Conținutul articolului

SECȚIUNI CONICE, curbe plane, care se obțin prin traversarea unui con circular drept cu un plan care nu trece prin vârful acestuia (Fig. 1). Din punctul de vedere al geometriei analitice, secțiunea conică este locul punctelor care satisfac o ecuație de ordinul doi. Cu excepția cazurilor degenerate discutate în ultima secțiune, secțiunile conice sunt elipse, hiperbole sau parabole.

Secțiunile conice se găsesc adesea în natură și tehnologie. De exemplu, orbitele planetelor care se rotesc în jurul Soarelui sunt elipse. Un cerc este un caz special al unei elipse, în care axa majoră este egală cu cea minoră. O oglindă parabolică are proprietatea că toate razele incidente paralele cu axa ei converg într-un punct (focal). Acesta este folosit în majoritatea telescoapelor reflectorizante care folosesc oglinzi parabolice, precum și în antene radar și microfoane speciale cu reflectoare parabolice. Un fascicul de raze paralele emană dintr-o sursă de lumină plasată în focarul unui reflector parabolic. Prin urmare, oglinzile parabolice sunt folosite în reflectoare puternice și faruri auto. O hiperbola este un grafic al multor importante rapoarte fizice, de exemplu, legea lui Boyle (care leagă presiunea și volumul gaz ideal) și legea lui Ohm, care specifică electricitateîn funcţie de rezistenţa la tensiune constantă.

ISTORIE VIMPURIE

Descoperitorul secțiunilor conice este Menechmus (secolul al IV-lea î.Hr.), un elev al lui Platon și profesor al lui Alexandru cel Mare. Menechmus a folosit o parabolă și o hiperbolă isoscelă pentru a rezolva problema dublării unui cub.

Tratate de secțiuni conice scrise de Aristaeus și Euclid la sfârșitul secolului al IV-lea. BC, s-au pierdut, dar materialele din ele au fost incluse în celebre Secțiuni conice Apollonius din Perga (c. 260-170 î.Hr.), care au supraviețuit până în vremea noastră. Apollonius a abandonat cerința ca planul secant al generatricei conului să fie perpendicular și, variind unghiul de înclinare a acestuia, a obținut toate secțiunile conice dintr-un singur con circular, drept sau înclinat. Suntem datori lui Apollonius nume moderne curbe - elipsa, parabola si hiperbola.

În construcțiile sale, Apollonius a folosit un con circular cu două foi (ca în Fig. 1), așa că pentru prima dată a devenit clar că o hiperbolă este o curbă cu două ramuri. Din vremea lui Apollonius, secțiunile conice au fost împărțite în trei tipuri, în funcție de înclinarea planului de tăiere față de generatria conului. Elipsa (Fig. 1, A) se formează când planul de tăiere intersectează toate generatricele conului în punctele uneia dintre cavitățile acestuia; parabolă (Fig. 1, b) - când planul de tăiere este paralel cu unul dintre planurile tangente ale conului; hiperbola (fig. 1, în) - când planul de tăiere intersectează ambele cavități ale conului.

CONSTRUCȚIA SECȚIUNILOR CONICE

În timp ce studiau secțiunile conice ca intersecții de planuri și conuri, matematicienii greci antici le considerau și ca traiectorii de puncte pe un plan. S-a constatat că o elipsă poate fi definită drept locul punctelor, suma distanțelor de la care la două puncte date este constantă; parabolă - ca loc de puncte echidistant de un punct dat și de o dreaptă dată; hiperbola - ca loc al punctelor, diferența de distanțe de la care la două puncte date este constantă.

Aceste definiții ale secțiunilor conice ca curbe plane sugerează, de asemenea, o modalitate de a le construi folosind un fir întins.

Elipsă.

Dacă capetele unui fir de o lungime dată sunt fixate în puncte F 1 și F 2 (Fig. 2), apoi curba descrisă de vârful unui creion care alunecă de-a lungul unui fir strâns întins are forma unei elipse. puncte F 1 și F 2 se numesc focarele elipsei, iar segmentele V 1 V 2 și v 1 v 2 între punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate - axele majore și minore. Dacă punctele F 1 și F 2 coincid, apoi elipsa se transformă într-un cerc.

Hiperbolă.

Când construiți o hiperbolă, un punct P, vârful unui creion, se fixează pe un fir care alunecă liber de-a lungul cherelor instalate în puncte F 1 și F 2 așa cum se arată în fig. 3, A. Distanţele sunt alese astfel încât segmentul PF 2 este mai lung decât segmentul PF 1 cu o sumă fixă ​​mai mică decât distanța F 1 F 2. În acest caz, un capăt al firului trece pe sub cuier F 1 și ambele capete ale firului trec peste cuier F 2. (Vârful creionului nu trebuie să alunece de-a lungul firului, așa că trebuie să-l fixați făcând o buclă mică pe fir și înfilând vârful în el.) O ramură a hiperbolei ( PV 1 Q) tragem, asigurându-ne că firul rămâne întins tot timpul și trăgând ambele capete ale firului în jos dincolo de punct F 2, iar când punctul P va fi sub linie F 1 F 2, ținând firul la ambele capete și strângându-l cu grijă (adică eliberându-l). A doua ramură a hiperbolei ( Pў V 2 Qў) desenăm, schimbând anterior rolurile cuierelor F 1 și F 2 .

Ramurile hiperbolei se apropie de două linii drepte care se intersectează între ramuri. Aceste linii, numite asimptotele hiperbolei, sunt construite așa cum se arată în Fig. 3, b. Pantele aceste linii sunt egale cu ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), unde v 1 v 2 - un segment al bisectoarei unghiului dintre asimptote, perpendicular pe segment F 1 F 2; segment de linie v 1 v 2 se numește axa conjugată a hiperbolei și segmentul V 1 V 2 - axa sa transversală. Deci asimptotele sunt diagonalele unui dreptunghi cu laturile care trec prin patru puncte v 1 , v 2 , V 1 , V 2 paralele cu axele. Pentru a construi acest dreptunghi, trebuie să specificați locația punctelor v 1 și v 2. Sunt la aceeași distanță, egală cu

din punctul de intersecție a axelor O. Această formulă presupune construirea unui triunghi dreptunghic cu catete Ov 1 și V 2 O si ipotenuza F 2 O.

Dacă asimptotele hiperbolei sunt reciproc perpendiculare, atunci hiperbola se numește isoscelă. Două hiperbole având asimptote comune, dar cu axele transversale și conjugate rearanjate, se numesc conjugate reciproc.

Parabolă.

Focarele elipsei și hiperbolei erau cunoscute de Apollonius, dar focarul parabolei, aparent, a fost stabilit pentru prima dată de Pappus (a doua jumătate a secolului al III-lea), care a definit această curbă ca fiind locul punctelor echidistante de un punct dat ( focus) și o linie dreaptă dată, care se numește director. Construcția unei parabole folosind un fir întins, pe baza definiției lui Pappus, a fost propusă de Isidor de Milet (sec. VI). Poziționați rigla astfel încât marginea acesteia să coincidă cu directriza LLў (Fig. 4) și atașați piciorul de această margine AC triunghi de desen ABC. Fixăm un capăt al firului cu o lungime ABîn vârf B triunghi și celălalt la focarul parabolei F. Tragând firul cu vârful unui creion, apăsați vârful într-un punct variabil P la patina liberă AB triunghi de desen. Pe măsură ce triunghiul se mișcă de-a lungul riglei, punctul P va descrie arcul unei parabole cu focalizare Fși directoare LLў, deoarece lungimea totală a firului este egală cu AB, segmentul firului este adiacent piciorului liber al triunghiului și, prin urmare, segmentul rămas al firului PF trebuie să fie egal cu restul piciorului AB, adică PA. Punct de intersecție V parabola cu o axă se numește vârful parabolei, o linie dreaptă care trece prin Fși V, este axa parabolei. Dacă prin focar este trasată o linie dreaptă perpendiculară pe axă, atunci segmentul acestei linii drepte tăiat de parabolă se numește parametru focal. Pentru o elipsă și o hiperbolă, parametrul focal este definit în mod similar.

PROPRIETĂȚI ALE SECȚIUNILOR CONICE

Definiții Pappus.

Stabilirea focalizării parabolei l-a condus pe Pappus la ideea de a oferi o definiție alternativă a secțiunilor conice în general. Lăsa F – punct dat(concentrare) și L este o linie dreaptă dată (directrice) care nu trece prin F, și D Fși D L– distanta fata de punctul de miscare P a se concentra F si directori L respectiv. Apoi, după cum a arătat Papp, secțiunile conice sunt definite ca loc de puncte P, pentru care raportul D F/D L este o constantă nenegativă. Acest raport se numește excentricitate e sectiune conica. La e e > 1 este o hiperbolă; la e= 1 este o parabolă. În cazul în care un F se întinde pe L, atunci locusul are forma unor linii (reale sau imaginare), care sunt secțiuni conice degenerate.

Simetria vizibilă a elipsei și a hiperbolei sugerează că fiecare dintre aceste curbe are două directrice și două focare, iar această circumstanță l-a condus pe Kepler în 1604 la ideea că parabola are și un al doilea focar și o a doua directrice - un punct la infinit și Drept. În mod similar, cercul poate fi considerat ca o elipsă, ale cărei focare coincid cu centrul, iar directricele sunt la infinit. Excentricitate eîn acest caz este zero.

Designul lui Dandelin.

Focalele și directricele unei secțiuni conice pot fi demonstrate clar folosind sfere înscrise într-un con și numite sfere Dandelin (bile) în onoarea matematicianului și inginerului belgian J. Dandelin (1794–1847), care a propus următoarea construcție. Fie ca secțiunea conică să fie formată prin intersecția unui plan p cu un con circular drept cu două cavităţi cu vârf într-un punct O. Să înscriem două sfere în acest con S 1 și S 2 care ating avionul p la puncte F 1 și F 2 respectiv. Dacă secțiunea conică este o elipsă (Fig. 5, A), atunci ambele sfere se află în interiorul aceleiași cavități: o sferă este situată deasupra planului p iar celălalt dedesubt. Fiecare generatrică a conului atinge ambele sfere, iar locul punctelor de contact are forma a două cercuri C 1 și C 2 situate în planuri paralele p 1 și p 2. Lăsa P este un punct arbitrar pe o secțiune conică. Să desenăm drept PF 1 , PF 2 și extindeți linia PO. Aceste drepte sunt tangente la sferele în puncte F 1 , F 2 și R 1 , R 2. Deoarece toate tangentele trasate la sferă dintr-un punct sunt egale, atunci PF 1 = relatii cu publicul 1 și PF 2 = relatii cu publicul 2. Prin urmare, PF 1 + PF 2 = relatii cu publicul 1 + relatii cu publicul 2 = R 1 R 2. Din moment ce avioanele p 1 și p 2 paralel, segment R 1 R 2 este de lungime constantă. Astfel, valoarea relatii cu publicul 1 + relatii cu publicul 2 este același pentru toate pozițiile punctului P, și punct P aparține locului punctelor pentru care suma distanțelor de la P inainte de F 1 și F 2 este constantă. Prin urmare, punctele F 1 și F 2 - focare de secțiune eliptică. În plus, se poate demonstra că liniile de-a lungul cărora planul p traversează avionul p 1 și p 2, sunt directrice ale elipsei construite. În cazul în care un p traversează ambele cavități ale conului (Fig. 5, b), apoi două sfere Dandelin se află pe aceeași parte a avionului p, o sferă în fiecare cavitate a conului. În acest caz, diferența dintre PF 1 și PF 2 este constantă, iar locul punctelor P are forma unei hiperbole cu focare F 1 și F 2 și linii drepte - linii de intersecție p Cu p 1 și p 2 - în calitate de directori. Dacă secțiunea conică este o parabolă, așa cum se arată în Fig. 5, în, atunci doar o sferă Dandelin poate fi înscrisă în con.

Alte proprietăți.

Proprietățile secțiunilor conice sunt cu adevărat inepuizabile și oricare dintre ele poate fi considerată decisivă. loc important în Întâlnire matematică Pappa (c. 300), geometrii Descartes (1637) și Începuturile Newton (1687) este preocupat de problema locului punctelor în raport cu patru drepte. Dacă pe plan sunt date patru drepte L 1 , L 2 , L 3 și L 4 (dintre care două se pot potrivi) și un punct P este astfel încât produsul distanțelor de la P inainte de L 1 și L 2 este proporțional cu produsul distanțelor de la P inainte de L 3 și L 4, apoi locul punctelor P este o secțiune conică. Crezând în mod eronat că Apollonius și Pappus nu au reușit să rezolve problema locului punctelor față de patru drepte, Descartes, pentru a obține o soluție și a o generaliza, a creat geometria analitică.

ABORDAREA ANALITICĂ

Clasificare algebrică.

În termeni algebrici, secțiunile conice pot fi definite ca curbe plane ale căror coordonate carteziene satisfac o ecuație de gradul doi. Cu alte cuvinte, ecuația tuturor secțiunilor conice poate fi scrisă în vedere generala Cum

unde nu toți coeficienții A, Bși C sunt egale cu zero. Cu ajutorul translației și rotației paralele a axelor, ecuația (1) poate fi redusă la forma

topor 2 + de 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Prima ecuație se obține din ecuația (1) cu B 2 № AC, al doilea - la ora B 2 = AC. Secțiunile conice ale căror ecuații sunt reduse la prima formă se numesc centrale. Secțiuni conice date prin ecuații de al doilea tip cu q Nr. 0, sunt numite non-centrale. În cadrul acestor două categorii, există nouă tipuri diferite de secțiuni conice, în funcție de semnele coeficienților.

2831) i A, bși c au același semn, atunci nu există puncte reale ale căror coordonate ar satisface ecuația. O astfel de secțiune conică se numește elipsă imaginară (sau cerc imaginar dacă A = b).

2) Dacă Ași b au un singur semn și c- opus, atunci secțiunea conică este o elipsă (Fig. 1, A); la A = b- cerc (Fig. 6, b).

3) Dacă Ași b au semne diferite, atunci secțiunea conică este o hiperbolă (Fig. 1, în).

4) Dacă Ași b au semne diferite şi c= 0, atunci secțiunea conică este formată din două linii drepte care se intersectează (Fig. 6, A).

5) Dacă Ași b au un singur semn și c= 0, atunci există un singur punct real pe curbă care satisface ecuația, iar secțiunea conică este două drepte imaginare care se intersectează. În acest caz, se vorbește și de o elipsă contractată la un punct sau, dacă A = b, contractat într-un punct al unui cerc (Fig. 6, b).

6) Dacă oricare A, sau b este egal cu zero, iar coeficienții rămași au semne diferite, atunci secțiunea conică este formată din două drepte paralele.

7) Dacă oricare A, sau b este egal cu zero, iar coeficienții rămași au același semn, atunci nu există niciun punct real care să satisfacă ecuația. În acest caz, se spune că secțiunea conică este formată din două linii paralele imaginare.

8) Dacă c= 0 și fie A, sau b este, de asemenea, egală cu zero, atunci secțiunea conică este formată din două drepte reale care coincid. (Ecuația nu definește nicio secțiune conică la A = b= 0, deoarece în acest caz ecuația inițială (1) nu este de gradul doi.)

9) Ecuațiile de al doilea tip definesc parabolele dacă pși q sunt diferite de zero. În cazul în care un p nr. 0 și q= 0, se obține curba de la itemul 8. Dacă, pe de altă parte, p= 0, atunci ecuația nu definește nicio secțiune conică, deoarece ecuația inițială (1) nu este de gradul doi.

Derivarea ecuațiilor secțiunilor conice.

Orice secțiune conică poate fi definită și ca o curbă de-a lungul căreia un plan se intersectează cu o suprafață pătratică, adică cu suprafaţa dată de ecuaţia gradului II f (X, y, z) = 0. Aparent, secțiunile conice au fost recunoscute pentru prima dată sub această formă, iar numele lor ( vezi mai jos) sunt legate de faptul că au fost obținute prin încrucișarea planului cu conul z 2 = X 2 + y 2. Lăsa ABCD- baza unui con circular drept (Fig. 7) cu unghi drept în vârf V. Lasă avionul FDC intersectează generatoarea VB la punct F, baza este în linie dreaptă CD iar suprafața conului - de-a lungul curbei DFPC, Unde P este orice punct al curbei. Desenați prin mijlocul segmentului CD- punct E- direct EF si diametrul AB. Prin punct P trageți un plan paralel cu baza conului, intersectând conul într-un cerc RPS si direct EF la punct Q. Apoi QFși QP pot fi luate, respectiv, pentru abscisă X si ordonata y puncte P. Curba rezultată va fi o parabolă.

Construcția prezentată în fig. 7, poate fi folosit pentru ieșire ecuatii generale secțiuni conice. Pătratul lungimii unui segment al unei perpendiculare, restabilit din orice punct al diametrului la intersecția cu cercul, este întotdeauna egal cu produsul lungimilor segmentelor diametrului. De aceea

y 2 = RQ H QS.

Pentru o parabolă, un segment RQ are o lungime constantă (deoarece pentru orice poziție a punctului P este egal cu segmentul AE), și lungimea segmentului QS proporţional X(din relație QS/EB = QF/F.E.). De aici rezultă că

Unde A – factor constant. Număr A exprimă lungimea parametrului focal al parabolei.

Dacă unghiul de la vârful conului este acut, atunci segmentul RQ nu egal cu tăierea AE; dar raportul y 2 = RQ H QS este echivalent cu o ecuație de formă

Unde Ași b sunt constante sau, după deplasarea axelor, la ecuație

care este ecuația unei elipse. Punctele de intersecție ale elipsei cu axa X (X = Ași X = –A) și punctele de intersecție ale elipsei cu axa y (y = bși y = –b) definesc axele majore și, respectiv, minore. Dacă unghiul de la vârful conului este obtuz, atunci curba de intersecție a conului și a planului are forma unei hiperbole, iar ecuația ia următoarea formă:

sau, după mutarea axelor,

În acest caz, punctele de intersecție cu axa X, dat de relația X 2 = A 2, definiți axa transversală și punctele de intersecție cu axa y, dat de relația y 2 = –b 2 definiți axa de împerechere. Dacă este constantă Ași bîn ecuația (4a) sunt egale, atunci hiperbola se numește isoscelă. Prin rotirea axelor, ecuația sa se reduce la forma

X y = k.

Acum din ecuațiile (3), (2) și (4) putem înțelege semnificația numelor date de Apollonius celor trei secțiuni conice principale. Termenii „elipsă”, „parabolă” și „hiperbolă” provin din cuvinte grecești care înseamnă „lipsă”, „egal” și „superior”. Din ecuațiile (3), (2) și (4) este clar că pentru o elipsă y 2 b 2 / A) X, pentru parabolă y 2 = (A) X iar pentru hiperbolă y 2 > (2b 2 /A) X. În fiecare caz, valoarea cuprinsă între paranteze este egală cu parametrul focal al curbei.

Apollonius însuși a considerat doar trei tip general secțiuni conice (tipurile 2, 3 și 9 enumerate mai sus), dar abordarea sa permite o generalizare care ne permite să luăm în considerare toate curbele reale de ordinul doi. Dacă planul de tăiere este ales paralel cu baza circulară a conului, atunci se va obține un cerc în secțiune. Dacă planul de tăiere are un singur punct comun cu conul, vârful acestuia, atunci se va obține o secțiune de tip 5; dacă conține un vârf și o tangentă la con, atunci obținem o secțiune de tip 8 (Fig. 6, b); dacă planul de tăiere conține două generatrice ale conului, atunci se obține o curbă de tip 4 în secțiune (Fig. 6, A); când vârful este transferat la infinit, conul se transformă într-un cilindru, iar dacă planul conține două generatoare, atunci se obține o secțiune de tip 6.

Când este privit dintr-un unghi oblic, un cerc arată ca o elipsă. Relația dintre cerc și elipsă, cunoscută lui Arhimede, devine evidentă dacă cerc X 2 + Y 2 = A 2 folosind substituția X = X, Y = (A/b) y converti in elipsa, dat de ecuație(3a). transformare X = X, Y = (ai/b) y, Unde i 2 = –1, ne permite să scriem ecuația cercului sub forma (4a). Aceasta arată că o hiperbolă poate fi privită ca o elipsă cu o axă minoră imaginară sau, dimpotrivă, o elipsă poate fi văzută ca o hiperbolă cu o axă conjugată imaginară.

Relația dintre ordonatele unui cerc X 2 + y 2 = A 2 și elipsa ( X 2 /A 2) + (y 2 /b 2) = 1 duce direct la formula lui Arhimede A = p ab pentru zona elipsei. Kepler cunoștea formula aproximativă p(A + b) pentru perimetrul unei elipse apropiate unui cerc, dar expresia exactă a fost obținută abia în secolul al XVIII-lea. după introducerea integralelor eliptice. După cum a arătat Arhimede, aria unui segment parabolic este de patru treimi din aria unui triunghi înscris, dar lungimea arcului unei parabole a putut fi calculată abia după secolul al XVII-lea. a fost inventat calculul diferenţial.

ABORDAREA PROIECTIVĂ

Geometria proiectivă este strâns legată de construcția perspectivei. Dacă desenați un cerc pe o foaie transparentă de hârtie și o plasați sub o sursă de lumină, atunci acest cerc va fi proiectat în planul de mai jos. În acest caz, dacă sursa de lumină este situată direct deasupra centrului cercului, iar planul și foaia transparentă sunt paralele, atunci proiecția va fi și un cerc (Fig. 8). Poziția sursei de lumină se numește punct de fugă. Este marcat cu litera V. În cazul în care un V situat nu deasupra centrului cercului sau dacă planul nu este paralel cu foaia de hârtie, atunci proiecția cercului ia forma unei elipse. Cu o înclinare și mai mare a planului, axa majoră a elipsei (proiecția cercului) se prelungește, iar elipsa se transformă treptat într-o parabolă; pe un plan paralel cu o dreaptă VP, proiecția arată ca o parabolă; cu o înclinare și mai mare, proiecția ia forma uneia dintre ramurile hiperbolei.

Fiecare punct de pe cercul original corespunde unui punct din proiecție. Dacă proiecția are forma unei parabole sau hiperbole, atunci ei spun că punctul corespunzător punctului P, este la infinit sau la infinit.

După cum am văzut, cu o alegere adecvată a punctelor de fugă, un cerc poate fi proiectat în elipse de diferite dimensiuni și cu diferite excentricități, iar lungimile axelor majore nu sunt direct legate de diametrul cercului proiectat. Prin urmare, geometria proiectivă nu se ocupă de distanțe sau lungimi în sine, sarcina sa este de a studia raportul lungimilor care se păstrează sub proiecție. Această relație poate fi găsită folosind următoarea construcție. prin orice punct P plan desenăm două tangente la orice cerc și conectăm punctele de contact cu o dreaptă p. Lasă o altă linie să treacă prin punct P, intersectează cercul în puncte C 1 și C 2, ci linia dreaptă p- la punct Q(Fig. 9). Planimetria demonstrează că PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Semnul minus apare deoarece direcția segmentului QC 1 opus directiilor altor segmente.) Cu alte cuvinte, punctele Pși Qîmpărțiți segmentul C 1 C 2 extern și intern în același sens; ei mai spun că raportul armonic al celor patru segmente este - 1. Dacă cercul este proiectat într-o secțiune conică și aceleași denumiri sunt păstrate pentru punctele corespunzătoare, atunci raportul armonic ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) va rămâne egal - 1. Punct P numit polul liniei pîn raport cu o secțiune conică și o linie dreaptă p- punctul polar P faţă de secţiunea conică.

Când punct P se apropie de o secţiune conică, polarul tinde să ia poziţia unei tangente; dacă punct P se află pe secțiunea conică, apoi polara sa coincide cu tangenta la secțiunea conică în punctul respectiv P. Dacă punct P situat în interiorul secțiunii conice, atunci polarul său poate fi construit după cum urmează. Să trecem prin punct P orice linie dreaptă care intersectează o secțiune conică în două puncte; trageți tangente la secțiunea conică în punctele de intersecție; să presupunem că aceste tangente se intersectează într-un punct P unu . Să trecem prin punct P o altă linie dreaptă care intersectează secțiunea conică în alte două puncte; să presupunem că tangentele la secțiunea conică în aceste noi puncte se intersectează în acest punct P 2 (Fig. 10). Linie care trece prin puncte P 1 și P 2 și există polarul dorit p. Dacă punct P apropiindu-se de centru O secțiunea conică centrală, apoi cea polară p se îndepărtează de O. Când punct P coincide cu O, apoi polarul său devine la infinit, sau ideal, drept pe plan.

CLĂDIRI SPECIALE

De interes deosebit pentru astronomi este următoarea construcție simplă a punctelor unei elipse folosind o busolă și o linie dreaptă. Fie o dreaptă arbitrară care trece printr-un punct O(Fig. 11, A), se intersectează în puncte Qși R două cercuri concentrice centrate într-un punct Oși razele bși A, Unde b A. Să trecem prin punct Q linie orizontală și R- o linie verticală și indică punctul lor de intersecție P P când se rotește drept OQRîn jurul punctului O va fi o elipsă. Colţ fîntre linie OQR iar axa majoră se numește unghi excentric, iar elipsa construită este specificată convenabil de ecuațiile parametrice X = A cos f, y = b păcat f. Excluzând parametrul f, obținem ecuația (3a).

Pentru o hiperbolă, construcția este în mare măsură similară. Linie arbitrară care trece printr-un punct O, intersectează unul dintre cele două cercuri într-un punct R(Fig. 11, b). Până la punctul R un cerc și până la punctul final S diametrul orizontal al altui cerc, desenăm tangente care se intersectează OS la punct Tși SAU- la punct Q. Lasă linia verticală care trece prin punct T, și o linie orizontală care trece prin punct Q, se intersectează într-un punct P. Apoi locul punctelor P la rotirea segmentului SAUîn jurul O va exista o hiperbolă dată de ecuațiile parametrice X = A sec f, y = b tg f, Unde f- unghi excentric. Aceste ecuații au fost obținute de matematicianul francez A. Legendre (1752–1833). Prin excluderea parametrului f, obținem ecuația (4a).

O elipsă, după cum a observat N. Copernic (1473-1543), poate fi construită folosind o mișcare epiciclică. Dacă un cerc se rostogolește fără să alunece de-a lungul interiorului altui cerc cu diametrul de două ori mai mare, atunci fiecare punct P, care nu se află pe un cerc mai mic, ci fix în raport cu acesta, va descrie o elipsă. Dacă punct P este pe cercul mai mic, atunci traiectoria acestui punct este un caz degenerat al unei elipse - diametrul cercului mai mare. O construcție și mai simplă a unei elipse a fost propusă de Proclus în secolul al V-lea. Dacă se termină Ași B segment de linie dreaptă AB al unei lungimi date alunecă de-a lungul a două linii drepte fixe care se intersectează (de exemplu, de-a lungul axelor de coordonate), apoi fiecare punct intern P segmentul va descrie o elipsă; matematicianul olandez F. van Schoten (1615–1660) a arătat că orice punct din planul dreptelor care se intersectează, fix față de segmentul de alunecare, va descrie și o elipsă.

B. Pascal (1623-1662) la vârsta de 16 ani a formulat acum faimoasa teoremă a lui Pascal, care spune: trei puncte de intersecție ale laturilor opuse ale unui hexagon înscrise în orice secțiune conică se află pe o dreaptă. Pascal a derivat peste 400 de corolare din această teoremă.

Suprafețe de ordinul doi sunt suprafețe care într-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt determinate de ecuații algebrice de gradul doi.

1. Elipsoid.

Un elipsoid este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație:

Ecuația (1) se numește ecuație canonică elipsoid.

Setați vederea geometrică a elipsoidului. Pentru a face acest lucru, luați în considerare secțiuni ale elipsoidului dat prin planuri paralele cu planul Oxy. Fiecare dintre aceste planuri este definit de o ecuație de formă z=h, Unde h- orice număr, iar linia care se obține în secțiune este determinată de două ecuații

(2)

Să studiem ecuațiile (2) pentru diferite valori h .

> c(c>0), atunci ecuațiile (2) definesc și o elipsă imaginară, adică punctele de intersecție ale planului z=h cu elipsoidul dat nu există. , apoi iar linia (2) degenerează în puncte (0; 0; + c) și (0; 0; - c) (planele ating elipsoidul). , atunci ecuațiile (2) pot fi reprezentate ca

de unde rezultă că avionul z=h intersectează elipsoidul de-a lungul unei elipse cu semiaxe

și . Când scad, valorile și cresc și ajung la nivelul lor cele mai mari valori la , adică în secțiunea elipsoidului după planul de coordonate Oxy rezultă cea mai mare elipsă cu semiaxele și .

O imagine similară se obține atunci când suprafața dată este intersectată de plane paralele cu planurile de coordonate Oxzși Oyz.

Astfel, secțiunile luate în considerare fac posibilă reprezentarea elipsoidului ca o suprafață ovală închisă (Fig. 156). Cantitati a, b, c numit arbori de osie elipsoid. Când a=b=c elipsoidul este sferăal.

2. Hiperboloid cu o bandă.

Un hiperboloid cu o bandă este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație (3)

Ecuația (3) se numește ecuația canonică a unui hiperboloid cu o bandă.

Setați tipul suprafeței (3). Pentru a face acest lucru, luați în considerare secțiunea după planurile sale de coordonate Oxy (y=0)șiOx(x=0). Obținem, respectiv, ecuațiile

și

Acum luați în considerare secțiuni ale acestui hiperboloid după planuri z=h paralele cu planul de coordonate Oxy. Linia obținută în secțiune este determinată de ecuații

sau (4)

din care rezultă că planul z=h intersectează hiperboloidul de-a lungul unei elipse cu semiaxe

și ,

atingând cele mai scăzute valori la h=0, adică în secțiunea acestui hiperboloid, axa de coordonate Oxy produce cea mai mică elipsă cu semiaxele a*=a și b*=b. Cu o creștere infinită

marimile a* si b* cresc la infinit.

Astfel, secțiunile luate în considerare fac posibilă reprezentarea unui hiperboloid cu o bandă ca un tub infinit, extinzându-se infinit pe măsură ce se îndepărtează (pe ambele părți) de planul Oxy.

Mărimile a, b, c se numesc semiaxele unui hiperboloid cu o bandă.

3. Hiperboloid cu două foi.

Un hiperboloid cu două foi este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație

Ecuația (5) se numește ecuația canonică a unui hiperboloid cu două foi.

Să stabilim forma geometrică a suprafeței (5). Pentru a face acest lucru, luați în considerare secțiunile sale după planurile de coordonate Oxy și Oyz. Obținem, respectiv, ecuațiile

și

din care rezultă că se obţin hiperbole în secţiuni.

Acum luați în considerare secțiuni ale acestui hiperboloid după planuri z=h paralele cu planul de coordonate Oxy. Linia obținută în secțiune este determinată de ecuații

sau (6)

din care rezultă că

>c (c>0) planul z=h intersectează hiperboloidul de-a lungul unei elipse cu semi-axe și . Pe măsură ce valoarea crește, cresc și a* și b*. Ecuațiile (6) sunt îndeplinite de coordonatele a doar două puncte: (0; 0; + c) și (0; 0; - c) (planele ating suprafața dată). ecuațiile (6) definesc o elipsă imaginară, i.e. nu există puncte de intersecție ale planului z=h cu hiperboloidul dat.

Mărimea a, b și c se numesc semiaxele hiperboloidului cu două foi.

4. Paraboloid eliptic.

Un paraboloid eliptic este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație

(7)

unde p>0 și q>0.

Ecuația (7) se numește ecuația canonică a unui paraboloid eliptic.

Luați în considerare secțiunile suprafeței date după planurile de coordonate Oxy și Oyz. Obținem, respectiv, ecuațiile

și

din care rezultă că în secțiuni se obțin parabole, simetrice față de axa Oz, cu vârfuri la origine. (opt)

din care rezultă că pentru . Pe măsură ce h crește, cresc și a și b; pentru h=0 elipsa degenerează într-un punct (planul z=0 atinge hiperboloidul dat). Pentru H<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Astfel, secțiunile luate în considerare fac posibilă reprezentarea unui paraboloid eliptic sub forma unui bol infinit convex.

Punctul (0;0;0) se numește vârful paraboloidului; numerele p și q sunt parametrii săi.

În cazul p=q, ecuația (8) definește un cerc centrat pe axa Oz, i.e. Un paraboloid eliptic poate fi privit ca o suprafață formată prin rotația unei parabole în jurul axei sale (paraboloid de revoluție).

5. Paraboloid hiperbolic.

Un paraboloid hiperbolic este o suprafață care, într-un sistem de coordonate dreptunghiular, este definită de ecuație

(9)

Definiția 1. O suprafață conică sau un con cu un vârf în punctul M 0 este o suprafață formată din toate liniile drepte, fiecare dintre acestea trecând prin punctul M 0 și printr-un punct al dreptei γ. Punctul M 0 se numește vârful conului, linia γ se numește ghidaj. Liniile care trec prin vârful conului și care se află pe acesta se numesc generatoare ale conului.

Teorema. Suprafață de ordinul 2 cu ecuație canonică

este un con cu un vârf la origine, ghidat de o elipsă

Dovada.

Fie M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) un punct al suprafeței α diferit de origine; ?=OM1 este o linie, M (x; y; z) aparţine lui ?. Din moment ce | | , atunci, astfel încât

Deoarece, atunci coordonatele sale sunt x 1; y1; z 1 satisface ecuația (1). Ținând cont de condițiile (3), avem, unde t≠ 0. Împărțirea ambelor părți ale ecuației la t2≠ 0, obținem că coordonatele unui punct arbitrar M (x; y; z) ale dreptei m=OM 1 satisfac ecuația (1). Este satisfăcut și de coordonatele punctului O(0,0,0).

Astfel, orice punct M (x; y; z) al dreptei m=OM 1 se află pe suprafața α cu ecuația (1), adică dreapta OM 1 =m este o generatrică rectilinie a suprafeței α.

Să considerăm acum o secțiune a suprafeței α printr-un plan paralel cu planul Oxy cu ecuația z=c≠ 0:

Această secțiune este o elipsă cu semiaxe Ași b. Prin urmare, intersectează această elipsă. Conform Definiției 1, suprafața α este un con cu vârf O(0,0,0) (Toate liniile m trec prin origine); generatoarele acestui con sunt linii drepte m, ghidajul este elipsa indicată mai sus.

Teorema a fost demonstrată.

Definiția 2. O suprafață de ordinul doi cu ecuația canonică (1) se numește con de ordinul doi.

Proprietăți ale conului de ordinul 2.

1º Conul cu ecuația (1) este simetric față de toate planurile de coordonate, toate axele de coordonate și originea (deoarece toate variabilele sunt cuprinse în ecuația (1) până la gradul doi).

2º Toate axele de coordonate au cu conul (1) singurul punct comun - originea, care servește ca vârf și centru în același timp.

3º Secțiunea unui con (1) pe planuri Oxzși Oyz– perechi de drepte care se intersectează la origine; avion Oxy- punct O(0,0,0).

4º Secțiunile conului (1) pe planuri paralele cu planurile de coordonate, dar care nu coincid cu acestea, sunt fie elipse, fie hiperbole.

5ºÎn cazul în care un A = b, atunci aceste elipse sunt cercuri, iar conul în sine este o suprafață de revoluție. Se numește în acest caz un con circular.

Definiția 3: o secțiune conică este o dreaptă de-a lungul căreia un con circular se intersectează cu un plan arbitrar care nu trece prin vârful său. Astfel, secțiunile canonice sunt elipsa, hiperbola și parabola.

Cu diferența că în loc de grafice „plate”, vom lua în considerare cele mai comune suprafețe spațiale și, de asemenea, vom învăța cum să le construim corect manual. Am căutat instrumente software pentru construirea de desene 3D de ceva timp și am găsit câteva aplicații bune, dar în ciuda ușurinței în utilizare, aceste programe nu rezolvă bine o problemă practică importantă. Faptul este că, în viitorul istoric previzibil, studenții vor fi încă înarmați cu o riglă cu un creion și, chiar și având un desen „mașină” de înaltă calitate, mulți nu îl vor putea transfera corect pe hârtie în carouri. Prin urmare, în manualul de instruire, se acordă o atenție deosebită tehnicii de construcție manuală, iar o parte semnificativă a ilustrațiilor de pe pagină este un produs realizat manual.

Prin ce este diferit acest material de referință de analogi?

Având o experiență practică decentă, știu foarte bine ce suprafețe sunt cel mai des tratate în probleme reale de matematică superioară și sper că acest articol vă va ajuta să vă completați rapid bagajele cu cunoștințe relevante și abilități aplicate, care sunt 90-95% cazuri. ar trebui să fie suficient.

Ce trebuie să știi acum?

Cele mai elementare:

În primul rând, trebuie să fii capabil construi corect sistem de coordonate carteziene spațiale (vezi începutul articolului Grafice și proprietăți ale funcțiilor ) .

Ce vei câștiga după ce citești acest articol?

Sticlă După stăpânirea materialelor lecției, veți învăța cum să determinați rapid tipul de suprafață prin funcția și/sau ecuația sa, să vă imaginați cum este situată în spațiu și, desigur, să faceți desene. Este în regulă dacă nu ți se potrivește totul în cap de la prima lectură - poți oricând să revii la orice paragraf după cum este necesar mai târziu.

Informația este în puterea fiecăruia - pentru dezvoltarea ei nu aveți nevoie de nicio super-cunoaștere, talent artistic deosebit și viziune spațială.

ÎNCEPE!

În practică, suprafața spațială este de obicei dată funcţia a două variabile sau o ecuație a formei (constanta părții drepte este cel mai adesea egală cu zero sau unu). Prima denumire este mai tipică pentru analiza matematică, a doua - pentru geometrie analitică . Ecuația, în esență, este implicit dat funcție a 2 variabile, care în cazuri tipice pot fi ușor reduse la forma . Vă amintesc de cel mai simplu exemplu c:

– ecuația plană drăguț.

este funcția plană în explicit .

Să începem cu el:

Ecuații de plan comun

Opțiunile tipice pentru aranjarea planurilor într-un sistem de coordonate dreptunghiulare sunt discutate în detaliu chiar la începutul articolului. Ecuația plană . Cu toate acestea, încă o dată ne vom opri asupra ecuațiilor care sunt de mare importanță pentru practică.

În primul rând, trebuie să recunoașteți pe deplin ecuațiile planurilor care sunt paralele cu planurile de coordonate. Fragmentele de plan sunt descrise în mod standard ca dreptunghiuri, care în ultimele două cazuri arată ca paralelograme. În mod implicit, puteți alege orice dimensiune (în limite rezonabile, desigur), în timp ce este de dorit ca punctul în care axa de coordonate „perforează” planul să fie centrul de simetrie:


Strict vorbind, axele de coordonate în unele locuri ar fi trebuit reprezentate cu o linie punctată, dar pentru a evita confuzia, vom neglija această nuanță.

– (desen din stânga) inegalitatea definește semispațiul cel mai îndepărtat de noi, excluzând planul însuși;

– (desen mediu) inegalitatea definește semi-spațiul drept, inclusiv planul;

– (desen dreapta) o inegalitate dublă specifică un „strat” situat între planuri, incluzând ambele plane.

Pentru antrenament personal:

Exemplul 1

Desenați un corp delimitat de planuri
Alcătuiți un sistem de inegalități care definesc corpul dat.

O veche cunoștință ar trebui să iasă de sub creionul tău cuboid. Nu uitați că marginile și fețele invizibile trebuie desenate cu o linie punctată. S-a terminat de desenat la sfârșitul lecției.

Vă rog, NU NEGLIJAȚI sarcini de învățare, chiar dacă par prea simple. În caz contrar, s-ar putea dovedi că l-au ratat o dată, l-au ratat de două ori și apoi au petrecut o oră șlefuind un desen tridimensional într-un exemplu real. În plus, munca mecanică va ajuta la învățarea materialului mult mai eficient și la dezvoltarea inteligenței! Nu este o coincidență că la grădiniță și școala elementară copiii sunt încărcați cu desen, modelaj, designeri și alte sarcini pentru motricitatea fină a degetelor. Iertați-mă pentru digresiune, dar cele două caiete ale mele despre psihologia dezvoltării nu ar trebui să dispară =)

Vom numi condiționat următorul grup de planuri „proporții directe” - acestea sunt plane care trec prin axele de coordonate:

2) ecuația formei definește un plan care trece prin axă;

3) ecuația formei definește un plan care trece prin axă.

Deși semnul formal este evident (care variabilă lipsește în ecuație - planul trece prin acea axă), este întotdeauna util să înțelegem esența evenimentelor care au loc:

Exemplul 2

Construiește avionul

Care este cel mai bun mod de a construi? Propun următorul algoritm:

În primul rând, rescriem ecuația sub forma , din care se vede clar că „y” poate lua orice valorile. Fixăm valoarea , adică vom lua în considerare planul de coordonate . Ecuațiile stabilite linie spațială situată în planul de coordonate dat. Să desenăm această linie pe desen. Linia trece prin origine, așa că pentru a o construi este suficient să găsiți un punct. Lăsa . Lăsați deoparte un punct și trageți o linie.

Acum revenim la ecuația plană. Din moment ce „y” ia orice valori, apoi linia dreaptă construită în plan este „replicată” continuu la stânga și la dreapta. Așa se formează planul nostru, trecând prin axă. Pentru a finaliza desenul, în stânga și în dreapta dreptei lăsăm deoparte două linii paralele și „închidem” paralelogramul simbolic cu segmente orizontale transversale:

Deoarece condiția nu impunea restricții suplimentare, fragmentul avionului putea fi reprezentat puțin mai mic sau puțin mai mare.

Încă o dată, repetăm ​​sensul inegalității liniare spațiale folosind exemplul. Cum se determină semi-spațiul pe care îl definește? Să luăm un punct nedeținută plan, de exemplu, un punct din semi-spațiul cel mai apropiat de noi și înlocuiți coordonatele sale în inegalitatea:

Primit inegalitatea corectă, ceea ce înseamnă că inegalitatea definește semi-spațiul inferior (în raport cu planul ), în timp ce planul în sine nu este inclus în soluție.

Exemplul 3

Construiți avioane
A) ;
b) .

Acestea sunt sarcini pentru autoconstrucție, în caz de dificultate, folosiți raționament similar. Scurte instrucțiuni și desene la sfârșitul lecției.

În practică, planurile paralele cu axa sunt deosebit de comune. Un caz special, când avionul trece prin axă, a fost doar în paragraful „b”, iar acum vom analiza o problemă mai generală:

Exemplul 4

Construiește avionul

Soluţie: variabila „z” nu participă în mod explicit în ecuație, ceea ce înseamnă că planul este paralel cu axa aplicată. Să folosim aceeași tehnică ca în exemplele anterioare.

Să rescriem ecuația plană sub forma din care este clar că „Z” poate lua orice valorile. Să o reparăm și în planul „nativ” să desenăm linia dreaptă obișnuită „plată”. Pentru a-l construi, este convenabil să luați puncte de referință.

Din moment ce „Z” ia toate valori, apoi linia dreaptă construită se „multipește” continuu în sus și în jos, formând astfel planul dorit . Întocmește cu atenție un paralelogram de dimensiune rezonabilă:

Gata.

Ecuația unui plan în segmente

Cel mai important soi aplicat. În cazul în care un toate cote ecuația generală a planului diferit de zero, atunci poate fi reprezentat ca , Care e numit ecuație plană în segmente. Evident, planul intersectează axele de coordonate în puncte, iar marele avantaj al unei astfel de ecuații este ușurința desenării:

Exemplul 5

Construiește avionul

Soluţie: mai întâi, compunem ecuația planului în segmente. Aruncă termenul liber la dreapta și împarte ambele părți la 12:

Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar și toate lucrurile se întâmplă în spațiu! Examinăm suprafața propusă prin aceeași metodă care a fost folosită recent pentru avioane. Rescriem ecuația sub forma , din care rezultă că „Z” ia orice valorile. Fixăm și construim o elipsă în plan. Din moment ce „Z” ia toate valori, atunci elipsa construită este continuu „replicată” în sus și în jos. Este ușor de înțeles că suprafața fără sfârşit:

Această suprafață se numește cilindru eliptic. Se numește o elipsă (la orice înălțime). ghid cilindru, iar liniile paralele care trec prin fiecare punct al elipsei se numesc generatoare cilindru (care îl formează literalmente). axa este axa de simetrie suprafață (dar nu o parte din ea!).

Coordonatele oricărui punct aparținând unei suprafețe date în mod necesar satisface ecuația .

Spațial inegalitatea definește „interiorul” „țevii” infinite, inclusiv suprafața cilindrică însăși și, în consecință, inegalitatea opusă definește setul de puncte din afara cilindrului.

În problemele practice, cel mai popular caz este când ghid cilindrul este cerc :

Exemplul 8

Construiți suprafața dată de ecuație

Este imposibil să descrii o „țeavă” fără sfârșit, prin urmare arta se limitează, de regulă, la „tăiere”.

În primul rând, este convenabil să construiți un cerc cu rază în plan și apoi încă câteva cercuri deasupra și dedesubt. Cercurile rezultate ( ghiduri cilindru) bine conectat prin patru linii drepte paralele ( generatoare cilindru):

Nu uitați să folosiți linii punctate pentru liniile invizibile.

Coordonatele oricărui punct aparținând unui cilindru dat satisfac ecuația . Coordonatele oricărui punct situat strict în interiorul „țevii” satisfac inegalitatea , și inegalitatea definește un set de puncte ale părții exterioare. Pentru o mai bună înțelegere, vă recomand să luați în considerare câteva puncte specifice din spațiu și să vedeți singur.

Exemplul 9

Construiți o suprafață și găsiți proiecția acesteia pe un plan

Rescriem ecuația sub forma din care rezultă că „x” ia orice valorile. Să reparăm și să desenăm în avion cerc – centrat la origine, unitate de rază. Deoarece „x” ia continuu toate valori, atunci cercul construit generează un cilindru circular cu o axă de simetrie. Desenați un alt cerc ghid cilindru) și conectați-le cu atenție cu linii drepte ( generatoare cilindru). În unele locuri, s-au dovedit suprapuneri, dar ce să faci, o astfel de pantă:

De data aceasta m-am limitat la o bucată de cilindru din gol și acest lucru nu este întâmplător. În practică, este adesea necesar să se înfățișeze doar un mic fragment al suprafeței.

Aici, apropo, s-au dovedit 6 generatrice - două linii drepte suplimentare „închid” suprafața din colțurile din stânga sus și din dreapta jos.

Acum să ne ocupăm de proiecția cilindrului pe plan. Mulți cititori înțeleg ce este o proiecție, dar, totuși, să petrecem încă cinci minute de educație fizică. Vă rugăm să vă ridicați și să înclinați capul deasupra desenului, astfel încât vârful axei să pară perpendicular pe frunte. Cum arată cilindrul din acest unghi este proiecția lui pe plan. Dar pare a fi o fâșie fără sfârșit, închisă între linii drepte, inclusiv liniile drepte în sine. Această proiecție este exact domeniu funcții („jgheab” superior al cilindrului), („jgheab” inferior).

Apropo, să clarificăm situația cu proiecții pe alte planuri de coordonate. Lasă razele soarelui să strălucească pe cilindru din partea vârfului și de-a lungul axei. Umbra (proiecția) unui cilindru pe un plan este o bandă infinită similară - o parte a planului delimitată de linii drepte (-oricare), inclusiv liniile drepte în sine.

Dar proiecția în avion este oarecum diferită. Dacă priviți cilindrul din vârful axei, atunci acesta este proiectat într-un cerc cu raza unitară cu care am început construcția.

Exemplul 10

Construiți o suprafață și găsiți proiecțiile acesteia pe planuri de coordonate

Aceasta este o sarcină pentru o decizie independentă. Dacă starea nu este foarte clară, pătrați ambele părți și analizați rezultatul; aflați exact ce parte a cilindrului specifică funcția. Utilizați tehnica de construcție care a fost folosită în mod repetat mai sus. Rezolvare scurtă, desen și comentarii la sfârșitul lecției.

Suprafețele eliptice și alte suprafețe cilindrice pot fi compensate în raport cu axele de coordonate, de exemplu:

(pe temeiul familiar al unui articol despre Liniile de ordinul 2 ) - un cilindru de rază unitară cu o linie de simetrie care trece printr-un punct paralel cu axa. Cu toate acestea, în practică, astfel de cilindri se întâlnesc destul de rar și este absolut de necrezut să întâlniți o suprafață cilindrică „oblică” în raport cu axele de coordonate.

Cilindri parabolici

Așa cum sugerează și numele, ghid un astfel de cilindru este parabolă .

Exemplul 11

Construiți o suprafață și găsiți proiecțiile acesteia pe planurile de coordonate.

Nu am putut rezista acestui exemplu =)

Soluţie: Urmăm drumul bătut. Să rescriem ecuația sub forma , din care rezultă că „Z” poate lua orice valoare. Să fixăm și să construim o parabolă obișnuită pe plan , după ce au marcat în prealabil punctele de referință triviale . Din moment ce „Z” ia toate valori, atunci parabola construită este „replicată” continuu în sus și în jos până la infinit. Lăsăm deoparte aceeași parabolă, să zicem, la o înălțime (în plan) și le conectăm cu grijă cu linii paralele ( generatoare ale cilindrului):

reamintesc tehnica utila: dacă inițial nu există încredere în calitatea desenului, atunci este mai bine să desenați mai întâi liniile subțiri și subțiri cu un creion. Apoi evaluăm calitatea schiței, aflăm zonele în care suprafața este ascunsă de ochii noștri și abia apoi aplicăm presiune pe stylus.

Proiecții.

1) Proiecția unui cilindru pe un plan este o parabolă. Trebuie remarcat faptul că în acest caz este imposibil să vorbim despre domenii ale unei funcţii a două variabile - din motivul ca ecuatia cilindrului nu este reductibila la forma functionala .

2) Proiecția cilindrului pe plan este un semiplan, inclusiv axa

3) Și, în sfârșit, proiecția cilindrului pe plan este întregul plan.

Exemplul 12

Construiți cilindri parabolici:

a) , ne restrângem la un fragment de suprafață în semi-spațiul apropiat;

b) între ele

În caz de dificultăți, nu ne grăbim și argumentăm prin analogie cu exemplele anterioare, din fericire, tehnologia a fost bine elaborată. Nu este critic dacă suprafețele se dovedesc a fi puțin stângace - este important să afișați corect imaginea fundamentală. Eu însumi nu mă deranjez în mod deosebit cu frumusețea liniilor, dacă obțin un desen tolerabil „C grade”, de obicei nu îl refac. În soluția de probă, apropo, a fost folosită încă o tehnică pentru a îmbunătăți calitatea desenului ;-)

Cilindri hiperbolici

ghiduri astfel de cilindri sunt hiperbolă. Acest tip de suprafață, conform observațiilor mele, este mult mai rar decât tipurile anterioare, așa că mă voi limita la un singur desen schematic al unui cilindru hiperbolic:

Principiul raționamentului aici este exact același - cel obișnuit hiperbola școlară din plan se „înmulțește” continuu în sus și în jos până la infinit.

Cilindrii considerați aparțin așa-numitelor suprafete de ordinul 2, iar acum vom continua să facem cunoștință cu alți reprezentanți ai acestui grup:

Elipsoid. Sferă și minge

Ecuația canonică a unui elipsoid într-un sistem de coordonate dreptunghiular are forma , unde sunt numere pozitive ( arbori de osie elipsoid), care în cazul general diferit. Se numește elipsoid suprafaţă, și corp delimitată de această suprafaţă. Corpul, după cum mulți au ghicit, este dat de inegalitate iar coordonatele oricărui punct interior (precum și orice punct de suprafață) satisfac în mod necesar această inegalitate. Proiectarea este simetrică în raport cu axele de coordonate și planurile de coordonate:

Originea termenului „elipsoid” este, de asemenea, evidentă: dacă suprafața este „tăiată” de planuri de coordonate, atunci în secțiuni vor exista trei diferite (în cazul general)