Zëvendësimi a= 28, b= 38, m= 32, σ= 4, marrim

R(28< X < 38)= F(1,5) F(1)

Sipas tabelës së vlerave të funksionit Ф( X) gjejmë Ф(1.5) = 0.4332, Ф(1) = 0.3413.

Pra, probabiliteti i dëshiruar është:

P(28

Detyrat

6.1. Vlera e rastësishme X të shpërndara në mënyrë të barabartë në intervalin (-3;5). Gjej:

a) dendësia e shpërndarjes f(x);

b) funksionet e shpërndarjes F(x);

c) karakteristikat numerike;

d) probabiliteti R(4<X<6).

6.2. Vlera e rastësishme X të shpërndara në mënyrë të barabartë në segment. Gjej:

a) dendësia e shpërndarjes f(x);

b) funksionin e shpërndarjes F(x);

c) karakteristikat numerike;

d) probabiliteti R(3≤X≤6).

6.3. Në autostradë është vendosur një semafor automatik, në të cilin drita jeshile ndizet për 2 minuta, e verdhë për 3 sekonda dhe e kuqe për 30 sekonda, etj. Një makinë po lëviz në autostradë në një kohë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që makina të kalojë në semafor pa u ndalur.

6.4. Trenat e metrosë qarkullojnë rregullisht në intervale prej 2 minutash. Pasagjeri hyn në platformë në një kohë të rastësishme. Sa është probabiliteti që pasagjerit t'i duhet të presë më shumë se 50 sekonda për trenin? Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X- koha e pritjes së trenit.

6.5. Gjeni variancën dhe devijimin standard të shpërndarjes eksponenciale të dhënë nga funksioni i shpërndarjes:

6.6. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X dhënë nga dendësia e shpërndarjes së probabilitetit:

a) Emërtoni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastit të konsideruar.

b) Gjeni funksionin e shpërndarjes F(x) dhe karakteristikat numerike të ndryshores së rastit X.

6.7. Vlera e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit eksponencial, i dhënë nga densiteti i shpërndarjes së probabilitetit:

X do të marrë një vlerë nga intervali (2.5;5).

6.8. Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit eksponencial të dhënë nga funksioni i shpërndarjes:

Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X do të marrë vlerën nga intervali .

6.9. Pritshmëria matematikore dhe devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht janë përkatësisht 8 dhe 2. Gjeni:

a) dendësia shpërndarja f(x);

b) probabilitetin që si rezultat i testit X do të marrë një vlerë nga intervali (10;14).

6.10. Vlera e rastësishme X shpërndahet normalisht me mesatare 3.5 dhe variancë 0.04. Gjej:

a) dendësia e shpërndarjes f(x);

b) probabilitetin që si rezultat i testit X do të marrë vlerën nga intervali .

6.11. Vlera e rastësishme X shpërndahet normalisht me M(X) = 0 dhe D(X)= 1. Cila nga ngjarjet: | X|≤0.6 ose | X|≥0.6 ka një probabilitet të lartë?

6.12. Vlera e rastësishme X shpërndahet normalisht me M(X) = 0 dhe D(X)= 1. Nga cili interval (-0.5; -0.1) ose (1; 2) në një test do të marrë një vlerë me një probabilitet më të madh?

6.13. Çmimi aktual për aksion mund të modelohet duke përdorur shpërndarjen normale me M(X)= 10 ditë njësi dhe σ( X) = 0,3 den. njësi Gjej:

a) probabiliteti që çmimi aktual i aksionit të jetë prej 9,8 den. njësi deri në 10,4 den. njësi;

b) duke përdorur "rregullin e tre sigmave" për të gjetur kufijtë në të cilët do të jetë çmimi aktual i aksionit.

6.14. Substanca peshohet pa gabime sistematike. Gabimet e rastësishme të peshimit i nënshtrohen ligjit normal me devijimin standard σ= 5r. Gjeni probabilitetin që në katër eksperimente të pavarura gabimi në tre peshime të mos kalojë 3 g në vlerë absolute.

6.15. Vlera e rastësishme X shpërndahet normalisht me M(X)= 12.6. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të bjerë në intervalin (11.4; 13.8) është 0.6826. Gjeni devijimin standard σ.

6.16. Vlera e rastësishme X shpërndahet normalisht me M(X) = 12 dhe D(X) = 36. Gjeni intervalin në të cilin, me një probabilitet prej 0,9973, ndryshorja e rastësishme do të bjerë si rezultat i testit X.

6.17. Një pjesë e prodhuar nga një makinë automatike konsiderohet e dëmtuar nëse devijimi X parametri i tij i kontrolluar nga vlera nominale tejkalon me modul 2 njësi matëse. Supozohet se ndryshorja e rastit X shpërndahet normalisht me M(X) = 0 dhe σ( X) = 0,7. Sa përqind e pjesëve me defekt nxjerr makina?

3.18. Parametri X pjesët zakonisht shpërndahen me një pritje matematikore prej 2 të barabartë me vlerën nominale dhe një devijim standard prej 0.014. Gjeni probabilitetin që devijimi X nga moduli i vlerës nominale nuk do të kalojë 1% të vlerës nominale.

Përgjigjet

në) M(X)=1, D(X)=16/3, σ( X)= 4/ , d) 1/8.

në) M(X)=4,5, D(X) = 2 , σ ( X)= , d) 3/5.

6.3. 40/51.

6.4. 7/12, M(X)=1.

6.5. D(X) = 1/64, σ ( X)=1/8

6.6. M(X)=1 , D(X) = 2 , σ ( X)= 1 .

6.7. P(2.5<X<5)=e -1 e -2 ≈0,2325 6.8. Р(2≤ X≤5)=0,252.

b) R(10 < X < 14) ≈ 0,1574.

b) R(3,1 ≤ X ≤ 3,7) ≈ 0,8185.

6.11. |x|≥0,6.

6.12. (-0,5; -0,1).

6.13. a) Р(9,8 ≤ Х ≤ 10,4) ≈ 0,6562 6.14. 0,111.

b) (9.1; 10.9).

6.15. σ = 1,2.

6.16. (-6; 30).

6.17. 0,4 %.

Ligji normal i shpërndarjes së probabilitetit

Pa ekzagjerim, mund të quhet një ligj filozofik. Duke vëzhguar objekte dhe procese të ndryshme të botës përreth nesh, shpesh hasim në faktin se diçka nuk mjafton dhe se ekziston një normë:


Këtu është një pamje themelore funksionet e densitetit Shpërndarja normale e probabilitetit, dhe ju mirëpres në këtë mësim më interesant.

Çfarë shembujsh mund të jepen? Ata janë thjesht errësirë. Kjo, për shembull, është lartësia, pesha e njerëzve (dhe jo vetëm), forca e tyre fizike, aftësitë mendore, etj. Ka një "masë" (në një mënyrë ose në një tjetër) dhe ka devijime në të dy drejtimet.

Këto janë karakteristika të ndryshme të objekteve të pajetë (të njëjtat dimensione, peshë). Kjo është një kohëzgjatje e rastësishme e proceseve, për shembull, koha e një gare prej njëqind metrash ose shndërrimi i rrëshirës në qelibar. Nga fizika, molekulat e ajrit erdhën në mendje: midis tyre ka të ngadalta, ka të shpejta, por shumica e tyre lëvizin me shpejtësi "standarde".

Tjetra, ne devijojmë nga qendra me një devijim standard tjetër dhe llogarisim lartësinë:

Shënimi i pikave në vizatim (ngjyrë jeshile) dhe ne shohim se kjo është mjaft e mjaftueshme.

Në fazën përfundimtare, ne vizatojmë me kujdes një grafik dhe veçanërisht me kujdes pasqyrojnë atë konveksitet / konkavitet! Epo, me siguri e keni kuptuar shumë kohë më parë se boshti i abshisave është asimptotë horizontale, dhe është absolutisht e pamundur të "ngjitet" për të!

Me dizajnin elektronik të zgjidhjes, grafiku është i lehtë për t'u ndërtuar në Excel, dhe papritur për veten time, madje regjistrova një video të shkurtër për këtë temë. Por së pari, le të flasim se si ndryshon forma e kurbës normale në varësi të vlerave të dhe .

Kur rritet ose zvogëlohet "a" (me "sigma" të pandryshuar) grafiku ruan formën e tij dhe lëviz djathtas / majtas përkatësisht. Kështu, për shembull, kur funksioni merr formën dhe grafiku ynë "lëviz" 3 njësi në të majtë - saktësisht në origjinë:


Një sasi e shpërndarë normalisht me pritshmëri matematikore zero mori një emër krejtësisht natyror - të përqendruar; funksioni i densitetit të tij – madje, dhe grafiku është simetrik rreth boshtit y.

Në rast të një ndryshimi në "sigma" (me konstante "a"), grafiku “mbetet në vend”, por ndryshon formë. Kur zmadhohet, ai bëhet më i ulët dhe i zgjatur, si një oktapod që shtrin tentakulat e tij. Dhe anasjelltas, kur zvogëlohet grafiku bëhet më i ngushtë dhe më i gjatë- rezulton "oktapod i habitur". Po, në zvogëlohet"sigma" dy herë: grafiku i mëparshëm ngushtohet dhe shtrihet dy herë:

Gjithçka është në përputhje të plotë me shndërrimet gjeometrike të grafikëve.

Shpërndarja normale me vlerë njësi "sigma" quhet normalizuar, dhe nëse është gjithashtu të përqendruar(rasti ynë), atëherë quhet një shpërndarje e tillë standarde. Ai ka një funksion edhe më të thjeshtë të densitetit, i cili tashmë është hasur në teorema lokale e Laplasit: . Shpërndarja standarde ka gjetur zbatim të gjerë në praktikë, dhe shumë shpejt do ta kuptojmë më në fund qëllimin e saj.

Tani le të shohim një film:

Po, shumë e drejtë - disi në mënyrë të pamerituar kemi mbetur në hije funksioni i shpërndarjes së probabilitetit. Ne e kujtojmë atë përkufizimi:
- probabiliteti që një variabël e rastësishme të marrë një vlerë MË MË TË MËKËTË se ndryshorja, e cila "drejton" të gjitha vlerat reale deri në "plus" pafundësi.

Brenda integralit, zakonisht përdoret një shkronjë e ndryshme në mënyrë që të mos ketë "mbivendosje" me shënimin, sepse këtu çdo vlerë caktohet integral jo i duhur , e cila është e barabartë me disa numri nga intervali.

Pothuajse të gjitha vlerat nuk mund të llogariten me saktësi, por siç e kemi parë sapo, me fuqinë moderne kompjuterike, kjo nuk është e vështirë. Pra, për funksionin të shpërndarjes standarde, funksioni përkatës excel përmban përgjithësisht një argument:

=NORMSDIST(z)

Një, dy - dhe keni mbaruar:

Vizatimi tregon qartë zbatimin e të gjithëve vetitë e funksionit të shpërndarjes, dhe nga nuancat teknike këtu duhet t'i kushtoni vëmendje asimptota horizontale dhe një pikë përkuljeje.

Tani le të kujtojmë një nga detyrat kryesore të temës, domethënë, të zbulojmë se si të gjejmë - probabilitetin që një ndryshore normale e rastësishme do të marrë një vlerë nga intervali. Gjeometrikisht, kjo probabilitet është e barabartë me zonë ndërmjet lakores normale dhe boshtit x në seksionin përkatës:

por çdo herë bluajeni një vlerë të përafërt është e paarsyeshme, dhe për këtë arsye është më racionale të përdoret formulë "e lehtë".:
.

! gjithashtu kujton , çfarë

Këtu mund të përdorni përsëri Excel, por ka disa "por" domethënëse: së pari, nuk është gjithmonë pranë, dhe së dyti, vlerat "të gatshme", ka shumë të ngjarë, do të ngrenë pyetje nga mësuesi. Pse?

Unë kam folur vazhdimisht për këtë më parë: në një kohë (dhe jo shumë kohë më parë) një kalkulator i zakonshëm ishte një luks, dhe mënyra "manuale" e zgjidhjes së problemit në shqyrtim ruhet ende në literaturën arsimore. Thelbi i saj është që standardizoj vlerat "alfa" dhe "beta", domethënë, zvogëlojnë zgjidhjen në shpërndarjen standarde:

shënim : funksioni është i lehtë për t'u marrë nga rasti i përgjithshëmduke përdorur një lineare zëvendësimet. Pastaj dhe:

dhe nga zëvendësimi thjesht ndjek formulën kalimi nga vlerat e një shpërndarje arbitrare në vlerat përkatëse të shpërndarjes standarde.

Pse është e nevojshme kjo? Fakti është se vlerat u llogaritën me përpikëri nga paraardhësit tanë dhe u përmblodhën në një tabelë të veçantë, e cila gjendet në shumë libra në terver. Por edhe më e zakonshme është tabela e vlerave, të cilën e kemi trajtuar tashmë Teorema integrale e Laplasit:

Nëse kemi në dispozicion një tabelë vlerash të funksionit Laplace , pastaj zgjidhim përmes tij:

Vlerat thyesore tradicionalisht rrumbullakosen në 4 shifra dhjetore, siç bëhet në tabelën standarde. Dhe për kontroll Pika 5 faqosje.

Ju kujtoj se , dhe për të shmangur konfuzionin të jetë gjithmonë në kontroll, tabela e ÇFARË funksionon para syve tuaj.

Përgjigju kërkohet të jepet si përqindje, kështu që probabiliteti i llogaritur duhet të shumëzohet me 100 dhe të japë rezultatin me një koment kuptimplotë:

- me një fluturim nga 5 në 70 m, afërsisht 15.87% e predhave do të bien

Ne stërvitemi vetë:

Shembulli 3

Diametri i kushinetave të prodhuara në fabrikë është një variabël i rastësishëm i shpërndarë normalisht me një pritje prej 1,5 cm dhe një devijim standard prej 0,04 cm. Gjeni probabilitetin që madhësia e një kushinete të marrë rastësisht të variojë nga 1,4 në 1,6 cm.

Në zgjidhjen e mostrës dhe më poshtë, unë do të përdor funksionin Laplace si opsionin më të zakonshëm. Nga rruga, vini re se sipas formulimit, këtu mund të përfshini skajet e intervalit në konsideratë. Megjithatë, kjo nuk është kritike.

Dhe tashmë në këtë shembull, ne takuam një rast të veçantë - kur intervali është simetrik në lidhje me pritjen matematikore. Në një situatë të tillë, mund të shkruhet në formën dhe, duke përdorur çuditshmërinë e funksionit Laplace, të thjeshtoni formulën e punës:

Parametri delta quhet devijimi nga pritshmëria matematikore, dhe pabarazia e dyfishtë mund të “paketohet” duke përdorur modul:

është probabiliteti që vlera e një ndryshoreje të rastësishme të devijojë nga pritshmëria matematikore me më pak se .

Epo, zgjidhja që përshtatet në një rresht :)
është probabiliteti që diametri i një kushinete të marrë në mënyrë të rastësishme të ndryshojë nga 1,5 cm jo më shumë se 0,1 cm.

Rezultati i kësaj detyre doli të ishte afër unitetit, por unë do të doja edhe më shumë besueshmëri - domethënë, të zbuloja kufijtë në të cilët është diametri pothuajse të gjithë kushinetat. A ka ndonjë kriter për këtë? Ekziston! Pyetjes i përgjigjen të ashtuquajturit

rregulli tre sigma

Thelbi i saj është se praktikisht i besueshëm është fakti që një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht do të marrë një vlerë nga intervali .

Në të vërtetë, probabiliteti i devijimit nga pritshmëria është më pak se:
ose 99.73%

Për sa i përket "kushinetës" - këto janë 9973 copë me një diametër prej 1.38 deri në 1.62 cm dhe vetëm 27 kopje "nën standarde".

Në kërkimin praktik, rregulli “tre sigma” zakonisht zbatohet në drejtim të kundërt: nëse statistikisht konstatoi se pothuajse të gjitha vlerat variabli i rastësishëm në studim përshtaten në një interval prej 6 devijimesh standarde, atëherë ka arsye të mira për të besuar se kjo vlerë shpërndahet sipas ligjit normal. Verifikimi kryhet duke përdorur teorinë hipoteza statistikore.

Ne vazhdojmë të zgjidhim detyrat e ashpra sovjetike:

Shembulli 4

Vlera e rastësishme e gabimit të peshimit shpërndahet sipas ligjit normal me pritshmëri matematikore zero dhe një devijim standard prej 3 gram. Gjeni probabilitetin që peshimi tjetër të kryhet me një gabim jo më shumë se 5 gram në vlerë absolute.

Zgjidhje shume e thjeshte. Me kusht, dhe ne e vërejmë menjëherë se në peshimin tjetër (diçka ose dikush) ne do të marrim pothuajse 100% rezultatin me një saktësi prej 9 gram. Por në problem ka një devijim më të ngushtë dhe sipas formulës :

- probabiliteti që peshimi tjetër të kryhet me një gabim jo më shumë se 5 gram.

Përgjigju:

Një problem i zgjidhur është thelbësisht i ndryshëm nga një problem në dukje i ngjashëm. Shembulli 3 mësim rreth shpërndarje uniforme. Pati një gabim rrumbullakimi rezultatet e matjeve, këtu po flasim për gabimin e rastësishëm të vetë matjeve. Gabime të tilla lindin për shkak të karakteristikave teknike të vetë pajisjes. (sfera e gabimeve të lejuara, si rregull, tregohet në pasaportën e tij), dhe gjithashtu për fajin e eksperimentuesit - kur, për shembull, "me sy" marrim lexime nga shigjeta e të njëjtave peshore.

Ndër të tjera ka edhe të ashtuquajturat sistematike gabimet e matjes. Është tashmë jo të rastësishme gabime që ndodhin për shkak të konfigurimit ose funksionimit të gabuar të pajisjes. Kështu, për shembull, peshoret e parregulluara të dyshemesë mund të "shtojnë" vazhdimisht një kilogram, dhe shitësi sistematikisht nënpeshon blerësit. Ose jo në mënyrë sistematike, sepse ju mund të shkurtoni. Sidoqoftë, në çdo rast, një gabim i tillë nuk do të jetë i rastësishëm dhe pritshmëria e tij është e ndryshme nga zero.

…Unë po zhvilloj urgjentisht një kurs trajnimi për shitje =)

Le ta zgjidhim problemin vetë:

Shembulli 5

Diametri i rulit është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht, devijimi standard i tij është mm. Gjeni gjatësinë e intervalit, simetrik në lidhje me pritjen matematikore, në të cilën gjatësia e diametrit të rruazës do të bjerë me probabilitet.

Artikulli 5* paraqitjen e dizajnit te ndihmosh. Ju lutemi vini re se pritshmëria matematikore nuk dihet këtu, por kjo nuk ndërhyn aspak në zgjidhjen e problemit.

Dhe detyra e provimit, të cilën unë rekomandoj shumë për të konsoliduar materialin:

Shembulli 6

Një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht jepet nga parametrat e saj (pritshmëria matematikore) dhe (devijimi standard). Kërkohet:

a) shkruani densitetin e probabilitetit dhe përshkruani skematikisht grafikun e tij;
b) gjeni probabilitetin që do të marrë një vlerë nga intervali ;
c) gjeni probabilitetin që moduli të devijojë nga jo më shumë se ;
d) duke zbatuar rregullin e "tre sigma", gjeni vlerat e ndryshores së rastësishme.

Probleme të tilla ofrohen kudo, dhe gjatë viteve të praktikës kam mundur të zgjidh qindra e qindra prej tyre. Sigurohuni që të praktikoni vizatimin me dorë dhe përdorimin e fletëllogaritjeve të letrës ;)

Epo, unë do të analizoj një shembull të kompleksitetit të shtuar:

Shembulli 7

Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme ka formën . Gjeni, pritshmëria matematikore, varianca, funksioni i shpërndarjes, dendësia e grafikut dhe funksionet e shpërndarjes, gjeni.

Zgjidhje: para së gjithash, le t'i kushtojmë vëmendje që kushti të mos thotë asgjë për natyrën e ndryshores së rastit. Në vetvete, prania e ekspozuesit nuk do të thotë asgjë: mund të jetë, për shembull, demonstrative ose në përgjithësi arbitrare shpërndarja e vazhdueshme. Dhe për këtë arsye, "normaliteti" i shpërndarjes ende duhet të vërtetohet:

Që nga funksioni përcaktuar në ndonjë vlerë reale dhe mund të reduktohet në formë , atëherë ndryshorja e rastësishme shpërndahet sipas ligjit normal.

Ne paraqesim. Për këtë zgjidhni një katror të plotë dhe të organizojnë fraksion trekatëshe:


Sigurohuni që të kryeni një kontroll, duke e kthyer treguesin në formën e tij origjinale:

që është ajo që ne donim të shihnim.

Në këtë mënyrë:
- në rregulli i pushtetit"duke hequr". Dhe këtu mund të shkruani menjëherë karakteristikat e dukshme numerike:

Tani le të gjejmë vlerën e parametrit. Meqenëse shumëzuesi i shpërndarjes normale ka formën dhe , atëherë:
, nga i cili shprehemi dhe zëvendësojmë në funksionin tonë:
, pas së cilës do të kalojmë edhe një herë rekordin me sytë tanë dhe do të sigurohemi që funksioni që rezulton të ketë formën .

Le të grafikojmë densitetin:

dhe grafiku i funksionit të shpërndarjes :

Nëse nuk ka Excel dhe madje edhe një kalkulator të rregullt në dorë, atëherë grafiku i fundit ndërtohet lehtësisht me dorë! Në pikën, funksioni i shpërndarjes merr vlerën dhe këtu është

LIGJI I SHPËRNDARJES DHE KARAKTERISTIKAT

VLERAT E RASTËSISHME

Variablat e rastësishëm, klasifikimi i tyre dhe metodat e përshkrimit.

Një vlerë e rastësishme është një sasi që, si rezultat i një eksperimenti, mund të marrë një ose një vlerë tjetër, por që nuk dihet paraprakisht. Për një ndryshore të rastësishme, pra, mund të specifikohen vetëm vlerat, njëra prej të cilave do të marrë domosdoshmërisht si rezultat i eksperimentit. Këto vlera do të referohen si vlera të mundshme të ndryshores së rastësishme. Meqenëse një ndryshore e rastësishme karakterizon në mënyrë sasiore rezultatin e rastësishëm të një eksperimenti, ai mund të konsiderohet si një karakteristikë sasiore e një ngjarjeje të rastësishme.

Variablat e rastësishëm zakonisht shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin, për shembull, X..Y..Z, dhe vlerat e tyre të mundshme me shkronjat e vogla përkatëse.

Ekzistojnë tre lloje të variablave të rastësishëm:

diskrete; E vazhdueshme; Të përziera.

Diskret quhet një ndryshore e tillë e rastësishme, numri i vlerave të mundshme të së cilës formon një grup të numërueshëm. Nga ana tjetër, një grup i numërueshëm është një grup, elementët e të cilit mund të numërohen. Fjala "diskrete" vjen nga latinishtja discretus, që do të thotë "i pandërprerë, i përbërë nga pjesë të veçanta".

Shembulli 1. Një ndryshore e rastësishme diskrete është numri i pjesëve X me defekt në një grup nfl. Në të vërtetë, vlerat e mundshme të kësaj ndryshoreje të rastësishme janë një seri numrash të plotë nga 0 në n.

Shembulli 2. Një ndryshore e rastësishme diskrete është numri i të shtënave përpara goditjes së parë në objektiv. Këtu, si në shembullin 1, vlerat e mundshme mund të numërohen, megjithëse në rastin kufizues vlera e mundshme është një numër pafundësisht i madh.

të vazhdueshme quhet ndryshore e rastësishme, vlerat e mundshme të së cilës plotësojnë vazhdimisht një interval të caktuar të boshtit numerik, që nganjëherë quhet edhe intervali i ekzistencës së kësaj ndryshoreje të rastësishme. Kështu, në çdo interval të kufizuar të ekzistencës, numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është pafundësisht i madh.

Shembulli 3. Një variabël rastësor i vazhdueshëm është konsumi i energjisë elektrike në ndërmarrje për një muaj.

Shembulli 4. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme është gabimi në matjen e lartësisë duke përdorur një lartësimatës. Nga parimi i funksionimit të lartësimatësit le të dihet se gabimi qëndron në intervalin nga 0 deri në 2 m. Prandaj, intervali i ekzistencës së kësaj ndryshoreje të rastësishme është intervali nga 0 në 2 m.

Ligji i shpërndarjes së ndryshoreve të rastit.

Një ndryshore e rastësishme konsiderohet të jetë plotësisht e specifikuar nëse vlerat e saj të mundshme tregohen në boshtin numerik dhe vendoset ligji i shpërndarjes.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme quhet një lidhje që vendos një marrëdhënie midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve përkatëse.

Një ndryshore e rastësishme thuhet se shpërndahet sipas një ligji të caktuar, ose i nënshtrohet një ligji të caktuar të shpërndarjes. Një numër probabilitetesh, një funksion shpërndarjeje, një densitet probabiliteti, një funksion karakteristik përdoren si ligje të shpërndarjes.

Ligji i shpërndarjes jep një përshkrim të plotë të mundshëm të një ndryshoreje të rastësishme. Sipas ligjit të shpërndarjes, para përvojës mund të gjykohet se cilat vlera të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme do të shfaqen më shpesh dhe cilat më rrallë.

Për një ndryshore të rastësishme diskrete, ligji i shpërndarjes mund të jepet në formën e një tabele, në mënyrë analitike (në formën e një formule) dhe grafikisht.

Forma më e thjeshtë e përcaktimit të ligjit të shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete është një tabelë (matricë), e cila rendit në rend rritës të gjitha vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabilitetet përkatëse të tyre, d.m.th.

Një tabelë e tillë quhet një seri shpërndarjeje të një ndryshoreje të rastësishme diskrete. një

Ngjarjet X 1 , X 2 ,..., X n , që konsistojnë në faktin se, si rezultat i testit, ndryshorja e rastësishme X do të marrë respektivisht vlerat x 1 , x 2 ,... x n , janë të paqëndrueshme dhe të vetmet e mundshme (sepse tabela liston të gjitha vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme), d.m.th. formojnë një grup të plotë. Prandaj, shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me 1. Kështu, për çdo ndryshore diskrete të rastit

(Kjo njësi shpërndahet disi midis vlerave të ndryshores së rastësishme, pra termi "shpërndarje").

Një seri shpërndarjeje mund të shfaqet grafikisht nëse vlerat e një ndryshoreje të rastësishme vizatohen përgjatë boshtit të abshisës dhe probabilitetet e tyre përkatëse përgjatë boshtit të ordinatave. Lidhja e pikave të fituara formon një vijë të thyer, e quajtur shumëkëndësh ose shumëkëndësh i shpërndarjes së probabilitetit (Fig. 1).

Shembull Lotaria luhet: vetura prej 5000 den. njësi, 4 televizorë me vlerë 250 den. njësi, 5 VCR në vlerë prej 200 den. njësi Gjithsej 1000 bileta shiten për 7 denarë. njësi Hartoni ligjin e shpërndarjes së fitimeve neto të marra nga pjesëmarrësi i lotarisë që bleu një biletë.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme X - fitimet neto për biletë - janë 0-7 = -7 den. njësi (nëse bileta nuk fiton), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. njësi (nëse bileta fitoi VCR, TV ose makinë, përkatësisht). Duke qenë se nga 1000 bileta, numri i jofituesve është 990, dhe fitimet e treguara janë përkatësisht 5, 4 dhe 1, dhe duke përdorur përkufizimin klasik të probabilitetit, marrim.

Mund të veçojmë ligjet më të zakonshme të shpërndarjes së ndryshoreve diskrete të rastit:

• Ligji i shpërndarjes binomiale
• Ligji i shpërndarjes Poisson
• Ligji i shpërndarjes gjeometrike
• Ligji i shpërndarjes hipergjeometrike

Për shpërndarjet e dhëna të ndryshoreve diskrete të rastit, llogaritja e probabiliteteve të vlerave të tyre, si dhe e karakteristikave numerike (pritshmëria matematikore, varianca, etj.) kryhet sipas "formulave" të caktuara. Prandaj, është shumë e rëndësishme të njihen këto lloje të shpërndarjeve dhe vetitë e tyre themelore.

1. Ligji i shpërndarjes binomiale.

Një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ i nënshtrohet shpërndarjes binomiale të probabilitetit nëse merr vlerat $0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n$ me probabilitete $P\left(X=k\djathtas)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\majtas(1-p\djathtas))^(n-k)$. Në fakt, ndryshorja e rastësishme $X$ është numri i ndodhive të ngjarjes $A$ në $n$ prova të pavarura. Ligji i shpërndarjes së probabilitetit për ndryshoren e rastësishme $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \pika & n \\
\hline
p_i & P_n\majtas(0\djathtas) & P_n\majtas (1\djathtas) & \dots & P_n\majtas(n\djathtas) \\
\hline
\fund (arresë)$

Për një ndryshore të tillë të rastësishme, pritshmëria është $M\left(X\right)=np$, varianca është $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Shembull . Në familje janë dy fëmijë. Duke supozuar probabilitetet e lindjes së një djali dhe një vajze të barabartë me 0,5 $, gjeni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $\xi $ - numri i djemve në familje.

Le të jetë ndryshorja e rastësishme $\xi $ numri i djemve në familje. Vlerat që mund të marrë $\xi:\ 0,\ ​​1,\ 2$. Probabilitetet e këtyre vlerave mund të gjenden me formulën $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\djathtas))^(n-k )$, ku $n =2$ - numri i provave të pavarura, $p=0.5$ - probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje në një seri provash $n$. Ne marrim:

$P\left(\xi =0\djathtas)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\majtas(1-0,5\djathtas))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\djathtas)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\majtas(1-0,5\djathtas))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\left(\xi =2\djathtas)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\majtas(1-0,5\djathtas))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$

Atëherë ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $\xi $ është korrespondenca midis vlerave $0,\ 1, \ 2$ dhe probabiliteteve të tyre, d.m.th.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\fund (arresë)$

Shuma e probabiliteteve në ligjin e shpërndarjes duhet të jetë e barabartë me $1$, d.m.th. $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = $1.

Pritshmëria $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, varianca $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0.5=0.5$, devijimi standard $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \djathtas))=\sqrt(0.5)\afërsisht 0.707$.

2. Ligji i shpërndarjes Poisson.

Nëse një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ mund të marrë vetëm vlera të plota jo negative $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ me probabilitete $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\mbi (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Koment. E veçanta e kësaj shpërndarjeje është se, bazuar në të dhënat eksperimentale, gjejmë vlerësimet $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, nëse vlerësimet e marra janë afër njëra-tjetrës, atëherë ne kanë arsye të pohojnë se ndryshorja e rastësishme i nënshtrohet ligjit të shpërndarjes Poisson.

Shembull . Shembuj të variablave të rastësishëm që i nënshtrohen ligjit të shpërndarjes Poisson mund të jenë: numri i makinave që do të servisohen nesër nga një pikë karburanti; numri i artikujve me defekt në produktin e prodhuar.

Shembull . Fabrika dërgoi 500 dollarë produkte në bazë. Probabiliteti i dëmtimit të produktit gjatë transportit është 0,002 $. Gjeni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $X$ e barabartë me numrin e produkteve të dëmtuara; që është e barabartë me $M\left(X\djathtas),\ D\left(X\djathtas)$.

Le të jetë një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ numri i artikujve të dëmtuar. Një ndryshore e tillë e rastësishme i nënshtrohet ligjit të shpërndarjes Poisson me parametrin $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Probabilitetet e vlerave janë $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\majtas(X=0\djathtas)=((1^0)\mbi (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\majtas(X=1\djathtas)=((1^1)\mbi (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\majtas(X=2\djathtas)=((1^2)\mbi (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\majtas(X=3\djathtas)=((1^3)\mbi (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\majtas(X=4\djathtas)=((1^4)\mbi (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\majtas(X=5\djathtas)=((1^5)\mbi (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\majtas(X=6\djathtas)=((1^6)\mbi (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\djathtas)=(((\lambda )^k)\mbi (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & K \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\mbi (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\fund (arresë)$

Për një ndryshore të tillë të rastësishme, pritshmëria dhe varianca matematikore janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe të barabarta me parametrin $\lambda $, d.m.th. $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Ligji gjeometrik i shpërndarjes.

Nëse një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ mund të marrë vetëm vlera natyrore $1,\ 2,\ \dots,\ n$ me probabilitete $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ djathtas)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \pika $, atëherë themi se një ndryshore e tillë e rastësishme $X$ i nënshtrohet ligjit gjeometrik të shpërndarjes së probabilitetit. Në fakt, shpërndarja gjeometrike duket të jetë provat e Bernoulli-t për suksesin e parë.

Shembull . Shembuj të variablave të rastësishëm që kanë një shpërndarje gjeometrike mund të jenë: numri i të shtënave para goditjes së parë në objektiv; numri i testeve të pajisjes para dështimit të parë; numri i hedhjeve të monedhave përpara se të parët të shkojnë lart, e kështu me radhë.

Pritshmëria dhe varianca matematikore e një ndryshoreje të rastësishme që i nënshtrohet një shpërndarjeje gjeometrike janë përkatësisht $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\djathtas) /p^ 2$.

Shembull . Në rrugën e lëvizjes së peshkut për në vendin e pjelljes ka një bravë prej 4$. Probabiliteti që një peshk të kalojë nëpër çdo bravë është $p=3/5$. Ndërtoni një seri shpërndarjeje të ndryshores së rastësishme $X$ - numri i bravave të kaluara nga peshku përpara ndalimit të parë në bravë. Gjeni $M\majtas(X\djathtas),\ D\majtas(X\djathtas), \ \sigma \majtas(X\djathtas)$.

Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të jetë numri i gropave të kaluara nga peshku përpara ndalimit të parë në gropë. Një variabël i tillë i rastësishëm i nënshtrohet ligjit gjeometrik të shpërndarjes së probabilitetit. Vlerat që mund të marrë ndryshorja e rastësishme $X janë: 1, 2, 3, 4. Probabilitetet e këtyre vlerave llogariten me formulën: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, ku: $ p=2/5$ - probabiliteti që peshku të kapet nga brava, $q=1-p=3/5$ - probabiliteti që peshku të kalojë nëpër bravë, $k=1, \ 2, \ 3, \ 4$.

$P\left(X=1\djathtas)=((2)\mbi (5))\cdot (\majtas(((3)\mbi (5))\djathtas))^0=((2)\ mbi(5)=0.4;$

$P\majtas(X=2\djathtas)=((2)\mbi (5))\cdot ((3)\mbi (5))=((6)\mbi (25))=0,24; $

$P\left(X=3\djathtas)=((2)\mbi (5))\cdot (\majtas(((3)\mbi (5))\djathtas))^2=((2)\ mbi (5))\cdot ((9)\mbi (25))=((18)\mbi (125))=0,144;$

$P\left(X=4\djathtas)=((2)\mbi (5))\cdot (\majtas(((3)\mbi (5))\djathtas))^3+(\majtas(( (3)\mbi (5))\djathtas))^4=((27)\mbi (125))=0.216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\majtas(X_i\djathtas) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\fund (arresë)$

Vlera e pritshme:

$M\left(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Dispersioni:

$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2=)0,4\cdot (\ majtas(1-2,176\djathtas))^2+0,24\cdot (\majtas(2-2,176\djathtas))^2+0,144\cdot (\ majtas(3-2,176\djathtas))^2+$

$+\ 0.216\cdot (\majtas(4-2.176\djathtas))^2\afërsisht 1.377.$

Devijimi standard:

$\sigma \left(X\djathtas)=\sqrt(D\majtas(X\djathtas))=\sqrt(1377)\afërsisht 1173.$

4. Ligji i shpërndarjes hipergjeometrike.

Nëse ka objekte $N$, ndër të cilat objektet $m$ kanë vetinë e dhënë. Rastësisht, pa zëvendësim, nxirren $n$ objekte, ndër të cilat ka $k$ objekte që kanë një veti të caktuar. Shpërndarja hipergjeometrike bën të mundur vlerësimin e probabilitetit që saktësisht objektet $k$ në një mostër të kenë një veti të caktuar. Le të jetë ndryshorja e rastësishme $X$ numri i objekteve në mostër që kanë një veti të caktuar. Pastaj probabilitetet e vlerave të ndryshores së rastësishme $X$:

$P\majtas(X=k\djathtas)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\mbi (C^n_N))$

Koment. Funksioni statistikor HYPERGEOMET i magjistarit të funksionit Excel $f_x$ ju lejon të përcaktoni probabilitetin që një numër i caktuar provash të jenë të suksesshme.

$f_x\në $ statistikore$\në $ HIPERGJEOMET$\në $ Ne rregull. Do të shfaqet një kuti dialogu që duhet të plotësoni. Në grafikun Numri_i_sukseseve_në_kampion specifikoni vlerën e $k$. Madhësia e mostrësështë e barabartë me $n$. Në grafikun Numri_i_sukseseve_në_popullim specifikoni vlerën e $m$. Madhësia_popullsiaështë e barabartë me $N$.

Pritshmëria dhe varianca matematikore e një ndryshoreje diskrete të rastësishme $X$ që i nënshtrohet një ligji të shpërndarjes gjeometrike janë $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\djathtas)=((nm\majtas (1 -((m)\mbi (N))\djathtas)\majtas(1-((n)\mbi (N))\djathtas))\mbi (N-1))$.

Shembull . Departamenti i kredisë në bankë ka të punësuar 5 specialistë me arsim të lartë financiar dhe 3 specialistë me arsim të lartë juridik. Menaxhmenti i bankës vendosi të dërgojë 3 specialistë për trajnim të avancuar, duke i përzgjedhur ata në mënyrë të rastësishme.

a) Të bëjë një seri shpërndarjeje të numrit të specialistëve me arsim të lartë financiar, të cilët mund të drejtohen në trajnime të avancuara;

b) Gjeni karakteristikat numerike të kësaj shpërndarjeje.

Le të jetë variabli i rastësishëm $X$ numri i specialistëve me arsim të lartë financiar midis tre të përzgjedhurve. Vlerat që mund të marrin $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Kjo variabël e rastësishme $X$ shpërndahet sipas shpërndarjes hipergjeometrike me parametrat e mëposhtëm: $N=8$ - madhësia e popullsisë, $m=5$ - numri i sukseseve në popullatë, $n=3$ - madhësia e mostrës, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - numri i sukseseve në mostër. Atëherë probabilitetet $P\left(X=k\right)$ mund të llogariten duke përdorur formulën: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ mbi C_( N)^(n) ) $. Ne kemi:

$P\majtas(X=0\djathtas)=((C^0_5\cdot C^3_3)\mbi (C^3_8))=((1)\mbi (56))\afërsisht 0,018;$

$P\majtas(X=1\djathtas)=((C^1_5\cdot C^2_3)\mbi (C^3_8))=((15)\mbi (56))\afërsisht 0,268;$

$P\majtas(X=2\djathtas)=((C^2_5\cdot C^1_3)\mbi (C^3_8))=((15)\mbi (28))\afërsisht 0,536;$

$P\majtas(X=3\djathtas)=((C^3_5\cdot C^0_3)\mbi (C^3_8))=((5)\mbi (28))\afërsisht 0,179.$

Pastaj seria e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\fund (arresë)$

Le të llogarisim karakteristikat numerike të ndryshores së rastësishme $X$ duke përdorur formulat e përgjithshme të shpërndarjes hipergjeometrike.

$M\left(X\djathtas)=((nm)\mbi (N))=((3\cdot 5)\mbi (8))=((15)\mbi (8))=1,875.$

$D\majtas(X\djathtas)=((nm\majtas(1-((m)\mbi (N))\djathtas)\majtas(1-((n)\mbi (N))\djathtas)) \mbi (N-1))=((3\cdot 5\cdot \majtas(1-((5)\mbi (8))\djathtas)\cdot \majtas(1-((3)\mbi (8 ))\djathtas))\mbi (8-1))=((225)\mbi (448))\afërsisht 0,502.$

$\sigma \left(X\djathtas)=\sqrt(D\majtas(X\djathtas))=\sqrt(0,502)\afërsisht 0,7085.$