Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

direct ( MN) care are un singur punct comun cu cercul ( A), se numește tangentă la cerc.

Punctul comun este numit în acest caz punct de atingere.

Posibilitatea existenței tangentă, și, în plus, trasă prin orice punct cercuri, ca punct de contact, este dovedit de următoarele teorema.

Să se ceară cercuri centrat O tangentă printr-un punct A. Pentru asta, din punct de vedere A, ca din centru, descrie arc rază AO, iar din punct de vedere O, ca centru, intersectăm acest arc în puncte Bși DIN soluție de busolă egală cu diametrul cercului dat.

După ce a petrecut atunci acorduri OBși OS, conectați punctul A cu puncte Dși E unde aceste acorduri intersectează cercul dat. Direct ANUNȚși AE - tangentă la cerc O. Într-adevăr, din construcție reiese clar că triunghiuri AOBși AOC isoscel(AO = AB = AC) cu baze OBși OS, egal cu diametrul cercului O.

pentru că ODși OE sunt razele, atunci D - mijloc OB, A E- mijloc OS, mijloace ANUNȚși AE - mediane trasate la bazele triunghiurilor isoscele și, prin urmare, perpendiculare pe aceste baze. Dacă direct DAși EA perpendicular pe raze ODși OE, atunci sunt tangente.

Consecinţă.

Două tangente trase din același punct la cerc sunt egale și formează unghiuri egale cu linia care leagă acest punct cu centrul.

Asa de AD=AEși ∠ OAD = ∠OAE deoarece triunghiuri dreptunghiulare AODși AOE având un comun ipotenuză AO si egali picioare ODși OE(ca raze) sunt egale. Rețineți că aici cuvântul „tangentă” înseamnă adevăratul „ segment tangent” de la punctul dat până la punctul de contact.

Articolul oferă o explicație detaliată a definițiilor, semnificația geometrică a derivatei cu notație grafică. Ecuația dreptei tangente va fi luată în considerare cu exemple, se vor găsi ecuațiile tangentei la curbe de ordinul 2.

Unghiul de înclinare al dreptei y \u003d k x + b se numește unghiul α, care se măsoară de la direcția pozitivă a axei x la linia dreaptă y \u003d k x + b în direcția pozitivă.

În figură, direcția bou este indicată printr-o săgeată verde și un arc verde, iar unghiul de înclinare printr-un arc roșu. Linia albastră se referă la o linie dreaptă.

Definiția 2

Panta dreptei y \u003d k x + b se numește coeficient numeric k.

Panta este egală cu panta dreptei, cu alte cuvinte k = t g α .

• Panta dreptei este 0 numai atunci când o x este paralelă și panta este egală cu zero, deoarece tangenta lui zero este 0. Deci, forma ecuației va fi y = b.
• Dacă unghiul de înclinare al dreptei y = k x + b este acut, atunci condițiile sunt 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение pantă k este considerat un număr pozitiv, deoarece valoarea tangentei satisface condiția t g α > 0, iar graficul are o creștere.
• Dacă α \u003d π 2, atunci locația dreptei este perpendiculară pe x. Egalitatea este specificată de egalitatea x = c, valoarea c fiind un număr real.
• Dacă unghiul de înclinare al dreptei y = k x + b este obtuz, atunci corespunde condițiilor π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

O secantă este o dreaptă care trece prin 2 puncte ale funcției f (x). Cu alte cuvinte, o secanta este o linie dreaptă care trece prin oricare două puncte de pe grafic. funcţie dată.

Figura arată că A B este o secante, iar f (x) este o curbă neagră, α este un arc roșu, indicând unghiul de înclinare al secantei.

Când panta unei drepte este egală cu tangentei unghiului de înclinare, este clar că tangenta dintr-un triunghi dreptunghic A B C poate fi găsită în raport cu catetul opus celui alăturat.

Definiția 4

Obținem formula pentru găsirea secantei formei:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , unde abscisele punctelor A și B sunt valorile x A , x B și f (x A) , f (x B) sunt funcțiile de valori în aceste puncte.

În mod evident, panta secantei este definită folosind egalitatea k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A sau k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, iar ecuația trebuie scrisă ca y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) sau
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Secanta împarte vizual graficul în 3 părți: la stânga punctului A, de la A la B, la dreapta lui B. Figura de mai jos arată că există trei secante care sunt considerate a fi aceleași, adică sunt setați folosind o ecuație similară.

Prin definiție, este clar că linia și secanta ei coincid în acest caz.

O secanta poate intersecta graficul unei funcții date de mai multe ori. Dacă există o ecuație de forma y \u003d 0 pentru secante, atunci numărul de puncte de intersecție cu sinusoida este infinit.

Definiția 5

Tangenta la graficul functiei f (x) in punctul x 0 ; f (x 0) se numește dreptă care trece printr-un punct dat x 0; f (x 0) , cu prezența unui segment care are multe x valori apropiate de x 0 .

Exemplul 1

Să aruncăm o privire mai atentă la exemplul de mai jos. Atunci se poate observa că linia dată de funcția y = x + 1 este considerată a fi tangentă la y = 2 x în punctul cu coordonatele (1 ; 2) . Pentru claritate, este necesar să luați în considerare graficele cu valori apropiate de (1; 2). Funcția y = 2 x este marcată cu negru, linia albastră este tangenta, punctul roșu este punctul de intersecție.

Evident, y \u003d 2 x se îmbină cu linia y \u003d x + 1.

Pentru a determina tangentei, ar trebui să luăm în considerare comportamentul tangentei A B pe măsură ce punctul B se apropie la infinit de punctul A. Pentru claritate, prezentăm o figură.

Secanta A B, indicată de linia albastră, tinde spre poziția tangentei însăși, iar unghiul de înclinare al secantei α va începe să se apropie de unghiul de înclinare al tangentei însăși α x.

Definiția 6

Tangenta la graficul funcției y \u003d f (x) în punctul A este poziția limită a secantei A B la B care tinde spre A, adică B → A.

Acum ne întoarcem la considerarea semnificației geometrice a derivatei unei funcții într-un punct.

Să trecem la considerarea secantei A B pentru funcția f (x), unde A și B cu coordonatele x 0, f (x 0) și x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) și ∆ x este notat ca un increment al argumentului . Acum funcția va lua forma ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pentru claritate, să facem o poză ca exemplu.

Se consideră triunghiul dreptunghic rezultat A B C. Folosim definiția tangentei pentru soluție, adică obținem raportul ∆ y ∆ x = t g α . Din definiţia unei tangente rezultă că lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Conform regulii derivatei într-un punct, avem că derivata f (x) în punctul x 0 se numește limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, unde ∆ x → 0, atunci notată f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Rezultă că f „(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, unde k x este notat ca panta tangentei.

Adică, obținem că f ' (x) poate exista în punctul x 0 și, la fel ca tangenta la graficul dat al funcției în punctul de contact egal cu x 0 , f 0 (x 0) , unde valoarea a pantei tangentei în punctul este egală cu derivata în punctul x 0 . Atunci obținem că k x = f "(x 0) .

Sensul geometric al derivatei unei funcții într-un punct este că este dat conceptul existenței unei tangente la graficul în același punct.

Pentru a scrie ecuația oricărei drepte în plan, este necesar să existe o pantă cu punctul prin care trece. Desemnarea sa este luată ca x 0 la intersecție.

Ecuația tangentei la graficul funcției y \u003d f (x) în punctul x 0, f 0 (x 0) ia forma y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Înseamnă că valoarea finală a derivatei f „(x 0) poate determina poziția tangentei, adică vertical în condiția lim x → x 0 + 0 f” (x) = ∞ și lim x → x 0 - 0 f „(x ) = ∞ sau absență deloc în condiția lim x → x 0 + 0 f „(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f „(x) .

Locația tangentei depinde de valoarea pantei sale k x \u003d f "(x 0). Când este paralel cu axa o x, obținem că k k \u003d 0, când este paralel cu o y - k x \u003d ∞ și forma a ecuației tangentei x \u003d x 0 crește cu k x > 0, scade pe măsură ce k x< 0 .

Exemplul 2

Compilați ecuația tangentei la graficul funcției y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 într-un punct cu coordonatele (1; 3) cu definiția unghiului de înclinare.

Soluţie

Prin presupunere, avem că funcția este definită pentru toți numere reale. Obținem că punctul cu coordonatele specificate de condiția (1 ; 3) este punctul de contact, atunci x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Este necesar să găsim derivata în punctul cu valoarea - 1 . Înțelegem asta

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Valoarea lui f ’ (x) în punctul de contact este panta tangentei, care este egală cu tangentei pantei.

Atunci k x = t g α x = y „(x 0) = 3 3

Rezultă că α x = a r c t g 3 3 = π 6

Răspuns: ecuația tangentei ia forma

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Pentru claritate, dăm un exemplu într-o ilustrație grafică.

Culoarea neagră este folosită pentru graficul funcției originale, culoarea albastră este imaginea tangentă, punctul roșu este punctul de atingere. Figura din dreapta arată o vedere mărită.

Exemplul 3

Aflați existența unei tangente la graficul unei funcții date
y = 3 x - 1 5 + 1 în punctul cu coordonatele (1 ; 1) . Scrieți o ecuație și determinați unghiul de înclinare.

Soluţie

Prin presupunere, avem că domeniul funcției date este mulțimea tuturor numerelor reale.

Să trecem la găsirea derivatei

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Dacă x 0 = 1 , atunci f ' (x) nu este definit, dar limitele sunt scrise ca lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ și lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , ceea ce înseamnă existență tangentă verticală la punctul (1; 1) .

Răspuns: ecuația va lua forma x \u003d 1, unde unghiul de înclinare va fi egal cu π 2.

Să-l graficăm pentru claritate.

Exemplul 4

Aflați punctele graficului funcției y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , unde

1. Tangenta nu există;
2. Tangenta este paralelă cu x;
3. Tangenta este paralelă cu dreapta y = 8 5 x + 4 .

Soluţie

Este necesar să se acorde atenție domeniului definiției. Prin presupunere, avem că funcția este definită pe mulțimea tuturor numerelor reale. Extindeți modulul și rezolvați sistemul cu intervale x ∈ - ∞ ; 2 şi [-2; +∞). Înțelegem asta

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Funcția trebuie diferențiată. Avem asta

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Când x = - 2, atunci derivata nu există deoarece limitele unilaterale nu sunt egale în acel punct:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Calculăm valoarea funcției în punctul x \u003d - 2, de unde obținem asta

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, adică tangenta la punctul (- 2; - 2) nu va exista.
2. Tangenta este paralelă cu x când panta este zero. Apoi k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). Adică, este necesar să se găsească valorile unui astfel de x atunci când derivata funcției o transformă la zero. Adică, valorile ​​​\u200b\u200de f '(x) și vor fi puncte de atingere, unde tangenta este paralelă cu x .

Când x ∈ - ∞ ; - 2 , atunci - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , iar pentru x ∈ (- 2 ; + ∞) obținem 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Calculăm valorile corespunzătoare ale funcției

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Prin urmare - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 sunt considerate a fi punctele dorite ale graficului funcției.

Considera imagine grafică solutii.

Linia neagră este graficul funcției, punctele roșii sunt punctele de atingere.

1. Când liniile sunt paralele, pantele sunt egale. Apoi este necesar să căutați punctele graficului funcției, unde panta va fi egală cu valoarea 8 5 . Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați o ecuație de forma y "(x) = 8 5. Atunci, dacă x ∈ - ∞; - 2, obținem că - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, iar dacă x ∈ ( - 2 ; + ∞) , atunci 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Prima ecuație nu are rădăcini deoarece discriminantul este mai mic decât zero. Să scriem asta

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

O altă ecuație are două rădăcini reale, deci

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Să trecem la găsirea valorilor funcției. Înțelegem asta

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Puncte cu valori - 1; 4 15, 5; 8 3 sunt punctele în care tangentele sunt paralele cu dreapta y = 8 5 x + 4 .

Răspuns: linie neagră - graficul funcției, linie roșie - graficul y \u003d 8 5 x + 4, linie albastră - tangente în puncte - 1; 4 15, 5; 8 3 .

Existența unui număr infinit de tangente pentru funcții date este posibilă.

Exemplul 5

Scrieți ecuațiile tuturor tangentelor disponibile ale funcției y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , care sunt perpendiculare pe dreapta y = - 2 x + 1 2 .

Soluţie

Pentru a întocmi ecuația tangentei, este necesar să se găsească coeficientul și coordonatele punctului de contact, pe baza condiției de perpendicularitate a dreptelor. Definiția sună așa: produsul pantelor care sunt perpendiculare pe drepte este egal cu - 1, adică se scrie ca k x · k ⊥ = - 1. Din condiția avem că panta este perpendiculară pe dreapta și este egală cu k ⊥ = - 2, atunci k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Acum trebuie să găsim coordonatele punctelor de atingere. Trebuie să găsiți x, după care valoarea sa pentru o funcție dată. Rețineți că din sensul geometric al derivatei la punct
x 0 obținem acel k x \u003d y "(x 0) . Din această egalitate, găsim valorile x \u200b\u200bpentru punctele de atingere.

Înțelegem asta

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Această ecuație trigonometrică va fi folosită pentru a calcula ordonatele punctelor de atingere.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk sau 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk sau 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk sau x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z este mulțimea numerelor întregi.

S-au găsit x puncte de contact. Acum trebuie să mergeți la căutarea valorilor y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 sau y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 sau y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 sau y 0 = - 4 5 + 1 3

De aici obținem că 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 sunt puncte de atingere.

Răspuns: ecuaţiile necesare se vor scrie ca

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Pentru o reprezentare vizuală, luați în considerare funcția și tangenta pe linia de coordonate.

Figura arată că locația funcției este pe intervalul [-10; 10 ] , unde linia neagră este graficul funcției, liniile albastre sunt tangente care sunt perpendiculare pe dreapta dată de forma y = - 2 x + 1 2 . Punctele roșii sunt puncte de atingere.

Ecuațiile canonice ale curbelor de ordinul 2 nu sunt funcții cu o singură valoare. Ecuațiile tangente ale acestora sunt compilate după scheme binecunoscute.

Tangenta la cerc

Pentru a stabili un cerc centrat într-un punct x c e n t e r ; y c e n t e r și raza R, se utilizează formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Această egalitate poate fi scrisă ca unirea a două funcții:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Prima funcție este în partea de sus și a doua în partea de jos, așa cum se arată în figură.

Să se întocmească o ecuaţie a unui cerc într-un punct x 0 ; y 0 , care este situat în semicercul superior sau inferior, ar trebui să găsiți ecuația graficului funcției de forma y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r sau y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r în punctul specificat.

Când în punctele x c ​​e n t e r ; y c e n t e r + R și x ce n t e r ; Tangentele y c e n t e r - R pot fi date de ecuațiile y = y c e n t e r + R și y = y c e n t e r - R , iar în punctele x c ​​e n t e r + R ; y c e n t e r şi
x c e n t e r - R ; y c e n t e r va fi paralel cu y, atunci vom obține ecuații de forma x = x c e n t e r + R și x = x c e n t e r - R .

Tangenta la elipsa

Când elipsa este centrată pe x ce n t e r ; y c e n t e r cu semiaxele a și b , atunci poate fi dat folosind ecuația x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

O elipsă și un cerc pot fi notate prin combinarea a două funcții, și anume, semielipsa superioară și inferioară. Atunci obținem asta

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Dacă tangentele sunt situate la vârfurile elipsei, atunci ele sunt paralele cu x sau despre y. Pentru claritate, luați în considerare figura de mai jos.

Exemplul 6

Scrieți ecuația tangentei la elipsa x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 în punctele cu valorile x egale cu x = 2 .

Soluţie

Este necesar să găsiți puncte de atingere care să corespundă valorii x = 2. Facem o substituție în ecuația existentă a elipsei și obținem asta

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Apoi 2; 5 3 2 + 5 și 2 ; - 5 3 2 + 5 sunt punctele tangente care aparțin semielipsei superioare și inferioare.

Să trecem la găsirea și rezolvarea ecuației unei elipse în raport cu y. Înțelegem asta

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Este evident că semielipsa superioară este specificată folosind o funcție de forma y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , iar cea inferioară y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Aplicam algoritmul standard pentru a formula ecuatia tangentei la graficul unei functii intr-un punct. Scriem că ecuația pentru prima tangentă la punctul 2 ; 5 3 2 + 5 va arăta ca

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Obținem că ecuația celei de-a doua tangente cu valoarea din punct
2; - 5 3 2 + 5 devine

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafic, tangentele sunt notate după cum urmează:

Tangenta la hiperbola

Când hiperbola are un centru în punctul x c e n t e r ; y c e n t e r şi vârfuri x c e n t e r + α ; y c e n t e r şi x c e n t e r - α ; y c e n t e r , inegalitatea x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 este dată dacă cu vârfuri x c e n t e r ; y c e n t e r + b și x c e n t e r ; y c e n t e r - b este dat atunci de inegalitatea x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

O hiperbolă poate fi reprezentată ca două funcții combinate ale formei

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r sau y = b a (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r e = - x c e n t e (x - x c e n t e r) ) 2 + a 2 + y c e n t e r

În primul caz, avem că tangentele sunt paralele cu y, iar în al doilea, sunt paralele cu x.

Rezultă că pentru a găsi ecuația unei tangente la o hiperbolă este necesar să aflăm cărei funcție îi aparține punctul tangentei. Pentru a determina acest lucru, este necesar să faceți o înlocuire în ecuații și să le verificați pentru identitate.

Exemplul 7

Scrieți ecuația tangentei la hiperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 la punctul 7; - 3 3 - 3 .

Soluţie

Este necesar să se transforme înregistrarea soluției de găsire a hiperbolei folosind 2 funcții. Înțelegem asta

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 sau y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Este necesar să aflăm cărei funcție îi aparține punctul dat cu coordonatele 7; - 3 3 - 3 .

Evident, pentru a verifica prima funcție, aveți nevoie de y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , atunci punctul nu aparține graficului, deoarece egalitatea nu este satisfăcută.

Pentru a doua funcție, avem că y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , ceea ce înseamnă că punctul aparține graficului dat. De aici ar trebui să găsiți coeficientul de pantă.

Înțelegem asta

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Răspuns: ecuaţia tangentei poate fi reprezentată ca

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Este vizualizat astfel:

Tangenta la parabolă

Pentru a compune ecuația tangentei la parabola y \u003d a x 2 + b x + c în punctul x 0, y (x 0) , trebuie să utilizați algoritmul standard, apoi ecuația va lua forma y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) O astfel de tangentă la vârf este paralelă cu x.

Parabola x = a y 2 + b y + c ar trebui definită ca unirea a două funcții. Prin urmare, trebuie să rezolvăm ecuația pentru y. Înțelegem asta

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Să o reprezentam grafic ca:

Pentru a afla dacă un punct x 0 , y (x 0) aparține unei funcții, urmați ușor algoritmul standard. O astfel de tangentă va fi paralelă cu y față de parabolă.

Exemplul 8

Scrieți ecuația tangentei la graficul x - 2 y 2 - 5 y + 3 când avem o pantă tangentei de 150 °.

Soluţie

Începem soluția reprezentând parabola ca două funcții. Înțelegem asta

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Valoarea pantei este egală cu valoarea derivatei în punctul x 0 al acestei funcții și este egală cu tangentei pantei.

Primim:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

De aici determinăm valoarea lui x pentru punctele de contact.

Prima funcție va fi scrisă ca

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Evident, nu există rădăcini reale, deoarece am primit o valoare negativă. Concluzionăm că nu există o tangentă cu un unghi de 150 ° pentru o astfel de funcție.

A doua funcție va fi scrisă ca

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Avem că punctele de atingere - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Răspuns: ecuația tangentei ia forma

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Să-l grafic astfel:

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Transecte, tangente - toate acestea au putut fi auzite de sute de ori la lecțiile de geometrie. Dar absolvirea școlii s-a terminat, anii trec și toate aceste cunoștințe sunt uitate. Ce ar trebui reținut?

Esență

Termenul „tangent la un cerc” este probabil familiar tuturor. Dar este puțin probabil ca toată lumea să-și poată formula rapid definiția. Între timp, o tangentă este o dreaptă situată în același plan cu un cerc care o intersectează doar într-un singur punct. Poate exista o mare varietate de ele, dar toate au aceleași proprietăți, care vor fi discutate mai jos. După cum ați putea ghici, punctul de contact este locul în care cercul și linia se intersectează. În fiecare caz, este unul, dar dacă sunt mai mulți, atunci va fi o secantă.

Istoria descoperirii și studiului

Conceptul de tangentă a apărut în antichitate. Construcția acestor linii drepte, mai întâi la un cerc, și apoi la elipse, parabole și hiperbole cu ajutorul unei rigle și a unei busole, a fost realizată chiar și în etapele inițiale ale dezvoltării geometriei. Desigur, istoria nu a păstrat numele descoperitorului, dar este evident că chiar și la acea vreme oamenii erau destul de conștienți de proprietățile unei tangente la un cerc.

În vremurile moderne, interesul pentru acest fenomen a aprins din nou - a început o nouă rundă de studiu a acestui concept, combinată cu descoperirea de noi curbe. Deci, Galileo a introdus conceptul de cicloid, iar Fermat și Descartes au construit o tangentă la acesta. Cât despre cercuri, se pare că nu au mai rămas secrete pentru străvechi în această zonă.

Proprietăți

Raza trasată până la punctul de intersecție va fi

principala, dar nu singura proprietate pe care o are tangenta la un cerc. O altă caracteristică importantă include deja două linii drepte. Deci, printr-un punct situat în afara cercului, pot fi trase două tangente, în timp ce segmentele lor vor fi egale. Există o altă teoremă pe acest subiect, dar rareori este trecută în cadrul standardului curs şcolar, deși este extrem de convenabil pentru rezolvarea unor probleme. Sună așa. Dintr-un punct situat în afara cercului, sunt trase la el o tangentă și o secantă. Se formează segmentele AB, AC și AD. A este intersecția liniilor, B este punctul de contact, C și D sunt intersecțiile. În acest caz, următoarea egalitate va fi valabilă: lungimea tangentei la cerc, la pătrat, va fi egală cu produsul segmentelor AC și AD.

Există o consecință importantă a celor de mai sus. Pentru fiecare punct al cercului, puteți construi o tangentă, dar numai una. Dovada acestui lucru este destul de simplă: teoretic aruncând o perpendiculară din rază pe ea, aflăm că triunghiul format nu poate exista. Și asta înseamnă că tangenta este unică.

Clădire

Printre alte sarcini în geometrie, există o categorie specială, de regulă, nu

favorizată de elevi și studenți. Pentru a rezolva sarcini din această categorie, aveți nevoie doar de o busolă și o riglă. Acestea sunt sarcini de construcție. Există și metode de construire a unei tangente.

Deci, având în vedere un cerc și un punct situat în afara granițelor sale. Și este necesar să desenați o tangentă prin ele. Cum să o facă? În primul rând, trebuie să desenați un segment între centrul cercului O și punct dat. Apoi, folosind o busolă, împărțiți-o în jumătate. Pentru a face acest lucru, trebuie să setați raza - puțin mai mult de jumătate din distanța dintre centrul cercului original și punctul dat. După aceea, trebuie să construiți două arce care se intersectează. În plus, raza busolei nu trebuie schimbată, iar centrul fiecărei părți a cercului va fi punctul inițial și, respectiv, O. Intersecțiile arcurilor trebuie să fie conectate, ceea ce va împărți segmentul în jumătate. Setați o rază pe busolă egală cu această distanță. Apoi, cu centrul în punctul de intersecție, desenați un alt cerc. Pe el se vor afla atât punctul inițial, cât și O. În acest caz, vor mai exista două intersecții cu cercul dat în problemă. Acestea vor fi punctele de contact pentru punctul dat inițial.

Construcția tangentelor la cerc a dus la naștere

calcul diferenţial. Prima lucrare pe această temă a fost publicată de celebrul matematician german Leibniz. El prevedea posibilitatea de a găsi maxime, minime și tangente, indiferent de valorile fracționale și iraționale. Ei bine, acum este folosit și pentru multe alte calcule.

De asemenea, tangenta la cerc este legată de sens geometric tangentă. De aici provine numele lui. Tradus din latină, tangens înseamnă „tangentă”. Astfel, acest concept este conectat nu numai cu geometria și calculul diferențial, ci și cu trigonometria.

Două cercuri

O tangentă nu afectează întotdeauna o singură figură. Dacă un număr mare de linii drepte pot fi trase într-un cerc, atunci de ce nu invers? Poate sa. Dar sarcina în acest caz este serios complicată, deoarece tangenta la două cercuri nu poate trece prin niciun punct, iar poziția relativă a tuturor acestor cifre poate fi foarte

diferit.

Tipuri și soiuri

Când vorbim despre două cercuri și una sau mai multe linii drepte, atunci chiar dacă se știe că acestea sunt tangente, nu devine imediat clar cum sunt situate toate aceste figuri una în raport cu cealaltă. Pe baza acestui fapt, există mai multe soiuri. Deci, cercurile pot avea unul sau două puncte comune sau să nu le aibă deloc. În primul caz, se vor intersecta, iar în al doilea, se vor atinge. Și aici există două soiuri. Dacă un cerc este, așa cum ar fi, încorporat în al doilea, atunci atingerea se numește intern, dacă nu, atunci extern. Puteți înțelege poziția relativă a figurilor nu numai pe baza desenului, ci și având informații despre suma razelor lor și distanța dintre centrele lor. Dacă aceste două cantități sunt egale, atunci cercurile se ating. Dacă primul este mai mare, se intersectează, iar dacă este mai mic, atunci nu au puncte comune.

La fel și cu liniile drepte. Pentru oricare două cercuri care nu au puncte comune, se poate

construiți patru tangente. Două dintre ele se vor intersecta între figuri, se numesc interne. Alți doi sunt externi.

Dacă vorbim despre cercuri care au un punct comun, atunci sarcina este mult simplificată. Faptul este că pentru orice aranjament reciproc în acest caz, vor avea o singură tangentă. Și va trece prin punctul de intersecție. Deci construcția dificultății nu va provoca.

Dacă figurile au două puncte de intersecție, atunci se poate construi o linie dreaptă pentru ele, tangentă la cerc, atât unul cât și al doilea, dar numai cel exterior. Soluția la această problemă este similară cu ceea ce va fi discutat mai jos.

Rezolvarea problemelor

Atât tangentele interne și externe la două cercuri nu sunt atât de simple în construcție, deși această problemă poate fi rezolvată. Faptul este că o figură auxiliară este folosită pentru aceasta, așa că gândiți-vă singur la această metodă

destul de problematic. Deci, date două cercuri cu raze și centre diferite O1 și O2. Pentru ei, trebuie să construiți două perechi de tangente.

În primul rând, în apropierea centrului cercului mai mare, trebuie să construiți unul auxiliar. În acest caz, diferența dintre razele celor două cifre inițiale trebuie stabilită pe busolă. Tangentele la cercul auxiliar sunt construite din centrul cercului mai mic. După aceea, de la O1 și O2, se desenează perpendiculare pe aceste linii până când se intersectează cu figurile originale. După cum rezultă din proprietatea principală a tangentei, se găsesc punctele dorite pe ambele cercuri. Problema este rezolvată, cel puțin, prima ei parte.

Pentru a construi tangente interne, trebuie rezolvate practic

o sarcină similară. Din nou avem nevoie de o formă de ajutor, dar de data aceasta raza ei va fi este egală cu suma iniţială. Tangentele sunt construite la acesta din centrul unuia dintre cercurile date. Evoluția ulterioară a soluției poate fi înțeleasă din exemplul anterior.

Tangenta la un cerc sau chiar două sau mai multe nu este o sarcină atât de dificilă. Desigur, matematicienii au încetat de mult să rezolve astfel de probleme manual și să încredințeze calculele unor programe speciale. Dar să nu credeți că acum nu este necesar să o puteți face singur, pentru că pentru a formula corect o sarcină pentru un computer, trebuie să faceți și să înțelegeți multe. Din păcate, există temeri că, după trecerea finală la forma de testare a controlului cunoștințelor, sarcinile de construcție vor cauza din ce în ce mai multe dificultăți elevilor.

În ceea ce privește găsirea de tangente comune pentru mai multe cercuri, acest lucru nu este întotdeauna posibil, chiar dacă acestea se află în același plan. Dar în unele cazuri este posibil să găsiți o astfel de linie.

Exemple din viața reală

O tangentă comună la două cercuri este adesea întâlnită în practică, deși acest lucru nu este întotdeauna vizibil. Transportoare, sisteme de blocuri, curele de transmisie cu scripete, tensiunea firului într-o mașină de cusut și chiar și doar un lanț de bicicletă - toate acestea sunt exemple din viață. Deci, să nu credeți că problemele geometrice rămân doar în teorie: în inginerie, fizică, construcții și multe alte domenii, ele își găsesc aplicație practică.

Conceptul de tangentă la un cerc

Cercul are trei posibile aranjamente reciproce raportat la o linie dreaptă:

Dacă distanța de la centrul cercului la linie este mai mică decât raza, atunci linia are două puncte de intersecție cu cercul.

Dacă distanța de la centrul cercului la linie este egală cu raza, atunci linia are două puncte de intersecție cu cercul.

Dacă distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mare decât raza, atunci linia dreaptă are două puncte de intersecție cu cercul.

Introducem acum conceptul de linie tangentă la un cerc.

Definiția 1

O tangentă la un cerc este o dreaptă care are un punct de intersecție cu ea.

Punctul comun al cercului și tangentei se numește punct tangent (Fig. 1).

Figura 1. Tangenta la un cerc

Teoreme legate de conceptul de tangentă la cerc

Teorema 1

Teorema proprietății tangentei: tangenta la cerc este perpendiculara pe raza trasata la punctul tangent.

Dovada.

Să considerăm un cerc cu centrul $O$. Să desenăm tangenta $a$ în ​​punctul $A$. $OA=r$ (Fig. 2).

Să demonstrăm că $a\bot r$

Vom demonstra teorema prin metoda „prin contradicție”. Să presupunem că tangenta $a$ nu este perpendiculară pe raza cercului.

Figura 2. Ilustrarea teoremei 1

Adică $OA$ este oblic la o tangentă. Deoarece perpendiculara pe dreapta $a$ este întotdeauna mai mică decât panta pe aceeași dreaptă, distanța de la centrul cercului la dreaptă este mai mică decât raza. După cum știm, în acest caz linia are două puncte de intersecție cu cercul. Ceea ce contrazice definiția unei tangente.

Prin urmare, tangenta este perpendiculară pe raza cercului.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 2

Conversați cu teorema proprietății tangentei: Dacă linia care trece prin capătul razei unui cerc este perpendiculară pe rază, atunci această linie este tangentă la acest cerc.

Dovada.

După condiția problemei, avem că raza este o perpendiculară trasată de la centrul cercului la dreapta dată. Prin urmare, distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este egală cu lungimea razei. După cum știm, în acest caz cercul are un singur punct de intersecție cu această dreaptă. Prin definiția 1, obținem că linia dată este tangentă la cerc.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 3

Segmentele tangentelor la cerc, trasate dintr-un punct, sunt egale și formează unghiuri egale cu dreapta care trece prin acest punct și centrul cercului.

Dovada.

Să fie dat un cerc centrat în punctul $O$. Două tangente diferite sunt trase din punctul $A$ (care se află pe toate cercurile). Din punctul de atingere $B$ și respectiv $C$ (Fig. 3).

Să demonstrăm că $\angle BAO=\angle CAO$ și că $AB=AC$.

Figura 3. Ilustrarea teoremei 3

Prin teorema 1, avem:

Prin urmare, triunghiurile $ABO$ și $ACO$ sunt triunghiuri dreptunghiulare. Deoarece $OB=OC=r$, iar ipotenuza $OA$ este comună, aceste triunghiuri sunt egale în ipotenuză și catete.

Prin urmare, obținem acel $\angle BAO=\angle CAO$ și $AB=AC$.

Teorema a fost demonstrată.

Un exemplu de sarcină pe conceptul de tangentă la un cerc

Exemplul 1

Dat un cerc cu centrul $O$ si raza $r=3\ cm$. Tangenta $AC$ are un punct tangent $C$. $AO=4\cm$. Găsiți $AC$.

Soluţie.

Mai întâi, să descriem totul în figură (Fig. 4).

Figura 4

Deoarece $AC$ este o tangentă și $OC$ este o rază, atunci prin teorema 1 obținem $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$. S-a dovedit că triunghiul $ACO$ este dreptunghiular, ceea ce înseamnă că, conform teoremei lui Pitagora, avem:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \