Uzmite u obzir Weibullovu distribuciju, izračunajte njeno matematičko očekivanje, varijansu, medijan. Koristeći MS EXCEL funkciju WEIBULL.DIST(), crtamo grafove funkcije distribucije i gustine vjerovatnoće. Hajde da generišemo niz slučajnih brojeva i procenimo parametre distribucije.

Weibullova distribucija (engleski)weibulldistribucija) zavisi od 2 parametra: α ( alfa)>0(definira oblik distribucije) i b (beta)>0(definira skalu). ova distribucija je data sljedećom formulom:

Ako je parametar alfa= 1, onda Weibullova distribucija pretvara u . Parametar beta u praksi se obično prihvata >=1.

funkcija distribucije je dato sljedećom formulom:

Bilješka: Za praktičnost pisanja formula u datoteku primjera za parametre distribucije alfa i beta kreiran odgovarajući .

Grafovi su također ugrađeni u datoteku primjera gustina vjerovatnoće i funkcije distribucije sa označenim vrednostima srednji, i .

Generisanje slučajnih brojeva i procjena parametara

Koristimo inverzna funkcija distribucije(ili str- kvantil, pogledajte članak o), koji za Weibullove distribucije može se eksplicitno izraziti pomoću elementarnih funkcija:

Pomoću ove funkcije možete generirati vrijednosti slučajna varijabla, koji ima Weibullova distribucija. Da biste to učinili, koristite formulu MS EXCEL:

Beta*(-LN(RAND()))^(1/alfa)

Funkcija RAND() generiše od 0 do 1, što samo odgovara opsegu promene verovatnoće (vidi dole). primjer lista datoteka Generacija).

Sada imamo niz slučajnih brojeva generiran sa datim parametrima distribucije alfa i beta(neka ih ima 200), procijenimo parametre distribucije.

Procjena parametara alfa i beta može se uraditi korišćenjem linearne regresije. Za to je potrebno ponijeti Weibullova funkcija distribucije u obliku obične prave linije date jednadžbom Y=aX+b. Da bismo to učinili, izvršit ćemo sljedeće transformacije:

Poređenje izraza

sa pravolinijskom jednadžbom Y=ax+b dobijamo da:

Y odgovara lijevoj strani izraza,
X - odgovara ln(x),
parametar distribucije beta odgovara koeficijentu a, koji je odgovoran za nagib prave linije prema x-osi.
izraz –beta*ln(alpha) odgovara koeficijentu b (ordinata tačke preseka sa Oy osom).

U stvari, mi smo praktično izgradili (grafikon vjerovatnoće) za Weibullove distribucije: ako ln(x), iscrtan duž x-ose, leži približno duž prave linije, to će značiti da su vrijednosti uzorka preuzete iz Weibullove distribucije. Ostaje da modificiramo Oy osu koristeći formulu =LN(-LN(1-Ui)), gdje je Ui=(i-0.5)/200, i i=1; 2; ...; 200.

Imajte na umu da je -LN(1-Ui). inverzna funkcija distribucije sa parametrima alfa=1 i beta=1. Trebao nam je drugi logaritam, jer apscisa ne pokazuje sam x, već ln(x).

Bilješka: Jer obrazac Weibullove distribucije u suštini zavisi od njegovih parametara, tada umesto alfa=1 i beta=1 for inverzna funkcija bolja upotreba tačkaste procjene ovih parametara dobijena na osnovu uzorci. U nastavku pogledajte kako izračunati alfa i beta procjene.

AT uzorak datoteke na listu Generacija odgovarajući Probabilistički graf.

Pomoću funkcije SLOPE() izračunavamo nagib rezultujuće krive (koeficijent prave linije a, engleski nagib), koji služi kao procjena parametra beta.

Funkcija INTERCEPT() će vratiti ordinatu tačke preseka sa Oy (koeficijent prave b). Izraz =EXP(-b/beta) služi kao evaluacija parametra alfa.

Možete i porediti gustina vjerovatnoće distribucija modela i distribucija sa parametrima dobijenim kao rezultat procene.

Kao što možete vidjeti iz gornjeg dijagrama, poklapanje je također prilično dobro.

SAVJET: Jer nasumični brojevi se generišu pomoću funkcije RAND(), a zatim pritiskom na tipku F9, svaki put možete dobiti novi uzorkovanje i, shodno tome, nova procjena parametara.

SAVJET: O ostalim distribucijama MS EXCEL-a možete pročitati u članku.

Ova raspodjela je empirijska, dobivena kao rezultat proučavanja široke klase distribucija vijeka trajanja. Iskustvo u radu velikog broja elektronskih uređaja i značajne količine elektromehaničke opreme pokazuje da ih karakterišu tri vrste zavisnosti intenziteta kvarova na vremenu, koje odgovaraju trima periodima životnog veka ovih uređaja.

Ove tri vrste zavisnosti stope otkaza od vremena mogu se dobiti korišćenjem dvoparametarske Weibullove distribucije za probabilistički opis slučajnog vremena do otkaza.Prema ovoj raspodeli, gustina verovatnoće momenta kvara

gdje je  - parametar oblika (određen odabirom kao rezultat obrade eksperimentalnih podataka,  > 0);  - parametar skale,

Stopa neuspjeha je određena izrazom

(3.1)

Vjerovatnoća vrijeme rada

(3.2)

i srednje vrijeme do neuspjeha

(3.3)

Imajte na umu da za parametar = 1, Weibullova raspodjela postaje eksponencijalna, a za = 2 postaje Rayleighova raspodjela.

Kod 1, stopa kvara monotono opada (period uhodavanja), a kod 1 monotono raste (period habanja), vidi sl. 3.1. Dakle, odabirom parametra  moguće je na svakom od tri odsjeka dobiti takvu teorijsku krivulju  (t), koja se prilično poklapa sa eksperimentalnom krivom, a zatim se može izračunati traženi pokazatelji pouzdanosti napravljeno na osnovu poznate pravilnosti.

Weibullova distribucija je dovoljno bliska za brojne mehaničke objekte (na primjer, kuglični ležajevi), može se koristiti za ubrzano testiranje objekata u prisilnom načinu rada

3. Eksponencijalna distribucija. Koristi se češće od drugih distribucija, jer je tipičan za složene objekte koji se sastoje od mnogo elemenata s raspodjelom vremena rada. Uz konstantnu stopu kvarova daje jednostavne formule za izračunavanje. Kao što je napomenuto, eksponencijalna distribucija vjerovatnoće rada bez greške je poseban slučaj Weibullove distribucije, kada je parametar oblika  = 1. Ova distribucija je jednoparametarska, odnosno jedan parametar  = const je dovoljan za pisanje izračunati izraz. Za ovaj zakon vrijedi i obrnuta izjava: ako je stopa kvara konstantna, tada je vjerovatnoća rada bez otkaza kao funkcija vremena podložna eksponencijalnom zakonu:

Srednje vrijeme rada bez otkaza po eksponencijalnom zakonu distribucije intervala neometanog rada izražava se formulom:

(3.5)

Zamjenom vrijednosti  u izrazu vrijednošću 1 / T 1,

dobiti . (3.6)

Dakle, znajući srednje vrijeme rada bez kvara T 1 (ili konstantnu stopu otkaza ), u slučaju eksponencijalne distribucije, moguće je pronaći vjerovatnoću rada bez otkaza za vremenski interval od trenutka kada je objekt je uključen u bilo kojem trenutku t.

4. Rayleighova raspodjela

Gustina vjerovatnoće u Rayleighovom zakonu (vidi sliku 3.4) ima sljedeći oblik



gdje je  parametar Rayleighove raspodjele (jednak modu ove distribucije). Ne treba ga brkati sa standardnom devijacijom:

Stopa neuspjeha je:

(3.7)

Karakteristična karakteristika Rayleighove raspodjele je prava linija grafa (t), počevši od početka.

Vjerovatnoća neispravnog rada objekta u ovom slučaju određena je izrazom

(3.8)

MTBF

(3.9)

5. Skraćena normalna distribucija. Distribucija izvedena iz normalnog (Gaussovog) ograničenja na pozitivne vrijednosti.

Zakon normalne raspodjele karakterizira gustina vjerovatnoće oblika

gdje je m x ,  x - respektivno, matematičko očekivanje i standardna devijacija slučajne varijable x.

Prilikom analize pouzdanosti električnih instalacija u obliku slučajne varijable, osim vremena, često se pojavljuju i vrijednosti struje, električnog napona i drugi argumenti. Normalni zakon je zakon sa dva parametra, za pisanje kojeg morate znati m x i  x.

Vjerovatnoća rada bez kvara određena je formulom

(3.10)

a stopa neuspjeha - prema formuli

Na sl. 3.5 prikazane su krive  (t), P (t) i  (t) za slučaj  t  m t, karakteristike elemenata koji se koriste u sistemima automatskog upravljanja.

4. Gama distribucija. Poissonova raspodjela i gama distribucija se razmatraju u vezi, jer obje karakteriziraju iste procese. Samo u prvom slučaju kvarovi se smatraju varijablom, au drugom vrijeme. Za gama distribuciju
in– srednje vrijeme između kvarova;

a- broj kvarova; G( a) je gama funkcija jednaka
, kada a-1 je pozitivan broj.

Razuman izbor vrste praktične distribucije vremena do otkaza zahteva veliki broj kvarova sa objašnjenjem fizičkih procesa koji se dešavaju u objektima pre otkaza.

U visokopouzdanim elementima električnih instalacija, tokom eksploatacije ili ispitivanja pouzdanosti, samo mali dio prvobitno dostupnih objekata pokvari. Stoga, vrijednost numeričkih karakteristika pronađenih kao rezultat obrade eksperimentalnih podataka jako ovisi o vrsti očekivane distribucije vremena do otkaza. Kao što je prikazano u različitim zakonima vremena do otkaza, vrijednosti srednjeg vremena do otkaza, izračunate iz istih izvornih podataka, mogu se razlikovati stotinama puta. Stoga, pitanju izbora teorijskog modela za raspodjelu vremena do otkaza treba posvetiti posebnu pažnju uz odgovarajući dokaz aproksimacije teorijske i eksperimentalne raspodjele.

Weibullova distribucija (model slabe veze)

Praktična potreba da se uzme u obzir varijabilnost stope otkaza omogućava nam da zaključimo da uslovi koji vode do glavnih distribucija teorije pouzdanosti (eksponencijalna, normalna, log-normalna, itd.) ukazuju na nerazumnost njihove upotrebe za analizu Pouzdanost generatorskih lampi velike snage, klistrona, magnetrona, sijalica putujućih talasa i drugih elemenata upravljačkih sistema, koji se u opštem slučaju karakterišu starenjem sa promenljivom stopom habanja, nisu ujednačeni u početnom kvalitetu.

Švedski matematičar i inženjer W. Weibull (1887-1979) je 1939. godine, analizirajući kvarove uzrokovane trošenjem kugličnih ležajeva, predložio funkciju distribucije pogodne za opisivanje trajnosti materijala, napominjući: „Čini se da je jedini praktičan način da se postigne uspjeh je u odabiru jednostavne funkcije, njenom empirijskom testiranju i potom njenom konačnom izboru, ako nema ništa bolje.

Ne zadržavajući se na procjeni valjanosti ovih riječi u sadašnjem trenutku, primjećujemo da je Weibull odabrao dvoparametarsku funkciju raspodjele vjerovatnoće kao jednostavnu funkciju:

gdje T, s su parametri razmjera i oblika, respektivno.

Od sredine 1950-ih. Interes za Weibull distribuciju raste jer se ispostavilo da je dobar model za opisivanje pouzdanosti složenih uređaja. Pokazalo se da je ovaj zakon najpogodniji za analizu trajanja neometanog rada elektrovakuumskih mikrovalnih uređaja velike snage.

B.V. Gnedenko je ustanovio da je Weibullova raspodjela asimptotska distribucija trećeg tipa za minimalne vrijednosti niza nezavisne količine. Dokazan karakteristično svojstvo Weibullov zakon: ako t| = min (X v X 2, X p) poštuje Weibullovu distribuciju i slučajne varijable X ( , X 2 ,..., Xn su nezavisni i jednako raspoređeni, onda se i oni pridržavaju ovog zakona. Mnogi uređaji sadrže značajan broj homogenih elemenata koji su u istim radnim uslovima. Ako su elementi koji se ponavljaju odlučujući u odnosu na vrijeme rada uređaja, tada se formira shema koja vodi do Weibullove distribucije. Kvar uređaja se smatra izlazom bilo kojeg od parametara izvan utvrđene tolerancije. Može se pretpostaviti da su promjene ovih parametara slabo povezani slučajni procesi. Zatim, ako je m trajnost prema /-tom parametru, tada se resurs kao cjelina definira kao m = min (t r t 2 , ..., t l).

Funkcija pouzdanosti za Weibullovu distribuciju općenito je određena sa tri parametra i ima oblik: