başına cari fiyat, normal dağılım kullanılarak modellenebilir. M(X)= 10 gün birimler ve σ( X) = 0,3 den. birimler Bulmak:

a) Cari hisse fiyatının 9,8 den olma olasılığı. birimler 10.4 den'ye kadar. birimler;

b) Hisse senedinin cari fiyatının olacağı sınırları bulmak için "üç sigma kuralı"nı kullanmak.

6.14. Madde sistematik hatalar olmadan tartılır. Rastgele tartım hataları, standart sapma σ= 5r olan normal yasaya tabidir. Dört bağımsız deneyde, üç tartımdaki hatanın mutlak değerde 3 g'ı geçmeme olasılığını bulun.

6.15. rastgele değer X ile normal olarak dağılmış M(X)= 12.6. Bir rastgele değişkenin (11.4; 13.8) aralığına düşme olasılığı 0.6826'dır. σ standart sapmasını bulun.

6.16. rastgele değer X ile normal olarak dağılmış M(X) = 12 ve D(X) = 36. Test sonucunda rastgele değişkenin 0,9973 olasılıkla düşeceği aralığı bulun. X.

6.17. Bir otomatik makine tarafından üretilen bir parça, sapma durumunda kusurlu olarak kabul edilir. X Nominal değerden kontrol edilen parametresi, modulo 2 ölçüm birimini aşıyor. Rastgele değişken olduğu varsayılır X ile normal olarak dağılmış M(X) = 0 ve σ( X) = 0.7. Makine kusurlu parçaların yüzde kaçını veriyor?

3.18. Parametre X parçalar normal olarak nominal değere eşit 2 matematiksel beklenti ve 0,014 standart sapma ile dağıtılır. sapma olasılığını bulunuz. X nominal değerden modulo, nominal değerin %1'ini aşamaz.

Yanıtlar

içinde) M(X)=1, D(X)=16/3, σ( X)= 4/ , d)1/8.

içinde) M(X)=4,5, D(X) =2 , σ ( X)= , d)3/5.

6.3. 40/51.

6.4. 7/12, M(X)=1.

6.5. D(X) = 1/64, σ ( X)=1/8

6.6. M(X)=1 , D(X) =2 , σ ( X)= 1 .

6.7. P(2.5<X<5)=e -1 e -2 ≈0,2325 6.8. P(2≤ X≤5)=0,252.

b) R(10 < X < 14) ≈ 0,1574.

b) R(3,1 ≤ X ≤ 3,7) ≈ 0,8185.

6.11. |x|≥0,6.

6.12. (-0,5; -0,1).

6.13. a) Р(9,8 ≤ Х ≤ 10,4) ≈ 0,6562 6.14. 0,111.

b) (9.1; 10.9).

6.15. σ = 1.2.

6.16. (-6; 30).

6.17. 0,4 %.

Normal olasılık dağılımı yasası

Abartmadan, felsefi bir yasa olarak adlandırılabilir. Çevremizdeki dünyanın çeşitli nesnelerini ve süreçlerini gözlemlerken, çoğu zaman bir şeyin yeterli olmadığı ve bir norm olduğu gerçeğiyle karşılaşırız:


İşte temel bir görünüm yoğunluk fonksiyonları normal olasılık dağılımı ve bu en ilginç derse hoş geldiniz.

Hangi örnekler verilebilir? Onlar sadece karanlık. Bu, örneğin, insanların boyu, ağırlığı (ve sadece değil), fiziksel güçleri, zihinsel yetenekleri vb. "kitle" var (öyle ya da böyle) ve her iki yönde de sapmalar var.

Bunlar cansız nesnelerin farklı özellikleridir (aynı boyutlar, ağırlık). Bu, örneğin yüz metrelik bir yarışın zamanı veya reçinenin kehribara dönüşmesi gibi rastgele bir süreç süresidir. Fizikten akla hava molekülleri geldi: aralarında yavaş olanlar var, hızlı olanlar var ama çoğu “standart” hızlarda hareket ediyor.

Ardından, merkezden bir standart sapma daha saparız ve yüksekliği hesaplarız:

Çizimdeki işaretleme noktaları (yeşil renk) ve bunun oldukça yeterli olduğunu görüyoruz.

Son aşamada, dikkatlice bir grafik çiziyoruz ve özellikle dikkatle onu yansıt dışbükeylik / içbükeylik! Muhtemelen uzun zaman önce apsis ekseninin Yatay asimptot, ve bunun için “tırmanmak” kesinlikle imkansız!

Çözümün elektronik tasarımı ile grafiği Excel'de oluşturmak kolaydır ve beklenmedik bir şekilde kendim için bu konuyla ilgili kısa bir video bile kaydettim. Ama önce normal eğrinin şeklinin ve değerlerine bağlı olarak nasıl değiştiğinden bahsedelim.

"a"yı arttırırken veya azaltırken (değişmeyen "sigma" ile) grafik şeklini korur ve sağa / sola hareket eder sırasıyla. Örneğin, fonksiyon şu şekli aldığında ve grafiğimiz 3 birim sola "hareket eder" - tam olarak orijine:


Sıfır matematiksel beklentisi olan normal dağılımlı bir miktar tamamen doğal bir isim aldı - merkezli; yoğunluk fonksiyonu – Bile, ve grafik y eksenine göre simetriktir.

"sigma"da bir değişiklik olması durumunda ("a" sabiti ile), grafik "yerinde kalır", ancak şekil değiştirir. Büyütüldüğünde, dokunaçlarını geren bir ahtapot gibi alçalır ve uzar. Ve tersi, grafiği düşürürken daha dar ve uzun olur- "şaşırmış ahtapot" çıkıyor. Evet, saat azalmak iki kez "sigma": önceki tablo iki kez daralır ve uzar:

Her şey tam uyumludur grafiklerin geometrik dönüşümleri.

Birim değeri olan normal dağılıma "sigma" denir. normalleştirilmiş, ve eğer aynı zamanda merkezli(bizim durumumuz), o zaman böyle bir dağıtım denir standart. Daha önce karşılaşılmış olan daha basit bir yoğunluk fonksiyonuna sahiptir. yerel Laplace teoremi: . Standart dağıtım pratikte geniş uygulama alanı buldu ve çok yakında amacını anlayacağız.

Şimdi bir film izleyelim:

Evet, oldukça doğru - bir şekilde haksız yere gölgede kaldık olasılık dağılım fonksiyonu. onu hatırlıyoruz tanım:
- rastgele bir değişkenin tüm gerçek değerleri "artı" sonsuza kadar "çalışan" değişkenden DAHA AZ bir değer alma olasılığı.

İntegralin içinde, notasyonda "bindirme" olmaması için genellikle farklı bir harf kullanılır, çünkü burada her değer atanır uygun olmayan integral bazılarına eşit olan sayı aralığından.

Hemen hemen tüm değerler doğru bir şekilde hesaplanamaz, ancak az önce gördüğümüz gibi, modern hesaplama gücü ile bu zor değildir. Yani fonksiyon için standart dağılımın ilgili excel işlevi genellikle bir argüman içerir:

=NORMSDAĞ(z)

Bir, iki - ve bitirdiniz:

Çizim, hepsinin uygulanmasını açıkça göstermektedir. dağıtım işlevi özellikleri ve buradaki teknik nüanslardan dikkat etmelisiniz yatay asimptotlar ve bir bükülme noktası.

Şimdi konunun temel görevlerinden birini hatırlayalım, yani, nasıl bulunacağını öğrenelim - normal bir rastgele değişken olma olasılığı aralıktan bir değer alacak. Geometrik olarak, bu olasılık eşittir alan karşılık gelen bölümde normal eğri ve x ekseni arasında:

ancak her seferinde yaklaşık bir değer belirleyin mantıksız ve bu nedenle kullanmak daha mantıklı "kolay" formül:
.

! ayrıca hatırlıyor , ne

Burada Excel'i tekrar kullanabilirsiniz, ancak birkaç önemli “ama” vardır: ilk olarak, her zaman elinizin altında değildir ve ikincisi, “hazır” değerler, büyük olasılıkla öğretmenden sorular soracaktır. Neden? Niye?

Bundan daha önce defalarca bahsettim: bir zamanlar (ve çok uzun zaman önce değil) sıradan bir hesap makinesi bir lükstü ve söz konusu sorunu çözmenin “manuel” yolu eğitim literatüründe hala korunmaktadır. Onun özü standartlaştırmak"alfa" ve "beta" değerleri, yani çözümü standart dağılıma indirger:

Not : işlevin genel durumdan elde edilmesi kolaydırdoğrusal kullanarak ikameler. Sonra ve:

ve değiştirmeden sadece formülü takip eder keyfi bir dağılımın değerlerinden standart dağılımın karşılık gelen değerlerine geçiş.

Bu neden gerekli? Gerçek şu ki, değerler atalarımız tarafından titizlikle hesaplandı ve terver ile ilgili birçok kitapta bulunan özel bir tabloda özetlendi. Ama daha da yaygın olanı, daha önce ele aldığımız değerler tablosudur. Laplace integral teoremi:

Elimizde Laplace fonksiyonunun bir değerler tablosu varsa , sonra çözüyoruz:

Kesirli değerler, standart tabloda yapıldığı gibi geleneksel olarak 4 ondalık basamağa yuvarlanır. Ve kontrol için madde 5 Yerleşim.

sana şunu hatırlatırım ve karışıklığı önlemek için her zaman kontrol altında ol, gözlerinizin önünde NE işlevi tablosu.

Cevap yüzde olarak verilmesi gerekir, bu nedenle hesaplanan olasılık 100 ile çarpılmalı ve sonuca anlamlı bir yorum getirilmelidir:

- 5 ila 70 m uçuşla, mermilerin yaklaşık %15,87'si düşecek

Kendi başımıza eğitiyoruz:

Örnek 3

Fabrikada üretilen rulmanların çapı, 1.5 cm beklentisi ve 0.04 cm standart sapması ile normal olarak dağıtılan rastgele bir değişkendir.Rastgele alınan bir rulmanın boyutunun 1,4 ila 1,6 cm arasında olma olasılığını bulun.

Örnek çözümde ve aşağıda, en yaygın seçenek olarak Laplace işlevini kullanacağım. Bu arada, ifadeye göre, burada dikkate alınan aralığın sonlarını dahil edebileceğinizi unutmayın. Ancak, bu kritik değil.

Ve zaten bu örnekte, özel bir durumla karşılaştık - aralık matematiksel beklentiye göre simetrik olduğunda. Böyle bir durumda, şu şekilde yazılabilir ve Laplace fonksiyonunun tuhaflığını kullanarak çalışma formülünü basitleştirin:

Delta parametresi denir sapma matematiksel beklentiden ve çift eşitsizlik kullanılarak "paketlenebilir" modül:

rastgele bir değişkenin değerinin matematiksel beklentiden daha az sapma olasılığıdır.

Peki, tek satıra sığan çözüm :)
rastgele alınan bir yatağın çapının 1,5 cm'den 0,1 cm'den fazla olmaması olasılığıdır.

Bu görevin sonucu birliğe yakın çıktı, ancak daha fazla güvenilirlik istiyorum - yani çapın olduğu sınırları bulmak için. neredeyse herkes rulmanlar. Bunun bir kriteri var mı? Var! Soru sözde tarafından cevaplanır

üç sigma kuralı

Onun özü şudur pratik olarak güvenilir normal olarak dağılan bir rastgele değişkenin aralıktan bir değer alacağı gerçeğidir. .

Gerçekten de, beklentiden sapma olasılığı şundan daha azdır:
veya %99.73

"Rulmanlar" açısından - bunlar 1,38 ila 1,62 cm çapında 9973 parça ve sadece 27 "standart altı" kopyadır.

Pratik araştırmalarda, "üç sigma" kuralı genellikle ters yönde uygulanır: eğer istatistiksel olarak hemen hemen tüm değerlerin incelenen rastgele değişken 6 standart sapma aralığına sığarsa, bu değerin normal yasaya göre dağıtıldığına inanmak için iyi nedenler vardır. Doğrulama teori kullanılarak gerçekleştirilir istatistiksel hipotezler.

Zorlu Sovyet görevlerini çözmeye devam ediyoruz:

Örnek 4

Tartım hatasının rastgele değeri, sıfır matematiksel beklenti ve 3 gramlık standart sapma ile normal yasaya göre dağıtılır. Bir sonraki tartımın mutlak değerde 5 gramı geçmeyen bir hata ile yapılması olasılığını bulunuz.

ÇözümÇok basit. Duruma göre ve bir sonraki tartımda hemen not ediyoruz (bir şey veya birisi) 9 gramlık bir doğrulukla neredeyse %100 sonuç alacağız. Ancak problemde daha dar bir sapma var ve formüle göre :

- Bir sonraki tartımın 5 gramı aşmayan bir hatayla yapılma olasılığı.

Cevap:

Çözülmüş bir problem, görünüşte benzer bir problemden temelde farklıdır. Örnek 3 hakkında ders üniforma dağıtımı. Bir hata oluştu yuvarlamaölçüm sonuçları, burada ölçümlerin kendi rastgele hatasından bahsediyoruz. Bu tür hatalar, cihazın kendisinin teknik özelliklerinden kaynaklanmaktadır. (İzin verilen hataların aralığı, kural olarak pasaportunda belirtilir), ve ayrıca deneycinin hatasıyla - örneğin, "gözle" aynı ölçeklerin okundan okumalar aldığımızda.

Diğerlerinin yanı sıra, sözde sistematikölçüm hataları. Çoktan Rastgele olmayan cihazın yanlış kurulumu veya çalışması nedeniyle oluşan hatalar. Bu nedenle, örneğin, ayarlanmamış yer kantarları sürekli olarak bir kilogramı "ekleyebilir" ve satıcı sistematik olarak alıcıların ağırlığını azaltır. Veya sistematik olarak değil, çünkü kısa sürede değiştirebilirsiniz. Ancak, her durumda, böyle bir hata rastgele olmayacaktır ve beklentisi sıfırdan farklıdır.

…Acil olarak bir satış eğitimi kursu geliştiriyorum =)

Sorunu kendi başımıza çözelim:

Örnek 5

Silindir çapı, rastgele, normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkendir, standart sapması mm'dir. Boncuk çapının uzunluğunun olasılıkla düşeceği matematiksel beklentiye göre simetrik olan aralığın uzunluğunu bulun.

Madde 5* dizayn görünümü yardım etmek. Lütfen matematiksel beklentinin burada bilinmediğini unutmayın, ancak bu sorunun çözülmesine en ufak bir müdahalede bulunmaz.

Ve materyali birleştirmek için şiddetle tavsiye ettiğim sınav görevi:

Örnek 6

Normal dağılan bir rastgele değişken, parametreleri (matematiksel beklenti) ve (standart sapma) tarafından verilir. Gerekli:

a) olasılık yoğunluğunu yazın ve grafiğini şematik olarak gösterin;
b) aralıktan bir değer alma olasılığını bulun ;
c) modülün 'den daha fazla sapmama olasılığını bulun;
d) "üç sigma" kuralını uygulayarak rastgele değişkenin değerlerini bulun.

Bu tür problemler her yerde karşımıza çıkıyor ve yıllarca pratik yaparak yüzlercesini çözebildim. Elle çizim yapmayı ve kağıt hesap tablolarını kullanmayı unutmayın ;)

Artan karmaşıklığın bir örneğini analiz edeceğim:

Örnek 7

Rastgele bir değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu şu şekildedir: . Bul , matematiksel beklenti , varyans , dağılım fonksiyonu , çizim yoğunluğu ve dağılım fonksiyonları, bul .

Çözüm: öncelikle koşulun rastgele değişkenin doğası hakkında bir şey söylemediğine dikkat edelim. Tek başına, katılımcının varlığı hiçbir şey ifade etmez: örneğin, gösterici veya genellikle keyfi sürekli dağıtım. Ve bu nedenle, dağılımın “normalliği”nin hala kanıtlanması gerekiyor:

fonksiyon beri belirlenen hiç gerçek değer ve forma indirgenebilir , daha sonra rastgele değişken normal yasaya göre dağıtılır.

Sunuyoruz. Bunun için tam bir kare seçin ve organize etmek üç katlı kesir:


Göstergeyi orijinal formuna döndürerek bir kontrol yaptığınızdan emin olun:

görmek istediğimiz şey buydu.

Böylece:
- üzerinde güç kuralı"çimdikleme". Ve burada bariz sayısal özellikleri hemen yazabilirsiniz:

Şimdi parametrenin değerini bulalım. Normal dağılım çarpanı forma sahip olduğundan ve , o zaman:
işlevimizi ifade ettiğimiz ve değiştirdiğimiz:
, bundan sonra bir kez daha kaydın üzerinden gözlerimizle gözden geçireceğiz ve ortaya çıkan fonksiyonun forma sahip olduğundan emin olacağız. .

Yoğunluğu çizelim:

ve dağıtım fonksiyonunun grafiği :

Elinizde Excel ve hatta normal bir hesap makinesi yoksa, son tablo kolayca manuel olarak oluşturulur! Bu noktada, dağıtım fonksiyonu değeri alır. ve işte burada

DAĞITIM HUKUKU VE ÖZELLİKLERİ

rasgele değerler

Rastgele değişkenler, sınıflandırılmaları ve tanımlama yöntemleri.

Rastgele bir değer, bir deney sonucunda bir veya başka bir değer alabilen, ancak hangisinin önceden bilinmediği bir miktardır. Bu nedenle, rastgele bir değişken için, yalnızca biri deney sonucunda mutlaka alacağı değerler belirtilebilir. Bu değerler rastgele değişkenin olası değerleri olarak anılacaktır. Rastgele bir değişken, bir deneyin rastgele sonucunu nicel olarak karakterize ettiğinden, rastgele bir olayın nicel bir özelliği olarak düşünülebilir.

Rastgele değişkenler genellikle Latin alfabesinin büyük harfleriyle, örneğin X..Y..Z ile ve olası değerleri karşılık gelen küçük harflerle gösterilir.

Üç tür rastgele değişken vardır:

ayrık; Sürekli; Karışık.

ayrık olası değerlerin sayısı sayılabilir bir küme oluşturan böyle bir rastgele değişken denir. Sayılabilir küme, elemanları numaralandırılabilen bir kümedir. "Ayrık" kelimesi, "süreksiz, ayrı parçalardan oluşan" anlamına gelen Latince discretus'tan gelir.

Örnek 1. Kesikli bir rasgele değişken, bir nfl partisindeki X kusurlu parçaların sayısıdır. Gerçekten de, bu rastgele değişkenin olası değerleri, 0'dan n'ye kadar bir dizi tam sayıdır.

Örnek 2. Ayrık bir rastgele değişken, hedefe ilk vuruştan önceki atış sayısıdır. Burada Örnek 1'de olduğu gibi olası değerler numaralandırılabilir, ancak sınırlayıcı durumda olası değer sonsuz büyük bir sayıdır.

Sürekli olası değerleri sürekli olarak sayısal eksenin belirli bir aralığını dolduran, bazen bu rastgele değişkenin varlık aralığı olarak adlandırılan rastgele bir değişken olarak adlandırılır. Bu nedenle, herhangi bir sonlu varlık aralığında, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuz büyüktür.

Örnek 3. Sürekli bir rastgele değişken, işletmede bir aylık elektrik tüketimidir.

Örnek 4. Sürekli bir rastgele değişken, bir altimetre kullanılarak yapılan yükseklik ölçümündeki hatadır. Altimetrenin çalışma prensibinden, hatanın 0 ila 2 m aralığında olduğu bilinsin, bu nedenle, bu rastgele değişkenin varlık aralığı 0 ila 2 m arasındadır.

Rastgele değişkenlerin dağılım yasası.

Rastgele bir değişken, olası değerleri sayısal eksende belirtilirse ve dağılım yasası kurulursa tamamen belirlenmiş kabul edilir.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin olası değerleri ile karşılık gelen olasılıklar arasında bir ilişki kuran bir ilişkiye denir.

Rastgele bir değişkenin belirli bir yasaya göre dağıtıldığı veya belirli bir dağıtım yasasına tabi olduğu söylenir. Dağılım yasaları olarak bir dizi olasılık, bir dağılım fonksiyonu, bir olasılık yoğunluğu, bir karakteristik fonksiyon kullanılır.

Dağılım yasası, rastgele bir değişkenin tam bir olası tanımını verir. Dağılım yasasına göre, bir rastgele değişkenin olası değerlerinin hangilerinin daha sık, hangilerinin daha az görüneceğini, deneyimden önce yargılamak mümkündür.

Kesikli bir rasgele değişken için, dağılım yasası bir tablo şeklinde, analitik olarak (bir formül şeklinde) ve grafik olarak verilebilir.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirlemenin en basit şekli, bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerini ve bunlara karşılık gelen olasılıkları artan sırada listeleyen bir tablodur (matris).

Böyle bir tabloya ayrı bir rastgele değişkenin bir dizi dağılımı denir. bir

X 1 , X 2 ,..., Xn olayları, test sonucunda rastgele değişken X'in sırasıyla x 1 , x 2 ,... x n değerlerini alacağı gerçeğinden oluşur. , tutarsız ve yalnızca olası olanlardır (çünkü tablo rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerini listeler), yani. tam bir grup oluşturur. Bu nedenle, olasılıklarının toplamı 1'e eşittir. Böylece, herhangi bir ayrık rastgele değişken için

(Bu birim bir şekilde rastgele değişkenin değerleri arasında dağıtılır, dolayısıyla "dağılım" terimi).

Rastgele bir değişkenin değerleri apsis ekseni boyunca çizilirse ve bunların karşılık gelen olasılıkları ordinat ekseni boyunca grafiksel olarak görüntülenebilir. Elde edilen noktaların bağlantısı, olasılık dağılımının çokgeni veya çokgeni olarak adlandırılan kesikli bir çizgi oluşturur (Şekil 1).

Örnek Piyango oynanır: 5000 den değerinde bir araba. üniteler, 250 den değerinde 4 TV. birim, 200 den değerinde 5 VCR. birimler Toplamda 7 den için 1000 bilet satılmaktadır. birimler Bir bilet alan piyango katılımcısının elde ettiği net kazancın dağıtım kanununu hazırlayın.

Çözüm. Rastgele değişken X - bilet başına net kazanç - olası değerleri 0-7 = -7 den'dir. birimler (bilet kazanmadıysa), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. birimler (bilet sırasıyla VCR, TV veya arabayı kazandıysa). 1000 biletten kazanan olmayanların sayısının 990 olduğu ve belirtilen kazançların sırasıyla 5, 4 ve 1 olduğu göz önüne alındığında ve klasik olasılık tanımını kullanarak elde ederiz.

Ayrık rasgele değişkenlerin en yaygın dağılım yasalarını ayırt edebiliriz:

• Binom dağılım yasası
• Poisson dağıtım yasası
• Geometrik dağılım yasası
• Hipergeometrik dağılım yasası

Kesikli rastgele değişkenlerin belirli dağılımları için, değerlerinin olasılıklarının yanı sıra sayısal özelliklerin (matematiksel beklenti, varyans vb.) hesaplanması belirli "formüllere" göre yapılır. Bu nedenle, bu tür dağılımları ve temel özelliklerini bilmek çok önemlidir.

1. Binom dağılım yasası.

Kesikli bir $X$ rastgele değişkeni, $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ değerlerini alırsa, $P\left(X=k\right)= olasılıklarıyla binom olasılık dağılımına tabidir. C^k_n\cdot p^k\cdot (\sol(1-p\sağ))^(n-k)$. Aslında, $X$ rasgele değişkeni, $n$ bağımsız denemelerde $A$ olayının oluşum sayısıdır. $X$ rasgele değişkeni için olasılık dağılım yasası:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i ve P_n\sol(0\sağ) & P_n\sol(1\sağ) & \dots & P_n\sol(n\sağ) \\
\hline
\end(dizi)$

Böyle bir rastgele değişken için beklenti $M\left(X\right)=np$, varyans $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$'dır.

Örnek . Ailede iki çocuk var. Bir erkek ve bir kızın doğum olasılıklarının 0,5$'a eşit olduğunu varsayarak, $\xi $ rasgele değişkeninin dağılım yasasını bulun - ailedeki erkek çocukların sayısı.

$\xi $ rasgele değişkeni, ailedeki erkek çocukların sayısı olsun. $\xi:\ 0,\ ​​1,\ 2$'ın alabileceği değerler. Bu değerlerin olasılıkları $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) formülüyle bulunabilir. )$, burada $n =2$ - bağımsız deneme sayısı, $p=0.5$ - bir dizi $n$ denemede bir olayın meydana gelme olasılığı. Alırız:

$P\left(\xi =0\sağ)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\sol(1-0.5\sağ))^(2-0)=(0, 5)^2 =0.25;$

$P\left(\xi =1\sağ)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\sol(1-0.5\sağ))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\sağ)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\sol(1-0,5\sağ))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$

O zaman $\xi $ rasgele değişkeninin dağılım yasası, $0,\ 1,\ 2$ değerleri ile olasılıkları arasındaki yazışmadır, yani:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(dizi)$

Dağıtım yasasındaki olasılıkların toplamı $1$'a eşit olmalıdır, yani $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 =$1.

Beklenti $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varyans $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, standart sapma $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\yaklaşık 0,707 $.

2. Poisson dağıtım yasası.

Kesikli bir rastgele değişken $X$ yalnızca $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ negatif olmayan tamsayı değerlerini alabilirse, $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Yorum. Bu dağılımın özelliği, deneysel verilere dayanarak $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ tahminlerini bulmamızdır, eğer elde edilen tahminler birbirine yakınsa, o zaman biz Rastgele değişkenin Poisson dağılım yasasına tabi olduğunu iddia etmek için sebepleri var.

Örnek . Poisson dağıtım yasasına tabi rasgele değişkenlerin örnekleri şunlar olabilir: yarın bir benzin istasyonu tarafından hizmet verilecek araba sayısı; üretilen üründeki kusurlu ürün sayısı.

Örnek . Tesis, üsse 500$'lık ürün gönderdi. Ürünün nakliye sırasında hasar görme olasılığı 0,002$'dır. Hasarlı ürün sayısına eşit $X$ rasgele değişkeninin dağılım yasasını bulun; bu, $M\sol(X\sağ),\D\sol(X\sağ)$'a eşittir.

Kesikli bir rastgele değişken $X$, hasarlı öğelerin sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ parametresiyle Poisson dağılım yasasına tabidir. Değerlerin olasılıkları $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) şeklindedir.}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\sol(X=0\sağ)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\sol(X=1\sağ)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\sol(X=2\sağ)=((1^2)\üstü (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\sol(X=3\sağ)=((1^3)\üzer (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\sol(X=4\sağ)=((1^4)\üzer (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\sol(X=5\sağ)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\sol(X=6\sağ)=((1^6)\üstü (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\sağ)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

$X$ rasgele değişkeninin dağılım yasası:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(dizi)$

Böyle bir rastgele değişken için, matematiksel beklenti ve varyans birbirine eşittir ve $\lambda $ parametresine eşittir, yani $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Geometrik dağılım yasası.

Kesikli bir rastgele değişken $X$ yalnızca $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ doğal değerlerini alabilirse, $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) doğru)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, o zaman böyle bir rastgele değişken $X$'ın geometrik olasılık dağılımı yasasına tabi olduğunu söyleriz. Aslında geometrik dağılım, Bernoulli'nin ilk başarıya yönelik denemeleri gibi görünüyor.

Örnek . Geometrik dağılıma sahip rastgele değişkenlerin örnekleri şunlar olabilir: hedefe ilk vuruştan önceki atış sayısı; ilk arızadan önce cihazın test sayısı; ilk turadan önceki yazı tura sayısı vb.

Geometrik dağılıma tabi bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı sırasıyla $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) şeklindedir. /p^ 2$.

Örnek . Balıkların yumurtlama yerine hareket etme yolunda 4$'lık bir kilit var. Her bir kilitten bir balığın geçme olasılığı $p=3/5$'dır. $X$ rasgele değişkeninin bir dağıtım serisini oluşturun - kilitte ilk durmadan önce balık tarafından geçen kilit sayısı. $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$ öğesini bulun.

Rastgele değişken $X$, bentteki ilk duraktan önce balığın geçtiği bentlerin sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken, olasılık dağılımının geometrik yasasına tabidir. $X rastgele değişkeninin alabileceği değerler: 1, 2, 3, 4. Bu değerlerin olasılıkları şu formülle hesaplanır: $P\sol(X=k\sağ)=pq^( k-1)$, burada: $ p=2/5$ - balığın kilitten yakalanma olasılığı, $q=1-p=3/5$ - balığın kilitten geçme olasılığı, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.

$P\sol(X=1\sağ)=((2)\üzer (5))\cdot (\sol(((3)\üzer (5))\sağ))^0=((2)\ üzerinde(5))=0.4;$

$P\sol(X=2\sağ)=((2)\üzer (5))\cdot ((3)\üzer (5))=((6)\üst (25))=0.24; $

$P\sol(X=3\sağ)=((2)\üst (5))\cdot (\sol(((3)\üst (5))\sağ))^2=((2)\ üzerinde (5))\cdot ((9)\(25) üzerinde))=((18)\(125))=0.144;$

$P\left(X=4\sağ)=((2)\üst (5))\cdot (\sol(((3)\üst (5))\sağ))^3+(\sol(( (3)\üzer (5))\sağ))^4=((27)\(125) üzerinde))=0.216.$

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\sol(X_i\sağ) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(dizi)$

Beklenen değer:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

Dağılım:

$D\left(X\sağ)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\sağ)\sağ))^2=)0,4\cdot (\ sol(1-2,176\sağ))^2+0,24\cdot (\sol(2-2,176\sağ))^2+0,144\cdot (\sol(3-2,176\sağ))^2+$

$+\ 0.216\cdot (\sol(4-2.176\sağ))^2\yaklaşık 1.377.$

Standart sapma:

$\sigma \left(X\sağ)=\sqrt(D\sol(X\sağ))=\sqrt(1.377)\yaklaşık 1.173.$

4. Hipergeometrik dağılım yasası.

Aralarında $m$ nesnelerinin verilen özelliğe sahip olduğu $N$ nesneleri varsa. Rastgele, değiştirilmeden, aralarında belirli bir özelliğe sahip $k$ nesnelerinin bulunduğu $n$ nesneleri ayıklanır. Hipergeometrik dağılım, bir örnekteki tam olarak $k$ nesnelerinin belirli bir özelliğe sahip olma olasılığını tahmin etmeyi mümkün kılar. Rastgele değişken $X$, örnekteki belirli bir özelliğe sahip nesnelerin sayısı olsun. Ardından $X$ rastgele değişkeninin değerlerinin olasılıkları:

$P\left(X=k\sağ)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Yorum. Excel $f_x$ İşlev Sihirbazının HİPERGEOMET istatistiksel işlevi, belirli sayıda denemenin başarılı olma olasılığını belirlemenize olanak tanır.

$f_x\to $ istatistiksel$\to $ HİPERGEOMET$\to $ TAMAM. Doldurmanız gereken bir iletişim kutusu görünecektir. grafikte Number_of_successes_in_sample$k$ değerini belirtin. örnek boyut$n$'a eşittir. grafikte Number_of_successes_in_population$m$ değerini belirtin. Popülasyon boyutu$N$'a eşittir.

Bir geometrik dağılım yasasına tabi olan $X$ ayrık rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi ve varyansı $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left) şeklindedir. (1 -((m)\üst (N))\sağ)\sol(1-(((n)\üst (N))\sağ))\üst (N-1))$.

Örnek . Bankanın kredi departmanında yüksek finans eğitimli 5 uzman ve yüksek hukuk eğitimli 3 uzman istihdam edilmektedir. Banka yönetimi, rastgele seçerek ileri eğitim için 3 uzman göndermeye karar verdi.

a) İleri eğitime yönlendirilebilecek yüksek finansal eğitime sahip uzmanların sayısının bir dağılım serisini yapın;

b) Bu dağılımın sayısal özelliklerini bulunuz.

Rastgele değişken $X$, seçilen üç kişi arasından daha yüksek finansal eğitime sahip uzmanların sayısı olsun. $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$'ın alabileceği değerler. Bu rastgele değişken $X$, aşağıdaki parametrelerle hipergeometrik dağılıma göre dağıtılır: $N=8$ - popülasyon büyüklüğü, $m=5$ - popülasyondaki başarı sayısı, $n=3$ - örneklem büyüklüğü, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - örneklemdeki başarı sayısı. Daha sonra $P\left(X=k\right)$ olasılıkları şu formül kullanılarak hesaplanabilir: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ üzerinde. Sahibiz:

$P\left(X=0\sağ)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56)))\yaklaşık 0.018;$

$P\left(X=1\sağ)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56)))\yaklaşık 0,268;$

$P\left(X=2\sağ)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28)))\yaklaşık 0,536;$

$P\left(X=3\sağ)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28)))\yaklaşık 0.179.$

Ardından $X$ rastgele değişkeninin dağılım serisi:

$\begin(dizi)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(dizi)$

Hipergeometrik dağılımın genel formüllerini kullanarak $X$ rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini hesaplayalım.

$M\sol(X\sağ)=((nm)\üst (N))=((3\cdot 5)\üst (8))=((15)\üst (8))=1,875.$

$D\sol(X\sağ)=((nm\sol(1-((m)\üst (N))\sağ)\sol(1-((n)\üst (N))\sağ)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\sağ)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\sağ))\üzer (8-1))=((225)\üzer (448))\yaklaşık 0,502.$

$\sigma \left(X\sağ)=\sqrt(D\sol(X\sağ))=\sqrt(0.502)\yaklaşık 0.7085.$