Care este egalitatea fracțiilor. Proprietatea de bază a unei fracții. Reducerea fracțiilor. Egalitatea fracțiilor. Descoperirea de noi cunoștințe

„Dacă vrei să împarți una, matematicienii te vor ridiculiza și nu te vor lăsa să o faci” -

a scris fondatorul Academiei Ateniene Platon.

Dar nu toți matematicienii greci antici au fost de acord cu Platon. Fracțiile au fost manipulate liber de către Arhimede și Heron din Alexandria.

Vizualizați conținutul documentului
„Egalitatea fracțiilor”.

Harta tehnologică a lecției.

Subiect

Matematica

Clasă

Subiectul lecției

Egalitatea fracțiilor.

Tipul de lecție

Învățarea de materiale noi

Goluri

educational - să se familiarizeze cu regula de comparare a fracțiilor cu aceiași înlocuitori, cu înlocuitori diferiți;

în curs de dezvoltare - dezvoltare gandire logica, vorbire matematică demonstrativă, observație, ingeniozitate;

educational - educație pentru respect reciproc, intenție, independență; crearea de condiţii favorabile, emoţionale şi climatul psihologicîn sala de clasă pentru perceperea materialului educaţional.

Rezultatele educaționale planificate

subiect

Metasubiect

Personal

Cunoaște conceptele: fracții egale, fracții reductibile, fracții ireductibile, să fie capabil să aducă fracții la un numitor comun, să cunoască conceptul de cel mai mic numitor comun, să poată aduce fracții la cel mai mic numitor comun;

Formulează și notează cu ajutorul literelor principala proprietate a unei fracții obișnuite,

Convertiți fracții obișnuite, comparați-le și ordonați-le,

Găsiți o fracție egală cu una dată.

Dezvoltați capacitatea de a vedea o problemă de matematică în contextul unei situații problematice din alte discipline, din viața înconjurătoare; dezvolta capacitatea de a lucra in grup.

Dezvoltarea abilităților de ascultare; își exprimă clar, corect și competent gândurile în vorbire orală și scrisă; dezvolta gândirea creativă, inițiativa, inventivitatea, activitatea în rezolvarea problemelor matematice; să-și formeze idei despre matematică ca modalitate de cunoaștere, conservare și dezvoltare armonioasă a lumii, ca parte a culturii umane, despre importanța matematicii în dezvoltarea civilizației și a societății moderne.

Structura organizationala lecţie

Etapa lecției

Activitate

Timp

profesori

elevi

organizatoric

Comunicativ: planificarea cooperării educaționale cu profesorul și colegii.

de reglementare: organizarea activităților de învățare

Personal: motivația de învățare.

Salutarea, verificarea pregătirii pentru lecție, organizarea atenției copiilor.

Inclus în ritmul de afaceri al lecției.

Motivația și

actualizare

Comunicativ: planificarea cooperării educaționale cu profesorul și colegii;

Cognitiv:

selectarea și formularea independentă a unui scop cognitiv.

Logic: - formularea problemei

Numărarea verbală:

exerciții orale

2. Găsiți dintre numerele egale și explicați: ; ; unu; ; ; ; ; ; .

3. Aflați LCM a numerelor (în mod rațional): a) 4 și 8; b) 12 și 16; c) 12 și 11; d) 5; zece; unsprezece.

4. Există un astfel de număr natural care, în produsul cu numărul 6, ar da numărul:

a) 18; b) 27; la 3? Justificați răspunsul.

Răspunde la întrebările puse

Descoperirea de noi cunoștințe

Comunicativ:

folosirea mijloacelor de limbaj și vorbire pentru a primi și transmite informații, participa la un dialog productiv;

cognitive: analiză, raționament logic, alegerea celor mai multe moduri eficiente rezolvarea problemelor.

Înmulțiți numărătorul și numitorul unei fracții și fracțiile

Ce se poate vedea? (Fracțiile au același numitor.)

Se spune că fracțiile au un numitor comun.

Și care este acest numitor pentru numerele 3 și 5. (Multiple)

Numitorul comun al fracțiilor poate fi orice multiplu comun al numitorilor lor, dar fracțiile au ca rezultat, de obicei, cel mai mic numitor.

Să găsim LCM(3,5)=15. Aducem fracțiile la numitorul 15.

Ce este nevoie pentru asta?

Înmulțiți o fracție cu 3 și o fracție cu 5.

3 și 5 se numesc multiplicatori suplimentari.

Să încercăm să deducem regula pentru reducerea fracțiilor la un numitor comun. (...)

Reducerea fracțiilor la cel mai mic numitor comun (LCD)

Pentru a aduce mai multe fracții la cel mai mic numitor comun:

1) găsiți cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor fracții, acesta va fi cel mai mic numitor comun al acestora;

2) împărțiți cel mai mic numitor comun în numitorii acestor fracții, i.e. găsiți un factor suplimentar pentru fiecare fracție;

3) înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu factorul ei suplimentar.

Exemplu. Reducem la cel mai mic numitor comun al fracției
Soluţie. Cel mai mic multiplu comun al lui 4 și 6 este 12.
Pentru a aduce o fracție la un numitor de 12, este necesar să înmulțiți numărătorul și numitorul acestei fracții cu un suplimentar
multiplicatorul 3 (12:4 = 3). obține
Pentru a aduce o fracție la un numitor de 12, este necesar să înmulțiți numărătorul și numitorul acestei fracții cu un suplimentar factor 2 (12:6=2).

obține

Scrieți, discutați, comentați

Consolidarea cunoștințelor și abilităților

Cognitiv: analiză, raționament logic, alegerea celor mai eficiente modalități de rezolvare a problemelor.

Reglementare: arată inițiativă cognitivă

Comunicativ:

folosind mijloacele de limbaj și vorbire pentru a primi și transmite informații, participa la un dialog productiv.

№ 803 (1,2 st)

Soluţie:

b) 15/20 și 18/24; 90/120 = 90/120;

c) 20/35 și 16/28; 80/140=80/140;

f) 30/48 si 36/56; 210/336 216/336

g) 56/84 și 82/108; 504 /756 574 /756

1 elev la tablă, oțel decid singur.

Muncă independentă

Personal: efectuează o autoevaluare

Cognitiv:

Comunicativ:

Opțiunea 1

Soluție: 65:5*13=169 kg.

Rezolvare: 117/9*4= 13*4=52 fete.

117-52=65 băieți.

Opțiunea 2

Rezolvare: 36:2*9=162 p.

Soluție: 136:8*5=17*5=85 ușor. mașini

136-85=51 încărcări. mașini

Aduceți fracțiile la un numitor comun.

Rezumând. Teme pentru acasă.

Personal: efectuează o autoevaluare

Cognitiv:și-a format obiceiul de a face temele corect

Comunicativ: planificați cooperarea, determinați cine are nevoie de ajutor

Oferă o scurtă explicație pentru fiecare număr de teme.

№ 803 (3,4 st), 793 (în scris)

scrie teme pentru acasăîn jurnal, făcând notele necesare.

Reflecţie

Personal: efectuați autoevaluarea, învățați să acceptați în mod adecvat motivele succesului (eșecului)

Cognitiv: reflecta asupra metodelor si conditiilor actiunilor lor

Comunicativ: planifică colaborarea, folosește criterii pentru a-și justifica judecățile

Pune întrebări:

A fost dificil …

A fost interesant …

Am invatat …

m-a surprins

Evidențierea și înțelegerea de către studenți a ceea ce a fost deja învățat și a ceea ce rămâne încă de învățat, conștientizarea calității și a nivelului de asimilare

Exprimați-și gândurile

Opțiunea 1

În timpul zilei, magazinul a vândut 65 kg de mere, adică 5/13 din greutatea tuturor merelor aduse în magazin. Câte kilograme de mere au fost livrate?

În clasa a V-a sunt 117 elevi, dintre care 4/9 sunt fete. Câți băieți sunt în clasa a cincea.

Aduceți fracțiile la un numitor comun.

Opțiunea 2

În două zile, dactilografa a tipărit 36 de pagini, adică 2/9 din întregul manuscris. Câte pagini sunt în acest manuscris?

În flotă erau 136 de mașini, dintre care 5/8 camioane, iar restul autoturisme. Câte mașini erau în flotă.

Aduceți fracțiile la un numitor comun.

Opțiunea 1

În timpul zilei, magazinul a vândut 65 kg de mere, adică 5/13 din greutatea tuturor merelor aduse în magazin. Câte kilograme de mere au fost livrate?

În clasa a V-a sunt 117 elevi, dintre care 4/9 sunt fete. Câți băieți sunt în clasa a cincea.

Aduceți fracțiile la un numitor comun.

Opțiunea 2

În două zile, dactilografa a tipărit 36 de pagini, adică 2/9 din întregul manuscris. Câte pagini sunt în acest manuscris?

În flotă erau 136 de mașini, dintre care 5/8 camioane, iar restul autoturisme. Câte mașini erau în flotă.

Aduceți fracțiile la un numitor comun.

Acest subiect este destul de important pe proprietățile de bază ale fracțiilor, toate celelalte matematice și algebra se bazează. Proprietățile considerate ale fracțiilor, în ciuda importanței lor, sunt foarte simple.

A întelege proprietățile de bază ale fracțiilor ia în considerare un cerc.

Se poate observa pe cerc că 4 părți sau sunt umbrite din opt posibile. Scrieți fracția rezultată \(\frac(4)(8)\)

Următorul cerc arată că una dintre cele două părți posibile este umbrită. Scrieți fracția rezultată \(\frac(1)(2)\)

Dacă ne uităm atent, vom vedea că în primul caz, că în al doilea caz, jumătate din cerc este umbrită, deci fracțiile rezultate sunt egale cu \(\frac(4)(8) = \frac(1) (2)\), adică este același număr.

Cum poate fi demonstrat asta matematic? Foarte simplu, amintiți-vă de tabla înmulțirii și scrieți prima fracție în factori.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(red)(1) = \frac(1)(2)\)

Ce am făcut? Am factorizat numărătorul și numitorul \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), apoi am împărțit fracțiile \(\frac(1) ) (2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4))\). Patru împărțit la patru este 1, iar unul înmulțit cu orice număr este numărul însuși. Ceea ce am făcut în exemplul de mai sus se numește reducerea fracțiilor.

Să ne uităm la un alt exemplu și să reducem fracția.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(red) (2))(5 \cdot \color(red) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(red) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(red)(1) = \frac(3)(5)\)

Am pictat din nou numărătorul și numitorul în factori și am redus aceleași numere în numărători și numitori. Adică, doi împărțiți la doi au dat unul, iar unul înmulțit cu orice număr dă același număr.

Proprietatea de bază a unei fracții.

Aceasta implică proprietatea principală a unei fracții:

Dacă atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții sunt înmulțiți cu același număr (cu excepția zero), atunci valoarea fracției nu se va modifica.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

De asemenea, puteți împărți numărătorul și numitorul la același număr în același timp.
Luați în considerare un exemplu:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \color(red) (2))(8 \div \color(red) (2)) = \frac(3)(4)\)

Dacă atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții sunt împărțite la același număr (cu excepția zero), atunci valoarea fracției nu se va modifica.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

Se numesc fracțiile care au divizori primi comuni atât la numărător, cât și la numitor fracții anulabile.

Exemplu anulator: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)

De asemenea este si fracții ireductibile.

fracție ireductibilă este o fracție care nu are divizori primi comuni în numărători și numitori.

Exemplu de fracție ireductibilă: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)

Orice număr poate fi reprezentat ca o fracție, deoarece orice număr este divizibil cu unu, de exemplu:

\(7 = \frac(7)(1)\)

Întrebări la subiect:
Crezi că orice fracție poate fi redusă sau nu?
Răspuns: Nu, există fracții reductibile și fracții ireductibile.

Verificați dacă egalitatea este adevărată: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Răspuns: scrie o fracție \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\) da corect.

Exemplul #1:
a) Găsiți o fracție cu numitorul 15 care este egală cu fracția \(\frac(2)(3)\).
b) Găsiți o fracție cu numărătorul de 8, egală cu fracția \(\frac(1)(5)\).

Soluţie:
a) Trebuie ca numitorul să fie numărul 15. Acum numitorul este numărul 3. Cu ce număr trebuie înmulțit numărul 3 pentru a obține 15? Amintiți-vă tabla înmulțirii 3⋅5. Trebuie să folosim proprietatea de bază a fracțiilor și să înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul fracției \(\frac(2)(3)\) până la 5.

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

b) Avem nevoie de numărul 8 la numărător. Acum numărul 1 este la numărător. Cu ce număr trebuie înmulțit numărul 1 pentru a obține 8? Desigur, 1⋅8. Trebuie să folosim proprietatea de bază a fracțiilor și să înmulțim atât numărătorul, cât și numitorul fracției \(\frac(1)(5)\) până la 8. Obținem:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

Exemplul #2:
Găsiți o fracție ireductibilă egală cu o fracție: a) \(\frac(16)(36)\), b) \(\frac(10)(25)\).

Soluţie:
A) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

b) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

Exemplul #3:
Scrieți numărul ca fracție: a) 13 b) 123

Soluţie:
A) \(13 = \frac(13) (1)\)

b) \(123 = \frac(123) (1)\)

Rezumatul lecției Egalitatea fracțiilor în clasa a 5-a

în cadrul statului federal standard educațional

UMK "S. M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reşetnikov, A. V. Şevkin

profesori de matematică

Instituția Publică de Învățământ din Omsk „Liceul nr. 149”

Spirina Vera Nikolaevna

Subiect : Egalitatea fracțiunilor Tipul de lecție: Lecția de prezentare primară a noilor cunoștințe
Rezultate planificate: Personal (LR): - disponibilitatea și capacitatea de a îndeplini normele și cerințele vieții școlare, drepturile și obligațiile elevului.-exprimarea interesului educațional și cognitiv durabil.Metasubiect (MPR): de reglementare 1. Stabiliți scopul activității educaționale pe baza transformării unei sarcini practice în una cognitivă:Efectuați acțiuni: - distincția dintre cunoaștere și ignoranță;- formularea unui răspuns la întrebarea despre conţinutul ignoranţei;- formularea obiectivelor după model sub îndrumarea unui profesor aflat într-o situaţie problemă.2. Planificați modalități de atingere a scopului;3. Să efectueze un control constatator și anticipat asupra rezultatului și modului de acțiune;4. Evaluați în mod independent corectitudinea performanței acțiunii și faceți ajustările necesare la performanță. cognitive 1. Analizați și înțelegeți textul sarcinii;2. Definiți concepte;Comunicativ 1 . Utilizați adecvat instrumente lingvistice să-și arate sentimentele, gândurile, motivele și nevoile;2. Pune întrebări relevante pentru organizație activităţi propriiși în colaborare cu un partener.Subiect (PR): - cunoaște conceptele: fracții egale, fracții reductibile, fracții ireductibile,- formulează și notează cu ajutorul literelor principala proprietate a unei fracții obișnuite,- convertiți fracții obișnuite, comparați și aranjați-le,- găsiți o fracție egală cu una dată.

Scopul lecției: 1. Asigurarea asimilarii conceptelor: fractii egale; proprietatea de baza a fractiei.2. Dezvoltați capacitatea de a determina fracții egale, folosiți proprietatea de bază a unei fracții, finalizați sarcini folosind concepte noi;3. Educație pentru atenție, observație, acuratețe.
Noțiuni de bază: numar natural, Numar rational, fracție, fracții egale, proprietatea de bază a unei fracții, reducerea fracțiilor,
Conexiuni interdisciplinare: biologie, literatură
Locul lecției în secțiune : a doua lectie, Capitolul 4: Fracțiuni comune Total ore 65
Echipament: tabla interactiva Bord inteligent + manual pentru clasa a 5-a institutii de invatamant, autoriiS. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A. V. Shevkin,M. Iluminismul. 2012.

Etapă

lecţie

Nepoții Vanya, Petya și Kolya au venit la casa bunicii pentru a ajuta la curățarea patului. Paturile sunt toate egale, exact la fel. Bunica le-a dat nepoților ei o sarcină: Vanya trebuie să pierdă 4/6 paturi cu morcovi, Petya trebuie să plivieze 6/9 paturi cu ceapă, Kolya trebuie să plivină 8/12 paturi cu usturoi.O oră mai târziu, bunica a văzut rezultatul. Care? Lucrând în perechi, arătați în desen (dispunerea patului) o parte din munca făcută de fiecare nepot.1 rând: Vanya 2 rând: Petey 3 rând: Kolya

Ce ai primit? Care nepot a făcut cea mai mare parte a muncii? Cât din grădină a plivit fiecare nepot? Ce concluzie putem trage?

Dar dacă fracțiile sunt egale, atunci de ce arată ca inegale, diferit? Cum să le reprezinte fiecare ca 2/3? Aflați MCD al numărătorului și numitorului fiecărei fracții

Ce se poate face cu numărătorul și numitorul fiecărei fracții? (scrieți pe diapozitiv) Ce fracții ați obținut Împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la același număr se numește reducerea fracțiilor. Este posibil să faceți din nou fracția 2/3 ca numărător și numitor diferit? Cum?
Astfel, orice fracție are proprietatea de a înmulți sau de a împărți numărătorul și numitorul cu același număr (PROPRIETATEA PRINCIPALĂ A FRACTIEI) Compuneți proprietatea principală a fracției completând golurile din text.

Surse și literatură utilizate:
http://www.google.ru/imgres?imgurl=http://zastroyka.biz/uploads/posts/2012-01/1326074803_6.jpg&imgrefurl=http://zastroyka.biz/dachnye-domiki/62-dachnyy- domik.html&h=413&w=500&sz=70&tbnid=ZQyK05o0M1NHuM:&tbnh=97&tbnw=118&zoom=1&usg=__jT6xMOoH6ufZsnbdZaE8VzvIctU=&docid=peVXU9NJz5rvZM&hl=ru&sa=X&ei=EOkUUZiuI6mj4gSFgIF4&sqi=2&ved=0CEQQ9QEwAA&dur=195

Demontat in detaliu proprietatea de baza a fractiei, se da formularea sa, se da o dovada si un exemplu explicativ. Se are în vedere și aplicarea proprietății principale a unei fracții în reducerea fracțiilor și reducerea fracțiilor la un nou numitor.

Navigare în pagină.

Principala proprietate a unei fracții - formularea, demonstrația și exemplele explicative

Toate fracțiile obișnuite au o proprietate foarte importantă, care se numește proprietatea de bază a unei fracții. Să formulăm proprietatea de baza a fractiei: dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțiți sau împărțiți cu același număr natural, atunci se va obține o fracție egală cu cea dată.

Să scriem proprietatea principală a unei fracții în formă literală: pentru numerele naturale a, b și m, egalitățile și sunt valabile.

Să aducem dovada proprietății de bază a fracției. Egalitățile (a m) b=(b m) a și (a: m) b=(b: m) a sunt valabile datorită proprietăților de înmulțire a numerelor naturale și proprietăților de împărțire a numerelor naturale, apoi fracțiile și , și sunt, de asemenea, egale prin definiție (vezi fracții egale și inegale).

Să ne uităm la un exemplu care ilustrează proprietatea de bază a unei fracții. Să presupunem că avem un pătrat împărțit în 9 pătrate „mari”, iar fiecare dintre aceste pătrate „mari” este împărțit în 4 pătrate „mici”. Astfel, mai putem spune că pătratul inițial este împărțit în 4·9=36 pătrate „mici”. Să pictăm peste 5 pătrate „mari”. În acest caz, se vor completa 4 5 = 20 de pătrate „mici”. Prezentăm o figură corespunzătoare exemplului nostru.

Partea umbrită este 5/9 din pătratul original sau, ceea ce este același, 20/36 din pătratul original, adică fracțiile 5/9 și 20/36 sunt egale: sau . Din aceste egalităţi, precum şi din egalităţile 20=5 4 , 36=9 4 , 20:4=5 şi 36:4=9 rezultă că şi .

Pentru a consolida materialul dezasamblat, luați în considerare soluția exemplului.

Numătorul și numitorul unei fracții obișnuite au fost înmulțite cu 62, după care numărătorul și numitorul fracției rezultate au fost împărțite la 2. Este fracția rezultată egală cu cea inițială?

Înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu orice număr natural, în special cu 62, dă o fracție, care, datorită proprietății de bază a fracției, este egală cu cea inițială. Proprietatea principală a unei fracții ne permite de asemenea să afirmăm că după împărțirea numărătorului și numitorului fracției rezultate la 2, se va obține o fracție care va fi egală cu fracția inițială.

Da, fracția rezultată este egală cu cea inițială.

Aplicarea proprietății de bază a unei fracții

Proprietatea de bază a unei fracții se aplică în principal în două cazuri: în primul rând, la reducerea fracțiilor la un nou numitor și, în al doilea rând, la reducerea fracțiilor.

Reducerea unei fracții la un nou numitor înseamnă înlocuirea fracției inițiale cu o fracție egală cu aceasta, dar cu un numărător și un numitor mai mari. Pentru a aduce o fracție la un nou numitor, atât numărătorul, cât și numitorul fracției se înmulțesc cu un număr natural și, conform proprietății de bază a fracției, se obține o fracție egală cu cea inițială, dar cu un numărător și un numitor diferit. Nu puteți face fără reducerea fracțiilor la un nou numitor atunci când efectuați operații cu fracții obișnuite.

Proprietatea principală a unei fracții vă permite să reduceți fracțiile și, ca urmare, să treceți de la fracția originală la o fracție egală cu aceasta, dar cu un numărător și un numitor mai mici. Reducerea unei fracții constă în împărțirea numărătorului și numitorului fracției inițiale la orice divizor comun pozitiv al numărătorului și numitorului, altul decât unul (dacă nu există astfel de divizori comuni, atunci fracția originală este ireductibilă, adică nu poate fi redusă ). În special, împărțirea cu cel mai mare divizor comun va aduce fracția originală la o formă ireductibilă.

www.cleverstudents.ru

Proprietatea de bază a unei fracții

Pentru a compara, a adăuga sau scădea fracții obișnuite cu numitori diferiți, acestea trebuie mai întâi reduse la același (același) numitor.

Pentru a face acest lucru, numărul din care este luată partea în acțiuni (numărul de acțiuni ale numărului determină numitorul) este împărțit în Mai mult fracții astfel încât toți numitorii fracțiilor să fie multipli unul celuilalt.

De exemplu, trebuie să comparați, să adăugați sau să scădeți fracții și. Luați în considerare în figură împărțirea în acțiuni (1 a fost împărțit în 4 părți și 1 a fost împărțit în 2 părți), 1 este luat ca un întreg.

Împărțind la 2 părți, obținem o comparație vizuală.

Aceasta înseamnă, întrucât acțiunile conțin 2 acțiuni de Să scriem: . Conform regulilor aritmeticii: Să selectăm factorii primi la numărător și numitor:

Cifrele de mai sus ne permit să derivăm o regulă numită proprietatea de baza a fractiei.

Regulă. Numătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr natural, din care valoarea fracției nu se modifică.

Dacă numărătorul noii fracții este reprezentat de produsul (sau câtul) primei fracții și orice număr natural, iar numitorul noii fracții este produsul (sau câtul) numitorului primei fracții și același număr , atunci noua fracție păstrează valoarea (valoarea) la calcularea produselor (sau a coeficientului) fracția inițială, astfel încât să puteți pune un semn egal între fracțiile date și primite.

Poate fi scris proprietatea de baza a fractiei la înmulțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu un număr:

Poate fi scris proprietatea de baza a fractiei la împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la un număr:

Reducerea fracțiilor

Cu ajutorul fracțiilor, aceeași parte a unui obiect întreg poate fi scrisă în moduri diferite.

Jumătate din cerc este umbrită în figură

Astfel, toate aceste fracții sunt egale.

Fracțiune

Pentru comoditate, un factor suplimentar este scris pe bara oblică din dreapta deasupra fracției.

Să ne întoarcem la fracțiile noastre și să le scriem într-o altă ordine.

O fracție egală cu una dată poate fi obținută dacă numărătorul și numitorul fracției sunt împărțite simultan la același număr care nu este egal cu zero.

Această transformare a unei fracții se numește reducerea fracției.

Reducerea unei fracții se scrie de obicei după cum urmează.

Numătorul și numitorul sunt tăiate cu liniuțe, iar lângă ele sunt scrise rezultatele împărțirii (coeficientelor) numărătorului și numitorului la același număr.

Se ține cont de numărul cu care s-au împărțit numărătorul și numitorul.

În exemplul nostru, am redus (adică am împărțit atât numărătorul, cât și numitorul) fracția cu doi, ceea ce am ținut cont.

Reducerea fracțiilor poate fi efectuată secvenţial.

Formulăm proprietatea principală a unei fracții.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr care nu este egal cu zero, atunci se va obține o fracție egală cu cea dată.

Să scriem această proprietate sub formă de expresii literale.

, unde „a”, „b” și „k” sunt numere naturale.

Proprietatea de bază a unei fracții. Reducerea fracțiilor. Egalitatea fracțiilor.

Egalitatea fracțiilor.

A întelege proprietățile de bază ale fracțiilor ia în considerare un cerc.

Se poate observa pe cerc că 4 părți sau părți sunt umbrite din opt posibile. Scrieți fracția rezultată \(\frac \)

Următorul cerc arată că una dintre cele două părți posibile este umbrită. Scrieți fracția rezultată \(\frac \)

Dacă ne uităm mai atent, vom vedea că în primul caz, în al doilea caz, jumătate din cerc este umbrită, deci fracțiile rezultate sunt egale cu \(\frac = \frac \), adică aceasta este același număr.

Cum poate fi demonstrat asta matematic? Foarte simplu, amintiți-vă de tabla înmulțirii și scrieți prima fracție în factori.

Ce am făcut? Am pictat numărătorul și numitorul în factori \(\frac > >\), apoi am împărțit fracțiile \(\frac \cdot \color \). Patru împărțit la patru este 1, iar unul înmulțit cu orice număr este numărul însuși. Ceea ce am făcut în exemplul de mai sus se numește reducerea fracțiilor.

Să ne uităm la un alt exemplu și să reducem fracția.

Proprietatea de bază a unei fracții.

Aceasta implică proprietatea principală a unei fracții:

Dacă atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții sunt înmulțiți cu același număr (cu excepția zero), atunci valoarea fracției nu se va modifica.

De asemenea, puteți împărți numărătorul și numitorul la același număr în același timp.
Luați în considerare un exemplu:

Dacă atât numărătorul, cât și numitorul unei fracții sunt împărțite la același număr (cu excepția zero), atunci valoarea fracției nu se va modifica.

Se numesc fracțiile care au divizori primi comuni atât la numărător, cât și la numitor fracții anulabile.

Exemplu de fracție redusă: \(\frac , \frac , \frac , \frac , …\)

De asemenea este si fracții ireductibile.

fracție ireductibilă este o fracție care nu are divizori primi comuni în numărători și numitori.

Un exemplu de fracție ireductibilă: \(\frac , \frac , \frac , \frac , …\)

Orice număr poate fi reprezentat ca o fracție, deoarece orice număr este divizibil cu unu, de exemplu:

Întrebări la subiect:
Crezi că orice fracție poate fi redusă sau nu?
Răspuns: Nu, există fracții reductibile și fracții ireductibile.

Verificați dacă egalitatea este adevărată: \(\frac = \frac \)?
Răspuns: scrie o fracție \(\frac = \frac = \frac \) da corect.

Exemplul #1:
a) Găsiți o fracție cu numitorul 15 care este egală cu fracția \(\frac\).
b) Găsiți o fracție cu numărătorul de 8, egală cu fracția \(\frac\).

Exemplul #2:
Găsiți o fracție ireductibilă egală cu o fracție: a) \(\frac\), b) \(\frac\).

Exemplul #3:
Scrieți numărul ca fracție: a) 13 b) 123

Lecție pe tema egalității fracțiilor, nota 5, manual Nikolsky S. M. și altele.

Profită de reduceri de până la 50% la cursurile Infourok

Vă reamintim că, în conformitate cu standardul profesional al unui profesor (aprobat de Ordinul Ministerului Muncii din Rusia), dacă nu aveți o educație corespunzătoare materiei predate, atunci Trebuie să urmați o recalificare profesională în profil activitate pedagogică . Puteți face acest lucru de la distanță pe site-ul proiectului „Infourok” și obțineți o diplomă cu calificare în 2 luni!

Funcționează doar acum 50% REDUCERE pentru toți profesorii pentru toate cele 111 cursuri de recalificare profesională! Ratele sunt disponibile cu un avans de doar 10%, in timp ce pretul cursului nu creste datorita folosirii ratelor!

Card pentru munca practica.docx

Cardul 1

Cardul 2

Exercițiu. Privește imaginile și trage o concluzie despre egalitatea fracțiilor.

Sugestie 1. Câte dintre cercuri și pătrate sunt umbrite?

Sugestie 1. Notați fracțiile care reprezintă porțiunea umbrită a fiecărei forme.

Sugestie 2. Faceți o concluzie despre egalitatea fracțiilor rezultate.

Documentul selectat de vizualizat Harta tehnologică a lecției de matematică din clasa a 5-a.docx

Harta tehnologică a unei lecții de matematică în clasa a 5-a

Subiectul lecției: „Egalitatea fracțiilor” (manual „Matematică 5”, Nikolsky S. M., Potapov M. K. și alții)

Obiectivele (sarcinile) lecției:

— introducerea elevilor în proprietatea de bază a unei fracții, arătați aplicarea acesteia pentru reducerea fracțiilor;

- învață să reducă fracțiile și să determine ireductibili;

— dezvoltarea capacității de a aplica cunoștințele matematice pentru a rezolva probleme practice;

- să cultive o cultură a comportamentului în munca de grup;

- dezvoltarea interesului pentru subiect.

- cunoașterea proprietății de bază a unei fracții, definiția reducerii fracțiilor și fracțiilor ireductibile;

- să poată aduce fracții la un nou numitor, să reducă fracții;

înțelegeți semnificația sarcinii; inițiativă, inventivitate, activitate în rezolvarea problemelor de matematică;

- capacitatea de a vedea o problemă matematică în contextul unei situații problematice;

- înțelegerea esenței prescripțiilor algoritmice și a capacității de a acționa în conformitate cu algoritmul propus.

Tip de lecție, tehnologie pedagogică

Învățarea unei noi tehnologii de dialog problematice.

Tablă, cretă, computer cu proiector multimedia, tablă interactivă, fișe, video de educație fizică, fișe de autoevaluare

Concepte de bază, termeni

Noi concepte și conexiuni între ele

Fracție reducabilă, fracție ireductibilă

Control, autocontrol în clasă

Metode, tehnici, forme folosite

Activități de învățare universală

eu. Organizarea timpului.

Caietele le-ai primit la pauză, deoarece toată lumea a terminat temele și nu au fost întrebări despre asta.

Arătând atenție bună.

Verificarea disponibilității materialelor didactice, așezarea rațională pe birou

Salutarea reciprocă, controlul celor prezenți, verificarea pregătirii clasei pentru lecție.

Pregătirea elevilor pentru învățare, activități

II. Actualizare de cunoștințe

Să ne amintim ce am învățat în lecțiile anterioare. Ce am studiat? (fracții)

1. Ce se scrie sub linia fracției?

2. Ce arată?

3. Ce este scris deasupra liniei fracției?

4. Ce arată?

5. Ce acțiune înlocuiește liniuța unei fracții?

6. Găsiți ¼ din 120.

(în câte părți este împărțit întregul)

(cate dintre aceste piese ai luat)

Sarcinile de testare, răspunsurile sunt date folosind semnale de diferite culori

de reglementare: autoreglare volitivă.

Personal : acţiunea de formare a sensului, motivaţia învăţării

planificarea cooperării educaționale cu profesorul și colegii.

Gata pentru o nouă deschidere

III . Formularea problemei

Acum îți propun să rezolvi un astfel de basm-problema. sarcina problematica

Într-un anumit regat, într-o anumită stare a trăit - era un rege și avea trei fii. Cumva și-a chemat fiii laolaltă și a spus: „Sunteți fiii mei dragi, se pare că a venit momentul să mă retrag. V-am adunat pentru a împărți moștenirea între voi, împărăția noastră este statul. Da, asta e problema - oamenii de știință par să fi încurcat ceva. Ție, fiul meu cel mare, starea noastră a fost anulată, ție, fiul meu mijlociu, - și ție, cel mic al meu -. Fiul cel mic a fost indignat: „De ce am fost înșelat?” Și frații s-au certat între ei. Și regele a dat un decret: „Cine reușește să găsească o greșeală și să-mi împace fiii, îl așteaptă o răsplată regală. ”

Băieți, îl putem împăca pe regele și fiii lui? Ce trebuie să aflăm pentru asta?

Deci, ce este probabil să învățăm în lecția de astăzi?

Și să încercăm să formulăm subiectul lecției noastre.

Deschideți caietele, scrieți în ele numărul, munca la clasă și tema lecției „Egalitatea fracțiilor”.

(Fracțiunile sunt egale sau nu)

(Aflați dacă fracțiile sunt egale sau nu)

formularea scopului lecției

Enunțarea problemei, formularea scopului, subiectele lecției

IV. Planificarea pentru rezolvarea unei probleme de învățare

Acum ajută-mă să planific lecția, adică să stabilesc ce vom face.

(1. Învață să stabilești dacă fracțiile sunt egale sau nu.

de reglementare: planificarea activității cognitive

Întocmirea unui plan de lecție

Un proverb chinezesc străvechi spune: „Aud și uit, văd și îmi amintesc, fac și înțeleg”. Și pentru a înțelege subiectul lecției de astăzi, vom efectua lucrări practice.

Fiecare dintre voi are cărți pe masă.

Luați cartea 1.

Să lucrăm cu un pătrat. Împărțiți pătratul în patru părți egale și colorați trei dintre ele. Ce parte

pătratul s-a dovedit a fi umbrit?

Împărțiți fiecare sfert de pătrat în 4 părți. Câte piese acum

Și câte astfel de părți sunt în trei sferturi umbrite ale pătratului?

Ce parte a pătratului este umbrită?

Ce poți spune despre fracțiile ¾ și 12/16?

Luați cardul 2 și răspundeți la întrebări:

1. Ce parte a întregului este înfățișată și pictată în desene? Scrieți sub fiecare cerc care parte a acestuia este umbrită.

Ce poți spune despre aceste fracții?

Aceasta înseamnă că aceeași parte poate fi scrisă în moduri diferite.

Să aruncăm o privire mai atentă la aceste fracții. Cum puteți obține o altă fracție dintr-o fracție, de exemplu, cum puteți obține 12/16 din ¾?

Și cum să obții 2/4, ½ din 4/8?

Încheiem, formulăm regula:

Băieți, proprietatea pe care tocmai am formulat-o este foarte importantă și se numește proprietatea principală a fracției.

Vă rugăm să notați regulile și formulele de la tablă.

a, b, c sunt naturale. Fiți atenți la acest lucru, este foarte important, deoarece nu puteți împărți la 0.

(înmulțiți numărătorul și numitorul cu 4)

(împărțiți numărătorul și numitorul la 2, la 4)

(La înmulțirea și împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții cu același număr (cu excepția lui 0), valoarea acesteia nu se va modifica .)

Cognitiv: compararea, generalizarea, formularea unei concluzii

Efectuarea lucrărilor practice. Formularea proprietății de bază a unei fracții

VI . Modelarea modului de acțiune

Exprimați următoarele fracții: ca o fracție cu numitorul 12.

Imaginează-ți următoarele fracții: ca o fracție cu numitorul 3.

Scris: înlocuiți fracții fracții egale cu numitori mai mici. Băieți, transformarea pe care tocmai am făcut-o se numește reducerea fracțiilor.

Scrieți de pe ecran care este reducerea fracției.

Împărțiți numărătorul și numitorul unei fracții la același număr inceteaza.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții nu au divizori primi comuni, atunci fracția se numește ireductibil.

Efectua sarcini. Notează într-un caiet ce este o reducere a fracțiilor și ce este o fracție ireductibilă.

de reglementare: corectarea acțiunilor și a rezultatelor

Asimilarea primară și aplicarea proprietății principale a unei fracții, definiții de reducere a fracțiilor, fracție ireductibilă

VII . Formarea de noi cunoștințe și modalități de acțiune

Să revenim acum la planul nostru de lecție. Ce am făcut deja? Ce altceva trebuie făcut?

Excelent. Acum vă sugerez să vă jucați puțin.

Să intrăm în două grupe. Prima grupă (I rândul) din toate fracțiile propuse

va alege fracții egale cu 1/2, iar al doilea grup (rândul II) va alege fracții egale cu 1/3.

Și acum să verificăm cum ați făcut față sarcinii.

Acum să revenim la problema fabuloasă care ne-a creat dificultăți la începutul lecției. Spune-mi, acum poți răspunde la întrebarea problemei: au încurcat ceva consilierii regelui?

Și acum să exersăm puțin mai mult. Ridicați pliantele cu exerciții de antrenament, citiți cu atenție sarcinile și finalizați-le.

(Am învățat să determinăm dacă fracțiile sunt egale. Trebuie să exersăm)

(Acum putem. Moștenirea a fost împărțită în mod egal, deoarece fracțiile prezentate sunt egale)

Exerciții de antrenament pe cărți

Lucrul cu o tablă interactivă. Lucru de grup

Comunicativ: determinarea scopurilor și funcțiilor participanților în grup; cooperare de inițiativă; controlul, corectarea, evaluarea acțiunilor partenerului.

Aplicarea și dezvoltarea de noi cunoștințe și metode de acțiune

VIII . Rezumând lecția, reflecția, temele

Egalitatea fracțiunilor

Pentru orice fracție, puteți specifica câte fracții egale doriți.

De exemplu, sau

Acest lucru poate fi explicat după cum urmează: dacă segmentul este împărțit în jumătate și jumătate și în jumătate, atunci este clar că jumătate din segment este egală cu două din sferturile sale, adică se poate demonstra că jumătate este egală. la trei șesime etc. (Fig. 4.4).

Se mai poate spune că fracțiile și determină același număr; înregistrat în forme diferite. Fracții și, de asemenea, definiți același număr scris în forme diferite etc.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite cu același număr natural, atunci obținem o fracție egală cu cea dată, adică egalitatea

Această proprietate se numește proprietatea de baza a fractiei. Cu el, puteți obține fracții egale cu o anumită fracție.

De exemplu,

Egalitatea (1) poate fi scrisă și în ordine inversă:

În această formă, partea stângă a egalității este o fracție al cărei numărător și numitor au un factor comun n.

Dacă n > 1, atunci ei spun că puteți reduce fracția cu n și obțineți o fracție. De asemenea, ei spun că puteți împărți numărătorul și numitorul la un factor comun n.

Prin urmare, proprietatea principală a fracțiilor poate fi formulată diferit:

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții au un factor comun altul decât 1, atunci fracția poate fi redusă cu acel factor. Aceasta va avea ca rezultat o fracție egală cu cea dată.

Exemplu. Reduceți fracțiile

Dacă p este un număr natural, atunci egalitatea

Într-adevăr,

Fracția se numește ireductibil dacă numărătorul și numitorul său nu au divizori primi comuni.

De exemplu, fracțiile sunt fracții ireductibile, deoarece numerele 1 și 2, 3 și 4, b și 7, 11 și 8 nu au divizori primi comuni.

Pentru fiecare fracție, există o singură fracție ireductibilă egală cu ea.

De exemplu,

Părțile din stânga ale egalităților sunt date fracții, iar părțile din dreapta egale cu acestea sunt fracții ireductibile.

Pentru a obține o fracție ireductibilă egală cu o fracție dată, este necesar să reduceți fracția dată cu cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului său. Adesea, cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului este greu de specificat. În acest caz, reducerea fracției se realizează treptat.

Exemplu. Reduceți fracția