Vektorlar orasidagi burchak

Ikki vektorning oʻzaro koʻpaytmasi tushunchasini kiritishimiz uchun, avvalo, bu vektorlar orasidagi burchak kabi tushuncha bilan shugʻullanishimiz kerak.

Bizga $\overline(a)$ va $\overline(b)$ ikkita vektor berilsin. Keling, fazoda $O$ nuqtasini olib, undan $\overline(a)=\overline(OA)$ va $\overline(b)=\overline(OB)$ vektorlarini, keyin $AOB burchagini chetga olib chiqamiz. $ bu vektorlar orasidagi burchak deb ataladi (1-rasm).

Belgilash: $∠(\overline(a),\overline(b))$

Vektorlarning o‘zaro ko‘paytmasi tushunchasi va topish formulasi

Ta'rif 1

Ikki vektorning vektor ko'paytmasi berilgan ikkala vektorga perpendikulyar vektor bo'lib, uning uzunligi ushbu vektorlar orasidagi burchak sinusiga ushbu vektorlar uzunliklarining ko'paytmasiga teng bo'ladi va ikkita boshlang'ichli vektor bir xil bo'ladi. Dekart koordinata tizimi sifatida orientatsiya.

Belgilash: $\overline(a)x\overline(b)$.

Matematik jihatdan bu shunday ko'rinadi:

1. $|\overline(a)x\overline(b)|=|\overline(a)||\overline(b)|sin⁡∠(\overline(a),\overline(b))$
2. $\overline(a)x\overline(b)⊥\overline(a)$, $\overline(a)x\overline(b)⊥\overline(b)$
3. $(\overline(a)x\overline(b),\overline(a),\overline(b))$ va $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ bir xil yo'naltirilgan (2-rasm)

Shubhasiz, vektorlarning tashqi mahsuloti ikkita holatda nol vektorga teng bo'ladi:

1. Agar bitta yoki ikkala vektorning uzunligi nolga teng bo'lsa.
2. Agar bu vektorlar orasidagi burchak $180^\circ$ yoki $0^\circ$ ga teng boʻlsa (chunki bu holda sinus nolga teng).

Vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasi qanday topilganligini aniq koʻrish uchun quyidagi yechim misollarini koʻrib chiqing.

1-misol

$\overline(d)$ vektorining uzunligi $\overline(a)=(0,4,0)$ va $\overline(b) koordinatalari bilan vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasi natijasi boʻladi. =(3,0,0)$.

Yechim.

Bu vektorlarni dekart koordinata fazosida tasvirlaymiz (3-rasm):

3-rasm. Dekart koordinata fazosidagi vektorlar. Author24 - talabalar hujjatlarini onlayn almashish

Bu vektorlar mos ravishda $Ox$ va $Oy$ oʻqlarida yotishini koʻramiz. Shuning uchun ular orasidagi burchak $90^\circ$ ga teng bo'ladi. Ushbu vektorlarning uzunliklarini topamiz:

$|\overline(a)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(b)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Keyin 1-ta'rif bo'yicha biz $|\overline(d)|$ modulini olamiz

$|\overline(d)|=|\overline(a)||\overline(b)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Javob: $12$.

Vektorlarning koordinatalari bo'yicha ko'ndalang mahsulotni hisoblash

1-ta'rif darhol ikkita vektor uchun o'zaro mahsulot topish usulini nazarda tutadi. Vektor qiymatdan tashqari yo'nalishga ham ega bo'lgani uchun uni faqat skalyar qiymat yordamida topish mumkin emas. Ammo bundan tashqari, koordinatalar yordamida bizga berilgan vektorlarni topishning yana bir usuli bor.

Bizga $\overline(a)$ va $\overline(b)$ vektorlari berilsin, ular mos ravishda $(a_1,a_2,a_3)$ va $(b_1,b_2,b_3)$ koordinatalariga ega boʻladi. Keyin ko'ndalang mahsulot vektorini (ya'ni, uning koordinatalarini) quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:

$\overline(a)x\overline(b)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end(vmatrix)$

Aks holda, determinantni kengaytirib, biz quyidagi koordinatalarni olamiz

$\overline(a)x\overline(b)=(a_2 b_3-a_3 b_2,a_3 b_1-a_1 b_3,a_1 b_2-a_2 b_1)$

2-misol

$(0,3,3)$ va $(-1,2,6)$ koordinatalari bo'lgan $\overline(a)$ va $\overline(b)$ kollinear vektorlarining kesishgan ko'paytmasi vektorini toping.

Yechim.

Yuqoridagi formuladan foydalanamiz. Oling

$\overline(a)x\overline(b)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18) -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Javob: $(12,-3,3)$.

Vektorlar ko‘paytmasining xossalari

$\overline(a)$, $\overline(b)$ va $\overline(g)$, shuningdek $r∈R$ ixtiyoriy aralash uchta vektor uchun quyidagi xossalar amal qiladi:

3-misol

Cho'qqilari $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ va $(3,8,0) koordinatalariga ega bo'lgan parallelogrammning maydonini toping. $.

Yechim.

Birinchidan, bu parallelogrammni koordinatali fazoda chizamiz (5-rasm):

5-rasm. Koordinata fazosida paralelogramma. Author24 - talabalar hujjatlarini onlayn almashish

Bu parallelogrammning ikki tomoni $\overline(a)=(3,0,0)$ va $\overline(b)=(0,8,0)$ koordinatalari bo'lgan kollinear vektorlar yordamida tuzilganligini ko'ramiz. To'rtinchi xususiyatdan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

$S=|\overline(a)x\overline(b)|$

$\overline(a)x\overline(b)$ vektorini toping:

$\overline(a)x\overline(b)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Natijada

$S=|\overline(a)x\overline(b)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Vektor mahsuloti tushunchasini berishdan oldin a → , b → , c → vektorlarning tartiblangan uchligini uch o‘lchovli fazoda yo‘nalishi masalasiga murojaat qilaylik.

Boshlash uchun a → , b → , c → vektorlarini bir nuqtadan chetga olib chiqamiz. Uchlik a → , b → , c → yo‘nalishi c → vektor yo‘nalishiga qarab o‘ng yoki chap bo‘ladi. a → vektordan b → c → vektorining oxiridan eng qisqa burilish qilingan yo'nalishdan a → , b → , c → uchlik shakli aniqlanadi.

Agar eng qisqa aylanish soat miliga teskari bo'lsa, a → , b → , c → vektorlarning uchligi deyiladi. to'g'ri agar soat yo'nalishi bo'yicha - chap.

Keyin ikkita kollinear bo'lmagan a → va b → vektorlarini oling. U holda A nuqtadan A B → = a → va A C → = b → vektorlarini kechiktiramiz. A D → = c → vektorni quramiz, u bir vaqtning o'zida A B → va A C → ga perpendikulyar. Shunday qilib, A D → = c → vektorini qurishda biz ikkita narsani qilishimiz mumkin, unga bitta yo'nalish yoki teskari yo'nalish berish (rasmga qarang).

a → , b → , c → vektorlarning tartiblangan uchligi vektor yo‘nalishiga qarab, biz aniqlaganimizdek, o‘ng yoki chap bo‘lishi mumkin.

Yuqoridagilardan vektor mahsulotning ta'rifini kiritishimiz mumkin. Bu ta'rif uch o'lchamli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida aniqlangan ikkita vektor uchun berilgan.

Ta'rif 1

Ikki a → va b → vektorlarning vektor mahsuloti Biz uch o'lchamli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida berilgan bunday vektorni shunday deb ataymiz:

• a → va b → vektorlari kollinear bo'lsa, u nolga teng bo'ladi;
• u a →​​ vektoriga ham, b vektoriga ham perpendikulyar bo'ladi, ya'ni. ∠ a → c → = ∠ b → c → = p 2 ;
• uning uzunligi quyidagi formula bilan aniqlanadi: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• a →, b →, c → vektorlar uchligi berilgan koordinatalar sistemasi bilan bir xil yo‘nalishga ega.

a → va b → vektorlarining o‘zaro ko‘paytmasi quyidagi yozuvga ega: a → × b → .

O'zaro mahsulot koordinatalari

Har qanday vektor koordinatalar tizimida ma'lum koordinatalarga ega bo'lganligi sababli, vektorlarning berilgan koordinatalaridan uning koordinatalarini topish imkonini beradigan o'zaro ko'paytmaning ikkinchi ta'rifini kiritish mumkin.

Ta'rif 2

Uch o'lchovli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida a → = (a x ; a y ; a z) va b → = (b x ; b y ; b z) ikkita vektorning vektor ko‘paytmasi vektorni c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → deb ataymiz, bu erda i → , j → , k → koordinata vektorlari.

Vektor mahsuloti aniqlovchi sifatida ifodalanishi mumkin kvadrat matritsa uchinchi tartibli, bunda birinchi qator vektorlari i → , j → , k → , ikkinchi qatorda a → vektorining koordinatalari, uchinchi qatorda esa berilgan to‘rtburchak koordinatada b → vektorining koordinatalari joylashgan. sistemada bu matritsa determinanti quyidagicha ko‘rinadi: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Bu determinantni birinchi qator elementlariga kengaytirib, biz tenglikni olamiz: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x b → b = a x → a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

O'zaro mahsulot xususiyatlari

Ma'lumki, koordinatalarda vektor ko'paytma c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z matritsaning determinanti sifatida, so'ngra bazisda ifodalanadi. matritsaning determinant xususiyatlari quyidagi vektor mahsulot xususiyatlari:

1. antikommutativlik a → × b → = - b → × a →;
2. taqsimlanish a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → yoki a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. assotsiativlik l a → × b → = l a → × b → yoki a → × (l b →) = l a → × b →, bu erda l ixtiyoriy haqiqiy son.

Bu xususiyatlar murakkab dalillarga ega emas.

Masalan, vektor mahsulotining antikommutativlik xususiyatini isbotlashimiz mumkin.

Antikommutativlikning isboti

Ta'rifga ko'ra, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z va b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Va agar matritsaning ikkita qatori almashtirilsa, u holda matritsa determinantining qiymati teskari tomonga o'zgarishi kerak, demak, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x = y. - b → × a → , bu vektor mahsulotning antikommutativligini isbotlaydi.

Vektorli mahsulot - misollar va echimlar

Ko'pgina hollarda, uchta turdagi vazifalar mavjud.

Birinchi turdagi masalalarda odatda ikkita vektorning uzunligi va ular orasidagi burchak beriladi, lekin siz ko'ndalang mahsulotning uzunligini topishingiz kerak. Bu holda quyidagi formuladan foydalaning c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

1-misol

Agar a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = p 4 ma'lum bo'lsa, a → va b → vektorlarining kesishgan ko'paytmasining uzunligini toping.

Yechim

a → va b → vektorlarining vektor mahsuloti uzunligining ta'rifidan foydalanib, biz ushbu masalani hal qilamiz: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin p 4 = 15 2 2 .

Javob: 15 2 2 .

Ikkinchi turdagi vazifalar vektorlar koordinatalari bilan bog'liq bo'lib, ular vektor mahsulotini, uning uzunligini va boshqalarni o'z ichiga oladi. berilgan vektorlarning ma'lum koordinatalari orqali izlanadi a → = (a x ; a y ; a z) va b → = (b x ; b y ; b z) .

Ushbu turdagi vazifalar uchun siz vazifalarning ko'plab variantlarini hal qilishingiz mumkin. Masalan, a → va b → vektorlarning koordinatalari emas, balki ularning koordinata vektorlaridagi kengayishlari b → = b x i → + b y j → + b z k → va c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → yoki a → va b → vektorlari ularning koordinatalari orqali berilishi mumkin. boshlang'ich va tugash nuqtalari.

Quyidagi misollarni ko'rib chiqing.

2-misol

Ikki vektor to'rtburchaklar koordinatalar tizimida o'rnatiladi a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Ularning vektor mahsulotini toping.

Yechim

Ikkinchi ta'rifga ko'ra, berilgan koordinatalarda ikkita vektorning vektor ko'paytmasini topamiz: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Agar o‘zaro ko‘paytmani matritsa determinanti bo‘yicha yozsak, u holda yechim bu misol quyidagicha ko‘rinadi: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Javob: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

3-misol

i → - j → va i → + j → + k → vektorlarning kesishgan ko‘paytmasining uzunligini toping, bunda i → , j → , k → - to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata sistemasining ortslari.

Yechim

Avval berilgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasida berilgan i → - j → × i → + j → + k → vektor ko‘paytmasining koordinatalarini topamiz.

Ma'lumki, i → - j → va i → + j → + k → vektorlari mos ravishda (1 ; - 1 ; 0) va (1 ; 1 ; 1) koordinatalarga ega. Matritsa determinanti yordamida vektor mahsulotining uzunligini toping, u holda bizda i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Demak, vektor mahsuloti i → - j → × i → + j → + k → berilgan koordinatalar sistemasidagi koordinatalarga (- 1 ; - 1 ; 2) ega.

Vektor mahsulotining uzunligini formula bo'yicha topamiz (vektor uzunligini topish bo'limiga qarang): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Javob: i → - j → × i → + j → + k → = 6. .

4-misol

A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) uchta nuqtaning koordinatalari toʻrtburchaklar Dekart koordinata tizimida berilgan. Bir vaqtning o‘zida A B → va A C → ga perpendikulyar bo‘lgan vektorni toping.

Yechim

A B → va A C → vektorlari mos ravishda quyidagi koordinatalarga (- 1 ; 2 ; 2) va (0 ; 4 ; 1) ega. A B → va A C → vektorlarining vektor ko'paytmasini topib, aniq ko'rinib turibdiki, u A B → va A C → ga ta'rifi bo'yicha perpendikulyar vektor, ya'ni bizning masalamizning yechimi hisoblanadi. Uni toping A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Javob: - 6 i → + j → - 4 k → . perpendikulyar vektorlardan biridir.

Uchinchi turdagi masalalar vektorlarning vektor mahsuloti xossalaridan foydalanishga qaratilgan. Buni qo'llaganimizdan so'ng, biz ushbu muammoning echimini olamiz.

5-misol

a → va b → vektorlari perpendikulyar va ularning uzunligi mos ravishda 3 va 4 ga teng. Ko‘paytmaning uzunligini toping 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Yechim

Vektor mahsulotining taqsimlanish xususiyatiga ko‘ra, 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 yozishimiz mumkin. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Assotsiativlik xususiyatiga ko'ra, biz oxirgi ifodadagi vektor mahsulot belgisidan tashqari raqamli koeffitsientlarni chiqaramiz: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → va b → × b → vektor mahsuloti 0 ga teng, chunki a → × a → = a → a → sin 0 = 0 va b → × b → = b → b → sin 0 = 0, keyin 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Vektor mahsulotining antikommutativligidan kelib chiqadi - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Vektor mahsulotining xossalaridan foydalanib, 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → tengligini olamiz.

Shart bo'yicha a → va b → vektorlari perpendikulyar, ya'ni ular orasidagi burchak p 2 ga teng. Endi faqat topilgan qiymatlarni mos keladigan formulalarga almashtirish qoladi: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin p 2 = 60.

Javob: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Ta'rif bo'yicha vektorlarning o'zaro ko'paytmasining uzunligi a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Bu allaqachon ma'lum bo'lgani uchun (dan maktab kursi) uchburchakning maydoni uning ikki tomoni uzunligini berilgan tomonlar orasidagi burchak sinusiga ko'paytmasining yarmiga teng. Shuning uchun vektor mahsulotining uzunligi parallelogrammning maydoniga teng - ikkilangan uchburchak, ya'ni bir nuqtadan sinus bilan ajratilgan a → va b → vektorlar ko'rinishidagi tomonlarning mahsuloti. ular orasidagi burchakning sin ∠ a → , b → .

Bu shunday geometrik ma'no vektor mahsuloti.

Vektor mahsulotining fizik ma'nosi

Fizika sohalaridan biri bo'lgan mexanikada vektor mahsuloti tufayli siz kosmosdagi nuqtaga nisbatan kuch momentini aniqlashingiz mumkin.

Ta'rif 3

B nuqtasiga nisbatan qo'llaniladigan F → kuch momenti ostida A nuqtaga nisbatan biz quyidagi vektor mahsulotini tushunamiz A B → × F →.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ushbu darsda biz vektorlar bilan yana ikkita operatsiyani ko'rib chiqamiz: vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasi va vektorlarning aralash mahsuloti (muhtoj bo'lganlar uchun darhol havola). Yaxshi, ba'zida shunday bo'ladiki, bundan tashqari, to'liq baxt uchun vektorlarning nuqta mahsuloti, ko'proq va ko'proq kerak. Bu vektorga qaramlik. Analitik geometriya o'rmoniga kirayotgandek taassurot paydo bo'lishi mumkin. Bu unday emas. Oliy matematikaning ushbu bo'limida Pinokkio uchun etarli bo'lganidan tashqari, odatda kam o'tin bor. Darhaqiqat, material juda keng tarqalgan va oddiy - bir xildan qiyinroq skalyar mahsulot, hatto kamroq odatiy vazifalar bo'ladi. Analitik geometriyadagi asosiy narsa, ko'pchilik ko'rgan yoki allaqachon ko'rganidek, hisob-kitoblarda xato qilmaslikdir. Sehr kabi takrorlang va siz baxtli bo'lasiz =)

Agar vektorlar ufqdagi chaqmoq kabi uzoq joyda porlasa, bu muhim emas, darsdan boshlang Dummies uchun vektorlar tiklash yoki qayta sotib olish uchun asosiy bilim vektorlar haqida. Ko'proq tayyorlangan o'quvchilar ma'lumotlar bilan tanlab tanishishlari mumkin, men tez-tez uchraydigan misollarning eng to'liq to'plamini to'plashga harakat qildim. amaliy ish

Sizni nima xursand qiladi? Kichkinaligimda ikkita va hatto uchta to'pni jonglyor qila olardim. Bu yaxshi natija berdi. Endi umuman jonglyor qilishning hojati yo'q, chunki biz ko'rib chiqamiz faqat kosmik vektorlar, va ikkita koordinatali yassi vektorlar qoldiriladi. Nega? Bu harakatlar shunday tug'ildi - vektorlarning vektorlari va aralash mahsuloti aniqlanadi va uch o'lchovli fazoda ishlaydi. Allaqachon osonroq!

Ushbu operatsiyada xuddi skalar mahsulotdagi kabi, ikkita vektor. Bu o'zgarmas harflar bo'lsin.

Amalning o'zi belgilangan quyida bayon qilinganidek: . Boshqa variantlar ham bor, lekin men vektorlarning kesishgan mahsulotini shu tarzda, xoch bilan kvadrat qavs ichida belgilashga odatlanganman.

Va darhol savol: bo'lsa vektorlarning nuqta mahsuloti ikkita vektor ishtirok etadi va bu erda ikkita vektor ham ko'paytiriladi nima farqi bor? Aniq farq, birinchi navbatda, NATIJAda:

Vektorlarning skalyar ko‘paytmasining natijasi RAQAM:

Vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasining natijasi VEKTORdir: , ya'ni vektorlarni ko'paytiramiz va yana vektorni olamiz. Yopiq klub. Aslida, operatsiyaning nomi shundan. Turli o'quv adabiyotlarida belgilar ham farq qilishi mumkin, men harfdan foydalanaman.

O'zaro mahsulot ta'rifi

Avval rasm bilan ta'rif, keyin sharhlar bo'ladi.

Ta'rif: o'zaro mahsulot kollinear bo'lmagan vektorlar, ushbu tartibda olingan, VEKTOR deb ataladi, uzunligi bu raqamli parallelogramm maydoniga teng, bu vektorlar asosida qurilgan; vektor vektorlarga ortogonal, va asos to'g'ri yo'nalishga ega bo'lishi uchun yo'naltiriladi:

Biz ta'rifni suyaklar bilan tahlil qilamiz, juda ko'p qiziqarli narsalar bor!

Shunday qilib, biz quyidagi muhim fikrlarni ajratib ko'rsatishimiz mumkin:

1) Manba vektorlari , ta'rifi bo'yicha qizil o'qlar bilan ko'rsatilgan qarama-qarshi emas. Kollinear vektorlar masalasini biroz keyinroq ko'rib chiqish maqsadga muvofiq bo'ladi.

2) Vektorlar olingan qat'iy tartibda: – "a" "bo'l" bilan ko'paytiriladi, "a" ga "bo'lish" emas. Vektorni ko'paytirish natijasi VEKTOR bo'lib, u ko'k rang bilan belgilanadi. Agar vektorlar teskari tartibda ko'paytirilsa, biz uzunligi teng va yo'nalishi bo'yicha qarama-qarshi (qizil rang) vektorni olamiz. Ya'ni, tenglik .

3) Endi vektor ko'paytmaning geometrik ma'nosi bilan tanishamiz. Bu juda muhim nuqta! Moviy vektorning UZUNLIGI (va shuning uchun qip-qizil vektor ) vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammaning MAYDONA soniga teng. Rasmda bu parallelogramma qora rangda bo'yalgan.

Eslatma : chizma sxematik va, albatta, ko'ndalang mahsulotning nominal uzunligi parallelogramm maydoniga teng emas.

Biz geometrik formulalardan birini eslaymiz: parallelogrammning maydoni qo'shni tomonlarning ko'paytmasiga va ular orasidagi burchakning sinusiga teng. Shuning uchun, yuqorida aytilganlarga asoslanib, vektor mahsulotining UZUNLIKni hisoblash formulasi amal qiladi:

Shuni ta'kidlaymanki, formulada biz vektorning o'zi haqida emas, balki vektorning UZUNLIGI haqida gapiramiz. Nima amaliy ma'no? Va ma'nosi shundaki, analitik geometriya muammolarida parallelogrammning maydoni ko'pincha vektor mahsuloti tushunchasi orqali topiladi:

Biz ikkinchi muhim formulani olamiz. Paralelogrammaning diagonali (qizil nuqta chiziq) uni ikkita teng uchburchakka ajratadi. Shuning uchun vektorlar (qizil soya) ustiga qurilgan uchburchakning maydonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:

4) Bir xil darajada muhim fakt shundaki, vektor vektorlarga ortogonal bo'ladi, ya'ni . Albatta, qarama-qarshi yo'naltirilgan vektor (qizil o'q) ham asl vektorlarga ortogonaldir.

5) Vektor shunday yo'naltirilgan asos Unda bor to'g'ri orientatsiya. haqida darsda yangi asosga o'tish haqida batafsil gapirib berdim tekislik yo'nalishi, va endi biz kosmosning yo'nalishi nima ekanligini aniqlaymiz. Men sizning barmoqlaringiz bilan tushuntiraman o'ng qo'l. Aqliy birlashtiring ko'rsatkich barmog'i vektor bilan va o'rta barmoq vektor bilan. Uzuk barmoq va kichik barmoq kaftingizga bosing. Natijada katta barmoq- vektor mahsuloti yuqoriga qaraydi. Bu to'g'ri yo'naltirilgan asos (u rasmda). Endi vektorlarni almashtiring ( ko'rsatkich va o'rta barmoqlar) ba'zi joylarda, natijada, bosh barmog'i aylanadi va vektor mahsuloti allaqachon pastga qaraydi. Bu ham to'g'ri yo'naltirilgan asosdir. Ehtimol, sizda savol bor: chap yo'nalish qanday asosga ega? Xuddi shu barmoqlarni "tayinlash" chap qo'l vektorlar , va chap asos va chap bo'shliq yo'nalishini oling (bu holda, bosh barmog'i pastki vektor yo'nalishida joylashgan bo'ladi). Majoziy ma'noda, bu asoslar bo'shliqni turli yo'nalishlarda "burashadi" yoki yo'naltiradi. Va bu kontseptsiyani uzoq yoki mavhum narsa deb hisoblamaslik kerak - masalan, eng oddiy oyna kosmosning yo'nalishini o'zgartiradi va agar siz "aks etilgan ob'ektni oynadan tortib olsangiz", umuman olganda buni amalga oshirish mumkin bo'lmaydi. uni "asl" bilan birlashtiring. Aytgancha, uchta barmoqni oynaga olib boring va aks ettirishni tahlil qiling ;-)

... siz hozir bilganingiz qanchalik yaxshi o'ngga va chapga yo'naltirilgan asoslar, chunki ba'zi o'qituvchilarning yo'nalishni o'zgartirish haqidagi bayonotlari dahshatli =)

Kollinear vektorlarning vektor mahsuloti

Ta'rif batafsil ishlab chiqilgan, vektorlar kollinear bo'lganda nima sodir bo'lishini bilish qoladi. Agar vektorlar kollinear bo'lsa, ular bitta to'g'ri chiziqqa joylashtirilishi mumkin va bizning parallelogramamiz ham bitta to'g'ri chiziqqa "buklanadi". Bunday soha, matematiklar aytganidek, degeneratsiya parallelogramma nolga teng. Xuddi shu formuladan kelib chiqadi - nol yoki 180 gradusning sinusi nolga teng, ya'ni maydon nolga teng.

Shunday qilib, agar bo'lsa, keyin va . E'tibor bering, o'zaro mahsulotning o'zi nol vektorga teng, lekin amalda bu ko'pincha e'tibordan chetda qolib, u ham nolga teng deb yoziladi.

maxsus holat vektor va o'zining o'zaro ko'paytmasi:

O'zaro mahsulotdan foydalanib, siz uch o'lchovli vektorlarning kollinearligini tekshirishingiz mumkin va biz boshqalar qatori bu muammoni ham tahlil qilamiz.

Amaliy misollarni hal qilish uchun kerak bo'lishi mumkin trigonometrik jadval undan sinuslarning qiymatlarini topish.

Xo'sh, keling, olov yoqaylik:

1-misol

a) Agar vektorlarning vektor ko'paytmasining uzunligini toping

b) Agar vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammning maydonini toping

Yechim: Yo'q, bu xato emas, men shart elementlaridagi dastlabki ma'lumotlarni ataylab bir xil qildim. Chunki yechimlarning dizayni boshqacha bo'ladi!

a) Shartga ko'ra, topish talab qilinadi uzunligi vektor (vektorli mahsulot). Tegishli formula bo'yicha:

Javob:

Uzunlik haqida so'ralganligi sababli, javobda biz o'lchamni - birliklarni ko'rsatamiz.

b) Shartga ko'ra, topish talab qilinadi kvadrat vektorlar ustiga qurilgan parallelogramm. Ushbu parallelogrammning maydoni son jihatdan ko'ndalang mahsulot uzunligiga teng:

Javob:

E'tibor bering, vektor mahsuloti haqidagi javobda umuman gap yo'q, bizdan so'ralgan raqam maydoni, mos ravishda, o'lcham kvadrat birlikdir.

Biz har doim shart bo'yicha NIMA talab qilinishini ko'rib chiqamiz va shunga asoslanib, biz formula qilamiz aniq javob. Bu so'zma-so'z bo'lib tuyulishi mumkin, lekin o'qituvchilar orasida literalistlar etarli va yaxshi imkoniyatga ega bo'lgan topshiriq qayta ko'rib chiqish uchun qaytariladi. Garchi bu juda zo'r nitpik bo'lmasa-da - agar javob noto'g'ri bo'lsa, unda odam oddiy narsalarni tushunmaydi va / yoki vazifaning mohiyatini tushunmaydi degan taassurot paydo bo'ladi. Oliy matematikada ham, boshqa fanlarda ham har qanday muammoni hal qilishda bu moment doimo nazorat ostida bo'lishi kerak.

Katta "en" harfi qayerga ketdi? Printsipial jihatdan, bu yechimga qo'shimcha ravishda yopishtirilishi mumkin edi, lekin rekordni qisqartirish uchun men buni qilmadim. Umid qilamanki, hamma buni tushunadi va xuddi shu narsaning belgisidir.

O'z-o'zidan hal qilish uchun mashhur misol:

2-misol

Agar vektorlar ustiga qurilgan uchburchakning maydonini toping

Vektor mahsuloti orqali uchburchakning maydonini topish formulasi ta'rifga sharhlarda berilgan. Dars oxirida yechim va javob.

Amalda, vazifa haqiqatan ham juda keng tarqalgan, uchburchaklar odatda qiynoqqa solinishi mumkin.

Boshqa muammolarni hal qilish uchun bizga kerak:

Vektorlar ko‘paytmasining xossalari

Biz vektor mahsulotining ba'zi xususiyatlarini allaqachon ko'rib chiqdik, ammo men ularni ushbu ro'yxatga kiritaman.

Ixtiyoriy vektorlar va ixtiyoriy sonlar uchun quyidagi xususiyatlar to'g'ri bo'ladi:

1) Boshqa ma'lumot manbalarida bu narsa odatda xususiyatlarda farqlanmaydi, lekin amaliy jihatdan juda muhimdir. Shunday bo'lsin.

2) - mulk ham yuqorida muhokama qilinadi, ba'zan u deyiladi antikommutativlik. Boshqacha qilib aytganda, vektorlarning tartibi muhim.

3) - kombinatsiya yoki assotsiativ vektor mahsulot qonunlari. Konstantalar vektor mahsulotining chegarasidan osongina chiqariladi. Haqiqatan ham, ular u erda nima qilishyapti?

4) - tarqatish yoki tarqatish vektor mahsulot qonunlari. Qavslarni ochishda ham muammolar yo'q.

Namoyish sifatida qisqa misolni ko'rib chiqing:

3-misol

Agar toping

Yechim: Shartga ko'ra, yana vektor mahsulotining uzunligini topish talab qilinadi. Keling, miniatyuramizni chizamiz:

(1) Assotsiativ qonunlarga ko'ra, vektor mahsulotining chegarasidan tashqaridagi doimiylarni chiqaramiz.

(2) Biz moduldan doimiyni chiqaramiz, modul esa minus belgisini "yeydi". Uzunlik salbiy bo'lishi mumkin emas.

(3) Keyingi narsa aniq.

Javob:

Olovga o'tin tashlash vaqti keldi:

4-misol

Agar vektorlar ustiga qurilgan uchburchakning maydonini hisoblang

Yechim: Formuladan foydalanib uchburchakning maydonini toping . Gap shundaki, "ce" va "te" vektorlari o'zlari vektorlar yig'indisi sifatida ifodalanadi. Bu erda algoritm standart bo'lib, darsning 3 va 4-sonli misollarini biroz eslatadi. Vektorlarning nuqta mahsuloti. Aniqlik uchun uni uchta bosqichga ajratamiz:

1) Birinchi bosqichda vektor mahsulotini vektor mahsuloti orqali ifodalaymiz, aslida, vektorni vektor bilan ifodalang. Hali uzunlik haqida so'z yo'q!

(1) vektorlarning ifodalarini almashtiramiz.

(2) distributiv qonunlardan foydalanib, polinomlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra qavslarni oching.

(3) Assotsiativ qonunlardan foydalanib, vektor mahsulotidan tashqari barcha konstantalarni chiqaramiz. Kichik tajriba bilan 2 va 3-harakatlar bir vaqtning o'zida bajarilishi mumkin.

(4) yoqimli xususiyat tufayli birinchi va oxirgi shartlar nolga teng (nol vektor). Ikkinchi muddatda vektor mahsulotning antikommutativ xususiyatidan foydalanamiz:

(5) Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.

Natijada, vektor vektor orqali ifodalangan bo'lib chiqdi, bunga erishish kerak edi:

2) Ikkinchi bosqichda biz kerakli vektor mahsulotining uzunligini topamiz. Bu harakat 3-misolni eslatadi:

3) Istalgan uchburchakning maydonini toping:

Eritmaning 2-3 bosqichlari bir qatorda joylashtirilishi mumkin.

Javob:

Ko'rib chiqilgan muammo juda keng tarqalgan nazorat ishlari, bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol:

5-misol

Agar toping

Dars oxirida qisqacha yechim va javob. Keling, oldingi misollarni o'rganayotganda qanchalik diqqatli bo'lganingizni ko'raylik ;-)

Koordinatadagi vektorlarning ko‘paytmasi

Formula juda oddiy: biz koordinata vektorlarini determinantning yuqori qatoriga yozamiz, ikkinchi va uchinchi qatorlarga vektorlarning koordinatalarini "to'playmiz" va biz qo'yamiz. qat'iy tartibda- birinchidan, "ve" vektorining koordinatalari, keyin "double-ve" vektorining koordinatalari. Agar vektorlarni boshqa tartibda ko'paytirish kerak bo'lsa, unda chiziqlar ham almashtirilishi kerak:

10-misol

Quyidagi fazo vektorlari kolinear ekanligini tekshiring:
a)
b)

Yechim: Test ushbu darsdagi bayonotlardan biriga asoslanadi: agar vektorlar kollinear bo'lsa, ularning ko'paytmasi nolga teng (nol vektor): .

a) vektor mahsulotini toping:

Demak, vektorlar kollinear emas.

b) vektor mahsulotini toping:

Javob: a) chiziqli emas, b)

Bu erda, ehtimol, vektorlarning vektor mahsuloti haqidagi barcha asosiy ma'lumotlar.

Ushbu bo'lim unchalik katta bo'lmaydi, chunki vektorlarning aralash mahsuloti qo'llaniladigan muammolar kam. Aslida, hamma narsa ta'rifga, geometrik ma'noga va bir nechta ishchi formulalarga tayanadi.

Vektorlarning aralash mahsuloti uchta vektorning mahsulotidir:

Ular poyezd kabi saf tortdilar va kutishdi, ular hisoblanmaguncha kutib turolmaydilar.

Avval yana ta'rif va rasm:

Ta'rif: Aralash mahsulot tekis bo'lmagan vektorlar, ushbu tartibda olingan, deyiladi parallelepiped hajmi, bu vektorlar asosida qurilgan, agar asos to'g'ri bo'lsa, "+" belgisi, agar asos qoldirilgan bo'lsa, "-" belgisi bilan jihozlangan.

Keling, rasm chizamiz. Bizga ko'rinmas chiziqlar nuqta chiziq bilan chizilgan:

Keling, ta'rifga to'xtalib o'tamiz:

2) Vektorlar olingan ma'lum bir tartibda, ya'ni mahsulotdagi vektorlarning almashinuvi, siz taxmin qilganingizdek, oqibatlarsiz o'tmaydi.

3) Geometrik ma'noni sharhlashdan oldin, men aniq faktni qayd etaman: vektorlarning aralash mahsuloti SON: . O'quv adabiyotlarida dizayn biroz boshqacha bo'lishi mumkin, men aralash mahsulotni va "pe" harfi bilan hisob-kitoblar natijasini belgilash uchun foydalanardim.

Ta'rifi bo'yicha aralash mahsulot - parallelepipedning hajmi, vektorlar asosida qurilgan (rasm qizil vektorlar va qora chiziqlar bilan chizilgan). Ya'ni, bu raqam berilgan parallelepipedning hajmiga teng.

Eslatma : Chizma sxematik.

4) Bazis va makonning orientatsiyasi tushunchasi bilan yana bezovta qilmaylik. Yakuniy qismning ma'nosi shundaki, tovushga minus belgisi qo'shilishi mumkin. Oddiy so'zlar bilan aytganda, aralash mahsulot salbiy bo'lishi mumkin: .

Vektorlarga qurilgan parallelepiped hajmini hisoblash formulasi to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadi.

Biz o'zaro faoliyat mahsulot jadvalidan foydalanamiz vektorlar i,j Buyuk Britaniya:

agar birinchi vektordan ikkinchisiga eng qisqa yo'lning yo'nalishi o'q yo'nalishiga to'g'ri kelsa, u holda mahsulot uchinchi vektorga teng bo'ladi, agar u mos kelmasa, uchinchi vektor minus belgisi bilan olinadi.

Ikki vektor a=axi +ayj +azk va b =bxi +byj +bzk berilsin. Bu vektorlarning vektor ko‘paytmasini ko‘phadga ko‘paytirish yo‘li bilan topamiz (vektor ko‘paytmaning xossalariga ko‘ra):
Olingan formulani yanada qisqaroq yozish mumkin: chunki (7.1) tenglikning o‘ng tomoni birinchi qator elementlari bo‘yicha uchinchi tartibli determinantning kengayishiga mos keladi.Tenglikni (7.2) eslab qolish oson.

7.4. O'zaro faoliyat mahsulotning ba'zi ilovalari

Vektorlarning kollinearligini o'rnatish.
Parallelogramm va uchburchakning maydonini topish

a va b |a xb | vektorlarining o'zaro ko'paytmasi ta'rifiga ko'ra = |a| * |b |qo'shiq aytish, ya'ni S juftlik = |a x b |. Va shuning uchun DS \u003d 1/2 | a x b |.

Bir nuqtaga nisbatan kuch momentini aniqlash

A nuqtaga F = AB kuchi tatbiq qilinsin va O fazoda qandaydir nuqta bo'lsin Fizikadan ma'lumki, O nuqtaga nisbatan F kuch momenti O nuqtadan o'tuvchi M vektor va:

1) O, A, B nuqtalardan o'tuvchi tekislikka perpendikulyar;

2) son jihatdan kuch va qoʻlning koʻpaytmasiga teng 3) OA va A B vektorlari bilan toʻgʻri uchlik hosil qiladi.

Demak, M=OA x F. Chiziqli aylanish tezligini topish

Tezlik v nuqtasi M qattiq tana, sobit o'q atrofida w burchak tezligi bilan aylanish Eyler formulasi v \u003d w x r bilan aniqlanadi, bu erda r \u003d OM, bu erda O - o'qning ba'zi sobit nuqtasi (21-rasmga qarang).

Vektorlar orasidagi burchak

Ikki vektorning skalyar ko'paytmasining ta'rifidan kelib chiqadiki, agar vektorlar va koordinatalari bilan berilgan bo'lsa va , u holda formula (1.6.3.1) quyidagicha yozilishi mumkin:

Vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammning maydoni

Segmentlar uzunligini, nuqtalar orasidagi masofani, sirt maydonlarini va jismlarning hajmlarini o'lchash uchun topshiriqlar odatda metrik deb ataladigan muhim muammolar sinfiga kiradi. Oldingi bo'limda biz vektor algebrasidan chiziq uzunligi va nuqtalar orasidagi masofani hisoblash uchun qanday foydalanishni o'rgandik. Endi biz maydonlar va hajmlarni hisoblash usullarini topamiz. Vektor algebrasi bizga o'xshash masalalarni faqat juda oddiy holatlar uchun qo'yish va hal qilish imkonini beradi. Ixtiyoriy yuzalarning maydonlarini va ixtiyoriy jismlarning hajmlarini hisoblash uchun tahlil usullari talab qilinadi. Ammo tahlil usullari, o'z navbatida, vektor algebrasi beradigan natijalarga asoslanadi.

Muammoni hal qilish uchun biz Gilbert Strang tomonidan taklif qilingan, ko'plab geometrik o'zgarishlar va mashaqqatli algebraik hisoblar bilan bog'liq bo'lgan juda uzoq va qiyin yo'lni tanladik. Maqsadga tezroq olib boradigan boshqa yondashuvlar mavjudligiga qaramay, biz bu yo'lni tanladik, chunki bu bizga to'g'ridan-to'g'ri va tabiiy tuyuldi. Ilm-fandagi to'g'ridan-to'g'ri yo'l har doim ham eng oson emas. Murakkab odamlar bu haqda bilishadi va aylanma yo'llarni afzal ko'rishadi, lekin agar siz to'g'ri borishga harakat qilmasangiz, unda siz nazariyaning ba'zi nozikliklaridan bexabar qolishingiz mumkin.

Biz tanlagan yo'lda fazoning yo'nalishi, determinant, vektor va aralash mahsulotlar kabi tushunchalar tabiiy ravishda paydo bo'ladi. Ayniqsa, mikroskop ostida bo'lgani kabi, determinantning geometrik ma'nosi va uning xususiyatlari aniq namoyon bo'ladi. An'anaga ko'ra, determinant tushunchasi chiziqli tenglamalar tizimlari nazariyasiga kiritilgan, ammo bunday tizimlarni echish uchun determinant deyarli foydasizdir. Determinantning geometrik ma'nosi vektor va tenzor algebrasi uchun zarurdir.

Endi sabr qilaylik va eng oddiy va tushunarli holatlardan boshlaylik.

1. Vektorlar Dekart koordinata tizimining koordinata o'qlari bo'ylab yo'naltirilgan.

a vektori x o'qi bo'ylab, b vektori esa y o'qi bo'ylab yo'naltirilsin. Shaklda. 21 koordinata o'qlariga nisbatan vektorlarni joylashtirishning to'rt xil variantini ko'rsatadi.

a va b vektorlari koordinata shaklida: Bu yerda a va b mos vektorning modulini bildiradi va vektor koordinatasining belgisidir.

Vektorlar ortogonal bo'lgani uchun, ular ustida qurilgan parallelogrammalar to'rtburchaklardir. Ularning hududlari shunchaki tomonlarning hosilasidir. Keling, ushbu mahsulotlarni barcha to'rtta holat uchun vektorlarning koordinatalari bilan ifodalaymiz.

Maydonni hisoblash uchun barcha to'rtta formulalar belgidan tashqari bir xil. Siz shunchaki ko'zingizni yumib, yozishingiz mumkin, bu barcha holatlarda. Biroq, yana bir imkoniyat samaraliroq bo'lib chiqadi: belgiga qandaydir ma'no berish. Keling, rasmga diqqat bilan qaraylik. 21. Vektorning vektorga aylanishi soat yo'nalishi bo'yicha amalga oshiriladigan hollarda. Formulada minus belgisini ishlatishga majbur bo'lgan hollarda vektorning vektorga aylanishi soat miliga teskari yo'nalishda amalga oshiriladi. Ushbu kuzatish maydon uchun ifodalardagi belgini tekislikning yo'nalishi bilan bog'lash imkonini beradi.

Plyus yoki minus belgisi bo'lgan a va b vektorlari ustiga qurilgan to'rtburchakning maydoni yo'naltirilgan maydon hisoblanadi, belgi esa vektorlar tomonidan berilgan yo'nalish bilan bog'lanadi. Yo'naltirilgan maydon uchun biz ko'rib chiqilgan to'rtta holat uchun bitta formula yozishimiz mumkin: . S harfi ustidagi "vektor" chizig'ining belgisi har doim ijobiy bo'lgan odatiy maydonni yo'naltirilganidan ajratish uchun kiritilgan.

Bunday holda, boshqa tartibda olingan bir xil vektorlar qarama-qarshi yo'nalishni aniqlashi aniq, demak, . Faqat maydon S harfi bilan belgilanishi davom etadi va shuning uchun .

Endi biz hudud tushunchasini kengaytirish xarajati bilan umumiy iborani oldik, diqqatli o'quvchi biz barcha imkoniyatlarni ko'rib chiqmaganimizni aytadi. Darhaqiqat, rasmda ko'rsatilgan vektorlarning joylashuvi uchun to'rtta variantga qo'shimcha ravishda. 21, yana to'rttasi bor (22-rasm) Yana vektorlarni va koordinata shaklida yozamiz: Maydonni vektorlarning koordinatalari bilan ifodalaymiz. to'rtta.. Yangi iboralardagi belgilar o'zgarmagan, ammo, afsuski, oldingi to'rtta holatga nisbatan yo'nalish o'zgargan. Shuning uchun, yo'naltirilgan maydon uchun biz yozishga majburmiz: . Garchi mohir soddalikka bo'lgan umid oqlanmagan bo'lsa-da, shunga qaramay, biz to'rtta holat uchun umumiy ifodani yozishimiz mumkin.

Ya'ni, vektorlar ustida qurilgan to'rtburchakning yo'naltirilgan maydoni, xuddi yon tomonlardagi kabi, ustunlardagi kabi vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantga teng.

Bizning fikrimizcha, o'quvchi determinantlar nazariyasi bilan tanish, shuning uchun biz bu tushunchaga batafsil to'xtalmaymiz. Shunga qaramay, biz urg'uni o'zgartirish uchun tegishli ta'riflarni beramiz va bu tushunchaga sof geometrik fikrlardan kelib chiqish mumkinligini ko'rsatamiz. , , - bir xil kontseptsiyani belgilashning turli shakllari - ustunlar kabi vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant. Tenglik ikki o'lchovli holat uchun uning ta'rifi sifatida qabul qilinishi mumkin.

2. b vektor x o'qiga parallel emas; a/ vektori ixtiyoriy vektor.

Ushbu holatni allaqachon ma'lum bo'lganlarga qisqartirish uchun biz vektorlar va vektorlar va uning xususiyatlariga asoslangan parallelogrammaning ba'zi geometrik o'zgarishlarini ko'rib chiqamiz (rasm .