Pravilo za diferenciranje složene funkcije dovest će nas do jednog izvanrednog i važnog svojstva diferencijala.

Neka su funkcije takve da se od njih može sastaviti kompleksna funkcija: . Ako postoje derivati, onda - po pravilu V - postoji i derivat

Zamijenivši, međutim, njegovu derivaciju izrazom (7) i primijetivši da postoji diferencijal x kao funkcija t, konačno dobijamo:

tj., vratimo se na prethodni oblik diferencijala!

Dakle, vidimo da se oblik diferencijala može sačuvati čak i ako se stara nezavisna varijabla zameni novom. Uvijek smo slobodni da zapišemo diferencijal od y u obliku (5), bez obzira da li je x nezavisna varijabla ili ne; jedina razlika je u tome što ako je t izabrano kao nezavisna varijabla, onda to ne znači proizvoljan prirast, već diferencijal x kao funkcija. Ovo svojstvo se naziva invarijantnost oblika diferencijala.

Budući da formula (5) direktno daje formulu (6), koja derivaciju izražava u terminima diferencijala, posljednja formula ostaje važeća, bez obzira na koju nezavisnu varijablu (naravno, ista u oba slučaja) imenovani diferencijali se računaju.

Neka, na primjer, tako

Sada postavljamo Tada ćemo također imati: Lako je provjeriti da li je formula

daje samo još jedan izraz za izvod izračunat iznad.

Ova okolnost je posebno pogodna za korištenje u slučajevima kada ovisnost y od x nije direktno specificirana, već je umjesto toga data ovisnost obje varijabli x i y od neke treće, pomoćne varijable (koja se zove parametar):

Pod pretpostavkom da obje ove funkcije imaju izvode i da za prvu od njih postoji inverzna funkcija koja ima izvod, lako je vidjeti da je tada y također funkcija od x:

za koje postoji i derivat. Izračun ove derivacije može se izvršiti prema gore navedenom pravilu:

bez obnavljanja direktne zavisnosti y od x.

Na primjer, ako se izvod može definirati, kao što je to učinjeno gore, bez korištenja ovisnosti uopće.

Ako posmatramo x i y kao pravougaone koordinate tačke na ravni, onda jednačine (8) svaku vrednost parametra t dodeljuju određenoj tački, koja sa promenom t opisuje krivulju na ravni. Jednačine (8) se nazivaju parametarske jednačine ovu krivu.

U slučaju parametarske specifikacije krivulje, formula (10) omogućava uspostavljanje direktno iz jednačina (8) nagib tangenta bez prelaska na specificiranje krive jednadžbom (9); upravo,

Komentar. Mogućnost izražavanja derivacije u terminima diferencijala uzetih u odnosu na bilo koju varijablu, posebno, dovodi do činjenice da formule

izražavajući u Leibnizovoj notaciji pravila diferencijacije inverzna funkcija i složena funkcija, postaju jednostavni algebarski identiteti (pošto se svi diferencijali ovdje mogu uzeti u odnosu na istu varijablu). Međutim, ne treba misliti da ovo daje novu derivaciju gornjih formula: prije svega, ovdje nije dokazano postojanje derivacija s lijeve strane, ali je najvažnije da smo u suštini koristili invarijantnost oblika diferencijala , što je samo po sebi posljedica pravila V.

Izraz za ukupni diferencijal funkcije nekoliko varijabli je isti bilo da su u i v nezavisne varijable ili funkcije drugih nezavisnih varijabli.

Dokaz se temelji na formuli totalne diferencijalne formule

Q.E.D.

5.Ukupni izvod funkcije je vremenski izvod funkcije duž putanje. Neka funkcija ima oblik i njeni argumenti ovise o vremenu: . Zatim, gdje su parametri koji definiraju putanju. Ukupni izvod funkcije (u tački ) u ovom slučaju jednak je parcijalnom vremenskom izvodu (u odgovarajućoj tački) i može se izračunati po formuli:

gdje - parcijalne derivate. Treba napomenuti da je oznaka uvjetna i nema nikakve veze s podjelom diferencijala. Osim toga, ukupni izvod funkcije ovisi ne samo o samoj funkciji, već i o putanji.

Na primjer, ukupni izvod funkcije:

Ovdje nema, jer samo po sebi („eksplicitno“) ne zavisi od .

Puni diferencijal

Puni diferencijal

funkcije f (x, y, z, ...) više nezavisnih varijabli - izraz

u slučaju kada se razlikuje od punog prirasta

Δf = f(x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f(x, y, z, …)

na beskonačno malu vrijednost u poređenju sa

Tangentna ravan na površinu

(X, Y, Z - trenutne koordinate tačke na tangentnoj ravni; - vektor radijusa ove tačke; x, y, z - koordinate tačke tangente (odnosno za normalu); - vektori tangente na koordinatne linije, odnosno v = const, u = const; )

1.

2.

3.

Površina normalna

3.

4.

Koncept diferencijala. Geometrijsko značenje diferencijala. Invarijantnost oblika prvog diferencijala.

Razmotrimo funkciju y = f(x) diferencijabilnu u datoj tački x. Njegov prirast Dy se može predstaviti kao

D y \u003d f "(x) D x + a (D x) D x,

gdje je prvi član linearan u odnosu na Dx, a drugi član u tački Dx = 0 je infinitezimalna funkcija višeg reda od Dx. Ako je f "(x) br. 0, tada je prvi član glavni dio prirasta Dy. Ovaj glavni dio inkrementa je linearna funkcija argument Dx i naziva se diferencijal funkcije y = f(x). Ako je f "(x) \u003d 0, tada se diferencijal funkcije, po definiciji, smatra jednakim nuli.

Definicija 5 (diferencijal). Diferencijal funkcije y = f(x) je glavni linearni u odnosu na Dx dio prirasta Dy, jednak proizvodu derivacije i priraštaja nezavisne varijable

Imajte na umu da je diferencijal nezavisne varijable jednak inkrementu ove varijable dx = Dx. Stoga se formula za diferencijal obično piše u sljedećem obliku: dy \u003d f "(x) dx. (4)

Hajde da saznamo šta geometrijsko značenje diferencijal. Uzmimo proizvoljnu tačku M(x, y) na grafu funkcije y = f(x) (slika 21.). Nacrtajte tangentu na krivu y = f(x) u tački M, koja formira ugao f sa pozitivnim smjerom ose OX, odnosno f "(x) = tgf. Iz pravouglog trokuta MKN

KN \u003d MNtgf \u003d D xtg f \u003d f "(x) D x,

tj. dy = KN.

Dakle, diferencijal funkcije je prirast ordinate tangente povučene na graf funkcije y = f(x) u datoj tački kada se x poveća za Dx.

Napominjemo glavna svojstva diferencijala, koja su slična svojstvima derivacije.

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x)d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Istaknimo još jedno svojstvo koje diferencijal ima, ali derivacija nema. Razmotrimo funkciju y = f(u), gdje je u = f (x), odnosno razmotrimo kompleksnu funkciju y = f(f(x)). Ako je svaka od funkcija f i f diferencijabilna, onda je derivacija složene funkcije, prema teoremu (3), jednaka y" = f"(u) u". Tada je diferencijal funkcije

dy \u003d f "(x) dx \u003d f "(u) u" dx \u003d f "(u) du,

pošto je u "dx = du. To jest, dy = f" (u) du. (5)

Posljednja jednakost znači da se diferencijalna formula ne mijenja ako, umjesto funkcije od x, razmotrimo funkciju varijable u. Ovo svojstvo diferencijala naziva se invarijantnost oblika prvog diferencijala.

Komentar. Imajte na umu da je u formuli (4) dx = Dx, dok je u formuli (5) du samo linearni dio prirasta funkcije u.

Integralni račun je grana matematike koja proučava svojstva i metode izračunavanja integrala i njihove primjene. Ja i. je usko povezan sa diferencijalnim računom i zajedno sa njim čini jedan od glavnih delova

Vidjeli smo da se diferencijal funkcije može zapisati kao:
(1),

ako je nezavisna varijabla. Pusti sada postoji složena funkcija , tj.
,
i zbog toga
. Ako su derivati ​​funkcija
i
onda postoji
, kao derivat kompleksne funkcije. Diferencijal
ili. Ali
i stoga možemo pisati
, tj. dobiti izraz za
kao u (1).

zaključak: formula (1) je tačna kao u slučaju kada je nezavisna varijabla, au slučaju kada je funkcija nezavisne varijable . U prvom slučaju pod
se shvata kao diferencijal nezavisne varijable
, u drugom - diferencijal funkcije (u ovom slučaju
, općenito govoreći). Ovo svojstvo očuvanja oblika (1) se zove diferencijalna invarijantnost oblika.

Invarijantnost oblika diferencijala daje velike prednosti pri izračunavanju diferencijala složenih funkcija.

Na primjer: treba izračunati
. Bilo da je zavisna ili nezavisna varijabla , možemo pisati. Ako a - funkcija, na primjer
, onda nalazimo
i, koristeći invarijantnost oblika diferencijala, imamo pravo da zapišemo.

§osamnaest. Derivati ​​višeg reda.

Neka je funkcija y =  (x) diferencijabilna na nekom intervalu X, (to jest, ima konačni izvod y 1 =  1 (x) u svakoj tački ovog intervala). Tada je  1 (x) u samom X funkcija od x. Može se ispostaviti da u nekim tačkama ili uopšte x 1 (x) ima derivaciju, tj. postoji izvod izvoda (y 1) 1 = ( 1 (x) 1. U ovom slučaju se zove drugi izvod ili izvod drugog reda. Označavaju se simbolima y 11,  11 (x ), d 2 y / dx 2. Ako je potrebno naglasiti da je derivacija u m.x 0, zatim upisati

y 11 / x \u003d x 0 ili 11 (x 0) ili d 2 y / dx 2 / x \u003d x 0

izvod od y 1 naziva se izvod prvog reda ili prvi izvod.

Dakle, izvod drugog reda je izvod izvoda prvog reda funkcije.

Sasvim slično, derivat (tamo gdje postoji) izvoda drugog reda naziva se izvod trećeg reda ili treći izvod.

Označite (y 11) 1 \u003d y 111 \u003d 111 (x) \u003d d 3 y / dx 3 = d 3  (x) / dx 3

Općenito, derivacija n-tog reda funkcije y \u003d  (x) je derivacija derivacije (n-1) reda ove funkcije. (ako postoje, naravno).

odrediti

Pročitajte: n-ti izvod od y, iz  (x); d n y po d x u n-tom.

Četvrti, peti itd. nezgodno je redosled označavati potezima, pa broj pišu u zagradama, umesto  v (x) pišu  (5) (x).

U zagradama, kako se ne bi pobrkali n-ti red derivacije i n-ti stepen funkcije.

Derivati ​​višeg reda od prvog nazivaju se derivati ​​višeg reda.

Iz same definicije proizilazi da da biste pronašli n-tu derivaciju, morate sukcesivno pronaći sve prethodne od 1. do (n-1)-te.

primjeri: 1) y \u003d x 5; y 1 = 5x 4; y 11 = 20x 3;

y 111 = 60x 2; y (4) =120x; y (5) =120; y (6) =0,…

2) y=e x; y 1 \u003d e x; y 11 \u003d e x; ...;

3) y=sinx; y 1 = cosx; y 11 = -sinx; y 111 = -cosx; y (4) = sinh;…

Imajte na umu da drugi derivat ima određeno mehaničko značenje.

Ako je prva derivacija putanje u odnosu na vrijeme brzina neravnomjernog pravolinijskog kretanja

V=ds/dt, gdje je S=f(t) jednačina kretanja, tada je V 1 =dV/dt= d 2 S/dt 2 brzina promjene brzine, tj. ubrzanje kretanja:

a \u003d f 11 (t) \u003d dV / dt \u003d d 2 S / dt 2.

Dakle, drugi izvod putanje u odnosu na vrijeme je ubrzanje kretanja tačke - to je mehaničko značenje druge derivacije.

U brojnim slučajevima moguće je napisati izraz za derivaciju bilo kojeg reda, zaobilazeći one srednje.

Primjeri:

y=e x; (y) (n) = (e x) (n) = e x;

y=a x; y 1 \u003d a x lna; y 11 \u003d a x (lna) 2; y (n) = a x (lna) n;

y \u003d x α; y 1 \u003d αx α-1; y 11 =
; y (p) \u003d α (α-1) ... (α-n + 1) x α-n, sa =n imamo

y (n) = (x n) (n) = n! Sve derivacije reda iznad n su nula.

y \u003d sinx; y 1 = cosx; y 11 = -sinx; y 111 = -cosx; y (4) = sinh;… itd.

y 1 \u003d sin (x + /2); y 11 = sin (x + 2 /2); y 111 \u003d sin (x + 3 /2); itd., zatim y (n) = (sinx) (n) = sin (x + n /2).

Lako je utvrditi uzastopnim diferencijacijom i općim formulama:

1) (CU) (n) = C (U) (n) ; 2) (U ± V) (n) = U (n) ± V (n)

Komplikovanija je formula za n-ti izvod proizvoda dviju funkcija (U·V) (n) . Zove se Leibnizova formula.

Uhvatimo je

y \u003d U V; y 1 \u003d U 1 V + UV 1; y 11 = U 11 V + U 1 V 1 + U 1 V 1 + UV 11 = U 11 V + 2U 1 V 1 + UV 11;

y 111 = U 111 V + U 11 V 1 + 2U 11 V 1 + 2U 1 V 11 + U 1 V 11 + UV 111 \u003d U 111 V + 3U 11 V 1 +3 U 1 V 11 + UV 111;

Slično, dobijamo

y (4) \u003d U (4) V + 4 U 111 V 1 +6 U 11 V 11 +4 U 1 V 111 + UV (4) itd.

Lako je vidjeti da desne strane svih ovih formula liče na proširenje potencija binoma U+V, (U+V) 2 , (U+V) 3 itd. Samo umjesto potencija U i V postoje derivati ​​odgovarajućih redova. Sličnost će biti posebno potpuna ako u rezultirajuće formule umjesto U i V upišemo U (0) i V (0), tj. 0. derivati ​​funkcija U i V (same funkcije).

Proširujući ovaj zakon na slučaj bilo kog n, dobijamo opštu formulu

y(n) = (UV)(n) = U(n) V+ n/1! U (n-1) V 1 + n(n-1)/2! U (n-2) V (2) + n(n-1)(n-2)/3! U (n-3) V (3) +…+ n(n-1)…(n-k+1)/K! U (k) V (n-k) + ... + UV (n) - Leibnizova formula.

Primjer: pronađi (e x x) (n)

(e x) (n) = e x, x 1 = 1, x 11 = 0 i x (n) = 0, dakle (e x x) (n) = (e x) (n) x + n / 1 ! (e x) (n-1) x 1 = e x x + ne x = e x (x + n).

Funkcijski diferencijal

Funkcija se poziva diferencibilan u jednoj tački, ograničenje za skup E, ako je njegov prirast Δ f(x 0) koji odgovara inkrementu argumenta x, može se predstaviti kao

Δ f(x 0) = A(x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

gdje ω (x - x 0) = o(x - x 0) at x → x 0 .

Display, pozvan diferencijal funkcije f u tački x 0 i vrijednost A(x 0)h - diferencijalna vrijednost na ovom mjestu.

Za vrijednost diferencijala funkcije f prihvaćena oznaka df ili df(x 0) ako želite da znate u kom trenutku je izračunato. Na ovaj način,

df(x 0) = A(x 0)h.

Dijeljenje u (1) sa x - x 0 i ciljanje x to x 0, dobijamo A(x 0) = f"(x 0). Stoga imamo

df(x 0) = f"(x 0)h. (2)

Upoređujući (1) i (2), vidimo da je vrijednost diferencijala df(x 0) (kada f"(x 0) ≠ 0) je glavni dio inkrementa funkcije f u tački x 0, linearna i homogena u isto vrijeme s obzirom na prirast h = x - x 0 .

Kriterij diferencijacije funkcije

Da bi funkcija f bio diferenciran u datoj tački x 0 , potrebno je i dovoljno da ima konačan izvod u ovoj tački.

Invarijantnost oblika prvog diferencijala

Ako a x je nezavisna varijabla, dakle dx = x - x 0 (fiksni prirast). U ovom slučaju imamo

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Ako a x = φ (t) je onda diferencijabilna funkcija dx = φ" (t 0)dt. shodno tome,