privatni derivat funkcije z = f(x, y promenljivom x derivacija ove funkcije se poziva na konstantnu vrijednost varijable y, označava se ili z "x.

privatni derivat funkcije z = f(x, y) promenljivom y naziva se derivacija u odnosu na y na konstantnoj vrijednosti varijable y; označava se ili z "y.

Parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli u odnosu na jednu varijablu definira se kao izvod ove funkcije u odnosu na odgovarajuću varijablu, pod uslovom da se ostale varijable smatraju konstantnim.

puni diferencijal funkcija z = f(x, y) u nekoj tački M(X, y) naziva se izrazom

,

Gdje su i izračunate u tački M(x, y), a dx = , dy = y.

Primjer 1

Izračunajte ukupni diferencijal funkcije.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 u tački M (1; 2)

Rješenje:

1) Pronađite parcijalne izvode:

2) Izračunajte vrijednost parcijalnih izvoda u tački M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Pitanja za samokontrolu:

1. Šta se naziva antiderivatom? Navedite svojstva antiderivata.

2. Šta se zove neodređeni integral?

3. Navedite svojstva neodređenog integrala.

4. Navedite osnovne formule integracije.

5. Koje metode integracije poznajete?

6. Koja je suština Newton-Leibnizove formule?

7. Dajte definiciju određenog integrala.

8. Koja je suština izračunavanja određenog integrala metodom zamjene?

9. Koja je suština metode izračunavanja određenog integrala po dijelovima?

10. Koja se funkcija naziva funkcijom dvije varijable? Kako se označava?

11. Koja se funkcija naziva funkcijom od tri varijable?

12. Koji skup se naziva domenom funkcije?

13. Uz pomoć kojih nejednačina se može definirati zatvoreno područje D na ravni?

14. Kako se naziva parcijalni izvod funkcije z \u003d f (x, y) u odnosu na varijablu x? Kako se označava?

15. Kako se naziva parcijalni izvod funkcije z \u003d f (x, y) u odnosu na varijablu y? Kako se označava?

16. Koji izraz se naziva totalni diferencijal funkcije

Tema 1.2 Obične diferencijalne jednadžbe.

Problemi koji vode do diferencijalnih jednadžbi. Diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama. Opća i privatna rješenja. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Linearno homogene jednačine drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Praktična lekcija br. 7 „Pronalaženje općih i posebnih rješenja diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama"*

Praktična lekcija br. 8 "Linearne i homogene diferencijalne jednadžbe"

Praktična nastava br. 9 „Rješenje diferencijalnih jednadžbi 2. reda sa konstantni koeficijenti»*

L4, poglavlje 15, str. 243 - 256

Smjernice

Praktični rad №2

"Funkcionalni diferencijal"

Svrha lekcije: Naučite rješavati primjere i probleme na zadatu temu.

Teorijska pitanja (početni nivo):

1. Upotreba derivata za proučavanje funkcija do ekstrema.

2. Diferencijal funkcije, njeno geometrijsko i fizičko značenje.

3. Puni diferencijal funkcije mnogih varijabli.

4. Stanje tijela kao funkcija mnogih varijabli.

5. Približni proračuni.

6. Pronalaženje parcijalnih izvoda i totalnog diferencijala.

7. Primjeri upotrebe ovih pojmova u farmakokinetici, mikrobiologiji itd.

(samoobuka)

1. odgovarati na pitanja o temi časa;

2. rješavati primjere.

Primjeri

Pronađite diferencijale sljedećih funkcija:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Korištenje derivata za proučavanje funkcija

Uslov za povećanje funkcije y = f(x) na segmentu [a, b]

Uslov da se funkcija y=f(x) smanji na segmentu [a, b]

Uslov za maksimalnu funkciju y=f(x) na x= a

f"(a)=0 i f""(a)<0

Ako su za x \u003d a derivacije f "(a) = 0 i f "(a) = 0, tada je potrebno istražiti f "(x) u blizini tačke x \u003d a. Funkcija y = f (x) za x = a ima maksimum, ako prilikom prolaska kroz tačku x = i derivacija f "(x) promijeni znak iz "+" u "-", u slučaju minimuma - od "-" do "+" Ako f "(x) ne promijeni predznak prilikom prolaska kroz tačku x = a, tada funkcija u ovom trenutku nema ekstrem

Funkcijski diferencijal.

Diferencijal nezavisne varijable jednak je njenom inkrementu:

Diferencijal funkcije y=f(x)

Diferencijal zbira (razlike) dvije funkcije y=u±v

Diferencijal proizvoda dviju funkcija y=uv

Diferencijal količnika dvije funkcije y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Povećanje funkcije

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

gdje je Δx: prirast argumenta.

Približan izračun vrijednosti funkcije:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f "(x) Δx

Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima

Diferencijal se koristi za izračunavanje apsolutne i relativne greške u indirektnim mjerenjima u = f(x, y, z.). Apsolutna greška rezultata mjerenja

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Relativna greška rezultata mjerenja

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNKCIJSKI DIFERENCIJAL.

Funkcijski diferencijal kao glavni dio prirasta funkcije i. Koncept diferencijala funkcije usko je povezan s konceptom derivacije. Neka funkcija f(x) kontinuirano za date vrijednosti X i ima derivat

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), odakle je inkrement funkcije Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, gdje a(Dx)® 0 at Dx® 0. Hajde da definišemo red beskonačno malog f¢(x)Dx Dx.:

Dakle, beskonačno mali f¢(x)Dx i Dx imaju isti red veličine, tj f¢(x)Dx = O.

Hajde da definišemo red beskonačno malog a(Dh)Dh u odnosu na infinitezimalnu Dx:

Dakle, beskonačno mali a(Dh)Dh ima viši red malenosti od infinitezimalnog Dx, to je a(Dx)Dx = o.

Dakle, beskonačno mali prirast Df diferencijabilna funkcija se može predstaviti u obliku dva pojma: infinitezimalna f¢(x)Dx istog reda malenosti sa Dx i beskonačno mali a(Dh)Dh viši red malenosti u poređenju sa infinitezimalnim Dx. To znači da u jednakosti Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx at Dx® 0 drugi član teži nuli "brže" od prvog, tj. a(Dx)Dx = o.

Prvi mandat f¢(x)Dx, linearno u odnosu na Dx, zvao diferencijalna funkcija f(x) u tački X i označiti dy ili df(čitaj "de game" ili "de ef"). dakle,

dy = df = f¢(x)Dx.

Analitičko značenje diferencijala leži u činjenici da je diferencijal funkcije glavni dio prirasta funkcije Df, linearno u odnosu na prirast argumenta Dx. Diferencijal funkcije razlikuje se od priraštaja funkcije za infinitezimalnu vrijednost višeg reda male vrijednosti od Dx. stvarno, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx ili Df = df + a(Dx)Dx . Diferencijal argumenata dx jednaka njegovom prirastu Dx: dx=Dx.

Primjer. Izračunajte vrijednost diferencijala funkcije f(x) = x 3 + 2x, kada X varira od 1 do 1,1.

Rješenje. Nađimo opći izraz za diferencijal ove funkcije:

Zamjenjivanje vrijednosti dx=Dx=1,1–1= 0,1 i x=1 u posljednjoj formuli, dobijamo željenu vrijednost diferencijala: df½ x=1; = 0,5.

PARCIJALNI DERIVATI I DIFERENCIJALI.

Parcijalni derivati ​​prvog reda. Parcijalni izvod prvog reda funkcije z = f(x,y ) argumentacijom X na razmatranoj tački (x; y) zove granica

ako postoji.

Parcijalni izvod funkcije z = f(x, y) argumentacijom X označeno jednim od sljedećih znakova:

Slično, parcijalni izvod u odnosu na at označeno i definisano formulom:

Pošto je parcijalni izvod uobičajeni izvod funkcije jednog argumenta, nije ga teško izračunati. Da biste to učinili, morate koristiti sva do sada razmatrana pravila diferencijacije, uzimajući u obzir u svakom slučaju koji od argumenata se uzima kao "konstantni broj", a koji služi kao "varijabla diferencijacije".

Komentar. Da biste pronašli parcijalni izvod, na primjer, u odnosu na argument x – df/dx, dovoljno je pronaći običan izvod funkcije f(x,y), uz pretpostavku da je potonji funkcija jednog argumenta X, a at- trajno; naći df/dy- obrnuto.

Primjer. Pronađite vrijednosti parcijalnih izvoda funkcije f(x,y) = 2x2 + y2 u tački P(1;2).

Rješenje. Brojanje f(x,y) funkcija jednog argumenta X i koristeći pravila diferencijacije, nalazimo

U tački P(1;2) vrijednost derivata

Uzimajući u obzir f(x; y) kao funkciju jednog argumenta y, nalazimo

U tački P(1;2) vrijednost derivata

ZADATAK ZA SAMOSTALNI RAD UČENIKA:

Pronađite diferencijale sljedećih funkcija:

Riješite sljedeće zadatke:

1. Za koliko će se smanjiti površina kvadrata sa stranicom x = 10 cm ako se stranica smanji za 0,01 cm?

2. Zadata je jednačina kretanja tijela: y=t 3 /2+2t 2 , gdje je s izraženo u metrima, t u sekundama. Naći putanju s koju tijelo pređe za t=1,92 s od početka kretanja.

LITERATURA

1. Lobotskaya N.L. Osnove više matematike - M.: "Viša škola", 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematika u biologiji i medicini. Per. sa engleskog. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Zbornik zadataka iz medicinske i biološke fizike - M.: "Viša škola", 1987. C16-20.

Razmislite o promjeni funkcije kada povećavate samo jedan od njenih argumenata − x i, i nazovimo to .

Definicija 1.7.privatni derivat funkcije po argumentu x i pozvao .

Oznake: .

Dakle, parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli je zapravo definiran kao izvod funkcije jedna varijabla - x i. Dakle, sva svojstva izvoda dokazana za funkciju jedne varijable vrijede za nju.

Komentar. U praktičnom proračunu parcijalnih izvoda koristimo uobičajena pravila za diferenciranje funkcije jedne varijable, pod pretpostavkom da je argument u odnosu na koji se vrši diferencijacija promjenjiv, a preostali argumenti konstantni.

1. z= 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = x y ,

Geometrijska interpretacija parcijalnih izvoda funkcije dvije varijable.

Razmotrite jednačinu površine z = f(x,y) i nacrtaj avion x = konst. Odaberimo tačku na liniji presjeka ravnine sa površinom M (x, y). Ako postavite argument at prirast Δ at i razmotrimo tačku T na krivulji sa koordinatama ( x, y+Δ y, z+Δy z), zatim tangenta ugla koji formira sekansa MT sa pozitivnim smerom ose O at, bit će jednako . Prelaskom na granicu na , dobivamo da je parcijalni izvod jednak tangentu ugla kojeg formira tangenta na rezultirajuću krivu u tački M sa pozitivnim smjerom O ose y. Prema tome, parcijalni izvod je jednak tangentu ugla sa O osom X tangenta na krivulju koja je rezultat presjeka površine z = f(x,y) avion y= konst.

Definicija 2.1. Poziva se puni prirast funkcije u = f(x, y, z).

Definicija 2.2. Ako se prirast funkcije u \u003d f (x, y, z) u tački (x 0, y 0, z 0) može predstaviti u obliku (2.3), (2.4), tada se funkcija naziva diferencijabilna u ovoj tački, a izraz se naziva glavnim linearnim dijelom inkrementa ili ukupnim diferencijalom funkcije koja se razmatra.

Oznaka: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Baš kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijali nezavisnih varijabli su njihovi proizvoljni priraštaji, stoga

Napomena 1. Dakle, izjava "funkcija je diferencibilna" nije ekvivalentna izjavi "funkcija ima parcijalne izvode" - diferencijabilnost također zahtijeva kontinuitet ovih izvoda u tački koja se razmatra.

4. Tangentna ravan i normalna na površinu. Geometrijsko značenje diferencijala.

Neka funkcija z = f(x, y) je diferencibilan u okolini tačke M (x 0, y 0). Tada su njegove parcijalne derivacije nagibi tangenti na linije presjeka površine z = f(x, y) sa avionima y = y 0 i x = x 0, koja će biti tangenta na samu površinu z = f(x, y). Napišimo jednačinu za ravan koja prolazi kroz ove prave. Vektori pravca tangenti imaju oblik (1; 0; ) i (0; 1; ), pa se normala na ravan može predstaviti kao njihov vektorski proizvod: n = (- ,- , 1). Dakle, jednačina ravnine se može napisati kao:

gdje z0 = .

Definicija 4.1. Ravan definisana jednačinom (4.1) se zove tangentna ravan na graf funkcije z = f(x, y) u tački sa koordinatama (x 0, y 0, z 0).

Iz formule (2.3) za slučaj dvije varijable slijedi da je inkrement funkcije f u blizini tačke M može se predstaviti kao:

Stoga je razlika između primjene grafa funkcije i tangentne ravni beskonačno malog višeg reda od ρ, at ρ→ 0.

U ovom slučaju, diferencijal funkcije f izgleda kao:

što odgovara povećanje primjene tangentne ravni na graf funkcije. Ovo je geometrijsko značenje diferencijala.

Definicija 4.2. Vektor različit od nule okomit na tangentnu ravan u tački M (x 0, y 0) površine z = f(x, y), zove se normalno na površinu u tom trenutku.

Kao normalu na površinu koja se razmatra, zgodno je uzeti vektor - n = { , ,-1}.

Neka je funkcija definirana u nekoj (otvorenoj) domeni D bodova
dimenzionalni prostor, i
je tačka u ovoj oblasti, tj.
D.

Djelomično povećanje funkcije mnoge varijable za bilo koju varijablu naziva se inkrement koji će funkcija dobiti ako ovoj varijabli damo prirast, pod pretpostavkom da sve ostale varijable imaju konstantne vrijednosti.

Na primjer, djelomično povećanje funkcije preko varijable bice

Parcijalni izvod u odnosu na nezavisnu varijablu u tački
iz funkcije naziva se granica (ako postoji) relacije parcijalnog priraštaja
funkcije za povećanje
varijabla dok nastoji
na nulu:

Parcijalni izvod je označen jednim od simbola:

;
.

Komentar. Indeks ispod u ovoj notaciji samo ukazuje na to iz koje je varijabli uzet izvod, a nije povezan s kojom točkom
ovaj izvod se izračunava.

Izračunavanje parcijalnih izvoda nije ništa novo u poređenju sa izračunavanjem običnog izvoda, potrebno je samo zapamtiti da se pri diferenciranju funkcije u odnosu na bilo koju promjenljivu sve ostale varijable uzimaju kao konstante. Pokažimo to primjerima.

Primjer 1Pronađite parcijalne derivate funkcija
.

Rješenje. Prilikom izračunavanja parcijalnog izvoda funkcije
argumentacijom razmotriti funkciju kao funkcija samo jedne varijable , tj. veruj u to ima fiksnu vrijednost. Na fiksni funkcija
je funkcija snage argumenta . Prema formuli za diferenciranje funkcije snage dobijamo:

Slično, kada se izračunava parcijalni izvod pretpostavljamo da je vrijednost fiksna , i razmotrite funkciju
kao eksponencijalna funkcija argumenta . Kao rezultat, dobijamo:

Primjer 2. Hpronađite parcijalne derivate i funkcije
.

Rješenje. Prilikom izračunavanja parcijalnog izvoda u odnosu na datu funkciju razmatraćemo kao funkciju jedne varijable , i izrazi koji sadrže , biće konstantni faktori, tj.
djeluje kao konstantan faktor sa funkcijom snage (
). Razlikovanje ovog izraza u odnosu na , dobijamo:

.

Sada, naprotiv, funkcija smatra se funkcijom jedne varijable , dok izrazi sadrže , djeluju kao koeficijent
(
).Diferenciranje prema pravilima diferencijacije trigonometrijskih funkcija dobijamo:

Primjer 3 Izračunajte parcijalne derivate funkcije
u tački
.

Rješenje. Prvo ćemo pronaći parcijalne izvode ove funkcije u proizvoljnoj tački
njegov domen definicije. Prilikom izračunavanja parcijalnog izvoda u odnosu na veruj u to
su trajne.

kada se razlikuje po će biti trajna
:

i pri izračunavanju parcijalnih derivata u odnosu na i po , shodno tome, bit će konstantan, respektivno,
i
, tj.:

Sada izračunavamo vrijednosti ovih derivata u tački
, zamjenjujući određene vrijednosti varijabli u njihove izraze. Kao rezultat, dobijamo:

11. Parcijalni i totalni diferencijali funkcije

Ako sada na privatni prirast
primijeniti Lagrangeov teorem o konačnim prirastima u odnosu na varijablu , zatim, brojanje kontinuirano, dobijamo sljedeće relacije:

gdje
,
je beskonačno mala količina.

Parcijalni diferencijal funkcije po varijabli naziva se glavnim linearnim dijelom parcijalnog prirasta
, jednako umnošku parcijalnog izvoda u odnosu na ovu varijablu i prirast ove varijable, i označava se

Očigledno, parcijalni diferencijal se razlikuje od parcijalnog prirasta za beskonačno mali viši red.

Puno povećanje funkcije mnoge varijable naziva se njegov inkrement, koji će dobiti kada svim nezavisnim varijablama damo prirast, tj.

gde su svi
, zavise i zajedno sa njima teže nuli.

Ispod diferencijali nezavisnih varijabli pristao da znači proizvoljno inkrementi
i označite ih
. Dakle, izraz parcijalnog diferencijala će imati oblik:

Na primjer, parcijalni diferencijal on definira se ovako:

.

puni diferencijal
funkcije mnogih varijabli naziva se glavnim linearnim dijelom ukupnog prirasta
jednaka, tj. zbir svih njegovih parcijalnih diferencijala:

Ako je funkcija
ima kontinuirane parcijalne izvode

u tački
, zatim ona diferencibilan u datoj tački.

Za dovoljno male za diferencijabilnu funkciju
postoje približne jednakosti

,

koji se može koristiti za približne proračune.

Primjer 4Pronađite pun diferencijal funkcije
tri varijable
.

Rješenje. Prije svega, nalazimo parcijalne izvode:

Napominjući da su one kontinuirane za sve vrijednosti
, mi nalazimo:

Za diferencijale funkcija više varijabli tačne su sve teoreme o svojstvima diferencijala, koje su dokazane za slučaj funkcija jedne varijable, na primjer: ako i su kontinuirane funkcije varijabli
, koji imaju kontinuirane parcijalne izvode u odnosu na sve varijable, i i su proizvoljne konstante, onda:

(6)

transkript

1 PREDAVANJE N Totalni diferencijal, parcijalni izvod i diferencijal višeg reda Totalni diferencijal Parcijalni diferencijal Parcijalni izvod višeg reda Diferencijali višeg reda 4 Derivati ​​kompleksnih funkcija 4 Totalni diferencijal Parcijalni diferencijali Ako je funkcija z=f(,) diferencijabilna, onda je njen ukupni diferencijal dz je jednak dz= a +B () z z Napominjući da je A=, B =, pišemo formulu () u sljedećem obliku z z dz= + () Proširujemo koncept diferencijala funkcije na nezavisne varijable, postavljajući diferencijali nezavisnih varijabli jednaki su njihovim prirastima: d= ; d= Nakon toga, formula za ukupni diferencijal funkcije će imati oblik z z dz= d + d () d + d n varijabli, zatim du= d (d =) = izraz d z=f (,)d (4) naziva se parcijalni diferencijal funkcije z=f(,) u odnosu na varijablu; izraz d z=f (,)d (5) naziva se parcijalni diferencijal funkcije z=f(,) u odnosu na varijablu. Iz formula (), (4) i (5) slijedi da je ukupni diferencijal funkcije funkcija je zbir njenih parcijalnih diferencijala: dz=d z+d z prirast z= z z + + α (,) + β (,) razlikuje se od svog linearnog dijela dz= z z + samo za zbir posljednjih članova α + β, koji su na 0 i 0 beskonačno malo višeg reda od članova linearnog dijela. Stoga se za dz 0 linearni dio prirasta diferencijabilne funkcije naziva glavnim dijelom prirasta funkcije i približna formula z koristi se dz, što će biti tačnije što je apsolutna vrijednost prirasta argumenata manja,97 Primjer Izračunajte približno arctg(),0

2 Rješenje Razmotrimo funkciju f(,)=arctg() Koristeći formulu f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz, dobijamo arctg(+) arctg() + [ arctg() ] + [ arctg()] ili + + arctg() arctg() () + () Neka =, =, zatim =-0.0, =0.0 Dakle, (0.0 0.0 arctg) arctg() + (0.0) 0,0 = arktan 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Može se pokazati da greška koja proizlazi iz primjene približne formule z dz ne prelazi broj = M (+), gdje je M najveća vrijednost apsolutnih vrijednosti drugih parcijalnih izvoda f (,), f (,), f (,) kada se argumenti mijenjaju sa na + i od na + Djelomične derivacije višeg reda Ako je funkcija u =f (, z) ima parcijalni izvod u odnosu na jednu od varijabli u nekom (otvorenom) domenu D, tada pronađeni izvod, budući da je i sam funkcija od z, može, zauzvrat, imati parcijalne izvode u nekoj tački (0, 0 , z 0) u odnosu na istu ili bilo koju drugu varijablu Za originalnu funkciju u=f(, z), ovi derivati ​​će biti parcijalni derivati ​​drugog reda Ako je uzet prvi izvod, npr. ep, in, tada se njegov izvod u odnosu na z označava na sljedeći način: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = ili u, u, u z z z Derivati ​​trećeg, četvrtog i tako dalje reda se određuju slično. Imajte na umu da parcijalni izvod višeg reda uzet u odnosu na različite varijable, na primjer, ; naziva se mješoviti parcijalni izvod Primjer u= 4 z, tada je u =4 z ; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; u z =8 z; u z =6 4 z; u z =6 4 z funkcija f(,) je definirana u (otvorenoj) domeni D,) u ovoj domeni postoje prve derivacije f i f, kao i druge mješovite derivacije f i f, i konačno,) ove posljednje derivacije f i f, kao funkcije u, su neprekidne u nekoj tački (0, 0) regiona D Tada u ovoj tački f (0, 0)=f (0, 0) Dokaz Razmotrimo izraz

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, gdje su različiti od nule, na primjer, pozitivni i, osim toga, toliko su mali da D sadrži ceo pravougaonik [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= i stoga kontinuiran Sa ovom funkcijom f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f ( 0, 0) izraz W, koji je jednak W= može se prepisati kao: ϕ (0 +) ϕ (0) W= dakle: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 + θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Vidimo da je du također funkcija od, Ako pretpostavimo postojanje kontinuiranih parcijalnih izvoda drugog reda za u, tada će du imati kontinuirane parcijalne derivacije prvog reda i možemo govoriti o ukupnom diferencijalu ovog diferencijala du , d(du), koji se naziva diferencijal drugog reda (ili drugi diferencijal) od u; označava se sa d u Naglašavamo da se inkrementi d, d, d smatraju konstantnim i ostaju isti kada se prelazi s jednog diferencijala na sljedeći (štaviše, d, d će biti nula) Dakle, d u=d(du)=d (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d ili d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Slično, definiran je diferencijal trećeg reda d u i tako dalje. Ako funkcija u ima kontinuirane parcijalne izvode svih redova do i uključujući n-ti, tada postoji n-ti diferencijal je zagarantovan, ali izrazi za njih postaju sve složeniji. Možemo pojednostaviti zapis. Izbacimo "slovo u" u izrazu prvog diferencijala. Tada će notacija biti simbolična: du=(d + d + + d) u; d u=(d + d + + d) u; d n n u=(d + d + + d) u, što treba shvatiti na sljedeći način: prvo, "polinom" u zagradama se formalno podiže na stepen prema pravilima algebre, tada se svi rezultirajući članovi "množe" sa u (što se dodaje na n u brojiocima na) , a tek nakon toga svi simboli vraćaju svoju vrijednost kao derivacije i diferencijale u d) d u na promjenljivu t u nekom intervalu: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Neka, pored toga, kao t promjene, tačke (, z) ne prelaze područje D Zamjenom vrijednosti i z u funkciju u dobijamo kompleksnu funkciju: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) Pretpostavimo da u ima kontinuirane parcijalne izvode u, u i u z in i z i da postoje t, t i z t Tada je moguće dokazati postojanje derivacije kompleksne funkcije i izračunati je. Dajemo varijablu t neki prirast t , tada i z će dobiti prirast, respektivno, a z, funkcija u će dobiti inkrement u Predstavimo prirast funkcije u u obliku: (ovo se može učiniti, pošto smo pretpostavili postojanje kontinuiranih parcijalnih izvoda u, u i u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, gdje je α, β, χ 0 at, z 0 Podijelimo oba dio jednakosti na t, dobivamo u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t 4

5 Pustimo sada da se inkrement t približi nuli: tada će z težiti nuli, budući da su funkcije z od t neprekidne (pretpostavili smo postojanje izvoda t, t, z t), i stoga, α, β, χ također teže nuli. U granici dobijamo u t =u t +u t +u z z t () Vidimo da pod datim pretpostavkama derivacija kompleksne funkcije postoji. Ako koristimo diferencijalnu notaciju, tada će du d d dz () izgledati kao , z u nekoliko varijabli t: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) Osim postojanja i kontinuiteta parcijalnih izvoda funkcije f(, z), pretpostavimo ovdje postojanje izvoda funkcija, z u odnosu na t i v. Ovaj slučaj se ne razlikuje bitno od onog koji je već razmatran, jer pri izračunavanju parcijalnog izvoda funkcije dvije varijable fiksiramo jednu od varijabli, a mi ako ostane funkcija samo jedne varijable, formula () će biti ista z, a () se mora prepisati kao: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Primjer u= ; =ϕ(t)=t ; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Funkcije više varijabli U mnogim pitanjima geometrije prirodnih nauka i drugih disciplina treba se pozabaviti funkcijama dvije tri ili više varijabli Primjeri: Površina trokuta S a h gdje je a osnova

13. Parcijalni derivati ​​viših redova Neka = ima i definira se na D O. Funkcije i se također nazivaju parcijalnim izvodima funkcije prvog reda ili prvim parcijalnim izvodima funkcije. i uopšte

Primena Definicija derivacije Neka i budu vrednosti argumenta, i f) i f) - ((odgovarajuće vrednosti funkcije f () Razlika se naziva povećanjem argumenta, a razlika je povećanje funkcije na segmentu,

Praktična vježba DIFERENCIJACIJA KOMPLEKSNE I IMPLICITNE FUNKCIJE Diferencijacija kompleksne funkcije Diferencijacija implicitne funkcije date jednom jednačinom Sistemi implicitnih i parametarski datih

FUNKCIJE VIŠE Varijabli Funkcije jedne nezavisne varijable ne pokrivaju sve zavisnosti koje postoje u prirodi. Stoga je prirodno proširiti i uvesti dobro poznati koncept funkcionalne zavisnosti

6 Implicitne funkcije 6.1 Definicije, pozadina

1. Osnovni pojmovi. Funkcije nekoliko varijabli. Proučavat ćemo funkciju nekoliko varijabli koristeći primjere funkcija dvije i tri varijable, budući da sve ove definicije i dobiveni rezultati

2.2.7. Primjena diferencijala za aproksimativne proračune. Diferencijal funkcije y = ovisi o x i glavni je dio prirasta x. Možete koristiti i formulu: dy d Tada apsolutna greška:

Predavanje 9. Derivati ​​i diferencijali višeg reda, njihova svojstva. Ekstremne tačke funkcije. Fermatove i Rolleove teoreme. Neka je funkcija y diferencibilna na nekom intervalu [b]. U ovom slučaju, njegov derivat

5 Tačka u kojoj F F F ili barem jedan od ovih derivata ne postoji naziva se singularna tačka površine. U takvoj tački površina možda nema tangentnu ravan Definicija Normalna na površinu

DEFINITIVNI INTEGRAL. Integralni zbroji i određeni integral Neka je funkcija y = f () definirana na segmentu [, b ], gdje je< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA Osnovni pojmovi Diferencijalna jednačina je jednačina u koju nepoznata funkcija ulazi pod predznakom izvoda ili diferencijala.

6. Diferencijal funkcije 1. Definicija i geometrijsko značenje DEFINICIJA. Funkcija y = f(x) naziva se diferencijabilna u tački x 0 ako se njen prirast u toj tački može zapisati kao zbir linearne

Predavanja Poglavlje Funkcije više varijabli Osnovni pojmovi Neke funkcije više varijabli su dobro poznate Dajemo nekoliko primjera Za izračunavanje površine trougla poznata je Heronova formula S

~ 1 ~ FUNKCIJA VIŠE Varijabli 3 Funkcija dvije varijable, domen definicije, načini specificiranja i geometrijsko značenje. Definicija: z f se naziva funkcijom dvije varijable, ako je svaki par vrijednosti,

Diferencijalne jednadžbe prvog reda riješene s obzirom na derivaciju Teorema postojanja i jedinstvenosti rješenja U općenitom slučaju, diferencijalna jednadžba prvog reda ima oblik F ()

Predavanje 3 Ekstremum funkcije više varijabli Neka je u domeni D definirana funkcija više varijabli u = f (x, x), a tom domenu pripada tačka x (x, x) = Funkcija u = f ( x, x) ima

Tema modula Funkcionalni nizovi i nizovi Svojstva uniformne konvergencije nizova i redova Potencijskog niza Predavanje Definicije nizova funkcija i nizova Uniformno

9 Derivat i diferencijal 91 Osnovne formule i definicije za rješavanje problema Definicija Neka je funkcija y f () definirana na nekom f (Δ) f () Δy susjedstvu tačke Granica relacije za Δ Δ Δ, ako je

1 Tema 1. Diferencijalne jednadžbe prvog reda 1.0. Osnovne definicije i teoreme Diferencijalna jednadžba prvog reda: nezavisna varijabla; y = y() je željena funkcija; y = y () njegov izvod.

Predavanje 8 Diferencijacija kompleksne funkcije Razmotrimo kompleksnu funkciju t t t f gdje je ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t

MOSKVSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET CIVILNOG VAZDUHOPLOVSTVA V.M. Lyubimov, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov

II DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Diferencijalne jednadžbe prvog reda Definicija Relacije u kojima su nepoznate varijable i njihove funkcije pod predznakom izvoda ili diferencijala nazivaju se

6 Problemi koji vode do koncepta derivacije Neka se materijalna tačka kreće pravolinijski u jednom smjeru prema zakonu s f (t), gdje je t vrijeme, a s put koji je prešla tačka u vremenu t Zabilježite određeni trenutak

Predavanje 3. Neodređeni integral. Antiderivativni i neodređeni integral U diferencijalnom računu, problem je riješen: za datu funkciju f () pronaći njen izvod (ili diferencijal). Integralni račun

1 Predavanje 7 Derivati ​​i diferencijali višeg reda Apstrakt: Uvodi se pojam diferencijabilne funkcije, daje se geometrijska interpretacija prvog diferencijala i dokazuje se njegova invarijantnost.

Funkcije nekoliko argumenata Koncept funkcije za svaki element x iz skupa X prema nekom zakonu y \u003d f (x) povezan je s jednom vrijednošću varijable y iz skupa Y svakom paru brojeva

Sastavio VPBelkin 1 Predavanje 1 Funkcija nekoliko varijabli 1 Osnovni koncepti Ovisnost \u003d f (1, n) varijable od varijabli 1, n naziva se funkcija od n argumenata 1, n U nastavku ćemo razmotriti

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Opći koncepti Diferencijalne jednadžbe imaju brojne i vrlo raznolike primjene u mehanici, fizici, astronomiji, tehnologiji i drugim granama više matematike (npr.

I Definicija funkcije više varijabli Područje definicije Kada se proučavaju mnoge pojave, treba se pozabaviti funkcijama dvije ili više nezavisnih varijabli.Na primjer, tjelesna temperatura u datom trenutku

Predavanje 8 Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange i L'Hospitalove teoreme

SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru Predavanje 4 Diferencijacija složenih funkcija Implicitna diferencijacija Prisjetite se pravila diferencijacije za funkcije jedne varijable, koja se također naziva lančano pravilo (vidi

Odjeljak Diferencijalni račun funkcija jedne i više varijabli Realni argument funkcija Realni brojevi Pozitivni cijeli brojevi nazivaju se prirodni brojevi Dodaj prirodnim brojevima

Radionica: “Diferencijalnost i diferencijal funkcije” Ako funkcija y f () ima konačan izvod u tački, tada se prirast funkcije u ovoj tački može predstaviti kao: y (,) f () () (), u kojima je

Predavanje Diferencijalne jednadžbe th reda Glavne vrste diferencijalnih jednadžbi th reda i njihovo rješenje Diferencijalne jednadžbe su jedno od najčešćih sredstava matematičke

TEMA 1 DERIVAT FUNKCIJA DIFERENCIJALNA FUNKCIJA PITANJA PROGRAMA: 11 Funkcionalna veza Granica funkcije 1 Izvod funkcije 1 Mehaničko fizičko i geometrijsko značenje izvoda 14 Osnovno

M I N I S T E R S T O E D U R A O V A N I A I N A U K I R O S S I O Y F E D E R A T I FEDERALNA DRŽAVNA AUTONOMNA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG OBRAZOVANJA „Nacionalna istraživanja

DISCIPLINA Kurs "Viša matematika", semestar Dopisni oblik studija TEMA Matrična algebra

V.V. Žuk, A.M. Kamačkin Diferencijalnost funkcija više varijabli. Diferencijalnost funkcije u tački. Dovoljni uslovi za diferencijabilnost u smislu parcijalnih izvoda. Kompleksna diferencijacija

Poglavlje 4 Granica funkcije 4 1 KONCEPT GRANICA FUNKCIJE Ovo poglavlje se fokusira na koncept granice funkcije. Definirano što je granica funkcije u beskonačnosti, a zatim granica u tački, granice

PREDAVANJE 23 KANONSKE TRANSFORMACIJE. LIOUVILLE TEOREMA O OČUVANJU FAZNOG VOLUMA. FUNKCIJA GENERACIJE SLOBODNE TRANSFORMACIJE Nastavljamo sa proučavanjem kanonskih transformacija. Prisjetimo se najprije glavnog

Departman za matematiku i informatiku Matematička analiza Obrazovno-metodološki kompleks za studente HPE koji studiraju uz korišćenje daljinskih tehnologija Modul 3 Diferencijalni račun funkcija jedne

55 je na beskonačno maloj vrijednosti višeg reda male vrijednosti u poređenju sa ρ n (,), gdje je ρ () + (), tada se može predstaviti u Peano obliku n R, ρ Primjer Napišite Taylorovu formulu za n sa

Tema Definitivni integral Definitivni integral Problemi koji vode do koncepta određenog integrala Problem izračunavanja površine krivolinijskog trapeza U Oxy koordinatnom sistemu dat je krivolinijski trapez,

5 Redovi stepena 5 Redovi stepena: definicija, domen konvergencije Funkcionalni nizovi oblika (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) brojevi se nazivaju nizovi stepena brojevi

Numerički niz Numerički niz Opr Numerički niz je numerička funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva x - zajednički član niza x =, x =, x =, x =,

Diferencijalne jednadžbe predavanje 4 Jednadžbe u totalnim diferencijalima. Integrirajući faktor Predavač Anna Igorevna Sherstneva 9. Jednačine u totalnim diferencijalima Jednačina d + d = 14 naziva se jednačina

Metalurški fakultet Katedra za višu matematiku

Matematička analiza Sekcija: Funkcija više varijabli Tema: Diferencijabilnost FNP (kraj. Parcijalni izvodi i diferencijali kompleksnog FNP. Diferencijacija implicitnih funkcija Predavač Rožkova S.V.

(Fermatova teorema - Darbouxova teorema - Rolleova teorema - Lagrangeova teorema teorema srednje vrijednosti - geometrijska interpretacija teoreme srednje vrijednosti - Cauchyjeva teorema - formula konačnog priraštaja - L'Hopitalovo pravilo

Poglavlje 4 Osnovne teoreme diferencijalnog računa Otkrivanje nesigurnosti Fundamentalne teoreme diferencijalnog računa Fermaova teorema (Pierre Fermat (6-665) francuski matematičar) Ako je funkcija y f

PREDAVANJE 7 DIFERENCIJALNO IZRAČUNAVANJE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 1 Pojam derivacije funkcije

Ministarstvo obrazovanja Republike Bjelorusije Vitebski državni tehnološki univerzitet Tema. "Redovi" Katedra za teorijsku i primijenjenu matematiku. razvijen od strane doc. E.B. Dunina. Main

Predavanje 3 Taylor i Maclaurin serija Primjena nizova stepena Proširivanje funkcija u nizove stepena Taylor i Maclaurin serije Za primjene je važno biti u mogućnosti proširiti datu funkciju u niz stepena, te funkcije

58 Definitivni integral Neka je funkcija () data na intervalu. Funkciju ćemo smatrati kontinuiranom, iako to nije neophodno. Biramo proizvoljne brojeve na intervalu, 3, n-, koji zadovoljavaju uvjet:

Diferencijalne jednadžbe višeg reda. Konev V.V. Pregledi predavanja. Sadržaj 1. Osnovni pojmovi 1 2. Jednačine koje omogućavaju redukciju reda 2 3. Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda

Predavanje 20 TEOREMA O DERIVATU KOMPLEKSNE FUNKCIJE. Neka je y = f(u) i u= u(x). Dobijamo funkciju y ovisno o argumentu x: y = f(u(x)). Posljednja funkcija se zove funkcija funkcije ili složena funkcija.

Diferencijacija implicitne funkcije Razmotrimo funkciju (,) = C (C = const) Ova jednadžba definira implicitnu funkciju () Pretpostavimo da smo riješili ovu jednačinu i pronašli eksplicitni izraz = () Sada možemo

Moskovski institut za avijaciju (Nacionalni istraživački univerzitet) Odsjek za višu matematiku Granice Derivati ​​Funkcije nekoliko varijabli Smjernice i opcije kontrole

LABORATORIJSKI RAD 7 GENERALIZOVANE FUNKCIJE I. OSNOVNI POJMOVI I TEOREME Označiti sa D skup svih beskonačno diferencibilnih konačnih funkcija realne varijable. to

Poglavlje 3. Istraživanje funkcija uz pomoć izvoda 3.1. Ekstremumi i monotonost Razmotrimo funkciju y = f () definisanu na nekom intervalu I R. Kaže se da ima lokalni maksimum u tački

Moskovski državni tehnički univerzitet nazvan po N.E. Bauman Fakultet fundamentalnih nauka Katedra za matematičko modeliranje A.N. Kanatnikov,

Smjernice i varijante RGR-a na temu Funkcija više varijabli za studente specijalnosti Dizajn. Ako je količina jedinstveno određena postavljanjem vrijednosti količina i neovisno jedna od druge,

Moskovski državni tehnički univerzitet nazvan po N.E. Bauman Fakultet fundamentalnih nauka Katedra za matematičko modeliranje A.N. Kanatnikov, A.P. Krišenko

METODOLOŠKA UPUTSTVA ZA PRORAČUNSKE ZADATKE NA KURSU VIŠE MATEMATIKE "OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE REDOVI DUPLI INTEGRALI" III DEO TEME NIZ Sadržaj Serija Numerički niz Konvergencija i divergencija

Ograničenje funkcije. Definicija ograničenja redoslijeda brojeva. Beskonačan numerički niz (ili jednostavno numerički niz) je funkcija f f (, definirana na skupu svih

Predavanje 19 DERIVAT I NJEGOVE PRIMJENE. DEFINICIJA DERIVATA. Neka imamo neku funkciju y=f(x) definiranu na nekom intervalu. Za svaku vrijednost argumenta x iz ovog intervala, funkcija y=f(x)

Diferencijalni račun funkcija više varijabli Funkcije više varijabli Količina se naziva funkcijom varijabli n ako je svakoj tački M n koja pripada nekom skupu X dodijeljena

PREDAVANJE N 7 .Snaga

Predavanje 3 Teorema postojanja i jedinstvenosti za rješenje skalarne jednadžbe Izjava problema Glavni rezultat Razmotrimo Cauchyjev problem d f () d =, () =

Federalna agencija za obrazovanje Moskovski državni univerzitet za geodeziju i kartografiju (MIIGAiK) METODOLOŠKA UPUTSTVA I ZADACI ZA SAMOSTALNI RAD na predmetu VIŠA MATEMATIKA