Me një segment të gjatësisë së njësisë, matematikanët e lashtë e dinin tashmë: ata dinin, për shembull, pamatshmërinë e diagonales dhe anës së katrorit, e cila është ekuivalente me irracionalitetin e numrit.

Irracionale janë:

Shembuj të provës së irracionalitetit

Rrënja e 2

Supozoni të kundërtën: është racionale, domethënë paraqitet si një thyesë e pakalueshme, ku dhe janë numra të plotë. Le të vendosim në katror barazinë e supozuar:

Nga kjo rrjedh se edhe, pra, edhe dhe . Le ku e tëra. Pastaj

Prandaj, edhe, pra, edhe dhe . Ne kemi marrë atë dhe janë çift, gjë që bie në kundërshtim me pakësueshmërinë e thyesës . Pra, supozimi fillestar ishte i gabuar, dhe - ir numër racional.

Logaritmi binar i numrit 3

Supozoni të kundërtën: është racionale, domethënë paraqitet si thyesë, ku dhe janë numra të plotë. Që nga , dhe mund të merret pozitiv. Pastaj

Por është e qartë, është e çuditshme. Kemi një kontradiktë.

e

Histori

Koncepti i numrave irracionalë u përvetësua në mënyrë implicite nga matematikanët indianë në shekullin e VII para Krishtit, kur Manawa (rreth 750 pes - rreth 690 pes) zbuloi se rrënjë katrore disa numra natyrorë, si 2 dhe 61, nuk mund të shprehen në mënyrë eksplicite.

Prova e parë e ekzistencës së numrave irracionalë zakonisht i atribuohet Hipasusit të Metapontusit (rreth 500 para Krishtit), një pitagorian që e gjeti këtë provë duke studiuar gjatësitë e anëve të një pentagrami. Në kohën e Pitagorianëve, besohej se ekzistonte një njësi e vetme gjatësie, mjaft e vogël dhe e pandashme, e cila është një numër i plotë i herëve të përfshirë në çdo segment. Sidoqoftë, Hippasus argumentoi se nuk ka asnjë njësi të vetme të gjatësisë, pasi supozimi i ekzistencës së tij çon në një kontradiktë. Ai tregoi se nëse hipotenuza e një trekëndëshi kënddrejtë izoscelular përmban një numër të plotë segmentesh njësi, atëherë ky numër duhet të jetë edhe çift edhe tek në të njëjtën kohë. Prova dukej kështu:

• Raporti i gjatësisë së hipotenuzës me gjatësinë e këmbës së një trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh mund të shprehet si a:b, ku a dhe b zgjidhet si më i vogli i mundshëm.
• Sipas teoremës së Pitagorës: a² = 2 b².
• Sepse a² madje, a duhet të jetë çift (pasi katrori i një numri tek do të ishte tek).
• Sepse a:b e pareduktueshme b duhet të jetë i çuditshëm.
• Sepse a madje, shënoj a = 2y.
• Pastaj a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², pra bështë madje, atëherë b madje.
• Megjithatë, është vërtetuar se b i çuditshëm. Kontradikta.

Matematikanët grekë e quajtën këtë raport të sasive të pakrahasueshme alogos(e pashpjegueshme), por sipas legjendave Hipasit nuk iu kushtua respekti i duhur. Ekziston një legjendë që Hipasus e bëri zbulimin ndërsa ishte në një udhëtim në det dhe u hodh në det nga pitagorianë të tjerë "për shkak të krijimit të një elementi të universit, i cili mohon doktrinën se të gjitha entitetet në univers mund të reduktohen në numra të plotë dhe raportet e tyre. " Zbulimi i Hipasusit shtroi një problem serioz për matematikën e Pitagorës, duke shkatërruar supozimin që qëndron në themel të gjithë teorisë se numrat dhe objektet gjeometrike janë një dhe të pandashëm.

Shiko gjithashtu

Shënime

Cilët numra janë irracionalë? numër irracional nuk është një numër real racional, d.m.th. nuk mund të paraqitet si thyesë (si raport i dy numrave të plotë), ku mështë një numër i plotë, n- numri natyror. numër irracional mund të paraqitet si një joperiodike e pafundme dhjetore.

numër irracional nuk mund të jetë e saktë. Vetëm në formatin 3.333333…. Për shembull, rrënja katrore e dy - është një numër irracional.

Cili është numri irracional? Numër irracional(ndryshe nga ato racionale) quhet thyesë dhjetore e pafundme jo periodike.

Shumë numra irracionalë shpesh shënohet me shkronjë të madhe latine me shkronja të zeza pa hije. Kjo.:

Ato. bashkësia e numrave irracionalë është ndryshimi midis bashkësive të numrave realë dhe racionalë.

Vetitë e numrave irracionalë.

• Shuma e 2 numrave irracionalë jonegativë mund të jetë një numër racional.
• Numrat irracionalë përcaktojnë seksionet Dedekind në bashkësinë e numrave racionalë, në klasën e ulët të cilët nuk kanë një numër i madh, dhe nuk ka më të vogël në atë të sipërm.
• Çdo numër real transcendental është një numër irracional.
• Të gjitha numrat irracionalë janë ose algjebrike ose transcendentale.
• Bashkësia e numrave irracionalë është kudo e dendur në vijën numerike: midis çdo çifti numrash ka një numër irracional.
• Rendi në bashkësinë e numrave irracionalë është izomorfik me rendin në bashkësinë e numrave realë transhendentalë.
• Bashkësia e numrave irracionalë është e pafundme, është një grup i kategorisë së dytë.
• Rezultati i çdo veprimi aritmetik mbi numrat racionalë (përveç pjesëtimit me 0) është një numër racional. Rezultati i veprimeve aritmetike mbi numrat irracionalë mund të jetë ose një numër racional ose irracional.
• Shuma e një numri racional dhe një numri iracional do të jetë gjithmonë një numër irracional.
• Shuma e numrave irracionalë mund të jetë një numër racional. Për shembull, le x joracionale, pra y=x*(-1) gjithashtu irracionale; x+y=0, dhe numri 0 racionale (nëse, për shembull, shtojmë rrënjën e çdo shkalle 7 dhe minus rrënjën e së njëjtës shkallë të shtatë, marrim një numër racional 0).

Numra irracionalë, shembuj.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Dhe ata i morën rrënjët nga fjalë latine"raport", që do të thotë "arsye". Bazuar në përkthimin fjalë për fjalë:

• Një numër racional është një "numër i arsyeshëm".
• Një numër irracional, përkatësisht, është një "numër i paarsyeshëm".

Koncepti i përgjithshëm i një numri racional

Një numër racional është ai që mund të shkruhet si:

1. Thyesë e zakonshme pozitive.
2. Thyesë e përbashkët negative.
3. Zero (0) si numër.

Me fjalë të tjera, përkufizimet e mëposhtme do t'i përshtaten një numri racional:

• Çdo numër natyror është në thelb racional, pasi çdo numër natyror mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme.
• Çdo numër i plotë, duke përfshirë numrin zero, pasi çdo numër i plotë mund të shkruhet si një thyesë e zakonshme pozitive, si një thyesë e zakonshme negative dhe si numër zero.
• Çdo thyesë e zakonshme, dhe këtu nuk ka rëndësi nëse është pozitive apo negative, gjithashtu i afrohet drejtpërdrejt përkufizimit të një numri racional.
• Gjithashtu përfshihet në përkufizim numër i përzier, një thyesë dhjetore e fundme, ose një thyesë periodike e pafundme.

Shembuj të numrave racionalë

Shqyrtoni shembuj të numrave racionalë:

• Numrat natyrorë - "4", "202", "200".
• Numrat e plotë - "-36", "0", "42".
• Thyesat e zakonshme.

Nga shembujt e mësipërm, është e qartë se numrat racional mund të jenë pozitiv dhe negativ. Natyrisht, numri 0 (zero), i cili është gjithashtu një numër racional, në të njëjtën kohë nuk i përket kategorisë së një numri pozitiv ose negativ.

Prandaj, dua të kujtoj programi i arsimit të përgjithshëm duke përdorur përkufizimin e mëposhtëm: "Numra racional" janë ata numra që mund të shkruhen si thyesë x / y, ku x (numëruesi) është një numër i plotë dhe y (emëruesi) është një numër natyror.

Koncepti i përgjithshëm dhe përkufizimi i një numri irracional

Përveç “numrave racional” njohim edhe të ashtuquajturit “numra irracionalë”. Le të përpiqemi shkurtimisht të përcaktojmë këto numra.

Edhe matematikanët e lashtë, duke dashur të llogarisin diagonalen e një katrori përgjatë anëve të tij, mësuan për ekzistencën e një numri irracional.
Bazuar në përkufizimin e numrave racionalë, mund të ndërtoni një zinxhir logjik dhe të përcaktoni një numër irracional.
Pra, në fakt, ata numra realë që nuk janë racionalë janë, në thelb, numra irracionalë.
Thyesat dhjetore, që shprehin numra irracionalë, nuk janë periodikë dhe të pafund.

Shembuj të një numri irracional

Konsideroni për qartësi një shembull të vogël të një numri irracional. Siç e kemi kuptuar tashmë, thyesat dhjetore të pafundme jo periodike quhen iracionale, për shembull:

• Numri "-5.020020002 ... (duket qartë se dyshet janë të ndara me një sekuencë prej një, dy, tre, etj. zero)
• Numri "7.040044000444 ... (këtu është e qartë se numri i katërve dhe numri i zerove rritet me një çdo herë në një zinxhir).
• Të gjithë numër i njohur Pi (3.1415…). Po, po - është gjithashtu irracionale.

Në përgjithësi, të gjithë numrat realë janë racionalë dhe irracionalë. duke folur me fjalë të thjeshta, një numër irracional nuk mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme x / y.

Përfundim i përgjithshëm dhe krahasim i shkurtër ndërmjet numrave

Ne e konsideruam secilin numër veç e veç, ndryshimi midis një numri racional dhe atij irracional mbetet:

1. Një numër irracional ndodh kur merr rrënjën katrore, kur pjesëton një rreth me një diametër, etj.
2. Një numër racional përfaqëson një thyesë të zakonshme.

Ne e mbyllim artikullin tonë me disa përkufizime:

• Një veprim aritmetik i kryer në një numër racional, përveç pjesëtimit me 0 (zero), në rezultati përfundimtar do të çojë gjithashtu në një numër racional.
• Rezultati përfundimtar, kur kryeni një operacion aritmetik mbi një numër irracional, mund të çojë në një vlerë racionale dhe joracionale.
• Nëse të dy numrat marrin pjesë në veprimin aritmetik (përveç pjesëtimit ose shumëzimit me zero), atëherë rezultati do të na japë një numër irracional.

Një numër irracional mund të përfaqësohet si një thyesë e pafundme jo periodike. Bashkësia e numrave irracionalë shënohet me $I$ dhe është e barabartë me: $I=R / Q$ .

Për shembull. Numrat irracionalë janë:

Veprimet mbi numrat irracionalë

Në bashkësinë e numrave irracionalë, mund të prezantohen katër veprime aritmetike bazë: mbledhje, zbritje, shumëzim dhe pjesëtim; por për asnjë nga veprimet e listuara bashkësia e numrave irracionalë nuk ka vetinë e mbylljes. Për shembull, shuma e dy numrave irracionalë mund të jetë një numër racional.

Për shembull. Gjeni shumën e dy numrave irracionalë $0.1010010001 \ldots$ dhe $0.0101101110 \ldots$. I pari nga këta numra formohet nga një sekuencë njësh, të ndarë përkatësisht me një zero, dy zero, tre zero, etj., E dyta - nga një sekuencë zerosh, midis të cilave një, dy njësh, tre njësh, etj. vendosen:

$0.1010010001 \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$

Kështu, shuma e dy numrave irracionalë të dhënë është numri $\frac(1)(9)$, i cili është racional.

Shembull

Ushtrimi. Vërtetoni se numri $\sqrt(3)$ është irracional.

Dëshmi. Ne do të përdorim metodën e provës me kontradiktë. Supozoni se $\sqrt(3)$ është një numër racional, domethënë, ai mund të përfaqësohet si një thyesë $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$, ku $m$ dhe $n$ janë numrat natyrorë koprimtarë.

Ne sheshojmë të dy anët e barazisë, marrim

$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Shigjeta majtas 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$

Numri 3$\cdot n^(2)$ plotpjesëtohet me 3. Prandaj $m^(2)$ dhe për rrjedhojë $m$ pjesëtohet me 3. Duke vendosur $m=3 \cdot k$, barazia $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ mund të shkruhet si

$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Shigjeta majtas 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Shigjeta majtas n^(2)=3 \cdot k^(2)$$

Nga barazia e fundit rrjedh se $n^(2)$ dhe $n$ janë të pjesëtueshme me 3, kështu që thyesa $\frac(m)(n)$ mund të reduktohet me 3. Por me supozim, thyesa $\ frac(m)(n)$ është i pakalueshëm. Kontradikta që rezulton vërteton se numri $\sqrt(3)$ nuk mund të përfaqësohet si thyesë $\frac(m)(n)$ dhe, për rrjedhojë, është irracional.

Q.E.D.

dhe π

Kështu, grupi i numrave irracionalë është ndryshimi I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ) grupe numrash realë dhe racionalë.

Ekzistenca e numrave iracionalë, më saktë e segmenteve që janë të pakrahasueshëm me një segment të njësisë së gjatësisë, ishte tashmë e njohur për matematikanët e lashtë: ata e dinin, për shembull, pamatshmërinë e diagonales dhe anës së katrorit, e cila është e barabartë me irracionalitetin. të numrit 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Vetitë

• Shuma e dy numrave joracionalë pozitivë mund të jetë një numër racional.
• Numrat irracionalë përcaktojnë seksionet Dedekind në bashkësinë e numrave racionalë që nuk kanë numrin më të madh në klasën e ulët dhe numrin më të vogël në klasën e sipërme.
• Bashkësia e numrave irracionalë është kudo e dendur në vijën reale: midis çdo dy numrash të ndryshëm ka një numër irracional.
• Rendi në bashkësinë e numrave irracionalë është izomorfik me rendin në bashkësinë e numrave realë transhendentalë. [ ]

Numrat algjebrikë dhe transhendentalë

Çdo numër irracional është ose algjebrik ose transcendent. Bashkësia e numrave algjebrikë është një bashkësi e numërueshme. Meqenëse bashkësia e numrave realë është e panumërueshme, bashkësia e numrave irracionalë është e panumërueshme.

Bashkësia e numrave irracionalë është një grup i kategorisë së dytë.

Le të vendosim në katror barazinë e supozuar:

Histori

Antikiteti

Koncepti i numrave irracionalë u përvetësua në mënyrë implicite nga matematikanët indianë në shekullin e 7-të para Krishtit, kur Manawa (rreth 750-690 para Krishtit) zbuloi se rrënjët katrore të disa numrave natyrorë, si 2 dhe 61, nuk mund të shpreheshin në mënyrë eksplicite. ] .

Prova e parë e ekzistencës së numrave irracionalë, ose më saktë ekzistencës së segmenteve të pakrahasueshme, zakonisht i atribuohet Hipasit Pitagorian të Metapontusit (rreth 470 para Krishtit). Në kohën e Pitagorianëve, besohej se ekziston një njësi e vetme gjatësie, mjaft e vogël dhe e pandashme, e cila është një numër i plotë i herëve të përfshirë në çdo segment [ ] .

Nuk ka të dhëna të sakta për irracionalitetin e cilit numër u vërtetua nga Hippasus. Sipas legjendës, ai e gjeti atë duke studiuar gjatësitë e anëve të pentagramit. Prandaj, është e arsyeshme të supozohet se ky ishte raporti i artë, pasi ky është raporti i diagonales me anën në një pesëkëndësh të rregullt.

Matematikanët grekë e quajtën këtë raport të sasive të pakrahasueshme alogos(e pashpjegueshme), por sipas legjendave Hipasit nuk iu kushtua respekti i duhur. Ekziston një legjendë që Hipasus e bëri zbulimin ndërsa ishte në një udhëtim në det dhe u hodh në det nga pitagorianë të tjerë "për shkak të krijimit të një elementi të universit, i cili mohon doktrinën se të gjitha entitetet në univers mund të reduktohen në numra të plotë dhe raportet e tyre. " Zbulimi i Hipasusit shtroi një problem serioz për matematikën e Pitagorës, duke shkatërruar supozimin që qëndron në themel të gjithë teorisë se numrat dhe objektet gjeometrike janë një dhe të pandashëm.

Më vonë, Eudoxus of Cnidus (410 ose 408 p.e.s. - 355 ose 347 pes) zhvilloi një teori të përmasave që merrte parasysh marrëdhëniet racionale dhe irracionale. Kjo shërbeu si bazë për të kuptuar thelbin themelor të numrave irracionalë. Vlera filloi të konsiderohet jo si një numër, por si një emërtim i entiteteve, si segmentet e linjës, këndet, zonat, vëllimet, intervalet kohore - entitete që mund të ndryshojnë vazhdimisht (në kuptimin modern të fjalës). Vlerat u kundërviheshin numrave, të cilët mund të ndryshojnë vetëm duke " kërcyer" nga një numër në tjetrin, për shembull, nga 4 në 5. Numrat përbëhen nga vlera më e vogël e pandashme, ndërsa sasitë mund të reduktohen pafundësisht.

Meqenëse asnjë vlerë sasiore nuk u krahasua me një madhësi, Eudoxus ishte në gjendje të mbulonte si madhësitë e krahasueshme ashtu edhe të pakrahasueshme duke përcaktuar një fraksion si raport të dy sasive dhe proporcion si barazi të dy fraksioneve. Duke hequr vlerat sasiore (numrat) nga ekuacionet, ai shmangu kurthin e thirrjes së një sasie irracionale një numër. Teoria e Eudoxus i lejoi matematikanët grekë të bënin përparim të jashtëzakonshëm në gjeometri, duke u siguruar atyre arsyetimin e nevojshëm për të punuar me sasi të pakrahasueshme. Libri i dhjetë i "Fillimet" nga Euklidi i kushtohet klasifikimit të sasive irracionale.

Mesjeta

Mesjeta u shënua nga adoptimi i koncepteve të tilla si zero, numra negativë, numra të plotë dhe numra thyesorë, fillimisht nga matematikanët indianë, pastaj nga kinezët. Më vonë iu bashkuan matematikanët arabë, të cilët ishin të parët që i konsideruan numrat negativë si objekte algjebrike (së bashku me të drejtat e barabarta me numrat pozitivë), gjë që lejoi zhvillimin e disiplinës që tani quhet algjebër.

Matematikanët arabë kombinuan konceptet e lashta greke të "numrit" dhe "vlerës" në një ide të vetme, më të përgjithshme të numrave realë. Ata ishin kritikë ndaj ideve të Euklidit për marrëdhëniet, në kontrast me të, ata zhvilluan teorinë e marrëdhënieve të sasive arbitrare dhe zgjeruan konceptin e numrit në marrëdhënie. sasi të vazhdueshme. Në komentet e tij mbi Librin 10 të Elementeve të Euklidit, matematikani pers Al Mahani (rreth 800 pas Krishtit) eksploroi dhe klasifikoi numrat irracionalë kuadratikë (numrat e formës) dhe numrat irracionalë kub më të përgjithshëm. Ai dha një përkufizim të madhësive racionale dhe irracionale, të cilat i quajti numra irracionalë. Ai i operonte lehtësisht këto objekte, por arsyetonte si objekte të veçanta, për shembull:

Në kontrast me konceptin e Euklidit se sasitë janë kryesisht segmente vijash, Al Mahani i konsideroi numrat e plotë dhe thyesat si madhësi racionale, dhe rrënjët katrore dhe kubike si të paarsyeshme. Ai gjithashtu prezantoi një qasje aritmetike ndaj grupit të numrave irracionalë, pasi ishte ai që tregoi irracionalitetin e sasive të mëposhtme:

Matematikani egjiptian Abu Kamil (rreth 850 e.s. - rreth 930 e.s.) ishte i pari që e gjeti të pranueshme pranimin e numrave irracionalë si zgjidhje. ekuacionet kuadratike ose koeficientët në ekuacione - kryesisht në formën e rrënjëve katrore ose kubike, si dhe rrënjët e katërt. Në shekullin e 10-të, matematikani irakian Al Hashimy ofroi prova të përgjithshme (në vend të demonstrimeve gjeometrike vizuale) të irracionalitetit të produktit, koeficientit dhe rezultateve të transformimeve të tjera matematikore të numrave irracionalë dhe racionalë. Al Khazin (900 e.s. - 971 e.s.) jep përkufizimin e mëposhtëm të sasisë racionale dhe irracionale:

Shumë nga këto ide u adoptuan më vonë nga matematikanët evropianë pas përkthimit të teksteve arabe në latinisht në shekullin e 12-të. Al Hassar, një matematikan arab nga Magrebi i specializuar në ligjet e trashëgimisë islame, prezantoi shënimet matematikore simbolike moderne për thyesat në shekullin e 12-të, duke ndarë numëruesin dhe emëruesin me një shirit horizontal. I njëjti shënim u shfaq më pas në veprat e Fibonacci në shekullin e trembëdhjetë. Gjatë shekujve XIV-XVI. Madhava nga Sangamagrama dhe përfaqësuesit e Shkollës së Astronomisë dhe Matematikës në Kerala hetuan seri të pafundme që konvergojnë në disa numra irracionalë, për shembull, në π, dhe gjithashtu treguan irracionalitetin e disa funksionet trigonometrike. Jestadeva i raportoi këto rezultate në librin "Yuktibhaza". (duke vërtetuar ekzistencën e numrave transcendental), duke rimenduar kështu punën e Euklidit për klasifikimin e numrave irracionalë. Mbi këtë temë, punimet u botuan në 1872

Thyesat e vazhdueshme, të lidhura ngushtë me numrat irracionalë (thyesa e vazhdueshme që përfaqëson një numër të caktuar është e pafundme nëse dhe vetëm nëse numri është irracional), u hetuan për herë të parë nga Cataldi në 1613, pastaj tërhoqën përsëri vëmendjen në veprën e Euler, dhe në fillimi i XIX shekulli - në veprat e Lagranzhit. Dirichlet dha gjithashtu një kontribut të rëndësishëm në zhvillimin e teorisë së fraksioneve të vazhdueshme. Në 1761, Lambert tregoi duke përdorur fraksione të vazhdueshme që π (\displaystyle \pi) nuk është një numër racional dhe po ashtu e x (\displaystyle e^(x)) dhe tg ⁡ x (\displaystyle \emri i operatorit (tg) x) janë iracionale për çdo racional jozero x (\displaystyle x). Megjithëse prova e Lambertit mund të quhet e paplotë, ajo përgjithësisht konsiderohet të jetë mjaft rigoroze, veçanërisht duke pasur parasysh kohën kur u shkrua. Lezhandri në 1794, pasi prezantoi funksionin Bessel-Clifford, tregoi se π 2 (\displaystyle \pi ^(2)) irracional, prej nga irracionaliteti π (\displaystyle \pi) vijon në mënyrë të parëndësishme (një numër racional në katror do të jepte një numër racional).

Ekzistenca e numrave transcendental u vërtetua nga Liouville në 1844-1851. Më vonë, Georg Cantor (1873) tregoi ekzistencën e tyre duke përdorur një metodë të ndryshme dhe vërtetoi se çdo interval i serisë reale përmban pafundësisht shumë numra transcendental. Charles Hermite vërtetoi në 1873 se e transcendent, dhe Ferdinand Lindemann në 1882, bazuar në këtë rezultat, tregoi transcendencën π (\displaystyle \pi) Letërsia