Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina jedan je od glavnih problema linearne algebre. Ovaj zadatak je od velike praktične važnosti u rješavanju naučno-tehničkih problema, osim toga, pomoćni je u implementaciji mnogih algoritama računske matematike, matematičke fizike i obradi rezultata eksperimentalnih studija.

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi naziva se sistem jednačina oblika: (1)

gdje – nepoznato; - besplatni članovi.

Rješavanje sistema jednačina(1) imenovati bilo koji skup brojeva koji se stavljaju u sistem (1) umjesto nepoznatog pretvara sve jednačine sistema u prave numeričke jednakosti.

Sistem jednačina se zove joint ako ima barem jedno rješenje, i nekompatibilno ako nema rješenja.

Zajednički sistem jednačina se zove siguran ako ima jedno jedino rješenje, i neizvjesno ako ima najmanje dva različita rješenja.

Zovu se dva sistema jednačina ekvivalentan ili ekvivalentan ako imaju isti skup rješenja.

Sistem (1) se poziva homogena ako su slobodni termini jednaki nuli:

Homogeni sistem je uvijek konzistentan – ima rješenje (možda ne i jedino).

Ako je u sistemu (1) , onda imamo sistem n linearne jednačine With n nepoznato: gde – nepoznato; su koeficijenti za nepoznate, - besplatni članovi.

Linearni sistem može imati jedno rješenje, beskonačno mnogo rješenja ili nijedno.

Razmotrimo sistem od dvije linearne jednačine sa dvije nepoznate

Ako tada sistem ima jedinstveno rješenje;

ako tada sistem nema rješenja;

ako tada sistem ima beskonačan broj rješenja.

Primjer. Sistem ima jedinstveno rješenje za par brojeva

Sistem ima beskonačan broj rješenja. Na primjer, rješenja ovog sistema su parovi brojeva i tako dalje.

Sistem nema rješenja, jer razlika dva broja ne može imati dvije različite vrijednosti.

Definicija. Odrednica drugog reda nazvan izrazom kao što je:

Odrednicu označiti simbolom D.

Brojevi a 11, …, a 22 se nazivaju determinantni elementi.

Dijagonala formirana elementima a 11 ; a 22 poziv glavni, dijagonala koju čine elementi a 12 ; a 21 − strana.

Dakle, determinanta drugog reda jednaka je razlici između proizvoda elemenata glavne i sekundarne dijagonale.

Imajte na umu da je odgovor broj.

Primjer. Izračunajmo determinante:

Razmotrimo sistem od dvije linearne jednačine sa dvije nepoznate: gdje X 1, X 2 – nepoznato; a 11 , …, a 22 - koeficijenti za nepoznate, b 1 ,b 2 - besplatni članovi.

Ako sistem od dvije jednadžbe u dvije nepoznate ima jedinstveno rješenje, onda se ono može pronaći pomoću determinanti drugog reda.

Definicija. Determinanta, sastavljena od koeficijenata nepoznatih, naziva se kvalifikator sistema: D=.

Kolone determinante D su koeficijenti za X 1 i at , X 2. Hajde da predstavimo dva dodatne odrednice, koji se dobijaju iz determinante sistema zamenom jednog od kolona sa kolonom slobodnih članova: D 1 = D 2 = .

Teorema 14(Cramer, za slučaj n=2). Ako je determinanta D sistema različita od nule (D¹0), onda sistem ima jedinstveno rešenje, koje se nalazi po formulama:

Ove formule se nazivaju Cramerove formule.

Primjer. Sistem rješavamo prema Cramerovom pravilu:

Rješenje. Hajde da nađemo brojeve

Odgovori.

Definicija. Odrednica trećeg reda nazvan izrazom kao što je:

Elementi a 11; a 22 ; a 33 - formira glavnu dijagonalu.

Brojevi a 13; a 22 ; a 31 - formira bočnu dijagonalu.

Unos sa plusom uključuje: umnožak elemenata na glavnoj dijagonali, preostala dva člana su proizvod elemenata koji se nalaze na vrhovima trouglova sa bazama paralelnim sa glavnom dijagonalom. Pojmovi sa minusom formiraju se na isti način u odnosu na sekundarnu dijagonalu.

Primjer. Izračunajmo determinante:

Razmotrimo sistem od tri linearne jednačine sa tri nepoznate: gdje – nepoznato; su koeficijenti za nepoznate, - besplatni članovi.

U slučaju jedinstvenog rješenja, sistem od 3 linearne jednadžbe sa tri nepoznate može se riješiti korištenjem determinanti trećeg reda.

Determinanta sistema D ima oblik:

Uvodimo tri dodatne determinante:

Teorema 15(Cramer, za slučaj n=3). Ako je determinanta D sistema različita od nule, onda sistem ima jedinstveno rješenje, koje se nalazi pomoću Cramerove formule:

Primjer. Rešimo sistem koristeći Cramerovo pravilo.

Rješenje. Hajde da nađemo brojeve

Koristimo Cramerove formule i pronađimo rješenje za originalni sistem:

Odgovori.

Imajte na umu da je Cramerova teorema primjenjiva kada je broj jednačina jednak broju nepoznanica i kada je determinanta sistema D različita od nule.

Ako je determinanta sistema jednaka nuli, onda u ovom slučaju sistem možda nema rješenja ili ima beskonačan broj rješenja. Ovi slučajevi se posebno proučavaju.

Napominjemo samo jedan slučaj. Ako je determinanta sistema jednaka nuli (D=0), a barem jedna od dodatnih determinanti je različita od nule, onda sistem nema rješenja, odnosno nedosljedan je.

Cramerova teorema se može generalizirati na sistem n linearne jednačine sa n nepoznato: gde – nepoznato; su koeficijenti za nepoznate, - besplatni članovi.

Ako je determinanta sistema linearnih jednadžbi sa nepoznanicama, onda se jedino rješenje sistema nalazi pomoću Cramerove formule:

Dodatna determinanta se dobija iz determinante D ako sadrži kolonu koeficijenata za nepoznatu x i zamijeniti kolonom slobodnih članova.

Imajte na umu da su determinante D, D 1 , … , D n imati reda n.

Gausova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina

Jedna od najčešćih metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina je metoda sukcesivnog eliminisanja nepoznatih. −Gaussova metoda. Ova metoda je generalizacija metode zamjene i sastoji se u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih sve dok ne ostane jedna jednačina sa jednom nepoznatom.

Metoda se zasniva na nekim transformacijama sistema linearnih jednadžbi, kao rezultat kojih se dobija sistem koji je ekvivalentan originalnom sistemu. Algoritam metode se sastoji od dvije faze.

Prva faza se zove u pravoj liniji Gaussova metoda. Sastoji se od uzastopnog eliminisanja nepoznatih iz jednačina. Da bi se to postiglo, u prvom koraku, prva jednačina sistema se deli sa (u suprotnom, jednačine sistema se permutuju). Koeficijenti rezultirajuće redukovane jednačine se označavaju, pomnože sa koeficijentom i oduzmu od druge jednačine sistema, čime se iz druge jednačine isključuju (koeficijent nulti).

Ostale jednačine se tretiraju slično i dobija se novi sistem u čijim se jednačinama, počevši od druge, koeficijenti at sadrže samo nule. Očigledno, rezultat novi sistem, biće ekvivalentan originalnom sistemu.

Ako novi koeficijenti, na , nisu svi jednaki nuli, možemo ih eliminirati iz treće i sljedećih jednačina na isti način. Nastavljajući ovu operaciju za sljedeće nepoznanice, sistem se dovodi u takozvani trokutni oblik:

Ovdje simboli i označavaju numeričke koeficijente i slobodne termine koji su se promijenili kao rezultat transformacija.

Iz posljednje jednačine sistema jedini način odrediti , a zatim uzastopnom zamjenom - preostale nepoznanice.

Komentar. Ponekad se, kao rezultat transformacija, u bilo kojoj od jednadžbi svi koeficijenti i desna strana okreću na nulu, odnosno jednačina se pretvara u identičnost 0=0. Isključivanjem takve jednačine iz sistema, broj jednačina se smanjuje u poređenju sa brojem nepoznatih. Takav sistem ne može imati jedinstveno rješenje.

Ako se u procesu primjene Gaussove metode bilo koja jednačina pretvori u jednakost oblika 0=1 (koeficijenti za nepoznate se pretvaraju u 0, a desna strana uzima vrijednost različitu od nule), tada originalni sistem nema rješenje, budući da je takva jednakost netačna za sve nepoznate vrijednosti.

Razmotrimo sistem od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate:

gdje – nepoznato; su koeficijenti za nepoznate, - besplatni članovi. , zamjenjujući pronađeno

Rješenje. Primenom Gausove metode na ovaj sistem dobijamo

Otuda je posljednja jednakost netačna za bilo koju vrijednost nepoznanica, dakle, sistem nema rješenja.

Odgovori. Sistem nema rješenja.

Imajte na umu da se prethodno razmatrana Cramerova metoda može koristiti za rješavanje samo onih sistema u kojima se broj jednačina poklapa sa brojem nepoznatih, a determinanta sistema mora biti različita od nule. Gaussova metoda je univerzalnija i pogodna je za sisteme s bilo kojim brojem jednačina.

matrični oblik

Sistem linearnih jednačina može se predstaviti u matričnom obliku kao:

ili, prema pravilu množenja matrice,

AX = B.

Ako se kolona slobodnih termina doda matrici A, tada se A naziva proširena matrica.

Metode rješenja

Direktne (ili egzaktne) metode vam omogućavaju da pronađete rješenje u određenom broju koraka. Iterativne metode se zasnivaju na upotrebi iterativnog procesa i omogućavaju vam da dobijete rješenje kao rezultat uzastopnih aproksimacija

Direktne metode

• Sweep metoda (za tridijagonalne matrice)
• Cholesky dekompozicija ili metoda kvadratni korijeni(za pozitivno-definirane simetrične i hermitove matrice)

Iterativne metode

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina u VBA

Opcija Explicit Sub rewenie() Dim i As Integer Dim j As Integer Dim r() Kao Double Dim p Kao Double Dim x() Kao Double Dim k Kao Integer Dim n Kao Integer Dim b() Kao Double Dim datoteka Kao Integer Dim y () Kao dupli fajl = FreeFile Otvori "C:\data.txt" Za unos Kao fajl Ulaz #file, n ReDim x(0 Do n * n - 1 ) Kao Double ReDim y(0 do n - 1 ) Kao Double ReDim r(0 Do n - 1 ) Kao duplo Za i = 0 Do n - 1 Za j = 0 Do n - 1 Ulaz #fajl, x(i * n + j) Sljedeći j Ulaz #fajl, y(i) Sljedeći i Zatvori #file Za i = 0 Do n - 1 p = x(i * n + i) Za j = 1 Do n - 1 x(i * n + j) = x(i * n + j) / p Sljedeće j y (i) = y(i) / p Za j = i + 1 do n - 1 p = x(j * n + i) Za k = i Do n - 1 x(j * n + k) = x(j * n + k) - x(i * n + k) * p Sledeći k y(j) = y(j) - y(i) * p Sledeći j Sledeći i " Gornja trokutasta matrica Za i = n - 1 Do 0 Korak -1 p = y(i) Za j = i + 1 Do n - 1 p = p - x(i * n + j) * r(j) Sljedeći j r(i) = p / x(i * n + i) Sljedeći i " Povratak Za i = 0 Do n - 1 MsgBox r(i) Sljedeći i "end sub

vidi takođe

Linkovi

Bilješke

Wikimedia Foundation. 2010 .

Pogledajte šta je "SLAU" u drugim rječnicima:

SLAU- sistem linearnih algebarskih jednadžbi ... Rječnik skraćenica i skraćenica

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Slough (značenja). Grad i jedinica Slough Engl. Slough Country ... Wikipedia

- (Slough) grad u UK, dio industrijskog pojasa koji okružuje Veliki London, na željeznica London Bristol. 101,8 hiljada stanovnika (1974). Mašinstvo, elektrotehnika, elektronika, automobilska i hemijska ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Slough- (Slough)Slough, industrijski i komercijalni grad u Berkshireu, na jugu. Engleska, zapadno od Londona; 97.400 stanovnika (1981.); laka industrija se počela razvijati u periodu između svjetskih ratova... Zemlje svijeta. Rječnik

Slough: Slough je grad u Engleskoj, u okrugu Berkshire SLAU Sistem linearnih algebarskih jednadžbi ... Wikipedia

Komuna Röslau Röslau Grb ... Wikipedia

Grad Bad Vöslau Bad Vöslau Grb ... Wikipedia

Metode projekcije za rješavanje SLAE su klasa iterativnih metoda u kojima se problem projektiranja nepoznatog vektora na određeni prostor rješava optimalno u odnosu na neki drugi prostor. Sadržaj 1 Izjava o problemu ... Wikipedia

Grad Bad Vöslau Bad Vöslau Država AustrijaAustrija ... Wikipedia

Osnovni sistem rješenja (FSR) je skup linearno nezavisnih rješenja homogenog sistema jednačina. Sadržaj 1 Homogeni sistemi 1.1 Primer 2 Heterogeni sistemi ... Wikipedia

Knjige

• Direktni i inverzni problemi rekonstrukcije slike, spektroskopije i tomografije sa MatLabom (+CD), Sizikov Valerij Sergejevič. Knjiga opisuje upotrebu aparata integralne jednačine(SI), sistemi linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) i sistemi linearno-nelinearnih jednadžbi (SLNU), kao i softverski alati...

Primjer 1. Naći opće rješenje i neko posebno rješenje sistema

Rješenje uradite to pomoću kalkulatora. Zapisujemo proširene i glavne matrice:

Isprekidanom linijom odvaja se glavna matrica A. Odozgo zapisujemo nepoznate sisteme, imajući u vidu moguću permutaciju članova u jednačinama sistema. Određujući rang proširene matrice, istovremeno nalazimo i rang glavne. U matrici B, prvi i drugi stupac su proporcionalni. Od dva proporcionalna stupca samo jedan može pasti u osnovni mol, pa pomaknimo, na primjer, prvi stupac iza isprekidane linije sa suprotnim predznakom. Za sistem, to znači prijenos članova sa x 1 na desnu stranu jednačine.

Dovodimo matricu u trouglasti oblik. Radit ćemo samo sa redovima, jer množenje reda matrice brojem koji nije nula i dodavanje u drugi red za sistem znači množenje jednačine istim brojem i dodavanje drugoj jednačini, što ne mijenja rješenje sistema . Rad s prvim redom: pomnožite prvi red matrice sa (-3) i dodajte redom drugi i treći red. Zatim pomnožimo prvi red sa (-2) i dodamo ga četvrtom.

Drugi i treći red su proporcionalni, pa se jedan od njih, na primjer drugi, može precrtati. Ovo je ekvivalentno brisanju druge jednačine sistema, jer je posledica treće.

Sada radimo s drugom linijom: pomnožite je sa (-1) i dodajte trećoj.

Maloljetnik, zaokružen isprekidanom linijom, ima najviši red(od mogućih minora) i različit je od nule (jednak je proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali), a ovaj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, pa je rangA = rangB = 3 .
Minor je osnovno. Uključuje koeficijente za nepoznate x 2, x 3, x 4, što znači da su nepoznati x 2, x 3, x 4 zavisni, a x 1, x 5 slobodni.
Transformišemo matricu, ostavljajući samo osnovni minor sa leve strane (što odgovara tački 4 gornjeg algoritma rešenja).

Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik

Metodom eliminacije nepoznatih nalazimo:
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 2, x 3, x 4 kroz slobodne x 1 i x 5, odnosno našli smo opšte rešenje:

Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobijamo bilo koji broj konkretnih rješenja. Nađimo dva konkretna rješenja:
1) neka je x 1 = x 5 = 0, tada je x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) stavite x 1 = 1, x 5 = -1, zatim x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Tako smo pronašli dva rješenja: (0,1, -3,3,0) - jedno rješenje, (1,4, -7,7, -1) - drugo rješenje.

Primjer 2. Istražiti kompatibilnost, pronaći opšte i jedno posebno rješenje sistema

Rješenje. Preuredimo prvu i drugu jednačinu tako da u prvoj jednačini imamo jedinicu i napišemo matricu B.

Dobijamo nule u četvrtoj koloni, koja radi u prvom redu:

Sada uzmite nule u trećoj koloni koristeći drugi red:

Treći i četvrti red su proporcionalni, tako da se jedan od njih može precrtati bez promjene ranga:
Pomnožite treći red sa (-2) i dodajte četvrtom:

Vidimo da su rangovi glavne i proširene matrice 4, a rang se poklapa sa brojem nepoznatih, stoga sistem ima jedinstveno rješenje:
-x 1 = -3 → x 1 = 3; x 2 = 3-x 1 → x 2 = 0; x 3 = 1-2x 1 → x 3 \u003d 5.
x 4 = 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 = 11.

Primjer 3. Ispitajte kompatibilnost sistema i pronađite rješenje ako postoji.

Rješenje. Sastavljamo proširenu matricu sistema.

Preuredite prve dvije jednadžbe tako da u gornjem lijevom uglu bude 1:
Pomnožeći prvi red sa (-1), dodajemo ga trećem:

Pomnožite drugi red sa (-2) i dodajte trećem:

Sistem je nekonzistentan, jer je glavna matrica dobila red koji se sastoji od nula, koji se precrtava kada se rang pronađe, a posljednji red ostaje u proširenoj matrici, odnosno r B > r A .

Vježbajte. Istraživanja ovaj sistem jednadžbe kompatibilnosti i riješiti ih pomoću matričnog računa.
Rješenje

Primjer. Dokazati kompatibilnost sistema linearnih jednačina i rešiti je na dva načina: 1) Gaussovom metodom; 2) Cramerova metoda. (odgovor unesite u obliku: x1,x2,x3)
Rješenje :doc :doc :xls
odgovor: 2,-1,3.

Primjer. Dat je sistem linearnih jednačina. Dokažite njegovu kompatibilnost. Pronađite opšte rešenje sistema i jedno posebno rešenje.
Rješenje
odgovor: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Vježbajte. Pronađite opšta i posebna rješenja za svaki sistem.
Rješenje. Ovaj sistem proučavamo koristeći Kronecker-Capelli teorem.
Zapisujemo proširene i glavne matrice:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x2	x 3	x4	x5

Ovdje je matrica A podebljana.
Dovodimo matricu u trouglasti oblik. Radit ćemo samo sa redovima, jer množenje reda matrice brojem koji nije nula i dodavanje u drugi red za sistem znači množenje jednačine istim brojem i dodavanje drugoj jednačini, što ne mijenja rješenje sistema .
Pomnožite 1. red sa (3). Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajmo 2. red na 1.:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Pomnožite 2. red sa (2). Pomnožite treći red sa (-3). Dodajmo 3. red u 2.:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajmo 2. red na 1.:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Izabrani minor ima najveći red (među mogućim minorima) i različit je od nule (jednak je umnošku elemenata na recipročnoj dijagonali), a ovaj minor pripada i glavnoj i proširenoj matrici, stoga rangiran( A) = rang(B) = 3 Pošto je rang glavne matrice jednak rangu onda produženo sistem je kolaborativni.
Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznate x 1, x 2, x 3, što znači da su nepoznati x 1, x 2, x 3 zavisni (osnovni), a x 4, x 5 slobodni.
Transformišemo matricu, ostavljajući samo osnovni mol sa leve strane.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x2	x 3		x4	x5

Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Metodom eliminacije nepoznatih nalazimo:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1, x 2, x 3 kroz slobodne x 4, x 5, tj. zajednička odluka:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
neizvjesno, jer ima više od jednog rješenja.

Vježbajte. Riješite sistem jednačina.
Odgovori:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Dajući proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobijamo bilo koji broj konkretnih rješenja. Sistem je neizvjesno

Čak iu školi svako od nas je učio jednačine i, sigurno, sisteme jednačina. Ali malo ljudi zna da postoji nekoliko načina za njihovo rješavanje. Danas ćemo detaljno analizirati sve metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina, koji se sastoje od više od dvije jednakosti.

Priča

Danas je poznato da je umjetnost rješavanja jednačina i njihovih sistema nastala u starom Babilonu i Egiptu. Međutim, jednakosti u svom uobičajenom obliku pojavile su se nakon pojave znaka jednakosti "=", koji je 1556. godine uveo engleski matematičar Record. Inače, ovaj znak je izabran s razlogom: označava dva paralelna jednaka segmenta. A istina je najbolji primjer jednakost se ne može zamisliti.

Osnivač modernih slovnih oznaka nepoznanica i znakova stupnjeva je francuski matematičar, ali su se njegove oznake bitno razlikovale od današnjih. Na primjer, kvadrat nepoznat datum označio je slovo Q (lat. "quadratus"), a kocku - slovo C (lat. "cubus"). Ove oznake sada izgledaju nespretno, ali tada je to bio najrazumljiviji način za pisanje sistema linearnih algebarskih jednačina.

Međutim, nedostatak tadašnjih metoda rješavanja bio je to što su matematičari razmatrali samo pozitivne korijene. Možda je to zbog činjenice da negativne vrijednosti nisu imale praktičnu upotrebu. Na ovaj ili onaj način, italijanski matematičari Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano i Rafael Bombelli bili su ti koji su prvi razmotrili negativne korijene u 16. vijeku. ALI moderan izgled, metoda glavnog rješenja (kroz diskriminanta) nastala je tek u 17. vijeku zahvaljujući radu Descartesa i Newtona.

Sredinom 18. stoljeća, švicarski matematičar Gabriel Cramer pronašao je novi način da olakša rješavanje sistema linearnih jednačina. Ova metoda je naknadno dobila ime po njemu i do danas je koristimo. Ali o Cramerovoj metodi ćemo govoriti nešto kasnije, ali za sada ćemo raspravljati o linearnim jednadžbama i metodama za njihovo rješavanje odvojeno od sistema.

Linearne jednadžbe

Linearne jednačine su najjednostavnije jednakosti sa varijablama. Klasifikovani su kao algebarski. upiši opšti pogled dakle: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b. Njihova reprezentacija u ovom obliku će nam biti potrebna prilikom daljeg kompajliranja sistema i matrica.

Sistemi linearnih algebarskih jednadžbi

Definicija ovog pojma je sljedeća: to je skup jednačina koje su zajedničke nepoznate količine i opšte rešenje. U pravilu se u školi sve rješavalo sistemima sa dvije ili čak tri jednačine. Ali postoje sistemi sa četiri ili više komponenti. Hajde da prvo shvatimo kako ih zapisati tako da ih kasnije bude zgodno riješiti. Prvo, sistemi linearnih algebarskih jednačina će izgledati bolje ako su sve varijable zapisane kao x sa odgovarajućim indeksom: 1,2,3, itd. Drugo, sve jednačine treba dovesti u kanonski oblik: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Nakon svih ovih radnji, možemo početi razgovarati o tome kako pronaći rješenje za sisteme linearnih jednačina. Matrice su veoma korisne za ovo.

matrice

Matrica je tabela koja se sastoji od redova i stupaca, a na njihovom presjeku su njeni elementi. To mogu biti ili određene vrijednosti ili varijable. Najčešće, za označavanje elemenata, ispod njih se stavljaju indeksi (na primjer, 11 ili 23). Prvi indeks označava broj reda, a drugi broj kolone. Na matricama, kao i na bilo kojem drugom matematičkom elementu, možete izvoditi razne operacije. Dakle, možete:

2) Pomnožite matricu nekim brojem ili vektorom.

3) Transponiranje: pretvorite redove matrice u stupce i stupce u redove.

4) Pomnožite matrice ako je broj redova jedne od njih jednak broju kolona druge.

O svim ovim tehnikama ćemo detaljnije razgovarati, jer će nam biti od koristi u budućnosti. Oduzimanje i sabiranje matrica je vrlo jednostavno. Pošto uzimamo matrice iste veličine, svaki element jedne tabele odgovara svakom elementu druge. Dakle, dodajemo (oduzimamo) ova dva elementa (važno je da se nalaze na istim mjestima u svojim matricama). Kada množite matricu brojem ili vektorom, jednostavno trebate pomnožiti svaki element matrice tim brojem (ili vektorom). Transpozicija je veoma interesantan proces. Ponekad ga je veoma interesantno videti unutra pravi zivot, na primjer, kada promijenite orijentaciju tableta ili telefona. Ikone na radnoj površini su matrica, a kada promijenite poziciju, ona se transponira i postaje šira, ali se smanjuje u visini.

Hajde da analiziramo takav proces kao što je Iako nam neće biti od koristi, ipak će biti korisno znati ga. Možete pomnožiti dvije matrice samo ako je broj stupaca u jednoj tablici jednak broju redova u drugoj. Sada uzmimo elemente reda jedne matrice i elemente odgovarajuće kolone druge. Pomnožimo ih jedno s drugim, a zatim ih saberemo (to jest, na primjer, proizvod elemenata a 11 i a 12 sa b 12 i b 22 će biti jednak: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Tako se dobija jedan element tabele, koji se dalje popunjava na sličan način.

Sada možemo početi razmatrati kako se rješava sistem linearnih jednačina.

Gaussova metoda

Ova tema počinje u školi. Dobro poznajemo pojam "sistema dvije linearne jednačine" i znamo kako ih riješiti. Ali šta ako je broj jednačina veći od dvije? Ovo će nam pomoći

Naravno, ovu metodu je zgodno koristiti ako od sistema napravite matricu. Ali ne možete ga transformirati i riješiti u njegovom čistom obliku.

Dakle, kako se sistem linearnih Gausovih jednačina rješava ovom metodom? Inače, iako je ova metoda nazvana po njemu, otkrivena je u davna vremena. Gauss predlaže sljedeće: izvršiti operacije s jednačinama kako bi se na kraju cijeli skup sveo na stepenasti oblik. Odnosno, potrebno je da se od vrha do dna (ako je pravilno postavljena) od prve do posljednje jednadžbe smanjuje jedna nepoznata. Drugim riječima, trebamo se pobrinuti da dobijemo, recimo, tri jednačine: u prvoj - tri nepoznate, u drugoj - dvije, u trećoj - jednu. Zatim iz posljednje jednačine nalazimo prvu nepoznatu, zamjenjujemo njenu vrijednost u drugu ili prvu jednačinu, a zatim pronalazimo preostale dvije varijable.

Cramer metoda

Da biste savladali ovu metodu, od vitalnog je značaja savladati veštine sabiranja, oduzimanja matrica, a takođe morate biti u stanju da pronađete determinante. Stoga, ako sve ovo radite loše ili uopće ne znate kako, morat ćete učiti i vježbati.

Šta je suština ove metode i kako je napraviti tako da se dobije sistem linearnih Cramerovih jednačina? Sve je vrlo jednostavno. Moramo da konstruišemo matricu iz numeričkih (skoro uvek) koeficijenata sistema linearnih algebarskih jednačina. Da bismo to uradili, jednostavno uzimamo brojeve ispred nepoznatih i stavljamo ih u tabelu onim redom kojim su zapisani u sistemu. Ako ispred broja stoji znak "-", tada zapisujemo negativan koeficijent. Dakle, sastavili smo prvu matricu koeficijenata nepoznanica, ne uključujući brojeve iza znakova jednakosti (prirodno, jednačinu treba svesti na kanonski oblik, kada je samo broj na desnoj strani, a sve nepoznate sa koeficijenti su na lijevoj strani). Zatim morate kreirati još nekoliko matrica - po jednu za svaku varijablu. Da bismo to učinili, u prvoj matrici, zauzvrat, zamjenjujemo svaki stupac koeficijentima sa stupcem brojeva iza znaka jednakosti. Tako dobijamo nekoliko matrica i zatim pronalazimo njihove determinante.

Nakon što smo pronašli determinante, stvar je mala. Imamo početnu matricu, a postoji nekoliko rezultirajućih matrica koje odgovaraju različitim varijablama. Da bismo dobili rješenja sistema, determinantu rezultujuće tablice podijelimo sa determinantom početne tablice. Rezultirajući broj je vrijednost jedne od varijabli. Slično, nalazimo sve nepoznanice.

Druge metode

Postoji još nekoliko metoda za dobijanje rešenja sistema linearnih jednačina. Na primjer, takozvana Gauss-Jordan metoda, koja se koristi za pronalaženje rješenja za sistem kvadratne jednačine a takođe se odnosi na upotrebu matrica. Postoji i Jacobijeva metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina. Najlakše se prilagođava računaru i koristi se u računarskoj tehnici.

Teški slučajevi

Složenost obično nastaje kada je broj jednačina manji od broja varijabli. Tada možemo sa sigurnošću reći da je sistem ili nekonzistentan (odnosno da nema korijena), ili da broj njegovih rješenja teži beskonačnosti. Ako imamo drugi slučaj, onda treba da zapišemo opšte rešenje sistema linearnih jednačina. Sadržat će barem jednu varijablu.

Zaključak

Evo dolazimo do kraja. Da rezimiramo: analizirali smo šta su sistem i matrica, naučili kako da pronađemo opšte rešenje za sistem linearnih jednačina. Osim toga, razmatrane su i druge opcije. Saznali smo kako se rješava sistem linearnih jednačina: Gaussova metoda i Razgovarali smo o teškim slučajevima i drugim načinima za pronalaženje rješenja.

Zapravo, ova tema je mnogo opsežnija, a ako je želite bolje razumjeti, savjetujemo vam da pročitate više specijalizovane literature.

Sistem linearnih jednačina je unija od n linearnih jednačina, od kojih svaka sadrži k varijabli. Napisano je ovako:

Mnogi, kada se prvi put suoče s višom algebrom, pogrešno vjeruju da se broj jednačina nužno mora podudarati s brojem varijabli. U školskoj algebri to je obično slučaj, ali za višu algebru to, općenito govoreći, nije istina.

Rješenje sistema jednačina je niz brojeva (k 1 , k 2 , ..., k n ), koji je rješenje svake jednačine sistema, tj. pri zamjeni u ovu jednačinu umjesto varijabli x 1 , x 2 , ..., x n daje tačnu numeričku jednakost.

Prema tome, riješiti sistem jednačina znači pronaći skup svih njegovih rješenja ili dokazati da je ovaj skup prazan. Budući da broj jednačina i broj nepoznatih možda nisu isti, moguća su tri slučaja:

1. Sistem je nekonzistentan, tj. skup svih rješenja je prazan. Prilično rijedak slučaj koji se lako otkriva bez obzira na to kojom metodom se sistem rješava.
2. Sistem je konzistentan i definisan, tj. ima tačno jedno rešenje. Klasična verzija, poznata još od škole.
3. Sistem je konzistentan i nedefinisan, tj. ima beskonačno mnogo rješenja. Ovo je najteža opcija. Nije dovoljno reći da "sistem ima beskonačan skup rješenja" - potrebno je opisati kako je taj skup uređen.

Varijabla x i se naziva dozvoljenom ako je uključena u samo jednu jednačinu sistema, i to sa koeficijentom 1. Drugim riječima, u preostalim jednačinama koeficijent za varijablu x i mora biti jednak nuli.

Ako u svakoj jednačini odaberemo jednu dozvoljenu varijablu, dobićemo skup dozvoljenih varijabli za cijeli sistem jednačina. Sam sistem, napisan u ovom obliku, takođe će se zvati dozvoljenim. Uopšteno govoreći, jedan te isti početni sistem može se svesti na različite dozvoljene sisteme, ali nas to sada ne zanima. Evo primjera dozvoljenih sistema:

Oba sistema su dozvoljena u odnosu na varijable x 1 , x 3 i x 4 . Međutim, sa istim uspjehom može se tvrditi da je drugi sistem dozvoljen u odnosu na x 1 , x 3 i x 5 . Dovoljno je prepisati najnoviju jednačinu u obliku x 5 = x 4 .

Sada razmotrite opštiji slučaj. Pretpostavimo da imamo k varijabli ukupno, od kojih je r dozvoljeno. Tada su moguća dva slučaja:

1. Broj dozvoljenih varijabli r jednak je ukupnom broju varijabli k: r = k. Dobijamo sistem od k jednačina u kojem je r = k dozvoljenih varijabli. Takav sistem je kolaborativan i određen, jer x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Broj dozvoljenih varijabli r je manji od ukupan broj varijable k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Dakle, u gornjim sistemima varijable x 2 , x 5 , x 6 (za prvi sistem) i x 2 , x 5 (za drugi) su slobodne. Slučaj kada postoje slobodne varijable bolje je formulirati kao teorem:

Imajte na umu: ovo je veoma važna tačka! U zavisnosti od toga kako pišete konačni sistem, ista varijabla može biti i dozvoljena i slobodna. Većina naprednih nastavnika matematike preporučuje pisanje varijabli leksikografskim redom, tj. rastući indeks. Međutim, ne morate uopće slijediti ovaj savjet.

Teorema. Ako su u sistemu od n jednačina varijable x 1 , x 2 , ..., x r dozvoljene, a x r + 1 , x r + 2 , ..., x k su slobodne, tada:

1. Ako postavimo vrijednosti slobodnih varijabli (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), a zatim pronađemo vrijednosti x 1 , x 2 , . .., x r , dobijamo jedno od rješenja.
2. Ako su vrijednosti slobodnih varijabli u dva rješenja iste, onda su i vrijednosti dozvoljenih varijabli iste, tj. rješenja su jednaka.

Šta je značenje ove teoreme? Da bi se dobila sva rješenja dozvoljenog sistema jednačina, dovoljno je izdvojiti slobodne varijable. Tada ćemo, dodjeljujući različite vrijednosti slobodnim varijablama, dobiti gotova rješenja. To je sve - na ovaj način možete dobiti sva rješenja sistema. Drugih rješenja nema.

Zaključak: dozvoljeni sistem jednačina je uvijek kompatibilan. Ako je broj jednačina u dozvoljenom sistemu jednak broju varijabli, sistem će biti određen, a ako je manji, biće neodređen.

I sve bi bilo u redu, ali postavlja se pitanje: kako iz originalnog sistema jednačina dobiti riješeno? Za ovo postoji