Lema 1 : Ako je u matrici veličine n n barem jedan red (kolona) jednak nuli, tada su redovi (kolone) matrice linearno zavisni.

dokaz: Neka je onda prvi red nula

gdje a 1 0. Što se i tražilo.

definicija: Poziva se matrica čiji su elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli trouglasti:

i ij = 0, i>j.

Lema 2: Determinanta trokutaste matrice jednaka je proizvodu elemenata glavne dijagonale.

Dokaz je lako izvesti indukcijom na dimenziju matrice.

Teorema o linearnu nezavisnost vektori.

a)Need: linearno zavisna D=0 .

dokaz: Neka je linearno zavisna, j=,

to jest, postoji j , nije sve jednako nuli, j= ,šta a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n = , A j - matrične kolone ALI. Neka, na primjer, a n ¹0.

Imamo a j * = a j / a n , j £ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .

Zamijenimo zadnji stupac matrice ALI na

A n * \u003d a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n \u003d.

Prema svojstvu gore dokazane determinante (ne mijenja se ako se bilo kojoj koloni u matrici doda još jedan stupac, pomnožen brojem), determinanta nove matrice jednaka je determinanti originalne. Ali u novoj matrici, jedan stupac je nula, što znači da proširivanjem determinante u ovoj koloni dobijamo D=0, Q.E.D.

b)Adekvatnost: matrica veličine n nsa linearno nezavisnim redovima uvijek je moguće svesti na trouglasti oblik uz pomoć transformacija koje ne mijenjaju apsolutnu vrijednost determinante. U ovom slučaju, nezavisnost redova originalne matrice implicira da njena determinanta nije jednaka nuli.

1. Ako je u matrici veličine n n sa linearno nezavisnim elementom redova a 11 je jednak nuli, zatim stupac sa elementom i 1 j ¹ 0. Prema lemi 1, takav element postoji. U ovom slučaju, determinanta transformisane matrice može se razlikovati od determinante originalne matrice samo u znaku.

2. Iz redova sa brojevima i>1 oduzmi prvi red pomnožen razlomkom a i 1 / a 11. Istovremeno, u prvoj koloni redova sa brojevima i>1 dobiće se nulti elementi.

3. Počnimo računati determinantu rezultirajuće matrice tako što ćemo je proširiti u prvoj koloni. Pošto su svi elementi u njemu, osim prvog, jednaki nuli,

D novo = a 11 novih (-1) 1+1 D 11 novih,

gdje d 11 novo je determinanta manje matrice.

Dalje, za izračunavanje determinante D11 ponovite korake 1, 2, 3 dok zadnja determinanta ne bude determinanta matrice veličine 1 1. Kako stavka 1 samo mijenja predznak determinante matrice koju treba transformirati, a stavka 2 uopće ne mijenja vrijednost determinante, onda ćemo do znaka na kraju dobiti determinantu originalne matrice. U ovom slučaju, budući da je, zbog linearne nezavisnosti redova originalne matrice, stavka 1 uvijek izvodljiva, svi elementi glavne dijagonale će se pokazati kao različiti od nule. Dakle, konačna determinanta prema gore navedenom algoritmu jednaka je proizvodu različitih elemenata na glavnoj dijagonali. Dakle, determinanta originalne matrice nije jednaka nuli. Q.E.D.

Dodatak 2

U nastavku je dato nekoliko kriterijuma za linearnu zavisnost i, shodno tome, linearnu nezavisnost sistema vektora.

Teorema. (Neophodan i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora.)

Sistem vektora je zavisan ako i samo ako je jedan od vektora sistema linearno izražen u terminima ostalih vektora ovog sistema.

Dokaz. Need. Neka je sistem linearno zavisan. Zatim, po definiciji, predstavlja nulti vektor na netrivijalan način, tj. postoji netrivijalna kombinacija ovog sistema vektora jednaka nultom vektoru:

pri čemu barem jedan od koeficijenata ove linearne kombinacije nije jednak nuli. Neka , .

Podijelite oba dijela prethodne jednakosti ovim koeficijentom koji nije nula (tj. pomnožite sa:

Označiti: , gdje .

one. jedan od vektora sistema je linearno izražen u terminima ostalih vektora ovog sistema, itd.

Adekvatnost. Neka je jedan od vektora sistema linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema:

Pomaknimo vektor desno od ove jednakosti:

Pošto je koeficijent vektora , onda imamo netrivijalnu reprezentaciju nule sistemom vektora , što znači da je ovaj sistem vektora linearno zavisan, itd.

Teorema je dokazana.

Posljedica.

1. Sistem vektora u vektorskom prostoru je linearno nezavisan ako i samo ako nijedan od vektora sistema nije linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema.

2. Sistem vektora koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno zavisan.

Dokaz.

1) Nužnost. Neka je sistem linearno nezavisan. Pretpostavimo suprotno i postoji sistemski vektor koji je linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema. Zatim, prema teoremi, sistem je linearno zavisan i dolazimo do kontradikcije.

Adekvatnost. Neka nijedan od vektora sistema ne bude izražen u terminima drugih. Pretpostavimo suprotno. Neka je sistem linearno zavisan, ali onda iz teoreme proizilazi da postoji sistemski vektor koji je linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema i opet dolazimo do kontradikcije.

2a) Neka sistem sadrži nulti vektor. Pretpostavimo radi određenosti da je vektor :. Zatim jednakost

one. jedan od vektora sistema je linearno izražen u terminima ostalih vektora ovog sistema. Iz teoreme slijedi da je takav sistem vektora linearno zavisan, itd.

Imajte na umu da se ova činjenica može dokazati direktno iz linearno zavisnog sistema vektora.

Budući da , sljedeća jednakost je očigledna

Ovo je netrivijalan prikaz nultog vektora, što znači da je sistem linearno zavisan.

2b) Neka sistem ima dva jednaka vektora. Neka za . Zatim jednakost

One. prvi vektor je linearno izražen u terminima ostalih vektora istog sistema. Iz teoreme slijedi da ovaj sistem linearno zavisna, itd.

Slično kao i prethodna, ova tvrdnja se takođe može dokazati direktno iz definicije linearno zavisnog sistema.Tada ovaj sistem netrivijalno predstavlja nulti vektor

odakle slijedi linearna zavisnost sistema .

Teorema je dokazana.

Posljedica. Sistem koji se sastoji od jednog vektora je linearno nezavisan ako i samo ako je ovaj vektor različit od nule.

Funkcije se pozivaju linearno nezavisna, ako

(dozvoljena je samo trivijalna linearna kombinacija funkcija, koja je identično jednaka nuli). Za razliku od linearne nezavisnosti vektora, ovdje je identitet linearne kombinacije nula, a ne jednakost. Ovo je razumljivo, jer jednakost linearne kombinacije sa nulom mora biti zadovoljena za bilo koju vrijednost argumenta.

Funkcije se pozivaju linearno zavisna, ako postoji skup konstanti različit od nule (nisu sve konstante jednake nuli) tako da (postoji netrivijalna linearna kombinacija funkcija koja je identično jednaka nuli).

Teorema.Da bi funkcije bile linearno zavisne, potrebno je i dovoljno da bilo koja od njih bude linearno izražena u terminima ostalih (predstavljena kao njihova linearna kombinacija).

Dokažite ovu teoremu sami, ona se dokazuje na isti način kao i slična teorema o linearnoj zavisnosti vektora.

Odrednica Vronskog.

Wronskyjeva determinanta za funkcije je uvedena kao determinanta čiji su stupci derivati ​​ovih funkcija od nule (samih funkcija) do n-1. reda.

.

Teorema. Ako funkcije linearno zavisna, dakle

Dokaz. Pošto funkcije su linearno zavisne, onda je jedan od njih linearno izražen u smislu ostatka, npr.

Identitet se može razlikovati, dakle

Tada se prvi stupac Wronskyjeve determinante linearno izražava u smislu preostalih kolona, ​​tako da je Wronskyjeva determinanta identično jednaka nuli.

Teorema.Da bi se riješio linearni homogen diferencijalna jednadžba n-og reda su linearno zavisne, potrebno je i dovoljno da.

Dokaz. Neophodnost sledi iz prethodne teoreme.

Adekvatnost. Hajde da popravimo neku tačku. Budući da su , tada su stupci determinante izračunati u ovoj tački linearno zavisni vektori.

, da su odnosi

Budući da je linearna kombinacija rješenja linearnog homogena jednačina je njegovo rješenje, onda možemo uvesti rješenje oblika

Linearna kombinacija rješenja sa istim koeficijentima.

Imajte na umu da za ovo rješenje zadovoljava nulte početne uslove, to slijedi iz gore napisanog sistema jednačina. Ali trivijalno rješenje linearne homogene jednačine također zadovoljava iste nulte početne uslove. Dakle, iz Cauchyjeve teoreme slijedi da je uvedeno rješenje identično jednako trivijalnom, dakle,

pa su rješenja linearno zavisna.

Posljedica.Ako determinanta Wronskyja, izgrađena na rješenjima linearne homogene jednadžbe, nestane barem u jednoj tački, onda je identično jednaka nuli.

Dokaz. Ako , tada su rješenja linearno zavisna, dakle, .

Teorema.1. Za linearnu zavisnost rješenja potrebno je i dovoljno(ili ).

2. Za linearnu nezavisnost rješenja potrebno je i dovoljno .

Dokaz. Prva tvrdnja slijedi iz gore dokazane teoreme i posljedica. Druga tvrdnja se lako dokazuje kontradikcijom.

Neka su rješenja linearno nezavisna. Ako je , tada su rješenja linearno zavisna. Kontradikcija. shodno tome, .

Neka . Ako su rješenja linearno zavisna, onda , dakle, kontradikcija. Dakle, rješenja su linearno nezavisna.

Posljedica.Nestanak determinante Wronskyja barem u jednoj tački je kriterij za linearnu ovisnost rješenja linearne homogene jednadžbe.

Razlika determinante Wronskyja od nule je kriterij za linearnu neovisnost rješenja linearne homogene jednadžbe.

Teorema.Dimenzija prostora rješenja linearne homogene jednadžbe n-tog reda jednaka je n.

Dokaz.

a) Pokažimo da postoji n linearno nezavisnih rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe n-tog reda. Razmotrite rješenja , zadovoljava sljedeće početne uslove:

...........................................................

Takva rješenja postoje. Zaista, po Cauchyjevom teoremu kroz tačku prolazi jedinu integralnu krivu - rješenje. Kroz tačku propušta rješenje kroz tačku

- rješenje , kroz tačku - rešenje.

Ova rješenja su linearno nezavisna, jer .

b) Pokažimo da je svako rješenje linearne homogene jednadžbe linearno izraženo u terminima ovih rješenja (njihova je linearna kombinacija).

Razmotrimo dva rješenja. Jedno - proizvoljno rješenje sa početnim uslovima . Fer omjer

Koncepti linearne zavisnosti i nezavisnosti sistema vektora su veoma važni u proučavanju vektorske algebre, jer se na njima zasnivaju koncepti dimenzije i baze prostora. U ovom članku ćemo dati definicije, razmotriti svojstva linearne zavisnosti i nezavisnosti i dobiti algoritam za proučavanje sistema vektora na linearna zavisnost Pogledajmo primjere detaljno.

Navigacija po stranici.

Određivanje linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti sistema vektora.

Razmotrimo skup p n-dimenzionalnih vektora, označimo ih na sljedeći način. Sastavite linearnu kombinaciju ovih vektora i proizvoljnih brojeva (stvarno ili složeno): . Na osnovu definicije operacija nad n-dimenzionalnim vektorima, kao i svojstava operacija sabiranja vektora i množenja vektora brojem, može se tvrditi da je snimljena linearna kombinacija neki n-dimenzionalni vektor, tj. .

Tako smo došli do definicije linearne zavisnosti sistema vektora.

Definicija.

Ako linearna kombinacija može biti nulti vektor kada je među brojevima postoji barem jedan osim nule, tada se sistem vektora zove linearno zavisna.

Definicija.

Ako je linearna kombinacija nulti vektor samo kada su svi brojevi su jednaki nuli, onda se sistem vektora zove linearno nezavisna.

Svojstva linearne zavisnosti i nezavisnosti.

Na osnovu ovih definicija formulišemo i dokazujemo svojstva linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti sistema vektora.

Ako se linearno zavisnom sistemu vektora doda nekoliko vektora, onda će rezultujući sistem biti linearno zavisan.

Dokaz.

Pošto je sistem vektora linearno zavisan, jednakost je moguća ako postoji barem jedan broj različit od nule od brojeva . Neka .

Dodajmo još s vektora originalnom sistemu vektora , i dobijamo sistem. Budući da i , onda je linearna kombinacija vektora ovog sistema oblika

je nulti vektor, i . Dakle, rezultujući sistem vektora je linearno zavisan.

Ako je nekoliko vektora isključeno iz linearno nezavisnog sistema vektora, onda će rezultujući sistem biti linearno nezavisan.

Dokaz.

Pretpostavljamo da je rezultujući sistem linearno zavisan. Dodavanjem svih odbačenih vektora ovom sistemu vektora, dobijamo originalni sistem vektora. Po uslovu je linearno nezavisan, a zbog prethodnog svojstva linearne zavisnosti mora biti linearno zavisan. Došli smo do kontradikcije, stoga je naša pretpostavka pogrešna.

Ako sistem vektora ima barem jedan nulti vektor, onda je takav sistem linearno zavisan.

Dokaz.

Neka je vektor u ovom sistemu vektora nula. Pretpostavimo da je originalni sistem vektora linearno nezavisan. Tada je vektorska jednakost moguća samo kada . Međutim, ako uzmemo bilo koji ne-nula, onda će jednakost i dalje vrijediti, budući da . Stoga je naša pretpostavka pogrešna, a originalni sistem vektora je linearno zavisan.

Ako je sistem vektora linearno zavisan, onda je barem jedan od njegovih vektora linearno izražen u terminima ostalih. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, onda se nijedan od vektora ne može izraziti u terminima ostalih.

Dokaz.

Hajde da prvo dokažemo prvu tvrdnju.

Neka je sistem vektora linearno zavisan, tada postoji barem jedan broj različit od nule i jednakost je tačna. Ova jednakost se može riješiti u odnosu na , Budući da , U ovom slučaju, imamo

Posljedično, vektor je linearno izražen u terminima preostalih vektora sistema, što je trebalo dokazati.

Sada dokazujemo drugu tvrdnju.

Pošto je sistem vektora linearno nezavisan, jednakost je moguća samo za .

Pretpostavimo da je neki vektor sistema linearno izražen u terminima drugih. Neka ovaj vektor bude , Onda . Ova jednakost se može prepisati kao , na njenoj lijevoj strani je linearna kombinacija vektora sistema, a koeficijent ispred vektora je različit od nule, što ukazuje na linearnu zavisnost originalnog sistema vektora. Dakle, došli smo do kontradikcije, što znači da je svojstvo dokazano.

Važna izjava slijedi iz posljednja dva svojstva:
ako sistem vektora sadrži vektore i , gdje je proizvoljan broj, onda je linearno zavisan.

Proučavanje sistema vektora za linearnu zavisnost.

Postavimo zadatak: treba da uspostavimo linearnu zavisnost ili linearnu nezavisnost sistema vektora.

Postavlja se logično pitanje: "kako to riješiti?"

Nešto korisno sa praktične tačke gledišta može se izvesti iz gornjih definicija i svojstava linearne zavisnosti i nezavisnosti sistema vektora. Ove definicije i svojstva nam omogućavaju da uspostavimo linearnu zavisnost sistema vektora u sledećim slučajevima:

Šta je sa drugim slučajevima, kojih je većina?

Hajde da se pozabavimo ovim.

Prisjetimo se formulacije teoreme o rangu matrice, koju smo citirali u članku.

Teorema.

Neka r je rang matrice A reda p po n, . Neka je M osnovni minor matrice A. Svi redovi (svi stupci) matrice A koji ne učestvuju u formiranju baznog minora M linearno se izražavaju u terminima redova (kolona) matrice koji generišu bazni minor M.

A sada da objasnimo vezu teoreme o rangu matrice sa proučavanjem sistema vektora za linearnu zavisnost.

Napravimo matricu A čiji će redovi biti vektori sistema koji se proučava:

Šta će značiti linearna nezavisnost sistema vektora?

Iz četvrtog svojstva linearne nezavisnosti sistema vektora, znamo da se nijedan od vektora sistema ne može izraziti u terminima drugih. Drugim riječima, nijedan red matrice A neće biti linearno izražen u terminima drugih redova, dakle, linearna nezavisnost sistema vektora će biti ekvivalentna uslovu Rank(A)=p.

Šta će značiti linearna zavisnost sistema vektora?

Sve je vrlo jednostavno: barem jedan red matrice A će biti linearno izražen u smislu ostatka, dakle, linearna zavisnost sistema vektora će biti ekvivalentna uslovu Rank(A)

.