Luați în considerare o problemă larg răspândită despre calculul aproximativ al valorii unei funcţii folosind o diferenţială.

Aici și mai jos, ne vom concentra pe diferențele de ordinul întâi; pentru concizie, vom spune adesea doar „diferențial”. Problema calculelor aproximative cu ajutorul unui diferențial are un algoritm de soluție rigid și, prin urmare, nu ar trebui să existe dificultăți deosebite. Singurul lucru este că există mici capcane care vor fi și ele curățate. Așa că simțiți-vă liber să vă scufundați cu capul întâi.

În plus, secțiunea conține formule pentru găsirea erorilor absolute și relative ale calculelor. Materialul este foarte util, deoarece erorile trebuie calculate și în alte probleme.

Pentru a stăpâni cu succes exemplele, trebuie să puteți găsi derivate ale funcțiilor cel puțin la un nivel mediu, așa că dacă diferențierea este complet greșită, vă rugăm să începeți cu găsirea derivatei într-un punct si cu găsirea diferenţialului într-un punct. Dintre mijloacele tehnice, veți avea nevoie de un microcalculator cu diverse functii matematice. Puteți utiliza capacitățile MS Excel, dar în acest caz este mai puțin convenabil.

Lecția constă din două părți:

– Calcule aproximative folosind diferenţialul valorii unei funcţii a unei variabile într-un punct.

– Calcule aproximative folosind diferenţial total valorile unei funcții a două variabile într-un punct.

Sarcina luată în considerare este strâns legată de conceptul de diferențial, dar din moment ce încă nu avem o lecție despre semnificația unei derivate și a unui diferențial, ne vom restrânge la o considerație formală a exemplelor, ceea ce este suficient pentru a învăța cum sa le rezolvi.

Calcule aproximative folosind diferența unei funcții a unei variabile

În primul paragraf, funcția unei variabile reguli. După cum știe toată lumea, este notat cu y sau prin f(X). Pentru această problemă, este mult mai convenabil să folosiți a doua notație. Să trecem la un exemplu popular care apare adesea în practică:

Exemplul 1

Soluţie: Vă rugăm să copiați în caiet formula de lucru pentru calculul aproximativ folosind diferența:

Să începem, e ușor!

Primul pas este crearea unei funcții. Prin condiție, se propune să se calculeze rădăcina cubă a numărului: , deci funcția corespunzătoare are forma: .

Trebuie să folosim formula pentru a găsi o valoare aproximativă.

Ne uitam la partea stanga formule , iar gândul vine în minte că numărul 67 trebuie reprezentat ca . Care este cel mai simplu mod de a face asta? Recomand următorul algoritm: calculați această valoare pe un calculator:

- a ieșit 4 cu o coadă, acesta este un ghid important pentru soluție.

La fel de X 0 selectați o valoare „bună”, pentru a extrage rădăcina. Desigur, această valoare X 0 ar trebui să fie cât mai aproape cu putință la 67.

În acest caz X 0 = 64. Într-adevăr, .

Notă: Când cu selecțieX 0 problema încă apare, uitați-vă doar la valoarea calculată (în acest caz ), luați cea mai apropiată parte întreagă (în acest caz 4) și ridicați-o la puterea dorită (în acest caz ). Ca urmare, se va face selecția dorită. X 0 = 64.

În cazul în care un X 0 = 64, atunci incrementul argumentului este: .

Deci numărul 67 este reprezentat ca o sumă

Mai întâi, calculăm valoarea funcției în punct X 0 = 64. De fapt, acest lucru a fost deja făcut mai devreme:

Diferența într-un punct se găsește prin formula:

De asemenea, puteți copia această formulă în caiet.

Din formulă rezultă că trebuie să luați prima derivată:

Și găsiți-i valoarea la punct X 0:

În acest fel:

Totul este gata! Conform formulei:

Valoarea aproximativă găsită este destul de apropiată de valoarea de 4,06154810045 calculată folosind un microcalculator.

Răspuns:

Exemplul 2

Calculați aproximativ , înlocuind incrementele funcției cu diferența acesteia.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Un exemplu gros de finalizare a lucrării și un răspuns la sfârșitul lecției. Pentru începători, vă recomand să calculați mai întâi valoarea exactă pe un microcalculator pentru a afla ce număr să luați pentru X 0 și care unul - pentru Δ X. Trebuie remarcat faptul că Δ Xîn acest exemplu va fi negativ.

Unii pot avea o întrebare, de ce este necesară această sarcină, dacă puteți calcula totul calm și mai precis pe un calculator? Sunt de acord, sarcina este stupidă și naivă. Dar voi încerca să mă justific puțin. În primul rând, sarcina ilustrează semnificația diferențială a funcției. În al doilea rând, în antichitate, calculatorul era ceva ca un elicopter personal în timpul nostru. Eu însumi am văzut cum un computer de dimensiunea unei camere a fost aruncat dintr-unul din institute undeva prin anii 1985-86 (amatorii de radio cu șurubelnițe au venit în fugă din tot orașul, iar după câteva ore a rămas doar carcasa din unitate. ). Antichitățile au fost găsite și la departamentul nostru de fizică, totuși, într-o dimensiune mai mică - undeva cam de dimensiunea unui birou. Așa au suferit strămoșii noștri cu metode de calcule aproximative. O trăsură trasă de cai este, de asemenea, un mijloc de transport.

Într-un fel sau altul, problema a rămas în cursul standard de matematică superioară și va trebui rezolvată. Acesta este principalul răspuns la întrebarea ta =).

Exemplul 3

Calculați aproximativ folosind diferența valoarea funcției la punct X= 1,97. Calculați o valoare a funcției mai precisă la un punct X= 1,97 folosind un microcalculator, evaluați erorile de calcul absolute și relative.

De fapt, această sarcină poate fi ușor reformulată astfel: „Calculează o valoare aproximativă cu un diferential

Soluţie: Folosim formula familiară:

În acest caz, este deja dată o funcție gata făcută: . Încă o dată, vă atrag atenția asupra faptului că pentru a desemna o funcție, în loc de „joc”, este mai convenabil să utilizați f(X).

Sens X= 1,97 trebuie reprezentat ca X 0 = Δ X. Ei bine, aici este mai ușor, vedem că numărul 1.97 este foarte aproape de „doi”, așa că se roagă. X 0 = 2. Și, prin urmare: .

Calculați valoarea funcției în punct X 0 = 2:

Folosind formula , calculăm diferența în același punct.

Găsirea primei derivate:

Și valoarea ei la punct X 0 = 2:

Astfel, diferența la punctul:

Ca urmare, conform formulei:

A doua parte a sarcinii este de a găsi eroarea absolută și relativă a calculelor.

Calcule aproximative folosind diferenţialul

În această lecție, vom analiza o problemă comună despre calculul aproximativ al valorii unei funcţii folosind o diferenţială. Aici și mai jos vom vorbi despre diferențiale de ordinul întâi, pentru concizie voi spune adesea doar „diferențial”. Problema calculelor aproximative cu ajutorul unui diferențial are un algoritm de soluție rigid și, prin urmare, nu ar trebui să existe dificultăți deosebite. Singurul lucru este că există mici capcane care vor fi și ele curățate. Așa că simțiți-vă liber să vă scufundați cu capul întâi.

În plus, pagina conține formule pentru găsirea erorilor de calcul absolute și relative. Materialul este foarte util, deoarece erorile trebuie calculate și în alte probleme. Fizicieni, unde sunt aplauzele voastre? =)

Pentru a stăpâni cu succes exemplele, trebuie să puteți găsi derivate ale funcțiilor cel puțin la un nivel mediu, așa că dacă diferențierea este complet greșită, vă rugăm să începeți cu lecția Cum să găsesc derivatul? Recomand si lectura articolului Cele mai simple probleme cu o derivată, și anume paragrafele despre găsirea derivatei într-un punctși găsirea diferenţialului într-un punct. Dintre mijloacele tehnice, veți avea nevoie de un microcalculator cu diverse funcții matematice. Puteți folosi Excel, dar în acest caz este mai puțin convenabil.

Atelierul constă din două părți:

– Calcule aproximative folosind diferenţialul unei funcţii a unei variabile.

– Calcule aproximative folosind diferenţialul total al unei funcţii a două variabile.

Cine are nevoie de ce. De fapt, a fost posibilă împărțirea bogăției în două grămezi, din motivul că al doilea punct se referă la aplicații ale funcțiilor mai multor variabile. Dar ce pot să fac, îmi plac articolele lungi.

Calcule aproximative
folosind diferenţialul unei funcţii a unei variabile

Sarcina luată în considerare și ea sens geometric deja tratat în lecția Ce este un derivat? , iar acum ne vom limita la o luare în considerare formală a exemplelor, ceea ce este suficient pentru a învăța cum să le rezolvăm.

În primul paragraf, funcția unei variabile reguli. După cum știe toată lumea, este notat prin sau prin. Pentru această problemă, este mult mai convenabil să folosiți a doua notație. Să trecem la un exemplu popular care apare adesea în practică:

Exemplul 1

Soluţie: Vă rugăm să copiați în caiet formula de lucru pentru calculul aproximativ folosind diferența:

Să începem, e ușor!

Primul pas este crearea unei funcții. Prin condiție, se propune să se calculeze rădăcina cubă a numărului: , deci funcția corespunzătoare are forma: . Trebuie să folosim formula pentru a găsi o valoare aproximativă.

Pe măsură ce selectăm valoarea „bună”, pentru a extrage rădăcina. Desigur, această valoare ar trebui să fie cât mai aproape cu putință la 67. În acest caz: . Într-adevăr: .

Notă: Când montarea este încă o problemă, priviți doar valoarea calculată (în acest caz ), luați cea mai apropiată parte întreagă (în acest caz 4) și ridicați-o la puterea dorită (în acest caz ). Ca urmare, se va face selecția dorită: .

Dacă , atunci argumentul increment: .

Deci numărul 67 este reprezentat ca o sumă

Mai întâi, calculăm valoarea funcției în punctul . De fapt, acest lucru a fost deja făcut anterior:

Diferența într-un punct se găsește prin formula:
De asemenea, puteți copia în caiet.

Din formulă rezultă că trebuie să luați prima derivată:

Și găsiți-i valoarea la punctul:

În acest fel:

Totul este gata! Conform formulei:

Valoarea aproximativă găsită este suficient de aproape de valoare calculat cu ajutorul unui microcalculator.

Răspuns:

Exemplul 2

Calculați aproximativ , înlocuind incrementele funcției cu diferența acesteia.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Un exemplu gros de finalizare a lucrării și un răspuns la sfârșitul lecției. Pentru începători, recomand să calculați mai întâi valoarea exactă pe un microcalculator pentru a afla pentru ce număr să luați și pentru care. Trebuie remarcat faptul că în acest exemplu va fi negativ.

Unii pot avea o întrebare, de ce este necesară această sarcină, dacă puteți calcula totul calm și mai precis pe un calculator? Sunt de acord, sarcina este stupidă și naivă. Dar voi încerca să mă justific puțin. În primul rând, sarcina ilustrează semnificația diferențială a funcției. În al doilea rând, în antichitate, calculatorul era ceva ca un elicopter personal în timpul nostru. Eu însumi am văzut cum un computer de mărimea unei încăperi a fost aruncat din institutul politehnic local undeva prin anii 1985-86 (amatorii de radio cu șurubelnițe au venit în fugă din tot orașul, iar după câteva ore a rămas doar carcasa din unitate. ). Antichitățile au fost găsite și în departamentul nostru de fizică, totuși, într-o dimensiune mai mică - undeva cam de dimensiunea unui birou de școală. Așa au suferit strămoșii noștri cu metode de calcule aproximative. O trăsură trasă de cai este, de asemenea, un mijloc de transport.

Într-un fel sau altul, problema a rămas în cursul standard de matematică superioară și va trebui rezolvată. Acesta este principalul răspuns la întrebarea ta =)

Exemplul 3

la punctul . Calculați o valoare mai precisă a funcției într-un punct folosind un microcalculator, evaluați erorile de calcul absolute și relative.

De fapt, aceeași sarcină, poate fi ușor reformulată astfel: „Calculează valoarea aproximativă cu un diferential

Soluţie: Folosim formula familiară:
În acest caz, este deja dată o funcție gata făcută: . Încă o dată, vă atrag atenția asupra faptului că este mai convenabil să folosiți în loc de „joc” pentru a desemna o funcție.

Valoarea trebuie reprezentată ca . Ei bine, aici este mai ușor, vedem că numărul 1,97 este foarte aproape de „doi”, așa că se sugerează de la sine. Prin urmare: .

Folosind formula , calculăm diferența în același punct.

Găsirea primei derivate:

Și valoarea sa la punct:

Astfel, diferența la punctul:

Ca urmare, conform formulei:

A doua parte a sarcinii este de a găsi eroarea absolută și relativă a calculelor.

Eroarea absolută și relativă a calculelor

Eroare absolută de calcul se gaseste dupa formula:

Semnul modulo arată că nu ne interesează care valoare este mai mare și care este mai mică. Important, cat de departe rezultatul aproximativ a deviat de la valoarea exactă într-o direcție sau alta.

Eroare relativă de calcul se gaseste dupa formula:
, sau, la fel:

Eroarea relativă apare cu ce procent rezultatul aproximativ a deviat de la valoarea exactă. Există o versiune a formulei fără înmulțire cu 100%, dar în practică aproape întotdeauna văd versiunea de mai sus cu procente.

După un scurt context, revenim la problema noastră, în care am calculat valoarea aproximativă a funcției folosind un diferential.

Să calculăm valoarea exactă a funcției folosind un microcalculator:
, strict vorbind, valoarea este încă aproximativă, dar o vom considera exactă. Asemenea sarcini apar.

Să calculăm eroarea absolută:

Să calculăm eroarea relativă:
, se obțin miimi de procent, deci diferența a oferit doar o mare aproximare.

Răspuns: , eroare de calcul absolută , eroare de calcul relativă

Următorul exemplu este pentru o soluție autonomă:

Exemplul 4

Calculați aproximativ folosind diferența valoarea funcției la punctul . Calculați o valoare mai precisă a funcției la un punct dat, evaluați erorile de calcul absolute și relative.

Un exemplu gros de finalizare a lucrării și un răspuns la sfârșitul lecției.

Mulți au observat că în toate exemplele luate în considerare apar rădăcini. Acest lucru nu este întâmplător; în majoritatea cazurilor, în problema luată în considerare, sunt într-adevăr propuse funcții cu rădăcini.

Dar pentru cititorii suferinzi, am dezgropat un mic exemplu cu arcsinus:

Exemplul 5

Calculați aproximativ folosind diferența valoarea funcției la punct

Acesta este scurt dar exemplu educativ de asemenea pentru decizie independentă. Și m-am odihnit puțin pentru a lua în considerare o sarcină specială cu vigoare reînnoită:

Exemplul 6

Calculați aproximativ folosind diferența, rotunjiți rezultatul la două zecimale.

Soluţie: Ce este nou în sarcină? După condiție, este necesară rotunjirea rezultatului la două zecimale. Dar nu asta e ideea, problema rotunjirii școlii, cred, nu este dificilă pentru tine. Ideea este că avem o tangentă cu un argument care se exprimă în grade. Ce să faci când ți se cere să rezolvi o funcție trigonometrică cu grade? De exemplu, etc.

Algoritmul de soluție este păstrat fundamental, adică este necesar, ca în exemplele anterioare, să se aplice formula

Notați funcția evidentă

Valoarea trebuie reprezentată ca . Ajutor serios va tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice. Apropo, dacă nu l-ați tipărit, vă recomand să faceți acest lucru, deoarece va trebui să vă uitați acolo pe tot parcursul cursului de studii superioare la matematică.

Analizând tabelul, observăm o valoare „bună” a tangentei, care este aproape de 47 de grade:

În acest fel:

După o analiză preliminară grade trebuie convertite în radiani. Da, și numai așa!

În acest exemplu, direct din tabelul trigonometric, puteți afla că. Formula de conversie a gradelor în radiani este: (formulele pot fi găsite în același tabel).

Altă șablon:

În acest fel: (în calcule folosim valoarea ). Rezultatul, așa cum este cerut de condiție, este rotunjit la două zecimale.

Răspuns:

Exemplul 7

Calculați aproximativ folosind diferența, rotunjiți rezultatul la trei zecimale.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

După cum puteți vedea, nimic complicat, traducem gradele în radiani și respectăm algoritmul obișnuit de soluție.

Calcule aproximative
folosind diferenţialul total al unei funcţii a două variabile

Totul va fi foarte, foarte asemănător, așa că dacă ați ajuns pe această pagină cu această sarcină specială, atunci vă recomand să vă uitați la cel puțin câteva exemple din paragraful anterior.

Pentru a studia un paragraf, trebuie să poți găsi derivate parțiale de ordinul doi, unde fără ele. În lecția de mai sus, am notat funcția a două variabile cu litera . În ceea ce privește sarcina luată în considerare, este mai convenabil să folosiți notația echivalentă .

Ca și în cazul unei funcții a unei variabile, condiția problemei poate fi formulată în moduri diferite și voi încerca să iau în considerare toate formulările întâlnite.

Exemplul 8

Soluţie: Indiferent cum este scrisă condiția, în soluția în sine, pentru a desemna funcția, repet, este mai bine să folosiți nu litera „Z”, ci.

Și iată formula de lucru:

În fața noastră se află de fapt sora mai mare a formulei din paragraful precedent. Variabila tocmai a devenit mai mare. Ce pot să spun eu însumi algoritmul de soluție va fi fundamental același!

Prin condiție, este necesar să se găsească valoarea aproximativă a funcției în punctul .

Să reprezentăm numărul 3,04 ca . Chicul în sine cere să fie mâncat:
,

Să reprezentăm numărul 3,95 ca . A venit rândul în a doua jumătate a lui Kolobok:
,

Și nu te uita la tot felul de trucuri cu vulpe, există un Gingerbread Man - trebuie să-l mănânci.

Să calculăm valoarea funcției în punctul:

Diferenţialul unei funcţii într-un punct se găseşte prin formula:

Din formula rezultă că trebuie să găsiți derivate parțiale de ordinul întâi și calculați valorile lor la punctul .

Să calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi la punctul:

Diferenţial total la punct:

Astfel, conform formulei, valoarea aproximativă a funcției în punctul:

Să calculăm valoarea exactă a funcției în punctul:

Această valoare este absolut corectă.

Erorile sunt calculate folosind formule standard, care au fost deja discutate în acest articol.

Eroare absolută:

Eroare relativă:

Răspuns:, eroare absolută: , eroare relativă:

Exemplul 9

Calculați valoarea aproximativă a unei funcții la un punct folosind o diferenţială completă, evaluaţi eroarea absolută şi relativă.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Cine se ocupă mai detaliat de acest exemplu va acorda atenție faptului că erorile de calcul s-au dovedit a fi foarte, foarte vizibile. Acest lucru s-a întâmplat din următorul motiv: în problema propusă, incrementele argumentelor sunt suficient de mari: . Modelul general este următorul - cu cât aceste creșteri în valoare absolută sunt mai mari, cu atât este mai mică acuratețea calculelor. Deci, de exemplu, pentru un punct similar, incrementele vor fi mici: , iar precizia calculelor aproximative va fi foarte mare.

Această caracteristică este valabilă și pentru cazul unei funcții a unei variabile (prima parte a lecției).

Exemplul 10

Soluţie: Calculăm această expresie aproximativ folosind diferența totală a unei funcții a două variabile:

Diferența față de exemplele 8-9 este că mai întâi trebuie să compunem o funcție din două variabile: . Cum este compusă funcția, cred, este intuitiv intuitiv pentru toată lumea.

Valoarea 4,9973 este apropiată de „cinci”, prin urmare: , .
Valoarea lui 0,9919 este apropiată de „unu”, prin urmare, presupunem: , .

Să calculăm valoarea funcției în punctul:

Găsim diferența într-un punct prin formula:

Pentru a face acest lucru, calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi în punctul .

Derivatele de aici nu sunt cele mai simple și ar trebui să fii atent:

;

Diferenţial total la punct:

Astfel, valoarea aproximativă a acestei expresii:

Să calculăm o valoare mai precisă folosind un microcalculator: 2,998899527

Să găsim eroarea relativă de calcul:

Răspuns: ,

Doar o ilustrare a celor de mai sus, în problema luată în considerare, incrementele argumentelor sunt foarte mici, iar eroarea s-a dovedit a fi fantastic de puțină.

Exemplul 11

Folosind diferența totală a unei funcții de două variabile, calculați aproximativ valoarea acestei expresii. Calculați aceeași expresie folosind un microcalculator. Estimați în procente eroarea relativă a calculelor.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. O mostră aproximativă de finisare la sfârșitul lecției.

După cum sa menționat deja, cel mai obișnuit invitat în acest tip de sarcină este un fel de rădăcini. Dar din când în când există și alte funcții. Și un ultim exemplu simplu pentru relaxare:

Exemplul 12

Folosind diferența totală a unei funcții de două variabile, calculați aproximativ valoarea funcției dacă

Soluția este mai aproape de partea de jos a paginii. Încă o dată, acordați atenție formulării sarcinilor lecției, în diferite exemple în practică formularea poate fi diferită, dar acest lucru nu schimbă fundamental esența și algoritmul soluției.

Sincer să fiu, m-am cam obosit, pentru că materialul era plictisitor. Nu a fost pedagogic să spun la începutul articolului, dar acum este deja posibil =) Într-adevăr, problemele matematicii computaționale nu sunt de obicei foarte dificile, nu foarte interesante, cel mai important lucru, poate, este să nu faci un greșeală în calculele obișnuite.

Fie ca cheile calculatorului dumneavoastră să nu fie șterse!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie: Folosim formula:
În acest caz: , ,

În acest fel:
Răspuns:

Exemplul 4: Soluţie: Folosim formula:
În acest caz: , ,

Diferenţial funcţionează la un punct se numește principal, liniar în raport cu incrementul argumentului
parte de creștere a funcției
, egal cu produsul derivatei funcției din punct pentru creșterea variabilei independente:

Prin urmare, incrementul funcției
diferită de diferența sa
la o valoare infinitezimală și pentru valori suficient de mici, putem presupune
sau

Formula de mai sus este folosită în calcule aproximative, și mai puțin
, cu atât formula este mai precisă.

Exemplul 3.1. Calculați aproximativ

Soluţie. Luați în considerare funcția
. aceasta functie de putereși derivatul său

La fel de trebuie să luați un număr care îndeplinește condițiile:

Sens
cunoscut sau destul de ușor de calculat;

Număr ar trebui să fie cât mai aproape posibil de 33,2.

În cazul nostru, aceste cerințe sunt îndeplinite de număr = 32, pentru care
= 2,
= 33,2 -32 = 1,2.

Aplicând formula, găsim numărul necesar:

+
.

Exemplul 3.2. Găsiți timpul pentru dublarea depozitului în bancă dacă rata dobânzii bancare pentru anul este de 5% pe an.

Soluţie. Pe parcursul anului, contribuția crește cu
ori, dar pentru ani, contribuția va crește în
o singura data. Acum trebuie să rezolvăm ecuația:
=2. Luând un logaritm, ajungem unde
. Obținem o formulă aproximativă de calcul
. Presupunând
, găsi
iar în conformitate cu formula aproximativă. În cazul nostru
și
. De aici. pentru că
, găsim timpul de dublare al contribuției
ani.

Întrebări pentru autoexaminare

1. Definiți diferența unei funcții într-un punct.

2. De ce este aproximativă formula folosită pentru calcule?

3. Ce condiții trebuie să îndeplinească numărul incluse în formula de mai sus?

Sarcini pentru munca independentă

Calculați valoarea aproximativă
, înlocuind la punct
creșterea funcției
diferenţialul său.

Tabelul 3.1

Numărul variantei

4 .Investigarea funcțiilor și construcția graficelor acestora

Dacă o funcție a unei variabile este dată ca formulă
, atunci domeniul definiției sale este un astfel de set de valori ale argumentului , pe care sunt definite valorile funcției.

Exemplul 4.1. Valoarea funcției
sunt definite numai pentru valorile nenegative ale expresiei radicale:
. Prin urmare, domeniul de definire al funcției este semi-intervalul, deoarece valoarea funcției trigonometrice
satisface inegalitatea: -1
1.

Funcţie
numit chiar, dacă pentru orice valoare din domeniul definirii sale, egalitatea

și ciudat, dacă cealaltă relație este adevărată:
. În alte cazuri, funcția este apelată funcţie vedere generala.

Exemplul 4.4. Lăsa
. Sa verificam: . Deci această funcție este egală.

Pentru funcție
dreapta. Prin urmare, această funcție este impară.

Suma funcțiilor anterioare
este o funcție generală, deoarece funcția nu este egală cu
și
.

Asimptotă graficul funcției
se numește o dreaptă care are proprietatea că distanța de la punctul ( ;
) din planul acestei drepte tinde spre zero la o distanță nelimitată de punctul graficului de la origine. Există asimptote verticale (Fig. 4.1), orizontale (Fig. 4.2) și oblice (Fig. 4.3).

Orez. 4.1. Programa

Orez. 4.2. Programa

Orez. 4.3. Programa

Asimptotele verticale ale unei funcții ar trebui căutate fie în punctele de discontinuitate de al doilea fel (cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției în punctul este infinită sau nu există), fie la capetele domeniului său de definiție.
, dacă
sunt numere finale.

Dacă funcţia
este definită pe întreaga dreaptă numerică și există o limită finită
, sau
, apoi linia dreaptă dată de ecuație
, este asimptota orizontală din dreapta și linia dreaptă
este asimptota orizontală din stânga.

Dacă există limite

și
,

apoi drept
este asimptota oblică a graficului funcției. Asimptota oblică poate fi și dreptaci (
) sau stângaci (
).

Funcţie
se numește crescător pe platou
, dacă pentru vreunul
, astfel încât >, este valabilă următoarea inegalitate:
>
(în scădere dacă în același timp:
<
). Multe
în acest caz se numește intervalul de monotonitate al funcției.

Următoarea condiție suficientă pentru monotonitatea unei funcții este adevărată: dacă derivata unei funcții diferențiabile în interiorul mulțimii
este pozitiv (negativ), atunci funcția crește (descrește) pe acest set.

Exemplul 4.5. Dată o funcție
. Găsiți intervalele sale de creștere și scădere.

Soluţie. Să-i găsim derivatul
. Este evident că >0 la >3 și <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) și crește cu (3;
).

Punct numit un punct maxim local (minimum) funcții
, dacă în vreo vecinătate a punctului inegalitatea
(
) . Valoarea funcției la punct numit maxim (minimum). Maximul și minimul unei funcții sunt combinate printr-un nume comun extremum funcții.

Pentru functia
avea un extremum la punctul respectiv este necesar ca derivata sa în acest punct să fie egală cu zero (
) sau nu a existat.

Sunt numite punctele în care derivata unei funcții este zero staționar puncte de funcționare. Într-un punct staționar, nu ar trebui să existe neapărat un extremum al funcției. Pentru a găsi extrema, este necesară investigarea suplimentară a punctelor staționare ale funcției, de exemplu, utilizând condiții extreme suficiente.

Prima dintre ele este că dacă, la trecerea printr-un punct staționar de la stânga la dreapta, derivata funcției diferențiabile își schimbă semnul din plus în minus, apoi se atinge un maxim local în punct. Dacă semnul se schimbă de la minus la plus, atunci acesta este punctul minim al funcției.

Dacă semnul derivatei nu se schimbă la trecerea prin punctul studiat, atunci nu există un extremum în acest punct.

A doua condiție suficientă pentru extremul unei funcții într-un punct staționar folosește derivata a doua a funcției: dacă
<0, тоeste punctul maxim, iar dacă
>0, atunci - punct minim. La
=0 întrebarea despre tipul de extremum rămâne deschisă.

Funcţie
numit convex (concav)) pe platou
, dacă pentru oricare două valori
este valabilă următoarea inegalitate:

Fig.4.4. Graficul unei funcții convexe

Dacă derivata a doua a unei funcții de două ori diferențiabile
pozitiv (negativ) în interiorul setului
, atunci funcția este concavă (convexă) pe set
.

Punctul de inflexiune al unui grafic al unei funcții continue
se numește punctul care separă intervalele în care funcția este convexă și concavă.

Derivată a doua
funcție dublu diferențiabilă la un punct de inflexiune este egal cu zero, adică
= 0.

Dacă derivata a doua la trecerea printr-un punct îşi schimbă semnul, atunci este punctul de inflexiune al graficului său.

Când studiați o funcție și trasați graficul acesteia, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

Valoarea aproximativă a incrementului funcției

Pentru incremente suficient de mici ale funcției este aproximativ egală cu diferența sa, i.e. Dy » dy și, prin urmare,

Exemplul 2 Aflați valoarea aproximativă a incrementului funcției y= când argumentul x se schimbă de la valoarea x 0 =3 la x 1 =3,01.

Soluţie. Folosim formula (2.3). Pentru a face acest lucru, calculăm

X 1 - x 0 \u003d 3,01 - 3 \u003d 0,01, apoi

face » .

Valoarea aproximativă a unei funcții într-un punct

În conformitate cu definiția incrementării funcției y = f(x) în punctul x 0, când argumentul Dx (Dx®0) este incrementat, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) iar formula (3.3) poate fi scrisă

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3,4)

Cazuri particulare de formula (3.4) sunt expresiile:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3,4v)

tgDx » Dx (3,4 g)

Aici, ca și înainte, se presupune că Dx®0.

Exemplul 3 Găsiți valoarea aproximativă a funcției f (x) \u003d (3x -5) 5 în punctul x 1 \u003d 2,02.

Soluţie. Pentru calcule, folosim formula (3.4). Să reprezentăm x 1 ca x 1 = x 0 + Dx. Atunci x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Exemplul 4 Calculați (1.01) 5 , , ln(1.02), ln .

Soluţie

1. Să folosim formula (3.4a). Pentru a face acest lucru, reprezentăm (1.01) 5 ca (1+0.01) 5 .

Apoi, presupunând Dx = 0,01, n = 5, obținem

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Reprezentând sub forma (1 - 0,006) 1/6, conform (3.4a), obținem

(1 - 0,006) 1/6 "1 + .

3. Considerând că ln(1.02) = ln(1 + 0.02) și presupunând Dx=0.02, prin formula (3.4b) obținem

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. În mod similar

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Găsiți incremente aproximative ale funcțiilor

155. y = 2x 3 + 5 când argumentul x se schimbă de la x 0 = 2 la x 1 = 2.001

156. y \u003d 3x 2 + 5x + 1 pentru x 0 \u003d 3 și Dx \u003d 0,001

157. y \u003d x 3 + x - 1 cu x 0 \u003d 2 și Dx \u003d 0,01

158. y \u003d ln x la x 0 \u003d 10 și Dx \u003d 0,01

159. y \u003d x 2 - 2x cu x 0 \u003d 3 și Dx \u003d 0,01

Găsiți valorile aproximative ale funcțiilor

160. y \u003d 2x 2 - x + 1 la x 1 \u003d 2,01

161. y \u003d x 2 + 3x + 1 la x 1 \u003d 3,02

162.y= în punctul x 1 = 1,1

163. y \u003d în punctul x 1 \u003d 3.032

164. y \u003d în punctul x 1 \u003d 3,97

165. y \u003d sin 2x la x 1 \u003d 0,015

Calculați aproximativ

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178 ln(1,003×e) 179 ln(1,05) 5 180 ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

Explorarea funcțiilor și trasarea

Semne de monotonitate ale unei funcții

Teorema 1 (condiție necesară pentru creșterea (scăderea) funcțiilor) . Dacă o funcție diferențiabilă y = f(x), xн(a; b) crește (descrește) pe intervalul (a; b), atunci pentru orice x 0 н(a; b).

Teorema 2 (condiție suficientă pentru creșterea (scăderea) funcțiilor) . Dacă o funcție y = f(x), xн(a; b) are o derivată pozitivă (negativă) în fiecare punct al intervalului (a; b), atunci această funcție crește (descrește) pe acest interval.

Extreme ale funcției

Definiția 1. Punctul x 0 se numește punctul maxim (minim) al funcției y \u003d f (x) dacă pentru tot x dintr-o vecinătate d a punctului x 0 inegalitatea f (x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) pentru x ¹ x 0 .

Teorema 3 (Fermă) (condiție necesară pentru existența unui extremum) . Dacă punctul x 0 este punctul extrem al funcției y = f(x) și există o derivată în acest punct, atunci

Teorema 4 (prima condiție suficientă pentru existența unui extremum) . Fie funcția y = f(x) diferențiabilă într-o vecinătate d a punctului x 0 . Apoi:

1) dacă derivata, la trecerea prin punctul x 0, își schimbă semnul din (+) în (-), atunci x 0 este punctul maxim;

2) dacă derivata, la trecerea prin punctul x 0, își schimbă semnul din (-) în (+), atunci x 0 este punctul minim;

3) dacă derivata nu își schimbă semnul la trecerea prin punctul x 0, atunci în punctul x 0 funcția nu are un extremum.

Definiția 2. Sunt numite punctele în care derivata unei funcții dispare sau nu există puncte critice de primul fel.

folosind prima derivată

1. Aflați domeniul de definiție D(f) al funcției y = f(x).

2. Calculați prima derivată

3. Găsiți puncte critice de primul fel.

4. Așezați punctele critice în domeniul D(f) al funcției y = f(x) și determinați semnul derivatei în intervalele în care punctele critice împart domeniul funcției.

5. Selectați punctele maxime și minime ale funcției și calculați valorile funcției în aceste puncte.

Exemplul 1 Investigați funcția y \u003d x 3 - 3x 2 pentru un extrem.

Soluţie. În conformitate cu algoritmul pentru găsirea extremului unei funcții folosind derivata întâi, avem:

1. D(f): xн(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0, x = 2 sunt puncte critice de primul fel.

Derivată la trecerea prin punctul x = 0

schimbă semnul de la (+) la (-), deci este un punct

Maxim. Când treceți prin punctul x \u003d 2, acesta își schimbă semnul de la (-) la (+), prin urmare acesta este punctul minim.

5. ymax = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Coordonate maxime (0; 0).

y min \u003d f (2) \u003d 2 3 - 3 × 2 2 \u003d -4.

Coordonate minime (2; -4).

Teorema 5 (a doua condiție suficientă pentru existența unui extremum) . Dacă funcția y = f(x) este definită și de două ori diferențiabilă într-o vecinătate a punctului x 0 și , atunci în punctul x 0 funcția f(x) are un maxim dacă și un minim dacă .

Algoritm pentru găsirea extremului unei funcții

folosind derivata a doua

1. Aflați domeniul de definiție D(f) al funcției y = f(x).

2. Calculați prima derivată

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (log x - 2) 211. f(x) = x log 2 x + x + 4

23. Conceptul de diferenţial al unei funcţii. Proprietăți. Aplicarea diferenţialului în aproximarecalculele.

Conceptul de funcție diferenţială

Fie funcția y=ƒ(x) să aibă o derivată diferită de zero în punctul x.

Apoi, conform teoremei cu privire la conexiunea unei funcții, a limitei acesteia și a unei funcții infinit de mică, putem scrie ∆х+α ∆х.

Astfel, incrementul funcției ∆у este suma a doi termeni ƒ "(х) ∆х și a ∆х, care sunt infinitezimali la ∆x→0. În acest caz, primul termen este o funcție infinit de mică a aceeași ordine cu ∆х, deoarece iar al doilea termen este o funcție infinit de mică de ordin mai mare decât ∆x:

Prin urmare, primul termen ƒ „(x)  ∆x se numește partea principală a incrementului funcţiile ∆у.

diferenţial de funcţie y \u003d ƒ (x) în punctul x se numește partea principală a incrementului său, egală cu produsul derivatei funcției și incrementul argumentului și se notează dу (sau dƒ (x)):

dy=ƒ"(х) ∆х. (1)

Diferenţialul dу se mai numeşte diferenţial de ordinul întâi. Să găsim diferența variabilei independente x, adică diferența funcției y=x.

Deoarece y"=x"=1, atunci, conform formulei (1), avem dy=dx=∆x, adică diferența variabilei independente este egală cu incrementul acestei variabile: dx=∆x.

Prin urmare, formula (1) poate fi scrisă după cum urmează:

dy \u003d ƒ "(x) dx, (2)

cu alte cuvinte, diferenţialul unei funcţii este egal cu produsul derivatei acestei funcţii şi diferenţialul variabilei independente.

Din formula (2), urmează egalitatea dy / dx \u003d ƒ "(x). Acum denumirea

derivata dy/dx poate fi privită ca raportul dintre diferenţialele dy şi dx.

Diferenţialare următoarele proprietăți principale.

1. d(Cu)=0.

2. d(u+w-v)=du+dw-dv.

3. d(uv)=du v+u dv.

d(Cuu)=Cud(u).

4. .

5. y= f(z), , ,

Forma diferenţialului este invariantă (invariantă): este întotdeauna egală cu produsul derivatei funcţiei şi diferenţialul argumentului, indiferent dacă argumentul este simplu sau complex.

Aplicarea diferenţialului la calcule aproximative

După cum se știe deja, incrementul ∆у al funcției y=ƒ(х) în punctul x poate fi reprezentat ca ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, unde α→0 ca ∆х→0, sau dy+α ∆x Renunțând infinitezimalul α ∆x de ordin mai mare decât ∆x, obținem egalitatea aproximativă

∆y≈dy, (3)

în plus, această egalitate este cu atât mai precisă, cu atât ∆x este mai mic.

Această egalitate ne permite să calculăm aproximativ incrementul oricărei funcții diferențiabile cu mare precizie.

Diferența se găsește de obicei mult mai ușor decât creșterea funcției, astfel încât formula (3) este utilizată pe scară largă în practica de calcul.

24. Funcția antiderivată și nedefinităintegrala.

CONCEPTUL DE FUNCȚIE DERIVATĂ ȘI INTEGRALĂ NEDETERMINATĂ

Funcţie F (X) se numește funcția antiderivată pentru această funcție f (X) (sau, pe scurt, primitiv această funcție f (X)) pe un interval dat, dacă pe acest interval . Exemplu. Funcția este antiderivată a funcției pe întreaga axă a numerelor, deoarece pentru oricare X. Rețineți că împreună cu funcția antiderivată for este orice funcție de forma , unde DIN- un număr constant arbitrar (asta rezultă din faptul că derivata constantei este egală cu zero). Această proprietate este valabilă și în cazul general.

Teorema 1. Dacă și sunt două antiderivate pentru funcție f (X) într-un anumit interval, atunci diferența dintre ele în acest interval este egală cu un număr constant. Din această teoremă rezultă că dacă se cunoaşte vreo antiderivată F (X) din această funcție f (X), apoi întregul ansamblu de antiderivate pt f (X) este epuizat de funcţii F (X) + DIN. Expresie F (X) + DIN, Unde F (X) este antiderivată a funcției f (X) și DIN este o constantă arbitrară, numită integrală nedefinită din functie f (X) și este notat cu simbolul și f (X) se numește integrand ; - integrand , X - variabila de integrare ; ∫ - semn integral nedefinit . Deci prin definiție dacă . Se pune întrebarea: pentru orice funcții f (X) există o antiderivată și, prin urmare, o integrală nedefinită? Teorema 2. Dacă funcţia f (X) continuu pe [ A ; b], apoi pe acest segment pentru funcția f (X) există o primitivă . Mai jos vom vorbi despre antiderivate doar pentru funcții continue. Prin urmare, integralele considerate mai jos în această secțiune există.

25. Proprietăţile indefinituluișiintegrală. Integrals din funcţiile elementare de bază.

Proprietățile integralei nedefinite

În formulele de mai jos fși g- functii variabile X, F- antiderivat al funcției f, a, k, C sunt valori constante.



Integrale ale funcţiilor elementare

Lista integralelor funcțiilor raționale

(antiderivata lui zero este o constantă; în orice domeniu de integrare, integrala lui zero este egală cu zero)

Lista integralelor funcțiilor logaritmice

Lista integralelor de funcții exponențiale

Lista integralelor funcțiilor iraționale

(„logaritm lung”)

lista de integrale ale funcțiilor trigonometrice , lista de integrale ale funcțiilor trigonometrice inverse

26. Metoda substituirilors variabilă, metoda de integrare pe părţi în integrala nedefinită.

Metoda de înlocuire variabilă (metoda de înlocuire)

Metoda de integrare prin substituție constă în introducerea unei noi variabile de integrare (adică o substituție). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Nu există metode generale de selectare a substituțiilor. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.

Să fie necesar să se calculeze integrala Să facem o substituție unde este o funcție care are o derivată continuă.

Apoi iar pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare a integralei nedefinite obținem formula de integrare a substituției: