Za rad sa konceptom ranga matrice potrebne su nam informacije iz teme "Algebarski komplementi i minori. Vrste minora i algebarski komplementi" . Prije svega, radi se o pojmu "matrix minor", jer ćemo rang matrice odrediti upravo kroz minore.

Matrični rang navedite maksimalni red njegovih minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli.

Ekvivalentne matrice su matrice čiji su rangovi međusobno jednaki.

Hajde da objasnimo detaljnije. Pretpostavimo da postoji barem jedan među minorima drugog reda koji je različit od nule. I svi minori, čiji je red veći od dva, jednaki su nuli. Zaključak: rang matrice je 2. Ili, na primjer, među minorima desetog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli. I svi minori, čiji je red veći od 10, jednaki su nuli. Zaključak: rang matrice je 10.

Rang matrice $A$ označava se na sljedeći način: $\rang A$ ili $r(A)$. Rang nulte matrice $O$ je postavljen jednak nuli, $\rang O=0$. Da vas podsjetim da je za formiranje minora matrice potrebno precrtati redove i stupce, ali je nemoguće precrtati više redova i stupaca nego što sadrži sama matrica. Na primjer, ako matrica $F$ ima veličinu $5\puta 4$ (tj. sadrži 5 redaka i 4 stupca), tada je maksimalni redoslijed njenih minora četiri. Više neće biti moguće formirati minore petog reda, jer će za njih biti potrebno 5 kolona (a mi imamo samo 4). To znači da rang matrice $F$ ne može biti veći od četiri, tj. $\rang F≤4$.

U opštijem obliku, gore navedeno znači da ako matrica sadrži $m$ redova i $n$ kolona, ​​tada njen rang ne može premašiti najmanji od brojeva $m$ i $n$, tj. $\rang A≤\min(m,n)$.

U principu, način njegovog pronalaženja proizlazi iz same definicije ranga. Proces pronalaženja ranga matrice po definiciji može se shematski predstaviti na sljedeći način:

Dozvolite mi da objasnim ovaj dijagram detaljnije. Počnimo sa rasuđivanjem od samog početka, tj. sa minorima prvog reda neke matrice $A$.

1. Ako su svi minori prvog reda (tj. elementi matrice $A$) jednaki nuli, onda je $\rang A=0$. Ako među minorima prvog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 1$. Prelazimo na provjeru maloljetnika drugog reda.
2. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, onda je $\rang A=1$. Ako među minorima drugog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 2$. Prelazimo na provjeru maloljetnika trećeg reda.
3. Ako su svi minori trećeg reda jednaki nuli, onda je $\rang A=2$. Ako među minorima trećeg reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 3$. Pređimo na provjeru maloljetnika četvrtog reda.
4. Ako su svi minori četvrtog reda jednaki nuli, onda je $\rang A=3$. Ako postoji barem jedan minor koji nije nula četvrtog reda, onda je $\rang A≥ 4$. Prelazimo na verifikaciju maloletnika petog reda i tako dalje.

Šta nas čeka na kraju ove procedure? Moguće je da među minorima k-tog reda postoji barem jedan koji je različit od nule, a svi minori (k + 1)-og reda će biti jednaki nuli. To znači da je k maksimalni red minora među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tj. rang će biti jednak k. Može biti i drugačija situacija: među minorima k-tog reda će biti barem jedan koji nije jednak nuli, a minori (k + 1)-og reda se ne mogu formirati. U ovom slučaju, rang matrice je također jednak k. Ukratko govoreći, red zadnjeg sastavljenog minora različitog od nule i biće jednak rangu matrice.

Pređimo na primjere u kojima će proces pronalaženja ranga matrice po definiciji biti jasno ilustrovan. Još jednom naglašavam da ćemo u primjerima ove teme pronaći rang matrica koristeći samo definiciju ranga. Ostale metode (izračunavanje ranga matrice metodom graničnih minora, izračunavanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija) razmatraju se u narednim temama.

Inače, uopšte nije potrebno pokretati proceduru za pronalaženje ranga od maloljetnika najmanjeg reda, kao što je to učinjeno u primjerima br. 1 i br. 2. Možete odmah ići na maloljetnike višeg reda (vidi primjer br. 3).

Primjer #1

Pronađite rang matrice $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(niz)\desno)$.

Ova matrica ima veličinu $3\puta 5$, tj. sadrži tri reda i pet kolona. Od brojeva 3 i 5, 3 je minimum, pa je rang matrice $A$ najviše 3, tj. $\rang A≤ 3$. I ova nejednakost je očigledna, pošto više ne možemo formirati minore četvrtog reda - njima su potrebna 4 reda, a mi imamo samo 3. Pređimo direktno na proces pronalaženja ranga date matrice.

Među minorima prvog reda (tj. među elementima matrice $A$) postoje oni različiti od nule. Na primjer, 5, -3, 2, 7. Generalno, ne zanima nas ukupan broj elemenata koji nisu nula. Postoji barem jedan element koji nije nula - i to je dovoljno. S obzirom da među minorima prvog reda postoji barem jedan različit od nule, zaključujemo da je $\rang A≥ 1$ i nastavljamo s provjerom minora drugog reda.

Počnimo s istraživanjem maloljetnika drugog reda. Na primjer, na presjeku redova #1, #2 i stupaca #1, #4 nalaze se elementi sljedećeg minora: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (niz) \desno| $. Za ovu determinantu svi elementi druge kolone jednaki su nuli, pa je i sama determinanta jednaka nuli, tj. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (vidi svojstvo #3 u svojstvu determinanti). Ili možete jednostavno izračunati ovu determinantu koristeći formulu br. 1 iz odjeljka o izračunavanju determinanti drugog i trećeg reda:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Pokazalo se da je prvi minor drugog reda koji smo provjerili jednak nuli. šta piše? O potrebi dalje provjere maloljetnika drugog reda. Ili se ispostavi da su svi nula (i tada će rang biti jednak 1), ili među njima postoji barem jedan minor koji je različit od nule. Hajde da pokušamo da napravimo bolji izbor tako što ćemo napisati minor drugog reda čiji se elementi nalaze na preseku redova #1, #2 i kolona #1 i #5: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(niz)\desno|$. Nađimo vrijednost ovog minora drugog reda:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Ovaj minor nije jednak nuli. Zaključak: među minorima drugog reda postoji barem jedan osim nule. Otuda $\rank A≥ 2$. Potrebno je pristupiti proučavanju maloljetnika trećeg reda.

Ako za formiranje minora trećeg reda izaberemo kolonu #2 ili kolonu #4, tada će takvi minori biti jednaki nuli (jer će sadržavati nultu kolonu). Ostaje provjeriti samo jedan minor trećeg reda, čiji se elementi nalaze na raskrsnici kolona br. 1, br. 3, br. 5 i redova br. 1, br. 2, br. Napišimo ovaj minor i pronađimo njegovu vrijednost:

$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Dakle, svi minori trećeg reda su jednaki nuli. Posljednji minor različit od nule koji smo sastavili bio je drugog reda. Zaključak: maksimalni red minora, među kojima postoji barem jedan osim nule, jednak je 2. Dakle, $\rang A=2$.

Odgovori: $\rank A=2$.

Primjer #2

Pronađite rang matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(niz) \desno)$.

Imamo kvadratnu matricu četvrtog reda. Odmah napominjemo da rang ove matrice ne prelazi 4, tj. $\rang A≤ 4$. Počnimo sa pronalaženjem ranga matrice.

Među minorima prvog reda (odnosno među elementima matrice $A$) postoji barem jedan koji nije jednak nuli, pa je $\rang A≥ 1$. Prelazimo na provjeru maloljetnika drugog reda. Na primjer, na presjeku redova br. 2, br. 3 i kolona br. 1 i br. 2, dobijamo sljedeći minor drugog reda: $\left| \begin(niz) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(niz) \right|$. Izračunajmo:

$$ \levo| \begin(niz) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(niz) \right|=0-10=-10. $$

Među minorima drugog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, pa je $\rang A≥ 2$.

Pređimo na maloljetnike trećeg reda. Nađimo, na primjer, minor čiji se elementi nalaze na sjecištu redova br. 1, br. 3, br. 4 i kolona br. 1, br. 2, br.

$$ \levo | \begin(niz) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(niz) \right|=105-105=0. $$

Kako se pokazalo da je ovaj minor trećeg reda jednak nuli, potrebno je istražiti još jedan minor trećeg reda. Ili će svi biti jednaki nuli (tada će rang biti jednak 2), ili će među njima biti barem jedan koji nije jednak nuli (tada ćemo početi proučavati maloljetnike četvrtog reda). Uzmimo u obzir mol trećeg reda čiji se elementi nalaze na preseku redova br. 2, br. 3, br. 4 i kolona br. 2, br. 3, br. 4:

$$ \levo| \begin(niz) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(niz) \right|=-28. $$

Među minorima trećeg reda postoji najmanje jedan minor različit od nule, tako da je $\rang A≥ 3$. Pređimo na provjeru maloljetnika četvrtog reda.

Bilo koji minor četvrtog reda nalazi se na presjeku četiri reda i četiri stupca matrice $A$. Drugim riječima, minor četvrtog reda je determinanta matrice $A$, pošto ova matrica sadrži samo 4 reda i 4 stupca. Determinanta ove matrice je izračunata u primjeru br. 2 teme "Smanjenje reda determinante. Dekompozicija determinante u red (kolona)" , pa uzmimo samo gotov rezultat:

$$ \levo| \begin(niz) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (niz)\right|=86. $$

Dakle, minor četvrtog reda nije jednak nuli. Ne možemo više formirati maloljetnike petog reda. zaključak: najviši red minori, među kojima postoji barem jedan osim nule, jednak je 4. Rezultat: $\rang A=4$.

Odgovori: $\rank A=4$.

Primjer #3

Pronađite rang matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( niz)\desno)$.

Odmah primijetite da ova matrica sadrži 3 reda i 4 stupca, tako da je $\rang A≤ 3$. U prethodnim primjerima smo započeli proces pronalaženja ranga razmatranjem maloljetnika najmanjeg (prvog) reda. Ovdje ćemo pokušati odmah provjeriti maloljetnike najvišeg mogućeg reda. Za matricu $A$, ovo su minori trećeg reda. Uzmimo u obzir mol trećeg reda čiji elementi leže na preseku redova br. 1, br. 2, br. 3 i kolona br. 2, br. 3, br. 4:

$$ \levo| \begin(niz) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(niz) \right|=-8-60-20=-88. $$

Dakle, najviši red minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, je 3. Dakle, rang matrice je 3, tj. $\rank A=3$.

Odgovori: $\rank A=3$.

Općenito, pronalaženje ranga matrice po definiciji je, u opštem slučaju, prilično dugotrajan zadatak. Na primjer, relativno mala matrica $5\x4$ ima 60 minora drugog reda. Čak i ako je njih 59 jednako nuli, onda se 60. minor može pokazati da nije nula. Zatim morate istražiti maloljetnike trećeg reda, kojih ova matrica ima 40 komada. Obično se pokušava koristiti manje glomazne metode, kao što je metoda obrubljivanja minora ili metoda ekvivalentnih transformacija.

Definicija. Matrični rang je maksimalni broj linearno nezavisnih redova koji se smatraju vektorima.

Teorema 1 o rangu matrice. Matrični rang je maksimalni red različitog od nule minora matrice.

O pojmu minora smo već govorili u lekciji o determinantama, a sada ćemo ga generalizovati. Uzmimo neke redove i neke kolone u matrici, i ovo "nešto" treba da bude manje od broja redova i kolona matrice, a za redove i kolone ovo "nešto" treba da bude isti broj. Zatim na preseku koliko redova i koliko kolona će biti matrica manjeg reda od naše originalne matrice. Determinanta ove matrice biće minor k-tog reda ako se pomenuto "nešto" (broj redova i kolona) označi sa k.

Definicija. manji ( r+1)-ti red, unutar kojeg se nalazi odabrani minor r-ti red, naziva se graničenje za dati minor.

Dvije najčešće korištene metode pronalaženje ranga matrice. to način zalaska maloletnika i metoda elementarnih transformacija(po Gaussovom metodu).

Metoda graničnih minora koristi sljedeću teoremu.

Teorema 2 o rangu matrice. Ako je moguće sastaviti mol od elemenata matrice r reda, koji nije jednak nuli, tada je rang matrice jednak r.

Kod metode elementarnih transformacija koristi se sljedeće svojstvo:

Ako se elementarnim transformacijama dobije trapezoidna matrica ekvivalentna originalnoj, tada rang ove matrice je broj linija u njemu osim linija koje se u potpunosti sastoje od nula.

Određivanje ranga matrice metodom graničnih minora

Granični minor je minor višeg reda u odnosu na dati, ako ovaj minor višeg reda sadrži dati minor.

Na primjer, s obzirom na matricu

Uzmimo maloljetnika

rubovi će biti takvi manji:

Algoritam za pronalaženje ranga matrice sljedeći.

1. Nalazimo minore drugog reda koji nisu jednaki nuli. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada će rang matrice biti jednak jedan ( r =1 ).

2. Ako postoji barem jedan minor drugog reda koji nije jednak nuli, tada sastavljamo granične minore trećeg reda. Ako su svi granični minori trećeg reda nula, tada je rang matrice dva ( r =2 ).

3. Ako barem jedan od graničnih minora trećeg reda nije jednak nuli, tada sastavljamo minore koji ga graniče. Ako su svi granični minori četvrtog reda nula, tada je rang matrice tri ( r =2 ).

4. Nastavite sve dok veličina matrice dozvoljava.

Primjer 1 Pronađite rang matrice

.

Rješenje. Minor drugog reda .

Mi ga uokvirimo. Biće četiri granična maloletnika:

,

,

Dakle, svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang ove matrice dva ( r =2 ).

Primjer 2 Pronađite rang matrice

Rješenje. Rang ove matrice je 1, pošto su svi minori drugog reda ove matrice jednaki nuli (u ovom slučaju, kao iu slučaju graničnih minora u sljedeća dva primjera, dragi studenti su pozvani da sami provjere, možda koristeći pravila za izračunavanje determinanti), a među minorima prvog reda, odnosno među elementima matrice, nema jednakih nuli.

Primjer 3 Pronađite rang matrice

Rješenje. Minor drugog reda ove matrice je, a svi minori trećeg reda ove matrice su nula. Dakle, rang ove matrice je dva.

Primjer 4 Pronađite rang matrice

Rješenje. Rang ove matrice je 3 jer je jedini minor trećeg reda ove matrice 3.

Određivanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija (Gaussovom metodom)

Već u primjeru 1 može se vidjeti da problem određivanja ranga matrice metodom graničnih minora zahtijeva izračunavanje veliki broj odrednice. Međutim, postoji način da se količina izračunavanja svede na minimum. Ova metoda se zasniva na korištenju elementarnih matričnih transformacija i naziva se i Gaussova metoda.

Elementarne transformacije matrice znače sljedeće operacije:

1) množenje bilo kog reda ili kolone matrice drugim brojem od nule;

2) dodavanje elemenata bilo kog reda ili kolone matrice odgovarajućih elemenata drugog reda ili kolone, pomnoženih istim brojem;

3) zamena dva reda ili kolone matrice;

4) uklanjanje "nultih" redova, odnosno onih čiji su svi elementi jednaki nuli;

5) brisanje svih proporcionalnih linija, osim jedne.

Teorema. Elementarna transformacija ne mijenja rang matrice. Drugim riječima, ako koristimo elementarne transformacije iz matrice A idi na matricu B, zatim .

Razmotrimo matricu A veličine .

A=
Odaberite k redova i k kolona u njemu (
).

Definicija 26:Minor K-ti red matrice A je determinanta kvadratne matrice, koja se iz date dobija odabirom u njoj.

k redova i k kolona.

Definicija 27:rang matrica se naziva najvećim od nultih redova njenih minora, r(A).

Definicija 28: Poziva se maloljetnik čiji je red isti kao i njegov rang osnovni mol.

izjava:

1. Rang se izražava kao cijeli broj.(
)

2.r=0,
kada je A nula.

Elementarne transformacije matrica.

Elementarne transformacije matrica uključuju sljedeće:

1) množenje svih elemenata bilo kojeg reda (kolone) matrice istim brojem.

2) dodavanje elemenata bilo kog reda (kolone) matrice odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone) pomnoženih istim brojem;

3) permutacija redova (kolona) matrice;

4) odbacivanje nultog reda (kolone);

5) zamena redova matrice odgovarajućim kolonama.

Definicija 29: Matrice dobijene jedna od druge, pod elementarnim transformacijama, nazivaju se ekvivalentne matrice, označene sa "~"

Glavno svojstvo ekvivalentnih matrica: Rangovi ekvivalentnih matrica su jednaki.

Primjer 18: Izračunaj r(A),

Rješenje: Pomnožite prvi red korak po korak sa (-4)(-2)

(-7), a zatim dodajte u drugi, treći i četvrti red redom.

~

zamijenite drugi i četvrti red
pomnožite drugi red sa (-2) i dodajte četvrtom redu; dodajte drugi i treći red.

dodajte treći i četvrti red.

~
odbaciti nulti red

~
r(A)=3
rang originalne matrice

jednako tri.

Definicija 30: Matricu A nazivamo matricom koraka ako su svi elementi glavne dijagonale 0, a elementi ispod glavne dijagonale su nula.

Rečenica:

1) rang matrice koraka jednak je broju njenih redova;

2) bilo koja matrica se može svesti na stepenasti oblik uz pomoć elementarnih transformacija.

Primjer 19: Na kojim vrijednostima  matrice
ima rang jednak jedan?

Rješenje: Rang je jednak jedan ako je determinanta drugog reda jednaka nuli, tj.

§6. Sistemi linearnih jednačina opšteg oblika.

sistem pregleda
---(9) se naziva sistem opšte forme.

Definicija 31: Za dva sistema se kaže da su ekvivalentna (ekvivalentna) ako je svako rješenje prvog sustava rješenje drugog i obrnuto.

U sistemu (1) matrica A=
će se zvati glavna matrica sistema, i =
prošireni matrični sistem

Teorema. Kronecker-Cappelli

Da bi sistem (9) bio konzistentan, neophodno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, tj. r(A)=r( )

Teorema 1. Ako je rang matrice konzistentnog sistema jednak broju nepoznanica, onda sistem ima jedinstveno rješenje.

Teorema 2. Ako je rang matrice zajedničkog sistema manji od broja nepoznatih, onda sistem ima beskonačan broj rješenja.

Pravilo za rješavanje proizvoljnog sistema linearnih jednačina:

1) pronaći rangove glavne i proširene matrice sistema. Ako a
, onda je sistem nekonzistentan.

2) Ako
=r, onda je sistem konzistentan. Naći neki osnovni mol reda r. Nazvat ćemo osnovni minor, na osnovu kojeg je određen rang matrice.

Nepoznate čiji koeficijenti ulaze u osnovni minor nazivaju se glavnim (osnovnim) i lijevo lijevo, dok se preostale nepoznanice nazivaju slobodnim i prenose na desnu stranu jednačine.

3) Pronađite izraze glavnih nepoznanica u terminima slobodnih. Dobijeno je opšte rešenje sistema.

Primjer 20: Istražite sistem i, u slučaju njegove kompatibilnosti, pronađite ili jedinstveno ili generalno rješenje

Rješenje: 1) prema T. Kronecker-Capelliju nalazimo rangove proširene i osnovne matrice sistema:

~
~

~
~
rang glavne matrice je dva

2) pronađite rang proširene matrice
~
~
~

3) zaključak:
=2, onda je sistem konzistentan.

Ali

sistem je neodređen i ima beskonačan broj rješenja.

4) Osnovne nepoznanice i , budući da pripadaju osnovnom molu, i - besplatno nepoznato.

Neka =c, gdje je c bilo koji broj.

5) Poslednja matrica odgovara sistemu

6) Odgovor:

7) Provjera: u bilo kojoj od jednačina originalnog sistema, gdje su prisutne sve nepoznanice, zamjenjujemo pronađene vrijednosti.

Broj r se naziva rangom matrice A ako:
1) matrica A sadrži minor koji nije nula reda r;
2) svi minori reda (r + 1) i više, ako postoje, jednaki su nuli.
Inače, rang matrice je najviši red nenulte minora.
Oznake: rangA , r A ili r .
Iz definicije slijedi da je r pozitivan cijeli broj. Za nultu matricu, rang se smatra nula.

Servisni zadatak. Online kalkulator je dizajniran za pronalaženje matrični rang. Rješenje se čuva u Word i Excel formatu. vidi primjer rješenja.

Uputstvo. Odaberite dimenziju matrice, kliknite na Next.

Definicija . Neka je data matrica ranga r. Svaka matrica minor osim nule i reda r naziva se osnovnom, a redovi i stupci njenih komponenti nazivaju se osnovnim redovima i stupcima.
Prema ovoj definiciji, matrica A može imati nekoliko baznih minora.

Rang matrice identiteta E je n (broj redova).

Primjer 1. Date dvije matrice, i njihove maloljetne osobe , . Koji od njih se može uzeti kao osnova?
Rješenje. Minor M 1 =0, tako da ne može biti osnova ni za jednu od matrica. Minor M 2 =-9≠0 i ima red 2, pa se može uzeti kao osnovne matrice za A ili / i B, pod uslovom da imaju rang jednak 2. Pošto je detB=0 (kao determinanta sa dva proporcionalna stupca), onda se rangB=2 i M 2 mogu uzeti kao bazni minor matrice B. Rang matrice A je 3, zbog činjenice da je detA=-27≠ 0 i, prema tome, osnovni minor ove matrice mora biti 3, odnosno M 2 nije baza za matricu A. Imajte na umu da matrica A ima jedinstveni bazni minor jednak determinanti matrice A.

Teorema (o osnovnom molu). Svaki red (kolona) matrice je linearna kombinacija njenih osnovnih redova (kolona).
Posljedice iz teoreme.

1. Bilo koji (r+1) stupac (red) matrice ranga r je linearno zavisan.
2. Ako je rang matrice manji od broja njenih redova (kolona), tada su njeni redovi (kolone) linearno zavisni. Ako je rang A jednak broju njegovih redova (kolona), tada su redovi (kolone) linearno nezavisni.
3. Determinanta matrice A jednaka je nuli ako i samo ako su njeni redovi (kolone) linearno zavisni.
4. Ako se red (kolona) matrice doda još jedan red (kolona) pomnožen bilo kojim brojem osim nule, tada se rang matrice neće promijeniti.
5. Ako precrtate red (kolona) u matrici, koji je linearna kombinacija drugih redova (kolona), tada se rang matrice neće promijeniti.
6. Rang matrice je jednak maksimalnom broju njenih linearno nezavisnih redova (kolona).
7. Maksimalan broj linearno nezavisnih redova je isti kao maksimalan broj linearno nezavisne kolone.

Primjer 2. Pronađite rang matrice .
Rješenje. Na osnovu definicije ranga matrice, tražićemo minor najvišeg reda koji je različit od nule. Prvo transformiramo matricu u jednostavniji oblik. Da biste to učinili, pomnožite prvi red matrice sa (-2) i dodajte drugom, a zatim ga pomnožite sa (-1) i dodajte trećem.

Ovaj članak će raspravljati o konceptu kao što je rang matrice i potrebnim dodatnim konceptima. Navest ćemo primjere i dokaze za pronalaženje ranga matrice, a također ćemo vam reći šta je matrični minor i zašto je toliko važan.

Matrix minor

Da bismo razumjeli koji je rang matrice, potrebno je razumjeti takav koncept kao matrični minor.

Definicija 1

Minorkmatrica th reda - determinanta kvadratne matrice reda k × k, koja se sastoji od elemenata matrice A, smještenih u unaprijed odabranim k-redovima i k-stupcima, uz zadržavanje pozicije elemenata matrice A.

Jednostavno rečeno, ako u matrici A izbrišemo (p-k) redove i (n-k) stupce, a od onih preostalih elemenata napravimo matricu, zadržavajući raspored elemenata matrice A, tada je determinanta rezultirajuće matrice ​minor reda k matrice A.

Iz primjera slijedi da su minori prvog reda matrice A sami elementi matrice.

Možemo navesti nekoliko primjera maloljetnika 2. reda. Odaberimo dva reda i dvije kolone. Na primjer, 1. i 2. red, 3. i 4. stupac.

Sa ovim izborom elemenata, minor drugog reda će biti - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Drugi minor 2. reda matrice A je 0 0 1 1 = 0

Dajemo ilustracije konstrukcije minora drugog reda matrice A:

Minor 3. reda se dobija brisanjem treće kolone matrice A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Ilustracija kako se dobija minor 3. reda matrice A:

Za datu matricu nema minora viših od 3. reda, jer

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Koliko minora k-tog reda ima za matricu A reda p×n?

Broj maloljetnika se izračunava po sljedećoj formuli:

C p k × C n k , g e C p k = p ! k! (p - k) ! i C nk = n ! k! (n - k) ! - broj kombinacija od p do k, od n do k, respektivno.

Nakon što smo odlučili koji su minori matrice A, možemo pristupiti određivanju ranga matrice A.

Rang matrice: metode pronalaženja

Matrični rang - najviši red matrice, osim nule.

Oznaka 1

rang (A), Rg(A), Rang(A).

Iz definicije ranga matrice i minora matrice postaje jasno da je rang nulte matrice jednak nuli, a rang nenulte matrice je različit od nule.

Pronalaženje ranga matrice po definiciji

Metoda manjeg brojanja - metoda zasnovana na određivanju ranga matrice.

Algoritam radnji nabrajanjem maloljetnika :

Potrebno je pronaći rang matrice A reda str× n. Ako postoji barem jedan element različit od nule, tada je rang matrice najmanje jednak jedan ( jer je minor 1. reda koji nije jednak nuli).

Zatim slijedi nabrajanje maloljetnika 2. reda. Ako su svi minori 2. reda jednaki nuli, tada je rang jednak jedan. Ako postoji barem jedan minor 2. reda različit od nule, potrebno je prijeći na nabrajanje minora 3. reda, a rang matrice će u ovom slučaju biti najmanje dva.

Uradimo isto sa rangom 3. reda: ako su svi minori matrice jednaki nuli, tada će rang biti jednak dva. Ako postoji barem jedan minor trećeg reda različit od nule, tada je rang matrice najmanje tri. I tako dalje, po analogiji.

Primjer 2

Pronađite rang matrice:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Pošto je matrica različita od nule, njen rang je najmanje jedan.

Minor 2. reda - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 je različit od nule. Ovo implicira da je rang matrice A najmanje dva.

Razvrstavamo maloljetnike 3. reda: C 3 3 × C 5 3 = 1 5 ! 3! (5 - 3) ! = 10 komada.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Minori 3. reda su nula, tako da je rang matrice dva.

Odgovori : Rang (A) = 2.

Određivanje ranga matrice metodom rubnih minora

Fringing Minor Method - metoda koja vam omogućava da dobijete rezultat uz manje računskog rada.

Fringing minor - minor M o k (k + 1) -ti red matrice A, koji se graniči sa manjim M reda k matrice A, ako matrica koja odgovara minoru M o k "sadrži" matricu koja odgovara minoru M.

Jednostavno rečeno, matrica koja odgovara obrubljenom minoru M dobija se iz matrice koja odgovara graničnom minoru M ok brisanjem elemenata jednog reda i jedne kolone.

Primjer 3

Pronađite rang matrice:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Da bismo pronašli rang, uzimamo minor 2. reda M = 2 - 1 4 1

Zapisujemo sve granične maloljetnike:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Da bismo potkrijepili metodu graničnih minora, predstavljamo teoremu čija formulacija ne zahtijeva bazu dokaza.

Teorema 1

Ako su svi minori koji se graniče sa minorom k-tog reda matrice A reda p sa n jednaki nuli, tada su svi minori reda (k + 1) matrice A jednaki nuli.

Akcioni algoritam :

Da biste pronašli rang matrice, nije potrebno proći kroz sve maloljetnike, samo pogledajte granice.

Ako su granični minori jednaki nuli, tada je rang matrice nula. Ako postoji barem jedan minor koji nije jednak nuli, onda smatramo graničnim minorima.

Ako su svi nula, onda je rang(A) dva. Ako postoji barem jedan granični minor različit od nule, onda nastavljamo s razmatranjem njegovih graničnih minora. I tako dalje, na sličan način.

Primjer 4

Odrediti rang matrice metodom rubnih minora

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Kako odlučiti?

Pošto element a 11 matrice A nije jednak nuli, onda uzimamo minor 1. reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Pronašli smo granični minor 2. reda koji nije jednak nuli 2 0 4 1 .

Nabrojimo granične minore - (ima (4 - 2) × (5 - 2) = 6 komada).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Odgovori : Rang(A) = 2.

Pronalaženje ranga matrice Gaussovom metodom (koristeći elementarne transformacije)

Prisjetite se šta su elementarne transformacije.

Elementarne transformacije:

• preuređivanjem redova (kolona) matrice;
• množenjem svih elemenata bilo kog reda (kolone) matrice sa proizvoljnim brojem k koji nije nula;

dodavanjem elemenata bilo kojeg reda (kolone) elemenata koji odgovaraju drugom redu (kolone) matrice, koji se množe proizvoljnim brojem k.

Definicija 5

Određivanje ranga matrice pomoću Gaussove metode - metoda zasnovana na teoriji ekvivalencije matrice: ako je matrica B dobijena iz matrice A korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija, tada je Rang(A) = Rang(B).

Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz definicije matrice:

• u slučaju permutacije redova ili stupaca matrice, njena determinanta mijenja predznak. Ako je jednak nuli, onda kada permutirate redove ili stupce ostaje jednak nuli;
• u slučaju množenja svih elemenata bilo kojeg reda (stupca) matrice sa proizvoljnim brojem k, koji nije jednak nuli, determinanta rezultirajuće matrice jednaka je determinanti originalne matrice koja se množi by k;

u slučaju da se elementima određenog reda ili stupca matrice dodaju odgovarajući elementi drugog reda ili stupca, koji se pomnože brojem k, ne mijenja njegovu determinantu.

Suština metode elementarnih transformacija : reducirati matricu, čiji se rang treba pronaći, na trapezoidnu pomoću elementarnih transformacija.

Za što?

Rang matrica ove vrste je prilično lako pronaći. Jednako je broju redova koji imaju najmanje jedan element koji nije nulti. A pošto se rang ne mijenja tokom elementarnih transformacija, to će biti rang matrice.

Ilustrujmo ovaj proces:

• za pravougaone matrice A reda p po n, čiji je broj redova više broja kolone:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k + 0 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

• za pravokutne matrice A reda p po n, čiji je broj redaka manji od broja stupaca:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k + 0 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• za kvadratne matrice I poredaj n po n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 0 0 ⋯ , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 k + 0 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k ,< n

Primjer 5

Pronađite rang matrice A koristeći elementarne transformacije:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Kako odlučiti?

Budući da je element a 11 različit od nule, potrebno je pomnožiti elemente prvog reda matrice A sa 1 a 11 \u003d 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Elementima 2. reda dodajemo odgovarajuće elemente 1. reda, koji se množe sa (-3). Elementima 3. reda dodajemo elemente 1. reda, koji se množe sa (-1):

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5 ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Element a 22 (2) nije nula, tako da množimo elemente 2. reda matrice A sa A (2) sa a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Elementima 3. reda rezultirajuće matrice dodajemo odgovarajuće elemente 2. reda, koji se množe sa 3 2 ;
• na elemente 4. reda - elemente 2. reda, koji se množe sa 9 2 ;
• na elemente 5. reda - elemente 2. reda, koji se množe sa 3 2 .

Svi elementi reda su nula. Tako smo uz pomoć elementarnih transformacija sveli matricu na trapezoidni oblik, iz čega se vidi da je R a n k (A (4)) = 2 . Iz toga slijedi da je rang originalne matrice također jednak dva.

Komentar

Ako izvodite elementarne transformacije, tada približne vrijednosti nisu dozvoljene!

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter