1. Skup polinoma P n (x) stepeni ne viši n.

2. Mnogo n-termin sekvence (sa pojmovnim sabiranjem i množenjem skalarom).

3 . Puno mogućnosti C [ a , b ] kontinuirano na [ a, b] i sa sabiranjem po tačkama i množenjem skalarom.

4. Skup funkcija definiranih na [ a, b] i nestaje u nekoj fiksnoj unutrašnjoj tački c: f (c) = 0 i sa tačkastim operacijama sabiranja i množenja skalarom.

5. Skup R + if x ⊕ y  x  y, ⊙x x  .

§osam. Definicija podprostora

Neka set W je podskup linearnog prostora V (W  V) i tako to

a)  x, yW  x ⊕ yW;

b)  xW,    ⊙ xW.

Operacije sabiranja i množenja ovdje su iste kao u prostoru V(oni se nazivaju prostorno inducirani V).

Toliko mnoštvo W naziva se podprostor prostora V.

7  . podprostor W sam po sebi je prostor.

◀ Da bismo to dokazali, dovoljno je dokazati postojanje neutralnog elementa i suprotnog elementa. Jednakosti 0⊙ x=  i (–1)⊙ X = –X dokazati šta je potrebno.

Podprostor koji se sastoji samo od neutralnog elementa () i podprostora koji se poklapa sa samim prostorom V, nazivaju se trivijalni podprostori prostora V.

§9. Linearna kombinacija vektora. Linearni raspon sistema vektora

Neka vektori e 1 ,e 2 , …e n V i  1 ,  2 , …  n .

Vector x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = zove se linearna kombinacija vektora e 1 , e 2 , … , e n sa koeficijentima  1 ,  2 , …  n .

Ako su svi koeficijenti u linearnoj kombinaciji nula, onda je linearna kombinacija pozvao trivijalan.

Mnoge moguće linearne kombinacije vektora
naziva se linearni raspon ovaj sistem vektora i označava se sa:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Ispravnost sabiranja i množenja skalarom proizlazi iz činjenice da je ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) je skup svih mogućih linearnih kombinacija. Neutralni element je trivijalna linearna kombinacija. Za element X=
suprotni element je x =
. Zadovoljeni su i aksiomi koje operacije moraju zadovoljiti. Dakle, ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) je linearni prostor.

Svaki linearni prostor sadrži, u opštem slučaju, beskonačan broj drugih linearnih prostora (podprostora) - linearne ljuske

Ubuduće ćemo nastojati da odgovorimo na sljedeća pitanja:

Kada su linearne školjke različiti sistemi vektori se sastoje od istih vektora (tj. poklapaju se)?

2) Koliki je minimalni broj vektora koji definira isti linearni raspon?

3) Da li je originalni prostor linearni raspon nekog sistema vektora?

§deset. Kompletni sistemi vektora

Ako u svemiru V postoji konačan skup vektora
tako da,ℒ
 V, zatim sistem vektora
nazvan kompletnim sistemom V, a za prostor se kaže da je konačno dimenzionalan. Dakle, sistem vektora e 1 , e 2 , …, e n V naziva se kompletnim V sistem, tj. ako

XV   1 ,  2 , …  n takav da x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Ako u svemiru V ne postoji konačan kompletan sistem (a kompletan sistem uvek postoji - na primer, skup svih vektora prostora V), zatim razmak V se naziva beskonačnim.

9  . Ako a
pun in V sistem vektora i y V, zatim ( e 1 , e 2 , …, e n , y) je također kompletan sistem.

◀ Dovoljno u linearnim kombinacijama y uzeti jednako 0.

Neka je sistem vektora iz vektorskog prostora V preko terena P.

2. definicija: Linearna školjka L sistemima A je skup svih linearnih kombinacija vektora sistema A. Oznaka L(A).

Može se pokazati da za bilo koja dva sistema A i B,

A linearno izražena kroz B ako i samo ako . (jedan)

A je ekvivalentno B ako i samo ako L(A)=L(B). (2)

Dokaz slijedi iz prethodnog svojstva

3 Linearni raspon bilo kojeg sistema vektora je podprostor prostora V.

Dokaz

Uzmite bilo koja dva vektora i L(A), koji ima sljedeće ekspanzije u vektorima iz A: . Hajde da proverimo izvodljivost uslova 1) i 2) kriterijuma:

Pošto je to linearna kombinacija vektora sistema A.

Pošto je i to linearna kombinacija vektora sistema A.

Razmotrimo sada matricu. Linearna ljuska redova matrice A naziva se prostor redova matrice i označava se L r (A). Linearni omot matričnih kolona A naziva se prostor kolona i označava se L c (A). Imajte na umu da za prostor redova i stupaca matrice A su podprostori različitih aritmetičkih prostora P n i pm respektivno. Koristeći tvrdnju (2) možemo doći do sljedećeg zaključka:

Teorema 3: Ako se jedna matrica dobije iz druge lancem elementarnih transformacija, tada se prostori redova takvih matrica poklapaju.

Zbir i presjek podprostora

Neka L i M- dva podprostora prostora R.

Iznos L+M se naziva skup vektora x+y , gdje x ∈L i y ∈M. Očigledno, bilo koja linearna kombinacija vektora iz L+M pripada L+M, Shodno tome L+M je podprostor prostora R(može se podudarati sa prostorom R).

prelaz L∩M podprostori L i M je skup vektora koji istovremeno pripadaju podprostorima L i M(može se sastojati samo od nul-vektora).

Teorema 6.1. Zbir dimenzija proizvoljnih podprostora L i M konačnodimenzionalni linearni prostor R jednaka je dimenziji zbira ovih podprostora i dimenziji presjeka ovih podprostora:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Dokaz. Označite F=L+M i G=L∩M. Neka G g-dimenzionalni podprostor. U njemu biramo osnovu. Jer G⊂L i G⊂M, dakle osnova G može se dodati bazi L i do baze M. Neka je osnova podprostora L i neka je osnova podprostora M. Pokažimo da su vektori

(6.1) čine osnovu F=L+M. Da bi vektori (6.1) formirali osnovu prostora F moraju biti linearno nezavisni i bilo koji vektor prostora F može se predstaviti linearnom kombinacijom vektora (6.1).

Hajde da dokažemo linearnu nezavisnost vektori (6.1). Neka je nulti vektor prostora F je predstavljen linearnom kombinacijom vektora (6.1) sa nekim koeficijentima:

Lijeva strana (6.3) je vektor potprostora L, a desna strana je vektor podprostora M. Otuda vektor

(6.4) pripada podprostoru G=L∩M. S druge strane, vektor v može biti predstavljen linearnom kombinacijom baznih vektora podprostora G:

(6.5) Iz jednačina (6.4) i (6.5) imamo:

Ali vektori su osnova podprostora M, dakle oni su linearno nezavisni i . Tada (6.2) poprima oblik:

Zbog linearne nezavisnosti osnove podprostora L imamo:

Pošto se pokazalo da su svi koeficijenti u jednačini (6.2) jednaki nuli, vektori

su linearno nezavisne. Ali bilo koji vektor z od F(po definiciji zbira potprostora) može se predstaviti zbirom x+y , gdje x ∈ Ly ∈ M. Zauzvrat x je predstavljen linearnom kombinacijom vektora a y - linearna kombinacija vektora. Stoga vektori (6.10) generiraju podprostor F. Otkrili smo da vektori (6.10) čine osnovu F=L+M.

Proučavanje baza potprostora L i M i podprostornu osnovu F=L+M(6.10), imamo: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. posljedično:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Direktan zbir podprostora

Definicija 6.2. Prostor F je direktan zbir podprostora L i M, ako je svaki vektor x prostor F može se predstaviti samo kao zbir x=y+z , gdje y ∈L i z ∈M.

Direktan zbir je označen L⊕M. Kažu da ako F=L⊕M, onda F dekomponuje u direktan zbir svojih podprostora L i M.

Teorema 6.2. To n-dimenzionalni prostor R bio direktan zbir podprostora L i M, dovoljno je da raskrsnica L i M sadrži samo nulti element i da je dimenzija R jednaka zbroju dimenzija podprostora L i M.

Dokaz. Odaberimo neku bazu u podprostoru L i neku bazu u podprostoru M. Dokažimo to

(6.11) je osnova prostora R. Po hipotezi teoreme, dimenzija prostora R n jednak je zbiru podprostora L i M (n=l+m). Dovoljno je dokazati linearnu nezavisnost elemenata (6.11). Neka je nulti vektor prostora R je predstavljen linearnom kombinacijom vektora (6.11) sa nekim koeficijentima:

(6.13) Budući da je lijeva strana (6.13) vektor potprostora L, a desna strana je vektor podprostora M i L∩M=0 , onda

(6.14) Ali vektori i su baze podprostora L i M respektivno. Stoga su linearno nezavisni. Onda

(6.15) Utvrdili smo da (6.12) vrijedi samo pod uvjetom (6.15), a to dokazuje linearnu nezavisnost vektora (6.11). Stoga oni čine osnovu u R.

Neka je x∈R. Proširujemo ga u smislu osnove (6.11):

(6.16) Iz (6.16) imamo:

(6.18) Iz (6.17) i (6.18) slijedi da bilo koji vektor iz R može biti predstavljen zbirom vektora x 1 ∈L i x 2 ∈M. Ostaje dokazati da je ovaj prikaz jedinstven. Neka pored reprezentacije (6.17) ima i sljedeći prikaz:

(6.19) Oduzimanjem (6.19) od (6.17) dobijamo

(6.20) Budući da , i L∩M=0 , zatim i . Stoga i . ■

Teorema 8.4 o dimenziji zbira potprostora. Ako su i podprostori konačno-dimenzionalnog linearnog prostora , tada je dimenzija zbira potprostora jednaka zbroju njihovih dimenzija bez dimenzije njihovog presjeka ( Grassmannova formula):

Doista, neka bude osnova raskrižja . Dopunimo ga uređenim skupom vektora do osnove podprostora i uređenim skupom vektora do baze podprostora . Takav dodatak je moguć prema teoremi 8.2. Od ova tri skupa vektora sastavit ćemo uređeni skup vektora. Pokažimo da su ovi vektori generatori prostora . Zaista, svaki vektor ovog prostora može se predstaviti kao linearna kombinacija vektora iz uređenog skupa

Shodno tome, . Dokažimo da su generatori linearno nezavisni i da su stoga osnova prostora. Zaista, napravimo linearnu kombinaciju ovih vektora i izjednačimo je sa nultim vektorom: . Svi koeficijenti ove ekspanzije su nula: podprostori vektorskog prostora bilinearne forme su skup svih vektora ortogonalnih na svaki vektor iz . Ovaj skup je vektorski podprostor, koji se obično označava sa .

vektor(ili linearno) prostor- matematička struktura, koja je skup elemenata, koji se nazivaju vektori, za koje se definiraju operacije međusobnog sabiranja i množenja brojem - skalarom. Ove operacije podliježu osam aksioma. Skalari mogu biti elementi realnog, kompleksnog ili bilo kojeg drugog brojevnog polja. Poseban slučaj takvog prostora je uobičajeni trodimenzionalni euklidski prostor, čiji se vektori koriste, na primjer, za predstavljanje fizičkih sila. Treba napomenuti da vektor, kao element vektorskog prostora, ne mora biti specificiran kao usmjereni segment. Generalizacija koncepta "vektora" na element vektorskog prostora bilo koje prirode ne samo da ne uzrokuje zbrku pojmova, već nam omogućava da razumijemo ili čak predvidimo niz rezultata koji vrijede za prostore proizvoljne prirode .

Vektorski prostori su predmet proučavanja linearne algebre. Jedna od glavnih karakteristika vektorskog prostora je njegova dimenzija. Dimenzija je maksimalan broj linearno nezavisnih elemenata prostora, odnosno pribjegavanja gruboj geometrijskoj interpretaciji, broju pravaca koji se ne mogu izraziti jedan kroz drugi samo operacijama sabiranja i množenja skalarom. Vektorski prostor može biti obdaren dodatnim strukturama, kao što su norma ili tačkasti proizvod. Takvi se prostori prirodno pojavljuju u računanju, pretežno kao prostori funkcija beskonačne dimenzije (engleski), gdje su vektori funkcije . Mnogi problemi u analizi zahtijevaju otkrivanje da li niz vektora konvergira datom vektoru. Razmatranje ovakvih pitanja moguće je u vektorskim prostorima sa dodatnom strukturom, u većini slučajeva odgovarajućom topologijom, koja omogućava da se definišu koncepti blizine i kontinuiteta. Takvi topološki vektorski prostori, posebno Banahovi i Hilbertovi prostori, omogućavaju dublje proučavanje.

Prvi radovi koji su predviđali uvođenje koncepta vektorskog prostora datiraju iz 17. stoljeća. Tada je dobila svoj razvoj analitička geometrija, doktrina matrica, sistema linearnih jednačina i euklidskih vektora.

Definicija

Linearno ili vektorski prostor V (F) (\displaystyle V\lijevo(F\desno)) preko terena F (\displaystyle F) je uređena četvorka (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), gdje

• V (\displaystyle V)- neprazan skup elemenata proizvoljne prirode, koji se nazivaju vektori;
• F (\displaystyle F)- polje čiji se elementi pozivaju skalarima;
• Definisana operacija dopune vektori V × V → V (\displaystyle V\puta V\to V), koji odgovara svakom paru elemenata x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) setovi V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) zove ih suma i označeno x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Definisana operacija množenje vektora skalarima F × V → V (\displaystyle F\puta V\to V), koji odgovara svakom elementu λ (\displaystyle \lambda ) polja F (\displaystyle F) i svaki element x (\displaystyle \mathbf (x) ) setovi V (\displaystyle V) jedini element skupa V (\displaystyle V), označeno λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) ili λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Vektorski prostori definirani na istom skupu elemenata, ali na različitim poljima bit će različiti vektorski prostori (na primjer, skup parova realni brojevi R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) može biti dvodimenzionalni vektorski prostor nad poljem realnih brojeva ili jednodimenzionalni - nad poljem kompleksnih brojeva).

Najjednostavnija svojstva

1. Vektorski prostor je abelova grupa sabiranjem.
2. neutralni element 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) za bilo koga.
4. Za bilo koga x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) suprotni element − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) je jedini koji slijedi iz svojstava grupe.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) za bilo koga x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) za bilo koji i x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) za bilo koga α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Povezane definicije i svojstva

podprostor

Algebarska definicija: Linearni podprostor ili vektorski podprostor je neprazan podskup K (\displaystyle K) linearni prostor V (\displaystyle V) takav da K (\displaystyle K) je sam linearan prostor u odnosu na one definirane u V (\displaystyle V) operacije sabiranja i množenja skalarom. Skup svih podprostora se obično označava kao L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Da bi podskup bio podprostor, potrebno je i dovoljno da

Posljednje dvije izjave su ekvivalentne sljedećem:

Za bilo koje vektore x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \u K) vektor α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) takođe pripadao K (\displaystyle K) za bilo koji α , β ∈ F (\displaystyle \alpha,\beta \u F).

Konkretno, vektorski prostor koji se sastoji od samo jednog nultog vektora je podprostor bilo kojeg prostora; svaki prostor je sam po sebi podprostor. Podprostori koji se ne poklapaju sa ova dva nazivaju se vlastiti ili netrivijalan.

Svojstva podprostora

Linearne kombinacije

Krajnji zbroj pogleda

Linearna kombinacija se naziva:

Osnova. Dimenzija

Vektori x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) pozvao linearno zavisna, ako postoji njihova netrivijalna linearna kombinacija, čija je vrijednost jednaka nuli; to je

sa nekim koeficijentima α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots ,\alpha _(n)\in F,) i najmanje jedan od koeficijenata α i (\displaystyle \alpha _(i)) različito od nule.

Inače, ovi vektori se nazivaju linearno nezavisna.

Ova definicija dozvoljava sljedeću generalizaciju: beskonačan skup vektora iz V (\displaystyle V) pozvao linearno zavisna, ako neki final njegov podskup, i linearno nezavisna, ako iko final podskup je linearno nezavisan.

Osobine osnove:

Linearna školjka

Linearna školjka podskupovi X (\displaystyle X) linearni prostor V (\displaystyle V)- presek svih podprostora V (\displaystyle V) koji sadrži X (\displaystyle X).

Linearna ljuska je podprostor V (\displaystyle V).

Linearna ljuska se također naziva generiran podprostor X (\displaystyle X). Takođe se kaže da je linearni raspon V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- prostor, ispružen preko mnogo X (\displaystyle X).

Članak opisuje osnove linearne algebre: linearni prostor, njegova svojstva, pojam baze, dimenzije prostora, linearni raspon, odnos između linearnih prostora i rang matrica.

linearni prostor

Mnogo L pozvao linearni prostor, ako za sve njegove elemente operacije sabiranja dva elementa i množenja elementa brojem zadovoljavaju I grupa Weylovi aksiomi. Elementi linearnog prostora se nazivaju vektori. Ovo je potpuna definicija; ukratko, možemo reći da je linearni prostor skup elemenata za koji su definirane operacije sabiranja dva elementa i množenja elementa brojem.

Weylovi aksiomi.

Herman Weil sugerirao je da u geometriji imamo dvije vrste objekata ( vektori i tačke), čija su svojstva opisana sljedećim aksiomima, koji su bili osnova ovog odjeljka linearna algebra. Aksiomi se mogu prikladno podijeliti u 3 grupe.

Grupa I

1. za bilo koje vektore x i y jednakost x+y=y+x je zadovoljena;
2. za bilo koje vektore x, y i z, x+(y+z)=(x+y)+z;
3. postoji vektor o takav da je za bilo koji vektor x tačna jednakost x + o = x;
4. za bilo koji vektor X postoji vektor (-x) takav da je x+(-x)=o;
5. za bilo koji vektor X nastupa jednakost 1x=x;
6. za bilo koje vektore X i at i bilo koji broj λ, jednakost λ( X+at)=λ X+λ at;
7. za bilo koji vektor X i bilo koji brojevi λ i μ imamo jednakost (λ+μ) X=λ X+μ X;
8. za bilo koji vektor X i bilo koje brojeve λ i μ, jednakost λ(μ X)=(λμ) X;

Grupa II

Grupa I definiše koncept linearna kombinacija vektora, linearna zavisnost i linearnu nezavisnost. Ovo nam omogućava da formulišemo još dva aksioma:

1. postoji n linearno nezavisnih vektora;
2. bilo koji (n+1) vektori su linearno zavisni.

Za planimetriju n=2, za stereometriju n=3.

Grupa III

Ova grupa pretpostavlja da postoji skalarna operacija množenja koja povezuje par vektora X i at broj ( x,y). pri čemu:

1. za bilo koje vektore X i at važi jednakost ( x,y)=(y, x);
2. za bilo koje vektore X , at i z važi jednakost ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. za bilo koje vektore X i at i bilo koji broj λ, jednakost (λ x,y)=λ( x,y);
4. za bilo koji vektor x, nejednakost ( x, x)≥0, i ( x, x)=0 ako i samo ako X=0.

Svojstva linearnog prostora

Uglavnom su svojstva linearnog prostora zasnovana na Weylovim aksiomima:

1. Vector o, čije postojanje garantuje aksiom 3, je jedinstveno definisan;
2. Vektor(- X), čije postojanje garantuje aksiom 4, jedinstveno je definisan;
3. Za bilo koja dva vektora a i b pripadnost prostoru L, postoji pojedinačni vektor X, također pripada prostoru L, što je rješenje jednačine a+x=b i zove se vektorska razlika b-a.

Definicija. Podset L' linearni prostor L pozvao linearni podprostor prostor L, ako je i sam linearni prostor u kojem su zbir vektora i proizvod vektora brojem definirani na isti način kao u L.

Definicija. Linearna školjka L(x1, x2, x3, …, xk) vektori x1, x2, x3, i xk je skup svih linearnih kombinacija ovih vektora. O linearnom rasponu, možemo to reći

-linearni raspon je linearni podprostor;

– linearni raspon je minimalni linearni podprostor koji sadrži vektore x1, x2, x3, i xk.

Definicija. Linearni prostor se naziva n-dimenzionalnim ako zadovoljava grupu II sistema Weylovih aksioma. Poziva se broj n dimenzija linearni prostor i pisati dimL=n.

Osnova je bilo koji uređeni sistem n linearno nezavisni vektori prostora. Značenje baze je takvo da se vektori koji čine bazu mogu koristiti za opisivanje bilo kojeg vektora u prostoru.

Teorema. Bilo koji n linearno nezavisnih vektora u prostoru L čine bazu.

Izomorfizam.

Definicija. Linearni prostori L i L' nazivaju se izomorfnim ako se takva jedna-na-jedan korespondencija može uspostaviti između njihovih elemenata x↔x', šta:

1. ako x↔x', y↔y', onda x+y↔x’+y’;
2. ako x↔x', onda λ x↔λ X'.

Ova korespondencija se zove izomorfizam. Izomorfizam nam omogućava da napravimo sljedeće tvrdnje:

• ako su dva prostora izomorfna, onda su njihove dimenzije jednake;
• bilo koja dva linearna prostora nad istim poljem i iste dimenzije su izomorfna.