Jasno je da svaki događaj ima određeni stepen mogućnosti svog nastanka (svoje implementacije). Da bismo kvantitativno uporedili događaje jedni s drugima prema stepenu njihove mogućnosti, očigledno je potrebno svakom događaju povezati određeni broj, koji je veći, što je događaj mogući. Ovaj broj se naziva vjerovatnoća događaja.

Vjerovatnoća događaja- je numerička mjera stepena objektivne mogućnosti nastanka ovog događaja.

Razmotrimo stohastički eksperiment i slučajni događaj A koji je uočen u ovom eksperimentu. Ponovimo ovaj eksperiment n puta i neka m(A) bude broj eksperimenata u kojima se dogodio događaj A.

Relacija (1.1)

pozvao relativna frekvencija događaj A u seriji eksperimenata.

Lako je provjeriti ispravnost svojstava:

ako su A i B nekompatibilni (AB= ), tada je ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Relativna frekvencija se određuje tek nakon serije eksperimenata i, općenito govoreći, može varirati od serije do serije. Međutim, iskustvo pokazuje da se u mnogim slučajevima, kako se broj eksperimenata povećava, relativna frekvencija približava određenom broju. Ova činjenica stabilnosti relativne frekvencije je više puta provjerena i može se smatrati eksperimentalno utvrđenom.

Primjer 1.19.. Ako bacite jedan novčić, niko ne može predvidjeti na koju će stranu pasti. Ali ako bacite dvije tone novčića, onda će svi reći da će oko jedne tone pasti kao grb, odnosno relativna učestalost pada grba je otprilike 0,5.

Ako, kako se broj eksperimenata povećava, relativna frekvencija događaja ν(A) teži nekom fiksnom broju, onda kažemo da događaj A je statistički stabilan, i ovaj broj se naziva vjerovatnoća događaja A.

Vjerovatnoća događaja ALI poziva se neki fiksni broj P(A) kojem teži relativna frekvencija ν(A) ovog događaja sa povećanjem broja eksperimenata, tj.

Ova definicija se zove statistička definicija vjerovatnoće .

Razmotrimo neki stohastički eksperiment i pustimo da se prostor njegovih elementarnih događaja sastoji od konačnog ili beskonačnog (ali prebrojivog) skupa elementarnih događaja ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . pretpostavimo da je svakom elementarnom događaju ω i dodeljen određeni broj - r i , koji karakteriše stepen mogućnosti pojave ovog elementarnog događaja i zadovoljava sledeća svojstva:

Takav broj p i se zove verovatnoća elementarnog događajaω i .

Sada neka je A slučajni događaj uočen u ovom eksperimentu, a određeni skup mu odgovara

U takvom okruženju verovatnoća događaja ALI naziva se zbir verovatnoća elementarnih događaja koji favorizuju A(uključeno u odgovarajući set A):


Ovako uvedena vjerovatnoća ima ista svojstva kao i relativna frekvencija, i to:

A ako AB \u003d (A i B su nekompatibilni),

onda P(A+B) = P(A) + P(B)

Zaista, prema (1.4)

U posljednjoj vezi, iskoristili smo činjenicu da nijedan elementarni događaj ne može istovremeno favorizirati dva nespojiva događaja.

Posebno napominjemo da teorija vjerovatnoće ne ukazuje na metode za određivanje p i, one se moraju tražiti iz praktičnih razmatranja ili dobiti iz odgovarajućeg statističkog eksperimenta.

Kao primjer, razmotrite klasičnu shemu teorije vjerovatnoće. Da biste to učinili, razmotrite stohastički eksperiment, čiji se prostor elementarnih događaja sastoji od konačnog (n) broja elemenata. Uzmimo dodatno da su svi ovi elementarni događaji jednako vjerovatni, odnosno da su vjerovatnoće elementarnih događaja p(ω i)=p i =p. Otuda to sledi

Primjer 1.20. Prilikom bacanja simetričnog novčića, grb i rep su podjednako mogući, njihove vjerovatnoće su 0,5.

Primjer 1.21. Kada se baci simetrična kocka, sva lica su jednako vjerovatna, njihove vjerovatnoće su 1/6.

Neka sada događaj A favorizuje m elementarnih događaja, oni se obično nazivaju ishodi koji favorizuju događaj A. Onda

Imam klasična definicija vjerovatnoće: vjerovatnoća P(A) događaja A jednaka je omjeru broja ishoda koji favorizuju događaj A prema ukupan broj ishodi

Primjer 1.22. Urna sadrži m bijelih i n crnih kuglica. Kolika je vjerovatnoća da izvučete bijelu loptu?

Rješenje. Ukupno ima m+n elementarnih događaja. Svi su podjednako nevjerovatni. Povoljan događaj A od njih m. Shodno tome, .

Sljedeća svojstva proizlaze iz definicije vjerovatnoće:

Nekretnina 1. Vjerovatnoća određenog događaja jednaka je jedan.

Zaista, ako je događaj pouzdan, onda svaki elementarni ishod testa favorizira događaj. U ovom slučaju m=p, shodno tome,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Nekretnina 2. Vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.

Zaista, ako je događaj nemoguć, onda nijedan od elementarnih ishoda suđenja ne ide u prilog tom događaju. U ovom slučaju t= 0, dakle, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Nekretnina 3.Vjerovatnoća slučajni događaj je pozitivan broj između nule i jedan.

Zaista, samo dio ukupnog broja elementarnih ishoda testa favorizira slučajni događaj. Odnosno, 0≤m≤n, što znači 0≤m/n≤1, dakle, vjerovatnoća bilo kojeg događaja zadovoljava dvostruku nejednakost 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Upoređujući definicije vjerovatnoće (1.5) i relativne frekvencije (1.1), zaključujemo: definiciju vjerovatnoće ne zahtijeva testiranje u stvarnosti; definicija relativne frekvencije pretpostavlja da testovi su zaista obavljeni. Drugim riječima, vjerovatnoća se izračunava prije iskustva, a relativna učestalost - nakon iskustva.

Međutim, izračunavanje vjerovatnoće zahtijeva prethodne informacije o broju ili vjerovatnoćama elementarnih ishoda koji favorizuju dati događaj. U nedostatku takvih preliminarnih informacija, empirijski podaci se koriste za određivanje vjerovatnoće, odnosno relativna učestalost događaja se utvrđuje iz rezultata stohastičkog eksperimenta.

Primjer 1.23. Odjel tehničke kontrole otkriveno 3 nestandardni dijelovi u seriji od 80 nasumično odabranih dijelova. Relativna učestalost pojavljivanja nestandardnih dijelova r (A)= 3/80.

Primjer 1.24. Po namjeni.proizvedeno 24 pucao, a registrovano je 19 pogodaka. Relativna učestalost pogađanja mete. r (A)=19/24.

Dugoročna zapažanja su pokazala da ako se eksperimenti izvode pod istim uvjetima, u svakom od kojih je broj testova dovoljno velik, tada relativna frekvencija pokazuje svojstvo stabilnosti. Ova nekretnina je da se u raznim eksperimentima relativna frekvencija malo mijenja (što je manje, to se više testova radi), fluktuirajući oko određenog konstantnog broja. Pokazalo se da se ovaj konstantni broj može uzeti kao približna vrijednost vjerovatnoće.

Odnos između relativne frekvencije i vjerovatnoće će biti opisan detaljnije i preciznije u nastavku. Sada ćemo ilustrirati svojstvo stabilnosti primjerima.

Primjer 1.25. Prema švedskoj statistici, relativnu stopu nataliteta djevojčica 1935. godine po mjesecima karakterišu sljedeći brojevi (brojevi su raspoređeni po mjesecima, počevši od Januar): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Relativna frekvencija fluktuira oko broja 0,481, što se može uzeti kao približna vrijednost vjerovatnoća da ćete imati djevojčice.

Imajte na umu da statistike različitih zemalja daju približno istu vrijednost relativne učestalosti.

Primjer 1.26. Izvođeni su ponovljeni eksperimenti bacanjem novčića, u kojima se računao broj pojavljivanja "grba". Rezultati nekoliko eksperimenata prikazani su u tabeli.

1. Prikaz glavnih teorema i formula vjerovatnoće: teorema sabiranja, uslovna vjerovatnoća, teorema množenja, nezavisnost događaja, formula puna vjerovatnoća.

Ciljevi: stvaranje povoljnih uslova za uvođenje koncepta vjerovatnoće događaja; poznavanje osnovnih teorema i formula teorije vjerovatnoće; unesite formulu ukupne vjerovatnoće.

Napredak lekcije:

Slučajni eksperiment (eksperiment) je proces u kojem su mogući različiti ishodi i nemoguće je unaprijed predvidjeti kakav će biti rezultat. Mogući ishodi iskustva koji se međusobno isključuju nazivaju se njegovim elementarni događaji . Skup elementarnih događaja će biti označen sa W.

slučajni događaj naziva se događaj, za koji je nemoguće unaprijed reći hoće li se dogoditi kao rezultat iskustva ili ne. Svaki slučajni događaj A koji se dogodio kao rezultat eksperimenta može se povezati s grupom elementarnih događaja iz W. Elementarni događaji koji čine ovu grupu nazivaju se povoljno za nastanak događaja A.

Skup W se također može smatrati slučajnim događajem. Budući da uključuje sve elementarne događaje, nužno će se dogoditi kao rezultat iskustva. Takav događaj se zove autentičan .

Ako za dati događaj nema povoljnih elementarnih događaja iz W, onda se on ne može dogoditi kao rezultat eksperimenta. Takav događaj se zove nemoguće.

Događaji se zovu podjednako moguće , ako su kao rezultat testa dostavljeni jednake mogućnosti implementaciju ovih događaja. Pozivaju se dva slučajna događaja suprotno ako se, kao rezultat eksperimenta, jedan od njih dogodi ako i samo ako se drugi ne dogodi. Događaj suprotan događaju A je označen sa .

Događaji A i B se nazivaju nekompatibilno ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog. Događaji A 1 , A 2 , ..., A n se nazivaju parovi nekompatibilni, ako su bilo koja dva od njih nekompatibilna. Događaji A 1 , A 2 , ..., Forma kompletan sistem događaji nekompatibilni u parovima ako se, kao rezultat testa, sigurno dogodi jedan i samo jedan od njih.

Zbir (kombinacija) događaja A 1 , A 2 , ..., A n je takav događaj C, koji se sastoji u činjenici da se dogodio barem jedan od događaja A 1 , A 2 , ..., A n Zbroj događaja je označen kao što slijedi:

C \u003d A 1 + A 2 + ... + A n.

Proizvod (presek) događaja A 1 , A 2 , ..., A n takav događaj se naziva P, koji se sastoji u tome da su se svi događaji A 1 , A 2 , ..., A n dogodili istovremeno. Proizvod događaja je označen

Vjerovatnoća P(A) u teoriji vjerovatnoće djeluje kao numerička karakteristika stepena mogućnosti pojave bilo kojeg određenog slučajnog događaja A sa višestrukim ponavljanjem testova.



Na primjer, u 1000 bacanja kocke, broj 4 se pojavljuje 160 puta. Odnos 160/1000 = 0,16 pokazuje relativnu učestalost ispadanja broja 4 u ovoj seriji testova. Općenitije nasumična frekvencija događaja A kada provode niz eksperimenata, oni nazivaju omjer broja eksperimenata u kojima se određeni događaj dogodio i ukupnog broja eksperimenata:

gdje je P*(A) frekvencija događaja A; m je broj eksperimenata u kojima se dogodio događaj A; n je ukupan broj eksperimenata.

Vjerovatnoća slučajnog događaja A se naziva konstantnim brojem, oko kojeg se grupišu frekvencije datog događaja kako se broj eksperimenata povećava ( statističko određivanje vjerovatnoće događaja ). Vjerovatnoća slučajnog događaja se označava sa P(A).

Naravno, niko nikada neće moći da uradi neograničen broj testova da bi se utvrdila verovatnoća. Nema potrebe za ovim. U praksi, vjerovatnoća se može uzeti kao učestalost događaja u veliki brojevi testovi. Tako, na primjer, iz statističkih obrazaca rođenja utvrđenih tokom višegodišnjeg posmatranja, vjerovatnoća događaja da će novorođenče biti dječak procjenjuje se na 0,515.

Ako tokom testa ne postoje razlozi zbog kojih bi se jedan slučajni događaj javljao češće od drugih ( jednako vjerovatnih događaja), možemo odrediti vjerovatnoću na osnovu teorijskih razmatranja. Na primjer, otkrijmo u slučaju bacanja novčića učestalost ispadanja grba (događaj A). Razni eksperimentatori su u nekoliko hiljada pokusa pokazali da relativna učestalost takvog događaja ima vrijednosti blizu 0,5. s obzirom na to da su izgled grba i suprotne strane novčića (događaj B) podjednako vjerojatni događaji ako je novčić simetričan, prosudba P(A)=P(B)=0,5 mogla bi se donijeti bez određivanja učestalosti ovih događaja. Na osnovu koncepta "jednake vjerovatnoće" događaja formulisana je još jedna definicija vjerovatnoće.

Neka se događaj A koji se razmatra dogodi u m slučajeva, koji se nazivaju povoljnim za A, a ne dešavaju se u preostalih n-m, nepovoljnih za A.

Tada je vjerovatnoća događaja A jednaka omjeru broja elementarnih događaja koji su pogodni za njega i njihovog ukupnog broja(klasična definicija vjerovatnoće događaja):

gdje je m broj elementarnih događaja koji favorizuju događaj A; n - Ukupan broj elementarnih događaja.

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:Urna sadrži 40 kuglica: 10 crnih i 30 bijelih. Nađite vjerovatnoću da je slučajno odabrana lopta crna.

Broj povoljnih slučajeva jednak je broju crnih loptica u urni: m = 10. Ukupan broj jednako vjerovatnih događaja (vađenje jedne kuglice) jednak je ukupnom broju loptica u urni: n = 40. Ovi događaji su nespojivi, jer je jedna i samo jedna lopta izvučena. P(A) = 10/40 = 0,25

Primjer #2:Pronađite vjerovatnoću da dobijete paran broj kada bacite kocku.

Prilikom bacanja kockice ostvaruje se šest podjednako mogućih nespojivih događaja: pojava jedne cifre: 1,2,3,4,5 ili 6, tj. n = 6. Povoljni slučajevi su gubitak jednog od brojeva 2,4 ili 6: m = 3. Željena vjerovatnoća P(A) = m/N = 3/6 = ½.

Kao što možemo vidjeti iz definicije vjerovatnoće događaja, za sve događaje

0 < Р(А) < 1.

Očigledno, vjerovatnoća određenog događaja je 1, vjerovatnoća nemogućeg događaja je 0.

Teorema sabiranja vjerovatnoće: vjerovatnoća pojave jednog (bez obzira na koji) događaj iz više nekompatibilnih događaja jednaka je zbiru njihovih vjerovatnoća.

Za dva nekompatibilna događaja A i B, vjerovatnoće ovih događaja jednake su zbiru njihovih vjerovatnoća:

P(A ili B)=P(A) + P(B).

Primjer #3:Pronađite vjerovatnoću da dobijete 1 ili 6 kada bacate kocku.

Događaj A (roll 1) i B (roll 6) su podjednako verovatni: P(A) = P(B) = 1/6, tako da P(A ili B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Sabiranje vjerovatnoća vrijedi ne samo za dva, već i za bilo koji broj nekompatibilnih događaja.

Primjer #4:Urna sadrži 50 kuglica: 10 bijelih, 20 crnih, 5 crvenih i 15 plavih. Nađite vjerovatnoću da se bijela, crna ili crvena lopta pojavi u jednoj operaciji vađenja lopte iz urne.

Vjerovatnoća izvlačenja bijele lopte (događaj A) je P(A) = 10/50 = 1/5, crne lopte (događaj B) je P(B) = 20/50 = 2/5 i crvene lopte ( događaj C) je P (C) = 5/50 = 1/10. Odavde, prema formuli za sabiranje vjerovatnoća, dobijamo P (A ili B ili C) = P (A) + P (B) = P (C) = 1/5 + 2/5 + 1/ 10 \u003d 7/10

Zbir vjerovatnoća dva suprotna događaja, kao što slijedi iz teoreme zbrajanja vjerovatnoće, jednak je jedan:

P(A) + P() = 1

U gornjem primjeru, vađenje bijele, crne i crvene kuglice bit će događaj A 1 , P(A 1) = 7/10. Događaj suprotan od 1 je izvlačenje plave lopte. Pošto je plavih loptica 15, a ukupan broj loptica je 50, dobijamo P(1) = 15/50 = 3/10 i P(A) + P() = 7/10 + 3/10 = 1.

Ako događaji A 1 , A 2 , ..., A n čine kompletan sistem po parovima nekompatibilnih događaja, onda je zbir njihovih vjerovatnoća jednak 1.

Općenito, vjerovatnoća zbira dva događaja A i B se izračunava kao

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB).

Teorema množenja vjerovatnoće:

Događaji A i B se nazivaju nezavisni Ako vjerovatnoća nastanka događaja A ne zavisi od toga da li se događaj B dogodio ili ne, i obrnuto, vjerovatnoća nastanka događaja B ne zavisi od toga da li se događaj A dogodio ili ne.

Vjerovatnoća zajedničkog nastupa nezavisnih događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća. Za dva događaja P(A i B)=P(A) P(B).

primjer: Jedna urna sadrži 5 crnih i 10 bijelih kuglica, druga 3 crne i 17 bijelih. Nađite vjerovatnoću da će, kada se prvi put izvlače kuglice iz svake urne, obje kuglice crne.

Rješenje: vjerovatnoća izvlačenja crne lopte iz prve urne (događaj A) - P(A) = 5/15 = 1/3, crne lopte iz druge urne (događaj B) - P(B) = 3/ 20

P (A i B) = P (A) P (B) = (1/3) (3/20) \u003d 3/60 = 1/20.

U praksi, vjerovatnoća događaja B često zavisi od toga da li se dogodio neki drugi događaj A ili ne. U ovom slučaju se govori o uslovna verovatnoća , tj. vjerovatnoća događaja B s obzirom da se dogodio događaj A. Uslovna vjerovatnoća je označena sa P(B/A).

U početku, kao samo zbirka informacija i empirijskih zapažanja o igri kockica, teorija vjerovatnoće je postala solidna nauka. Fermat i Pascal su prvi dali matematički okvir.

Od razmišljanja o vječnom do teorije vjerovatnoće

Dva pojedinca kojima teorija vjerovatnoće duguje mnoge fundamentalne formule, Blaise Pascal i Thomas Bayes, poznati su kao duboko religiozni ljudi, potonji je bio prezbiterijanski sveštenik. Očigledno je želja ove dvojice naučnika da dokažu pogrešno mišljenje o određenoj Fortuni, dajući sreću njenim miljenicima, dala podsticaj istraživanjima u ovoj oblasti. Uostalom, svaka igra na sreću, sa svojim pobjedama i porazima, samo je simfonija matematičkih principa.

Zahvaljujući uzbuđenju Chevalier de Merea, koji je bio podjednako kockar i osoba koja nije bila ravnodušna prema nauci, Pascal je bio primoran da pronađe način da izračuna vjerovatnoću. De Merea je zanimalo ovo pitanje: "Koliko puta trebate baciti dvije kockice u paru da bi vjerovatnoća da dobijete 12 poena veća od 50%?". Drugo pitanje koje je gospodina izuzetno zanimalo: "Kako podijeliti opkladu između učesnika u nedovršenoj igri?" Naravno, Pascal je uspješno odgovorio na oba pitanja de Merea, koji je postao nesvjesni inicijator razvoja teorije vjerovatnoće. Zanimljivo je da je ličnost de Merea ostala poznata na ovim prostorima, a ne u literaturi.

Ranije nijedan matematičar još nije pokušao izračunati vjerovatnoće događaja, jer se vjerovalo da je to samo rješenje za nagađanje. Blaise Pascal je dao prvu definiciju vjerovatnoće događaja i pokazao da je to specifična brojka koja se može matematički opravdati. Teorija vjerojatnosti je postala osnova za statistiku i široko se koristi u moderna nauka.

Šta je slučajnost

Ako uzmemo u obzir test koji se može ponoviti beskonačan broj puta, onda možemo definirati slučajni događaj. Ovo je jedan od mogućih ishoda iskustva.

Iskustvo je izvođenje određenih radnji u stalnim uslovima.

Da bi se moglo raditi s rezultatima iskustva, događaji se obično označavaju slovima A, B, C, D, E...

Vjerovatnoća slučajnog događaja

Da bismo mogli da pređemo na matematički deo verovatnoće, potrebno je definisati sve njene komponente.

Vjerovatnoća događaja se izražava u numerički oblik mjera mogućnosti nastanka nekog događaja (A ili B) kao rezultat iskustva. Vjerovatnoća se označava kao P(A) ili P(B).

Teorija vjerovatnoće je:

  • pouzdan zagarantovano je da će se događaj desiti kao rezultat eksperimenta R(Ω) = 1;
  • nemoguće događaj se nikada ne može dogoditi R(Ø) = 0;
  • nasumično događaj se nalazi između sigurnog i nemogućeg, odnosno vjerovatnoća njegovog nastanka je moguća, ali nije zagarantovana (vjerovatnoća slučajnog događaja je uvijek unutar 0≤P(A)≤1).

Odnosi između događaja

I jedan i zbir događaja A + B se uzimaju u obzir kada se događaj računa u implementaciji najmanje jedne od komponenti, A ili B, ili oboje - A i B.

U međusobnoj vezi događaji mogu biti:

  • Jednako moguće.
  • kompatibilan.
  • Nekompatibilno.
  • Suprotnost (međusobno isključiva).
  • Zavisni.

Ako se dva događaja mogu dogoditi sa jednakom vjerovatnoćom, onda oni podjednako moguće.

Ako pojava događaja A ne poništi vjerovatnoću pojave događaja B, onda oni kompatibilan.

Ako se događaji A i B nikada ne dogode u isto vrijeme u istom eksperimentu, onda se oni nazivaju nekompatibilno. bacanje novčića - dobar primjer: pojava repova je automatski nepojavljivanje glava.

Vjerovatnoća za zbir takvih nekompatibilnih događaja sastoji se od zbira vjerovatnoća svakog od događaja:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ako pojava jednog događaja onemogućava nastanak drugog, onda se oni nazivaju suprotnim. Tada se jedan od njih označava kao A, a drugi - Ā (čita se kao "ne A"). Pojava događaja A znači da se Ā nije dogodilo. Ova dva događaja čine kompletnu grupu sa zbirom vjerovatnoća jednakim 1.

Zavisni događaji imaju međusobni uticaj, smanjujući ili povećavajući jedni druge verovatnoće.

Odnosi između događaja. Primjeri

Mnogo je lakše razumjeti principe teorije vjerovatnoće i kombinacije događaja koristeći primjere.

Eksperiment koji će se izvoditi je izvlačenje loptica iz kutije, a rezultat svakog eksperimenta je elementaran ishod.

Događaj je jedan od mogućih ishoda iskustva - crvena lopta, plava lopta, lopta sa brojem šest, itd.

Test broj 1. Ima 6 loptica, od kojih su tri plave sa neparnim brojevima, a ostale tri crvene sa parnim brojevima.

Test broj 2. Postoji 6 plavih loptica sa brojevima od jedan do šest.

Na osnovu ovog primjera možemo imenovati kombinacije:

  • Pouzdan događaj. Na španskom Pod br. 2, događaj "dobi plavu loptu" je pouzdan, jer je vjerovatnoća njegovog nastanka 1, pošto su sve kuglice plave i ne može biti promašaja. Dok je događaj "dobiti loptu sa brojem 1" slučajan.
  • Nemoguć događaj. Na španskom Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama, događaj "dobiti ljubičastu kuglu" je nemoguć, jer je vjerovatnoća njegovog nastanka 0.
  • Ekvivalentni događaji. Na španskom Broj 1, podjednako su verovatni događaji „dobiti loptu sa brojem 2“ i „dobiti loptu sa brojem 3“, a događaji „dobiti loptu sa parnim brojem“ i „dobiti loptu sa brojem 2 ” imaju različite vjerovatnoće.
  • Kompatibilni događaji. Dobivanje šestice u procesu bacanja kocke dvaput zaredom su kompatibilni događaji.
  • Nekompatibilni događaji. Na istom španskom Događaji br. 1 "dobi crvenu loptu" i "dobi loptu sa neparnim brojem" ne mogu se kombinovati u istom iskustvu.
  • suprotnih događaja. Najupečatljiviji primjer ovoga je bacanje novčića, gdje je crtanje glava isto što i ne izvlačenje repa, a zbir njihovih vjerovatnoća je uvijek 1 (puna grupa).
  • Zavisni događaji. Dakle, na španskom Broj 1, možete sebi postaviti cilj da dvaput zaredom izvučete crvenu loptu. Ekstrahovanje ili ne izdvajanje prvi put utiče na verovatnoću da se izvuče drugi put.

Vidi se da prvi događaj značajno utiče na vjerovatnoću drugog (40% i 60%).

Formula vjerovatnoće događaja

Prelazak sa proricanja sudbine na tačne podatke se dešava prenošenjem teme na matematičku ravan. Odnosno, prosudbe o slučajnom događaju poput "velike vjerovatnoće" ili "minimalne vjerovatnoće" mogu se prevesti u specifične numeričke podatke. Već je dozvoljeno procjenjivati, upoređivati ​​i uvoditi takav materijal u složenije proračune.

Sa stanovišta proračuna, definicija vjerovatnoće događaja je omjer broja elementarnih pozitivnih ishoda i broja svih mogućih ishoda iskustva u odnosu na određeni događaj. Vjerovatnoća je označena sa P (A), gdje P znači riječ "vjerovatnoća", što je s francuskog prevedeno kao "vjerovatnoća".

Dakle, formula za vjerovatnoću događaja je:

Gdje je m broj povoljnih ishoda za događaj A, n je zbir svih mogućih ishoda za ovo iskustvo. Vjerovatnoća događaja je uvijek između 0 i 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Proračun vjerovatnoće događaja. Primjer

Uzmimo španski. Br. 1 sa loptama, što je ranije opisano: 3 plave kuglice sa brojevima 1/3/5 i 3 crvene kuglice sa brojevima 2/4/6.

Na osnovu ovog testa može se razmotriti nekoliko različitih zadataka:

  • A - ispuštanje crvene lopte. Postoje 3 crvene kuglice, a ukupno ima 6 varijanti Ovo je najjednostavniji primjer u kojem je vjerovatnoća događaja P(A)=3/6=0,5.
  • B - ispuštanje parnog broja. Ukupno ima 3 (2,4,6) parna broja, a ukupan broj mogućih numeričkih opcija je 6. Vjerovatnoća ovog događaja je P(B)=3/6=0,5.
  • C - gubitak broja većeg od 2. Postoje 4 takve opcije (3,4,5,6) od ukupnog broja mogućih ishoda 6. Vjerovatnoća događaja C je P(C)=4/6= 0,67.

Kao što se može vidjeti iz proračuna, događaj C ima veću vjerovatnoću, jer je broj mogućih pozitivnih ishoda veći nego u A i B.

Nekompatibilni događaji

Takvi događaji ne mogu se pojaviti istovremeno u istom iskustvu. Kao na španskom Broj 1, nemoguće je dobiti plavu i crvenu loptu u isto vrijeme. Odnosno, možete dobiti ili plavu ili crvenu loptu. Na isti način, paran i neparan broj se ne mogu pojaviti u kockici u isto vrijeme.

Vjerovatnoća dva događaja se smatra vjerovatnoćom njihovog zbira ili proizvoda. Zbir takvih događaja A + B smatra se događajem koji se sastoji u pojavi događaja A ili B, a proizvod njihovog AB - u pojavi oba. Na primjer, pojavljivanje dvije šestice odjednom na stranama dvije kocke u jednom bacanju.

Zbir nekoliko događaja je događaj koji podrazumijeva pojavu barem jednog od njih. Proizvod nekoliko događaja je zajednička pojava svih njih.

U teoriji vjerovatnoće, po pravilu, upotreba unije "i" označava zbir, unija "ili" - množenje. Formule s primjerima pomoći će vam da shvatite logiku sabiranja i množenja u teoriji vjerojatnosti.

Vjerovatnoća zbira nespojivih događaja

Ako se uzme u obzir vjerovatnoća nekompatibilnih događaja, tada je vjerovatnoća zbira događaja jednaka zbroju njihovih vjerovatnoća:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Na primjer: izračunavamo vjerovatnoću da na španskom. Broj 1 sa plavim i crvenim kuglicama ispustiće broj između 1 i 4. Računaćemo ne u jednoj akciji, već zbirom verovatnoća elementarnih komponenti. Dakle, u takvom eksperimentu postoji samo 6 kuglica ili 6 od svih mogućih ishoda. Brojevi koji zadovoljavaju uslov su 2 i 3. Verovatnoća da se dobije broj 2 je 1/6, verovatnoća broja 3 je takođe 1/6. Vjerovatnoća da dobijete broj između 1 i 4 je:

Vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja cijele grupe je 1.

Dakle, ako u eksperimentu s kockom zbrojimo vjerovatnoće da dobijemo sve brojeve, onda kao rezultat dobijemo jedan.

To vrijedi i za suprotne događaje, na primjer, u eksperimentu s novčićem, gdje je jedna od njegovih strana događaj A, a druga je suprotan događaj Ā, kao što je poznato,

R(A) + R(Ā) = 1

Vjerovatnoća stvaranja nekompatibilnih događaja

Množenje vjerovatnoća se koristi kada se razmatra pojava dva ili više nekompatibilnih događaja u jednom posmatranju. Vjerovatnoća da će se događaji A i B u njemu pojaviti u isto vrijeme jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća, ili:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Na primjer, vjerovatnoća da u Broj 1 kao rezultat dva pokušaja, dva puta će se pojaviti plava lopta, jednaka

Odnosno, vjerovatnoća da se dogodi događaj kada će se, kao rezultat dva pokušaja vađenja loptica, izvući samo plave kuglice, iznosi 25%. Vrlo je lako napraviti praktične eksperimente na ovom problemu i vidjeti da li je to zaista slučaj.

Zajednički događaji

Događaji se smatraju zajedničkim kada se pojava jednog od njih može poklopiti s pojavom drugog. Uprkos činjenici da su zajednički, razmatra se vjerovatnoća nezavisnih događaja. Na primjer, bacanje dvije kocke može dati rezultat kada na obje padne broj 6. Iako su se događaji poklopili i pojavili istovremeno, oni su nezavisni jedan od drugog - samo jedna šestica može ispasti, druga kockica na to nema utjecaja. .

Vjerovatnoća zajedničkih događaja smatra se vjerovatnoćom njihovog zbira.

Vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja. Primjer

Vjerovatnoća zbira događaja A i B, koji su međusobno povezani, jednaka je zbroju vjerovatnoća događaja minus vjerovatnoća njihovog proizvoda (tj. njihove zajedničke implementacije):

R zglob. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Pretpostavimo da je vjerovatnoća da ćete pogoditi metu jednim udarcem 0,4. Zatim događaj A - pogađanje mete u prvom pokušaju, B - u drugom. Ovi događaji su zajednički, jer je moguće da je moguće pogoditi metu i iz prvog i iz drugog hica. Ali događaji nisu zavisni. Kolika je vjerovatnoća da ćete pogoditi metu sa dva hica (najmanje jednim)? prema formuli:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odgovor na pitanje je: "Vjerovatnoća pogađanja mete sa dva hica je 64%".

Ova formula za vjerovatnoću događaja može se primijeniti i na nekompatibilne događaje, gdje je vjerovatnoća zajedničkog nastupa događaja P(AB) = 0. To znači da se vjerovatnoća zbira nekompatibilnih događaja može smatrati posebnim slučajem. predložene formule.

Geometrija vjerovatnoće radi jasnoće

Zanimljivo je da se vjerovatnoća zbira zajedničkih događaja može predstaviti kao dvije oblasti A i B koje se međusobno seku. Kao što možete vidjeti sa slike, površina njihovog spoja jednaka je ukupnoj površini minus površina njihovog sjecišta. Ovo geometrijsko objašnjenje čini naizgled nelogičnu formulu razumljivijom. Imajte na umu da geometrijska rješenja nisu neuobičajena u teoriji vjerojatnosti.

Definicija vjerovatnoće zbira skupa (više od dva) zajedničkih događaja je prilično glomazna. Da biste ga izračunali, morate koristiti formule koje su predviđene za ove slučajeve.

Zavisni događaji

Zavisni događaji se nazivaju ako pojava jednog (A) od njih utiče na vjerovatnoću pojave drugog (B). Štaviše, uzima se u obzir uticaj i pojave događaja A i njegovog nenastupanja. Iako se događaji po definiciji nazivaju zavisnim, samo jedan od njih je zavisan (B). Uobičajena vjerovatnoća je označena kao P(B) ili vjerovatnoća nezavisnih događaja. U slučaju zavisnih uvodi se novi koncept - uslovna verovatnoća P A (B), koja je verovatnoća zavisnog događaja B pod uslovom da se dogodio događaj A (hipoteza), od kojeg zavisi.

Ali događaj A je takođe slučajan, tako da ima i vjerovatnoću koja se mora i može uzeti u obzir u proračunima. Sljedeći primjer će pokazati kako raditi sa zavisnim događajima i hipotezom.

Primjer izračunavanja vjerovatnoće zavisnih događaja

Dobar primjer za izračunavanje zavisnih događaja je standardni špil karata.

Na primjeru špila od 36 karata, razmotrite zavisne događaje. Potrebno je odrediti vjerovatnoću da će druga izvučena karta iz špila biti dijamantska boja, ako je prva izvučena karta:

  1. Tambura.
  2. Drugo odijelo.

Očigledno, vjerovatnoća drugog događaja B zavisi od prvog A. Dakle, ako je tačna prva opcija, a to je 1 karta (35) i 1 romb (8) manje u špilu, vjerovatnoća događaja B:

P A (B) \u003d 8 / 35 = 0,23

Ako je druga opcija tačna, tada u špilu ima 35 karata, a ukupan broj tambura (9) je i dalje sačuvan, tada je vjerovatnoća sljedećeg događaja B:

P A (B) = 9/35 = 0,26.

Može se vidjeti da ako je događaj A uvjetovan činjenicom da je prva karta dijamant, tada se vjerovatnoća događaja B smanjuje i obrnuto.

Množenje zavisnih događaja

Na osnovu prethodnog poglavlja, prihvatamo prvi događaj (A) kao činjenicu, ali u suštini ima slučajan karakter. Vjerovatnoća ovog događaja, odnosno vađenja tambure iz špila karata, jednaka je:

P(A) = 9/36=1/4

Budući da teorija ne postoji sama po sebi, već je pozvana da služi praktičnim svrhama, pošteno je napomenuti da je najčešće potrebna vjerovatnoća proizvodnje zavisnih događaja.

Prema teoremi o proizvodu vjerovatnoća zavisnih događaja, vjerovatnoća pojave zajednički zavisnih događaja A i B jednaka je vjerovatnoći jednog događaja A pomnoženoj sa uslovnom vjerovatnoćom događaja B (u zavisnosti od A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Zatim u primjeru sa špilom, vjerovatnoća da se izvuku dvije karte s odijelom dijamanata je:

9/36*8/35=0,0571 ili 5,7%

A vjerovatnoća da se prvo ne izvade dijamanti, a zatim dijamanti, jednaka je:

27/36*9/35=0,19 ili 19%

Može se vidjeti da je vjerovatnoća nastanka događaja B veća, pod uslovom da se prva izvuče karta druge boje osim dijamanta. Ovaj rezultat je sasvim logičan i razumljiv.

Ukupna vjerovatnoća događaja

Kada problem sa uslovnim verovatnoćama postane višestruk, ne može se izračunati konvencionalnim metodama. Kada postoji više od dvije hipoteze, odnosno A1, A2, ..., A n , .. formira kompletnu grupu događaja pod uslovom:

  • P(A i)>0, i=1,2,…
  • A i ∩ A j =Ø,i≠j.
  • Σ k A k =Ω.

Dakle, formula za ukupnu vjerovatnoću za događaj B sa kompletnom grupom slučajnih događaja A1, A2, ..., A n je:

Pogled u budućnost

Vjerovatnoća slučajnog događaja je bitna u mnogim oblastima nauke: ekonometriji, statistici, fizici itd. Pošto se neki procesi ne mogu opisati deterministički, budući da su sami po sebi vjerovatnostni, potrebne su posebne metode rada. Teorija vjerovatnoće događaja može se koristiti u bilo kojoj tehnološkoj oblasti kao način da se odredi mogućnost greške ili kvara.

Može se reći da, prepoznajući vjerovatnoću, na neki način činimo teorijski korak u budućnost, gledajući je kroz prizmu formula.

  • Verovatnoća - stepen (relativna mera, kvantifikacija) mogućnost da se dogodi neki događaj. Kada razlozi da se neki mogući događaj zaista dogodi nadjačaju suprotne razloge, onda se ovaj događaj naziva vjerojatnim, inače - malo vjerovatnim ili nevjerovatnim. Prevlast pozitivnih osnova nad negativnim, i obrnuto, može biti u različitom stepenu, zbog čega je vjerovatnoća (i nevjerovatnost) veća ili manja. Stoga se vjerovatnoća često procjenjuje na kvalitativnom nivou, posebno u slučajevima kada je manje ili više tačna kvantitativna procjena nemoguća ili izuzetno teška. Moguće su različite gradacije "nivoa" vjerovatnoće.

    Proučavanje vjerovatnoće sa matematičke tačke gledišta je posebna disciplina - teorija vjerovatnoće. U teoriji vjerovatnoće i matematičke statistike Koncept vjerovatnoće je formaliziran kao numerička karakteristika događaja - mjera vjerovatnoće (ili njena vrijednost) - mjera za skup događaja (podskupovi skupa elementarnih događaja), uzimajući vrijednosti iz

    (\displaystyle 0)

    (\displaystyle 1)

    Značenje

    (\displaystyle 1)

    Odgovara važećem događaju. Nemogući događaj ima vjerovatnoću 0 (obrnuto općenito nije uvijek tačno). Ako je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi

    (\displaystyle p)

    Tada je vjerovatnoća da se ne pojavi jednaka

    (\displaystyle 1-p)

    Konkretno, vjerovatnoća

    (\displaystyle 1/2)

    Označava jednaku vjerovatnoću nastanka i nenastupanja događaja.

    Klasična definicija vjerovatnoće zasniva se na konceptu jednake vjerovatnoće ishoda. Vjerovatnoća je omjer broja ishoda koji favorizuju dati događaj i ukupnog broja jednako vjerovatnih ishoda. Na primjer, vjerovatnoća dobijanja "glava" ili "repa" u nasumičnom bacanju novčića je 1/2, ako se pretpostavi da se javljaju samo ove dvije mogućnosti i da su jednako vjerovatne. Ova klasična "definicija" vjerovatnoće može se generalizirati na slučaj beskonačnog broja mogućih vrijednosti - na primjer, ako se događaj može dogoditi s jednakom vjerovatnoćom u bilo kojoj tački (broj tačaka je beskonačan) nekog ograničenog područja prostor (ravan), tada je vjerovatnoća da će se to dogoditi u nekom dijelu ove dopuštene površine jednaka omjeru volumena (površine) ovog dijela prema zapremini (površini) površine svih mogućih tačaka .

    Empirijska "definicija" vjerovatnoće se odnosi na učestalost pojave događaja, na osnovu činjenice da kod dovoljno velikog broja pokušaja učestalost treba težiti objektivnom stepenu mogućnosti ovog događaja. AT moderna prezentacija teorija vjerovatnoće, vjerovatnoća se definira aksiomatski kao poseban slučaj apstraktna teorija mjere skupa. Ipak, veza između apstraktne mjere i vjerovatnoće, koja izražava stepen mogućnosti nekog događaja, jeste upravo učestalost njegovog posmatranja.

    Dobijen je probabilistički opis određenih pojava široku upotrebu u modernoj nauci, posebno u ekonometriji, statistička fizika makroskopski (termodinamički) sistemi, pri čemu se čak iu slučaju klasičnog determinističkog opisa kretanja čestica deterministički opis čitavog sistema čestica ne čini praktično mogućim i prikladnim. AT kvantna fizika sami opisani procesi su vjerovatnoće prirode.

Različite definicije vjerovatnoće slučajnog događaja

Teorija vjerovatnoće – matematičke nauke, koji po verovatnoćama nekih događaja omogućava procenu verovatnoće drugih događaja povezanih sa prvim.

Potvrda da koncept "vjerovatnosti događaja" nema definiciju je činjenica da u teoriji vjerovatnoće postoji nekoliko pristupa objašnjenju ovog koncepta:

Klasična definicija vjerovatnoće slučajni događaj .

Vjerovatnoća događaja jednaka je omjeru broja ishoda iskustva povoljnog za događaj i ukupnog broja ishoda iskustva.

Gdje

Broj povoljnih ishoda iskustva;

Ukupan broj ishoda iskustva.

Ishod iskustva se zove povoljno za događaj, ako se događaj pojavio u ovom ishodu iskustva. Na primjer, ako je događaj pojavljivanje karte crvene boje, onda je pojava asa dijamanata ishod povoljan za događaj.

Primjeri.

1) Vjerovatnoća da dobijete 5 bodova na licu kockice je jednaka , budući da kockica može pasti na bilo koje od 6 lica gore, a 5 bodova je samo na jednoj strani.

2) Vjerovatnoća da grb ispadne kada se novčić jednom baci je , budući da novčić može pasti s grbom ili repovima - dva ishoda iskustva, a grb je prikazan samo na jednoj strani novčić.

3) Ako se u urni nalazi 12 loptica, od kojih je 5 crnih, onda je vjerovatnoća da se crna kuglica izvadi, jer je ukupno 12 ishoda gljiva, a 5 ih je povoljno

Komentar. Klasična definicija vjerovatnoće primjenjuje se pod dva uslova:

1) svi ishodi eksperimenta moraju biti jednako vjerovatni;

2) iskustvo mora imati konačan broj ishoda.

U praksi može biti teško dokazati da su događaji jednako vjerovatni: na primjer, kada se izvodi eksperiment s bacanjem novčića, na rezultat eksperimenta mogu utjecati faktori kao što su asimetrija novčića, utjecaj njegovog oblika na aerodinamičke karakteristike leta, atmosferski uslovi itd., osim toga, postoje eksperimenti sa beskonačnim brojem ishoda.

Primjer . Dijete baca loptu i maksimalna udaljenost koju može baciti je 15 metara. Odredite vjerovatnoću da će lopta odletjeti iznad oznake od 3m.

Rješenje.Predlaže se da se željena vjerovatnoća smatra kao omjer dužine segmenta koji se nalazi iznad oznake od 3 m (povoljno područje) i dužine cijelog segmenta (svi mogući ishodi):

Primjer. Tačka se nasumično baca u krug poluprečnika 1. Kolika je vjerovatnoća da će tačka pasti u kvadrat upisan u krug?

Rješenje.Vjerovatnoća da će tačka pasti u kvadrat se u ovom slučaju razumije kao omjer površine kvadrata (povoljno područje) i površine kruga (ukupne površine figure na kojoj je tačka se baca):

Dijagonala kvadrata je 2 i izražava se u smislu njegove stranice pomoću Pitagorine teoreme:

Slično razmišljanje se provodi iu prostoru: ako je tačka nasumično odabrana u tijelu volumena, tada se vjerovatnoća da će tačka biti u dijelu tijela zapremine izračunava se kao omjer volumena povoljnog dijela prema ukupnom zapremina tela:

Kombinujući sve slučajeve, možemo formulisati pravilo za izračunavanje geometrijske verovatnoće:

Ako je tačka nasumično odabrana u nekom području, tada je vjerovatnoća da će tačka biti u dijelu ovog područja jednaka:

, gdje

Označava mjeru površine: u slučaju segmenta, ovo je dužina, u slučaju ravne površine, ovo je površina, u slučaju trodimenzionalnog tijela, ovo je volumen, na površini , površina, na krivulji, dužina krive.

Zanimljiva primjena koncepta geometrijske vjerovatnoće je problem sastanka.

Zadatak. (o sastanku)

Dva učenika su se dogovorila da se sastanu, na primjer, u 10 sati ujutro pod sljedećim uslovima: svaki dolazi u bilo koje vrijeme u toku sata od 10 do 11 i čeka 10 minuta, nakon čega odlazi. Kolika je vjerovatnoća susreta?

Rješenje.Uvjete problema ilustrujemo na sljedeći način: na osu ucrtavamo vrijeme za prvi od onih koji se javljaju, a na osi - vrijeme za drugi. Kako eksperiment traje jedan sat, onda na obje ose odvajamo segmente dužine 1. Trenuci vremena kada je sastanak stigao u isto vrijeme tumačimo dijagonalom kvadrata.

Neka prvi stigne u nekom trenutku. Učenici će se sastati ako je vrijeme dolaska drugog učenika na mjesto sastanka između

Argumentirajući na ovaj način za bilo koji trenutak vremena, dobijamo da je vremenska regija koja tumači mogućnost susreta („presjek vremena“ prvog i drugog učenika na pravom mjestu) između dvije prave linije: i . Vjerovatnoća susreta određena je geometrijskom formulom vjerovatnoće:

Godine 1933. Kolmogorov A.M. (1903 - 1987) predložio je aksiomatski pristup izgradnji i predstavljanju teorije vjerovatnoće, koji je danas postao opšteprihvaćen. Prilikom konstruisanja teorije vjerovatnoće kao formalne aksiomatske teorije, potrebno je ne samo uvesti osnovni koncept – vjerovatnoću slučajnog događaja, već i opisati njena svojstva pomoću aksioma (tvrdnji koje su intuitivno istinite, prihvaćene bez dokaza).

Takve izjave su izjave slične svojstvima relativne učestalosti pojavljivanja događaja.

Relativna učestalost pojavljivanja slučajnog događaja je omjer broja pojavljivanja događaja u ispitivanjima i ukupnog broja izvedenih pokušaja:

Očigledno, za određeni događaj, za nemoguć događaj, za nespojive događaje, a važi sledeće:

Primjer. Ilustrujmo posljednju izjavu. Neka izvade karte iz špila od 36 karata. Neka događaj znači pojavu dijamanata, događaj znači pojavu srca, a događaj - pojavu karte crvene boje. Očigledno je da su događaji i nespojivi. Kada se pojavi crveno odijelo, stavljamo oznaku u blizini događaja, kada se pojave dijamanti - u blizini događaja, a kada se pojave crvi - u blizini događaja. Očigledno je da će oznaka u blizini događaja biti postavljena ako i samo ako je oznaka postavljena u blizini događaja ili u blizini događaja, tj. .

Nazovimo vjerovatnoću slučajnog događaja brojem koji je povezan s događajem prema sljedećem pravilu:

Za nekompatibilne događaje i

dakle,

Relativna frekvencija