După cum sa menționat mai sus, trei figuri se numără printre figurile plate simple: un dreptunghi, un triunghi și un cerc. Aceste cifre sunt considerate simple deoarece poziția centrului de greutate al acestor figuri este cunoscută dinainte. Toate celelalte figuri pot fi compuse din aceste figuri simple și sunt considerate complexe. Să calculăm momentele axiale de inerție ale figurilor simple în jurul axelor lor centrale.

1. Dreptunghi. Se consideră o secțiune a unui profil dreptunghiular cu dimensiuni (Fig. 4.6). Selectați un element de secțiune cu două secțiuni infinit apropiate la distanță din axa centrală
.

Calculați momentul de inerție al unei secțiuni dreptunghiulare în jurul axei:

. (4.10)

Momentul de inerție al unei secțiuni dreptunghiulare în jurul unei axe
găsi la fel. Ieșirea nu este afișată aici.

. (4.11)


și
este zero, deoarece axele
și
sunt axele de simetrie și deci axele principale.

2. Triunghi isoscel. Luați în considerare o secțiune a unui profil triunghiular cu dimensiuni
(Fig.4.7). Selectați un element de secțiune cu două secțiuni infinit apropiate la distanță din axa centrală
. Centrul de greutate al unui triunghi se află la distanță
de la bază. Se presupune că triunghiul este isoscel, astfel încât axa
secțiunea este axa de simetrie.

Calculați momentul de inerție al secțiunii în jurul axei
:

. (4.12)

valoarea definim din asemănarea triunghiurilor:

; Unde
.

Înlocuirea expresiilor pentru în (4.12) și integrând, obținem:

. (4.13)

Moment de inerție pentru un triunghi isoscel în jurul unei axe
se găsește în același mod și este egal cu:

(4.14)

Momentul de inerție centrifugal față de axe
și
este zero deoarece axa
este axa de simetrie a secțiunii.

3. Un cerc. Luați în considerare o secțiune a unui profil circular cu un diametru (Fig.4.8). Să selectăm elementul secțiunii prin două cercuri concentrice infinit apropiate situate la distanță din centrul de greutate al cercului .

Să calculăm momentul polar de inerție al cercului folosind expresia (4.5):

. (4.15)

Folosind condiția de invarianță pentru suma momentelor axiale de inerție în jurul a două axe reciproc perpendiculare (4.6) și ținând cont de aceea pentru un cerc, din cauza simetriei
, determinăm valoarea momentelor axiale de inerție:

. (4.16)

. (4.17)

Momentul de inerție centrifugal față de axe și este zero, deoarece axele
și
sunt axele de simetrie ale secțiunii.

4.4. Relații între momentele de inerție față de axe paralele

Când se calculează momentele de inerție pentru figuri complexe, trebuie reținută o regulă: pot fi adăugate valorile momentelor de inerție, daca sunt calculate fata de aceeasi axa. Pentru figurile complexe, cel mai adesea centrele de greutate ale figurilor simple individuale și întreaga figură nu coincid. Axele centrale pentru figuri simple separate și, respectiv, întreaga figură nu coincid. În acest sens, există metode de aducere a momentelor de inerție pe o axă, de exemplu, axa centrală a întregii figuri. Acest lucru se poate datora translației paralele a axelor de inerție și calculelor suplimentare.

Luați în considerare definiția momentelor de inerție în jurul axelor de inerție paralele, prezentată în Fig.4.9.

Fie momentele de inerție axial și centrifugal prezentate în figura 4.9. cifre despre axe alese arbitrar
și
cu originea în punct cunoscut. Este necesar să se calculeze momentele de inerție axiale și centrifuge ale figurii în raport cu axele paralele arbitrare
și
cu originea în punct . topoare
și
efectuate la distanțe și respectiv din axe
și
.

Să folosim expresiile pentru momentele axiale de inerție (4.4) și pentru momentul de inerție centrifugal (4.7). Înlocuiți aceste expresii în loc de coordonatele curente
și
element cu zonă de coordonate infinit de mică
și
în sistem nou coordonate. Primim:

Analizând expresiile obținute, ajungem la concluzia că la calcularea momentelor de inerție relativ la axele paralele la momentele de inerție calculate față de axele inițiale de inerție, este necesar să se adauge adunări sub formă de termeni suplimentari, care pot să fie mult mai mare decât valorile momentelor de inerție față de axele inițiale. Prin urmare, acești termeni suplimentari nu trebuie neglijați în niciun caz.

Cazul luat în considerare este cel mai general caz de transfer paralel de axe, când axele de inerție arbitrare au fost luate ca inițiale. În majoritatea calculelor, există cazuri speciale de determinare a momentelor de inerție.

Primul caz special . Axele de referință sunt axele centrale de inerție ale figurii. Apoi, folosind proprietatea principală pentru momentul static al ariei, este posibil să excludem din ecuațiile (4.18)-(4.20) membrii ecuațiilor, care includ momentul static al ariei figurii. Ca rezultat, obținem:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Aici topoarele
și
- axa centrală de inerție.

Al doilea caz special. Axele de referință sunt principalele axe de inerție. Atunci, având în vedere că momentul de inerție centrifugal este zero în raport cu axele principale de inerție, obținem:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Aici topoarele
și
- Axele principale de inerție.

Să folosim expresiile obținute și să luăm în considerare câteva exemple de calculare a momentelor de inerție pentru figuri plane.

Exemplul 4.2. Determinați momentele axiale de inerție ale figurii prezentate în fig. 4.10, relativ la axele centrale și .

În exemplul anterior 4.1, pentru figura prezentată în Fig. 4.10, a fost determinată poziția centrului de greutate C. Coordonatele centrului de greutate a fost reprezentată din axă. si facut
. Să calculăm distanțele și între axe și și topoare și . Aceste distanțe au fost, respectiv
și
. De la axele originale și sunt axele centrale pentru figurile simple sub formă de dreptunghiuri, pentru a determina momentul de inerție al figurii față de axă folosim derivațiile pentru primul caz particular, în special formula (4.21).

Moment de inerție față de axă obţinut prin adunarea momentelor de inerţie ale figurilor simple în jurul aceleiaşi axe, de la axa este o axă centrală comună pentru figurile simple și pentru întreaga figură.

cm 4.

Momentul de inerție centrifugal față de axe și este zero, deoarece axa de inerție este axa principală (axa de simetrie a figurii).

Exemplul 4.3. Care este mărimea b(în cm) figura prezentată în fig. 4.11, dacă momentul de inerție al figurii față de axă egal cu 1000 cm 4?

Exprimăm momentul de inerție față de axă printr-o dimensiune necunoscută a secțiunii , folosind formula (4.21), ținând cont că distanța dintre axe și este egal cu 7 cm:

cm 4. (A)

Rezolvarea expresiei (a) în raport cu dimensiunea secțiunii , primim:

cm.

Exemplul 4.4. Care dintre figurile prezentate în Fig. 4.12 are un moment de inerție mai mare în jurul axei dacă ambele forme au aceeași zonă
cm 2?

1. Exprimăm ariile figurilor în funcție de dimensiunile lor și determinăm:

a) diametrul secțiunii pt sectiune rotunda:

cm 2; Unde
cm.

b) dimensiunea laturii pătratului:

; Unde
cm.

2. Calculați momentul de inerție pentru o secțiune circulară:

cm 4.

3. Calculați momentul de inerție pentru o secțiune pătrată:

cm 4.

Comparând rezultatele obținute, ajungem la concluzia că cel mai mare moment de inerție va avea o secțiune pătrată în comparație cu o secțiune rotundă cu aceeași zonă.

Exemplul 4.5. Determinați momentul polar de inerție (în cm 4) al unei secțiuni dreptunghiulare în raport cu centrul său de greutate, dacă lățimea secțiunii
cm, înălțimea secțiunii
cm.

1. Aflați momentele de inerție ale secțiunii față de orizontală și verticală axele centrale de inerție:

cm 4;
cm 4.

2. Determinați momentul polar de inerție al secțiunii ca sumă a momentelor de inerție axiale:

cm 4.

Exemplul 4.6. Determinați momentul de inerție al formei triunghiulare prezentate în Fig. 4.13, raportat la axa centrală , dacă momentul de inerție al figurii față de axă egal cu 2400 cm 4.

Momentul de inerție al unei secțiuni triunghiulare în jurul axei principale de inerție va fi mai mic decât momentul de inerție în jurul axei prin suma
. Prin urmare, când
vezi momentul de inerție al secțiunii în jurul axei găsi în felul următor.

corp m pe distanță pătrată d intre axe:

J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)

Unde m- greutatea corporală totală.

De exemplu, momentul de inerție al unei tije în jurul unei axe care trece prin capătul acesteia este:

J \u003d J c + m d 2 \u003d 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 \u003d 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\right)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Momentele axiale de inerție ale unor corpuri

Momente de inerție corpuri omogene de cea mai simplă formă faţă de unele axe de rotaţie
Corp Descriere Poziția axei A Moment de inerție J a
Punctul de masă material m La distanta r dintr-un punct, fix
Cilindru gol cu ​​pereți subțiri sau inel de rază r si masele m Axa cilindrului m r 2 (\displaystyle mr^(2))
Cilindru solid sau raza discului r si masele m Axa cilindrului 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2))
Cilindru de masă gol cu ​​pereți groși m cu raza exterioară r 2 și raza interioară r 1 Axa cilindrului m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2))+r_(1)^(2))(2)))
Lungimea cilindrului solid l, raza r si masele m 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
Lungimea cilindrului (inel) cu pereți subțiri l, raza r si masele m Axa este perpendiculară pe cilindru și trece prin centrul său de masă 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2))
Lungimea tijei drepte subțiri l si masele m Axa este perpendiculară pe tijă și trece prin centrul său de masă 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2))
Lungimea tijei drepte subțiri l si masele m Axa este perpendiculară pe tijă și trece prin capătul acesteia 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
Sferă de rază cu pereți subțiri r si masele m Axa trece prin centrul sferei 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
raza bilei r si masele m Axa trece prin centrul mingii 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2))
Raza conului r si masele m axa conului 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
Triunghi isoscel cu înălțime h, baza A si greutate m Axa este perpendiculară pe planul triunghiului și trece prin vârf 1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2)))
Triunghi dreptunghic cu latura A si greutate m Axa este perpendiculară pe planul triunghiului și trece prin centrul de masă 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2))
Patrat cu latura A si greutate m Axa este perpendiculară pe planul pătratului și trece prin centrul de masă 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2))
Dreptunghi cu laturi Ași b si greutate m Axa este perpendiculară pe planul dreptunghiului și trece prin centrul de masă 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)))
N-gon regulat de rază r si greutate m Axa este perpendiculară pe plan și trece prin centrul de masă m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left)
Torus (gol) cu raza cercului de ghidare R, raza cercului generator r si greutate m Axa este perpendiculară pe planul cercului de ghidare al torului și trece prin centrul de masă I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\right))

Derivarea formulelor

Cilindru cu pereți subțiri (inel, cerc)

Derivarea formulei

momentul de inerție al corpului este egală cu suma momentele de inerție ale părților sale constitutive. Să împărțim cilindrul cu pereți subțiri în elemente cu masă dmși momente de inerție DJ i. Apoi

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (unu) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

Deoarece toate elementele unui cilindru cu pereți subțiri sunt la aceeași distanță de axa de rotație, formula (1) este convertită în forma

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)

Cilindru cu pereți groși (inel, cerc)

Derivarea formulei

Să existe un inel omogen cu raza exterioară R, raza interioara R 1, gros h iar densitatea ρ. Să-l spargem în inele subțiri cu o grosime dr. Masa și momentul de inerție al unui inel subțire de rază r sumă de

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

Găsim momentul de inerție al unui inel gros ca integrală

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi\rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\dreapta)\stanga(R^(2)+R_(1)^(2)\dreapta).)

Deoarece volumul și masa inelului sunt egale

V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 - R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h,)

obţinem formula finală pentru momentul de inerţie al inelului

J = 12 m (R2 + R12). (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\dreapta).)

Disc omogen (cilindru solid)

Derivarea formulei

Considerând cilindrul (discul) ca un inel cu raza interioară zero ( R 1 = 0 ), obținem formula momentului de inerție al cilindrului (discului):

J = 12 m R2. (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

con solid

Derivarea formulei

Împărțiți conul în discuri subțiri de grosime dh perpendicular pe axa conului. Raza unui astfel de disc este

r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

Unde R este raza bazei conului, H este înălțimea conului, h este distanța de la vârful conului până la disc. Masa și momentul de inerție al unui astfel de disc vor fi

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)

Integrarea, obținem

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\right)^(4)\left.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(aliniat)))

Minge solidă uniformă

Derivarea formulei

Împărțiți mingea în discuri subțiri dh, perpendicular pe axa de rotație. Raza unui astfel de disc situat la o înălțime h din centrul sferei, găsim prin formula

r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

Masa și momentul de inerție al unui astfel de disc vor fi

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\dreapta)dh.)

Momentul de inerție al mingii se găsește prin integrare:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\dreapta)\dreapta|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\right) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(aligned)))

sferă cu pereți subțiri

Derivarea formulei

Pentru derivare, folosim formula pentru momentul de inerție al unei bile omogene cu rază R :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

Să calculăm cât de mult se va schimba momentul de inerție al mingii dacă, la o densitate constantă ρ, raza acesteia crește cu o valoare infinitezimală dR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 mR2. (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\dreapta)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(aliniat)))

Tijă subțire (axa trece prin centru)

Derivarea formulei

Să împărțim tija în fragmente mici de lungime dr. Masa și momentul de inerție al unui astfel de fragment este

d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

Integrarea, obținem

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\left.(\frac (r^(3))(3))\right|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2).)

Tijă subțire (axa trece prin capăt)

Derivarea formulei

Când deplasați axa de rotație de la mijlocul tijei până la capătul acesteia, centrul de greutate al tijei se mișcă față de axă cu o distanță ⁄2. Conform teoremei Steiner, noul moment de inerție va fi egal cu

J \u003d J 0 + m r 2 \u003d J 0 + m (l 2) 2 \u003d 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 \u003d 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\right)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Momente de inerție fără dimensiuni ale planetelor și sateliților

De mare importanță pentru studiile structurii interne a planetelor și a sateliților lor sunt momentele lor de inerție fără dimensiuni. Momentul de inerție adimensional al unui corp cu rază r si masele m este egal cu raportul dintre momentul său de inerție în jurul axei de rotație și momentul de inerție punct material aceeași masă față de o axă fixă ​​de rotație situată la distanță r(egal cu Domnul 2). Această valoare reflectă distribuția masei în adâncime. Una dintre metodele de măsurare a acesteia pentru planete și sateliți este de a determina deplasarea Doppler a semnalului radio transmis de AMS care zboară în jurul unei planete sau satelit dat. Pentru o sferă cu pereți subțiri, momentul de inerție adimensional este egal cu 2/3 (~0,67), pentru o bilă omogenă - 0,4 și, în general, cu cât este mai mică, cu atât masa corpului este mai mare concentrată în centrul său. De exemplu, Luna are un moment de inerție adimensional apropiat de 0,4 (egal cu 0,391), deci se presupune că este relativ omogenă, densitatea ei se modifică puțin cu adâncimea. Momentul de inerție adimensional al Pământului este mai mic decât cel al unei bile omogene (egal cu 0,335), ceea ce este un argument în favoarea existenței unui nucleu dens în el.

moment de inerție centrifugal

Momentele de inerție centrifuge ale unui corp față de axele unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare sunt următoarele mărimi:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)

Unde X , yși z- coordonatele unui element mic al corpului cu volum dV, densitatea ρ și masa dm .

Se numește axa OX axa principală de inerție a corpului dacă momentele de inerţie centrifuge Jxyși Jxz sunt simultan zero. Prin fiecare punct al corpului pot fi trasate trei axe principale de inerție. Aceste axe sunt reciproc perpendiculare între ele. Momente de inerție ale corpului raportat la cele trei axe principale de inerție desenate într-un punct arbitrar O corpurile sunt numite principalele momente de inerție a acestui corp.

Se numesc axele principale de inerție care trec prin centrul de masă al corpului principalele axe centrale de inerție ale corpului, iar momentele de inerție despre aceste axe sunt ale sale principalele momente centrale de inerție. Axa de simetrie a unui corp omogen este întotdeauna una dintre principalele sale axe centrale de inerție.

Momente geometrice de inerție

Momentul geometric de inerție al volumului

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

unde, ca înainte r- distanta fata de element dV la axa A .

Momentul geometric de inerție al ariei relativ la axă - caracteristica geometrică a corpului, exprimată prin formula:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

unde integrarea se realizează pe suprafaţă S, A dS este un element al acestei suprafeţe.

Dimensiune J Sa- lungimea la a patra putere ( d i l J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), respectiv, unitatea SI este 4. În calculele de construcție, literatură și sortimente de metal laminat, este adesea indicat în cm 4.

Prin momentul geometric de inerție al zonei, momentul rezistenței secțiunii se exprimă:

W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)

Aici rmax- distanta maxima de la suprafata la axa.

Momentele geometrice de inerție ale zonei unor figuri
Înălțimea dreptunghiului h (\displaystyle h)și lățimea b (\displaystyle b): J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))

J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
Înălțimea și lățimea secțiunii cutiei dreptunghiulare de-a lungul contururilor exterioare H (\displaystyle H)și B (\displaystyle B), iar pentru intern h (\displaystyle h)și b (\displaystyle b) respectiv J z = B H 3 12 - b h 3 12 = 1 12 (B H 3 - b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))

J y = H B 3 12 - h b 3 12 = 1 12 (H B 3 - h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
Diametrul cercului d (\displaystyle d) J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

Moment de inerție față de un avion

moment de inerție corp solid relativ la un anumit plan se numeste o marime scalara, egala cu suma produselor masei fiecarui punct al corpului si patratul distantei de la acest punct la planul in cauza.

Dacă printr-un punct arbitrar O (\displaystyle O) desenați axele de coordonate x , y , z (\displaystyle x,y,z), apoi momentele de inerție față de planurile de coordonate x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz)și zO x (\displaystyle zOx) vor fi exprimate prin formulele:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\.)

În cazul unui corp solid, însumarea este înlocuită de integrare.

Momentul central de inerție

Momentul central de inerție (moment de inerție față de punctul O, moment de inerție față de pol, moment polar de inerție) J O (\displaystyle J_(O)) este valoarea determinată de expresia:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

Momentul central de inerție poate fi exprimat prin momentele de inerție axiale principale, precum și prin momentele de inerție față de planuri:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \dreapta),) J O = J x O y + J y O z + J x O z . (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

Tensor de inerție și elipsoid de inerție

Momentul de inerție al unui corp în jurul unei axe arbitrare care trece prin centrul de masă și are o direcție dată de un vector unitar s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x), s_(y), s_(z)\dreapta\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\right\vert=1), poate fi reprezentat ca formă pătratică (bilineară):

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad ) (1)

unde este tensorul de inerție. Matricea tensorului de inerție este simetrică, are dimensiuni 3 × 3 (\displaystyle 3\times 3)și constă din componentele momentelor centrifuge:

J ^ = ‖ J x x - J x y - J x z - J y x J y y - J y z - J z x - J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(array) )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(array))\right\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\quad )J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m , J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m , J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m . (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _((m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

Prin alegerea unui sistem de coordonate adecvat, matricea tensorului de inerție poate fi redusă la o formă diagonală. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvăm problema cu valori proprii pentru matricea tensorială J ^ (\displaystyle (\pălărie(J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displaystyle (\pălărie (J))_(d)=(\pălărie (Q))^(T)\cdot (\pălărie (J))\ cdot(\hat(Q)),) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\begin(array)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\end(array))\right\Vert ,)

Unde Q ^ (\displaystyle (\pălărie(Q)))- matricea ortogonală de tranziție la baza proprie de tensor de inerție. În propria bază, axele de coordonate sunt direcționate de-a lungul axelor principale ale tensorului de inerție și, de asemenea, coincid cu semiaxele principale ale elipsoidului tensorului de inerție. Cantitati J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z)) sunt principalele momente de inerție. Expresia (1) în propriul sistem de coordonate are forma:

Eu s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , (\displaystyle I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y) )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

de unde se obţine ecuaţia elipsoidului în coordonate proprii. Împărțirea ambelor părți ale ecuației cu eu s (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))) ))\right)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Z)=1)

și efectuarea înlocuirilor:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y) ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)

obţinem forma canonică a ecuaţiei elipsoidului în coordonate ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)

Distanța de la centrul elipsoidului la unele dintre punctele sale este legată de valoarea momentului de inerție al corpului de-a lungul unei linii drepte care trece prin centrul elipsoidului și acest punct.

Pagina curentă: 3 (totalul cărții are 9 pagini) [extras de lectură accesibil: 7 pagini]

Font:

100% +

22. Momentul static al secțiunii

Calculele de rezistență arată că efortul și deformarea care apar într-un corp solid depind de factorii de forță interni și de caracteristicile geometrice ale secțiunii transversale. În tensiune, de exemplu, tensiunea depinde de aria secțiunii transversale și, deoarece tensiunea în acest caz este distribuită uniform pe secțiune, nu depinde de forma secțiunii. În timpul torsiunii, tensiunile depind de mărimea și forma secțiunii datorită distribuției neuniforme a tensiunilor. Formulele de calcul ale grinzii în torsiune includ moment polar de inerție eu pși moment polar de rezistență W p- caracteristicile geometrice ale secțiunii. Atunci când se calculează rezistența unei grinzi la încovoiere, este necesar să se cunoască momentele de inerție și momentele de rezistență la secțiune față de axele care trec prin centrul de greutate al grinzii. Să luăm în considerare o anumită secțiune a unui fascicul cu o zonă Ași o axă care trece prin centrul de greutate al acestui corp. Momentul static al unei secțiuni plane despre unele axe X este suma produselor ariilor ariilor elementare care alcatuiesc sectiunea, prin distantele acestor zone fata de axa care trece prin centrul de greutate. La fel și pentru axă y.



Momentul static se măsoară în metri cubi. Poate fi pozitiv, negativ sau zero, în funcție de axa selectată. Dacă momentele statice și aria secțiunii transversale sunt cunoscute, atunci coordonatele centrului de greutate pot fi determinate ca raport dintre momentul static și aria secțiunii transversale. Și invers, dacă sunt cunoscute coordonatele centrului de greutate al secțiunii - x c , y c, momentul static este egal cu produsul dintre aria secțiunii transversale și distanța de la centrul de greutate la axă.

S x=ai c

Sy=Toporul c

Din relațiile obținute se poate observa că în cazul în care axa trece prin centrul de greutate, momentul static este zero.

În cazul în care secțiunea transversală poate fi considerată ca n-al-lea număr de piese componente cu suprafețe cunoscute A iși coordonatele centrelor de greutate x i, y i, poziția întregului centru de greutate poate fi definită ca suma produselor:



Fiecare termen din numărător determină momentul static al acestei secțiuni în raport cu axa selectată.

23. Momentul de inerție al secțiunii

Momentul de inerție axial (sau ecuatorial) al unei secțiuni plane despre unele axe X este suma produselor ariilor ariilor elementare care alcătuiesc secțiunea transversală cu pătratul distanței acestor zone față de axa care trece prin centrul de greutate. Astfel, momentele axiale sunt integrale pe toată suprafața secțiunii.



Momentul polar de inerție relativ la un punct (pol) este suma produselor ariilor ariilor elementare care alcătuiesc secțiunea, cu pătratul distanței acestor zone până la punctul selectat.



moment de inerție centrifugal faţă de vreo două axe reciproc perpendiculare este suma produselor ariilor elementare care alcătuiesc secţiunea, cu distanţele acestor zone faţă de aceste axe.



Momentele de inerție se măsoară în m 4 . Momentele axiale și polare de inerție pot fi doar pozitive, deoarece pentru orice semn al coordonatei, pătratul acestei coordonate este luat în formulă. Momentul de inerție centrifugal poate fi pozitiv, negativ sau zero.

Suma momentelor axiale de inerție în jurul a două axe reciproc perpendiculare este egală cu momentul polar de inerție în jurul punctului în care aceste axe se intersectează.

eu ρ = eu X +eu y

Într-adevăr, ρ este distanța de la aria elementară a secțiunii până la un punct, este definită ca ipotenuza unui triunghi cu laturile Xși y.

ρ 2 = X 2 + y 2

Inlocuim aceasta relatie in expresia pentru momentul polar de inertie si obtinem:


24. Momentele de inerție ale secțiunilor simple

Luați în considerare momentele de inerție ale unor figuri simple.

Un cerc. eu ρ = eu x +eu y . Deoarece cercul este o figură simetrică, atunci I x = I y. Prin urmare, eu p = 2 eu x. Pe baza definiției momentului polar de inerție și a relației dintre momentul polar de inerție și momentele axiale de inerție în cazul unui cerc, avem:



Pentru inele diametru d si diametrul interior d 0



Semicerc. Principalele axe centrale sunt axa de simetrie a acestui semicerc și axa perpendiculară pe acesta. Pentru un semicerc, momentul de inerție este jumătate din cel al unui cerc pentru aceeași axă. Dacă desemnăm X 1 axa de bază, atunci



Din relația care leagă momentele de inerție ale axelor paralele, dintre care una este centrală, și, cunoscând valoarea ordonatei centrului de greutate al semicercului y c ≈ 0.424r puteți determina momentele de inerție ale semicercului:



Dreptunghi. Să definim momentul de inerție eu x1, care coincide cu baza dreptunghiului și luați în considerare secțiunea A ca suma dreptunghiurilor elementare ale lăţimii b si inaltime dy 1 , A=bdy 1



Pentru momentele de inerție ale axelor paralele, dintre care una este centrală, eu X =I x1 – a 2 A. În acest caz, distanța A=h/ 2, A=bh, momentul de inerție față de axe Xși y

eu X = bh 3 / 12

eu y = hb 3 / 12

În cazul particular al unui pătrat

eu X =eu y = b 4 / 12

Pentru triunghi calculați momentul de inerție eu x1, în raport cu axa X 1 , care coincide cu baza, și pentru aceasta considerăm secțiunea ca sumă a dreptunghiurilor elementare de lățime b. După efectuarea transformărilor matematice, găsim valoarea eu X = bh 3 / 12. Momentul de inerție față de axa centrală este eu X =Ix1-a 2 b, în acest caz A=h/ 3,A= (1 / 2)bh. Ca rezultat, obținem:

eu X =bh 3 / 12 – (h/3) 3 (1 / 2)bh= bh 3 / 36

În general, axa X nu este principala

eu y= bh 3 / 48

25. Relația dintre momentele de inerție față de axe paralele

Să stabilim relația dintre momentele de inerție în jurul axelor paralele, dintre care una este centrală. Pentru a face acest lucru, luați în considerare o secțiune transversală cu o zonă DAR. (Fig. 10) Să presupunem că sunt cunoscute coordonatele centrului de greutate al secțiunii Cși momente de inerție eu xc, eu Y c raportat la axele centrale x c, y c. În acest caz, este posibil să se determine momentele de inerție în jurul axelor Xși y, paralel cu centralul și îndepărtat de central la distanță Ași b respectiv. Scriem relația pentru coordonatele axelor paralele:

X= x c+b

y= Y c+A

Apoi momentul de inerție al secțiunii în jurul axei X va fi scris sub forma:



În această expresie, primul termen este momentul de inerție în jurul axei X c, în al doilea termen integrala reprezintă momentul static (și raportat la axa centrală momentul static este întotdeauna zero), al treilea termen este aria secțiunii transversale înmulțită cu pătratul distanței dintre axe A. În acest fel:

eu X = eu xc + A 2 A

eu y = eu Y c + b 2 A

Momentul de inerție în jurul oricărei axe este egal cu suma momentului de inerție în jurul axei centrale paralele cu cea dată și produsul ariei secțiunii transversale a figurii cu pătratul distanței. între axe.

Am obținut o relație pentru momentele de inerție față de axele centrale în trecerea la cele necentrale paralele cu acestea. Aceste relații sunt numite și formule de transfer paralel.

Din formulele obținute, este clar că momentul de inerție în jurul axei centrale este întotdeauna mai mic decât momentul de inerție al oricărui non-central paralel cu aceasta.


26. Axele principale de inerție și momentele principale de inerție

Un număr infinit de perechi de axe reciproc perpendiculare pot fi trasate prin orice punct al planului de secțiune. Deoarece suma a două momente axiale de inerție ale secțiunii este un moment polar și este valoare constantă, apoi prin deplasarea sistemului de coordonate, este posibil să alegeți o astfel de poziție a axelor în care unul dintre momentele de inerție selectate va fi maxim, iar al doilea - minim. Luați în considerare relația dintre momentele de inerție față de axe x 0, y 0 și momente de inerție față de axe Xși y, rotit printr-un unghi α în raport cu x 0, y 0 . Să găsim astfel de valori ale unghiului α la care momentele de inerție ale axelor perpendiculare își vor lua valorile maxime și minime. Pentru a face acest lucru, găsim prima derivată în raport cu unghiul de rotație de la eu X , eu yși echivalează-l cu zero ( regula matematica găsirea extremelor funcţiei).



După transformări, raportul va lua forma:



Formula rezultată determină poziția a două axe reciproc perpendiculare, momentul de inerție față de una dintre ele este maxim, momentul de inerție față de cealaltă este minim. Se numesc astfel de axe axele principale de inerție. Momentele de inerție despre astfel de axe se numesc principalele momente de inerție. În acest caz, momentul centrifugal este zero.

Axele care trec prin centrul de greutate al secțiunii se numesc axe centrale. În calculele practice, sunt de interes principalele momente de inerție despre axele centrale, se numesc principalele momente centrale de inerție, și astfel de topoare axele centrale principale. Deoarece doar axele centrale sunt de interes, ele sunt pur și simplu denumite axe principale pentru concizie, iar momentele axiale de inerție calculate în raport cu astfel de axe sunt denumite pur și simplu momentele principale de inerție.

Una dintre principalele axe de inerție este axa care trece prin centrul de simetrie al planului de secțiune, a doua este perpendiculară pe aceasta. Axa de simetrie și orice perpendiculară pe aceasta formează un sistem de axe principale. Dacă secțiunea are mai multe axe de simetrie (de exemplu, un cerc, un pătrat, un triunghi echilateral), atunci toate axele centrale sunt principale și toate momentele centrale sunt egale.

27. Calculul momentelor de inerție ale secțiunilor complexe

Pentru a afla momentul de inerție al unei secțiuni complexe cu o zonă A secțiunea este împărțită în simplă A 1 , A 2 , … A n, pentru care momentele de inerție se găsesc după formule sau tabele gata făcute.

Momentul de inerție al unei figuri complexe se găsește ca suma momentelor de inerție care alcătuiesc figurile simple.

eu X = eu X 1 + eu X 2 +… + eu xn

Momentul de inerție este integrala peste aria secțiunii transversale,



pentru integrală este adevărat:



Prin urmare, se poate scrie că:



Cu alte cuvinte, momentul de inerție al unei secțiuni compozite în jurul unei axe este suma momentelor de inerție ale componentelor acestei secțiuni în jurul aceleiași axe.

La rezolvarea unor probleme de acest fel se urmează următorul algoritm. Găsiți centrul de greutate al unei secțiuni plane și determinați axele centrale principale. Din tabele sau folosind formule gata făcute, valorile momentelor de inerție ale părților constitutive sunt calculate în raport cu propriile axe centrale paralele cu axele centrale principale ale secțiunii. Folosind formulele de transfer paralel, se calculează valorile momentelor de inerție ale părților constitutive ale secțiunii în raport cu axele principale ale secțiunii. Prin însumare se determină valorile principalelor momente centrale de inerție.

Această regulă este valabilă și pentru momentul de inerție centrifugal.

28. Conceptul de cuplu

Torsiunea este unul dintre tipurile de deformare a grinzii, în care un factor de forță intern apare în secțiunea transversală a grinzii, numit cuplu Mk. Acest tip de deformare apare atunci când asupra fasciculului acționează o pereche de forțe, numite momente de torsiune M aplicat perpendicular pe axa sa longitudinală.

O bară încărcată cu cupluri se numește arbore. Suma cuplurilor care acționează asupra arborelui este zero dacă arborele se rotește uniform. Cuplul poate fi determinat prin formula, cu condiția ca puterea transmisă să fie cunoscută Pși viteza unghiulară w.



Cu o frecvență de rotație cunoscută a arborelui, viteza unghiulară poate fi scrisă ca



Prin urmare, expresia cuplului poate fi scrisă astfel:



În calculele practice, un obiect real este înlocuit cu o schemă de calcul. Pentru a simplifica problema, se presupune că momentele de rotație sunt concentrate în secțiunea mijlocie a pieselor și nu sunt distribuite pe suprafața lor. În secțiunea unui arbore arbitrar, cuplul poate fi determinat folosind metoda secțiunilor, atunci când arborele este tăiat mental de un plan. Una dintre piese este aruncată și influența sa este înlocuită cu cuplul Mk, apoi se determină din ecuațiile de echilibru. Valoarea numerică a cuplului este suma cuplurilor care se află pe o parte a secțiunii.

În secțiunile transversale ale grinzii în timpul torsii apar doar tensiuni tangenţiale, forțe normale sunt paralele cu axa longitudinală a grinzii și momentele lor sunt egale cu zero. Prin urmare, definiția cuplului poate fi formulată după cum urmează: cuplul este momentul rezultat al forțelor tangențiale interne care apar în secțiunea transversală a grinzii în raport cu axa sa longitudinală.

La calcularea rezistenței în cazul torsiunii grinzii, este necesar să se găsească secțiunea periculoasă a grinzii. Dacă dimensiunile secțiunii transversale de-a lungul axei grinzii sunt neschimbate, atunci secțiunile cu cuplul maxim sunt considerate periculoase. Pentru a găsi secțiuni periculoase, se construiesc diagrame de cuplu (grafice ale modificărilor cuplului de-a lungul lungimii fasciculului). La construirea diagramelor, se obișnuiește să presupunem că cuplul este pozitiv dacă direcția acestuia coincide cu sensul acelor de ceasornic, dacă vă uitați la secțiunea desenată. Această ipoteză este arbitrară, deoarece semnul cuplului nu are semnificație fizică.

29. Determinarea tensiunilor la torsiune a unui arbore rotund

Când se studiază torsiunea arborilor, au loc următoarele ipoteze:

– ipoteza secțiunilor plane: secțiunile transversale plane ale grinzii după deformare rămân și ele plane și îndreptate de-a lungul normalei la axa acesteia, rotindu-se la un anumit unghi față de această axă;

- razele secțiunilor transversale nu sunt curbe, iar lungimea lor rămâne constantă;

- de-a lungul axei fasciculului, distanțele dintre secțiunile transversale rămân constante.

Pe baza ipotezelor de mai sus, torsiunea unui arbore rotund poate fi considerată ca o forfecare pură. Formulele obţinute pe baza acestor ipoteze sunt confirmate experimental.

Luați în considerare torsiunea unei secțiuni a unui fascicul circular cu o rază r lung dz. Unul dintre capete va fi considerat fix.



Când este rotit printr-un unghi a în secțiune transversală, unghiul de forfecare care se află pe suprafața unui astfel de arbore este determinat de formula:



Atitudine unghi complet răsucirea pe secțiunea arborelui până la lungimea sa se numește unghi relativ de răsucire.

Să identificăm mental un cilindru cu o rază ρ în secțiunea considerată a arborelui, unghiul de forfecare pentru suprafața acestui cilindru este determinat în mod similar:



Conform legii lui Hooke, în cazul forfecării, eforturile de forfecare sunt egale cu:



Astfel, în timpul torsiunii, eforturile de forfecare sunt direct proporționale cu distanța de la centrul de greutate al secțiunii, iar la centrul de greutate, tensiunile de forfecare sunt egale cu zero. Apropiindu-se de suprafața arborelui, își iau valorile maxime.

30. Calculul momentelor transmise arborelui

Luați în considerare torsiunea unei secțiuni a unui arbore rotund cu un diametru r si lungime dz. Scoatem în el un cilindru cu diametrul ρ. Deoarece torsiunea este forfecare pură, tensiunile normale sunt zero, iar tensiunile tăietoare atunci când sunt rotite prin unghiul α sunt distribuite după cum urmează:



Cuplul este definit ca:



DAR- arie a secțiunii transversale. Înlocuind efortul de forfecare în această expresie și ținând cont de faptul că integrala razei peste zona secțiunii este momentul polar de inerție al secțiunii , primim:



Înlocuind această expresie în formula pentru tensiunile de forfecare, obținem:



Astfel, tensiunile de forfecare sunt definite ca produsul dintre cuplul și raza, împărțit la momentul polar al secțiunii. Este clar că pentru punctele aflate la distanțe egale față de axă, tensiunile de forfecare sunt egale, valorile maxime ale tensiunii sunt în punctele situate pe suprafața arborelui.



Aici este momentul de torsiune polar de rezistenta.

Pentru secțiunea rotundă



Condiția de rezistență la torsiune este următoarea:



[τ] este efortul de forfecare maxim admisibil.

Această formulă vă permite, de asemenea, să determinați cuplul admisibil sau să selectați diametrul permis al arborelui.

31, Deformare la torsiune. Energie potențială

În procesul de torsiune, cuplurile se rotesc împreună cu secțiunea transversală printr-un anumit unghi și, în același timp, efectuează un lucru care, ca și în alte tipuri de deformare, este cheltuit pentru a crea o anumită rezervă de energie potențială în corpul supus. deformare și este determinată de formula:



Acest raport rezultă din dependență liniară cuplu M la din unghiul de rotație φ.



Când se aplică o sarcină, cuplul crește treptat, în timp ce în conformitate cu legea lui Hooke, unghiul de rotație crește proporțional. Lucrul efectuat de cuplu este egal cu energia potențială de deformare conform legii conservării energiei, prin urmare,



Dacă înlocuim formula cunoscută pentru unghiul de răsucire în raportul rezultat, atunci expresia va lua forma:



Cu o schimbare treptată a cuplului sau a secțiunii transversale a fasciculului energie potențială este suma:



Dacă cuplul sau momentele polare (sau ambele în același timp) se modifică continuu pe lungimea secțiunilor fasciculului, atunci energia potențială este o integrală de-a lungul lungimii


32. Calculul arcurilor elicoidale

În inginerie mecanică și instrumentare, arcuri elicoidale sunt utilizate pe scară largă, care pot fi cilindrice, în formă de con sau în formă. Cele mai des folosite arcuri sunt cilindrice, din sarma cu sectiune rotunda: arcuri de prelungire (fabricate fara goluri intre bobine) si arcuri de compresie (cu decalaj). Pentru a simplifica calculul arcurilor pentru rigiditate și rezistență, vom presupune că unghiul de înclinare al bobinelor este atât de mic încât poate fi neglijat, iar secțiunea de-a lungul axei arcului este considerată transversală pentru bobină. Din condițiile de echilibru pentru partea tăiată a arcului, este clar că în secțiune apar doi factori de forță interni: forța transversală Q y = Fși cuplul M la = FD / 2, adică numai solicitări tangenţiale apar în secţiunea bobinei. Vom presupune că eforturile tăietoare asociate cu forța transversală sunt distribuite uniform pe secțiune, iar forțele tăietoare asociate prezenței unui cuplu sunt distribuite conform unei legi liniare și ating valorile maxime în punctele extreme ale secțiune. Punctul cel mai apropiat de axa arcului va fi cel mai solicitat, tensiunea pentru acesta este egală cu:



Raportul dintre diametrul arcului și diametrul firului se numește indice al arcului,

c n =D/d



Formula rezultată este aproximativă datorită neglijării influenței forței transversale și datorită faptului că curbura bobinelor nu este luată în considerare. Să introducem un factor de corecție La, in functie de indicele arcului si de unghiul de inclinare al spirelor. Atunci condiția de forță ia forma:



Când se aplică o sarcină, arcul își schimbă lungimea. Această schimbare se numește pescaj de primăvarăλ. Să stabilim cu ce tiraj este egal dacă bobinele suferă doar torsiune. Conform formulei Clapeyron, munca forțelor statice externe este:



Energia potențială de deformare



În acest caz



Unde l- lungimea secțiunii considerate a arcului;

n- numărul de ture.

După efectuarea înlocuirii și transformărilor matematice, obținem că:


33. Deplasări și tensiuni în arcuri elicoidale

Arcurile elicoidale sunt utilizate pe scară largă în inginerie mecanică ca dispozitive de absorbție a șocurilor sau dispozitive de alimentare inversă. Calculul arcurilor elicoidale demonstrează bine metoda de determinare a deplasărilor. Arcurile elicoidale sunt împărțite în arcuri de tracțiune, compresie și torsiune. Arcurile de tractiune si compresie sunt incarcate de forte care actioneaza de-a lungul axei arcului, arcurile de torsiune sunt incarcate de momente situate intr-un plan perpendicular pe axa arcului.

Un arc răsucit poate fi considerat ca o tijă îndoită spațial cu o axă elicoidală. Forma arcului se caracterizează prin următorii parametri: diametrul arcului D, numărul de ture n, unghi de elevație θ și smoală de primăvară s definit prin formula:

s= π dtgθ

De obicei, pasul arcului este mult mai mic decât π D, unghiul θ este destul de mic (mai mic de 5°).

Luați în considerare un arc de tracțiune-compresie. Sub influența sarcinii externe Rîn fiecare secțiune transversală, un rezultat Forta interioara R si moment M=PD / 2, situată în planul de acțiune al forțelor R. Pe Fig. 13 prezintă forțele care acționează în secțiunea transversală a arcului.



proiecții forță deplinăși momentul relativ la sistemul de coordonate asociat secțiunii sunt descrise prin următoarele relații:

M la = (PD/ 2) × cosθ,

M afară= (PD / 2) × sinθ,

Q=P× cosθ,

N=P× sinθ.

Să ne asumăm puterea R este egal cu 1, atunci rapoartele pentru forțe și momente vor lua forma:

M k1 = (D/ 2) × cosθ,

M izg1 = (D/ 2) × sinθ,

Q 1 = cosθ,

N 1 = sinθ.

Să găsim deplasarea axială în primăvară folosind integrala lui Mohr. Ținând cont de micimea deplasărilor cauzate de forțele normale și transversale, precum și de deplasarea axială, în acest caz, integrala Mohr se scrie după cum urmează:



unde produsul din numitor este rigiditatea la torsiune a arcului;

l este lungimea părții de lucru a arcului;

l≈ π Dn

Datorită micşorării unghiului de înclinare a spirelor θ presupunem că cos θ = 1, atunci



Tensiunile în arcurile elicoidale care funcționează în compresie-tensiune sau torsiune se determină după cum urmează.

Rezultatul calculelor depinde nu numai de aria secțiunii transversale, prin urmare, la rezolvarea problemelor privind rezistența materialelor, nu se poate face fără a determina caracteristicile geometrice ale figurilor: momente de inerție statice, axiale, polare și centrifuge. Este imperativ să se poată determina poziția centrului de greutate al secțiunii (caracteristicile geometrice enumerate depind de poziția centrului de greutate). Pe lângă caracteristicile geometrice ale formelor simple: dreptunghi, pătrat, isoscel și triunghiuri dreptunghiulare, cerc, semicerc. Sunt indicate centrul de greutate și poziția axelor centrale principale, iar caracteristicile geometrice sunt determinate în raport cu acestea, cu condiția ca materialul grinzii să fie omogen.

Caracteristicile geometrice ale unui dreptunghi și ale unui pătrat

Momentele axiale de inerție ale unui dreptunghi (pătrat)

Caracteristicile geometrice ale unui triunghi dreptunghic

Momentele axiale de inerție ale unui triunghi dreptunghic

Caracteristicile geometrice ale unui triunghi isoscel

Momentele axiale de inerție ale unui triunghi isoscel

05-12-2012: Adolf Stalin

Ar fi frumos să explic cu un exemplu clar pentru cei deosebit de înzestrați, ca mine, care este momentul de inerție și cu ce se mănâncă. Pe site-urile de specialitate totul este cumva foarte confuz, iar Doc are un talent clar de a aduce informații, poate nu cele mai complicate, dar foarte competent și clar

05-12-2012: Dr. Lom

În principiu, care este momentul de inerție și de unde provine este explicat suficient de detaliat în articolul „Fundamentele rezistenței materialelor, formule de calcul”, aici voi repeta doar: „W este momentul de rezistență al crucii grinzii. secțiune, cu alte cuvinte, aria părții compresibile sau de tracțiune a secțiunii grinzii, înmulțită cu brațul forței rezultante. Momentul de rezistență trebuie cunoscut pentru calculele de rezistență ale structurii, adică. pentru tensiuni limită. Momentul de inerție trebuie cunoscut pentru a determina unghiurile de rotație ale secțiunii transversale și deformarea (deplasarea) centrului de greutate al secțiunii transversale, deoarece deformațiile maxime apar în straturile superioare și inferioare ale structurii de îndoire, apoi momentul de inerție poate fi determinat prin înmulțirea momentului de rezistență cu distanța de la secțiunea centrului de greutate până la stratul superior sau inferior, prin urmare, pentru secțiuni dreptunghiulare I=Wh/2. La determinarea momentului de inerție al secțiunilor de forme geometrice complexe, mai întâi figura complexă este împărțită în unele simple, apoi se determină ariile secțiunii transversale ale acestor figuri și momentele de inerție ale celor mai simple figuri, apoi ariile celor mai simple. figurile se înmulțesc cu pătratul distanței de la centrul de greutate comun al secțiunii la centrul de greutate al celei mai simple figuri. Momentul de inerție al figurii celei mai simple din compoziția unei secțiuni complexe este egal cu momentul de inerție al figurii + pătratul distanței înmulțit cu aria. Apoi se însumează momentele de inerție obținute și se obține momentul de inerție al unei secțiuni complexe. Dar acestea sunt cele mai simplificate formulări (deși, sunt de acord, încă pare destul de complicat). Cu timpul, voi scrie un articol separat.

20-04-2013: Petr

Nu trebuie să aveți încredere completă în informațiile furnizate în site-uri. Nimeni nu o verifică cu adevărat. Și nu există link-uri către el. Deci, în Tabelul 1. „Forme de secțiune, zone de secțiune transversală, momente de inerție și momente de rezistență pentru structuri cu forme geometrice destul de simple” pentru o țeavă cu pereți subțiri, se determină că raportul dintre diametru și grosimea Shell ar trebui să fie mai mult de 10. Conform altor surse - ar trebui să fie mai mult de 20!!! (N.M. Belyaev. Rezistența materialelor. M.1996. p.160. sau N.I. Bezukhov. Fundamentele teoriei elasticității, plasticității și fluajului. M.1961.p.390)

21-04-2013: Dr. Lom

Dreapta. Nu poate fi de încredere. Dar gandire logica pana acum nimeni nu a anulat. Cea mai corectă opțiune este să calculați momentul de inerție sau momentul de rezistență pentru orice țeavă folosind formulele date pentru o țeavă obișnuită (1 punct mai mare). Formulele date pentru o țeavă cu pereți subțiri, în orice caz, vor fi aproximative și sunt potrivite doar pentru calculul inițial, iar acest lucru nu trebuie uitat.
Cu toate acestea, parametrii grosimii maxime admisibile a peretelui au fost corectați.

25-06-2013: Sanya

este necesar să se determine momentul de inerție pentru o secțiune complexă nestandard. sectiune: dreptunghi cu doua caneluri. arată ca litera „Sh”. incapabil sa gasesc nicio informatie. As fi recunoscator pentru orice informatie

25-06-2013: Dr. Lom

Consultați articolul „Calculul rezistenței profilului de tavan pentru gips-carton” (http://website/item249.html)
acolo, în special, se determină momentul de inerție, care, de asemenea, nu este o secțiune chiar simplă.

04-11-2014: Dr. Lom

Formula din sursa pe care ați citat-o ​​este incorectă (poate fi folosită doar pentru calcule aproximative) și este ușor să verificați acest lucru.
Pentru a determina momentul de inerție al secțiunii țevii, este suficient să scădem din momentul de inerție al tijei rotunde (aici diametrul exterior al țevii este utilizat în calcule) momentul de inerție al găurii (diametrul interior, deoarece nu există material în interiorul țevii, de aceea este țeavă). După cele mai simple transformări matematice, vom obține formula momentului de inerție al conductei, prezentată în tabel.
Și pentru a determina momentul de rezistență, trebuie să împărțiți momentul de inerție la distanța maximă de la centrul de greutate până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii, respectiv, cu D / 2 sau înmulțiți cu 2 / D.
Ca urmare, este imposibil să obțineți formula pe care ați specificat-o și cu cât peretele țevii este mai gros, cu atât eroarea va fi mai mare atunci când utilizați această formulă.

04-11-2014: Radik

Multumesc doc!

11-11-2014: Ilgam

Nu am putut găsi informații despre unitățile (mm, cm, m) în care sunt toate valorile din formule.
Am încercat să calculez Wz pentru un colț de 210x90mm (dacă tăiați raftul superior pentru un canal 24P), a rezultat 667,5 cm3, cu condiția ca toate valorile să fie în cm.
De exemplu, pentru o bară de canal. 24P (înainte de a tăia raftul) Wx (Wz) \u003d 243 cm3.

11-11-2014: Dr. Lom

aceasta formule generale. În ce unități înlocuiți valorile, în așa și veți obține rezultatul, doar de la sine deja în cubic. Dar dacă ați început să înlocuiți, de exemplu, în centimetri, atunci ar trebui să continuați așa.
Pentru un canal fără flanșă, modulul de rezistență implicit nu poate fi mai mare decât pentru un canal întreg. Pentru o determinare aproximativă a momentului de rezistență al unui canal fără flanșă, puteți utiliza formulele pentru un unghi inegal (numai pentru a determina Wz, aceste formule nu vor funcționa pentru Wy).

04-01-2015: Valerij

Dacă secțiunea țevii este slăbită de mai multe găuri semnificative, cum să țineți cont de acest lucru atunci când calculați momentul de inerție și momentul de rezistență? Țeavă 32,39 cm și 9 găuri în ea. diametru 2,8 cm în secțiune transversală (pas de 10 cm pe lungimea conductei).

05-01-2015: Dr. Lom

Pentru a determina momentul de inerție, trebuie să scădeți momentul de inerție al găurii dvs. din momentul de inerție al țevii. Pentru a face acest lucru, trebuie să determinați aria secțiunii transversale a găurii și apoi să o înmulțiți cu pătratul distanței până la centrul țevii plus momentul de inerție al găurii. Mai multe detalii în articolul „Momente de inerție ale secțiunilor transversale”.
Dacă calculul nu necesită o precizie specială și diametrul găurii este de 5 ori mai mic decât diametrul țevii (ca și cazul dvs., dacă 32,39 este diametrul exterior), atunci segmentul găurii poate fi redus la un dreptunghi. Dacă gaura nu trece, atunci poziția centrului de greutate al țevii cu gaura trebuie determinată suplimentar pentru a calcula apoi o nouă valoare a momentului de rezistență.
Dar asta nu este tot. Ar trebui să țineți cont de faptul că în apropierea găurilor apar solicitări locale semnificative.

09-10-2015: Boris

Un colț inegal. Când se calculează Wy, nu y, ci H-y

09-10-2015: Dr. Lom

Nu înțeleg ce vrei să spui. Definiția momentului de rezistență relativ la axa y nu este deloc dată în tabele.

09-10-2015: bors

Pentru triunghiuri când se calculează Wzp h pătrat.

09-10-2015: Boris

09-10-2015: Dr. Lom

În regulă. Acum înțeleg ce vrei să spui. Mai corect ar fi să indicam momentul de rezistență pentru părțile superioare și inferioare ale secțiunii, dar am indicat doar pentru cea inferioară. Ei bine, atunci când se determină momentul de rezistență al triunghiurilor, un pătrat este neglijat.
Corectat. Vă mulțumim pentru atenție.

28-04-2016: Jama

Salut! Cine poate ajuta cu privire la corectitudinea calculului http://ej.kubagro.ru/2011/02/pdf/19.pdf
Nu pot înțelege de unde se ia valoarea din momentul rezistenței. Ajuta-ma te rog! 21-03-2017: igor

salut Serghei. Am citit câteva din articolele dvs., foarte interesante și de înțeles (în mare parte).Aș dori să calculez un I-beam, dar nu găsesc Ix și Wx. adevarul este ca nu este standard, o voi face singur, din lemn.Ma puteti ajuta? Voi plăti.numai că nu voi putea plăti prin mijloace electronice. Nu știu cum să-l folosesc.

21-03-2017: Dr. Lom

Igor, ți-am trimis o scrisoare.

30-08-2017: Ali

Dragă doctor, vă doresc toate cele bune. Vă rugăm să ajutați, ce formule sunt necesare pentru a selecta și testa rezistența unui fascicul din următoarele secțiuni: Canal, unghi și profil bulb, având un moment de rezistență admisibil W = 58,58cm3. multumesc mult si astept ajutorul tau.

31-08-2017: Dr. Lom

Priviți articolul „Calculul grinzilor de oțel cu o singură travă cu suporturi articulate în îndoire conform SP 16.13330.2011”, totul este descris suficient de detaliat acolo.

13-11-2017: Abduahad

Bună ziua, vă rog să-mi spuneți de ce Ql ^ 2/8 de ce împărțit la 8 și de ce uneori împărțim la 6 și 24 etc. spuneți-mi vă rog, dar nu am înțeles