Slučajna varijabla je varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti u zavisnosti od različitih okolnosti, i slučajna varijabla se naziva kontinuirana , ako može uzeti bilo koju vrijednost iz nekog ograničenog ili neograničenog intervala. Za kontinuiranu slučajnu varijablu nemoguće je navesti sve moguće vrijednosti, stoga se označavaju intervali ovih vrijednosti koji su povezani s određenim vjerovatnoćama.

Primjeri kontinuiranih slučajnih varijabli su: prečnik dijela okrenut na datu veličinu, visina osobe, domet projektila itd.

Budući da je za kontinuirane slučajne varijable funkcija F(x), Za razliku od diskretne slučajne varijable, nema nigdje skokova, tada je vjerovatnoća bilo koje pojedinačne vrijednosti kontinuirane slučajne varijable jednaka nuli.

To znači da za kontinuiranu slučajnu varijablu nema smisla govoriti o distribuciji vjerovatnoće između njenih vrijednosti: svaka od njih ima nultu vjerovatnoću. Međutim, u određenom smislu, među vrijednostima kontinuirane slučajne varijable postoje "više i manje vjerovatne". Na primjer, malo je vjerovatno da će itko sumnjati da je vrijednost slučajne varijable - visina nasumično pronađene osobe - 170 cm - vjerojatnija od 220 cm, iako se jedna i druga vrijednost mogu pojaviti u praksi.

Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable i gustoća vjerovatnoće

Kao zakon raspodjele, koji ima smisla samo za kontinuirane slučajne varijable, uvodi se koncept gustine distribucije ili gustine vjerovatnoće. Pristupimo tome upoređujući značenje funkcije distribucije za kontinuiranu slučajnu varijablu i za diskretnu slučajnu varijablu.

Dakle, funkcija distribucije slučajne varijable (i diskretne i kontinuirane) ili integralna funkcija naziva se funkcija koja određuje vjerovatnoću da će vrijednost slučajne varijable X manji ili jednak graničnoj vrijednosti X.

Za diskretnu slučajnu varijablu u tačkama njenih vrijednosti x1 , x 2 , ..., x ja,... koncentrisane mase verovatnoća str1 , str 2 , ..., str ja,..., a zbir svih masa je jednak 1. Prenesimo ovu interpretaciju na slučaj kontinuirane slučajne varijable. Zamislite da masa jednaka 1 nije koncentrisana na odvojenim tačkama, već je kontinuirano "razmazana" duž x-ose Ox sa nekom neujednačenom gustinom. Vjerovatnoća pogađanja slučajne varijable na bilo kojoj lokaciji Δ xće se tumačiti kao masa koja se može pripisati ovoj sekciji, a prosječna gustina u ovom dijelu - kao omjer mase i dužine. Upravo smo uveli važan koncept u teoriji vjerovatnoće: gustina distribucije.

Gustoća vjerovatnoće f(x) kontinuirane slučajne varijable je derivacija njene funkcije distribucije:

.

Poznavajući funkciju gustoće, možemo pronaći vjerovatnoću da vrijednost kontinuirane slučajne varijable pripada zatvorenom intervalu [ a; b]:

vjerovatnoća da je kontinuirana slučajna varijabla Xće uzeti bilo koju vrijednost iz intervala [ a; b], jednak je određenom integralu njegove gustine vjerovatnoće u rasponu od a prije b:

.

Gde opšta formula funkcije F(x) raspodjela vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable, koja se može koristiti ako je poznata funkcija gustine f(x) :

.

Grafikon gustine vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable naziva se njena kriva distribucije (slika ispod).

Područje figure (osenčeno na slici), ograničeno krivuljom, ravnim linijama povučenim iz tačaka a i b okomito na osu apscise, i os Oh, grafički prikazuje vjerovatnoću da je vrijednost kontinuirane slučajne varijable X je u dometu od a prije b.

Svojstva funkcije gustoće vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable

1. Vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti bilo koju vrijednost iz intervala (i površinu figure koja je ograničena grafom funkcije f(x) i osi Oh) je jednako jedan:

2. Funkcija gustoće vjerovatnoće ne može imati negativne vrijednosti:

a van postojanja distribucije, njena vrijednost je nula

Gustina distribucije f(x), kao i funkcija distribucije F(x), je jedan od oblika zakona raspodjele, ali za razliku od funkcije raspodjele, nije univerzalan: gustina distribucije postoji samo za kontinuirane slučajne varijable.

Spomenimo dva najvažnija u praksi tipa distribucije kontinuirane slučajne varijable.

Ako je funkcija gustine distribucije f(x) kontinuirana slučajna varijabla u nekom konačnom intervalu [ a; b] uzima konstantnu vrijednost C, a izvan intervala poprima vrijednost jednaku nuli, onda ovo distribucija se naziva uniformna .

Ako je graf funkcije gustoće distribucije simetričan u odnosu na centar, prosječne vrijednosti su koncentrisane blizu centra, a kada se udaljavaju od centra prikupljaju se više različitih od prosjeka (grafik funkcije liči na rez zvono), zatim ovo distribucija se naziva normalnom .

Primjer 1 Poznata je funkcija raspodjele vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable:

Pronađite funkciju f(x) gustina vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable. Iscrtajte grafove za obje funkcije. Pronađite vjerovatnoću da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti bilo koju vrijednost u rasponu od 4 do 8: .

Rješenje. Funkciju gustine vjerovatnoće dobijamo pronalaženjem derivacije funkcije raspodjele vjerovatnoće:

Funkcija Graf F(x) - parabola:

Funkcija Graf f(x) - duž:

Nađimo vjerovatnoću da će kontinuirana slučajna varijabla uzeti bilo koju vrijednost u rasponu od 4 do 8:

Primjer 2 Funkcija gustoće vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable je data kao:

Izračunajte faktor C. Pronađite funkciju F(x) raspodjela vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable. Iscrtajte grafove za obje funkcije. Pronađite vjerovatnoću da će kontinuirana slučajna varijabla poprimiti bilo koju vrijednost u rasponu od 0 do 5: .

Rješenje. Koeficijent C nalazimo, koristeći svojstvo 1 funkcije gustoće vjerovatnoće:

Dakle, funkcija gustoće vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable je:

Integrirajući, nalazimo funkciju F(x) distribucije vjerovatnoće. Ako a x < 0 , то F(x) = 0 . Ako je 0< x < 10 , то

.

x> 10 , onda F(x) = 1 .

Dakle, puni zapis funkcije distribucije vjerovatnoće je:

Funkcija Graf f(x) :

Funkcija Graf F(x) :

Nađimo vjerovatnoću da će kontinuirana slučajna varijabla uzeti bilo koju vrijednost u rasponu od 0 do 5:

Primjer 3 Gustoća vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X je dato jednakošću , dok . Pronađite koeficijent ALI, vjerovatnoća da je kontinuirana slučajna varijabla X uzima neku vrijednost iz intervala ]0, 5[, funkcije distribucije kontinuirane slučajne varijable X.

Rješenje. Po uslovu dolazimo do jednakosti

Dakle, odakle . dakle,

.

Sada nalazimo vjerovatnoću da je kontinuirana slučajna varijabla Xće uzeti bilo koju vrijednost iz intervala ]0, 5[:

Sada dobijamo funkciju distribucije ove slučajne varijable:

Primjer 4 Pronađite gustinu vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X, koji uzima samo nenegativne vrijednosti, i njegovu funkciju distribucije .

………………………………………………………

An - slučajna varijabla X je uzela vrijednost An.

Očigledno, zbir događaja A1 A2, . , An je određeni događaj, jer slučajna varijabla nužno uzima barem jednu od vrijednosti x1, x2, xn.

Dakle, P (A1 È A2 È . È An) = 1.

Osim toga, događaji A1, A2, ., An su nekompatibilni, jer slučajna varijabla u jednom eksperimentu može uzeti samo jednu od vrijednosti x1, x2, ., xn. Po teoremu sabiranja za nespojive događaje dobijamo

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

tj. p1+p2+ . +pn = 1, ili, ukratko,

Dakle, zbir svih brojeva koji se nalaze u drugom redu tabele 1, koji daje zakon raspodjele slučajne varijable X, mora biti jednak jedan.

PRIMJER 1. Neka je slučajna varijabla X broj bodova koji se bacaju kada se kockica baci. Naći zakon raspodjele (u obliku tabele).

Slučajna vrijednost X uzima vrijednosti

x1=1, x2=2, … , x6=6

sa vjerovatnoćama

p1= p2 = … = p6 =

Zakon raspodjele je dat u tabeli:

tabela 2

PRIMJER 2. Binomna distribucija. Razmotrimo slučajnu varijablu X - broj pojavljivanja događaja A u nizu nezavisnih eksperimenata, u svakom od kojih se A javlja sa vjerovatnoćom p.

Slučajna varijabla X očito može uzeti jednu od sljedećih vrijednosti:

0, 1, 2, ., k, ., n.

Vjerojatnost događaja koji se sastoji u činjenici da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost jednaku k određena je Bernoullijevom formulom:

Rn(k)= gdje je q=1- r.

Takva raspodjela slučajne varijable naziva se binomna distribucija ili Bernoullijeva distribucija. Bernulijeva distribucija je u potpunosti određena sa dva parametra: brojem n svih pokušaja i vjerovatnoćom p sa kojom se događaj dogodi u svakom pojedinačnom ispitivanju.

Uslov za binomnu distribuciju ima oblik:

Da bi se dokazala valjanost ove jednakosti, dovoljan je identitet

(q+px)n=

stavi x=1.

PRIMJER 3. Poissonova distribucija. Ovo je naziv distribucije vjerovatnoće forme:

P(k)= .

Određuje ga jedan (pozitivan) parametar a. Ako je ξ slučajna varijabla koja ima Poissonovu distribuciju, tada je odgovarajući parametar a - prosječna vrijednost ove slučajne varijable:

a=Mξ=, gdje je M matematičko očekivanje.

Slučajna varijabla je:

PRIMJER 4. eksponencijalna distribucija.

Ako je vrijeme slučajna varijabla, označimo ga sa τ, tako da

gdje je 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

Srednja vrijednost slučajne varijable t je:

Gustina distribucije ima oblik:

4) Normalna distribucija

Neka su nezavisne, identično raspoređene slučajne varijable i neka Ako su članovi dovoljno mali, a broj n dovoljno velik, - ako su za n à ∞ matematičko očekivanje slučajne varijable Mξ i varijansa Dξ jednaka Dξ=M(ξ–Mξ)2, takvi da su Mξ~ a, Dξ~σ2, onda

- normalna ili Gausova raspodjela

.

5) Geometrijska raspodjela. Neka ξ označava broj pokušaja koji prethode prvom "uspjehu". Ako pretpostavimo da svaki test traje jedinicu vremena, onda možemo smatrati ξ kao vrijeme čekanja do prvog "uspjeha". Distribucija izgleda ovako:

R(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Hipergeometrijska distribucija.

Postoji N - objekata među kojima n - "posebnih objekata". Među svim objektima, k-objekti su nasumično odabrani. Pronađite vjerovatnoću da je među odabranim objektima jednako r - "posebni objekti". Distribucija izgleda ovako:

7) Pascal distribucija.

Neka x - ukupan broj"neuspjesi" koji prethode dolasku r-tog "uspjeha". Distribucija izgleda ovako:

Funkcija distribucije ima oblik:

Jednakovjerovatna distribucija podrazumijeva da slučajna varijabla x može uzeti bilo koju vrijednost u intervalu sa istom vjerovatnoćom. U ovom slučaju, gustina distribucije se izračunava kao

U nastavku su prikazani grafikoni gustine distribucije i funkcije distribucije.

Prije objašnjenja pojma "bijeli šum", potrebno je dati niz definicija.

Slučajna funkcija je funkcija neslučajnog argumenta t, koji je, za svaku fiksnu vrijednost argumenta, slučajna varijabla. Na primjer, ako je U slučajna varijabla, onda je funkcija X(t)=t2U slučajna.

Sekcija slučajne funkcije je slučajna varijabla koja odgovara fiksnoj vrijednosti argumenta slučajne funkcije. Na ovaj način, slučajna funkcija može se posmatrati kao skup slučajnih varijabli (X(t)), u zavisnosti od parametra t.

Slučajna varijabla Naziva se veličina koja, kao rezultat ispitivanja sprovedenih pod istim uslovima, poprima različite, uopšteno govoreći, vrednosti, u zavisnosti od slučajnih faktora koji se ne uzimaju u obzir. Primjeri slučajnih varijabli: broj tačaka na kocki, broj neispravnih predmeta u seriji, odstupanje tačke udara projektila od mete, vrijeme vrijeme rada uređaji, itd. Razlikovati diskretne i kontinuirane slučajne varijable. Diskretno Poziva se slučajna varijabla čije moguće vrijednosti čine prebrojiv skup, konačan ili beskonačan (tj. takav skup čiji se elementi mogu numerisati).

kontinuirano Poziva se slučajna varijabla čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju neki konačni ili beskonačni interval numeričke ose. Broj vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je uvijek beskonačan.

Slučajne varijable će biti označene velikim slovima na kraju latinice: X, Y, ...; vrijednosti slučajne varijable - malim slovima: X, y... . Na ovaj način, X Označava cijeli skup mogućih vrijednosti slučajne varijable, i X - Neko specifično značenje.

zakon o distribuciji Diskretna slučajna varijabla je korespondencija data u bilo kojem obliku između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerovatnoća.

Neka su moguće vrijednosti slučajne varijable X Are . Kao rezultat testa, slučajna varijabla će uzeti jednu od ovih vrijednosti, tj. Dogodit će se jedan događaj iz kompletne grupe parno nekompatibilnih događaja.

Neka budu poznate i vjerovatnoće ovih događaja:

Zakon distribucije slučajne varijable X Može se napisati u obliku tabele tzv Blizu distribucije Diskretna slučajna varijabla:

Red raspodjele je jednak (uslov normalizacije).

Primjer 3.1. Naći zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja "orla" u dva bacanja novčića.

Funkcija distribucije je univerzalni oblik postavljanja zakona distribucije i za diskretne i za kontinuirane slučajne varijable.

Funkcija distribucije slučajne varijableX Funkcija se poziva F(X), Definiran na cijeloj brojevnoj pravoj na sljedeći način:

F(X)= P(X< х ),

tj. F(X) postoji vjerovatnoća da je slučajna varijabla X Poprimi vrijednost manju od X.

Funkcija distribucije se može prikazati grafički. Za diskretnu slučajnu varijablu, graf ima stepenasti oblik. Napravimo, na primjer, graf funkcije distribucije slučajne varijable date sljedećim nizom (slika 3.1):

Rice. 3.1. Grafikon funkcije distribucije diskretne slučajne varijable

Skokovi funkcije se javljaju u tačkama koje odgovaraju mogućim vrijednostima slučajne varijable, a jednake su vjerojatnosti ovih vrijednosti. U tačkama prekida, funkcija F(X) je kontinuirano na lijevoj strani.

Grafikon funkcije distribucije kontinuirane slučajne varijable je kontinuirana kriva.

Rice. 3.2. Grafikon funkcije distribucije kontinuirane slučajne varijable

Funkcija distribucije ima sljedeća očigledna svojstva:

1) , 2) , 3) ,

4) u .

Nazvat ćemo događaj koji se sastoji u činjenici da je slučajna varijabla X Poprimi vrijednost X, Pripada nekom poluzatvorenom intervalu A£ X< B, Udaranjem na slučajnu varijablu na intervalu [ A, B).

Teorema 3.1. Vjerovatnoća da slučajna varijabla padne u interval [ A, B) jednak je prirastu funkcije distribucije na ovom intervalu:

Ako smanjimo interval [ A, B), Pod pretpostavkom da , tada u granici, formula (3.1) umjesto vjerovatnoće pogađanja intervala daje vjerovatnoću pogađanja tačke, tj. vjerovatnoću da slučajna varijabla poprimi vrijednost A:

Ako funkcija distribucije ima diskontinuitet u tački A, Tada je granica (3.2) jednaka vrijednosti funkcija skok F(X) u tački X=A, Odnosno, vjerovatnoće da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost A (Slika 3.3, ALI). Ako je slučajna varijabla kontinuirana, tj. funkcija je kontinuirana F(X), tada je granica (3.2) jednaka nuli (slika 3.3, B)

Dakle, vjerovatnoća bilo koje određene vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je nula. Međutim, to ne znači da je događaj nemoguć. X=A, To samo govori da će relativna učestalost ovog događaja težiti nuli uz neograničeno povećanje broja testova.

Rice. 3.3. Skok funkcije distribucije

Za kontinuirane slučajne varijable, uz funkciju distribucije, koristi se još jedan oblik specificiranja zakona raspodjele - gustina distribucije.

Ako je vjerovatnoća pogađanja intervala , tada omjer karakterizira gustinu s kojom je vjerovatnoća raspoređena u blizini tačke X. Granica ove relacije na , tj. e. derivat, se zove Gustina distribucije(gustina distribucije vjerovatnoće, gustina vjerovatnoće) slučajne varijable X. Slažemo se da označimo gustinu distribucije

.

Dakle, gustina distribucije karakterizira vjerovatnoću da će slučajna varijabla pasti u blizinu tačke X.

Grafikon gustine distribucije se zove krive raseDefinicije(Slika 3.4).

Rice. 3.4. Tip gustine distribucije

Zasnovano na definiciji i svojstvima funkcije distribucije F(X), lako je ustanoviti sljedeća svojstva gustine raspodjele F(X):

1) F(X)³0

2)

3)

4)

Za kontinuiranu slučajnu varijablu, zbog činjenice da je vjerovatnoća da se pogodi tačka nula, vrijede sljedeće jednakosti:

Primjer 3.2. Slučajna vrijednost X Određeno gustinom distribucije

Obavezno:

A) pronađite vrijednost koeficijenta ALI;

B) naći funkciju distribucije;

C) pronaći vjerovatnoću da slučajna varijabla padne u interval (0, ).

Funkcija distribucije ili gustina distribucije u potpunosti opisuje slučajnu varijablu. Često, međutim, pri rješavanju praktičnih problema nije potrebno potpuno poznavanje zakona raspodjele, dovoljno je poznavati samo dio zakona. karakterne osobine. Da bi se to postiglo, u teoriji vjerovatnoće koriste se numeričke karakteristike slučajne varijable, koje izražavaju različita svojstva zakona raspodjele. Glavne numeričke karakteristike su MatematičkiOčekivanje, varijansa i standardna devijacija.

Očekivana vrijednost Karakterizira položaj slučajne varijable na brojevnoj osi. Ovo je neka prosječna vrijednost slučajne varijable oko koje su grupisane sve njene moguće vrijednosti.

Matematičko očekivanje slučajne varijable X Simbolizirano M(X) ili T. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir uparenih proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoća ovih vrijednosti:

Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable određuje se korištenjem nepravilnog integrala:

Na osnovu definicija, lako je provjeriti valjanost sljedećih svojstava matematičko očekivanje:

1. (matematičko očekivanje neslučajne varijable OD Jednako najnesumičnijoj vrijednosti).

2. Ako je ³0, onda ³0.

4. Ako i nezavisni, zatim .

Primjer 3.3. Pronađite matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable date nizom distribucija:

Rješenje.

=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.

Primjer 3.4. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable date gustinom distribucije:

.

Rješenje.

Disperzija i standardna devijacija One su karakteristike disperzije slučajne varijable, karakteriziraju širenje njenih mogućih vrijednosti u odnosu na matematičko očekivanje.

disperzija D(X) slučajna varijabla X Zove se matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja. Za diskretnu slučajnu varijablu, varijansa se izražava sumom:

(3.3)

A za kontinuirano - integralno

(3.4)

Varijanca ima dimenziju kvadrata slučajne varijable. karakteristika raspršenja, Podudaranje po veličiniStee sa slučajnom varijablom, je standardna devijacija.

Svojstva disperzije:

1) su konstantne. posebno,

3)

posebno,

Imajte na umu da se izračunavanje varijanse po formuli (3.5) često pokaže prikladnijim nego po formuli (3.3) ili (3.4).

Vrijednost se poziva kovarijansa slučajne varijable.

Ako a , zatim vrijednost

pozvao Koeficijent korelacije slučajne varijable.

Može se pokazati da ako , tada su veličine linearno zavisne: gdje

Imajte na umu da ako su nezavisni, onda

Primjer 3.5. Pronađite varijansu slučajne varijable date nizom distribucije iz primjera 1.

Rješenje. Da biste izračunali varijansu, morate znati matematičko očekivanje. Za datu slučajnu varijablu iznad, pronađeno je: M=1.3. Izračunavamo varijansu koristeći formulu (3.5):

Primjer 3.6. Slučajna varijabla je data gustinom distribucije

Pronađite varijansu i standardnu ​​devijaciju.

Rješenje. Prvo nalazimo matematičko očekivanje:

(kao integral neparne funkcije preko simetričnog intervala).

Sada izračunavamo varijansu i standardnu ​​devijaciju:

1. Binomna distribucija. Slučajna varijabla, jednaka broju "USPJEHA" u Bernoullijevoj shemi, ima binomnu distribuciju: , .

Matematičko očekivanje slučajne varijable distribuirane prema binomskom zakonu je

.

Varijanca ove distribucije je .

2. Poissonova distribucija ,

Matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable s Poissonovom distribucijom , .

Poissonova distribucija se često koristi kada imamo posla sa brojem događaja koji se dešavaju u vremenskom ili prostoru, kao što je broj automobila koji stignu u autopraonicu za sat vremena, broj zaustavljanja mašine nedeljno, broj saobraćajnih nezgoda itd.

Slučajna varijabla ima Geometrijska distribucija sa parametrom ako uzima vrijednosti sa vjerovatnoćama . Slučajna varijabla sa takvom distribucijom ima smisla Brojevi prvog uspješnog testa u Bernoullijevoj shemi sa vjerovatnoćom uspjeha . Tabela distribucije izgleda ovako:

3. Normalna distribucija. Normalni zakon distribucije vjerovatnoće zauzima posebno mjesto među ostalim zakonima raspodjele. U teoriji vjerovatnoće je dokazano da je gustina vjerovatnoće zbira nezavisnih ili Slabo zavisna, ujednačeno mali (tj. igraju približno istu ulogu) termini sa neograničenim povećanjem njihovog broja približavaju se normalnom zakonu distribucije koliko god se to želi, bez obzira na to koje zakone raspodjele ovi pojmovi imaju (centralni granična teorema A. M. Ljapunova).

Gustina distribucije vjerovatnoće X pozovite funkciju f(x) je prvi izvod funkcije distribucije F(x):

Koncept gustine raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable X za diskretna količina nije primjenjivo.

Gustoća vjerovatnoće f(x) naziva se funkcija diferencijalne distribucije:

Nekretnina 1. Gustina distribucije je nenegativna vrijednost:

Nekretnina 2. Nepravilan integral gustine distribucije u rasponu od do jednak je jedan:

Primjer 1.25. S obzirom na funkciju distribucije kontinuirane slučajne varijable X:

f(x).

Rješenje: Gustoća distribucije jednaka je prvom izvodu funkcije distribucije:

1. Zadana funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X:

Pronađite gustinu distribucije.

2. Zadana je funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X:

Pronađite gustinu distribucije f(x).

1.3. Numeričke karakteristike kontinuirano nasumično

količine

Očekivana vrijednost kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi Oh, određen je jednakošću:

Pretpostavlja se da integral konvergira apsolutno.

a,b), zatim:

f(x) je gustina distribucije slučajne varijable.

Disperzija kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi, određena je jednakošću:

poseban slučaj. Ako vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu ( a,b), zatim:

Verovatnoća da Xće uzeti vrijednosti koje pripadaju intervalu ( a,b), određena je jednakošću:

.

Primjer 1.26. Kontinuirana slučajna varijabla X

Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable X u intervalu (0; 0,7).

Rješenje: Slučajna varijabla je raspoređena po intervalu (0,1). Definirajmo gustinu distribucije kontinuirane slučajne varijable X:

a) Matematičko očekivanje :

b) Disperzija

u)

Zadaci za samostalan rad:

1. Slučajna varijabla X dato funkcijom distribucije:

M(x);

b) disperzija D(x);

X u interval (2,3).

2. Slučajna vrijednost X

Pronađite: a) matematičko očekivanje M(x);

b) disperzija D(x);

c) odrediti vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable X u intervalu (1; 1,5).

3. Slučajna vrijednost X je dato integralnom funkcijom distribucije:

Pronađite: a) matematičko očekivanje M(x);

b) disperzija D(x);

c) odrediti vjerovatnoću pogađanja slučajne varijable X u intervalu.

1.4. Zakoni distribucije kontinuirane slučajne varijable

1.4.1. Ujednačena distribucija

Kontinuirana slučajna varijabla X ima ujednačenu distribuciju na intervalu [ a,b], ako je na ovom segmentu gustina distribucije vjerovatnoće slučajne varijable konstantna, a izvan nje jednaka nuli, tj.:

Rice. četiri.

; ; .

Primjer 1.27. Autobus neke rute kreće se ravnomjerno sa intervalom od 5 minuta. Odrediti vjerovatnoću da je ravnomjerno raspoređena slučajna varijabla X– vrijeme čekanja na autobus će biti manje od 3 minute.

Rješenje: Slučajna vrijednost X- ravnomjerno raspoređeni po intervalu.

Gustoća vjerovatnoće: .

Da vrijeme čekanja ne bi bilo duže od 3 minute, putnik mora doći na autobusko stajalište u roku od 2 do 5 minuta nakon polaska prethodnog autobusa, tj. slučajna vrijednost X mora biti unutar intervala (2;5). To. željena vjerovatnoća:

Zadaci za samostalan rad:

1. a) naći matematičko očekivanje slučajne varijable X ravnomjerno raspoređeni u intervalu (2; 8);

b) pronaći varijansu i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable X, ravnomjerno raspoređeni u intervalu (2;8).

2. Minutna kazaljka električnog sata skače na kraju svake minute. Odrediti vjerovatnoću da će u datom trenutku sat pokazati vrijeme koje se razlikuje od pravog vremena za najviše 20 sekundi.

1.4.2. Eksponencijalna (eksponencijalna) distribucija

Kontinuirana slučajna varijabla X je eksponencijalno distribuiran ako njegova gustina vjerovatnoće ima oblik:

gdje je parametar eksponencijalne distribucije.

Na ovaj način

Rice. 5.

Numeričke karakteristike:

Primjer 1.28. Slučajna vrijednost X- vrijeme rada sijalice - ima eksponencijalnu distribuciju. Odredite vjerovatnoću da će lampa trajati najmanje 600 sati ako je prosječni vijek trajanja lampe 400 sati.

Rješenje: Prema uslovu zadatka, matematičko očekivanje slučajne varijable X iznosi 400 sati, pa:

;

Željena vjerovatnoća , gdje

konačno:

Zadaci za samostalan rad:

1. Napišite gustoću i funkciju distribucije eksponencijalnog zakona, ako je parametar .

2. Slučajna vrijednost X

Pronađite matematičko očekivanje i varijansu veličine X.

3. Slučajna vrijednost X dato funkcijom raspodjele vjerovatnoće:

Pronađite matematičko očekivanje i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable.

1.4.3. Normalna distribucija

normalno naziva se distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X, čija gustina ima oblik:

gdje a– matematičko očekivanje, – standardna devijacija X.

Verovatnoća da Xće uzeti vrijednost koja pripada intervalu:

, gdje

je Laplaceova funkcija.

Distribucija koja ima ; , tj. sa gustinom vjerovatnoće naziva se standardnim.

Rice. 6.

Vjerovatnoća da je apsolutna vrijednost odstupanja manja od pozitivnog broja:

.

Konkretno, kada a= 0 jednakost je tačna:

Primjer 1.29. Slučajna vrijednost X normalno distribuirano. Standardna devijacija . Naći vjerovatnoću da će odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja u apsolutnoj vrijednosti biti manje od 0,3.

Rješenje: .

Zadaci za samostalan rad:

1. Napišite gustinu vjerovatnoće normalne distribucije slučajne varijable X, znajući to M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno raspoređene slučajne varijable X su 20 i 5. Nađite vjerovatnoću da kao rezultat testa Xće uzeti vrijednost sadržanu u intervalu (15;20).

3. Slučajne greške mjerenja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom mm i matematičkim očekivanjem a= 0. Naći vjerovatnoću da greška najmanje jednog od 3 nezavisna mjerenja ne prelazi 4 mm u apsolutnoj vrijednosti.

4. Neka supstanca se vaga bez sistematskih grešaka. Slučajne greške vaganja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom r. Pronađite vjerovatnoću da će vaganje biti obavljeno sa greškom koja ne prelazi 10 g u apsolutnoj vrijednosti.

Koncepti matematičkog očekivanja M(X) i disperzija D(X) koji je ranije uveden za diskretnu slučajnu varijablu može se proširiti na kontinuirane slučajne varijable.

· Matematičko očekivanje M(X) kontinuirana slučajna varijabla X definirana je jednakošću:

pod uslovom da ovaj integral konvergira.

· Disperzija D(X) kontinuirana slučajna varijabla X definirana je jednakošću:

· Standardna devijacijaσ( X) kontinuirana slučajna varijabla definirana je jednakošću:

Sva svojstva matematičkog očekivanja i disperzije razmatrana ranije za diskretne slučajne varijable vrijede i za kontinuirane.

Problem 5.3. Slučajna vrijednost X dato diferencijalnom funkcijom f(x):

Nađi M(X), D(X), σ( X), kao i P(1 < X< 5).

Rješenje:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Zadaci

5.1. X

f(x), kao i

R(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Kontinuirana slučajna varijabla X dato funkcijom distribucije:

Nađite funkciju diferencijalne distribucije f(x), kao i

R(2π /9< X< π /2).

5.3. Kontinuirana slučajna varijabla X

Pronađite: a) broj With; b) M(X), D(X).

5.4. Kontinuirana slučajna varijabla X dato gustinom distribucije:

Pronađite: a) broj With; b) M(X), D(X).

5.5. X:

Pronaci) F(X) i nacrtati njegov graf; b) M(X), D(X), σ( X); c) vjerovatnoća da će u četiri nezavisna ispitivanja vrijednost X uzima tačno 2 puta vrijednost koja pripada intervalu (1;4).

5.6. S obzirom na gustinu distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X:

Pronaci) F(X) i nacrtati njegov graf; b) M(X), D(X), σ( X); c) vjerovatnoća da će u tri nezavisna ispitivanja vrijednost Xće uzeti tačno 2 puta vrijednost koja pripada intervalu .

5.7. Funkcija f(X) se daje kao:

With X; b) funkcija distribucije F(x).

5.8. Funkcija f(x) se daje kao:

Pronađite: a) vrijednost konstante With, pri čemu će funkcija biti gustoća vjerovatnoće neke slučajne varijable X; b) funkcija distribucije F(x).

5.9. Slučajna vrijednost X, koncentrisan na interval (3;7), dat je funkcijom raspodjele F(X)= X uzima vrijednost: a) manju od 5, b) ne manju od 7.

5.10. Slučajna vrijednost X, koncentriran na interval (-1; 4), dat je funkcijom distribucije F(X)= . Pronađite vjerovatnoću da je slučajna varijabla X uzima vrijednost: a) manju od 2, b) manju od 4.

5.11.

Pronađite: a) broj With; b) M(X); c) vjerovatnoća R(X > M(X)).

5.12. Slučajna varijabla je data funkcijom diferencijalne distribucije:

Pronaci) M(X); b) vjerovatnoća R(X ≤ M(X)).

5.13. Vremenska distribucija je data gustinom vjerovatnoće:

Dokaži to f(x) je zaista distribucija gustine vjerovatnoće.

5.14. S obzirom na gustinu distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X:

Nađi broj With.

5.15. Slučajna vrijednost X raspoređeni prema Simpsonovom zakonu (jednakokraki trougao) na segmentu [-2; 2] (slika 5.4). Pronađite analitički izraz za gustinu vjerovatnoće f(x) na cijeloj brojevnoj pravoj.

Rice. 5.4 Sl. 5.5

5.16. Slučajna vrijednost X raspoređeni prema zakonu "pravouglog trougla" u intervalu (0; 4) (slika 5.5). Pronađite analitički izraz za gustinu vjerovatnoće f(x) na cijeloj brojevnoj pravoj.

Odgovori

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

P(2π /9<X< π /2)=1/2.

5.3. a) With=1/6, b) M(X)=3 , c) D(X)=26/81.

5.4. a) With=3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.

b) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.

b) M(X)=2 , D(X)= 3 , σ( X)= 1,893.

5.7. a) c = ; b)

5.8. a) With=1/2; b)

5.9. a) 1/4; b) 0.

5.10. a) 3/5; b) 1.

5.11. a) With= 2; b) M(X)= 2; u 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. a) M(X)= π /2 ; b) 1/2