U mnogim problemima vezanim za normalno raspoređene slučajne varijable, potrebno je odrediti vjerovatnoću da slučajna varijabla, poštujući normalni zakon s parametrima, zapadne u interval od do . Za izračunavanje ove vjerovatnoće koristimo opštu formulu

gdje je funkcija raspodjele veličine .

Nađimo funkciju distribucije slučajne varijable raspoređene prema normalnom zakonu s parametrima . Gustina distribucije vrijednosti je:

. (6.3.2)

Odavde nalazimo funkciju distribucije

. (6.3.3)

Napravimo promjenu varijable u integralu (6.3.3)

i dovedite u formu:

(6.3.4)

Integral (6.3.4) nije izražen u terminima elementarne funkcije, ali se može izračunati preko posebne funkcije koja izražava određeni integral izraza ili (tzv. integral vjerovatnoće), za koji se sastavljaju tabele. Postoji mnogo varijanti takvih funkcija, na primjer:

;

itd. Koju od ovih funkcija koristiti je stvar ukusa. Mi ćemo izabrati kao takvu funkciju

. (6.3.5)

Lako je vidjeti da ova funkcija nije ništa drugo nego funkcija distribucije za normalno raspoređenu slučajnu varijablu s parametrima.

Slažemo se da funkciju nazovemo normalnom funkcijom distribucije. Dodatak (Tablica 1) prikazuje tablice vrijednosti funkcija.

Izrazimo funkciju raspodjele (6.3.3) veličine s parametrima iu terminima normalne funkcije raspodjele. Očigledno,

. (6.3.6)

Sada hajde da pronađemo verovatnoću da pogodimo slučajnu promenljivu na segmentu od do . Prema formuli (6.3.1)

Dakle, izrazili smo vjerovatnoću da će slučajna varijabla , raspoređena prema normalnom zakonu sa bilo kojim parametrima, pasti na dijagram u smislu standardne funkcije raspodjele , što odgovara najjednostavnijem normalnom zakonu s parametrima 0.1. Imajte na umu da argumenti funkcije u formuli (6.3.7) imaju vrlo jednostavno značenje: postoji rastojanje od desnog kraja sekcije do centra disperzije, izraženo u standardnim devijacijama; - isto rastojanje za lijevi kraj presjeka, i to rastojanje se smatra pozitivnim ako se kraj nalazi desno od centra disperzije, a negativnim ako je lijevo.

Kao i svaka funkcija distribucije, funkcija ima sljedeća svojstva:

3. - neopadajuća funkcija.

Osim toga, iz simetrije normalne distribucije sa parametrima o ishodištu proizilazi da

Koristeći ovo svojstvo, zapravo bi bilo moguće ograničiti tablice funkcija na samo pozitivne vrijednosti argumenta, ali kako bi se izbjegla nepotrebna operacija (oduzimanje od jedne), tabela 1 u dodatku daje vrijednosti za i pozitivni i negativni argumenti.

U praksi se često susrećemo s problemom izračunavanja vjerovatnoće da će normalno raspoređena slučajna varijabla pasti u područje koje je simetrično u odnosu na centar disperzije. Razmotrimo takav dio dužine (slika 6.3.1). Izračunajmo vjerovatnoću da ćemo pogoditi ovu lokaciju koristeći formulu (6.3.7):

Uzimajući u obzir svojstvo (6.3.8) funkcije i dajući lijevoj strani formule (6.3.9) kompaktniji oblik, dobijamo formulu za vjerovatnoću da će slučajna varijable distribuirana prema normalnom zakonu pasti u presjek simetričan u odnosu na centar raspršenja:

. (6.3.10)

Hajde da rešimo sledeći problem. Odvojimo uzastopne segmente dužine od centra raspršenja (slika 6.3.2) i izračunajmo vjerovatnoću da će slučajna varijabla pasti u svaki od njih. Kako je kriva normalnog zakona simetrična, dovoljno je takve segmente odgoditi samo u jednom smjeru.

Prema formuli (6.3.7) nalazimo:

(6.3.11)

Kao što se vidi iz ovih podataka, vjerovatnoće da se pogodi svaki od sljedećih segmenata (peti, šesti itd.) sa tačnošću od 0,001 jednake su nuli.

Zaokružujući vjerovatnoću pogađanja segmenata na 0,01 (do 1%), dobijamo tri broja koja se lako pamte:

0,34; 0,14; 0,02.

Zbir ove tri vrijednosti je 0,5. To znači da se za normalno raspoređenu slučajnu varijablu sve disperzije (do frakcija procenta) uklapaju u odjeljak .

Ovo omogućava, znajući standardnu ​​devijaciju i matematičko očekivanje slučajne varijable, da se približno naznači raspon njenih praktično mogućih vrijednosti. Takva metoda za procjenu raspona mogućih vrijednosti slučajne varijable poznata je u matematičke statistike zove pravilo tri sigma. Pravilo tri sigme također podrazumijeva približnu metodu za određivanje standardne devijacije slučajne varijable: uzimaju maksimalno praktično moguće odstupanje od prosjeka i dijele ga sa tri. Naravno, ova gruba metoda se može preporučiti samo ako ne postoje drugi, precizniji načini za određivanje .

Primjer 1. Slučajna varijabla, raspoređena prema normalnom zakonu, je greška u mjerenju određene udaljenosti. Prilikom mjerenja dozvoljena je sistematska greška u smjeru precjenjivanja za 1,2 (m); standardna devijacija greške mjerenja je 0,8 (m). Naći vjerovatnoću da odstupanje izmjerene vrijednosti od prave vrijednosti ne prelazi 1,6 (m) u apsolutnoj vrijednosti.

Rješenje. Greška mjerenja je slučajna varijabla koja se pridržava normalnog zakona s parametrima i . Moramo pronaći vjerovatnoću da ova veličina padne na interval od do . Po formuli (6.3.7) imamo:

Koristeći tablice funkcija (Dodatak, Tabela 1), nalazimo:

; ,

Primjer 2. Naći istu vjerovatnoću kao u prethodnom primjeru, ali pod uslovom da nema sistematske greške.

Rješenje. Formulom (6.3.10), uz pretpostavku , nalazimo:

.

Primjer 3. Na metu koja izgleda kao traka (autoput), čija je širina 20 m, gađa se u smjeru okomitom na autoput. Nišanjenje se vrši duž središnje linije autoputa. Standardna devijacija u smjeru gađanja je jednaka m. Postoji sistematska greška u smjeru gađanja: podnisak je 3 m. Pronađite vjerovatnoću da jednim udarcem pogodite autoput.

Slučajna varijabla naziva se varijabla koja, kao rezultat svakog testa, poprima jednu prethodno nepoznatu vrijednost, ovisno o slučajnim uzrocima. Slučajne varijable su označene velikim latiničnim slovima: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Po svom tipu, slučajne varijable mogu biti diskretno i kontinuirano.

Diskretna slučajna varijabla- ovo je takva slučajna varijabla, čije vrijednosti mogu biti samo prebrojive, odnosno konačne ili prebrojive. Prebrojivost znači da se vrijednosti slučajne varijable mogu nabrojati.

Primjer 1 . Navedimo primjere diskretnih slučajne varijable:

a) broj pogodaka u metu sa $n$ hitaca, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) broj grbova koji su ispali pri bacanju novčića, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) broj brodova koji su stigli na brod (prebrojiv skup vrijednosti).

d) broj poziva koji pristižu na centralu (prebrojiv skup vrijednosti).

1. Zakon distribucije vjerovatnoće diskretne slučajne varijable.

Diskretna slučajna varijabla $X$ može uzeti vrijednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ sa vjerovatnoćama $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$. Korespondencija između ovih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća naziva se zakon distribucije diskretne slučajne varijable. Po pravilu, ova korespondencija se navodi pomoću tabele, u čijem su prvom redu navedene vrijednosti $x_1,\dots,\ x_n$, a u drugom redu vjerovatnoće koje odgovaraju ovim vrijednostima su $ p_1,\dots ,\ p_n$.

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(niz)$

Primjer 2 . Neka slučajna varijabla $X$ bude broj bačenih poena kada se baci kocka. Takva slučajna varijabla $X$ može imati sljedeće vrijednosti $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Vjerovatnoće svih ovih vrijednosti su jednake $1/6$. Zatim zakon raspodjele vjerovatnoće za slučajnu varijablu $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(niz)$

Komentar. Pošto događaji $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ čine kompletnu grupu događaja u zakonu distribucije diskretne slučajne varijable $X$, zbir vjerovatnoća mora biti jednak jedan, tj. $\sum( p_i)=1$.

2. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable.

Matematičko očekivanje slučajne varijable specificira njegovu "centralnu" vrijednost. Za diskretnu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje se izračunava kao zbir proizvoda vrijednosti $x_1,\dots,\ x_n$ i vjerovatnoća $p_1,\dots,\ p_n$ koje odgovaraju ovim vrijednostima, tj.: $M\left(X\right)=\suma ^n_(i=1)(p_ix_i)$. U engleskoj literaturi se koristi druga oznaka $E\left(X\right)$.

Svojstva matematičko očekivanje $M\lijevo(X\desno)$:

1. $M\left(X\right)$ je između najmanjeg i najviše vrijednosti slučajna varijabla $X$.
2. Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti, tj. $M\lijevo(C\desno)=C$.
3. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka očekivanja: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Matematičko očekivanje proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Primjer 3 . Nađimo matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\preko (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\preko (6))+4\cdot ((1)\cdot (6))+5\cdot ((1)\preko (6))+6\cdot ((1 )\preko (6))=3.5.$$

Možemo primijetiti da se $M\left(X\right)$ nalazi između najmanje ($1$) i najveće ($6$) vrijednosti slučajne varijable $X$.

Primjer 4 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=2$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $3X+5$.

Koristeći gornja svojstva, dobijamo $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Primjer 5 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\left(X\right)=4$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $2X-9$.

Koristeći gornja svojstva, dobijamo $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzija diskretne slučajne varijable.

Moguće vrijednosti slučajnih varijabli s jednakim matematičkim očekivanjima mogu se različito raspršiti oko svojih prosječnih vrijednosti. Na primjer, u dva studentske grupe GPA za ispit iz teorije vjerovatnoće ispao je jednak 4, ali u jednoj grupi su svi bili dobri učenici, au drugoj grupi samo tri i odlični učenici. Stoga postoji potreba za takvom numeričkom karakteristikom slučajne varijable koja bi pokazala širenje vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Ova karakteristika je disperzija.

Disperzija diskretne slučajne varijable$X$ je:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

U engleskoj literaturi koristi se oznaka $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Vrlo često se varijansa $D\left(X\right)$ izračunava po formuli $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) lijevo(X \desno)\desno))^2$.

Svojstva disperzije$D\lijevo(X\desno)$:

1. Disperzija je uvijek veća ili jednaka nuli, tj. $D\levo(X\desno)\ge 0$.
2. Disperzija iz konstante je jednaka nuli, tj. $D\lijevo(C\desno)=0$.
3. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije, pod uslovom da je kvadriran, tj. $D\left(CX\desno)=C^2D\left(X\right)$.
4. Varijanca zbira nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru njihovih varijansi, tj. $D\lijevo(X+Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.
5. Varijanca razlike nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbiru njihovih varijansi, tj. $D\lijevo(X-Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.

Primjer 6 . Izračunajmo varijansu slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$$D\left(X\desno)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\preko (6))\cdot (\left(1-3,5\desno))^2+((1)\preko (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\preko (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\preko (12))\cca 2.92.$$

Primjer 7 . Poznato je da je varijansa slučajne varijable $X$ jednaka $D\left(X\right)=2$. Pronađite varijansu slučajne varijable $4X+1$.

Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ lijevo(X\desno)=16\cdot 2=32$.

Primjer 8 . Poznato je da je varijansa $X$ jednaka $D\left(X\right)=3$. Pronađite varijansu slučajne varijable $3-2X$.

Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ lijevo(X\desno)=4\cdot 3=12$.

4. Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable.

Metoda predstavljanja diskretne slučajne varijable u obliku distributivnog niza nije jedina, i što je najvažnije, nije univerzalna, jer se kontinuirana slučajna varijabla ne može specificirati pomoću distributivnog niza. Postoji još jedan način predstavljanja slučajne varijable - funkcija distribucije.

funkcija distribucije slučajna varijabla $X$ je funkcija $F\left(x\right)$, koja određuje vjerovatnoću da slučajna varijabla $X$ poprimi vrijednost manju od neke fiksne vrijednosti $x$, tj. $F\left(x\ desno)$ )=P\lijevo(X< x\right)$

Svojstva funkcije distribucije:

1. $0\le F\levo(x\desno)\le 1$.
2. Vjerovatnoća da slučajna varijabla $X$ uzima vrijednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ jednaka je razlici između vrijednosti funkcije distribucije na krajevima ovog intervala : $P\lijevo(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - neopadajuće.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \desno)=1\ )$.

Primjer 9 . Nađimo funkciju raspodjele $F\left(x\right)$ za zakon raspodjele diskretne slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(niz)$

Ako je $x\le 1$, onda je očigledno $F\left(x\right)=0$ (uključujući $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ako $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ako $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ako $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ako $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ako $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ako je $x > 6$ onda $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\levo(X=4\desno)+P\levo(X=5\desno)+P\levo(X=6\desno)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Dakle, $F(x)=\left\(\begin(matrica)
0,\ na\ x\le 1,\\
1/6, na \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, na \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ na \ 4< x\le 5,\\
1,\ za \ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Normalni zakon distribucije vjerovatnoće

Bez pretjerivanja, može se nazvati filozofskim zakonom. Promatrajući razne objekte i procese svijeta oko nas, često se susrećemo s činjenicom da nešto nije dovoljno, te da postoji norma:


Evo osnovnog pogleda funkcije gustine normalna raspodjela vjerovatnoće, i želim vam dobrodošlicu u ovu najzanimljiviju lekciju.

Koji se primjeri mogu navesti? Oni su samo tama. To je, na primjer, visina, težina ljudi (i ne samo), njihova fizička snaga, mentalni kapacitet itd. postoji "masa" (na ovaj ili onaj način) i ima odstupanja u oba smjera.

To su različite karakteristike neživih predmeta (iste dimenzije, težina). Ovo je nasumično trajanje procesa, na primjer, vrijeme trke na sto metara ili transformacije smole u ćilibar. Iz fizike su mi pali na pamet molekuli zraka: među njima ima sporih, ima i brzih, ali većina se kreće „standardnim“ brzinama.

Zatim odstupimo od centra za još jednu standardnu ​​devijaciju i izračunamo visinu:

Označavanje tačaka na crtežu (zelena boja) i vidimo da je to sasvim dovoljno.

U završnoj fazi pažljivo crtamo graf i posebno pažljivo odražavaju to konveksnost / konkavnost! Pa, vjerovatno ste odavno shvatili da je apscisa osa horizontalna asimptota, i apsolutno je nemoguće „popeti se“ za njega!

Sa elektronskim dizajnom rješenja, graf je lako izgraditi u Excelu, a neočekivano za sebe, čak sam snimio i kratak video na ovu temu. Ali prvo, razgovarajmo o tome kako se oblik normalne krive mijenja ovisno o vrijednostima i .

Prilikom povećanja ili smanjenja "a" (sa nepromijenjenom "sigmom") graf zadržava svoj oblik i pomiče se desno/lijevo respektivno. Tako, na primjer, kada funkcija poprimi oblik a naš graf "pomiče" 3 jedinice ulijevo - tačno do početka:


Normalno raspoređena veličina sa nultim matematičkim očekivanjem dobila je potpuno prirodno ime - centriran; njegovu funkciju gustine – čak, a graf je simetričan oko y-ose.

U slučaju promjene "sigme" (sa konstantom "a"), graf "ostaje na mjestu", ali mijenja oblik. Kada se uveća, postaje niži i izdužen, poput hobotnice koja rasteže svoje pipke. I obrnuto, kada se graf smanjuje postaje uži i viši- ispada "iznenađena hobotnica." Da, u smanjiti"sigma" dva puta: prethodni grafikon se dva puta sužava i proteže prema gore:

Sve je u potpunosti u skladu sa geometrijske transformacije grafova.

Normalna distribucija sa jediničnom vrijednošću naziva se "sigma". normalizovano, i ako je također centriran(naš slučaj), onda se takva distribucija zove standard. Ima još jednostavniju funkciju gustoće, koja se već susrela u lokalna Laplaceova teorema: . Standardna distribucija je našla široku primjenu u praksi, a vrlo brzo ćemo konačno shvatiti njenu svrhu.

A sada pogledajmo film:

Da, sasvim tačno – nekako nezasluženo smo ostali u senci funkcija raspodjele vjerovatnoće. Pamtimo je definicija:
- vjerovatnoća da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost MANJU od varijable, koja "pokreće" sve realne vrijednosti do "plus" beskonačnosti.

Unutar integrala se obično koristi drugo slovo kako ne bi bilo "preklapanja" s notacijom, jer je ovdje svakoj vrijednosti dodijeljena nepravilan integral , što je jednako nekom broj iz intervala.

Gotovo sve vrijednosti se ne mogu precizno izračunati, ali kao što smo upravo vidjeli, uz modernu računarsku snagu, to nije teško. Dakle, za funkciju standardne distribucije, odgovarajuća excel funkcija općenito sadrži jedan argument:

=NORMSDIST(z)

Jedan, dva - i gotovi ste:

Crtež jasno pokazuje implementaciju svega svojstva funkcije distribucije, a od tehničkih nijansi ovdje treba obratiti pažnju horizontalne asimptote i tačka pregiba.

Sada se prisjetimo jednog od ključnih zadataka teme, naime, saznati kako pronaći - vjerovatnoću da normalna slučajna varijabla će uzeti vrijednost iz intervala. Geometrijski, ova vjerovatnoća je jednaka području između normalne krive i x-ose u odgovarajućem dijelu:

ali svaki put samljeti približnu vrijednost je nerazumno, pa je stoga racionalnije koristiti "laka" formula:
.

! takođe pamti , šta

Ovdje možete ponovo koristiti Excel, ali postoji nekoliko značajnih "ali": prvo, nije uvijek pri ruci, a drugo, "gotove" vrijednosti će najvjerovatnije pokrenuti pitanja od nastavnika. Zašto?

O tome sam već više puta govorio: jedno vrijeme (i ne tako davno) običan kalkulator je bio luksuz, a „ručni“ način rješavanja problema koji se razmatra još uvijek je sačuvan u obrazovnoj literaturi. Njegova suština je da standardizovati vrijednosti "alfa" i "beta", odnosno reduciraju rješenje na standardnu ​​distribuciju:

Bilješka : funkciju je lako dobiti iz opšteg slučajakoristeći linearnu zamjene. Zatim i:

a od zamjene samo slijedi formula prijelaz sa vrijednosti proizvoljne distribucije na odgovarajuće vrijednosti standardne distribucije.

Zašto je ovo potrebno? Činjenica je da su vrijednosti savjesno izračunali naši preci i sažeti u posebnu tabelu, koja se nalazi u mnogim knjigama o terveru. Ali još češća je tabela vrijednosti, u kojoj smo se već pozabavili Laplaceov integralni teorem:

Ako imamo na raspolaganju tablicu vrijednosti Laplaceove funkcije , onda kroz to rješavamo:

Razlomke se tradicionalno zaokružuju na 4 decimale, kao što se radi u standardnoj tabeli. I za kontrolu Stavka 5 raspored.

Podsećam te na to , i kako bi se izbjegla zabuna uvek pod kontrolom, tabela ŠTA funkcija pred vašim očima.

Odgovori je potrebno dati kao postotak, tako da se izračunata vjerovatnoća mora pomnožiti sa 100 i dati rezultat sa smislenim komentarom:

- sa letom od 5 do 70 m, oko 15,87% granata će pasti

Treniramo samostalno:

Primjer 3

Prečnik ležajeva proizvedenih u fabrici je slučajna varijabla normalno raspoređena sa očekivanjem od 1,5 cm i standardnom devijacijom od 0,04 cm.Nađite verovatnoću da se veličina slučajno uzetog ležaja kreće od 1,4 do 1,6 cm.

U primjeru rješenja i ispod, koristit ću Laplaceovu funkciju kao najčešću opciju. Usput, imajte na umu da, prema formulaciji, ovdje možete uključiti krajeve intervala u razmatranje. Međutim, to nije kritično.

I već u ovom primjeru smo se sreli poseban slučaj– kada je interval simetričan u odnosu na matematičko očekivanje. U takvoj situaciji, može se napisati u obliku i, koristeći neparnost Laplaceove funkcije, pojednostaviti radnu formulu:

Poziva se parametar delta odstupanje iz matematičkog očekivanja, a dvostruka nejednakost se može “upakovati” koristeći modul:

je vjerovatnoća da vrijednost slučajne varijable odstupa od matematičkog očekivanja za manje od .

Pa resenje koje stane u jedan red :)
je vjerovatnoća da se promjer nasumično uzetog ležaja razlikuje od 1,5 cm za najviše 0,1 cm.

Ispostavilo se da je rezultat ovog zadatka blizak jedinici, ali bih želio još više pouzdanosti - naime, otkriti granice u kojima je promjer skoro svi ležajevi. Postoji li neki kriterijum za ovo? Postoji! Na pitanje odgovara tzv

tri sigma pravilo

Njegova suština je u tome praktično pouzdan je činjenica da će normalno raspoređena slučajna varijabla uzeti vrijednost iz intervala .

Zaista, vjerovatnoća odstupanja od očekivanja je manja od:
ili 99,73%

Što se tiče "ležajeva" - radi se o 9973 komada promjera od 1,38 do 1,62 cm i samo 27 "podstandardnih" primjeraka.

AT praktična istraživanja Pravilo tri sigma se obično koristi u obrnuti smjer: ako statistički utvrdili da gotovo sve vrijednosti slučajna varijabla koja se proučava uklapaju se u interval od 6 standardnih devijacija, onda postoje dobri razlozi za vjerovanje da je ova vrijednost distribuirana prema normalnom zakonu. Provjera se vrši korištenjem teorije statističke hipoteze.

Nastavljamo da rješavamo teške sovjetske zadatke:

Primjer 4

Slučajna vrijednost greške vaganja distribuira se prema normalnom zakonu sa nultim matematičkim očekivanjem i standardnom devijacijom od 3 grama. Odrediti vjerovatnoću da će sljedeće vaganje biti izvršeno s greškom koja ne prelazi 5 grama u apsolutnoj vrijednosti.

Rješenje veoma jednostavno. Po uslovu, a to odmah konstatujemo pri sledećem vaganju (nešto ili neko) skoro 100% ćemo dobiti rezultat sa tačnošću od 9 grama. Ali u problemu postoji uže odstupanje i po formuli :

- vjerovatnoća da će sljedeće vaganje biti izvršeno s greškom koja ne prelazi 5 grama.

Odgovori:

Rešen problem se suštinski razlikuje od naizgled sličnog. Primjer 3 lekcija o ujednačena distribucija. Došlo je do greške zaokruživanje rezultata mjerenja, ovdje je riječ o slučajnoj grešci samih mjerenja. Takve greške nastaju zbog tehničkih karakteristika samog uređaja. (opseg dozvoljenih grešaka, u pravilu, naveden je u njegovom pasošu), a također i krivnjom eksperimentatora - kada, na primjer, "na oko" uzimamo očitanja sa strelice iste skale.

Između ostalih, postoje i tzv sistematično greške merenja. Već je nonrandom greške koje nastaju zbog neispravnog podešavanja ili rada uređaja. Tako, na primjer, neprilagođena podna vaga može dosljedno "dodavati" kilogram, a prodavač sustavno potencira kupce. Ili ne sistematski, jer možete kvariti. Međutim, u svakom slučaju, takva greška neće biti slučajna, a njeno očekivanje je drugačije od nule.

…Hitno razvijam kurs za obuku prodaje =)

Hajde da sami riješimo problem:

Primjer 5

Prečnik valjka je slučajna normalno raspoređena slučajna varijabla, njena standardna devijacija je mm. Odredite dužinu intervala, simetričnog u odnosu na matematičko očekivanje, u kojoj će dužina prečnika perle pasti sa verovatnoćom.

Stavka 5* dizajn izgleda pomoći. Napominjemo da matematičko očekivanje ovdje nije poznato, ali to ni najmanje ne ometa rješavanje problema.

I ispitni zadatak, što toplo preporučujem za konsolidaciju materijala:

Primjer 6

Normalno raspoređena slučajna varijabla je data svojim parametrima (matematičko očekivanje) i (standardna devijacija). Obavezno:

a) zapisati gustinu vjerovatnoće i shematski prikazati njen graf;
b) naći vjerovatnoću da će uzeti vrijednost iz intervala ;
c) naći vjerovatnoću da modul ne odstupa od više od ;
d) primjenom pravila "tri sigme" pronađite vrijednosti slučajne varijable.

Takvi problemi se nude posvuda, a tokom godina prakse uspio sam riješiti stotine i stotine njih. Obavezno vježbajte crtanje rukom i korištenje papirnih tabela ;)

Pa, analizirat ću primjer povećane složenosti:

Primjer 7

Gustina raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable ima oblik . Find , matematičko očekivanje , varijansa , funkcija distribucije , gustina dijagrama i funkcije distribucije , find .

Rješenje: prije svega, obratimo pažnju da uvjet ne govori ništa o prirodi slučajne varijable. Samo po sebi prisustvo izlagača ne znači ništa: to može biti npr. demonstrativna ili generalno proizvoljno kontinuirana distribucija. I stoga, „normalnost“ distribucije još uvijek treba potkrijepiti:

Od funkcije utvrđeno na bilo koji realna vrijednost , a može se svesti na oblik , tada se slučajna varijabla raspoređuje prema normalnom zakonu.

Predstavljamo. Za ovo odaberite cijeli kvadrat i organizovati trospratni razlomak:


Obavezno izvršite provjeru, vraćajući indikator u izvorni oblik:

što smo hteli da vidimo.

Na ovaj način:
- uključeno pravilo moći"štipanje". I ovdje možemo odmah zapisati ono očigledno numeričke karakteristike:

Sada pronađimo vrijednost parametra. Budući da množitelj normalne distribucije ima oblik i , tada:
, iz koje izražavamo i zamjenjujemo u našu funkciju:
, nakon čega ćemo još jednom očima pregledati zapis i uvjeriti se da rezultirajuća funkcija ima oblik .

Nacrtajmo gustinu:

i dijagram funkcije distribucije :

Ako pri ruci nema Excela, pa čak ni običnog kalkulatora, onda se posljednji grafikon lako gradi ručno! U tom trenutku funkcija distribucije poprima vrijednost i evo

Poglavlje 1. Diskretna slučajna varijabla

§ 1. Koncept slučajne varijable.

Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable.

Definicija : Slučajna je veličina koja, kao rezultat testa, uzima samo jednu vrijednost iz mogućeg skupa svojih vrijednosti, unaprijed nepoznatih i ovisno o slučajnim uzrocima.

Postoje dvije vrste slučajnih varijabli: diskretne i kontinuirane.

Definicija : Poziva se slučajna varijabla X diskretno (diskontinuirano) ako je skup njegovih vrijednosti konačan ili beskonačan, ali prebrojiv.

Drugim riječima, moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable mogu se prenumerisati.

Možete opisati slučajnu varijablu koristeći njen zakon distribucije.

Definicija : Zakon distribucije diskretne slučajne varijable naziva se korespondencija između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih vjerovatnoća.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable X može se dati u obliku tabele, u čijem su prvom redu navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable u rastućem redoslijedu, a u drugom redu odgovarajuće vjerovatnoće ovih vrijednosti, tj.

gdje je r1+ r2+…+ rn=1

Takva tabela se naziva nizom distribucije diskretne slučajne varijable.

Ako je skup mogućih vrijednosti slučajne varijable beskonačan, tada red r1+ r2+…+ rn+… konvergira i njegov zbir je jednak 1.

Grafički se može prikazati zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X, za koju se u pravougaonom koordinatnom sistemu gradi poligonalna linija koja povezuje tačke sukcesivno sa koordinatama (xi;pi), i=1,2,…n. Rezultirajuća linija se zove distributivni poligon (Sl. 1).

Organska hemija "href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark"> organske hemije su 0,7 odnosno 0,8. Napraviti zakon raspodele slučajne varijable X - broj ispita koje će student polagati pass.

Rješenje. Kao rezultat ispita, razmatrana slučajna varijabla X može poprimiti jednu od sljedećih vrijednosti: x1=0, x2=1, x3=2.

Nađimo vjerovatnoću ovih vrijednosti. Označimo događaje:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Dakle, zakon raspodjele slučajne varijable X dat je tablicom:

Kontrola: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Funkcija distribucije

Potpuni opis slučajne varijable također je dat funkcijom distribucije.

definicija: Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable X poziva se funkcija F(x), koja za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od x:

F(x)=P(X<х)

Geometrijski, funkcija distribucije se tumači kao vjerovatnoća da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost koja je prikazana na brojevnoj pravoj tačkom lijevo od točke x.

1)0≤F(x)≤1;

2) F(x) je neopadajuća funkcija na (-∞;+∞);

3) F(x) - kontinuirano slijeva u tačkama x= xi (i=1,2,…n) i kontinuirano u svim ostalim tačkama;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Ako je zakon distribucije diskretne slučajne varijable X dat u obliku tabele:

tada je funkcija distribucije F(x) određena formulom:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 za x≤ x1,

p1 na x1< х≤ x2,

F(x)= p1 + p2 na x2< х≤ х3

1 za x> xn.

Njegov grafikon je prikazan na slici 2:

§ 3. Numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable.

Matematičko očekivanje je jedna od važnih numeričkih karakteristika.

Definicija: matematičko očekivanje M(X) Diskretna slučajna varijabla X je zbir proizvoda svih njenih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća:

M(X) = ∑ xiri= x1r1 + x2r2+…+ xnrn

Matematičko očekivanje služi kao karakteristika prosječne vrijednosti slučajne varijable.

Svojstva matematičkog očekivanja:

1)M(C)=C, gdje je C konstantna vrijednost;

2) M (C X) \u003d C M (X),

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), gdje su X, Y nezavisne slučajne varijable;

5)M(X±C)=M(X)±C, gdje je C konstantna vrijednost;

Za karakterizaciju stepena disperzije mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable oko njene srednje vrijednosti, koristi se varijansa.

Definicija: disperzija D ( X ) slučajna varijabla X je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:

Svojstva disperzije:

1)D(C)=0, gdje je C konstantna vrijednost;

2)D(X)>0, gdje je X slučajna varijabla;

3)D(C X)=C2 D(X), gdje je C konstantna vrijednost;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), gdje su X, Y nezavisne slučajne varijable;

Za izračunavanje varijanse često je zgodno koristiti formulu:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

gdje je M(H)=∑ xi2ri= x12r1 + x22r2+…+ xn2rn

Varijanca D(X) ima dimenziju kvadrata slučajne varijable, što nije uvijek zgodno. Stoga se vrijednost √D(X) koristi i kao indikator disperzije mogućih vrijednosti slučajne varijable.

definicija: Standardna devijacija σ(X) slučajna varijabla X naziva se kvadratni korijen varijanse:

Zadatak broj 2. Diskretna slučajna varijabla X je data zakonom distribucije:

Pronađite P2, funkciju raspodjele F(x) i nacrtajte njen graf, kao i M(X), D(X), σ(X).

Rješenje: Budući da je zbir vjerovatnoća mogućih vrijednosti slučajne varijable X jednak 1, tada

R2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Pronađite funkciju raspodjele F(x)=P(X

Geometrijski, ova jednakost se može tumačiti na sljedeći način: F(x) je vjerovatnoća da će slučajna varijabla uzeti vrijednost koja je prikazana na realnoj osi tačkom lijevo od x.

Ako je x≤-1, onda je F(x)=0, pošto ne postoji nijedna vrijednost ove slučajne varijable na (-∞;x);

Ako je -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Ako je 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;h) dvije vrijednosti x1=-1 i x2=0 padaju;

Ako 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Ako 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Ako je x>3, onda je F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, pošto četiri vrijednosti x1=-1, x2=0,x3=1,x4=2 spadaju u interval (-∞;x) i x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 za x≤-1,

0,1 na -1<х≤0,

0,2 na 0<х≤1,

F(x)= 0,5 na 1<х≤2,

0,7 na 2<х≤3,

1 za x>3

Predstavimo funkciju F(x) grafički (slika 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845.

§ 4. Zakon binomne distribucije

diskretna slučajna varijabla, Poissonov zakon.

definicija: Binom naziva se zakon distribucije diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja A u n nezavisnih ponovljenih pokušaja, u svakom od kojih se događaj A može dogoditi sa vjerovatnoćom p ili se ne dogoditi sa vjerovatnoćom q = 1-p. Tada se R(H=m)-vjerovatnoća pojave događaja A tačno m puta u n pokušaja izračunava po Bernoullijevoj formuli:

P(X=m)=Smnpmqn-m

Matematičko očekivanje, varijansa i standardna devijacija slučajne varijable X, raspoređene prema binarnom zakonu, nalaze se, respektivno, po formulama:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Vjerovatnoća događaja A - "dobiti pet" u svakom testu je ista i jednaka je 1/6, tj. P(A)=p=1/6, zatim P(A)=1-p=q=5/6, gdje je

- "kapi nisu pet."

Slučajna varijabla X može imati vrijednosti: 0;1;2;3.

Pronalazimo vjerovatnoću svake od mogućih vrijednosti X koristeći Bernoullijevu formulu:

P(X=0)=P3(0)=C03p0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

P(X=1)=P3(1)=C13p1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

P(X=2)=P3(2)=C23p2q=3(1/6)2(5/6)1=15/216;

P(X=3)=P3(3)=C33p3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

To. zakon raspodjele slučajne varijable X ima oblik:

Kontrola: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Nađimo numeričke karakteristike slučajne varijable X:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Zadatak broj 4. Automatska mašina štanca delove. Vjerovatnoća da će proizvedeni dio biti neispravan je 0,002. Pronađite vjerovatnoću da će među 1000 odabranih dijelova biti:

a) 5 neispravnih;

b) barem jedan je neispravan.

Rješenje: Broj n=1000 je velik, vjerovatnoća izrade neispravnog dijela p=0,002 je mala, a događaji koji se razmatraju (ispostavi se da je dio neispravan) su nezavisni, pa se primjenjuje Poissonova formula:

Rn(m)= e- λ λm

Nađimo λ=np=1000 0,002=2.

a) Pronađite vjerovatnoću da će biti 5 neispravnih dijelova (m=5):

P1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Pronađite vjerovatnoću da će postojati barem jedan neispravan dio.

Događaj A - "barem jedan od odabranih dijelova je neispravan" suprotan je događaju - "svi odabrani dijelovi nisu neispravni". Dakle, P (A) \u003d 1-P (). Stoga je željena vjerovatnoća jednaka: R(A)=1-R1000(0)=1- e-2 20 \u003d 1-e-2 \u003d 1-0,13534≈0,865.

Zadaci za samostalan rad.

1.1

1.2. Disperzovana slučajna varijabla X data je zakonom distribucije:

Naći p4, funkciju raspodjele F(X) i nacrtati njen graf, kao i M(X), D(X), σ(X).

1.3. U kutiji se nalazi 9 flomastera, od kojih 2 više ne pišu. Nasumično uzmite 3 flomastera. Slučajna varijabla X - broj pisaćih flomastera među uzetima. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable.

1.4. Na polici biblioteke nasumično je postavljeno 6 udžbenika, od kojih su 4 ukoričena. Bibliotekar nasumično uzima 4 udžbenika. Slučajna varijabla X je broj ukoričenih udžbenika među preuzetim. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable.

1.5. Karta ima dva zadatka. Vjerovatnoća pravilnog rješavanja prvog zadatka je 0,9, a drugog 0,7. Slučajna varijabla X je broj tačno riješenih problema u listiću. Sastavite zakon raspodjele, izračunajte matematičko očekivanje i varijansu ove slučajne varijable, a također pronađite funkciju raspodjele F (x) i izgradite njen graf.

1.6. Tri strijelca pucaju u metu. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodi metu za prvog strijelca je 0,5, za drugog - 0,8, za trećeg - 0,7. Slučajna varijabla X je broj pogodaka u metu ako strijelci ostvare po jedan hitac. Naći zakon raspodjele, M(X),D(X).

1.7. Košarkaš ubacuje loptu u koš sa vjerovatnoćom da pogodi pri svakom bacanju 0,8. Za svaki pogodak dobija 10 poena, a u slučaju promašaja ne dobijaju bodove. Sastavite zakon raspodjele slučajne varijable X-broj poena koje košarkaš dobije za 3 bacanja. Pronađite M(X),D(X) i vjerovatnoću da će dobiti više od 10 bodova.

1.8. Na karticama su ispisana slova, samo 5 samoglasnika i 3 suglasnika. 3 karte se biraju nasumično, a svaki put se uzeta karta vraća nazad. Slučajna varijabla X je broj samoglasnika među uzetima. Sastavite zakon raspodjele i pronađite M(X),D(X),σ(X).

1.9. U prosjeku, ispod 60% ugovora osiguravajuće društvo isplaćuje iznose osiguranja u vezi sa nastankom osiguranog slučaja. Napraviti zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj ugovora za koje je isplaćena osigurana suma između četiri nasumično odabrana ugovora. Pronađite numeričke karakteristike ove veličine.

1.10. Radio stanica u određenim intervalima šalje pozivne znakove (ne više od četiri) dok se ne uspostavi dvosmjerna komunikacija. Vjerovatnoća primanja odgovora na pozivni znak je 0,3. Slučajna varijabla X-broj poslanih pozivnih znakova. Sastavite zakon raspodjele i pronađite F(x).

1.11. Postoje 3 ključa, od kojih samo jedan odgovara bravi. Napraviti zakon raspodjele za slučajnu varijablu X-broj pokušaja otvaranja brave, ako isprobani ključ ne učestvuje u narednim pokušajima. Pronađite M(X),D(X).

1.12. Sprovedena su uzastopna nezavisna ispitivanja pouzdanosti tri uređaja. Svaki sljedeći uređaj se testira samo ako se prethodni pokazao pouzdanim. Vjerovatnoća prolaska testa za svaki instrument je 0,9. Sastaviti zakon raspodjele slučajne varijable X-broj testiranih uređaja.

1.13 .Diskretna slučajna varijabla X ima tri moguće vrijednosti: x1=1, x2, x3 i x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Blok elektronskog uređaja sadrži 100 identičnih elemenata. Vjerovatnoća otkaza svakog elementa za vrijeme T jednaka je 0,002. Elementi rade nezavisno. Odrediti vjerovatnoću da neće više od dva elementa otkazati u vremenu T.

1.15. Udžbenik je objavljen u tiražu od 50.000 primjeraka. Vjerovatnoća da je udžbenik pogrešno ukoričen je 0,0002. Pronađite vjerovatnoću da cirkulacija sadrži:

a) četiri neispravne knjige,

b) manje od dvije neispravne knjige.

1 .16. Broj poziva koji pristižu na PBX svake minute distribuira se prema Poissonovom zakonu sa parametrom λ=1,5. Pronađite vjerovatnoću da će za minut biti:

a) dva poziva;

b) najmanje jedan poziv.

1.17.

Pronađite M(Z),D(Z) ako je Z=3X+Y.

1.18. Dati su zakoni distribucije dvije nezavisne slučajne varijable:

Pronađite M(Z),D(Z) ako je Z=X+2Y.

odgovori:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0,4; 0 za x≤-2,

0,3 na -2<х≤0,

F(x)= 0,5 na 0<х≤2,

0,9 na 2<х≤5,

1 za x>5

1.2. p4=0,1; 0 za x≤-1,

0,3 na -1<х≤0,

0,4 na 0<х≤1,

F(x)= 0,6 na 1<х≤2,

0,7 na 2<х≤3,

1 za x>3

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 za x≤0,

0,03 na 0<х≤1,

F(x)= 0,37 na 1<х≤2,

1 za x>2

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(H) ≈

M(X)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22e-0,2≈0,999

1.15. a) 0,0189; b) 0,00049

1.16. a) 0,0702; b) 0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Poglavlje 2 Kontinuirana slučajna varijabla

definicija: Kontinuirano navedite vrijednost, čije sve moguće vrijednosti u potpunosti ispunjavaju konačni ili beskonačni interval numeričke ose.

Očigledno, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan.

Kontinuirana slučajna varijabla može se specificirati korištenjem funkcije distribucije.

definicija: F funkcija distribucije kontinuirana slučajna varijabla X je funkcija F(x), koja za svaku vrijednost određuje xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R

Funkcija distribucije se ponekad naziva kumulativna funkcija distribucije.

Svojstva funkcije distribucije:

1)1≤F(x)≤1

2) Za kontinuiranu slučajnu varijablu, funkcija distribucije je kontinuirana u bilo kojoj tački i diferencibilna svuda, osim možda u pojedinačnim tačkama.

3) Vjerovatnoća da slučajna varijabla X padne u jedan od intervala (a; b), [a; b), [a; b], jednaka je razlici između vrijednosti funkcije F (x) u tačkama a i b, tj. P(a<Х

4) Vjerovatnoća da će kontinuirana slučajna varijabla X uzeti jednu vrijednost je 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Određivanje kontinuirane slučajne varijable pomoću funkcije distribucije nije jedino. Hajde da uvedemo koncept gustine raspodele verovatnoće (gustine distribucije).

Definicija : Gustoća vjerovatnoće f ( x ) kontinuirana slučajna varijabla X je izvod njene funkcije distribucije, tj.:

Gustina raspodjele vjerovatnoće se ponekad naziva diferencijalna funkcija raspodjele ili zakon diferencijalne distribucije.

Poziva se graf gustine distribucije vjerovatnoće f(x). krivulja raspodjele vjerovatnoće .

Svojstva gustine vjerovatnoće:

1) f(x) ≥0, kada je xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" visina ="62 src="> 0 za x≤2,

f(x)= c(x-2) na 2<х≤6,

0 za x>6.

Pronađite: a) vrijednost c; b) funkciju distribucije F(x) i izgraditi njen graf; c) R(3≤h<5)

Rješenje:

+ ∞

a) Pronađite vrijednost c iz uslova normalizacije: ∫ f(x)dx=1.

Prema tome, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

ako 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 za x≤2,

F (x) \u003d (x-2) 2/16 na 2<х≤6,

1 za x>6.

Grafikon funkcije F(x) prikazan je na slici 3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 za x≤0,

F (x) \u003d (3 arctg x) / π na 0<х≤√3,

1 za x>√3.

Pronađite diferencijalnu funkciju distribucije f(x)

Rješenje: Budući da je f (x) = F '(x), onda

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Sva svojstva matematičkog očekivanja i disperzije razmatrana ranije za dispergovane slučajne varijable vrijede i za kontinuirane.

Zadatak broj 3. Slučajna varijabla X je data diferencijalnom funkcijom f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 +x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Zadaci za samostalno rješavanje.

2.1. Kontinuirana slučajna varijabla X je data funkcijom distribucije:

0 za x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤ π/6,

F(h)= - cos 3x na π/6<х≤ π/3,

1 za x> π/3.

Naći diferencijalnu funkciju raspodjele f(x) i također

R(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 za x≤2,

f(x)= sa x na 2<х≤4,

0 za x>4.

2.4. Kontinuirana slučajna varijabla X data je gustinom distribucije:

0 za x≤0,

f(h)= s √h na 0<х≤1,

0 za x>1.

Pronađite: a) broj c; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> za x,

0 na x .

Pronađite: a) F(x) i nacrtajte njen graf; b) M(X),D(X), σ(X); c) vjerovatnoća da će u četiri nezavisna ispitivanja vrijednost X uzeti tačno 2 puta vrijednost koja pripada intervalu (1; 4).

2.6. Gustoća distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X je data:

f (x) \u003d 2 (x-2) za x,

0 na x .

Pronađite: a) F(x) i nacrtajte njen graf; b) M(X),D(X), σ(X); c) vjerovatnoća da će u tri nezavisna testa vrijednost X uzeti tačno 2 puta vrijednost koja pripada intervalu .

2.7. Funkcija f(x) je data kao:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Funkcija f(x) je data kao:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /četiri ; π /4].

Naći: a) vrijednost konstante c, pri kojoj će funkcija biti gustina vjerovatnoće neke slučajne varijable X; b) funkcija raspodjele F(x).

2.9. Slučajna varijabla H, koncentrisana na interval (3;7), data je funkcijom raspodjele F(h)= . Pronađite vjerovatnoću da

slučajna varijabla X će imati vrijednost: a) manju od 5, b) ne manju od 7.

2.10. Slučajna varijabla X, koncentrirana na interval (-1; 4),

dato funkcijom distribucije F(x)= . Pronađite vjerovatnoću da

slučajna varijabla X će imati vrijednost: a) manju od 2, b) ne manju od 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Pronađite: a) broj c; b) M(X); c) vjerovatnoća P(X > M(X)).

2.12. Slučajna varijabla je data funkcijom diferencijalne distribucije:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Naći: a) M(X); b) vjerovatnoća R(H≤M(H))

2.13. Vremenska distribucija je data gustinom vjerovatnoće:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> za x ≥0.

Dokažite da je f(x) zaista distribucija gustine vjerovatnoće.

2.14. Gustoća distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X je data:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src="> (sl.4) (sl.5)

2.16. Slučajna varijabla X je raspoređena prema zakonu “pravouglog trougla” u intervalu (0; 4) (slika 5). Naći analitički izraz za gustinu vjerovatnoće f(x) na cijeloj realnoj osi.

Odgovori

0 za x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x na π/6<х≤ π/3,

0 za x> π/3. Kontinuirana slučajna varijabla X ima uniforman zakon raspodjele na određenom intervalu (a;b), kojem pripadaju sve moguće vrijednosti X, ako je gustina raspodjele vjerovatnoće f(x) konstantna na ovom intervalu i jednaka je 0 van njega, tj.

0 za x≤a,

f(x)= za a<х

0 za x≥b.

Grafikon funkcije f(x) prikazan je na sl. jedan

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤a,

F(h)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(H)=.

Zadatak broj 1. Slučajna varijabla X je ravnomjerno raspoređena na segmentu. Pronađite:

a) gustinu distribucije vjerovatnoće f(x) i izgraditi njen graf;

b) funkciju distribucije F(x) i izgraditi njen graf;

c) M(X),D(X), σ(X).

Rješenje: Koristeći formule o kojima smo raspravljali, sa a=3, b=7, nalazimo:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> na 3≤h≤7,

0 za x>7

Napravimo njegov graf (slika 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 za x≤3,

F(h)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">sl.4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 za x<0,

f(h)= λe-λh na h≥0.

Funkcija distribucije slučajne varijable X, raspoređena prema eksponencijalnom zakonu, data je formulom:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ(X)=

Dakle, matematičko očekivanje i standardna devijacija eksponencijalne distribucije su međusobno jednaki.

Vjerovatnoća da će X upasti u interval (a;b) izračunava se po formuli:

R(a<Х

Zadatak broj 2. Prosječno vrijeme rada uređaja je 100 sati Pod pretpostavkom da vrijeme rada uređaja ima eksponencijalni zakon distribucije, naći:

a) gustina raspodjele vjerovatnoće;

b) funkcija distribucije;

c) vjerovatnoća da će vrijeme neometanog rada uređaja premašiti 120 sati.

Rješenje: Prema uslovu, matematička distribucija M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 za x<0,

a) f(x)= 0,01e -0,01x za x≥0.

b) F(x)= 0 za x<0,

1-e -0,01x pri x≥0.

c) Željenu vjerovatnoću nalazimo koristeći funkciju distribucije:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1.2)=e-1.2≈0.3.

§ 3.Normalni zakon distribucije

definicija: Kontinuirana slučajna varijabla X ima zakon normalne distribucije (Gausov zakon), ako njegova gustina distribucije ima oblik:

,

gdje je m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Kriva normalne distribucije se naziva normalna ili Gausova kriva (sl.7)

Normalna kriva je simetrična u odnosu na pravu liniju x=m, ima maksimum na x=a jednak .

Funkcija distribucije slučajne varijable X, raspoređena prema normalnom zakonu, izražava se kroz Laplaceovu funkciju F (h) prema formuli:

,

gdje je Laplaceova funkcija.

komentar: Funkcija F(h) je neparna (F(-h)=-F(h)), osim toga, ako je x>5, možemo smatrati F(h) ≈1/2.

Grafikon funkcije distribucije F(x) prikazan je na sl. osam

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Vjerojatnost da je apsolutna vrijednost odstupanja manja od pozitivnog broja δ izračunava se po formuli:

Konkretno, za m=0 jednakost je tačna:

"Pravilo tri sigme"

Ako slučajna varijabla X ima normalan zakon raspodjele sa parametrima m i σ, onda je praktično sigurno da njena vrijednost leži u intervalu (a-3σ; a+3σ), jer

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) Koristimo formulu:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

Prema tabeli vrednosti funkcije F(h) nalazimo F(1.5)=0.4332, F(1)=0.3413.

Dakle, željena vjerovatnoća je:

P(28

Zadaci za samostalan rad

3.1. Slučajna varijabla X je ravnomjerno raspoređena u intervalu (-3;5). Pronađite:

b) funkcija raspodjele F(x);

c) numeričke karakteristike;

d) vjerovatnoća P(4<х<6).

3.2. Slučajna varijabla X je ravnomjerno raspoređena na segmentu. Pronađite:

a) gustina distribucije f(x);

b) funkcija raspodjele F(x);

c) numeričke karakteristike;

d) vjerovatnoća R(3≤h≤6).

3.3. Na autoputu je postavljen automatski semafor na kojem je zeleno svjetlo za vozila upaljeno 2 minute, žuto 3 sekunde i crveno 30 sekundi itd. Autoput prolazi autoputem u nasumično vrijeme. Nađite vjerovatnoću da automobil prođe semafor bez zaustavljanja.

3.4. Vozovi podzemne željeznice voze redovno u intervalima od 2 minute. Putnik ulazi na platformu u nasumično vrijeme. Kolika je vjerovatnoća da će putnik morati čekati više od 50 sekundi na voz? Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable X - vrijeme čekanja voza.

3.5. Pronađite varijansu i standardnu ​​devijaciju eksponencijalne distribucije koju daje funkcija distribucije:

F(x)= 0 na x<0,

1-e-8x za x≥0.

3.6. Kontinuirana slučajna varijabla X data je gustinom raspodjele vjerovatnoće:

f(x)=0 na x<0,

0,7 e-0,7x pri x≥0.

a) Navedite zakon raspodjele razmatrane slučajne varijable.

b) Pronađite funkciju raspodjele F(X) i numeričke karakteristike slučajne varijable X.

3.7. Slučajna varijabla X distribuira se prema eksponencijalnom zakonu, datom gustinom raspodjele vjerovatnoće:

f(x)=0 na x<0,

0,4 e-0,4 x pri x≥0.

Pronađite vjerovatnoću da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost iz intervala (2,5; 5).

3.8. Kontinuirana slučajna varijabla X distribuira se prema eksponencijalnom zakonu danom funkcijom distribucije:

F(x)= 0 na x<0,

1.-0,6x na x≥0

Pronađite vjerovatnoću da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost iz intervala .

3.9. Matematičko očekivanje i standardna devijacija normalno raspoređene slučajne varijable su 8 i 2, respektivno.

a) gustina distribucije f(x);

b) vjerovatnoću da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost iz intervala (10;14).

3.10. Slučajna varijabla X je normalno raspoređena sa srednjim vrijednostima 3,5 i varijansom 0,04. Pronađite:

a) gustina distribucije f(x);

b) vjerovatnoća da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost iz intervala .

3.11. Slučajna varijabla X je normalno distribuirana sa M(X)=0 i D(X)=1. Koji od događaja: |X|≤0,6 ili |X|≥0,6 ima veću vjerovatnoću?

3.12. Slučajna varijabla X je normalno distribuirana sa M(X)=0 i D(X)=1. Iz kojeg intervala (-0,5;-0,1) ili (1;2) u jednom testu će poprimiti vrijednost sa većom vjerovatnoća?

3.13. Trenutna cijena po dionici može se modelirati korištenjem normalne distribucije sa M(X)=10den. jedinice i σ (X)=0,3 den. jedinice Pronađite:

a) verovatnoća da će trenutna cena akcije biti od 9,8 den. jedinice do 10,4 den. jedinice;

b) korištenjem "pravila tri sigme" za pronalaženje granica u kojima će se nalaziti trenutna cijena dionice.

3.14. Supstanca se vaga bez sistematskih grešaka. Slučajne greške vaganja podliježu normalnom zakonu s korijenskim srednjim kvadratnim omjerom σ=5r. Naći vjerovatnoću da se u četiri nezavisna eksperimenta greška u tri vaganja neće pojaviti u apsolutnoj vrijednosti 3r.

3.15. Slučajna varijabla X je normalno distribuirana sa M(X)=12,6. Vjerovatnoća da slučajna varijabla padne u interval (11,4;13,8) je 0,6826. Naći standardnu ​​devijaciju σ.

3.16. Slučajna varijabla X je normalno distribuirana sa M(X)=12 i D(X)=36. Pronađite interval u kojem će, sa vjerovatnoćom od 0,9973, slučajna varijabla X pasti kao rezultat testa.

3.17. Deo proizveden u automatskoj mašini smatra se neispravnim ako odstupanje X njegovog kontrolisanog parametra od nominalne vrednosti prelazi 2 merne jedinice u modulu. Pretpostavlja se da je slučajna varijabla X normalno raspoređena sa M(X)=0 i σ(X)=0,7. Koliki procenat neispravnih delova mašina daje?

3.18. Parametar detalja X je normalno distribuiran sa matematičkim očekivanjem od 2 jednakim nominalnoj vrijednosti i standardnom devijacijom od 0,014. Pronađite vjerovatnoću da odstupanje X od nominalne vrijednosti po modulu ne prelazi 1% nominalne vrijednosti.

Odgovori

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) 0 za x≤-3,

F(x)=lijevo">

3.10. a)f(x)= ,

b) R(3,1≤H≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) R(9,8≤H≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

1.2.4. Slučajne varijable i njihove distribucije

Distribucije slučajnih varijabli i funkcije distribucije. Distribucija numeričke slučajne varijable je funkcija koja na jedinstven način određuje vjerovatnoću da slučajna varijabla zauzme datu vrijednost ili da pripada nekom datom intervalu.

Prvi je ako slučajna varijabla poprimi konačan broj vrijednosti. Tada je distribucija data funkcijom P(X = x), dajući svaku moguću vrijednost X slučajna varijabla X vjerovatnoća da X = x.

Drugi je ako slučajna varijabla poprimi beskonačno mnogo vrijednosti. Ovo je moguće samo kada se prostor vjerovatnoće na kojem je definirana slučajna varijabla sastoji od beskonačnog broja elementarnih događaja. Tada je distribucija data skupom vjerovatnoća P(a < X za sve parove brojeva a, b takav da a . Distribucija se može specificirati korištenjem tzv. funkcija raspodjele F(x) = P(X definisanje za sve realno X vjerovatnoća da je slučajna varijabla X uzima vrijednosti manje od X. To je jasno