Izoh: Vaqt seriyalari ostida vaqtga bog'liq bo'lgan iqtisodiy qadriyatlar tushuniladi. Bunday holda, vaqt diskret deb qabul qilinadi, aks holda, vaqt ketma-ketligi haqida emas, balki tasodifiy jarayonlar haqida gapiriladi.

Statsionar va statsionar bo'lmagan vaqt qatorlarining modellari, ularni aniqlash

Vaqt seriyasini ko'rib chiqaylik. Vaqt seriyalari birinchi navbatda raqamli qiymatlarni qabul qilsin. Bu, masalan, yaqin atrofdagi do'kondagi nonning narxi yoki eng yaqin ayirboshlash shoxobchasidagi dollar-rubl kursi bo'lishi mumkin. Odatda, vaqt seriyasining xatti-harakatlarida ikkita asosiy tendentsiya aniqlanadi - trend va davriy tebranishlar.

Shu bilan birga, tendentsiya deganda u yoki bu tekislash usuli (masalan, eksponensial tekislash) yoki hisoblash yo'li bilan aniqlangan chiziqli, kvadratik yoki boshqa turdagi vaqtga bog'liqlik tushuniladi. eng kichik kvadratlar usuli. Boshqacha qilib aytganda, trend tasodifiylikdan tozalangan vaqt seriyasining asosiy tendentsiyasidir.

Vaqt seriyasi odatda tendentsiya atrofida tebranadi, trenddan og'ishlar ko'pincha to'g'ri bo'ladi. Ko'pincha bu tabiiy yoki belgilangan chastotaga bog'liq, masalan, mavsumiy yoki haftalik, oylik yoki choraklik (masalan, ish haqi va soliq to'lovlari jadvaliga muvofiq). Ba'zida davriylikning mavjudligi va undan ham ko'proq sabablari noaniq bo'lib, ekonometriyaning vazifasi haqiqatan ham davriylik mavjudligini aniqlashdir.

Vaqt seriyalarining xususiyatlarini baholashning elementar usullari odatda "Statistikaning umumiy nazariyasi" kurslarida etarlicha batafsil ko'rib chiqiladi (masalan, darsliklarga qarang), shuning uchun bu erda ularni batafsil tahlil qilishning hojati yo'q. (Biroq, ba'zilari haqida zamonaviy usullar Davr uzunligini va davriy komponentning o'zini baholash quyida muhokama qilinadi.)

Vaqt seriyasining xususiyatlari. Vaqt seriyalarini batafsilroq o'rganish uchun ehtimollik-statistik modellar qo'llaniladi. Bunday holda, vaqt seriyasi tasodifiy jarayon (diskret vaqt bilan) sifatida qaraladi, asosiy xarakteristikalar matematik kutishdir, ya'ni.

Dispersiya, ya'ni.

va avtokorrelyatsiya funktsiyasi vaqt seriyasi

bular. ga teng ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi korrelyatsiya koeffitsienti vaqt seriyasining ikkita qiymati o'rtasida va .

Nazariy va amaliy tadqiqotlarda vaqt seriyalari modellarining keng doirasi ko'rib chiqiladi. Avval tanlang statsionar modellar. Ular birgalikda taqsimlash funktsiyalariga ega vaqt nuqtalarining istalgan soni uchun va shuning uchun yuqorida sanab o'tilgan vaqt seriyasining barcha xususiyatlari vaqt o'tishi bilan o'zgarmasligi. Xususan, matematik kutish va dispersiya doimiydir, avtokorrelyatsiya funktsiyasi faqat farqga bog'liq. Statsionar bo'lmagan vaqt qatorlari deyiladi statsionar bo'lmagan.

Gomoskedastik va geterokedastik, mustaqil va avtokorrelyatsiya qilingan qoldiqlarga ega chiziqli regressiya modellari. Yuqoridagilardan ko'rinib turibdiki, asosiy narsa vaqt seriyasini tasodifiy og'ishlardan "tozalash" dir, ya'ni. matematik kutishni baholash. Eng oddiy modellardan farqli o'laroq regressiya tahlili da ko'rib chiqiladi, bu erda yanada murakkab modellar tabiiy ravishda paydo bo'ladi. Masalan, farq vaqtga bog'liq bo'lishi mumkin. Bunday modellar deyiladi heteroskedastik, va vaqtga bog'liqlik bo'lmaganlar gomoskdastikdir. (Aniqrog'i, bu atamalar nafaqat "vaqt" o'zgaruvchisiga, balki boshqa o'zgaruvchilarga ham tegishli bo'lishi mumkin.)

Izoh. "Ko'p o'lchovli statistik tahlil" da ta'kidlanganidek, eng oddiy model eng kichik kvadratlar usuli ayniqsa, vaqtli qatorlar uchun bir vaqtda ekonometrik tenglamalar tizimlari sohasida juda uzoq umumlashtirish imkonini beradi. Tegishli nazariya va algoritmlarni tushunish uchun matritsa algebrasi bo'yicha professional bilim kerak. Shuning uchun biz qiziquvchilarni ekonometrik tenglamalar tizimlari va to'g'ridan-to'g'ri vaqt seriyalari bo'yicha adabiyotlarga murojaat qilamiz, ularda spektral nazariyaga katta qiziqish bor, ya'ni. signalni shovqindan ajratish va uni harmoniklarga ajratish. Biz har bir bobning orqasida ekanligini yana bir bor ta'kidlaymiz bu kitob ilmiy va amaliy tadqiqotlarning katta sohasi mavjud bo'lib, unga ko'p kuch sarflashga loyiqdir. Biroq kitob hajmi cheklanganligi sababli taqdimotni ixcham qilib berishga majburmiz.

Ekonometrik tenglamalar sistemalari

Avtoregressiv modelga misol. Dastlabki misol sifatida iste'mol narxlari indeksining (inflyatsiya indeksi) o'sishini tavsiflovchi vaqt seriyasining ekonometrik modelini ko'rib chiqing. Keling - oyiga narxlarning ko'tarilishi (bu masala bo'yicha ko'proq ma'lumot uchun "Inflyatsiyaning ekonometrik tahlili" ga qarang). Keyin, ba'zi iqtisodchilarning fikriga ko'ra, buni taxmin qilish tabiiy

o'tgan oydagi narx o'sishi qayerda (a - pasaytirish koeffitsienti, agar tashqi ta'sirlar bo'lmasa, narx o'sishi to'xtaydi), doimiy (vaqt o'tishi bilan qiymatning chiziqli o'zgarishiga mos keladi), koeffitsientli emissiya miqdori va proportsional pul emissiyasi ta'siriga (ya'ni, Markaziy bank tomonidan amalga oshiriladigan mamlakat iqtisodiyotidagi pul miqdorining ko'payishi) mos keladigan muddat , va bu ta'sir darhol paydo bo'lmaydi, lekin 4 oydan keyin; Nihoyat, bu muqarrar xato.

Model (1), soddaligiga qaramay, ko'p narsalarni namoyish etadi xarakter xususiyatlari ancha murakkab ekonometrik modellar. Birinchidan, ba'zi o'zgaruvchilar model ichida aniqlangan (hisoblangan)ligiga e'tibor qarataylik, masalan. Ular chaqiriladi endogen (ichki). Boshqalar tashqaridan beriladi (bu ekzogen o'zgaruvchilar). Ba'zan, nazorat nazariyasida bo'lgani kabi, orasida ekzogen o'zgaruvchilar, ajrating boshqargan o'zgaruvchilar - menejer tizimni kerakli holatga keltirishi mumkin bo'lganlar.

Ikkinchidan, yangi turdagi o'zgaruvchilar (1) munosabatda paydo bo'ladi - laglar bilan, ya'ni. o'zgaruvchilardagi argumentlar hozirgi vaqtda emas, balki o'tmishdagi ba'zi daqiqalarni anglatadi.

Uchinchidan, (1) turdagi ekonometrik modelni tuzish hech qanday oddiy operatsiya emas. Masalan, pul muomalasi bilan bog'liq muddatning roppa-rosa 4 oyga kechikishi ancha murakkab dastlabki statistik ishlov berish natijasidir. Bundan tashqari, miqdorlarning bog'liqligi yoki mustaqilligi masalasi o'rganilishi kerak. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, protsedurani o'ziga xos tarzda amalga oshirish ushbu masalani hal qilishga bog'liq. eng kichik kvadratlar usuli.

Boshqa tomondan, (1) modelda faqat 3 ta noma'lum parametr va bayonot mavjud eng kichik kvadratlar usuli yozish oson:

Identifikatsiya qilish muammosi. Keling, tapa modelini (6.1) bilan tasavvur qilaylik katta raqam endogen va ekzogen o'zgaruvchilar, kechikishlar va murakkab ichki tuzilishga ega. Umuman olganda, bunday tizim uchun hech bo'lmaganda bitta yechim borligi hech qanday joydan kelib chiqmaydi. Demak, bitta emas, ikkita muammo bor. Kamida bitta yechim bormi (identifikatsiya qilish muammosi)? Ha bo'lsa, eng yaxshi yechimni qanday topish mumkin? (Bu statistik parametrlarni baholash muammosi.)

Birinchi va ikkinchi vazifalar juda qiyin. Ikkala muammoni hal qilish uchun ko'plab usullar ishlab chiqilgan, odatda juda murakkab, ulardan faqat ba'zilari mavjud ilmiy asos. Xususan, ko'pincha izchil bo'lmagan statistik baholardan foydalaniladi (qat'iy aytganda, ularni hatto taxmin deb atash mumkin emas).

Keling, chiziqli ekonometrik tenglamalar tizimlari bilan ishlashda ba'zi umumiy usullarni qisqacha tavsiflab beraylik.

Chiziqli bir vaqtda ekonometrik tenglamalar tizimi. Sof rasmiy ravishda, barcha o'zgaruvchilar faqat hozirgi vaqtga bog'liq bo'lgan o'zgaruvchilar bilan ifodalanishi mumkin. Masalan, (6.1) tenglama bo'lsa, uni qo'yish kifoya

Keyin tenglama shaklning namunasidir

Biz bu erda regressiya modellaridan foydalanish imkoniyatini ta'kidlaymiz o'zgaruvchan tuzilma qo'g'irchoq o'zgaruvchilarni kiritish orqali. Bu o'zgaruvchilar ba'zi vaqtlarda (aytaylik, boshlang'ich qiymatlar) sezilarli qiymatlarni oladi va boshqalarida ular yo'qoladi (aslida 0 ga teng bo'ladi). Natijada, rasmiy (matematik) bir va bir xil model butunlay boshqa bog'liqliklarni tavsiflaydi.

Bilvosita, ikki bosqichli va uch bosqichli eng kichik kvadratlar. Yuqorida aytib o'tilganidek, ekonometrik tenglamalar tizimini evristik tahlil qilishning ko'plab usullari ishlab chiqilgan. Ular topishga harakat qilishda yuzaga keladigan muayyan muammolarni hal qilish uchun mo'ljallangan raqamli yechimlar tenglamalar tizimlari.

Muammolardan biri taxminiy parametrlar bo'yicha apriori cheklovlar mavjudligi bilan bog'liq. Masalan, uy xo'jaliklarining daromadlari iste'molga ham, jamg'armalarga ham sarflanishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, ushbu ikki turdagi xarajatlar ulushlari yig'indisi apriori 1 ga teng. Ekonometrik tenglamalar tizimida esa bu ulushlar mustaqil ravishda ishtirok etishi mumkin. Ularni baholash g'oyasi mavjud eng kichik kvadratlar, a priori cheklovga e'tibor bermaslik va keyin sozlash. Ushbu yondashuv bilvosita deb ataladi. eng kichik kvadratlar.

ikki qadam eng kichik kvadrat usuli sistemani bir butun sifatida ko'rib chiqishdan ko'ra, tizimning individual tenglamasining parametrlarini baholashdan iborat. Shu bilan birga, uch bosqichli eng kichik kvadrat usuli yaxlit bir vaqtda tenglamalar tizimining parametrlarini baholash uchun ishlatiladi. Birinchidan, har bir tenglamaning koeffitsientlari va xatolarini baholash uchun har bir tenglamaga ikki bosqichli usul qo'llaniladi, so'ngra xato kovariatsiyasi matritsasi uchun smeta tuziladi. Shundan so'ng, koeffitsientlarni baholash uchun umumlashtirilgan usul qo'llaniladi. butun tizim. eng kichik kvadrat usuli.

Menejer va iqtisodchi ma'lum dasturiy ta'minot tizimlari yordamida ham ekonometrik tenglamalar tizimini tuzish va yechish bo'yicha mutaxassis bo'lmasliklari kerak, ammo u ekonometrikaning ushbu sohasining imkoniyatlaridan xabardor bo'lishi kerak. ekonometrik mutaxassislar ishlab chiqarish zarurati bo'lgan taqdirda malakali tarzda.

Trendni (asosiy tendentsiyani) baholashdan vaqtli qatorlar ekonometrikasining ikkinchi asosiy vazifasi - davrni (siklni) baholashga o'tamiz.

Vaqt seriyalarini tahlil qilishda ehtimollik xususiyatlari vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydigan statsionar vaqt seriyalari katta ahamiyatga ega. Statsionar vaqt qatorlari, xususan, tahlil qilinayotgan qatorning tasodifiy komponentlarini tavsiflashda qo'llaniladi.

Vaqt seriyasi y t (t= 1,2,…,n) qat’iy statsionar (yoki tor ma’noda statsionar) deyiladi, agar n ta kuzatuvning y 1 ,y 2 ,…..,y n qo‘shma ehtimollik taqsimoti bilan bir xil bo‘lsa. n kuzatishlar y 1+ t ,y 2+ t ,....y n + t har qanday n, t va t uchun. Boshqacha qilib aytganda, y t qat'iy statsionar qatorlarning xossalari t momentiga bog'liq emas, ya'ni. tarqatish qonuni va raqamli xususiyatlar t ga bog'liq emas. Shuning uchun a y (t) = a matematik kutish, s y (t) = s standart og‘ish y t (t= 1,2,…,n) kuzatishlar bo‘yicha quyidagi formulalar yordamida baholanishi mumkin:

(6.3)

Eng oddiy misol statsionar vaqt seriyasi, uning matematik kutilishi nolga teng va xatolar e t bog'liq emas, bu "oq shovqin". Shuning uchun, biz buzilishlar (xatolar) e t deb aytishimiz mumkin klassik chiziqli regressiya modeli oq shovqinni hosil qiladi, va ular uchun normal taqsimot – normal (gauss) Oq shovqin.

Vaqtinchalik qator kuzatuvlar ketma-ketligi y 1 ,y 2 ,…..,y n va y 1+ t ,y 2+ t ,....y n + t (har biriga nisbatan siljigan) oʻrtasidagi bogʻlanishning zichlik darajasi. boshqasini e birliklari bilan yoki lag t bilan aytganda) korrelyatsiya koeffitsienti yordamida aniqlash mumkin

(6.4)

uchun

r(t) koeffitsienti bir qator a'zolari o'rtasidagi korrelyatsiyani o'lchaganligi sababli, u deyiladi avtokorrelyatsiya koeffitsienti, va bog'liqlik r(t) avtokorrelyatsiya funktsiyasi. Vaqtinchalik qator y t (t= 1,2,…,n) statsionarligi tufayli avtokorrelyatsiya funksiyasi r(t) faqat kechikish t ga, korrelyatsiya funksiyasi esa r(- t) = r(t) , ya'ni r (t) ni o'rganayotganda, biz faqat t ning ijobiy qiymatlarini hisobga olish bilan cheklanishimiz mumkin.

Statistik baholash r(t) hisoblanadi namuna avtokorrelyatsiya koeffitsienti r(t), korrelyatsiya koeffitsienti formulasi (3.20) bilan aniqlanadi, bunda x i = y t, y i = y t + t va n n - t bilan almashtiriladi:

r(t) funksiya chaqiriladi namunali avtokorrelyatsiya funksiyasi, va uning grafigi korrelogramma.

R(t) ni hisoblashda shuni esda tutish kerakki, t ortishi bilan y t ,y t + t juft kuzatishlar soni n - t kamayadi, shuning uchun kechikish t shunday bo'lishi kerakki, r ni aniqlash uchun n - t soni etarli bo'ladi. (t). Odatda ular t £ n/4 munosabati bilan boshqariladi.

Statsionar vaqt seriyasi uchun kechikish t ortishi bilan y t va y t + t vaqt qatorining shartlari o'rtasidagi bog'liqlik zaiflashadi va avtokorrelyatsiya funktsiyasi r(t) kamayishi kerak (mutlaq qiymatda). Shu bilan birga, uning namunaviy (empirik) analogi r(t) uchun, ayniqsa, kam sonli n - t kuzatuvlar juftligi bilan, t ortishi bilan monoton pasayish (mutlaq qiymatda) xususiyati buzilishi mumkin.

Avtokorrelyatsiya funktsiyasi bilan bir qatorda, statsionar vaqt qatorlarini o'rganishda biz ko'rib chiqamiz qisman avtokorrelyatsiya funksiyasi r qism (t), bu erda r qism (t) - oraliq (y t va y t + t o'rtasidagi) a'zolarning ta'sirini bartaraf etishda (yo'q qilishda) vaqt qatorining y t va y t + t a'zolari o'rtasidagi qisman korrelyatsiya koeffitsienti.

r qismi (t) ning statistik bahosi namunaviy qism avtokorrelyatsiyasi r qismi (t) qayerda r qismi (t)- (5.21) yoki (5.22) formulalar bo'yicha aniqlangan namunaviy qisman korrelyatsiya koeffitsienti.Masalan, y t +1 ta'siri bartaraf etilganda y t va y t + t vaqt qatori a'zolari o'rtasidagi 1-tartibdagi avtokorrelyatsiyaning namunaviy qisman koeffitsienti. (5.22) formula bo'yicha hisoblash mumkin:

Bu yerda r(1) , r(1,2),r(2) – y t va y t +1 , y t +1 va y t +2 , y t va y t +2 , t = 1,….,n orasidagi avtokorrelyatsiya koeffitsientlarining namunasi.

6.1-misol. Jadvalga ko'ra. 6.1 vaqt qatori uchun y t o'rtacha qiymat, standart og'ish, 1-tartibli avtokorrelyatsiya koeffitsientlarini toping.

Yechim. Vaqt seriyasining o'rtacha qiymati (6.2) formula bo'yicha topiladi:

Dispersiya va standart og'ish (6.3) formulasi yordamida hisoblanishi mumkin, ammo bu holda munosabatdan foydalanish osonroq.

qayerda

Vaqt seriyasining r(t) avtokorrelyatsiya koeffitsientini topamiz (t = 1 kechikish uchun), ya'ni. y t va y t + t (t = 1,2….,7) kuzatuvlarining etti juftlik ketma-ketliklari orasidagi korrelyatsiya koeffitsienti.

Vaqt seriyasining statistik tahlilining maqsadlarini quyidagicha shakllantirish mumkin:

Tahlil qilinayotgan x(t) vaqt seriyasining mavjud x(1), x(2), …x(N) traektoriyalariga ko‘ra quyidagilar talab qilinadi:

1) kengayishda tasodifiy bo'lmagan funktsiyalardan qaysi biri (trendga mos keladigan, mavsumiy va tsiklik komponentlar) mavjudligini aniqlash, ya'ni kengayishda  i ko'rsatkichlarining qiymatlarini aniqlash.

2) parchalanishda mavjud bo'lgan tasodifiy bo'lmagan funktsiyalar uchun "yaxshi" baholarni yaratish;

3) “tasodifiy qoldiq u(t)” harakatini adekvat tavsiflovchi modelni tanlang va ushbu model parametrlarini statistik baholang.

Sanab o'tilgan vazifalarni muvaffaqiyatli hal qilish yakuniy amaliy tadqiqot maqsadlariga erishish va birinchi navbatda vaqt seriyalari qiymatlarini qisqa va o'rta muddatli prognozlash muammosini hal qilish uchun asosdir.

Avtokovariatsiya va avtokorrelyatsiya funksiyalari

Vaqt seriyalarini aniqlash uchun maxsus funktsiyalardan foydalanish qulay: avtokovariatsiya va avtokorrelyatsiya.

Avtokovariatsiya funksiyasi

X(t) vaqt seriyasining qat'iy statsionarligi farazidan x(t) va x(t  ) qiymatlari o'rtasidagi kovariatsiya faqat "vaqt siljishi"  miqdoriga bog'liq bo'ladi (va bog'liq bo'lmaydi). t ustida). Ushbu kovariatsiya avtokovariatsiya deb ataladi (chunki u bir xil vaqt seriyasining turli qiymatlari uchun kovariatsiyani o'lchaydi x(t) va quyidagicha aniqlanadi:

() qiymatini  qiymatiga qarab tahlil qilganda () avtokovariatsiya funksiyasi haqida gapirish odatiy holdir. Avtokovariatsiya funktsiyasining qiymatlari formuladan foydalangan holda mavjud vaqt seriyalari kuzatuvlaridan statistik tarzda baholanishi mumkin.

, bu yerda =1,2, … N-1. Shubhasiz

(0)=  2 =M;

()=cov(x(t+), x(t)) = cov(x(t), x(t+)) = cov(x(t), x(t-));

()= cov(x(t), x(t-))= (-).

Avtokorrelyatsiya funksiyasi

Vaqt seriyasini tashkil etuvchi kuzatishlar ketma-ketligi va tasodifiy tanlama o'rtasidagi asosiy farqlardan biri shundaki, vaqt seriyasining a'zolari, umuman olganda, statistik jihatdan o'zaro bog'liqdir. Ikki tasodifiy o'zgaruvchi o'rtasidagi statistik munosabatlarning yaqinlik darajasini juft korrelyatsiya koeffitsienti bilan o'lchash mumkin. Shunday qilib,  birliklari bilan "ajratilgan" (vaqt bo'yicha) vaqt seriyasining ikkita kuzatuvi o'rtasidagi statistik bog'liqlik darajasi korrelyatsiya koeffitsienti qiymati bilan aniqlanadi.

Korrelyatsiya koeffitsienti r() bir xil vaqt qatori a'zolari o'rtasida mavjud bo'lgan korrelyatsiyani o'lchaydi, shuning uchun u odatda avtokorrelyatsiya koeffitsienti deb ataladi. r() qiymatining  qiymatiga qarab o’zgarishini tahlil qilganda, r() avtokorrelyatsiya funksiyasi haqida gapirish odatiy holdir. Avtokorrelyatsiya funksiyasining grafigi korrelogramma deyiladi. Avtokorrelyatsiya funktsiyasi, avtokovariatsiya funktsiyasidan farqli o'laroq, o'lchovsizdir. Uning qiymatlari -1 dan +1 gacha bo'lishi mumkin. Shubhasiz, r() =r(-), a(0) =1.

Tahlil qilinayotgan x(t) vaqt seriyasining tasodifiy qoldiqlari u(t) harakatini adekvat tavsiflovchi modelni izlash odatda tasodifiy vaqt ketma-ketliklarining ma’lum maxsus sinfi – statsionar vaqt qatorlari sinfi doirasida amalga oshiriladi. Intuitiv darajada vaqt seriyasining statsionarligi va biz u qo'ygan talab bilan bog'laymiz doimiy o'rtacha va bu o'rtacha atrofida doimiy dispersiya bilan o'zgarib turadi. Ba'zi hollarda, bu sinfning vaqt ketma-ketliklari tahlil qilingan x(t) vaqt seriyasining xatti-harakatlarini ham takrorlashi mumkin.

x(t) qator deyiladi qat'iy statsionar(yoki tor maʼnoda statsionar), agar m ta kuzatuv x(t 1), x(t 2), …, x(t m) ning qoʻshma ehtimollik taqsimoti m ta kuzatuv uchun x(t 1 +), x bir xil boʻlsa. ( t 2 +), …x(t m +), har qanday m, t 1 , t 2 , …, t m ​​va  uchun.

Boshqacha qilib aytganda, qat'iy statsionar vaqt qatorining xossalari vaqtning kelib chiqishi o'zgartirilganda o'zgarmaydi. Xususan, m = 1 bo'lganda, x(t) vaqt qatorining qat'iy statsionarligi haqidagi farazdan kelib chiqadiki, x(t) tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot qonuni t ga bog'liq emas va shuning uchun uning barcha asosiy sonli xarakteristikalar t ga bog'liq emas, shu jumladan: o'rtacha qiymat M(x(t)) =  va dispersiya D(x(t))= M(x(t) –) 2 =  2 .

Shubhasiz, m qiymati tahlil qilinayotgan x(t) vaqt seriyasining qiymatlari tarqaladigan doimiy darajani aniqlaydi va  2 doimiy qiymati bu tarqalish diapazonini tavsiflaydi. X(t) tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot qonuni hamma t uchun bir xil bo‘lganligi sababli uni va uning asosiy sonli xarakteristikalarini x(1), x(2), …x(N) kuzatishlar asosida baholash mumkin. Ayniqsa:

- o'rtacha qiymatni baholash;

- dispersiyani baholash.

ostida tekislash usullari vaqt qatori tushuniladi tasodifiy bo'lmagan komponentni tanlash. X(t)=F(t,)+ u(t) qator uchun tasodifiy bo'lmagan F(t) komponentining umumiy ko'rinishi ma'lum deb faraz qilaylik. Bu polinom, Furye qatori va boshqalar bo'lishi mumkin. Keyin  parametrlarini baholash muammosi paydo bo'ladi. Muammoni shakllantirishda analitik usullar qo'llaniladi.

Agar tasodifiy bo'lmagan komponentning shakli F(t) noma'lum bo'lsa, u holda algoritmik usullar qo'llaniladi. Bu usullar murakkabroq silliqlash protseduralarining asosi bo'lgan harakatlanuvchi o'rtacha usulini o'z ichiga oladi.

Additiv va multiplikativ modellar misolida vaqt qatori modelini qurish algoritmi

Tsiklik tebranishlarni o'z ichiga olgan vaqt seriyalari modelini qurish algoritmi qo'shimcha va multiplikativ modellar uchun mazmuni biroz farq qiladigan asosiy bosqichlardan iborat.

Tsiklning davomiyligidan yoki mavsumiy yoki opportunistik tabiatidan qat'i nazar, seriyaning tsiklik komponenti uchun bitta belgini kiritish orqali modelni soddalashtiraylik. Uni s t deb belgilaymiz. Keyin qo'shimcha model y t = u t + s t + e t ko'rinishini oladi va multiplikativ - y t = u t * s t * e t .

Shunday qilib, modelni qurishning asosiy bosqichlari:

1) Tsiklning davomiyligiga to'g'ri keladigan vaqt oralig'ida hisoblangan o'rtacha ko'rsatkichlar asosida asl seriyani tekislash.

2) Tsiklik yoki mavsumiy komponentning qiymatlarini aniqlash (batafsil ma'lumot uchun qarang: Eliseeva I.I., Kurysheva S.V., Kosteeva T.V. va boshqalar. Ekonometrika: Darslik. - M .: Moliya va statistika, 2001. - P. 242-251. ). Qo'shimcha model uchun bitta tsiklning barcha davrlari uchun ushbu komponentning qiymatlari yig'indisi nolga teng bo'lishi kerak, multiplikativ modelda esa tsikldagi davrlar soni. Bu tsiklik komponentning o'zaro sotib olinishini ta'minlaydi.

3) Modeldan tsiklik komponentlarni olib tashlash. Qo'shimcha modelda ayirish yo'li bilan amalga oshiriladi, shundan so'ng model y t = u t + e t ko'rinishini oladi. Multiplikativ modelda u bo'linish yo'li bilan amalga oshiriladi, shundan so'ng model y t = u t * e t ko'rinishini oladi.

4) y t = f(t) trend tenglamasini qurish asosida olingan y t = u t + e t yoki y t = u t * e t qatorlarini analitik tekislash.

5) Tsiklik komponent qatorning olingan darajalariga qo‘shiladi (qo‘shimcha modelda) yoki unga ko‘paytiriladi (ko‘paytiruvchi modelda): y t = f(t) + s t yoki y t = f( t) * s t .

6) tuzilgan model yordamida olingan qator darajalarining hisoblangan qiymatlarini haqiqiy qiymatlar bilan solishtirish. Olingan modelni baholash, xatolarni hisoblash.

Vaqt seriyalari stokastik xususiyatga ega va shunga mos ravishda ular uchun turli xil ehtimollik xarakteristikalarini hisoblash mumkin.

Statsionar vaqt seriyasi - bu barcha ehtimollik xususiyatlari doimiy bo'lgan vaqt seriyasidir.

Bu shuni anglatadiki, biz vaqt seriyasining qaysi qismini olishimizdan qat'i nazar, indikator qiymatlarining ehtimollik xususiyatlari ushbu seriyaning boshqa har qanday vaqt oralig'i bilan bir xil bo'ladi. Statsionar qatorlarda trend komponenti yo'q.

Statsionar bo'lmagan vaqt qatori bunday xususiyatga ega emas.

Vizual statsionar va statsionar bo'lmagan vaqt qatorlari 5.1-rasmda keltirilgan.

Tushunchalarni farqlash zaif va qattiq statsionarlik. Seriyani zaif statsionar yoki so‘zning keng ma’nosida statsionar deb hisoblash uchun uning doimiy matematik kutish, dispersiya va avtokorrelyatsiya koeffitsientlariga ega bo‘lishi kifoya. Statsionarlikni yanada qat'iy ta'riflash uchun ehtimollik nazariyasi kursida batafsil o'rganiladigan boshqa ehtimollik xususiyatlarining doimiyligi ham kerak (tarqatish funktsiyasi bir xil bo'lishi kerak).

Shuni esda tutish kerakki, har qanday qat'iy statsionar qator ham zaif statsionardir, lekin aksincha emas. Shunday qilib, kuchsiz statsionar qatorlar to'plami va qat'iy statsionar qatorlar to'plamining kesishishi (umumiy qismi) qat'iy statsionar qatorlar to'plamidir. Kuchsiz statsionar qatorlar toʻplami va qatʼiy statsionar qatorlar toʻplamining birlashishi kuchsiz statsionar qatorlar toʻplamidir (chunki qatʼiy statsionar qatorlar kuchsiz statsionar qatorlarga kiradi).

Statsionar vaqt seriyasiga misol regressiya modellarida "oq shovqin" bo'lishi mumkin (ya'ni, o'rtacha va dispersiya doimiy bo'lgan tasodifiy komponentning vaqt bo'yicha tartiblangan qiymatlari (bu holda qoldiqning kutilgan qiymati nolga teng) va bu qiymatlar bir-biri bilan bog'liq emas).

Ergodik seriyalar. Ayrim statsionar qatorlarning muhim xossasi xossadir ergodiklik. Bu xususiyatning mohiyati shundan iboratki, ergodik qator uchun uning fazodagi darajalarining matematik kutilishi vaqt bo'yicha uning darajalarining matematik kutilishi bilan mos keladi.

Har qanday vaqtda kuchsiz statsionar jarayon uchun t qiymatining kutilishi M(y t) = m (bu fazoda kutish) bo'lsin. Kutilgan qiymat vaqt ichida - n ® ¥ da vaqt seriyasining n qiymatining o'rtacha qiymati. Agar , unda bunday seriya ergodik hisoblanadi.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, statsionar vaqt seriyasi uchun vaqtning berilgan nuqtalari uchun amalga oshirishlar to'plami bo'yicha o'rtacha qiymat bir realizatsiya bo'yicha hisoblangan vaqt bo'yicha o'rtacha qiymatga teng.

Kirish…………………………………………………….2

1. Vaqt seriyalari tahlilining asosiy vazifalari………….4

2. Vaqt seriyalari tahlili…………………………………….9

11

2.3 Statsionar vaqt seriyalarining modellari va ularning identifikatsiyasi…13

2.3.2. Harakatlanuvchi o'rtacha tartibli modellar q (MA(q)-modellar)….17

Xulosa………………………………………………………21

Adabiyot……………………………………………………..23

Kirish

DA o'tgan yillar ekonometrik adabiyotlarda vaqt ko'rsatkichlari dinamikasi qatorini o'rganishga katta e'tibor beriladi. Iqtisodiy tahlilning turli mazmunli vazifalari o'rganilayotgan iqtisodiy jarayonlarni tavsiflovchi va vaqt qatorlari shaklida o'z vaqtida joylashtiriladigan statistik ma'lumotlardan foydalanishni talab qiladi. Shu bilan birga, bir xil vaqt qatorlari ko'pincha turli xil mazmunli muammolarni hal qilish uchun ishlatiladi.

Vaqt seriyasining qiymatlari har doim ham har qanday omillar ta'siri ostida shakllanmaydi. Ko'pincha shunday bo'ladiki, ma'lum bir jarayonning rivojlanishi uning ichki qonuniyatlari bilan bog'liq va deterministik jarayondan chetga chiqishlar o'lchash xatolari yoki tasodifiy tebranishlar tufayli yuzaga keladi. "O'tish" rejimida bo'lgan jarayonlar alohida qiziqish uyg'otadi, ya'ni. mohiyatan "statsionar" bo'lgan, lekin o'rganilayotgan vaqt oralig'ida statsionar bo'lmagan vaqt qatorining xususiyatlarini namoyon qiluvchi jarayonlar, bu statsionar rejimdan uzoqda bo'lgan dastlabki shartlar bilan izohlanadi. Vaqt seriyalari tasodifiy va tasodifiy bo'lmagan omillarning ma'lum bir to'plamining ta'siri ostida shakllanadigan vaziyatlarda individual vaqt seriyalarini ham natijaviy, ham omil tahlil qilish katta ahamiyatga ega. Bu o'rganilayotgan jarayonlar haqidagi ma'lumotlar (vektor avtoregressiyalari, xatolarni tuzatish modellari, taqsimlangan kechikishlar bilan dinamik modellar va boshqalar) asosida qurilgan modellarni to'g'ri aniqlash uchun zarurdir.

Vaqt seriyalarini tahlil qilishda asosiy e'tibor ularning tuzilishini o'rganish, tavsiflash va / yoki modellashtirishga qaratiladi. Bunday tadqiqotlarning maqsadi, qoida tariqasida, tegishli jarayonlarni o'rganishni oddiy modellashtirishdan ko'ra kengroqdir. Tuzilgan model odatda vaqt seriyasini ekstrapolyatsiya qilish yoki bashorat qilish uchun ishlatiladi, keyin esa prognoz sifati bir nechta muqobil modellar orasidan tanlashda foydali mezon bo'lib xizmat qilishi mumkin. Yaxshi seriyali modellarni yaratish mavsumiy sozlash va tekislash kabi boshqa ilovalar uchun ham zarur. Va nihoyat, tuzilgan modellar katta tizimlarni o'rganishda kuzatuvlarning uzoq seriyalarini statistik modellashtirish uchun ishlatilishi mumkin, ular uchun vaqt seriyalari kirish ma'lumoti sifatida qaraladi.

Iqtisodiy ko'rsatkichlarni o'lchashda xatolar mavjudligi, kuzatilayotgan tizimlarga xos bo'lgan tasodifiy tebranishlar mavjudligi sababli vaqt qatorlarini o'rganishda ehtimollik-statistik yondashuv keng qo'llaniladi. Ushbu yondashuv doirasida kuzatilgan vaqt qatori qandaydir tasodifiy jarayonning amalga oshirilishi deb tushuniladi. Shu bilan birga, vaqt seriyasi uni mustaqil ketma-ketlikdan ajratib turadigan qandaydir tuzilishga ega deb bilvosita taxmin qilinadi. tasodifiy o'zgaruvchilar, shuning uchun kuzatishlar butunlay mustaqil raqamli qiymatlar to'plami emas. (Qator strukturasining ba'zi elementlarini ba'zan ketma-ketlik grafigining oddiy vizual tahlili asosida allaqachon aniqlash mumkin. Bu, masalan, trend va tsikllar kabi qator komponentlariga taalluqlidir.) seriyalarni kuzatishlar soniga nisbatan kam sonli parametrlarni o'z ichiga olgan model bilan tavsiflash mumkin, bu prognozlash uchun modeldan foydalanishda amaliy ahamiyatga ega. Bunday modellarga avtoregressiya, harakatlanuvchi o'rtacha modellar va ularning kombinatsiyalari - AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q) modellari misol bo'la oladi.

Uzoq muddatli istiqbolda munosabatlar modellarini qurishda tahlil qilinayotgan makroiqtisodiy qatorlar stoxastik (deterministik bo'lmagan) tendentsiyaga ega yoki yo'qligini hisobga olish kerak. Boshqacha qilib aytganda, ko'rib chiqilayotgan seriyalarning har biri deterministik tendentsiya (yoki oddiygina statsionar) - TS (trend statsionar) qatoriga nisbatan statsionar bo'lgan qatorlar sinfiga yoki qatorlar sinfiga tegishli ekanligini aniqlash kerak. stoxastik tendentsiyaga ega bo'lgan (ehtimol, deterministik tendentsiya bilan birga) va statsionar (yoki deterministik tendentsiyaga nisbatan statsionar) qatorga faqat bitta yoki k-katta differensiallash orqali olib keladigan - DS (farq statsionar) qatorlar. Seriyalarning bu ikki klassi o'rtasidagi tub farq shundan iboratki, TS seriyasida tegishli deterministik tendentsiyani ketma-ketlikdan ayirish quyidagi natijaga olib keladi: statsionar qator, DS qatorida esa, seriyaning deterministik komponentini ayirish, unda stokastik tendentsiya mavjudligi sababli seriyani statsionar bo'lmagan holda qoldiradi.

1-bob. Vaqt seriyalari tahlilining asosiy vazifalari.

Vaqt seriyasi va tasodifiy tanlamani tashkil etuvchi kuzatishlar ketma-ketligi o'rtasidagi asosiy farqlar quyidagilardan iborat:

birinchidan, tasodifiy tanlama elementlaridan farqli o'laroq, vaqt qatori a'zolari mustaqil emas;

ikkinchidan, vaqt qatorining a'zolari teng taqsimlanishi shart emas, shuning uchun P(xt< x} P{xt < x} при t t.

Bu xususiyatlar va qoidalarni anglatadi statistik tahlil tasodifiy tanlab olishni vaqt seriyasiga kengaytirib bo'lmaydi. Boshqa tomondan, vaqt seriyasi a'zolarining o'zaro bog'liqligi kuzatilgan qiymatlar asosida tahlil qilinayotgan ko'rsatkichning bashoratli qiymatlarini qurish uchun o'ziga xos asos yaratadi.

Vaqt seriyasini tashkil etuvchi kuzatuvlar genezisi (ma'lumotlarni yaratish mexanizmi). Bu haqida vaqt seriyalarining qiymatlari ta'sirida shakllanadigan asosiy omillarning tuzilishi va tasnifi haqida. Qoida tariqasida, bunday omillarning 4 turi ajratiladi.

Uzoq muddatli, tahlil qilinadigan xususiyat xt o'zgarishida umumiy (uzoq muddatda) tendentsiyani shakllantirish. Odatda bu tendentsiya u yoki bu tasodifiy bo'lmagan ftr(t) funksiyasi yordamida tasvirlanadi (uning argumenti vaqt), odatda monotonik. Bu funksiya trend funktsiyasi yoki oddiygina trend deb ataladi.

Mavsumiy, davriy ravishda takrorlanib turadigan shakllanish ma'lum vaqt tahlil qilinayotgan belgining tebranish yillari. Ushbu funktsiya (e) davriy bo'lishi kerakligi sababli (davrlar "fasllarning" ko'paytmalari bilan), uning analitik ifodasi garmonikani o'z ichiga oladi ( trigonometrik funktsiyalar), ularning chastotasi, qoida tariqasida, vazifaning mazmuni bilan belgilanadi.

Iqtisodiy yoki demografik xarakterdagi uzoq muddatli tsikllar (Kondratiev to'lqinlari, demografik "chuqurliklar" va boshqalar) ta'sirida tahlil qilinadigan xususiyatdagi o'zgarishlarni shakllantiradigan tsiklik (opportunistik) tsiklik omillar ta'sirining natijasi belgilanadi. tasodifiy bo'lmagan funksiya (t) yordamida.

Tasodifiy (tartibsiz), buxgalteriya hisobi va ro'yxatga olinishi mumkin emas. Ularning vaqt qatori qiymatlarining shakllanishiga ta'siri shunchaki xt elementlarining stoxastik tabiatini va shuning uchun x1,..., xT ni tasodifiy o'zgaruvchilar 1,..., T bo'yicha kuzatuvlar sifatida izohlash zarurligini aniqlaydi. tasodifiy miqdorlar ("qoldiqlar", "xatolar") t yordamida tasodifiy omillar ta'siri natijasini bildiradi.

Albatta, har qanday vaqt seriyasining qiymatlarini shakllantirish jarayonida barcha to'rt turdagi omillar bir vaqtning o'zida ishtirok etishi shart emas. Ushbu turdagi omillarning ma'lum bir qator qiymatlarini shakllantirishda ishtirok etishi yoki yo'qligi haqidagi xulosalar muammoning mazmun mohiyatini tahlil qilish va o'rganilayotgan vaqt seriyasining maxsus statistik tahliliga asoslanishi mumkin. . Biroq, barcha holatlarda tasodifiy omillarning ajralmas ishtiroki taxmin qilinadi. Shunday qilib, in umumiy ko'rinish ma'lumotlarni ishlab chiqarish modeli (omillar ta'sirining qo'shimcha blok diagrammasi bilan) quyidagicha ko'rinadi:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (bir)

Bu erda i = 1, agar i-turdagi omillar qator qiymatlarini shakllantirishda ishtirok etsa, aks holda i = 0.

Vaqt seriyalari tahlilining asosiy vazifalari. Vaqt seriyasining statistik tahlilining asosiy maqsadi ushbu seriyaning mavjud traektoriyasini kuzatishdan iborat:

kengayishda tasodifiy bo'lmagan funktsiyalardan qaysi biri mavjudligini aniqlang (1), ya'ni. i ko'rsatkichlarining qiymatlarini aniqlash;

kengaytirishda mavjud bo'lgan tasodifiy bo'lmagan funktsiyalar uchun "yaxshi" baholarni yaratish (1);

tasodifiy qoldiqlar t xatti-harakatini adekvat tavsiflovchi modelni tanlash va ushbu modelning parametrlarini statistik baholash.

Vaqt seriyasini statistik tahlil qilishning asosiy maqsadi tufayli sanab o'tilgan vazifalarni muvaffaqiyatli hal qilish yakuniy amaliy tadqiqot maqsadlariga erishish va birinchi navbatda qisqa va o'rta muddatli prognozlash muammosini hal qilish uchun asosdir. vaqt seriyasining qiymatlari. Vaqt seriyalarining ekonometrik tahlilining asosiy elementlarini qisqacha ko'rsatamiz.