Bir örnekle başlayalım. Önünüzdeki vazoda eşit olasılıkla(1) iki beyaz top, (2) bir beyaz ve bir siyah, (3) iki siyah olabilir. Topu sürükleyin ve beyaz çıkıyor. Şimdi nasıl değerlendirirsin? olasılık bu üç seçenek (hipotezler)? Açıkçası, iki siyah top ile hipotez (3) olasılığı = 0. Fakat kalan iki hipotezin olasılıkları nasıl hesaplanır!? Bu, bizim durumumuzda forma sahip olan Bayes formülünü yapmanızı sağlar (formülün numarası, test edilen hipotezin sayısına karşılık gelir):

Notu formatta indirin veya

X aşağıdaki değerleri alan rastgele bir değişkendir (hipotez): x 1- iki beyaz x 2- bir beyaz, bir siyah; x 3- iki siyah olan; de aşağıdaki değerleri alan rastgele bir değişkendir (olay): 1- beyaz bir top çekiliyor ve 2'de- siyah bir top çekilir; P(x 1) top çekilmeden önceki ilk hipotezin olasılığıdır ( Önsel olasılık veya olasılık önceki deneyim) = 1/3; P(x 2)- top çekilmeden önceki ikinci hipotezin olasılığı = 1/3; P(x 3)- topu çekmeden önceki üçüncü hipotezin olasılığı = 1/3; P(y 1|x 1)– ilk hipotez doğruysa (toplar beyazsa) koşullu beyaz top çekme olasılığı = 1; P(y 1|x 2) – ikinci hipotez doğruysa beyaz bir top çekme olasılığı (bir top beyaz, ikincisi siyah) = ½; P(y 1|x 3) – üçüncü hipotez doğruysa (her ikisi de siyah) = 0; P(y 1)– beyaz top çekme olasılığı = ½; P(y 2)– siyah top çekme olasılığı = ½; ve nihayet aradığımız şey - P(x 1|1'de) – beyaz bir top çekmemiz koşuluyla ilk hipotezin doğru olma olasılığı (her iki top da beyazdır) ( bir posteriori olasılık veya olasılık sonrasında deneyim); P(x 2|1'de) – beyaz bir top çekmemiz şartıyla ikinci hipotezin doğru olma olasılığı (bir top beyaz, ikincisi siyah).

Beyaz bir top çizdiğimize göre, ilk hipotezin (iki beyaz top) doğru olma olasılığı:

Beyaz bir top çekmemiz şartıyla ikinci hipotezin doğru olma olasılığı (biri beyaz, ikincisi siyah):

Beyaz bir top çizdiğimize göre, üçüncü hipotezin (iki siyah olanın) doğru olma olasılığı:

Bayes formülü ne işe yarar? Hipotezlerin a priori olasılıklarına dayanarak - P(x 1), P(x 2), P(x 3)– ve olayların meydana gelme olasılıkları – P(y 1), P(y 2)- beyaz bir topun çekilmesi şartıyla, örneğin ilk hipotezin olasılığı gibi, hipotezlerin arka olasılıklarını hesaplayın - P(x 1|1'de).

Formül (1)'e geri dönelim. İlk hipotezin ilk olasılığı, P(x 1) = 1/3. Olasılıkla P(y 1) = 1/2 beyaz bir top çizebiliriz ve olasılıkla P(y 2) = 1/2- siyah. Beyaz olanı çıkardık. İlk hipotezin doğru olması koşuluyla beyaz çekme olasılığı P(y 1|x 1) = 1. Bayes formülü, beyaz çekildiğinden, ilk hipotezin olasılığının 2/3'e yükseldiğini, ikinci hipotezin olasılığının hala 1/3 olduğunu ve üçüncü hipotezin olasılığının sıfır olduğunu söylüyor.

Siyah bir top çizersek, arka olasılıkların simetrik olarak değişeceğini kontrol etmek kolaydır: P(x 1|y 2) = 0, P(x 2|y 2) = 1/3, P(x 3|y 2) = 2/3.

Pierre Simon Laplace, 1814'te yayınlanan bir makalede Bayes formülü hakkında şunları yazdı:

Bu, olaylardan nedenlere geçişlerle ilgilenen şans analizi dalının temel ilkesidir.

Bayes'in formülünü anlamak neden bu kadar zor!? Benim düşünceme göre, çünkü genel yaklaşımımız sebeplerden sonuçlara akıl yürütmedir. Örneğin, bir kavanozda 6'sı siyah ve geri kalanı beyaz olan 36 top varsa. Beyaz bir top çekme olasılığı nedir? Bayes formülü, olaylardan nedenlere (hipotezlere) geçmenizi sağlar. Üç hipotezimiz varsa ve bir olay meydana geldiyse, bu olay (alternatif değil) hipotezlerin ilk olasılıklarını tam olarak nasıl etkiledi? Bu olasılıklar nasıl değişti?

Bayes'in formülünün sadece olasılıklarla ilgili olmadığına inanıyorum. Algı paradigmasını değiştirir. Deterministik paradigmayı kullanırken düşünce treni nedir? Bir olay meydana gelirse, nedeni nedir? Bir kaza, acil bir durum, askeri bir çatışma olsaydı. Onların suçu kimdi veya neydi? Bayesci bir gözlemci nasıl düşünür? yol açan gerçekliğin yapısı nedir? verilen böyle ve böyle bir tezahür için durum ... Bayesian bunu anlar aksi halde sonuç farklı olabilir...

(1) ve (2) formüllerindeki sembolleri biraz farklı yerleştirelim:

Gördüklerimiz hakkında tekrar konuşalım. Eşit bir başlangıç ​​(a priori) olasılıkla, üç hipotezden biri doğru olabilir. Eşit olasılıkla, beyaz veya siyah bir top çizebiliriz. Beyaz olanı çıkardık. Bu yeni ek bilgiler ışığında, hipotezlere ilişkin değerlendirmemiz gözden geçirilmelidir. Bayes formülü bunu sayısal olarak yapmanızı sağlar. İlk hipotezin (formül 7) a priori olasılığı şuydu: P(x 1), beyaz bir top çekildiğinde, ilk hipotezin arka olasılığı P(x 1|1'de). Bu olasılıklar bir faktöre göre farklılık gösterir.

Etkinlik 1 bir hipotezi az çok doğrulayan veya çürüten kanıt denir x 1. Bu orana bazen kanıtın gücü denir. Kanıt ne kadar güçlüyse (katsayı birlikten ne kadar farklıysa), gözlem gerçeği o kadar büyük olur. 1önceki olasılığı değiştirirse, sonraki olasılık öncekinden daha fazla farklılık gösterir. Kanıt zayıfsa (katsayı ~ 1), sonuncusu öncekine neredeyse eşittir.

sertifika 1 içinde = 2 kez hipotezin önceki olasılığını değiştirdi x 1(formül 4). Aynı zamanda, kanıt 1 hipotezin olasılığını değiştirmedi x 2, gücünden beri = 1 (formül 5).

Genel olarak, Bayes formülü aşağıdaki forma sahiptir:

X değerleri alan rastgele bir değişkendir (birbirini dışlayan hipotezler kümesi): x 1, x 2, … , Xn. de aşağıdaki değerleri alan rastgele bir değişkendir (birbirini dışlayan olaylar kümesi): 1, 2'de, … , den. Bayes formülü, bir hipotezin arka olasılığını bulmanızı sağlar Xi bir olay meydana geldiğinde y j. Pay, hipotezin a priori olasılığının ürünüdür. Xi – P(xi) bir olayın meydana gelme olasılığı y j hipotez doğruysa Xi – R(y j|xi). Paydada - paydakiyle aynı olan ürünlerin toplamı, ancak tüm hipotezler için. Paydayı hesaplarsak olayın toplam olasılığını elde ederiz. dej(eğer hipotezlerden herhangi biri doğruysa) – R(y j) (formül 1-3'te olduğu gibi).

Bir kez daha kanıtlar hakkında. Etkinlik y j hipotezin önceki olasılığını gözden geçirmenize izin veren ek bilgiler sağlar Xi. Kanıtın gücü - - payda olayın meydana gelme olasılığını içerir y j hipotez doğruysa Xi. Payda, olayın meydana gelme toplam olasılığıdır dej(veya bir olayın meydana gelme olasılığı dej tüm hipotezlerin ortalaması alınır). dej hipotez için yukarıda xi tüm hipotezlerin ortalamasından daha fazlaysa, kanıt hipotezin eline geçer. xi, arka olasılığını artırmak R(y j|xi). Bir olayın olma olasılığı ise dej hipotez için aşağıda xi tüm hipotezler için ortalamadan daha fazlaysa, kanıt arka olasılığı düşürür R(y j|xi) için hipotezler xi. Bir olayın olma olasılığı ise dej hipotez için xi tüm hipotezler için ortalama ile aynıdır, o zaman kanıt arka olasılığı değiştirmez R(y j|xi) için hipotezler xi.

İşte Bayes formülü hakkındaki anlayışınızı sağlamlaştıracağını umduğum birkaç örnek.

Problem 2. İki atıcı bağımsız olarak aynı hedefe ateş ediyor, her biri bir atış yapıyor. İlk atıcı için hedefi vurma olasılığı, ikinci için 0,8 - 0,4'tür. Atıştan sonra hedefte bir delik bulundu. Bu deliğin ilk atıcıya ait olma olasılığını bulun. .

Görev 3. İzlenen nesne iki durumdan birinde olabilir: H 1 = (çalışıyor) ve H 2 = (çalışmıyor). Bu durumların a priori olasılıkları Р(Н 1) = 0.7, Р(Н 2) = 0.3. Bir nesnenin durumu hakkında çelişkili bilgiler sağlayan iki bilgi kaynağı vardır; ilk kaynak, nesnenin çalışmadığını, ikincisi - çalıştığını bildirir. İlk kaynağın 0,9 olasılıkla doğru, 0,1 olasılıkla hatalı bilgi verdiği bilinmektedir. İkinci kaynak daha az güvenilirdir: 0,7 olasılıkla ve 0,3 olasılıkla yanlış olan doğru bilgileri verir. Hipotezlerin sonsal olasılıklarını bulun. .

1-3 arası görevler ders kitabından E.S. Ventzel, L.A. Ovcharov tarafından alınmıştır. Olasılık teorisi ve mühendislik uygulamaları, bölüm 2.6 Hipotez teoremi (Bayes formülü).

Problem 4 kitabın 4.3 Bayes Teoremi bölümünden alınmıştır.

Amaç: Toplam olasılık formülünü ve Bayes formülünü kullanarak olasılık teorisindeki problemleri çözme becerilerini oluşturmak.

Toplam Olasılık Formülü

Olay Olasılığı ANCAK, yalnızca uyumsuz olaylardan biri meydana gelirse meydana gelebilir B x, B 2 ,..., Bn, tam bir grup oluşturmak, bu olayların her birinin olasılıklarının ve A olayının karşılık gelen koşullu olasılığının ürünlerinin toplamına eşittir:

Bu formül denir toplam olasılık formülü.

Hipotezlerin olasılığı. Bayes formülü

olay olsun ANCAK uyumsuz olaylardan biri meydana gelirse meydana gelebilir B b B 2 ,...,B p, tam bir grup oluşturuyor. Bu olaylardan hangisinin gerçekleşeceği önceden bilinmediğinden bunlara hipotez denir. Bir olayın meydana gelme olasılığı ANCAK toplam olasılık formülü ile belirlenir:

Bir testin gerçekleştirildiğini ve bunun sonucunda bir olayın meydana geldiğini varsayalım. ANCAK. nasıl değiştiklerinin (olaydan dolayı) tespit edilmesi gerekmektedir. ANCAK zaten geldi) hipotezlerin olasılıkları. Hipotezlerin koşullu olasılıkları formülle bulunur

Bu formülde indeks / = 1.2

Bu formüle Bayes formülü denir (onu türeten İngiliz matematikçiden sonra; 1764'te yayınlandı). Bayes formülü, testin sonucu bilindikten sonra, olayın ortaya çıkması sonucunda hipotezlerin olasılıklarını yeniden tahmin etmenize olanak tanır. ANCAK.

Görev 1. Tesis belirli bir tür parça üretiyor, her parçada 0,05 olasılıkla bir kusur var. Parça bir denetçi tarafından denetlenir; 0.97 olasılıkla bir kusur tespit eder ve herhangi bir kusur bulunmazsa parçayı bitmiş ürüne geçirir. Ayrıca müfettiş kusuru olmayan bir parçayı yanlışlıkla reddedebilir; bunun olasılığı 0.01'dir. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: A - kısım reddedilecek; B - kısım reddedilecek, ancak hatalı olarak; C - parça kusurlu bitmiş ürüne atlanır.

Çözüm

Hipotezleri gösterelim:

H= (denetim için standart bir parça gönderilecektir);

H= (denetim için standart olmayan bir parça gönderilecektir).

Etkinlik bir =(kısmı reddedilecektir).

Problemin durumundan olasılıkları buluruz.

PH (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Toplam olasılık formülüne göre, elde ederiz

Bir parçanın yanlışlıkla reddedilme olasılığı

Parçanın kusurlu bitmiş ürüne atlanma olasılığını bulalım:

Cevap:

Görev 2.Ürün, üç emtia uzmanından biri tarafından standartlık açısından kontrol edilir. Ürünün birinci satıcıya ulaşma olasılığı 0,25, ikinci satıcıya 0,26 ve üçüncü satıcıya 0,49'dur. Ürünün ilk satıcı tarafından standart olarak tanınma olasılığı 0,95, ikinci - 0,98, üçüncü - 0,97'dir. Standart ürünün ikinci denetçi tarafından kontrol edilme olasılığını bulun.

Çözüm

Olayları belirtelim:

L =(doğrulama için ürün /-th emtia yöneticisine gidecek); / = 1, 2, 3;

B =(ürün standart olarak kabul edilecektir).

Problemin durumuna göre olasılıklar bilinir:

Koşullu olasılıkları da biliyoruz

Bayes formülünü kullanarak, standart ürünün ikinci kontrolör tarafından kontrol edilme olasılığını buluyoruz:

Cevap:"0.263.

Bir görev 3. İki makine, ortak bir konveyöre giden parçalar üretir. İlk makinede standart olmayan bir parça elde etme olasılığı 0,06 ve ikinci makinede - 0,09'dur. İkinci makinenin performansı, birincinin iki katıdır. Konveyörden standart olmayan bir parça alındı. Bu parçanın ikinci makine tarafından üretilmiş olma olasılığını bulun.

Çözüm

Olayları belirtelim:

A =(montaj hattından alınan parça i-th makinesinde üretilir); / = 1.2;

AT= (alınan kısım standart dışı olacaktır).

Koşullu olasılıkları da biliyoruz

Toplam olasılık formülünü kullanarak,

Bayes formülünü kullanarak, alınan standart olmayan parçanın ikinci otomat tarafından üretilme olasılığını buluyoruz:

Cevap: 0,75.

Görev 4. Güvenilirliği sırasıyla 0,8 ve 0,9 olan iki düğümden oluşan bir cihaz test edilir. Düğümler birbirinden bağımsız olarak başarısız olur. Cihaz başarısız oldu. Bunu dikkate alarak hipotezlerin olasılıklarını bulun:

• a) yalnızca ilk düğüm hatalı;
• b) sadece ikinci düğüm hatalı;
• c) her iki düğüm de hatalı.

Çözüm

Olayları belirtelim:

D = (7. düğüm başarısız olmaz); i = 1,2;

D - karşılık gelen zıt olaylar;

ANCAK= (test sırasında cihaz başarısız olur).

Problemin koşulundan şunu elde ederiz: P(D) = 0.8; P(L 2) = 0,9.

Zıt olayların olasılıklarının özelliği ile

Etkinlik ANCAK bağımsız olayların çarpımlarının toplamına eşittir

Uyumsuz olayların olasılıkları için toplama teoremini ve bağımsız olayların olasılıklarını çarpma teoremini kullanarak,

Şimdi hipotezlerin olasılıklarını buluyoruz:

Cevap:

Görev 5. Fabrikada civatalar toplam civata sayısının sırasıyla %25, %30 ve %45'ini üreten üç makinede yapılmaktadır. Takım tezgahlarının üretiminde kusur sırasıyla %4, %3 ve %2'dir. Gelen bir üründen rastgele alınan bir cıvatanın bozuk olma olasılığı nedir?

Çözüm

Olayları belirtelim:

4 = (i-inci makinede rastgele alınan bir cıvata yapıldı); i = 1, 2, 3;

AT= (rastgele alınan bir cıvata kusurlu olacaktır).

Problemin durumundan, klasik olasılık formülünü kullanarak hipotezlerin olasılıklarını buluruz:

Ayrıca, klasik olasılık formülünü kullanarak koşullu olasılıkları buluruz:

Toplam olasılık formülünü kullanarak,

Cevap: 0,028.

Görev 6. Elektronik devre, 0.25 olasılıkla üç gruptan birine aittir; 0,5 ve 0,25. Devrenin her bir taraf için garanti süresinin ötesinde çalışması olasılığı sırasıyla 0,1'dir; 0.2 ve 0.4. Rastgele seçilen bir devrenin garanti süresinin ötesinde çalışma olasılığını bulun.

Çözüm

Olayları belirtelim:

4 = (i-inci oyundan rastgele alınan şema); ben = 1, 2, 3;

AT= (rastgele alınan bir devre garanti süresinin ötesinde çalışacaktır).

Problemin durumuna göre hipotezlerin olasılıkları bilinir:

Koşullu olasılıkları da biliyoruz:

Toplam olasılık formülünü kullanarak,

Cevap: 0,225.

Görev 7. Cihaz, her birinin servis kolaylığı cihazın çalışması için gerekli olan iki blok içerir. Bu bloklar için hatasız çalışma olasılıkları sırasıyla 0.99 ve 0.97'dir. Cihaz arızalı. Her iki birimin de başarısız olma olasılığını belirleyin.

Çözüm

Olayları belirtelim:

D = (z. blok başarısız olur); i = 1,2;

ANCAK= (cihaz başarısız olur).

Problemin koşulundan, zıt olayların olasılıklarının özelliğine göre şunları elde ederiz: DD) = 1-0.99 = 0.01; DD) = 1-0.97 = 0.03.

Etkinlik ANCAK sadece D olaylarından en az biri veya 2 . Bu nedenle, bu olay olayların toplamına eşittir. ANCAK= D + ANCAK 2 .

Ortak olayların olasılıkları için toplama teoremi ile elde ederiz.

Bayes formülünü kullanarak, her iki bloğun da arızalanması nedeniyle cihazın arızalanma olasılığını buluyoruz.

Cevap:

Bağımsız çözüm için görevler Görev 1. Televizyon stüdyosunun deposunda, 1 No'lu fabrika tarafından üretilen kineskopların% 70'i var; kalan kineskoplar 2 No'lu tesis tarafından üretilmiştir. Kineskopun garanti süresi boyunca arızalanmama olasılığı 1 No'lu tesisin kineskopları için 0,8 ve 2 No'lu tesisin kineskopları için 0,7'dir. Kineskop garanti süresine dayanmıştır. 2 numaralı bitki tarafından üretilmiş olma olasılığını bulun.

Görev 2. Montaja üç otomatik makineden parçalar geliyor. 1. makinenin %0.3, 2. - %0.2, 3. - %0.4 kusur verdiği bilinmektedir. 1. makineden 1000 parça, 2. makineden 2000 parça ve 3. makineden 2500 parça alınmışsa, montaj için kusurlu bir parça alma olasılığını bulun.

Görev 3.İki makine aynı parçaları üretiyor. İlk makinede üretilen bir parçanın standart olma olasılığı 0,8, ikinci makinede ise 0,9'dur. İkinci makinenin performansı, birincinin üç katıdır. Standart parçanın her iki makineden de parça alan konveyörden rastgele alınma olasılığını bulun.

Görev 4.Şirketin başkanı, üç nakliye şirketinden ikisinin hizmetlerini kullanmaya karar verdi. Birinci, ikinci ve üçüncü firmaların malları zamanında teslim etme olasılıkları sırasıyla 0,05'tir; 0.1 ve 0.07. Bu verileri kargo taşımacılığının güvenliğine ilişkin verilerle karşılaştıran yönetici, seçimin adil olduğu sonucuna vardı ve bunu kura ile yapmaya karar verdi. Gönderilen kargonun zamanında teslim edilme olasılığını bulunuz.

Görev 5. Cihaz, her birinin servis kolaylığı cihazın çalışması için gerekli olan iki blok içerir. Bu bloklar için hatasız çalışma olasılıkları sırasıyla 0.99 ve 0.97'dir. Cihaz arızalı. İkinci birimin başarısız olma olasılığını belirleyin.

Bir görev 6. Montaj atölyesi, üç makineden parça alır. İlk makine evliliğin %3'ünü, ikincisi - %1 ve üçüncüsü - %2'sini verir. Her makineden sırasıyla 500, 200, 300 parça alındıysa, arızalı olmayan bir parçanın montaja girme olasılığını belirleyin.

Görev 7. Depo üç firmanın ürünlerini alıyor. Ayrıca, birinci firmanın üretimi %20, ikinci - %46 ve üçüncü - %34'tür. Ayrıca birinci firma için standart olmayan ürünlerin ortalama yüzdesinin %5, ikinci firma için %2 ve üçüncü firma için %1 olduğu bilinmektedir. Rastgele seçilen bir ürünün standart olduğu ortaya çıkarsa ikinci şirket tarafından üretilmiş olma olasılığını bulun.

Görev 8. Bir kusur nedeniyle bitkinin üretiminde evlilik a%5'tir ve reddedilenler arasında aürünlerin %10'unda bir kusur var R. Ve hatasız ürünlerde a, kusur R vakaların %1'inde görülür. Bir kusurla karşılaşma olasılığını bulun R tüm ürünlerde.

Görev 9.Şirketin daha önce onarımda olan 10 yeni arabası ve 5 eski arabası var. Yeni bir araba için uygun çalışma olasılığı, eski bir araba için 0,94 - 0,91'dir. Rastgele seçilen bir arabanın düzgün çalışma olasılığını bulun.

Görev 10.İki sensör, ortak bir iletişim kanalına sinyal gönderir ve bunlardan ilki, ikincinin iki katı kadar sinyal gönderir. İlk sensörden bozuk bir sinyal alma olasılığı, ikinci - 0,03'ten 0,01'dir. Ortak bir iletişim kanalında bozuk bir sinyal alma olasılığı nedir?

Görev 11. Beş ürün grubu vardır: 6'sı standart ve 2'si standart olmayan olmak üzere 8 parçalık üç grup ve 7'si standart ve 3'ü standart olmayan olmak üzere 10 parçalık iki grup. Partilerden biri rastgele seçilir ve bu partiden bir detay alınır. Seçilen parçanın standart olma olasılığını belirleyin.

Görev 12. Montajcı, parçaların ortalama olarak %50'sini birinci tesisten, %30'unu ikinci tesisten ve %20'sini üçüncü tesisten alır. İlk fabrikanın parçasının mükemmel kalitede olma olasılığı 0,7'dir; ikinci ve üçüncü bitkilerin parçaları için sırasıyla 0,8 ve 0,9. Rastgele alınan parçanın mükemmel kalitede olduğu ortaya çıktı. Parçanın ilk fabrika tarafından yapılmış olma olasılığını bulunuz.

Görev 13. Arabaların gümrük muayenesi iki müfettiş tarafından yapılır. Ortalama olarak, 100 arabadan 45'i ilk müfettişten geçer. Muayene sırasında gümrük kurallarına uygun bir arabanın alıkonulmama olasılığı, birinci müfettiş için 0,95, ikinci müfettiş için 0,85'tir. Gümrük kurallarına uyan bir arabanın alıkonulmama olasılığını bulunuz.

Görev 14. Cihazı monte etmek için gerekli parçalar, performansı aynı olan iki otomatik makineden gelmektedir. Otomatlardan biri standardın ortalama% 3'ünü ve ikincisi -% 2'yi verirse, standart bir parçanın montaja girme olasılığını hesaplayın.

Görev 15. Halter antrenörü, bu ağırlık kategorisinde takım kredisi almak için bir sporcunun 200 kg'lık bir halter itmesi gerektiğini hesapladı. Ivanov, Petrov ve Sidorov takımda yer alıyor. Ivanov, eğitim sırasında 7 vakada bu ağırlığı kaldırmaya çalıştı ve 3'ünde kaldırdı. Petrov 13'te 6 kez kaldırdı ve Sidorov'un halteri başarıyla kullanma şansı %35. Antrenör takım için rastgele bir sporcu seçer.

• a) Seçilen sporcunun takım puanlarını getirme olasılığını bulun.
• b) Takım puan alamadı. Sidorov'un konuşma olasılığını bulun.

Görev 16. Beyaz bir kutuda 12 kırmızı ve 6 mavi top vardır. Siyah - 15 kırmızı ve 10 mavi top. Zar atmak. Puan sayısı 3'ün katıysa, beyaz kutudan rastgele bir top çekiliyor. Başka herhangi bir puan düşerse, kara kutudan rastgele bir top alınır. Kırmızı bir topun gelme olasılığı nedir?

Görev 17.İki kutuda radyo tüpleri bulunur. İlk kutu, 1'i standart olmayan 12 lamba içerir; ikincisinde 1 tanesi standart olmayan 10 adet lamba bulunmaktadır. Birinci kutudan rastgele bir lamba alınıp ikinci kutuya aktarıldı. İkinci kutudan rastgele çekilen bir lambanın standart dışı olma olasılığını bulun.

Görev 18.İçinde iki top bulunan bir kavanoza beyaz bir top atılıyor ve ardından rastgele bir top çekiliyor. Topların ilk bileşimi (renge göre) hakkında tüm olası varsayımlar eşit derecede mümkünse, çekilen topun beyaz olma olasılığını bulun.

Görev 19. 3 özdeş parça içeren bir kutuya standart bir parça atılıyor ve ardından rastgele bir parça çekiliyor. Kutudaki orijinal standart parçaların sayısıyla ilgili tüm olası tahminler eşit derecede olasıysa, standart bir parçanın çizilme olasılığını bulun.

Görev 20. Radyo iletişiminin kalitesini artırmak için iki radyo alıcısı kullanılır. Her alıcı tarafından bir sinyal alma olasılığı 0,8'dir ve bu olaylar (alıcı tarafından sinyal alımı) bağımsızdır. Her alıcı için bir radyo iletişim oturumu sırasında hatasız çalışma olasılığı 0,9 ise, sinyal alma olasılığını belirleyin.

Sibirya Devlet Telekomünikasyon ve Bilişim Üniversitesi

Yüksek Matematik Bölümü

disiplin: "Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik"

"Toplam olasılık formülü ve Bayes (Bayes) formülü ve uygulamaları"

Tamamlanmış:

Başkan: Profesör B.P. Zelentsov

Novosibirsk, 2010

Giriş 3

1. Toplam olasılık formülü 4-5

2. Bayes formülü (Bayes) 5-6

3. Çözümlerle ilgili sorunlar 7-11

4. Bayes formülünün temel uygulama alanları (Bayes) 11

Sonuç 12

edebiyat 13

giriiş

Olasılık teorisi, matematiğin klasik dallarından biridir. Uzun bir geçmişi var. Bu bilim dalının temelleri büyük matematikçiler tarafından atılmıştır. Örneğin, Fermat, Bernoulli, Pascal adlarını vereceğim.
Daha sonra olasılık teorisinin gelişimi birçok bilim insanının çalışmalarında belirlendi.
Ülkemiz bilim adamları olasılık teorisine büyük katkıda bulundular:
P.L. Chebyshev, A.M. Lyapunov, A.A. Markov, A.N. Kolmogorov. Olasılıksal ve istatistiksel yöntemler artık uygulamalara derinden gömülüdür. Fizik, mühendislik, ekonomi, biyoloji ve tıpta kullanılırlar. Özellikle bilgisayar teknolojisinin gelişmesiyle bağlantılı olarak rolleri artmıştır.

Örneğin, fiziksel olayları incelemek için gözlemler veya deneyler yapılır. Sonuçları genellikle gözlemlenen bazı miktarların değerleri olarak kaydedilir. Deneyleri tekrarlarken, sonuçlarında bir dağılım buluyoruz. Örneğin, belirli koşulları (sıcaklık, nem vb.) koruyarak aynı cihazla aynı miktardaki ölçümleri tekrarlayarak, en azından biraz farklı, ancak yine de birbirinden farklı sonuçlar elde ederiz. Çoklu ölçümler bile bir sonraki ölçümün sonucunu doğru bir şekilde tahmin etmeyi mümkün kılmaz. Bu anlamda, bir ölçümün sonucunun rastgele bir miktar olduğu söylenir. Rastgele değişkenin daha da net bir örneği, kazanan bir piyango biletinin sayısıdır. Rastgele değişkenlere başka birçok örnek verilebilir. Yine de, kazalar dünyasında belirli kalıplar bulunur. Bu tür düzenlilikleri incelemek için matematiksel aygıt, olasılık teorisi tarafından sağlanır.
Bu nedenle, olasılık teorisi, rastgele olayların ve bunlarla ilişkili rastgele değişkenlerin matematiksel analizi ile ilgilenir.

1. Toplam olasılık formülü.

Bir grup olay olsun H 1 ,H 2 ,..., H n, aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1) tüm olaylar ikili olarak uyumsuzdur: Merhaba

2) onların birleşimi, temel sonuçların W uzayını oluşturur:

Bu durumda diyeceğiz ki H 1 , H 2 ,...,H n biçim tüm etkinlik grubu. Bu tür olaylara bazen denir hipotezler.

İzin vermek ANCAK- bir olay: ANCAKÌW (Şekil 8'de gösterilen Venn şeması). sonra var toplam olasılık formülü:

P(A) = P(A/H 1)P(H 1) + P(A/H 2)P(H 2) + ...+P(A/H n)P(H n) =

Kanıt. Açıkça: bir=

P(A) = P(

Bunu çarpma teoremi ile düşünürsek P(

Örnek. Mağaza, ilk fabrikanın - %30, ikinci - %50, üçüncü - %20'lik payla üç fabrika tarafından üretilen elektrik lambalarını satıyor. Ürünlerinde evlilik oranı sırasıyla %5, %3 ve %2'dir. Bir mağazadan rastgele seçilen bir lambanın arızalı olma olasılığı nedir?

olay olsun H 1, seçilen lambanın ilk fabrikada üretilmesi, H 2. saniyede H 3 - üçüncü tesiste. Açıkça:

P(H 1) = 3/10, P(H 2) = 5/10, P(H 3) = 2/10.

olay olsun ANCAK seçilen lambanın arızalı olduğu gerçeğinden oluşur; A/H ben arızalı bir lambanın fabrikada imal edilen lambalardan seçilmesi olgusunu ifade eder. i fabrika. Sorunun durumundan şöyle:

P (A/ H 1) = 5/10; P(A/ H 2) = 3/10; P(A/ H 3) = 2/10

Toplam olasılık formülüne göre, elde ederiz

2. Bayes formülü (Bayes)

İzin vermek H 1 ,H 2 ,...,H n- tam bir etkinlik grubu ve ANCAKÌ W bir olaydır. Sonra koşullu olasılık formülüne göre

Burada P(hk/A) olayın koşullu olasılığıdır (hipotez) hk ya da olasılık hk olayının gerçekleşmesi şartıyla ANCAK olmuş.

Olasılık çarpma teoremine göre, formül (1)'in payı şu şekilde temsil edilebilir:

P = P = P(A/hk)P(hk)

Formül (1) paydasını temsil etmek için toplam olasılık formülü kullanılabilir.

P(A)

Şimdi (1)'den bir formül elde edilebilir: Bayes formülü:

Bayes formülü ile hipotezin gerçekleşme olasılığı hesaplanır. hk olay olması şartıyla ANCAK olmuş. Bayes formülü de denir hipotez olasılık formülü. olasılık P(hk) hipotezin önsel olasılığı olarak adlandırılır. hk ve olasılık P(hk/A) arka olasılıktır.

Teorem. Testten sonra bir hipotezin olasılığı, test sırasında meydana gelen olayın karşılık gelen koşullu olasılığı ile test öncesi hipotezin olasılığının çarpımına eşittir, bu olayın toplam olasılığına bölünür.

Örnek. Elektrik lambaları ile ilgili yukarıdaki problemi düşünün, sadece problemin sorusunu değiştirin. Alıcının bu mağazada bir elektrik lambası almasına izin verin ve arızalı olduğu ortaya çıktı. Bu lambanın ikinci fabrikada üretilmiş olma olasılığını bulunuz. Değer P(H 2) = 0,5 bu durumda, satın alınan lambanın ikinci fabrikada üretilmesinin apriori olasılığıdır. Satın alınan lambanın arızalı olduğu bilgisini aldıktan sonra, bu olayın arka olasılığını hesaplayarak ikinci fabrikada bu lambayı üretme olasılığına ilişkin tahminimizi düzeltebiliriz.

Bu durum için Bayes formülünü yazalım.

Bu formülden şunu elde ederiz: P(H 2 /A) = 15/34. Görüldüğü gibi elde edilen bilgiler bizi ilgilendiren olayın olasılığının a priori olasılıktan daha düşük olmasına yol açmıştır.

3. Çözümlerle ilgili sorunlar.

Görev 1. Mağaza, üç işletmeden yeni ürünler aldı. Bu ürünlerin yüzde bileşimi aşağıdaki gibidir: %20 - birinci teşebbüsün ürünleri, %30 - ikinci teşebbüsün ürünleri, %50 - üçüncü teşebbüsün ürünleri; ayrıca, en yüksek dereceli birinci işletmenin ürünlerinin %10'u, ikinci işletmede - %5'i ve üçüncü işletmede - en yüksek derecedeki ürünlerin %20'si. Rastgele satın alınan yeni bir ürünün en yüksek kalitede olma olasılığını bulun.

Çözüm. ile belirtmek AT aracılığıyla premium bir ürünün satın alınması durumunda,

Toplam olasılık formülünü uygulayabiliriz ve gösterimimizde:

Bu değerleri toplam olasılık formülüne koyarak gerekli olasılığı elde ederiz:

Görev 2. Ateş eden üç kişiden biri ateş hattına çağrılır ve iki el ateş eder. İlk atıcı için hedefi tek atışla vurma olasılığı, ikinci için 0,3 - 0,5; üçüncü için - 0.8. Hedef vurulmadı. İlk ateş edenin ateş etme olasılığını bulunuz.

sinyal ve gürültü. Neden bazı tahminler gerçekleşirken diğerleri gerçekleşmez Silver Nate?

Bayes teoreminin basit matematiği

Bayes teoreminin felsefi temelleri şaşırtıcı derecede derinse, matematiği şaşırtıcı derecede basittir. Temel biçiminde, bu sadece üç bilinen ve bir bilinmeyen değişkenli cebirsel bir ifadedir. Ancak bu basit formül, tahminlerde içgörülere yol açabilir.

Bayes teoremi, koşullu olasılık ile doğrudan ilişkilidir. Başka bir deyişle, bir teori veya hipotezin olasılığını hesaplamanıza olanak tanır, eğer bazı olaylar olacak. Bir partnerle yaşadığınızı ve bir iş gezisinden eve döndükten sonra gardırobunuzda tanımadığınız bir iç çamaşırı bulduğunuzu hayal edin. Merak ediyor olabilirsiniz: Partnerinizin sizi aldatma olasılığı nedir? Şart iç çamaşırı bulacağınız; hipotez aldatılma ihtimalinizi değerlendirmekle ilgilenmenizdir. İster inanın ister inanmayın, Bayes Teoremi, üç özelliği bilmeniz (veya takdir etmeye istekli olmanız) şartıyla, bu tür bir sorunun cevabını size verebilir.

Her şeyden önce, iç çamaşırının ortaya çıkma olasılığını değerlendirmelisiniz. hipotezin doğruluğu için bir koşul olarak - yani değiştirmek şartıyla.

Bu sorunu çözmek için, sizin bir kadın olduğunuzu ve partnerinizin bir erkek olduğunu ve tartışmanın konusunun bir külot olduğunu varsayalım. Seni aldatıyorsa, başkalarının külotlarının gardırobuna nasıl girebileceğini hayal etmek kolaydır. Ancak, sizi aldatsa bile (veya özellikle) ondan oldukça dikkatli olmasını bekleyebilirsiniz. Diyelim ki sizi aldatırsa, külotun ortaya çıkma olasılığı %50'dir.

İkinci olarak, iç çamaşırının ortaya çıkma olasılığını değerlendirmelisiniz. varsayımın yanlış olması şartıyla.

Eğer bir kocanız sizi aldatmıyor, gardırobunuzdaki külot görünümünün başka, daha masum açıklamaları olmalı. Bazıları oldukça tatsız olabilir (örneğin, kendi külotu olabilir). Bagajının yanlışlıkla başkasınınkiyle karıştırılmış olması mümkündür. Güvendiğiniz bazı kız arkadaşlarınız nedense geceyi onun evinde masum bir şekilde geçirmiş olabilir. Külot, senin için toplamayı unuttuğu bir hediye olabilirdi. Bazen “köpek ödevimi yedi” açıklamalarının doğru olduğu ortaya çıksa da, bu teorilerin hiçbiri kusursuz değildir. Birleşik olasılıklarını %5 olarak tahmin ediyorsunuz.

İhtiyacınız olan üçüncü ve en önemli şey, Bayescilerin dediği şeydir. ön olasılık(ya da sadece Önsel). İhanet olasılığını nasıl değerlendirdin? bundan önceİç çamaşırını nasıl buldun? Tabii ki, bu külotlar görüş alanınızda göründükten sonra şimdi objektif bir değerlendirme yapmanız zor (ideal olarak, kanıtları incelemeye başlamadan önce bu olasılığı tahmin edersiniz). Ancak bazen bu tür olayların olasılığını ampirik olarak tahmin etmek mümkündür. Örneğin, bir dizi çalışma, herhangi bir rastgele yılda evli eşlerin yaklaşık %4'ünün eşlerini (570) aldattığını göstermiştir, bu yüzden bu rakamı bir ön olasılık olarak alacağız.

Bu değerlerin hepsini tahmin ettiyseniz, tahmin etmek için Bayes teoremini uygulayabilirsiniz. arka olasılık. Bu şekilde en çok ilgileniyoruz - başka birinin iç çamaşırını bulmamız şartıyla aldatılma ihtimalimiz ne kadar?

Hesaplama ve yapılmasına izin veren basit bir cebirsel formül Tablo'da verilmiştir. 8.2.

Tablo 8.2. Bayes teoremine göre ihanet olasılığının hesaplanmasına bir örnek

İhanet olasılığının hala oldukça küçük olduğu ortaya çıktı -% 29. Bu mantıksız görünebilir: külot yeterince güçlü kanıt değil mi? Belki de bu sonuç, ihanet olasılığının çok düşük apriori değerini kullanmanızdan kaynaklanmaktadır.

Masum bir kişinin külot görünümü için suçlu bir kişiye göre çok daha az makul açıklaması olsa da, başlangıçta masum olduklarını varsaydınız ve bu denklemin sonucu üzerinde büyük bir etkiye sahipti.

Bir şeyden a priori emin olduğumuzda, yeni kanıtlar ortaya çıksa bile oldukça esnek olabiliriz. Bu tür durumların klasik örneklerinden biri 40 yaş üstü kadınlarda meme kanserinin saptanmasıdır. Neyse ki, 40 yaşın üzerindeki bir kadının meme kanserine yakalanma olasılığı oldukça düşüktür, yaklaşık %1.4 (571). Ancak, mamografisinde olumlu bir sonuç çıkma olasılığı nedir?

Araştırmalar gösteriyor ki, bir kadın olsa bile Numara kanser, mamogram hatalı olarak vakaların %10'unda varlığını gösterecektir (572). Öte yandan, kanser varsa, bir mamogram bunu zamanın yaklaşık %75'inde tespit edecektir (573). Bu istatistikleri gördükten sonra, pozitif bir mamogram sonucunun işlerin çok kötü olduğu anlamına geldiğine karar verebilirsiniz. Ancak bu rakamları kullanarak Bayes hesaplaması farklı bir sonuca yol açar: 40 yaş üstü bir kadında meme kanseri olma olasılığı. pozitif bir mamogramı olması şartıyla, hala %10 civarında. Bu durumda, denklemin hesaplanmasının bu sonucu, oldukça az sayıda genç kadının meme kanserine sahip olmasından kaynaklanmaktadır. Bu nedenle birçok klinisyen, kadınların 50 yaşına kadar düzenli mamogramlara başlamamalarını tavsiye eder ve bu tarihten sonra meme kanseri olasılığının önemli ölçüde artması (574).

Bu tür sorunlar kuşkusuz karmaşıktır. Amerikan istatistik okuryazarlığı üzerine yakın zamanda yapılan bir anket sırasında, onlara bu meme kanseri örneği verildi. Ve bunların sadece %3'ünün olasılık değerlerini (575) doğru bir şekilde hesaplayabildiği ortaya çıktı. Bazen, biraz yavaşlayarak ve sorunu görselleştirmeye çalışarak (Şekil 8.2'de gösterildiği gibi), kesin olmayan tahminlerimizi kolayca gerçekliği kontrol edebiliriz. Görselleştirme, büyük resmi daha kolay görmemize yardımcı olur - genç kadınlarda meme kanseri son derece nadir olduğundan, yalnızca pozitif bir mamogram sonucunun gerçeği hiçbir şey ifade etmez.

Pirinç. 8.2. Bir mamogram örneğinde Bayes teoremi için giriş verilerinin grafiksel gösterimi

Ancak, genellikle en son veya en mevcut bilgilere odaklanma eğilimindeyiz ve büyük resim kaybolmaya başlıyor. Bob Voulgaris gibi akıllı oyuncular, düşüncemizdeki bu kusurlardan ustaca yararlanmayı öğrendiler. Voulgaris, kısmen Lakers'a iyi bir bahis yaptı çünkü bahisçiler ilk birkaç Lakers maçını fazla oynamış ve unvanı 4-1'den 65-1'e çıkaran takımın şansını değiştirmişti. iyi bir takım, yıldız oyuncularından birinin sakatlanması durumunda bunu yapabilir. Bayes Teoremi, bu tür problemler hakkında daha dikkatli düşünmemizi gerektirir. İçgüdüsel tahminlerimizin çok kaba olduğu durumları belirlemek için son derece yararlı olabilir.

Ama a priori beklentilerimizin her zaman yeni kanıtlara egemen olduğunu veya Bayes teoreminin her zaman görünüşte mantıksız sonuçlara yol açtığını söylemek istemiyorum. Bazen yeni kanıtlar bizim için o kadar önemlidir ki her şeyden daha ağır basar ve neredeyse anında fikrimizi değiştirebilir ve neredeyse sıfır olduğunu düşündüğümüz bir olaya tamamen güvenebiliriz.

Daha karanlık bir örnek alalım, 9/11 saldırıları. Çoğumuz, o gün sabah uyandığımızda, teröristlerin Manhattan'daki gökdelenlere uçak çarpması olasılığını neredeyse sıfır olarak belirledik. Ancak, ilk uçağın Dünya Ticaret Merkezi'ne düşmesinden sonra bir terör saldırısı olasılığının açık olduğunu kabul ettik. Ve uçak ikinci kuleye çarptıktan sonra saldırıya uğradığımızdan artık şüphemiz yok. Bayes teoremi bu sonucu gösterebilmektedir.

Diyelim ki ilk uçak kuleye çarpmadan önce Manhattan'ın yüksek binalarına terör saldırısı olasılığına ilişkin hesaplamalarımız 20 binde sadece 1 şans veya %0,005 idi. Ancak uçağın yanlışlıkla Dünya Ticaret Merkezi kulesine çarpması ihtimalini de oldukça düşük olarak değerlendirmek zorundaydık. Bu rakam ampirik olarak hesaplanabilir. Manhattan üzerinden uçuşların gerçekleştirildiği 11 Eylül olaylarından 25.000 gün önce, bu tür sadece iki vaka vardı (576): 1945'te Empire State Binası ile çarpışma ve 40 Wall Street'te bir kule ile çarpışma. 1946. Bu nedenle, böyle bir olayın olasılığı herhangi bir rastgele günde 12.500'de 1 şans kadardı. Bu rakamlar Bayes teoremi kullanılarak hesaplanırsa (Tablo 8.3a), ilk uçak binaya çarptığı anda terör saldırısı olasılığı %0,005'ten %38'e çıkmıştır.

Tablo 8.3a.

Ancak, Bayes teoreminin arkasındaki fikir, olasılık hesaplamalarımızı sadece bir kez ayarlamamamızdır. Yeni kanıtlar ortaya çıktıkça bunu her zaman yaparız. Böylece, ilk uçağın çarpışmasından sonra terörist saldırı olasılığının %38'e eşit olması bizim arka olasılığımız olur. Önsel ikincisi ile çarpışma olasılığı.

Ve ikinci uçak Dünya Ticaret Merkezi kulesine çarptıktan sonra yeniden hesaplarsanız, terör saldırısı olasılığının %99,99'unun yerini bu olayın neredeyse kesinliği aldığını göreceksiniz. New York'ta parlak güneşli bir günde bir kaza son derece olası değildi, ancak ikincisinin olmaması neredeyse imkansızdı (Tablo 8.3b), aniden ve büyük bir korkuyla fark ettik.

Tablo 8.3b. Bayes teoremini kullanarak bir terör saldırısı olasılığını hesaplama örneği

Örnek olarak oldukça zor vakaları bilinçli olarak seçtim - terör saldırıları, kanser, zina - çünkü Bayesci düşüncenin uygulanabileceği sorunların kapsamını göstermek istiyorum. Bayes Teoremi sihirli bir formül değildir. Bu kitapta sunduğumuz en basit formülü, toplama, çıkarma, bölme ve çarpma için basit aritmetik işlemleri kullanır. Ama bize yararlı bir sonuç vermesi için, ona bilgi sağlamalıyız, özellikle de önceki olasılık hesaplarımızı.

Ancak Bayes teoremi, tesadüfün bir tezahürü olarak görmek istemediğimiz konularda bile, dünyada meydana gelen olayların olasılığını düşünmeye zorlar. Dünyayı içsel olarak algılamamızı gerektirmez, metafizik olarak belirsiz: Laplace, gezegenlerin yörüngelerinden en küçük moleküllerin hareketine kadar her şeyin düzenli Newton kuralları tarafından yönetildiğine inanıyordu. Yine de Bayes teoreminin geliştirilmesinde önemli bir rol oynadı. Aksine, bu teoremin aşağıdakilerle ilgili olduğu söylenebilir. epistemolojik belirsizlik - bilgimizin sınırları.

BASİT ARİTMETİK (Rusya ve BDT) Y. Byaly 18 Kasım - Beyaz Rusya Yüksek Konseyi'nde bir bölünme: 75 milletvekili Lukaşenka'nın görevden alınması talebini imzaladı ve 80 milletvekili başkanın gidişatına bağlılıklarını ilan etti. - Kursla anlaşmazlığın bir işareti olarak Lukashenka istifa etti

ALT MATEMATİK Denis Tukmakov Otobüs durağında durup otobüsü bekledim ve bugün bize sorulan yüksek matematik ders kitabından paragrafı anlamaya çalıştım. Sinüs değerleri hakkında bir şeyler okuyordum, “Afedersiniz, bu öğreticinin yazarı kim?” Sorusunu duyduğumda. ben